第9讲 波的能量、

2π r2 )
2π r1 2π r1 A1 cos(1 ) A2 cos( 2 )
A
A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
2 1 2π
r2 r1

常量
讨论
A A 2 A1 A2 cos r2 r1 2 1 2π A
第9讲 波的能量、干涉、衍射
波的能量和能量密度 波的能流和能流密度 惠更斯原理 波的衍射 波的叠加原理 波的干涉
波的能量
一 波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能. 波的能量: 介质元振动能量（Ek、EP）的总和
设弹性细棒中有纵波
1 1 y 2 1 x 2 2 2 2 动能 dEk dmv dV ( ) A sin (t ) dV 2 u 2 2 t
x y A cos (t ) u
1 F S kdy s kdx dEp k (dy ) 2 E 势能 2 dy dx dy dx s Es 1 Es k 2 ( dy ) dx 2 dx 1 y 2 E ( ) s dx 2 x
上 下
形变最小 振速 最小
时刻波形 未起振的体积元
抖 动
形变最大 振速 最大
位移最大处，动能为零，形变为零，势能为零 位移为零处，动能最大，形变最大，势能最大
讨论
1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、
势能、总机械能均随 同相位的.
x, t 作周期性变化，且变化是

体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大.
波的干涉
一 波的叠加原理

几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征 （频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来 的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.

在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在 时在该点所引起的振动位移的矢量和.
二
波的干涉
频率相同、 振动方向平行、
相位相同或相位
差恒定的两列波 相遇时，使某些 地方振动始终加 强，而使另一些
2 1 2 2
1 ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分 布随位置而变，但是稳定的.
2)
2k π k 0,1,2, A A1 A2 振动始终加强 (2k 1) π k 0,1,2, A A1 A2 振动始终减弱 其他 A1 A2 A A1 A2
讨论
A
A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
2 1 2π
r2 r1
若 1 2 则 2 π

波程差
r2 r1
k
k 0,1,2,
振动始终加强
A A1 A2
3)
(k 1 2)
讨论：
波动的能量和简谐运动的能量比较。
在简谐运动系统中，动能达到最大时势能 为零，势能达到最大时动能为零，两者相互转 化，使系统的总机械能保持守恒。
但在波动中，动能和势能的变化是同相位
的，它们同时达到最大值，又同时达到最小值。 因此，对任意体积元来说，它的机械能是不守 恒的。
惠更斯原理、波的衍射
练习
1、是非题 (1) 两列不满足相干条件的波不能叠加。 (2) 两列波相遇区域中P点，某时刻位移值恰好 等于两波振幅之和。这两列波为相干波。


(3) 两振幅相等的相干波在空间某点相遇时， 某时刻该点合振动位移既不是两波振幅之 和,又不是零，则该点既不是振动最强点， 又不是振动最弱点。
(4) 在波的干涉现象中，波动相长各点或波动 相消各点的集合的形状为双曲面族。
点P 的两个分振动 r2 y2 p A2 cos( t 2 2π )
s1 s2
r1
r2
点P 的两个分振动
* P
y p y1 p y2 p A cos(t )
tan A1 sin(1 2π r1 ) A2 sin( 2
r1 y1 p A1 cos( t 1 2π ) r2 y2 p A2 cos( t 2 2π )

4 2 2
即 S1
P S1

S2
r2 r1
u
P
2) 对S2外侧P´点
20 10 2



2
2
4

0
干涉相长、合成波
A 2 A1 , I 4I 0
即S2外侧各点振动最强
思考：
S1、S2之间如何？
两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播
udt
S
P I wu S 1 I A2 2u 2
例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等.
s2
s1
r1
r2
即
式中
r 为离开波源的距离， A0 为 r r0 处的振幅.
w1 uS1 w2uS2 1 1 2 2 2 2 A1 u 4π r1 A2 2u 4π r22 2 2 A0 r0 r A1 r2 y cos (t ) r u A2 r1
地方振动始终减
弱的现象，称为 波的干涉现象.
s1 s2
r1
r2
波的相干条件
*
P
1）频率相同；
2）振动方向平行；
3）相位相同或相位差恒定.
波源振动
y1 A1 cos(t 1 )
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p A1 cos( t 1 2π r1 )
A A1 A2
k 0,1,2,
振动始终减弱

其他
A1 A2 A A1 A2
例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波 源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波 峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B 发出的两列波传到点P 时干涉的结果.
2. 图中S1、S2为相干波源，相距/4, S1比S2相位超前 / 2
u

S1 S2
u
P
P
若 I1 I 2 I 0 , 且不随时间变化，求 S1、S2连线上， S1、S2外侧合成波的强度。 解： 对 S1外侧的P点
20 10 2
干涉相消，合成波
r2 r1

体积元的位移最大时，三者均为零.
x dE dVA sin (t ) u
2 2 2
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .
能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dW x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
一 惠更斯原理 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是 新的波前.
ut
平 面 波 球 面 波
R1
O
R2
二 波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物 的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.
波 的 衍 射
水 波 通 过 狭 缝 后 的 衍 射
P 解 BP 152 202 m 25 m
15m
A 20m B
10 m 0.10 m 100
设 A 的相位较 B 超 前，则 A B π .
u
B A 2π
点P 合振幅
BP AP
25 15 π 2π 201 π 0.1 A A1 A2 0
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 w wdt A T 0 2
二 波的能流和能流密度 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流：
P wu S
能流密度 ( 波的强度 ) I : 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.
u
1 2 A2 x 2 E 2 sin (t ) dV 2 u u
1 x 2 2 2 A sin (t ) dV 2 u
E u
介质元振动能量
x dE dEk dEp A sin (t ) dV u
2 2 2
介质质元的动能与势能同相位的定性解释 若将一弹性媒质划分为多个小单元（体积元）