高一数学必修1第一章1-1-3-3
高一数学必修一必修二各章知识点总结
数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合（一）集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性3.集合的表示：（1）常用数集及其记法（2）列举法（3）描述法4、集合的分类：有限集、无限集、空集5.1.子集、真子集、空集；2.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集；3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（一）函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.2.常用的函数表示法及各自的优点：○1解析法：必须注明函数的定义域；○2图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○3列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)(1)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；(2)定义域一致.求函数值域方法 :（先考虑其定义域）（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等.2. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据.(2) 画法:描点法;图象变换法常用变换方法有三种:平移变换;对称变换；*伸缩变换.3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象集）→B（象集）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2)各部分的自变量的取值情况；(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．（二）函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.定义的变形应用：如果对任意的12,x x D ∈，且21x x ≠有0)()(1212>--x x x f x f 或者2121(()())()0f x f xxx -->，则函数)(x f 在区间D 上是增函数；如果对任意的12,x x D ∈，且21x x ≠有2121()()0f x f x x x -<-或者2121(()())()0f x f xxx --<，则函数)(x f 在区间D 上是减函数. 注意：函数的单调性是函数的局部性质. （2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .3.函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法； 待定系数法；换元法；消参法.如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f [g (x )]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 4．函数最大（小）值（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aa n m nm nm ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；（2）()r s r s a a =),,0(R s r a ∈>；（3）()r r ra b ab =(0,)a r R >∈． （二）指数函数及其性质1．指数函数的概念： 一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2．指数函数的图象和性质（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [（a>1）或 )]a (f ),b (f [(0<a<1)； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =.二、对数函数（一）对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log . 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数N ⇔log N（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N Malog M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log)(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式可得下面的结论：（1）b m n b a nam log log =； （2）ab b a log 1log =．（三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：xy 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0a >，且1a ≠．21．幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2．幂函数性质归纳：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）当0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. 2．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标. 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3．函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．二、函数的应用解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.数学必修2各章知识点总结第一章 空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征（要补充直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义）结 构 特 征 性质 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （2）各侧面有一个公共顶点. 圆锥 （1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.2、空间几何体的三视图三视图定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）柱体、锥体、台体的表面积（几何体的表面积为几何体各个面的面积的和）表面积相关公式 表面积相关公式棱柱 2S S S =+侧全底 圆柱 222S r r h ππ=+全（r ：底面半径，h ：高） 棱锥 S S S =+侧全底圆锥 2S r r l ππ=+全（r ：底面半径，l ：母线长） 棱台S S S S =++侧全上底下底圆台22('')S r r r l r l π=+++全（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长）（2）柱体、锥体、台体的体积公式体积公式体积公式 棱柱 V S h =底高圆柱 2V r h π=棱锥 13V S h =底高圆锥 213V r h π=棱台1('')3V S SS Sh =++圆台221('')3V r rr r h π=++（3）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系1、空间点、直线、平面之间的位置关系 （1）平面① 平面的概念： 平面是无限伸展的.② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉. 点与直线的关系：点A 在直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l.直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α.（2）平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,ABC ABC α⇒不共线确定平面,l P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩推论1： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面.（3）空间直线与直线之间的位置关系公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行①空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. ②异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线③异面直线所成角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补. （4）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a α⊂； a ∩α＝A ；a ∥α . （5）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点，记作α∥β.相交——有一条公共直线，记作α∩β＝b.2、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行⇒线面平行) 符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行符号表示为：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行→面面平行），用符号表示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. *（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行）， *（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）用符号表示为：α∥β，a ⊂β//a α⇒（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a ,β∩γ＝b //a b ⇒3、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.（线线垂直→线面垂直）用符号表示为：l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α⇒l ⊥α性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 用符号表示为：a ⊥α，b ⊥α⇒ //a b②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直→面面垂直）用符号表示为：a ⊂α，α⊥β⇒α⊥β.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直→线面垂直）用符号表示为：αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥⇒a β⊥.4、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 0.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角. ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. （2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0.②平面的垂线与平面所成的角：规定为90.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角.*垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角第三章 直线与方程1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示.即ta n k α=.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在. ②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=③设1122(,),A x y B xy ，（），则线段AB 中点坐标公式为1212(,)22x x y y ++ β aαb2、直线的方程（1）直线方程的几种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1 不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2) 和直线y ＝y 1(y 1≠y 2) 截距式 xa ＋yb ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 注意：○1各式的适用范围; ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）.（2）直线系方程（即具有某一共同性质的直线）①平行直线系：平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=++C y B x A （C 为参数） ②垂直直线系：垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=+-C y A x B （C 为参数） ③过定点的直线系:（ⅰ）斜率为k 的直线系方程为()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；*（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中.3、两直线平行与垂直已知111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，则212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否. 4、两条直线的交点0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 相交，交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解. 方程组无解21//l l ⇔； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合5、距离公式：(1)平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离为|P 1P 2|＝222121()()x x y y -+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||P P x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||P P y y =-； (2)平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离为d ＝|Ax0＋By0＋C|\r(A2＋B2).(3)两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(其中A ，B 不同时为0，且C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C1－C2|\r(A2＋B2).第三章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程（1）标准方程()()222rb y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出a ，b ，r ；若利用一般方程， 需要求出D ，E ，F.另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3、直线与圆的位置关系：位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d<r △>0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0（利用圆被截得弦的性质（垂径定理）：弦长222||d r AB -=（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】；(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定.设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含； 当0=d时，为同心圆.注意：已知两圆相切，两圆心与切点共线，圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点. 5.空间直角坐标系（1）定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O -xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.（2）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)Mxyz（x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）（3）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。
高一数学必修一章节重点知识点1~4单元
高一数学必修一章节重点知识点1~4单元全文共5篇示例，供读者参考高一数学必修一章节重点知识点1~4单元篇1集合的运算运算类型交集并集补集定义域r定义域r值域＞0值域＞0在r上单调递增在r上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；二、对数函数（一）对数1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）说明：○1 注意底数的限制，且；○2 ；○3 注意对数的书写格式.两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数；○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数 .指数式与对数式的互化幂值真数＝n ＝b底数指数对数（二）对数的运算性质如果，且，，，那么：○1 ＋；○2 －；○3 .注意：换底公式：（，且；，且；）.利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2） .（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；②、，③、对数恒等式（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.○2 对数函数对底数的限制：，且 .2、对数函数的性质：a>时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a1，且∈_.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
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高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
高一数学必修1第一章1-3-1-2
第一章
1.3
1.3.1 第2课时
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(5)函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)点的 纵坐标，因而借助函数图象的直观性，可得出函数的最值．
第一章
1.3
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通过以上所学，完成下列练习． (1)函数 y＝2x－1 在[－2,3]上的最小值为________，最大 值为________． 1 (2)函数 y＝ x 在[2,3]上的最小值为________，最大值为 ________；在[－3，－2]上的最小值为________，最大值为 ________．
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自主预习 问题 1：观察下图所示的函数图象，有何特征？
第一章
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第一章
1.3
1.3.1 第2课时
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探究：图(1)函数 y＝－x2－2x 的图象有最高点 A，没有最 低点；图(2)函数 y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高 点，也没有最低点；图(3)函数 y＝x2，x∈(－1,1)的图象无最 1 高点，有最低点；图(4)函数 y＝ x的图象没有最高点，也没有 最低点；图(5)函数 y＝x2－2x，x∈[0,4]的图象有最高点 E，最 低点 D.
命题方向 1 利用图象法求函数最值
利用图象法求函数最值的方法 (1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方 法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出 的函数求最值较常用．
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一、第一章函数
1. 基本概念
2. 函数的表示法
3. 函数的图象
4. 函数的性质
二、第二章曲线
1. 曲线的表示法
2. 曲线的切线
3. 兰联形曲线
4. 椭圆曲线
5. 双曲线
三、第三章相关与回归
1. 相关系数
2. 线性回归与回归直线
四、第四章初等函数
1. 指定法求方程的根
2. 二次函数及加减乘除法
3. 牛顿迭代法求方程的根
五、第五章指数函数
1. 指数函数的基本性质
2. 常用指数函数
3. 对数函数及其应用
六、第六章对数函数及其应用
1. 对数函数的基本性质
2. 对数函数及其应用
七、第七章几何极限
1. 无穷小分析法
2. 无穷量极限
3. 二元函数极限
4. 级数的极限
八、第八章函数的微分
1. 导数的概念
2. 定义型微分
3. 导数的性质及应用
九、第九章函数的积分
1. 定积分及其应用问题
2. 微积分的应用ii
3. 曲线的积分性质。
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因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准 确定义如下：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集 合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)， x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相 对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数 的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则 分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”
{ 例题、不等式组
2x-1>0 3x-6 0
的解集为A，U＝R，试求A及CUA，并把它们
分别表示在数轴上。
A={x|1/2<x<2}，CuA={x|x≤1/2,x≥2}
思考:
1、CUA在U中的补集是什么？
A
2、U＝Z，A=｛x|x=2k,k∈Z}, B={x|x=2k+1,K∈Z},则CUA＝＿B＿＿， CUB＝＿＿A＿＿。
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3} ={x|-1<x<3}
-1 1 2 3
并集的运算性质：
(1) A A A (2) A A (3) A B B A (4) A A B, B A B, A B A B (5) A B则A B B
注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像，减少 犯错的几率，常用的图像有Venn图，数轴表示法，坐标表 示法。尤其是涉及到不等式和坐标点的时候。
6、已知A {x | x 2 3x 2 0},B {x | x 2 ax a 1 0}若A B A,求实数a的值.
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2、描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式
为：{ x | p(x) }
例如：book中的字母的集合表示为：A=｛x|x是 book中的字母｝ 所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k, k∈Z}
注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示 。
如何用数学的语言描述这些对象？？
二、集合的定义与表示
1、通常，我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组 成的总体叫做集合。并用花括号{}括起来，用大写字母带表一个集合，其 中的元素用逗号分割。
2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来 判断是否为一个集合。
讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？ 1、著名的科学家 2、1,2,2,3这四个数字 3、我们班上的高个子男生
例如：1∈N， -5 ∈ Z, Q 1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝ 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。｛1,4｛｝（1,4 ）｝
6、设集合A {x | x2 4x 0},B {x | x2 2(a 1)x a2 - 1 0,a R}, 若B A，求实数a的值.
讨论2：集合{a,b,c,d}与{b,c,d,a}是同一个集合吗？
三、数集的介绍和集合与元素的关系表示
1、常见数集的表示
高一数学必修1 数学 第一章 完整知识点梳理大全(最全)
【1.1.1】集合的含义与表示1、集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2、常用数集及其记法N ——自然数集，N *或N +——正整数集，Z ——整数集，Q ——有理数集，R ——实数集.集合与函数概念3、集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4、集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5、集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅.【1.1.2】集合间的基本关系6、子集、真子集、集合相等7、已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算8、交集、并集、补集)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1、含绝对值的不等式的解法0)〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念1、函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 2、区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a ≥b ，而后者必须a b <．3、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．（暂不讲）⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．（暂不讲）⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 4、求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的． 事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是 函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法5、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．6、映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B→．②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元a Ab B素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值1、函数的单调性①定义及判定方法yxo②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．简称：同增异减。
高一必修一数学第一章知识点总结
一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B二｛1,2,3,4,5｝2.集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素,就说a属于集合A记作aWA,相反，a不属于集合A记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝②数学式子描述法：例：不等式x-3〉2的解集是｛x?R|x-3〉2｝或｛x|x-3>2｝4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：｛x|x2=-5｝1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系（525,且5W5,则5=5）实例：设A二｛x|x2-l=0｝B二｛-1,1｝“元素相同”结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,即：A=B①任何一个集合是它本身的子集°AiA②真子集:如果A^B，且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）③如果AiB,BiC，那么A^C④如果A^B同时B^A那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
高一数学必修1第一章1-3-1-1
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[证明] x1<x2，
设 x1，x2 是定义域(0,1)上的任意两个实数，且
1 1 则 f(x1)－f(x2)＝(x1＋x )－(x2＋x ) 1 2 x2－x1 1 1 ＝(x1－x2)＋(x －x )＝(x1－x2)＋ x x 1 2 1 2 x1－x2x1x2－1 ＝ . x1x2 ∵0<x1<x2<1，
第一章
1.3
1.3.1 第1课时
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4．熟悉常见的一些单调性结论 (1)一次函数 y＝kx＋b k<0 时单调递减． (2)二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)，当 a>0 时，在 (k≠0)，当 k>0 时单调递增，当
b b －∞，－ 上单调递减，在 － ，＋∞ 上单调递增，a<0 2a 2a
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1.3
1.3.1 第1课时
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如果函数 y＝f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，那 么就说函数 y＝f(x)在区间 D 上具有 单调性． 函数 f(x)的单调区间． 区间 D 叫做
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1.3
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[例 3]
已知 y＝f(x)与 y＝g(x)在区间 A 上均为增函数， 判
断下列函数在区间 A 上的增减性． (1)y＝－2f(x) (2)y＝f(x)＋g(x) [分析] 利用函数单调性的定义判断
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1.3.1 第1课时
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高一数学必修1一二章知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即C S A=},|{AxSxx∉∈且恩图A B图1A B图2SA二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合及函数根底学问点整理第1讲 §1.1.1 集合的含义及表示¤学习目的：通过实例，理解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描绘法）描绘不同的详细问题，感受集合语言的意义和作用；驾驭集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤学问要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，根本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描绘法，即用集合所含元素的共同特征来表示，根本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素及集合之间的关系是属于（belong to ）及不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描绘法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的全部实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描绘法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.（2）用描绘法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； －5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+及26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合.解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩.（2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也留意比照（2）及（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时肯定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种状况：⑴方程有等根且不是2±：由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合．⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．综上可知，9{,2,2}4A =--．点评：运用分类探讨思想方法，探讨出根的状况，从而列举法表示. 留意分式方程易造成增根的现象.第2讲 §1.1.2 集合间的根本关系¤学习目的：理解集合之间包含及相等的含义，能识别给定集合的子集；在详细情境中，理解全集及空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤学问要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，假如集合A 中的随意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 假如集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 及集合B 的元素是一样的，因此集合A 及集合B 相等，记作A B =.3. 假如集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；（2）=， ∈， ，.A BBA AB A B A ． B ．C ．D ．【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 及B关系的是（ ）.解：简洁列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ． 【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，务实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满意1123a a ==-或，解得1123a a ==-或.故所务实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要遗忘“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆.从而须要分状况探讨. 题中探讨的主线是根据待定的元素进展.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，务实数x 的值. 解：若⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均一样，故舍去. 若⇒2ax 2-ax -a =0.因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-.经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分状况进展探讨. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的根本运算（一）¤学习目的：理解两个集合的并集及交集的含义，会求两个简洁集合的并集及交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能运用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤学问要点：集合的根本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并驾驭符号等，再念属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 及B 的并集（union set ）集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 及B 的交集（intersection set ）不属于集合A 的全部元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）记号 A B （读作“A 并B ”） A B （读作“A 交B ”）UA （读作“A 的补集”）符号 {|,}AB x x A x B =∈∈或{|,}AB x x A x B =∈∈且{|,}UA x x U x A =∈∉且图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C A B x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C . 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------. （1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =， 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------.∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，务实数m 的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 及集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：探讨不等式所表示的集合问题，经常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特殊要留意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比拟它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A B =. 由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B = 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =， ()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =，UA-2 4 m x B A A BB A()()()U U U C A C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以干脆视察出来结果.点评：可用Venn 图探讨()()()U U U C A C B C A B =及()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的根底记住此结论，有助于今后快速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的根本运算（二）¤学习目的：驾驭集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简洁的问题；驾驭集合运算中的一些数学思想方法.¤学问要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和驾驭各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发觉一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在探讨集合问题时，经常用到分类探讨思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考察创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，务实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意. 所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，须要对参数a 进展分状况探讨. 罗列参数a 的各种状况时，需根据集合的性质和影响运算结果的可能而进展分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，务实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经探讨，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考察分类探讨的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深入理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特殊简洁出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这须要在解题过程中要全方位、多角度谛视问题.【例4】对集合A 及B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则 {1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习实力的开展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的本质性内涵，这里新定义的含义是从A 中解除B 的元素. 假如再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目的：通过丰富实例，进一步体会函数是描绘变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此根底上学惯用集合及对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；理解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域.¤学问要点：1. 设A 、B 是非空的数集，假如按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的随意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），及x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间. 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则 {|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 确定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别一样时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）；（2）. 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2）由，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域及值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++.解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x-=+.点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有干脆给出，称为抽象函数的探讨，经常须要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数.（1）求1()()f x f x+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x++=+=+==+++++. （2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发觉，能使我们施行巧算. 正确探究出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目的：在实际情境中，会根据不同的须要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过详细实例，理解简洁的分段函数，并能简洁应用；理解映射的概念.¤学问要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反响改变趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法及意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的随意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 及之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中随意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )= ，求f [f (0)]的值. 解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32. 又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++. 解：（1）由肯定值的概念，有.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有肯定值的函数式，可以采纳分零点探讨去肯定值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段状况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右： 点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目的：通过已学过的函数特殊是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，驾驭增（减）函数的证明和判别.¤学问要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，假如对于定义域I 内的某个区间D 内的随意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 假如函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观视察函数图象上升及下降的改变趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 推断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →推断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义推断函数2()1x f x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1x f x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设随意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++. 若0a <，当122b x x a<≤-时，有120x x -<，12b x x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a-∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减. 【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有肯定值，可以采纳分零点探讨去肯定值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象探讨单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移学问，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目的：通过已学过的函数特殊是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤学问要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，假如存在实数M 满意：对于随意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：探讨二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成后，当0a >时，函数取最小值为；当0a <时，函数取最大值.3. 单调法：一些函数的单调性，比拟简洁视察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后视察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为，由2133()244x ++≥，得.所以函数的最大值为8.【例2】某商人假如将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 如今他采纳进步售出价，削减进货量的方法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要削减10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则进步了(10)x -元，削减了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =. 所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法探讨，也可以用换元法探讨.【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-. （2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间及对称轴的关系，结合图象进展分析. 含肯定值的函数，常分零点探讨去肯定值，转化为分段函数进展探讨. 分段函数的图象留意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目的：结合详细函数，理解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能娴熟判别函数的奇偶性.¤学问要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的随意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 假如对于函数定义域内的随意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比拟法、计算和差、比商法等判别()f x -及()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则，即.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-. 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2).∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且及右侧形态一样，∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.点评：此题中的函数本质就是224||y x x =-+. 留意两抛物线形态一样，则二次项系数a 的肯定值一样. 此类问题，我们也可以干脆由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满意不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，务实数a 的取值范围.解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减.又 ∵ ()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减.∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-，∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象肯定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一样，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合及函数根底测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减．2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ）A. aB. {a ，c }C. {a ，e }D.{a ，b ，c ，d }4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ）M N A M N B N M C M N D5．下列表述正确的是 （ ）A.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参与自由泳的运发动}，B ＝{x|x 参与蛙泳的运发动}，对于“既参加自由泳又参与蛙泳的运发动”用集合运算表示为 ( )A.A∩BB.A ⊇BC.A∪BD.A ⊆B7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ）A.（a+b ）∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ）A ．a ≥5B ．a ≥3C ．a ≤3D ．a ≤－59.满意条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ）A. 8B. 7C. 6D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）A. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U11.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y12. 假如集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，务实数a 的取值集合．18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．19. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.必修1 第一章 集合测试集合测试参考答案：一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB二、13 ［0，43］，（－∞，－43）14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；}10|{)(<<=⋂x x N C M U ；13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x . 三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）．所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19. ．解析：本题主要是培育学生理解概念的实力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-.．。
高一数学1至3章知识点
高一数学1至3章知识点引言：数学作为一门学科，对我们的生活有着重要的影响。
高一数学是一门重要的学科，涵盖了很多基础知识点，这些知识点对于我们后续学习和实际应用都非常重要。
本文将重点介绍高一数学1至3章的知识点。
第一章：集合集合是数学中的重要概念，是由一些确定的对象组成的整体。
在高一数学中，我们学习了集合的表示方法、集合的运算以及集合的关系。
首先，我们需要了解集合的表示方法。
集合可以用描述法或列举法来表示。
在描述法中，我们使用条件语句来描述集合中的元素的特征。
例如，{x | x > 1}表示大于1的整数集合。
在列举法中，我们直接列出集合中的元素。
例如，{1, 2, 3}表示由整数1、2、3组成的集合。
其次，我们学习了集合的运算。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个集合中的所有元素的集合，交集表示同时属于两个集合的元素的集合，差集表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素的集合，补集表示在某个特定集合中的所有元素之外的元素的集合。
通过学习集合的运算，我们可以更好地理解集合之间的关系。
最后，我们研究了集合的关系。
常见的集合关系有等价关系和包含关系。
等价关系是指集合中的元素在某种特定情况下具有相同的性质。
例如，如果A、B、C都是集合S的子集，那么我们可以说A、B、C之间存在等价关系。
包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
例如，如果集合A包含集合B的所有元素，那么我们可以说A包含B。
第二章：函数函数是数学中另一个重要的概念，描述了不同元素之间的关系。
在高一数学中，我们学习了函数的定义、函数的性质以及函数的图像。
首先，我们需要了解函数的定义。
函数是一种特殊的关系，它使得一个集合中的每个元素都和另一个集合中的唯一一个元素相关联。
函数通常用符号f来表示，其中x是自变量，y是函数的值。
我们可以使用函数关系图来可视化函数的定义和性质。
其次，我们学习了函数的性质。
函数有各种性质，例如定义域、值域、单调性、奇偶性等。
人教A版数学必修一1-1-3-287张.pptx
[名师点拨] (1)A∩B＝Ø，对于集合 A 而言，分 A＝Ø 与 A≠Ø 两种情况．A＝Ø 表示方程无实根．
(2)B＝{x|x<0}，而 A∩B＝Ø，故 A {x|x≥0}，即已知方 程的根为非负实根．
(3)Δ≥0 保证了 A≠Ø，即原方程有实根；x1＋x2≥0 与 x1x2≥0 保证了原方程两根非负．如果两根都大于 1，则等价 形式为
(4)整数按除以 3 的余数可分成三类：被 3 整除的数 x＝3k， k∈Z；被 3 除余 1 的数 x＝3k＋1，k∈Z；被 3 除余 2 的数 x ＝3k－1，k∈Z.
[解析] (1)∁UA＝{1,3,6}； (2)∁UA＝{x|x 是梯形}； (3)如上图所示，∁UA＝{x|x＜－1，或 x≥2}； (4)∁UA＝{x|x＝3k±1，k∈Z}．
[例 4] 已知集合 A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，
若 A∩B≠Ø，求实数 m 的取值范围．
[分析]
求满足A∩B＝Ø 的m的取值范围
―→
对上述m的取值范 围在R中取补集
―→
结论
[解析] 先求 A∩B＝Ø 时 m 的取值范围． (1)当 A＝Ø 时， 方程 x2－4x＋2m＋6＝0 无实根， 所以 Δ＝(－4)2－4(2m＋6)<0， 解得 m>－1.
自主预习 1．全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 所有元素，那么就称这个集合为 全集 ，用字母 U 表示．
2．补集 如果 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中所有不属于 A 的元 素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补．集．，记作∁UA.用描述法表
示为 {x|x∈U 且 x∉A} ，用 Venn 图表示为
人教A版数学必修一第1部分第一章1.31.3.2奇偶性.pptx
5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足 f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝( ) A．x2B．2x2 C．2x2＋2D．x2＋1
解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，① ∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1. 又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)； g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)， ∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.② 联立①②可得f(x)＝x2＋1. 答案：D
1．函数的单调性与奇偶性的关系 (1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的 区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关 于原点对称的区间上单调性相反． (2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相 反数；偶函数在对称区间上的最值相等．
2．分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个 区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出在定义域 内总有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，从而判定其奇偶性， 而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外也可以 用图象法来判断．
1．奇偶函数的定义 (1)偶函数的定义： 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有，f那(－么x)函＝数f(xf()x)就叫做偶函数. (2)奇函数的定义： 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 ，f那(－么x)函＝数－ff((xx))就叫做奇函数．
2．奇偶函数图象特点 (1)奇函数的图象关于对原称点； (2)偶函数的图象关于对y称轴．
[例3] 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时， f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
[思路点拨] 先将x<0时的解析式转化到（0，+∞）上 求解．同时要注意f(x)是定义域为R的奇函数．
2022年天津高中数学必修一目录
2022年天津高中数学必修一目录第一章有理数1、1正数和负数1、2数轴1、3绝对值与相反数1、4有理数的大小1、5有理数的加法﹑1、6有理数的减法﹑1、7有理数的加减混合运算1、8有理数的乘法1、9有理数的除法1、10有理数的乘方1、11有理数的混合运算1、12计算器的使用章节综合与测试第二章几何图形的初步认识2、1从生活中认识几何图形2、2点和线2、3线段长短的比较2、4线段的和与差2、5角以及角的度量2、6角的大小2、7角的和与差2、8平面图形的旋转章节综合与测试第三章代数式3、1用字母表示数3、2代数式3、3代数式的值章节综合与测试第四章整式的加减4、1整式4、2合并同类项4、3去括号4、4整式的加减章节综合与测试第五章一元一次方程5、1—元一次方程5、2等式的基本性质5、3解一元一次方程5、4一元一次方程的应用章节综合与测试第六章二元一次方程组6、1二元一次方程组6、2二元一次方程组的解法6、3二元一次方程组的应用6、4简单的三元一次方程组章节综合与测试第七章相交线与平行线7、1命题7、2相交线7、3平行线7、4平行线的判定7、5平行线的性质7、6图形的平移章节综合与测试第八章整式乖去8、1同底数幂的乘法8、2幂的乘方与积的乘方8、3同底数幂的除法8、4整式的乘法惇8、5乘法公式8、6科学记数法章节综合与测试第九章三角形9、1三角形的边9、2三角形的内角9、3三角形的角平分线、中线和高章节综合与测试第十章一元一次不等式和一元一次不等式组10、1不等式10、2不等式的基本性质10、3解一元一次不等式10、4一元一次不等式的应用10、5一元一次不等式组章节综合与测试。
高一数学1-3单元知识点总结
高一数学1-3单元知识点总结高一数学1-3单元知识点总结上学期间，是不是经常追着老师要知识点？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
为了帮助大家更高效的学习，以下是小编收集整理的高一数学1-3单元知识点总结，希望能够帮助到大家。
高一数学1-3单元知识点总结1集合一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1)列举法：{a,b,c……}2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R|x-3>2},{x|x-3>2}3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4.集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：AB有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A/B或B/A2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
AA②真子集:如果AB,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
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元素应互不相同．
第一章
1.1
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[解析]
∵A＝B，且
x＝0 1≠0，∴ 2 x ＝1
无解，故不存在 x
的值使 A＝B.
第一章
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2．集合的表示方法有列举法、描述法、图示法，用列举 法表示集合，应将元素一一列出，或将其规律体现出来；描 述法是表示集合的重要方法，要对其中的元素有什么共同属 性，代表元素是什么清清楚楚；图示法常用于表达集合之间 的关系和抽象集合．
第一章
1.1
1.1.3
第3课时
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[分析]
可以把 U，A∪B，A∩B，∁UA，∁UB 的元素分别
求出来，再进一步求出所要求的集合，也可以直接利用 Venn 图来直观地求解．
第一章
1.1
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[解析]
∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
第一章 1.1 1.1.3 第3课时
第一章
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[解析]
1 1 (1)① ＋2 2显然 a＝ ，b＝2 都属于 Q，所以是 3 3
集合 M 的元素； ②a＝－1，b＝1，是集合 M 的元素； 2 1 1 ③ 3 ＝0＋3· 2，a＝0，b＝3是集合 M 的元素； ④－1＝－1＋0× 2，a＝－1，b＝0 是集合 M 中的元素；
第一章
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5．集合运算中的一些结论： (1)若 A∩B＝A 则 A⊆B； (2)若 A∪B＝B，则 A⊆B； (3)若 A∩B＝A∪B，则 A＝B； (4)若 A⊆B，则∁UA⊇∁UB； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)； (6)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． 6．借助 Venn 图或数轴解题．
6．解答信息迁移题时，先要准确理解所给条件提供的信 息，进行必要的提炼加工，转化为所学知识，利用已掌握方 法，加以解答．
第一章
1.1
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[例 6]
对于集合 A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈
B}记作 A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有 A×B＝{(1,3)， (1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)， (4,4)}．据此，试回答下列问题： (1)已知 C＝{a}，D＝{1,2,3}，求 C×D； (2)已知 A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合 A、B； (3)若 A 有 3 个元素， 有 4 个元素， B 试确定 A×B 有几个 元素．
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[点评]
从本例解法中可以很清楚地看出 Venn 图在解集
合题中的价值．在此题中，我们也可以发现∁UB＝∁UB∩(A∪ ∁UA)＝(∁UB∩A)∪(∁UB∩∁UA)．
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[解析]
利用数轴工具，画出集合 U、A、B 的示意图，
如下图所示．
可以得到，A∩B＝{x∈R|3≤x＜5}． A∪B＝{x∈R|2≤x＜7}， ∁UA＝{x∈R|1＜x＜2 或 5≤x≤7}，∁UB＝{x∈R|1＜x＜3 或 x＝7}．
后迅速解决这一类集合问题．
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5．利用文氏图巧解集合题 [例 5] 全集 U＝{x|x<10， x∈N＋}， A⊆U， B⊆U， UB)∩A (∁
＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合 A、B. [分析] 可将集合用 Venn 图表示出来进行观察，也可直
[答案] ①②③
第一章
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4．熟练掌握集合的交、并、补运算，这是高考考查的重 点． [例 4] 已知集合 U＝{x∈R|1＜x≤7}，
A＝{x∈R|2≤x<5}，B＝{x∈R|3≤x＜7}，求 (1)(∁UA)∩(∁UB)； (2)∁U(A∪B)； (3)(∁UA)∪(∁UB)； (4)∁U(A∩B)． (5)观察上述结果你能得出什么结论．
第一章
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总结评述： 上述发现是偶然的呢？还是具有普遍的意义 呢？如图．
第一章
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第一章
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∴∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) 对于∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)可由读者仿照上面来证明． 同学们不妨再验证一个上述结论． 已 知 集 合 U ＝ {x|x<10 ， x ∈ N*} ， A ＝ {2,4,5,8} ， B ＝ {1,3,5,8}， U(A∪B)， U(A∩B)， UA)∩(∁UB)， UA)∪(∁UB)． 求∁ ∁ (∁ (∁
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作出 Venn 图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结 果．
第一章
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[点评]
可用 Venn 图研究(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)与(∁
UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，在理解的基础记住此结论，有助于今
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1.1.3
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[例 2]
已知集合 M＝{x|x＝a＋b 2，a，b∈Q}．
(1)判断下列元素与集合间的关系． 1 2 ① ＋2 2；② 2－1；③ ；④－1； 3 3 1 ⑤(2＋ 2)(3－ 2)；⑥ . 3＋ 2 (2)若 x1∈M，x2∈M，求证：x1＋x2∈M，x1·2∈M. x [分析] 即 a，b∈Q. 本题关键点是求解描述法中，代表元素的性质，
第一章
1.1
1.1.3
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⑤(2＋ 2)(3－ 2)＝4＋ 2，a＝4，b＝1 是集合 M 中的 元素； 3－ 2 1 3 1 3 1 ⑥ ＝ ＝7－7· 2，a＝7，b＝－7是集 3＋ 2 3＋ 23－ 2 合 M 中的元素．
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第一章 1.1 1.1.3 第3课时
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[探究]
x1 在上题(2)中，x1－x2， (x≠0)是否属于 M，同理 x2
可证明均属于 M(证明可由学生自己完成)．
第一章
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3．元素与集合的关系和集合与集合的关系要加以区分， 要正确运用“∈”，“∉”，“⊆”，“ ”等数学符号．准 确理解集合之间的关系．
第3课时
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(2)设 x1＝a1＋b1 2，x2＝a2＋b2 2，其中 a1，a2，b1，b2 ∈Q， x1＋x2＝a1＋b1 2＋a2＋b2 2 ＝(a1＋a2)＋(b1＋b2) 2， 又 a1＋a2，b1＋b2∈Q， ∴x1＋x2∈M x1x2 ＝ (a1 ＋ b1 2 )(a2 ＋ b2 2 ) ＝ (a1a2 ＋ 2b1b2) ＋ (a1b2 ＋ a2b1) 2，又 a1a2＋2b1b2，a1b2＋a2b1 都属于 Q， ∴x1x2∈M.
第一章
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[例 3]
下列关系式中错误的有________(填序号)．
①{1}∈{1,2,3}； ②{x|x＝2n，n∈Z}⊆{x|x＝4n，n∈Z}； ③0∉N； ④1∈{x|x＝3k－2，k∈Z}．
第一章
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1.1.3
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接分析每个元素所具有的性质．
第一章
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[解析]
作出 Venn 图如图所示．
∵(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}， ∴∁UB＝{1,4,6,7,9}，∴B＝{2,3,5,8}． ∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}．
[分析]
首先分清是集合与集合之间的关系， 还是元素与
集合之间的关系，再弄清集合中元素的属性，然后作出判断．
第一章
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[解析]
①集合与集合之间不能用“∈”表达；
②{x|x＝2n，n∈Z}是偶数集，{x|x＝4n，n∈Z}是 4 的倍 数的集合，后者应是前者的真子集，故②错； ③自然数集中包括 0，③错； ④当 k＝1 时，x＝1，故④正确．填①②③.