安徽省太和第一中学2020-2021学年高二数学10月月考试题理奥赛班[含答案]
2020-2021学年安徽省阜阳市太和第一中学高二(奥赛班)上开学考试数学(解析版)
2020-2021学年安徽省阜阳市太和第一中学高二（奥赛班）上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为（ ）A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C【解析】根据面面平行的性质和判定，结合线面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两直线平行，故④正确； 综上所述，正确的是①④. 故选：C . 【点睛】本题考查面面平行的判定和性质，涉及线面垂直的性质，属综合基础题.2．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中1O B O C ''''==，则此正三棱锥的体积为（ ）A 3B ．33C ．34D 33【答案】A【解析】根据''B C 的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积. 【详解】由于1O B O C ''''==，所以''2B C =，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为2，其面积为224⨯=133=故选：A 【点睛】本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.3．在三棱锥A BCD -的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF HG P ⋂=，则点P （ ） A ．一定在直线BD 上 B ．一定在直线AC 上C ．在直线AC 或BD 上 D ．不在直线AC 上，也不在直线BD 上【答案】B【解析】由题意得出，P ∈平面ADC ，P ∈平面ABC ，从而可得出选项. 【详解】由题意知GH ⊆平面ADC .因为,GH EF 交于一点P ，所以P ∈平面ADC .又因为EF ⊆平面ABC ，所以P ∈平面ABC .又因为平面ABC平面ADC AC =，所以点P 一定在直线AC 上.又B ∈平面ABC ，D ∈平面ACD ,但BD 不同时在 平面ABC 和平面ACD 中，所以P BD ∉.故选：B. 【点睛】本题主要考查了空间中点共线以及两个面的交线的问题，属于基础题.4．四面体ABCD 中，3AB CD ==，其余棱长均为4，E ，F 分别为AB ，CD 上的点（不含端点），则（ ） A ．不存在E ，使得EF CD ⊥ B ．存在E ，使得DE CD ⊥C ．存在E ，使得DE ⊥平面ABCD ．存在E ，F ，使得平面CDE ⊥平面ABF 【答案】D【解析】对于A 选项，取E ，F 分别在AB ，CD 的中点'',E F 时，由全等三角形和等腰三角形的性质可判断；对于D 选项，由A 选项的解析得EF CD ⊥，AF CD ⊥，根据线面垂直和面面垂直的判定理可判断；对于B 选项，作CH ⊥面ABD 于H ，根据线面角的定义和最小角定理可得出CDE ∠的最小值和最大值可判断；对于C 选项，作DG ⊥面ABC 于G ，由点G 的位置和过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，可判断. 【详解】作出示意图如下图所示：'',E F 分别是AB ，CD 的中点，CH ⊥面 ABD 于H ，DG ⊥面ABC 于G ，对于A 选项，取E ，F 分别在AB ，CD 的中点'',E F 时，因为3AB CD ==，其余棱长均为4，所以ABC ABD ≅，所以''CE DE =，所以''E F CD ⊥，即 EF CD ⊥，故A 错误；对于D 选项，取E ，F 分别在AB ，CD 的中点'',E F 时，由A 选项的解析得''E F CD ⊥，'AF CD ⊥，''''E F AF F =，所以CD ⊥面'ABF ，又CD ⊂面 'E CD ，所以平面'CDE ⊥平面'ABF ，即平面CDE ⊥平面ABF ，故D 正确；对于B 选项，作CH ⊥面ABD 于H ，因为ABD △中， 4AD BD ==，所以H 定在AB 的中线'DE 上，所以'CDE ∠就是CD 与面ABD 所成的角，当E 在AB 上移动时，CDE ∠的最小值为直线CD 与平面ABD 所成的角，即 'CDE ∠，而'CDE ∠是锐角，CDE ∠的最大值为2CDB CDA π∠=∠<，故当E 在AB 上移动时，不存在E ，使得DE ⊥CD .故B 错误.对于C 选项，作DG ⊥面ABC 于G ，因为ABC 中， 4AC BC ==， 所以G 定在AB 的中线'CE 上，且不重合于点'E ，即点 G 不落在AB 上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E ，使得DE ⊥平面ABC ，故C 选项不正确， 故选：D.【点睛】本题考查空间的线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面角的应用等综合动点问题，属于较难题.5．如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值；②三棱锥1D BPC -的体积为定值；③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值；④二面角1P BC D --的大小为定值．其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】对于①，异面直线1A P 与1BC 间的距离即为两平行平面11ADD A 和平面11BCC B 间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于11D BPC P DBC V V --=，而1DBC S ∆为定值，又P ∈AD 1，AD 1∥平面BDC 1，所以点P 到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥1D BPC -的体积为定值．故②正确．对于③，由题意得在正方体1111ABCD A B C D -中，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，而C 1P ⊂平面ABC 1D 1，所以B 1C ⊥C 1P ，故这两条异面直线所成的角为90︒．故③正确； 对于④，因为二面角P −BC 1−D 的大小，即为平面ABC 1D 1与平面BDC 1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角1P BC D --的大小为定值．故④正确． 综上①②③④正确．选D ．6．二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB AC a ==，2BD a =，则CD 的长为（ ）A ．3aB ．2aC 5aD ．2a【答案】D【解析】由已知条件和空间向量加法可得CD CA AB BD =++，再根据向量模和数量积的关系可得 ()2CD CA AB BD =++，由此能求出CD 的长．【详解】因为二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，所以,60AC BD >=<，0AC BA ⋅=，0AB BD ⋅= 又CD CA AB BD =++ 所以()2222+2+2+2 CD CA AB BDCA AB BD CA AB AB BD CA BD =++=++⋅⋅⋅222+2 CA AB BD CA BD =++⋅()2222= 22cos1202a a a a a a +++⋅⋅=.所以CD 的长为2a . 故选：D. 【点睛】本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]【答案】C【解析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD平面11BDD B BD =，GE平面ABCD //GE BD ∴E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+=，max 156EF =+= 则线段EF 长度的取值范围为：2,6⎡⎤⎣⎦本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.8．冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ）A ．3222π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．322π⎛⎫ ⎪⎝⎭C 3πD 3π【答案】D【解析】根据三视图可将该几何体放入正方体中，为四面体ABCD ，根据体积相等可得球的半径. 【详解】由三视图可得四面体ABCD ， 设球半径为R ，则331141222323V R R ππ=⨯⨯⨯⨯=⇒=故选：D .【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体的体积公式，属于常考题型.9．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于()A ．43πB ．323πC ．12πD ．643π【答案】B【解析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积． 【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB =设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===，112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =++=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16AC BC CC ===.AC BC ⊥，E ､F 分別为1BB ，11AC 中点，过点A ､E ､F 作三棱柱的截面交11B C 于M ，则EM （ ）A ．9B ．5C ．13D ．35【答案】C【解析】首先延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，取1CC 的中点Q ，连接EQ ，得到四边形AEMF 所求截面，再利用平行的相似比得到M 为11B C 上靠近1B 的三等分点，计算EM 即可. 【详解】如图，延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，取1CC 的中点Q ，连接EQ ，则四边形AEMF 所求截面. 因为111=,//2FC AC FC AC ，且F 为11A C 的中点， 所以1C 为PC 的中点.又因为Q ，E 分别为1CC ，1BB 的中点，所以1//MC EQ . 则1123MC PC EQ PQ ==，即11122433MC EQ B C ===. 所以M 为11B C 上靠近1B 的三等分点. 故222313EM =+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了三棱柱的结构特征，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 11．在长方体11 1 1 A B C D A B C D -中，24,2AB AD AA ===，过点1A 作平面α与 , A B A D 分别交于,M N 两点，若1AA 与平面α所成的角为45︒，则截面1A MN 面积的最小值是（ ） A ．23 B ．42C ．46D ．82【答案】B【解析】过点A 作AE MN ⊥，连接1A E ，首先证明平面1A AE ⊥平面1A MN ，即可得1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，进而可得12,22AE A E ==，24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得24MN ME EN ME EN =+≥⋅=，从而可求出截面1A MN 面积的最小值. 【详解】如图，过点A 作AE MN ⊥，连接1A E∵1A A ⊥平面ABCD ， ∴1A A MN ⊥， ∴MN ⊥平面1A AE ，∴1A E MN ⊥，所以平面1A AE ⊥平面1A MN ， ∴1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，∴145AA E ︒∠=，在1Rt A AE △中，∵12AA =，∴12,AE A E == 在Rt MAN △中，由射影定理得24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得4MN ME EN =+≥=， 当且仅当ME EN =，即E 为MN 中点时等号成立，∴截面1A MN 面积的最小值为142⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查的是立体几何中面面垂直的证法、线面角及基本不等式，是一道较综合的题. 12．设1l ，2l 是平面α内所成角为6π的两条直线，过1l ，2l 分别作平面β，γ，且锐二面角1l αβ--的大小为4π，锐二面角2l αγ--的大小为3π，则平面β，γ所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是（ ）A ．6B C ．14D ．13【答案】B【解析】根据题意作出图形，由题过点P 向平面α作垂线,找到锐二面角1l αβ--，2l αγ--，设1CO =，利用边角关系计算各个边长，计算点C 到PA 的距离以及点C到平面β的距离，从而可得到所求的二面角. 【详解】如图，平面α为平面ABC,直线1l 为直线AB,直线2l 为直线AC,由题意得6BAC π∠=，过1l 作平面β为平面ABP, 过2l 作平面γ为平面ACP,过点P 向平面α作垂线,垂足为O, 再由点O 作,,OB AB OC AC ⊥⊥连接PB,PC,锐二面角1l αβ--的大小为4π，即4PBO π∠=，同理可知3PCO π∠=，设1CO =，则3PO BO ==，2PC =，6PB =,在三角形DAC △中，3BDO π∠=,1DB =，2DO =，所以AC 33=，6AD =，5AB =31PA =，过点C 作,CM AP ⊥所以高线6331CM =， ,AB OB AB PO ⊥⊥,可得AB POB ⊥面,AB PAB ⊂面,PAB POB ⊥面面,PABPOB PB =面面,过点O作OH PB ⊥,则OH PAB ⊥面, 可得O 到面PAB 的距离16OH d ==，故可知C 到面PAB 的距离为213362d d ==，记平面β，γ所成的角为θ，则236624sin 6331d CM θ===，所以2cos 8θ=. 故选：B.【点睛】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力以及空间想象能力，是中档题二、填空题13．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,3,60AB CD AB AD CD AB ABC ⊥==∠=°，将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是_________________．【答案】23π【解析】此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算．【详解】将此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，其中圆台的上底半径为r＝CD＝2，下底半径为R＝AB＝3，母线BC＝2，∴圆台的上底面积为πr2＝4π，下底面积为πR2＝9π，圆台的侧面积为（πr+πR）•BC＝π（2+3）×2＝10π，∴圆台的表面积为4π+9π+10π＝23π，故答案为23π．【点睛】本题考查圆台表面积的计算，利用旋转体的定义确定该几何体是圆台是解决本题的关键．14．如图，已知,E F分别是正方形ABCD的边,AB CD的中点，现将正方形沿EF折成60︒的二面角，则异面直线AE与BF所成角的余弦值是_______．【答案】5 10【解析】设正方形ABCD的边长为2，则我们可以求出△BDF中，DF，BF，BD的长，由于∠DFB即为异面直线FB与AE所成角，利用余弦定理，解三角形DFB即可得到答案．【详解】如图所示：连接BD ，∵AE ∥DF∴∠DFB 即为异面直线FB 与AE 所成角.由题意可知，∠DFC 60=︒，所以三角形DFC 为等边三角形，所以DC=DF=FC. 设正方形ABCD 的边长为2，则在△BDF 中，DF=1，BF=5，BD 225DC BC =+=∴cos ∠DFB=5故答案为5 【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，求出异面直线FB 与AE 所成角的平面角是解答本题的关键．15．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知4AB =，23AE BE ==，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM MN NB ++的最小值为______．【答案】6【解析】将平面ADE 、平面DCE 、平面BCE 展开至一个平面上，利用两点之间线段最短可求AM MN NB ++的最小值. 【详解】因为23AE BE ==，4AB =，故1cos 322323AEB ∠==⨯⨯，因为AEB ∠为三角形内角，故12sin 193AEB ∠=-=， 设E 到AB 的距离为d ，则112242323223d ⨯⨯=⨯，故22d =因为该几何体的侧视图的面积为22，故122222AD ⨯⨯=，所以2AD =. 四边形ABCD 是矩形，故AD AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABE AB =，故AD ⊥平面ABE ，而AE ⊂平面ABE ，故AD AE ⊥. 所以4124DE =+=，30DEA ∠=︒，同理4CE =，30CEB ∠=︒.将平面ADE 、平面DCE 、平面BCE 展开至一个平面上，如图所示：AM MN NB AB ++≥，当且仅当,,,A M N B 共线时等号成立，又因为4DC DE EC ===，所以60DEC ∠=︒， 所以=120AEB ∠︒，而23AE BE ==，故112122232362AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故AM MN NB ++的最小值为6， 故答案为：6. 【点睛】本题考查空间几何表面路径最短，此类问题，一般通过侧面展开后转化为平面上距离和的最小值来讨论，本题属于中档题.16．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：①四面体E BCD -的体积有最大值和最小值； ②存在某个位置，使得AE BD ⊥；③设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠. 正确命题的序号是______. 【答案】①②③【解析】由题易得点E 的轨迹是以线段AB 的中点为圆心，||2AB 为半径的圆，设点 E '；所以AE '，BE '为圆锥的母线，对于①，133E BCD E BCD BCD E BCD V h S --∆-=⋅=，直线 AB 与平面BCD 所成的角为ABF ∠，可得出4ABF π∠>，进而可得出四面体 E BCD -的体积有最大值和最小值；对于②，可得出直线AE '与BD 所成角范围为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以存在夹角为 2π的情况，即可得出结论；对于③，取AB 中点为O ，分别连接DO ，DE '，易得 ⊥DO AB ，OE AB '⊥，可得DOE '∠为二面角 D AB E --的平面角为θ，然后比较三角形DOE '与三角形DAE '的边长关系可得出 DOE DAE ''∠≥∠，即可得出结论.【详解】因为等腰直角三角形ABE 绕斜边AB 旋转，所以点E 的轨迹是以线段AB 的中点为圆心，||2AB 为半径的圆，设点E '；所以AE '，BE '为圆锥的母线， ①133E BCD E BCD BCD E BCD V h S --∆-=⋅=，直线AB 与平面BCD 所成的角为ABF ∠，32cos 32ABF ∠=<， 4ABF π∠>， 所以以AB 为旋转轴，所以当E '在ABF 平面内时，E BCD h -达到最大值和最小值，E BCD V -有最大值和最小值，故①成立；②因为直线BD 与旋转轴AB 所成的夹角为3π，母线AE '与旋转轴 AB 所成夹角为4π，所以直线AE '与BD 所成角范围为 ,3434ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，即7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为 7122ππ>，所以存在夹角为2π的情况，又因为线线角的取值范围不为钝角，所以直线AE '与BD 所成角为 ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 即可得出AE BD ⊥，故②成立；③取AB 中点为O ，分别连接DO ，DE '，易得 ⊥DO AB ，OE AB '⊥，所以DOE '∠为二面角 D AB E --的平面角为θ，比较三角形DOE '与三角形DAE '，DE DE ''=，222DA DO OA =+，222AE AO OE ''=+，所以cos cos DOE DAE ''∠≤∠，所以DOE DAE ''∠≥∠，得 DAE θ≥∠，故③成立.综上，①②③均成立. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活应用，属于常考题.三、解答题17．三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=︒，12AB BC BB ===，M ，N 分别是AB ，1A C 的中点．（1）求证：//MN 平面11BCC B ． （2）求证：MN ⊥平面11A B C ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接1BC ，1AC ，通过M ，N 是AB ，1A C 的中点，利用1//MN BC ．证明//MN 平面11BCC B ．（2）说明四边形11BCC B 是正方形，连接1A M ，CM ，通过1AMA AMC ≅．说明1MN AC ⊥然后证明MN ⊥平面11A B C ． 【详解】（1）证明：连接1BC ，1AC ，在1ABC 中，M ，N 是AB ，1A C 的中点1//MN BC ∴． 又MN ⊄平面11BCC B ，1BC ⊄平面11BCC B ，//MN ∴平面11BCC B ．（2）解：三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，∴四边形11BCC B 是正方形．11BC B C ∴⊥．1MN B C ∴⊥．连接1A M ，CM ，1AMA BMC ∆≅∆．1A M CM ∴=，又N 是1A C 的中点，1MN AC ∴⊥． 1B C 与1A C 相交于点C ，MN ∴⊥平面11A B C ．【点睛】本题考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．18．如下图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A-BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．（1）求证：//AB 平面EFGH ；（2）若4AB =，6CD =，求四边形EFGH 周长的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）()8,12．【解析】（1）首先证得//EF 平面ABD ，然后根据线面平行的性质定理得到//EF AB ，由此证得//AB 平面EFCH .（2）设EF x =，EH y =，通过比例求得146x y+=，由此化简四边形EFCH 周长的表达式，进而求得四边形EFCH 周长的取值范围. 【详解】（1）∵四边形EFGH 为平行四边形，//EF GH ． ∵GH ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴//EF 平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =， ∴//EF AB ．∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFCH ， ∴//AB 平面EFCH ．（2）同（1）可证//EH CD ，设EF x =，EH y =， ∵//EF AB ，//EH CD ， ∴EF CE AB CA =，EH AECD AC=， ∴1EF EH CE AE ACAB CD CA AC AC+=+==， 又4AB =，6CD =， ∴146x y+=，∴6(1)4x y =-，且04x <<，∴四边形EFCH 的周长为2()26(1)124x l x y x x ⎡⎤=+=+-=-⎢⎥⎣⎦∴81212x <-<．故四边形EFGH 周长的取值范围是()8,12． 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查四边形周长的取值范围的求法，属于中档题. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==，13BAA π∠=，D 为1AA 的中点，点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上.（1）求证：1B D BC ⊥；（2）若CBD 是正三角形，求三棱柱111ABC A B C -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【解析】（1）设点C 在平面11ABB A 内的射影为E ，通过证明1CE B D ⊥和1BD B D ⊥可证1B D ⊥平面CBD ，即证1B D BC ⊥；（2）通过1111133ABC A B C A ABC C A AB V V V ---==可求出三棱锥1C A AB -的体积即可. 【详解】（1）证明：设点C 在平面11ABB A 内的射影为E ，则E BD ∈，CE ⊂平面CBD ，且CE ⊥平面11ABB A ，因1B D ⊂平面11ABB A ，所以1CE B D ⊥.在ABD △中，1AB AD ==，3BAD π∠=，则323-∠=∠==ABD ADB πππ，在11A B D △中，1111A B A D ==，1123B A D π∠=， 则11112326-∠=∠==A B D A DB πππ， 故1362B DB ππππ∠=--=，故1BD B D ⊥.因CEBD E =，故1B D ⊥平面CBD .因为BC ⊂平面CBD ， 故1B D BC ⊥. （2）1111133ABC A B C A ABC C A AB V V V ---==，由（1）得CE ⊥平面11ABB A ，故CE 是三棱锥1C A AB -的高，CBD 是正三角形，1BD AB AD ===，32CE =， 111113||sin 12sin 2232A ABSAB AA BAA π=⋅∠=⨯⨯⨯=， 1111331334C A AB A ABV SCE -=⋅=⨯⨯=， 故三棱柱的体积1111334ABC A B C C A AB V V --==，故三棱柱111ABC A B C -的体积为34. 【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，考查体积的求法，属于中档题.20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点．（1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，点M 在线段PC 上，且PM=3MC ，求三棱锥P ﹣QBM 的体积． 【答案】（1）证明解析（2）34【解析】（1）由PA=PD ，得到PQ ⊥AD ，又底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，得BQ ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面PQB 利用面面垂直的判定定理得到平面PQB ⊥平面PAD ；（2）由平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，PQ ⊥AD ，得PQ ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，得PQ ⊥BC ，得BC ⊥平面PQB ，即得到高，利用锥体体积公式求出 【详解】 （1）∵PA=PD ， ∴PQ ⊥AD ，又∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°， ∴BQ ⊥AD ，PQ∩BQ=Q ， ∴AD ⊥平面PQB 又AD ⊂平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥，∴PQ ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PQ ⊥BC又BC ⊥BQ ，QB QP Q ⋂=， ∴BC ⊥平面PQB ， 又3PM MC =，∴113323244P QBM M PQB V V --==⨯⨯= 【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积21．已知四棱锥S ABCD -的底面为平行四边形，且SD ⊥平面ABCD ，22AB AD SD ==，60DCB ∠=︒，M ，N 分别为SB ，SC 的中点，过MN 作平面MNPQ 分别与线段CD ，AB 相交于点P ，Q ，且AQ AB λ=. （1）当12λ=时，证明：平面//MNPQ 平面SAD ； （2）是否存在实数λ，使得二面角M PQ B --为60︒？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13λ=.【解析】（1）推导出////MN BC MN BC ，，从而//MN 平面SAD ，再求出//MQ 平面SAD ，由此能证明平面//MNPQ 平面SAD ．.（2）方法一：连结BD ，交PQ 于点R ，则//BC 平面MNPQ ，从而////PQ BC AD ，推导出AD ⊥平面SBD ，PQ ⊥平面SBD ，则MRB ∠为二面角M PQ B --的平面角，从而60MRB ∠=︒，过M 作ME DB ⊥于E ，则//ME SD ，从而ME ⊥平面ABCD ，由此能求出结果．方法二：以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DB 为y 轴，直线DS 为z 轴建立空间直角坐标系，由AQ AB λ=，求得(22,,0)Q λ-，进而求得平面MNPQ 的法向量为(0,1,3(21))n λ=-，平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =，根据1||cos602||||m n m n ⋅︒==⋅，计算即可求得结果. 【详解】（1）∵M ，N 分别为SB ，SC 中点，∴//BC MN ， 由底面ABCD 为平行四边形可知，//AD BC ，∴//MN AD . 又MN ⊄平面SAD ，∴//MN 平面SAD . ∵12λ=，∴Q 为AB 的中点，∴//MQ SA . 又MQ ⊄平面SAD ，∴//MQ 平面SAD .由MN MQ M ⋂=可知，平面//MNPQ 平面SAD . （2）方法一：连BD 交PQ 于点R . ∵//BC MN ，∴//BC 平面MNPQ . 又平面MNPQ平面ABCD PQ =，∴////PQ BC AD .在ABCD 中，2AB AD =，60DCB ∠=︒，∴AD DB ⊥. 又SD ⊥平面ABCD ，∴SD AD ⊥且SD DB D ⋂=， ∴AD ⊥平面SBD .∴PQ ⊥平面SBD ，∴MRB ∠为二面角M PQ B --的平面角. ∴60MRB ∠=︒.过M 作ME DB ⊥于E ，则//ME SD ，∴ME ⊥平面ABCD . 设AD SD a ==，∵M 为SB 的中点，∴2a ME =，3DEa =. 在Rt MER △中，2a ME =，60MRB ∠=︒，∴3RE a =. ∴3DR DE RE a =-=， ∴31333aDRDB a ==. ∵//PQ AD ，∴13AQ DR AB DB λ===.方法二：在ABCD 中，2AB AD =，60DCB ∠=︒，所以//AD DB .以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DB 为y 轴，直线DS 为z 轴建立空间直角坐标系，设(2,0,0)A ，则(0,23,0)B ，(0,0,2)S ，3,1)M . 又AQ AB λ=，设(,,)Q x y z ，则(2,,)(2,3,0)x y z λ-=-， 即(22,3,0)Q λλ-.设平面MNPQ 的法向量为(,,)n x y z =.由（1）可知////MNBC AD ，所以(,,)(2,0,0)20n AD x y z x ⋅=⋅==，即0x =. 由(,,)(22,3(21),1)(22)3(21)0n MQ x y z x y z λλλλ⋅=⋅---=-+--=， 将0x =代入得3(21)z y λ=-，取1y =，则(0,1,3(21))n λ=-. 显然平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =. 要使二面角M PQ B --为60︒，则有221|||(0,0,1)(0,1,3(21))||3(21)|cos 602||||13(21)11[3(21)]m n m n λλλλ⋅⋅--︒====⋅+-⨯+-， 解得13λ=或23λ=. 由图可知，要使二面角M PQ B --为60︒，则Q 在线段AQ '(Q '为线段AB 的中点)上，所以12λ<， 所以13λ=. 故当实数13λ=时，二面角M PQ B --为60︒. 【点睛】本题考查面面平行以及二面角，能够熟练使用空间向量是解决本题的关键，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.22．已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BAD π∠=∠=，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．（1）当2x =时，①证明：EF ⊥平面ABE ；②求二面角D BF E --的余弦值； （2）三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的49？并说明理由．【答案】（114；（2）当2AE =时，三棱锥D FBC -的体积等于几何体ABE FDC -体积的49. 【解析】（1）①可证,EF AE EF BE ⊥⊥，从而得到EF ⊥平面ABE .②如图，在平面AEGD 中，过D 作DG EF ⊥且交EF 于G .在平面DBF 中，过D 作DH BF ⊥且交BF 于H ，连接GH .可证DHG ∠为二面角D BF E --的平面角，求出DG 和GH 的长度后可求二面角的余弦值.（2）若存在，则5=4B ADFE D BFC V V --，利用体积公式可得关于x 的方程，解方程后可得2x =，故假设成立.【详解】（1）①在直角梯形ABCD 中，因为2ABC BAD π∠=∠=，故,DA AB BC AB ⊥⊥，因为//EF BC ，故EF AB ⊥.所以在折叠后的几何体中，有,EF AE EF BE ⊥⊥， 而AEBE E =，故EF ⊥平面ABE .②如图，在平面AEFD 中，过D 作DG EF ⊥且交EF 于G . 在平面DBF 中，过D 作DH BF ⊥且交BF 于H ，连接GH . 因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ⋂平面EBCF EF =，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG BF ⊥，而DGDH D =，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH BF ⊥， 所以DHG ∠为二面角D BF E --的平面角，在平面AEFD 中，因为,AE EF DG EF ⊥⊥，故//AE DG ， 又在直角梯形ABCD 中，//EF BC 且()132EF BC AD =+=， 故//EF AD ，故四边形AEGD 为平行四边形， 故2DG AE ==，1GF =在直角三角形BEF 中，2tan 3BFE ∠=，因BFE ∠为三角形内角，故sin BFE ∠=1sin GH BFE =⨯∠=，故2tan 2DHG ∠==，因DHG ∠为三角形内角，故cos 14DHG ∠=.所以二面角D BF E --的平面角的余弦值为1414.（2）若三棱锥D FBC -的体积等于几何体ABE FDC -体积的49， 则9=4B ADFE D BFC D BFC V V V ---+即5=4B ADFE D BFC V V --. 由（1）的证明可知，DG ⊥平面BEFC ， 同理可证BE ⊥平面AEFD ，AE DG =. 故113B ADFE V BE S -=⨯⨯，其中1S 为直角梯形ADFE 的面积. 而1133D BFCBCF BCF V DG S AE S -=⨯⨯=⨯⨯， 在直角梯形ABCD 中，过D 作BC 的垂线，与,EF BC 分别交于,M N ， 则24FM x =，故2x FM =，所以22xFE =+，所以21112242222x x S x x ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()22111444432262B ADFE x x V x x x x -⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()1242BCFSBE BC x =⨯⨯=-， 故()1243D BFCV x x -=⨯⨯-，所以()()215144246243x x x x x ⎛⎫⨯-⨯+=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得2x =，故当2AE =时，三棱锥D FBC -的体积等于几何体ABE FDC -体积的49. 【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.。
安徽省阜阳市太和第一中学2021-2022高二数学上学期10月月考试题(含解析).doc
安徽省阜阳市太和第一中学2021-2022高二数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的）.1.下列说法错误．．的是( )A. 在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大【答案】B【解析】【分析】平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但是一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据．【详解】对于A：总体：考察对象的全体，故A 对；对于C：在统计里，一组数据的集中趋势可以用平均数、众数与中位数，故C对．∵平均数不大于最大值，不小于最小值．比如：1、2、3的平均数是2，它小于3．故B不对；∵从方差角度看，方差最小，数据较稳定，方差越大，波动性越大．故D正确．故选B．2.有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一三角形的概率A.1 10B.310C.12D.710【答案】B【解析】【详解】从五条线段中任取三条共有种可能，其中能构成三角形的有，，三种可能，故所取三条线段能构成一个三角形的概率为,故选B由题意知本题是一个古典概型.3.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为()A. 7B. 279C. 16D. 23【答案】D 【解析】 【分析】根据当型循环结构，逐次算出k,S 的值，即可得解. 【详解】1241222S =+++23=.【点睛】本题考查了当型循环结构,属基础题.4.某工厂某产品产量x (千件)与单位成本y (元)满足回归直线方程77.36 1.82y x =-,则以下说法中正确的是( )A. 产量每增加1000件,单位成本约下降1.82元B. 产量每减少1000件,单位成本约下降1.82元C. 当产量为1千件时,单位成本为75.54元D. 当产量为2千件时,单位成本为73.72元【答案】A 【解析】 【分析】()77.36 1.82f x x =-,用(1)()f x f x +-可得.【详解】令()77.36 1.82f x x =-,因为(1)()77.36 1.82(1)77.36 1.82 1.82f x f x x x +-=-+-+=-, 所以产量每增加1000件,单位成本约下降1.82元. 【点睛】本题考查了线性回归分析.属基础题. 5.下列命题错误的是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. 命题“∀R ∈，2 20x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，2 20x x -+>”C. 若p 且q 为真命题，则p q ，均为真命题D. “1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义判断A ；根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”判断B ；根据且命题的性质判断C ；根据“2430x x ++>”等价于“1x >-或3x <-”，结合充分条件与必要条件的定义判断D .【详解】根据逆否命题的定义可知，命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命題是:“若3x ≠ ,则2430x x -+≠，故A 正确；根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”可得命题“∀R ∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，220x x -+≤”，故B 不正确； 根据且命题的性质可得，若p 且q 为真命题，则p q ，均为真命题，故C 正确；因为“2430x x ++>”等价于“1x >-或3x <-”，所以“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件，故D 正确，故选B.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义、全称命题的否定、且命题的性质、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( ) A. a b αβαβ⊂⊥，， B. a b αβαβ⊥⊥，，C. a b αβαβ⊥⊥，，D. a b αβαβ⊂⊥，，【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中，直线、平面平行与垂直的判定与性质，结合充分条件的定义去判断 【详解】对A ，b b a b a βαβαα⊥∴⊥⊂∴⊥，，，，；对B ，a b a b αβαβ⊥⊥∴，，，；对C 和D ，a b ，关系均不确定；故选A ．【点睛】利用充分条件的定义判断充分条件，首先要分清条件p 与结论q ，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件.7.在区间[-1，1]上任取两个数x 、y ，则满足2214x y +<的概率是（ ） A.16πB.8π C. 4πD.2π 【答案】A 【解析】依题意可得，满足2214x y +<的点(,)x y 如下图阴影部分：根据几何概型可得满足2214x y +<的概率为221()2216ππ⋅=，故选A8.方程()2210x y xy +=<表示的曲线是()A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】因为0xy <,所以图像在二,四象限, 结合221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解.【详解】因为221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆, 又0xy <,说明图像在二,四象限,故选D. 【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题.9.如果椭圆22142x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 230x y +-=D. 230x y ++=【答案】A 【解析】设过点(1,1)A 的直线与椭圆相交于两点1122(,),(,)E x y F x y ， 由中点坐标公式可得12121,122x x y y ++==， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()044x x x x y y y y +-+-+=， 所以121212y y x x -=--，所以直线EF 的斜率121212y y k x x -==--，所以直线EF 的方程为11(1)2y x -=--，整理得230x y +-=，故选A ． 10.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（） A. 至少有一个黒球与都是黒球 B. 至少有一个黒球与恰有1个黒球 C. 至少有一个黒球与至少有1个红球 D. 恰有1个黒球与恰有2个黒球【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.【详解】”至少有一个黒球与都是黒球”有公共事件:两个黑球,既不互斥,也不对立; “至少有一个黒球与恰有1个黒球”有公共事件:一个红球,一个黑球,既不互斥,也不对立; “至少有一个黒球与至少有1个红球”有公共事件:一个红球,一个黑球”,既不互斥,也不对立;“恰有1个黒球与恰有2个黒球”是互斥事件,但不是对立事件,因为有可能是两个红球. 故选D.【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,属基础题.11.若12,F F 分别是双曲线2211620x y -=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为()A. 1B. 17或1C. 17D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先根据1910PF =<,推出点P 在双曲线的左支上,再根据双曲线的定义列等式可解得. 【详解】因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, 所以根据双曲线的定义可得:212248PF PF a -==⨯=, 又19PF =,所以298PF -=, 解得:217PF =, 故选C.【点睛】本题考查了双曲线的定义,注意先判断出点P 在双曲线的左支上.属基础题.12.不等式组133x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D ,有下面四个命题:()1:,,282p x y D x y ∀∈-≥；()2:,,282p x y D x y ∃∈-< ()3:,,281p x y D x y ∀∈-≥-()4:,,281p x y D x y ∃∈-<-其中的真命题是( ) A. 23,p p B. 24,p pC. 12,p pD. 13,p p【答案】A 【解析】 【分析】令,3x y a x y b -=+=,则73282a bx y --=,利用1,3a b ≥≤可求得281x y -≥-. 【详解】令,3x y a x y b -=+=,则34a b x += ,4b ay -= ,3282844a b b a x y +-∴-=⨯-⨯732a b-=, 1,3a b ≥≤ ,737133(,),28122a b x y D x y -⨯-⨯∴∀∈-=≥=- ,当且仅当1,3a b ==,即31,22x y == 时,等号成立.(),,281x y D x y ∴∀∈-≥-,故3p 是真命题,命题4p 是假命题.因为存在31,22x y ==时,2812x y -=-<,说明命题1p 是假命题,命题2p 是真命题; 所以命题23,p p 都是真命题. 故选A .【点睛】本题考查了不等式的性质,换元法.全称量词,特称量词,属中档题. 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别为80条、20条、40条、40条、20条,现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的青鱼与鲤鱼共有______条． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出抽样比,再用样本容量乘以抽样比可得.【详解】总体容量为:8020404020200++++=,抽样比为:20403802040402010+=++++,所以青鱼与鲤鱼共有:32010⨯6=, 故答案为:6.【点睛】本题考查了分层抽样,属基础题. 14.双曲线2239x y -=的焦距为__________【答案】【解析】 【分析】将双曲线方程化成标准方程,所以223,9a b ==,根据222c a b =+可得.【详解】由2239x y -=得:22139x y -=,所以223,9a b ==,所以2223912c a b =+=+=,所以c =,所以焦距2c =【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,属基础题.15.已知样本数据1x ,2x ,…n x 的方差为4,则数据123x +,223x +,…23n x +的标准差是 【答案】4 【解析】 【分析】设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为2x +3，然后利用方差的公式计算即可． 【详解】设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为2x +3，则其方差为1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]＝4， 则新数据的方差为：1n[（2x 1+3﹣2x ﹣3）2+（2x 2+3﹣2x ﹣3）2+…+（2x n +3﹣2x ﹣3）2]＝4×1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]＝16．故新数据的标准差是4． 故答案为：4．【点睛】本题考查了方差和标准差的定义的应用，属于基础题．16.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】 【分析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,进一步得到三角形ABF '为等腰直角三角形,设AF AB x '==,求出x ,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,即可求出2e ,则答案可求.【详解】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.【答案】（1）13（2）35【解析】 【分析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得. 【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种.所以A 被选中的概本为51153=. ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种,则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题.18.已知:p 方程22240x y y m +-+=表示圆;:q 方程2213x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆.（1）若p 为真命题,求实数m 的取值范围;（2）若“p q ∧”为假,“p q ∨”为真,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）22m -<<（2）2023m m -<≤≤<或 【解析】 【分析】（1）整理圆的方程：()22224x y m +-=-，根据240m ->，即可求解；（2）根据椭圆的标准方程，求得q 为真时，03m <<，再根据,p q 一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】（1）整理圆的方程：()22224x y m +-=- 若p 为真，则22m -<< （2）若q 为真，则03m << 由题可知，,p q 一真一假 故“p 真q 假”时，2203m m m -<<⎧⎨≤≥⎩或则20m -<≤ “q 真p 假”时，2203m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或则23m ≤<综上，2023m m -<≤≤<或【点睛】本题主要考查了利用简单的复合命题的真假求解参数问题，其中解答中正确求解命题,p q ，再根据复合命题的真假，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据(1)请根据上表提供数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y b x a =+； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?参考公式：()1122211()()nni i i i i i n n ii i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx====⎧---⎪==⎪⎨--⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】(1) y =0.7x +0.35；(2) 19.65吨． 【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）令100x =，求得改造后的能耗，用原来的能耗减去改造后的能耗，求得生产能耗比技改前降低的标准煤吨数. 【详解】（1）由对照数据，计算得2441186,66.5i i i i i x x y ====∑∑，x =4.5，y =3.5，∴回归方程的系数为^266.54 4.5 3.5864 4.5b -⨯⨯=-⨯=0.7，^^a y b x =-=3.5-0.7×4.5=0.35，∴所求线性回归方程为y =0.7x +0.35； （2）由（1）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨）， 由90-70.35=19.65，∴生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.20.某校200名学生数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数. 分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:1【答案】（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人 【解析】 【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可. 【详解】解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=, 解得0.005m =.()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人.【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.21.如图所示,已知()3,0,,A B C -两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为延长线BC 上一点,并且满足AB BP ⊥,12BC CP =,试求动点P 的轨迹方程.【答案】24y x = 【解析】 【分析】设出点P 的坐标(,)x y ,然后根据12BC CP =,用P 的坐标表示,B C 的坐标,最后利用AB BP ⊥列式可求得动点P 的轨迹方程.【详解】设()()(),,0,,,0P x y B y C x '',则(),BC x y ''=-,(),CP x x y '=-. 由12BC CP =,得()()1,,2x y x x y '''=-,即,32x y x y ''==-, 故0,,,023y x B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()30A -,,3,2y AB ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,3,2BP x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭由AB BP ⊥,得0AB BP =, 故24303x y -=,得24y x =, 即为动点P 的轨迹方程.【点睛】本题考查了坐标转移法求动点的轨迹方程,属中档题.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l与椭圆C 交于,M N 两点，且2MNF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线m 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2PQF ∆面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由2MNF ∆的周长为8，可知48a =,结合离心率为12，可求出2a =，1c =，23b =，从而可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线m 的斜率不为0，设直线m 的方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于k 的一元二次方程，由三角形的面积公式可知2121212PQF S F F y y ∆=-，结合根与系数关系可得到2PQF S ∆的表达式，求出最大值即可。
2020-2021学年安徽省阜阳太和第一中学高二(奥赛班)上10月月考数学(理)(解析版)
2020-2021学年安徽省阜阳市太和第一中学高二（奥赛班）上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1．直线30x y +-=被圆2223x y y +-=截得的弦MN 的长为（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D【解析】先将圆化为标准方程，求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理可求得弦长. 【详解】将圆2223x y y +-=化为标准方程得()2214x y +-=，∴圆心为()0,1，半径2r，设圆心到直线的距离为d ，则01322d，MN ∴===故选：D. 【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.2．直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】利用直线方程求出直线的斜率k ，通过斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，求出α的范围． 【详解】设直线的斜率为k ，倾斜角为α，则211k a =-+ ，∴10k -≤<，即1tan 0α-≤<∴倾斜角的取值范围是3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：D 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查学生计算能力，属于基础题．3．m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A 动直线2:230l mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A ，B ），则PA PB +的最大值为A B ．CD ．【答案】B【解析】由题意可得：(1,0)A ，()2,3B ，且两直线斜率之积等于1-，∴直线10x my +-=和直线230mx y m --+=垂直，则2222()||||102PA PB PA PB AB ++==≥，即PA PB +≤PA PB +的最大值为故选B ．4．已知,,,m n a b R ∈，且满足346,341m n a b +=+=的最小值为 （ ）A B C ．1D ．12【答案】C【解析】(),m n 为直线346x y +=上的动点，(),a b 为直线341x y +=上的动点，显然最小值即两平行线间的距离：d 1==.故选C 5．曲线214y x 与直线()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．35412k -≤<- C ．512k >D ．53124k <≤ 【答案】D【解析】由曲线方程可知曲线为以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分，又直线恒过()2,4A，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时k的取值，进而得到结果.【详解】214y x可化为()()22141x y y+-=≥∴曲线214y x表示以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y≥的部分又直线()24y k x=-+恒过定点()2,4A可得图象如下图所示：当直线()24y k x=-+为圆的切线时，可得23221kdk-==+，解得：512k=当直线()24y k x=-+过点()2,1B-时，413224k-==+由图象可知，当()24y k x=-+与曲线有两个不同交点时，53124k<≤故选D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解.6．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，则下列结论错误的是（）A．A1D⊥AFB．三棱锥A﹣BCF外接球的表面积为9πC ．点C 到平面AEF 的距离为23D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92【答案】A【解析】取1DD 中点G ，连接,GF GA ，用反证法证明1A D 与AF 不可能垂直，判断A ，证明AF 的中点就是三棱锥A BCF -外接球球心，求得球面积，判断B ，利用等体积法求得点C 到平面AEF 的距离判断C ，作出完整截面并求出面积判断D ． 【详解】A ．如图，取1DD 中点G ，连接,GF GA ，由于F 是1CC 中点，∴//GF DC ，而DC ⊥平面11ADD A ，∴GF ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，∴1GF A D ⊥，若1A D AF ⊥，由于AFGF F =，∴1A D ⊥平面AFG ，又AG ⊂平面AFG ，∴1A D AG ⊥，但正方形11ADD A 中，G 是1DD 中点，不可能有1A D AG ⊥，A 错；B ．设AC 与BD 交于点M ，则M 是BC △的外心，取AF 中点N ，连接NM ，则//NM CF ，∴NM ⊥平面ABCD ，∴N 是三棱锥A BCF -外接球的球心，221131(22)222NA AF ==+=，球表面积为23492S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，B 正确；C ．1121122AEC S EC AB =⨯⨯=⨯⨯=△，11111333F AEC AEC V S FC -=⋅=⨯⨯=△，AEF 中，22215AE =+=，2EF =，3AF =，则22252910cos 210252AE EF AF AEF AE EF +-+-∠===-⋅⨯⨯，310sin 10AEF ∠=， 113103sin 5222102AEF S AE EF EF =⋅∠=⨯⨯⨯=△，设C 到平面AEF 的距离为h ，则A ECF C AEF V V --=得131323h ⨯=，23h =，C 正确；D ．连接11,FD D A ，易证得11////AD BC EF ，平面AEF 截正方体所得的截面即为等腰梯形1AD FE ，122AD =，2EF =，15AE D F ==，梯形的高为22232(5)2h ⎛⎫'=-= ⎪ ⎪⎝⎭，1329(222)222S =⨯+⨯=，D 正确．故选：A ． 【点睛】本题考查立体几何中命题的真假，考查线线垂直的判断，三棱锥的外接球问题，等体积法求点到平面的距离，考查正方体的截面等知识，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，分析并解决问题的能力，属于中档题． 7．三棱锥D ABC -中，6AD CD ==，3AB BC CA ===大时，侧棱BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】C【解析】首先根据题意得到当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，再求BD 的长即可. 【详解】由题知：三棱锥D ABC -中，6AD CD ==，3AB BC CA ===， 当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，如图所示：取AC 中点O ，连接DO ，BO .因为AD CD =，所以DO AC ⊥，22633222⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DO . 又因为AB BC =，所以BO AC ⊥，()2233322⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭BO . 又平面DAC ⊥平面ABC AC =，DO AC ⊥，所以DO ⊥平面ABC .OB ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥.所以2233322⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BD 故选：C 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质，同时考查了三棱锥体积的最值问题，属于中档题. 8．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】B【解析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为11222232⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】 ①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD'平面BCD BD =，CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，故A D BC '⊥不成立，故①错误； ②棱锥'A BCD -的体积为1122223226⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确； ④由①知CD ⊥平面A BD '， 又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥，又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A DCD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B . 【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.9．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ）A B C ．52D ．3【答案】A【解析】作出示意图，求得ABC 的面积，并计算出三棱锥S ABC -的高SD ，利用正弦定理计算圆E 的直径CD ，然后利用勾股定理求出SC ，即可求解球的直径，得到答案. 【详解】如图所示， 因为2,120AC BC ACB ==∠=，可得ABC 的面积为11sin 22224ABC S AC BC ACB ∆=⋅∠=⨯⨯⨯= 设ABC 的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作圆E 的直径CD ，连接SD ，因为,O E 分别为,SC CD 的中点，则//SD OE ，所以SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为123S ABC V SD -==，解得SD =由正弦定理，可得4sin sin 30AC ACCD ABC ===∠，SC ==，设球的半径为R ，则2R SC ==R =故选：A.【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.10．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C ．232D ．2232⎡⎣【答案】A【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32则[]22122,62ABPSAB d d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．11．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ） A ．3 B ．212C ．22D ．2【答案】D【解析】作出图形，可知Rt PAC Rt PBC ∆≅∆，由四边形PACB 的最小面积是2，可知此时PA PB =取最小值2，由勾股定理可知PC 的最小值为5，即圆心C 到直线()400kx y k ++=>的距离为5，结合点到直线的距离公式可求出k 的值. 【详解】如下图所示，由切线长定理可得PA PB =，又AC BC =，PC PC =，且90PAC PBC ∠=∠=，Rt PAC Rt PBC ∴∆≅∆，所以，四边形PACB 的面积为PAC ∆面积的两倍，圆C 的标准方程为()2211x y +-=，圆心为()0,1C ，半径为1r =，四边形PACB 的最小面积是2，所以，PAC ∆面积的最小值为1， 又11122PAC S PA AC PA ∆=⋅=≥，min 2PA ∴=， 由勾股定理22215PC PA r PA =+=+≥当直线PC 与直线()400kx y k ++=>垂直时，PC 5 即min 21451PC k +==+，整理得24k =，0k >，解得2k =.故选：D. 【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点P 的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．已知点(,),P t t t R ∈，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A 1B ．2C ．3D 【答案】B【解析】设圆()22114x y +-=圆心为(0,1)A , 圆()22124x y -+=圆心为(2,0)B ,则PN PM -11()111222PB PA PB PA PB PA A B ≤+--'=-+=-++'≤=其中(1,0)A '为A 关于直线对称点,所以选B. 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(,)x y 有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如y bu x a-=-型的最值问题，可转化为过点(,)a b 和点(,)x y 的直线的斜率的最值问题；②形如t ax by =+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如22()()x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点到定点(,)a b 的距离平方的最值问题．二、填空题13．过原点O 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰好被点O 平分，则直线l 的方程为______________. 【答案】45y x =【解析】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，利用中点为原点求解a ,b ，得到A 点坐标，即得解. 【详解】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，则50325053aa ba bb⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l的方程为45y x=.故答案为：45y x=【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.14．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边11A B作一个平行于棱1C C的平面11A B EF，记平面分三棱台两部分的体积为1V（三棱柱111A B C FEC-），2V两部分，那么12:V V=______.【答案】3：4【解析】设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，计算体积得到答案.【详解】设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，()174233V h S S S Sh∴=++=台，1123,743V ShV ShV Sh Sh∴=∴==-.故答案为：3:4.【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.15．过点()5,0P-作直线()()()121430m x m y m m R+-+--=∈的垂线，垂足为M，已知点()3,11N，则MN的取值范围是______.【答案】13⎡⎣【解析】化已知直线为()()2430--+--=m x y x y ，即有240x y --=且30x y --=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 【详解】解：由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ，令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为==r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为13==CN ，所以MN 的取值范围是13⎡⎣.故答案为：13⎡+⎣.【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC 为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______. 【答案】12【解析】设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得OA =ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.【详解】由题意，设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点， 连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，3AM =，可得7OA =,即球的半径为7，作平面ODA 交BC 于E ，交BC 于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O 的直径，也是球O 的直径，7DF =，所以DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，3DA =，3AB =，所以6BD =，所以1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题17．设直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈= （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）30x y -=或20x y ++= （2）1a ≤- 【解析】（1）对a 分类讨论，利用截距式即可得出；（2）(1)2y a x a =-++-，由于l 不经过第二象限，可得(1)020a a -+⎧⎨-⎩，解出即可得出． 【详解】解：（1）若20a -=，解得2a =，化为30x y +=． 若10a +=，解得1a =-，化为30y +=，舍去．若1a ≠-且2a ≠，化为：1221x ya a a +=--+，令221a a a -=-+，化为11a +=，解得0a =，可得直线l 的方程为：20x y ++=．综上所述直线l 的方程为：20x y ++=或30x y +=； （2）直线l 的方程可化为(1)2y a x a =-++- ∵l 不过第二象限，1(2)020a a -+≥⎧∴⎨-≤⎩，1a ∴≤-. 【点睛】本题考查了直线的方程、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．18．在平面四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．（1）求证：AB CD ⊥；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26．【解析】【详解】试题分析：(1)由AB BD ⊥,将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ,即可得AB 垂直于平面BCD.从而得到结论.(2)依题意,可得0DBC=45∠,又由AB ⊥平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.等价于求出直线AD 与平面MBC 的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论. 试题解析：(1)因为ABD ⊥平面BCD ,平面ABD平面,BCD BD AB =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥.(2)过点B 在平面BCD 内作BD 的垂线作为x 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴B （0，0，0），C （1，1，0），A （0，0，1），D （0，1，0），M 11022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．∴AD =（0，1，﹣1），BC =（1，1，0），11022BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．设平面BCM 的法向量n =（x ，y ，z ），则01122n BC x y n BM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令y ＝﹣1，则x ＝1，z ＝1． ∴n =（1，﹣1，1）．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ． 则sin θ＝|cos n AD ＜，＞|632n AD n AD⋅===⨯．【考点】1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力.19．如图，在五面体ABCDEF 中，AB ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE ，2AB CD ==.（1）求证：//AB CD ；（2）若2AD AE ==，1EF =，且二面角E DC A --的大小为60︒，求二面角F BC D --的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）60︒.【解析】（1）由两条直线同时垂直平面得两直线平行，再利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行；（2）如图，取AD 的中点为G ，连接,,EG AC BD ,设AC 与BD 的交点为O ，连接,OF OG ,利用二面角的知识，求出60ADE ︒∠=，连接,OH FH ,再利用线面垂直推导线线垂直和二面角的知识，得出OHF ∠即为所求角，把对应值代入即可得答案. 【详解】（1）∵AB ⊥面ADE ，EF ⊥面ADE ， ∴//AB EF又EF ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ， ∴//AB 面CDEF 又AB面ABCD ，面ABCD面CDEF CD =，∴//AB CD（2）设AD 的中点为G ，连接,,EG AC BD ,设AC 与BD 的交点为O ，连接,OF OG ,∵AB ⊥面ADE ，,DA DE ⊂面ADE ，∴AB DA ⊥，AB DE ⊥． ∵//AB CD ，∴CD DA ⊥，CD DE ⊥． 又DA ⊂面ABCD ，DE ⊂面CDEF ，且面ABCD 面CDEF CD =．∴二面角A DC E --的平面角60ADE ︒∠=． 又在ADE ∆中，2AD AE ==， ∴ADE ∆是边长为2的正三角形， ∴EG AD ⊥, ∵AB ⊥平面ADE ， ∴AB EG ⊥, ∵AD AB A ⋂=, ∴EG ⊥面ABCD ，由（1）知//AB CD ，又CD DA ⊥，AB CD AD ==， ∴四边形ABCD 为正方形， ∴OG 112AB EF ===，又OG//AB ， ∴OG//EF ，∴四边形OGEF 为平行四边形， ∴OF//EG ， ∴OF ⊥面ABCD ， ∴OF BC ⊥，取BC 的中点为H ，连接,OH FH ,∴OH BC ⊥， ∵OFOH O = ，∴BC ⊥面OFH , ∴BC FH ⊥,∴OHF ∠即为二面角F BC D --所成的平面角，∵ADE ∆是边长为2的正三角形，四边形ABCD 为正方形，∴OF =1OH =,∴tan OHF ∠==， ∴60OHF ︒∠=，∴二面角F BC D --的平面角大小为60︒. 【点睛】本题主要考查线面平行性质定理、线面垂直性质定理、二面角的大小求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.属于较难题.20．已知O 为坐标原点，圆C 的方程为：()2211x y -+=，直线l 过点()0,3M . （1）若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，试问：直线OA 与OB 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）0x =或4390x y +-=；（2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值23. 【解析】（1）当l 斜率不存在时，经检验符合题意，当l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，只有一个公共点，即直线与圆相切，可得圆心()1,0C 到直线3y kx =+的距离d r =，代入数据，即可得答案；（2）设出直线l 的方程及点A,B 的坐标，则可得OA OB k k +的表达式，联立直线和圆的方程，根据韦达定理，可得12x x +，12x x ⋅的值，代入表达式，即可得证. 【详解】（1）①当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =符合题意；②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，由()2211x y -+=得圆心()1,0C ，半径1r =.∵直线与圆有一个公共点，∴1d ==，解得43k =-.∴l 的方程为4390x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或4390x y +-=. （2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值，证明：由（1）知直线l 斜率存在，设l 的方程为3y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1212121233OA OB y y kx kx k k x x x x +++=+=+()12121233322x x k k x x x x +=++=+⋅. 联立直线与圆的方程：223(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩， 消去y 得()221(62)90k x k x ++-+=，()22(62)3610k k --+∆>=得43k <-，根据韦达定理得12212262191k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩，∴221862212229331OA OB k k k k k k k k --++=+=-+=+.∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值23.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、韦达定理的应用，易错点为需讨论斜率是否存在，再进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.21．已知直线:10l x y +-=截圆222O :x y r (r 0)+=>．直线1l 的方程为(12)(1)30m x m y m ++--=． （1）求圆O 的方程；（2）若直线1l 过定点P ，点,M N 在圆O 上，且PM PN ⊥，Q 为线段MN 的中点，求Q 点的轨迹方程.【答案】（1）224x y +=；（2）22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用直线截圆得到的弦长公式r ，从而得到圆的方程；（2）由已知可得直线l 1恒过定点P （1,1），设MN 的中点Q （x ，y ），由已知可得||2||MN PQ =，利用两点间的距离公式化简可得答案.【详解】（1）根据题意，圆222:(0)O x y r r +=>的圆心为（0，0），半径为r ，则圆心到直线l 的距离2d ==，若直线:10l x y +-=截圆222:(0)O x y rr +=>则有=，解可得2r ，则圆的方程为224x y +=；（2）直线l 1的方程为(12)(1)30m x m y m ++--=，即()()230x y m x y -++-=，则有0230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得x 1y 1=⎧⎨=⎩，即P 的坐标为（1，1）， 点,M N 在圆O 上，且PM PN ⊥，Q 为线段MN 的中点，则||2||MN PQ =， 设MN 的中点为Q （x ，y ），则22222OM OQ MQ OQ PQ =+=+，即22224(1)(1)x y x y =++-+-， 化简可得：22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为点Q 的轨迹方程. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.22．已知两个定点A （0，4），B （0，1），动点P 满足|PA |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx ﹣4.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）（3）直线MN 过定点(1,1)-.【解析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y ，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由||2||PA PB =可得，=整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =所以直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点， 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上， 由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩， 可得(4)40tx t y即直线MN 的方程为(4)40tx ty 由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线MN 是过定点(1,1)-.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法错误．．的是( )A．在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大2．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（）A．110B．310C．12D．7103．执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A．7B．279C．16D．234．某工厂某产品产量x(千件)与单位成本y(元)满足回归直线方程77.36 1.82y x=-,则以下说法中正确的是()A．产量每增加1000件,单位成本约下降1.82元B．产量每减少1000件,单位成本约下降1.82元C ．当产量为1千件时,单位成本为75.54元D ．当产量为2千件时,单位成本为73.72元5．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件6．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，//αβ C ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥7．在区间[-1，1]上任取两个数x 、y ，则满足2214x y +<的概率是（ ） A ．16π B ．8π C ．4π D ．2π8．方程()2210x y xy +=<表示的曲线是()A ．B ．C ．D ．9．如果椭圆22142x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．230x y +-=D ．230x y ++=10．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．至少有一个黒球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与恰有1个黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球11．若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为() A ．1B ．17或1C ．17D ．1212．不等式组133x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D ,有下面四个命题:()1:,,282p x y D x y ∀∈-≥；()2:,,282p x y D x y ∃∈-< ()3:,,281p x y D x y ∀∈-≥-()4:,,281p x y D x y ∃∈-<-其中的真命题是( ) A ．23,p p B ．24,p pC ．12,p pD ．13,p p二、填空题13．某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别为80条、20条、40条、40条、20条,现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的青鱼与鲤鱼共有______条． 14．双曲线2239x y -=的焦距为__________15．已知样本数据1x ,2x ,…n x 的方差为4,则数据123x +,223x +,…23n x +的标准差是16．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.18．已知:p 方程22240x y y m +-+=表示圆;:q 方程2213x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆.（1）若p 为真命题,求实数m 的取值范围;（2）若“p q ∧”为假,“p q ∨”为真,求实数m 的取值范围.19．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据1求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(附:42186i i x ==∑，4166.5i i i x y ==∑，()()()1122211nniii ii i nniii i x x yyx ynxy b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，其中x ,y 为样本平均值)20．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.21．如图所示,已知()3,0,,A B C -两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为延长线BC 上一点,并且满足AB BP ⊥,12BC CP =,试求动点P 的轨迹方程.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且2MNF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线m 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2PQF ∆面积的最大值.参考答案1．B 【分析】平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但是一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据． 【详解】对于A ：总体：考察对象的全体，故A 对；对于C ：在统计里，一组数据的集中趋势可以用平均数、众数与中位数，故C 对． ∵平均数不大于最大值，不小于最小值．比如：1、2、3的平均数是2，它小于3．故B 不对；∵从方差角度看，方差最小，数据较稳定，方差越大，波动性越大．故D 正确． 故选B ． 2．B 【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310， 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题． 3．D【分析】根据当型循环结构，逐次算出k,S 的值，即可得解. 【详解】1241222S =+++23=.【点睛】本题考查了当型循环结构,属基础题. 4．A 【分析】()77.36 1.82f x x =-,用(1)()f x f x +-可得.【详解】令()77.36 1.82f x x =-,因为(1)()77.36 1.82(1)77.36 1.82 1.82f x f x x x +-=-+-+=-, 所以产量每增加1000件,单位成本约下降1.82元. 【点睛】本题考查了线性回归分析.属基础题. 5．B 【分析】根据逆否命题的概念，准确改写，可判定A 正确的；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B 不正确；根据复合命题的真假判定方法，可判定C 是正确的；根据充要条件的判定方法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，根据逆否命题的概念，可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，所以A 正确的；对于B 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+≤”，所以B 不正确；对于C 中，根据复合命题的真假判定方法，若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题，所以C 是正确的；对于D 中，不等式2430x x ++>，解得3x <-或1x >-，所以“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件，所以D 正确. 综上可得，命题错误为选项B. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到四种命题的改写，全称命题与存在性命题的关系，以及复合命题的真假判定和充分条件、必要条件的判定等知识的综合应用，属于基础题. 6．C 【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果. 【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误； 在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误． 故选：C. 【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目． 7．A 【解析】依题意可得，满足2214x y +<的点(,)x y 如下图阴影部分：根据几何概型可得满足2214x y +<的概率为221()2216ππ⋅=，故选A8．D 【分析】因为0xy <,所以图像在二,四象限, 结合221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解. 【详解】因为221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆, 又0xy <,说明图像在二,四象限,故选D. 【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题. 9．A 【解析】设过点(1,1)A 的直线与椭圆相交于两点1122(,),(,)E x y F x y ， 由中点坐标公式可得12121,122x x y y ++==， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()044x x x x y y y y +-+-+=，所以121212y y x x -=--，所以直线EF 的斜率121212y y k x x -==--， 所以直线EF 的方程为11(1)2y x -=--，整理得230x y +-=，故选A ． 10．D【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.【详解】”至少有一个黒球与都是黒球”有公共事件:两个黑球,既不互斥,也不对立;“至少有一个黒球与恰有1个黒球”有公共事件:一个红球,一个黑球,既不互斥,也不对立; “至少有一个黒球与至少有1个红球”有公共事件:一个红球,一个黑球”,既不互斥,也不对立;“恰有1个黒球与恰有2个黒球”是互斥事件,但不是对立事件,因为有可能是两个红球. 故选D.【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,属基础题.11．C【分析】先根据1910PF =<,推出点P 在双曲线的左支上,再根据双曲线的定义列等式可解得.【详解】因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上,所以根据双曲线的定义可得:212248PF PF a -==⨯=,又19PF =,所以298PF -=,解得:217PF =,故选C.【点睛】本题考查了双曲线的定义,注意先判断出点P 在双曲线的左支上.属基础题.12．A【分析】令,3x y a x y b -=+=,则73282a b x y --=,利用1,3a b ≥≤可求得281x y -≥-. 【详解】令,3x y a x y b -=+=,则34a b x += ,4b a y -= , 3282844a b b a x y +-∴-=⨯-⨯732a b -=, 1,3a b ≥≤ ,737133(,),28122a b x y D x y -⨯-⨯∴∀∈-=≥=- ,当且仅当1,3a b ==,即31,22x y == 时,等号成立. (),,281x y D x y ∴∀∈-≥-,故3p 是真命题,命题4p 是假命题. 因为存在31,22x y ==时,2812x y -=-<,说明命题1p 是假命题,命题2p 是真命题; 所以命题23,p p 都是真命题.故选A .【点睛】本题考查了不等式的性质,换元法.全称量词,特称量词,属中档题.13．6【分析】先求出抽样比,再用样本容量乘以抽样比可得.【详解】总体容量为:8020404020200++++=,抽样比为:20403802040402010+=++++, 所以青鱼与鲤鱼共有:32010⨯6=, 故答案为:6.【点睛】本题考查了分层抽样,属基础题.14．【分析】将双曲线方程化成标准方程,所以223,9a b ==,根据222c a b =+可得.【详解】 由2239x y -=得:22139x y -=, 所以223,9a b ==,所以2223912c a b =+=+=,所以c =,所以焦距2c =【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,属基础题.15．4【分析】 设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为2x +3，然后利用方差的公式计算即可．【详解】 设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为2x +3， 则其方差为1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]＝4， 则新数据的方差为：1n[（2x 1+3﹣2x ﹣3）2+（2x 2+3﹣2x ﹣3）2+…+（2x n +3﹣2x ﹣3）2] ＝4×1n [（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2] ＝16．故新数据的标准差是4．故答案为4．【点睛】本题考查了方差和标准差的定义的应用，属于基础题．16-【分析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,进一步得到三角形ABF '为等腰直角三角形,设AF AB x '==,求出x ,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,即可求出2e ,则答案可求.【详解】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形,设AF AB x '== ,则4x x a ++=,解得(4x a =-,2)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以29e e =-=,故答案为-. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题.17．（1）13（2）35 【分析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得.【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D , ()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种.所以A 被选中的概本为51153=.()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种, 则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题.18．（1）22m -<<（2）2023m m -<≤≤<或【解析】【分析】（1）整理圆的方程：()22224x y m +-=-，根据240m ->，即可求解；（2）根据椭圆的标准方程，求得q 为真时，03m <<，再根据,p q 一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】（1）整理圆的方程：()22224x y m +-=-若p 为真，则22m -<<（2）若q 为真，则03m <<由题可知，,p q 一真一假故“p 真q 假”时，2203m m m -<<⎧⎨≤≥⎩或 则20m -<≤“q 真p 假”时，2203m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或 则23m ≤<综上，2023m m -<≤≤<或【点睛】本题主要考查了利用简单的复合命题的真假求解参数问题，其中解答中正确求解命题,p q ，再根据复合命题的真假，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（1）0.70.35y x =+；（2）19.65.【分析】（1）由表中数据和参考公式即求线性回归方程；（2）根据（1）中的线性回归方程进行预测，即得答案.【详解】（1）由表中数据可得3456 2.534 4.54.5, 3.544x y ++++++====. 1222441466.54 4.5 3.50.7864 4.5ˆ4ii i ii b x y xy xx ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ 3.50.7 4.50.35ay bx =-=-⨯=. 所以线性回归方程为0.70.35y x =+.（2）由（1）知线性回归方程为0.70.35y x =+.把100x =代入，得0.71000.3570.35y =⨯+=，所以生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=吨标准煤.【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，属于中档题.20．（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.【详解】解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=,解得0.005m =.()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, 即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人.【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.21．24y x =【分析】设出点P 的坐标(,)x y ,然后根据12BC CP =,用P 的坐标表示,B C 的坐标,最后利用AB BP ⊥列式可求得动点P 的轨迹方程.【详解】设()()(),,0,,,0P x y B y C x '',则(),BC x y ''=-,(),CP x x y '=-. 由12BC CP =,得()()1,,2x y x x y '''=-,即,32x y x y ''==-, 故0,,,023y x B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()30A -,,3,2y AB ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,3,2BP x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭由AB BP ⊥,得0AB BP =, 故24303x y -=,得24y x =, 即为动点P 的轨迹方程.【点睛】本题考查了坐标转移法求动点的轨迹方程,属中档题.22．（1）22143x y +=；（2）3.【分析】（1）由2MNF ∆的周长为8，可知48a =,结合离心率为12，可求出2a =，1c =，23b =，从而可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线m 的斜率不为0，设直线m 的方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于k 的一元二次方程，由三角形的面积公式可知2121212PQF S F F y y ∆=-，结合根与系数关系可得到2PQF S ∆的表达式，求出最大值即可．【详解】（1）由题意知, 48a =,则2a =, 由椭圆离心率12c e a ==,则1c =,23b =, 则椭圆C 的方程22143x y +=. （2）由题意知直线m 的斜率不为0，设直线m 的方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()2243690k y ky ⇒+--= 122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⇒⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()22212121212122211163642222343PQF k S F F y y F F y y y y k k ∆⎛⎫=-=+-=⨯+ ⎪++⎝⎭， t =，则1t ≥，所以()22121213143PQF t S t t t∆==-++，而13y t t =+在[)1,+∞上单调递增，则13t t+的最小值为4， 所以212313PQF S t t ∆=≤+， 当1t =时取等号，即当0k =时，2PQF ∆的面积最大值为3.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了三角形的面积公式的运用，属于难题．。
安徽省太和第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学(奥赛班)试题 扫描版含答案
姓名，年级：时间：高二开学第一考奥赛班立体几何测试题参考答案1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．D【详解】因为二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点,AC 、BD 分别在半平面αβ、内,AC l ⊥，BD l ⊥,所以,60AC BD >=<,0AC BA ⋅=，0AB BD ⋅=又CD CA AB BD =++ 所以()2222+2+2+2 CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA BD =++=++⋅⋅⋅ 222+2 CA AB BD CA BD =++⋅()2222= 22cos1202a a a a a a +++⋅⋅=.所以CD 的长为2a .7．C 8．D9．B 10．C【详解】如图，延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，取1CC 的中点Q ,连接EQ ,则四边形AEMF 所求截面. 因为111=,//2FC AC FC AC ，且F 为11AC 的中点， 所以1C 为PC 的中点.又因为Q ,E 分别为1CC ,1BB 的中点,所以1//MC EQ .则1123MC PC EQ PQ ==，即11122433MC EQ B C ===. 所以M 为11B C 上靠近1B 的三等分点.故222313EM =+=。
故选:C11．B【详解】如图,过点A 作AE MN ⊥，连接1A E∵1A A ⊥平面ABCD ，∴1A A MN ⊥，∴MN ⊥平面1A AE ，∴1A E MN ⊥,所以平面1A AE ⊥平面1A MN ，∴1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，∴145AA E ︒∠=，在1Rt A AE △中,∵12AA =，∴12,AE A E ==在Rt MAN △中,由射影定理得24ME EN AE ⋅==,由基本不等式得4MN ME EN =+≥=，当且仅当ME EN =，即E 为MN 中点时等号成立，∴截面1A MN 面积的最小值为142⨯⨯= 12．B【详解】如图，平面α为平面ABC ，直线1l 为直线AB,直线2l 为直线AC ，由题意得6BAC π∠=，过1l 作平面β为平面ABP, 过2l 作平面γ为平面ACP ，过点P 向平面α作垂线,垂足为O ，再由点O 作,,OB AB OC AC ⊥⊥连接PB ，PC ，锐二面角1l αβ--的大小为4π，即4PBO π∠=，同理可知3PCO π∠=，设1CO =，则PO BO ==2PC =，PB =DAC △中,3BDO π∠=,1DB =,2DO =，所以AC =6AD =,5AB =PA =C 作,CM AP ⊥所以高线CM =， ,AB OB AB PO ⊥⊥，可得AB POB ⊥面,AB PAB ⊂面,PAB POB ⊥面面，PAB POB PB =面面，过点O 作OH PB ⊥,则OH PAB ⊥面，可得O 到面PAB 的距离162OH d ==，故可知C 到面PAB的距离为2133624d d ==，记平面β,γ所成的角为θ，则236624sin 86331d CM θ===，所以2cos 8θ=. 故选：B.13．23π14．5 【详解】如图所示：连接BD ，∵AE∥DF∴∠DFB 即为异面直线FB 与AE 所成角。
安徽省太和第一中学2020年高二第一学期期中考试数学奥赛班试题含答案
太和一中2020－2021学年第一学期高二年级期中数学试卷(奥赛班)满分:150分考试时间:120分钟一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B种型号产品抽取了60件,则a=()A.3B.4C.5D.62.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥ABCD,NB⊥ABCD.且MD＝NB＝1.则下列结论中:①MC⊥AN②DB∥平面AMN③平面CMN⊥平面AMN④平面DCM∥平面ABN所有假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.已知直线a、b,平面α、β、γ,下列命题正确的是( )A.若αγ⊥,βγ⊥,a αβ⋂=,则a γ⊥B.若a αβ⋂=,b αγ⋂=,c βγ⋂=,则////a b cC.若a αβ⋂=,//b a ,则//b αD.若αβ⊥,a αβ⋂=,//b α,则//b a4.已知正方体的8个顶点中,有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点,则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 ( )A.B. C.2 D.5 . 执行如图所示的程序框图,若输出的120S =,则判断框内应填入的条件是( )A ．4k > B.5k > C.6k > D.7k >6 .直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称,则k 等于( ) A ．0B.1C.2D.37.已知点()2,0A -,()0,0O ,若直线()1y k x =-上至少存在三个点P ,使得AOP ∆是直角三角形,则实数k 的取值范围是( )A.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.23⎡-⎢⎣⎦D.30,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦8.线段AB 长为2a ,两端A ,B 分别在一个直二面角的两个面内,AB 和两个面所成角分别为45︒,30,那么A ,B 在棱上射影间的距离为( ).A.2aB.2a C.a9.某四棱锥的三视图如图所示,点E 在棱BC 上,且2BE EC =,则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为( )A ．5-B.5D.1510.已知直线:l ()23y k x =-+,圆:O ()()224x a y b -+-=,且点(),a b 是圆()()22234x y -+-=上的任意一点,则下列说法正确的是( )A.对任意的实数k 与点(),a b ,直线l 与圆O 相切B.对任意的实数k 与点(),a b ,直线l 与圆O 相交C.对任意的实数k ,必存在实数点(),a b ,使得直线l 与圆O 相切D.对任意的实数点(),a b ,必存在实数k ,使得直线l 与圆O 相切11.在平面直角坐标系中,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则实数k 的最大值为( )A.0B.C.D.312在三棱锥P ABC -中,AB BC ⊥,P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ,1DP DC ==.有下列结论:①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的体积为23π；④若AB BC =,E 是线段PC 上一动点,则DE BE +的最小值为2. 其中正确结论的个数是( ) A.1B.2C.3D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
安徽省太和第一中学高二12月月考数学(理奥赛班)试题含答案
太和一中2020－2021第一学期高二年级调研数学试卷（奥赛班）满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，102．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．5B ．11C ．14D ．193．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．84．设a 、b 是异面直线，给出下列命题：①经过直线a 有且仅有一个平面平行于直线b ；②经过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b ；③存在分别经过直线a 和直线b 的两个平行平面；④存在分别经过直线a 和直线b 的两个互相垂直的平面．其中错误的命题为（）A ．①与②B ．②与③C ．②与④D ．仅②5．设点(,)i i i P x y 在直线:i i i i l a x b y c +=上，若()(1,2)i i i i a b c i +==，且12PP ≥恒成立，则12c c +的值A ．2B ．4C ．6D ．86．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．407．已知直线1l ：310mx y m --+=与直线2l ：310x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =D 是线段AB 的中点.则PD 的最大值为（）A ．．．．18．设a N ∈,且0≤a ＜13,若201851a +能被13整除,则a =( )A ．0B ．1C ．11D ．129.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A ．15种B ．90种C ．120种D ．180种10．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．21611．E 、F 是正三角形ABC 的边AB 、AC 的中点，沿EF 把正三角形折成60°的二面角（如图），则ABC ∠的正切值为（）A ．D ．以上答案均不对 12．已知7280128(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-+⋯⋯+-，则56a a +=( )A ．14-B ．0C ．14D ．28-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.直线l 过点()1,0，且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的一般式方程是________.14．将A ，B ，C ，D ，E 五个字母排成一排，若A 与B 相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种.15．一个五位数abcde 满足a b <,b c d >>,d e <,且a d >,b e >(如37201､45412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有______个五位数符合“正弦规律”. 16．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱12AA =，4,3AB AD ==，点E ，F 分别为棱BC ，1CC 上的动点.若四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）①存在点E ，使得1EF A F ⊥；②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个；④当点F 为1CC 中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体11A B EF 四个面所在平面，有4对相互垂直.三、解答题：本题共6题，共70分(17题10分，18-22均为12分)。
安徽省太和第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(奥赛班)试题
太和一中2020－2021学年第一学期高二年级期中数学试卷（奥赛班）满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B种型号产品抽取了60件，则a=（）A．3B．4C．5D．62．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：①MC⊥AN②DB∥平面AMN③平面CMN⊥平面AMN④平面DCM∥平面ABN所有假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．33．已知直线a、b，平面α、β、γ，下列命题正确的是（）A ．若αγ⊥，βγ⊥，a αβ⋂=，则a γ⊥B ．若a αβ⋂=，b αγ⋂=，c βγ⋂=，则////a b cC ．若a αβ⋂=，//b a ，则//b αD ．若αβ⊥，a αβ⋂=，//b α，则//b a4.已知正方体的8个顶点中，有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）A.B ．1:C ．2D ．5 . 执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >6 .直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．已知点()2,0A -,()0,0O ,若直线()1y k x =-上至少存在三个点P ,使得AOP ∆是直角三角形,则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．23⎡-⎢⎣⎦D ．30,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦8．线段AB 长为2a ，两端A ，B 分别在一个直二面角的两个面内，AB 和两个面所成角分别为45︒，30，那么A ，B 在棱上射影间的距离为（ ）．A ．2aB ．2aC ．aD 9．某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE所成的角的余弦值为（ ）A ．5-B ．5C ．2D ．1510．已知直线:l ()23y k x =-+，圆:O ()()224x a y b -+-=，且点(),a b 是圆()()22234x y -+-=上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．对任意的实数k 与点(),a b ，直线l 与圆O 相切B ．对任意的实数k 与点(),a b ，直线l 与圆O 相交C ．对任意的实数k ，必存在实数点(),a b ，使得直线l 与圆O 相切D ．对任意的实数点(),a b ，必存在实数k ，使得直线l 与圆O 相切11.在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．C ．D ．312在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为2. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省太和第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学(平行班)试题 Word版含答案
太和一中高二年级开学第一考
数学平行班试卷(含文科A班)
满分：150时间：120分钟命题人：方成超
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
选择题：满分60分
一、单选题
1．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为 的扇形，则该几何体的侧面积为（ ）
其中正确的命题有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
第II卷（非选择题）
填空题满分20分
二、填空题
13．自空间一点分别向70°二面角的两个平面引垂线，这两条直线所成的角的大小是__
14．若点 是两条异面直线 外的一点，则过点 且与 都平行的平面有____个.
15．已知某长方体的长宽高分别为 ，则该长方体外接球的体积为____
16．已知棱长为 的正方体 中， 在棱 上，且 ，则过点 且与平面 平行的正方体的截面面积为______.
三、解答题
17．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱 中， ，E，F分别为AB， 的中点.
（1）求证： 平面ACF；
（2）求三棱锥 的体积.
18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱 中， ， 为 中点，平面 平面 ， .
A．2 B． C． D．
2．某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
3． 是三个平面， 是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 不垂直平面 ，则 不可能垂直于平面 内的无数条直线
安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二(普通班)10月月考数学(文)试题
安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（普通班）10月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ） A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．10x y ++=或340x y +=D ．10x y -+=或10x y ++=2．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A ．若m α⊥，//n β且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若//m α，βn//且//αβ，则//m n C ．若//m α且m β⊥，则αβ⊥D ．若m α⊥，n m ⊥，则//n α3．已知在三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，2PB BC ==3PA =，且PA BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．15πB ．C ．21πD ．4．某中学注重培育学生劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.为了让学生更深刻理解劳动创造价值，丰富职业体验，现组织学生到工厂参加社会实践活动.学生在活动过程中观察到一个生产所需零件的几何体三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．4πB ．174π C ．14π D ．15π5．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 上，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，24AB AD ==，则球O 的表面积为（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D ．64π6．设l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q 表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）①Q α∈，l Q l α⊂⇒∈ ②l m Q ⋂=，m l ββ⊂⇒⊂ ③//l m ，l α⊂，Q m ∈，Q m αα∈⇒⊂④αβ⊥且m αβ=，Q β∈，Q l ∈，l l αβ⊥⇒⊂A ．①②B ．②③C ．②③D ．③④7．若直线:l x ym 与曲线:C y =有且只有两个公共点，则m 的取值范围是A ．(B ．[C ．D ．8．若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值是（ ） A ．12B ．12-C ．2-D ．49．已知,P Q 分别为圆226)3)4:((M x y -+-=与圆224)2)1:((N x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的最小值为（ ）A 3B ．3C ．3D ．310．已知圆22:420C x y x y m +-++=与y 轴交于A ，B 两点，圆心为C ．若2ACB π∠=，则实数m 的值为（ ）A ．3-B ．C ．3D ．811． 若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A 5B ．5C ．30－D ．无法确定12．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠= ，沿BD 将ABD ∆ 翻折，得到三棱锥A BCD - ，则当三棱锥A BCD -体积最大时，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．58B ．23C ．1316D ．14二、填空题13．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，AB AC ==4BC =，PB 过球心O .若球O 的表面积为36π，则此三棱锥的体积为_________.14．已知圆M 的圆心在直线24y x =-上，圆M 与直线:110l x +-=相切于点(3,P ，则圆M 的标准方程为______.15．直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=交于,A B 两点，若AB =k = ．16．已知正三棱锥-P ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为 PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．三、解答题17．已知圆C 经过点(2,1)A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-，求圆C 的方程.18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,1AB AC PA AB ⊥==，,E F 分别为棱,PC BC 上一点，且,//BE PC EF PAB ⊥平面.（1）求证：AE PC ⊥；（2）当2BF FC =时，求三棱锥P ABC -的表面积.19．已知圆过点M （0，-3），N （2，1），且圆心到直线MN 方程20．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（1）证明：//MN 平面PAB ； （2）求点A 到平面PMN 的距离；（3）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.21．已知OAB ∆顶点的坐标为(0,0)O ，(1,3)A ，(4,2)B . （1）求点A 到直线OB 的距离d 及OAB ∆的面积OAB S ∆； （2）求OAB ∆外接圆的方程. 22．如图，已知E ,F 分别是正方形ABCD 边BC ,CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，,PA NC 都垂直于平面ABCD ，且2PA AB NC ==，M 是PA 中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ； （Ⅱ）求二面角M EF N --的余弦值．参考答案1．C 【分析】设直线方程为326(257)0x y x y λ++++-=，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【详解】解：设直线方程为326(257)0x y x y λ++++-=， 即(32)(25)670x y λλλ++++-=令0x =，得7625y λλ-=+，令0y =，得7632x λλ-=+. 由76762532λλλλ--=++，得13λ=或67λ=.所以直线方程为10x y ++=或340x y +=. 故选：C. 【点睛】此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往往会把过原点的情况忽视导致答案不完整. 2．C 【分析】AB 两个选项中直线位置均不能确定，D 选项中的直线可能在平面内. 【详解】对于A 选项，若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，又//n β，所以//m n ，或m ，n 异面，或m ，n 相交，A 错误；对于B 选项，若//m α，//n β且//αβ，则m ，n 也可能相交或异面，B 错误； 对于C 选项，因为//m α且m β⊥，α内必有直线l 与m 平行，l β⊥,根据面面垂直的判定定理，可得出αβ⊥，C 正确；对于D 选项，若m α⊥，n m ⊥，则//n α或n ⊂α，D 错误. 故选：C 【点睛】此题考查线面位置关系的判定，关键在于熟练掌握定理公理，根据定理公理推理论证即可. 3．A 【分析】由90ABC ∠=，即AB BC ⊥，又由PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ，在PAB ∆中，得到PA AB ⊥，利用线面垂直的判定定理PA ⊥平面ABC ，在ABC ∆中得到AC =进而在直角PAC ∆中，求得PC = 【详解】由题意，设球的半径为R ，如图所示，由90ABC ∠=，即AB BC ⊥，又由PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ，又由在PAB ∆中，3,PA PB AB ===，所以222PB PA AB =+，则PA AB ⊥， 又由PA BC ⊥，且AB BC B ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ，又由底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，所以AC =在直角PAC ∆中，3,PA AC ==PC ==,即2R =，所以2R =，所以球的表面积为224415S R πππ==⨯=．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟练应用组合的结构特征，以及球的性质求解求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题． 4．A 【分析】观察三视图知该几何体是由一个圆柱和一个半球拼接而成，分别计算圆柱的侧面积，半球的表面积和一个圆的面积即可. 【详解】通过三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半球拼接而成, 其中圆柱的底面半径为12，高为1；半球的半径为1 ∴该几何体的表面积为221121+1+41=422ππππ⨯⨯⨯⨯⨯（2cm ）故选：A 【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积计算，属于基础题. 5．B 【分析】求出APD △所在圆的半径，利用勾股定理求出球O 的半径R ，再结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，设APD △所啊圆的圆心为1O ，因为APD △为正三角形且2AD =，可得圆1O 的半径为3r =， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且4AB =，所以1122OO AB ==，所以球O 的半径为3R ==，所以球O 的表面积为226444(33S R πππ==⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记组合体的结构特征，结合勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 6．D 【分析】根据点线面的位置关系，判断①的正确性.根据公理1判断②的正确性，根据公理2及其推论判断③的正确性，根据面面垂直的性质，判断④的正确性. 【详解】对于①，Q 点和直线l 都在平面α内，但是Q 不一定在直线l 上，故①错误.对于②，根据条件可知直线l 有一个点Q 在β内，根据公理1，无法判断直线l 是否含于平面β，故②错误.对于③，由于//l m ，所以l 与m 共面，直线l 与Q 确定一个平面，且Q m ∈，Q α∈，所以m α⊂，故③正确. 对于④，αβ⊥且m αβ=，而Q β∈，Q l ∈，l α⊥，过一点只能作平面的一条垂线，且Q β∈，所以l β⊂，故④成立 故选：D 【点睛】本小题主要考查空间点、线、面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题. 7．C 【详解】试题分析：把曲线2:1C y x =-的方程化为（圆），又，所以曲线为圆在轴上方部分（半圆），画出半圆和斜率为的直线族，当时直线与半圆相切，利用数形结合可以得出，直线与半圆有两个公共点，只需.考点：直线与圆的位置关系； 8．D 【分析】求出圆的标准方程，可得直线过圆心，即可得到1a b +=，再将11a b+变形()1111a b a b a b ⎛⎫+=+⨯+ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求得最值. 【详解】解：由222410x y x y ++-+=得()()22124x y ++-=，因为直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆()()22124x y ++-=截得的弦长为4， 所以直线过圆心()1,2-，()2220,0a b a b ∴+=>>，即1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=+⨯+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，11a b∴+的最小值为4. 故选：D . 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式求最值，是中档题. 9．B 【分析】计算圆N 关于x 轴对称的圆为'22:(4)(2)1N x y +++=，||||AP AQ +的最小值为12MN '--，计算得到答案.【详解】圆224)2)1:((N x y ++-=关于x 轴对称的圆为圆22:(4)(2)1N x y '+++=则||||AP AQ +的最小值为123MN r R '--=-=. 故选B 【点睛】本题考查了距离的最值问题，转化为圆心距的关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．A 【分析】2ACB π∠=得到ACB ∆为等腰直角三角形，计算出半径，再根据圆的一般方程得半径，列方程解得结果. 【详解】 圆2222:420(2)(1)5C xy x y m x y m +-++=∴-++=-由2ACB π∠=得到ACB ∆为等腰直角三角形22r r =∴= 58,3m m -==-故答案为A 【点睛】本题考查了圆的一般方程里参数的值，根据条件得到半径是解题的关键. 11．C 【解析】由x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0得22(1)(2)25x y -++=，设圆心1-2C （，），则x 2＋y 2的最小值是22(5)(530OC -==-选C.点睛：与圆上点(,)x y 有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如y bu x a-=-型的最值问题，可转化为过点(,)a b 和点(,)x y 的直线的斜率的最值问题；②形如t ax by =+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如22()()x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点到定点(,)a b 的距离平方的最值问题．12．D【分析】当三棱锥A BCD -体积最大时，平面ADB平面BDC ，取DB 中点O ，连接AO,OC ，则AO ⊥平面BDC ，OC 平面ADB ，以O 为原点，分别OB,OC,OA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．【详解】当三棱锥A BCD -体积最大时，平面ADB平面BDC ，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠= BD 1取DB 中点O ，连接AO,OC ，则AO ⊥平面BDC ，OC 平面ADB ，以O 为原点，分别OB,OC,OA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 则131D ,0,0,A 0,0,,B ,0,0222，3C 0,,02 1313,0,,,,022AD BC 设异面直线AD 与BC 所成角为θ 1||14cos 114||||AD BC AD BC 即异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为14 故选D ．【点睛】求异面直线所成的角，转化为两直线的方向向量的夹角，建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.13．8【分析】先求出ABC 的外接圆半径r ，再求出外接球的半径，从而可求球O 到平面ABC 的距离，而P 到平面ABC 的距离为前者的两倍，从而可求三棱锥的体积.【详解】如图，设ABC 的外心为1O ，外接圆半径为r ，BC 的中点为D ，ABC中，AB AC ==4BC =，所以2BD =，AD =1BDO △中，由勾股定理得()2222r r =+，解得2r =.因为球O 的表面积为36π，可求得球O 的半径3R =，所以12OO ==.又PB 过球心O ，因此点P 到平面ABC 的距离为12OO =.因为142ABC S=⨯⨯=所以11833P ABC ABC V S h -=⋅⋅=⨯=. 故答案为：8.【点睛】本题考查三棱锥的体积，注意利用外接球球心的性质来沟通外接球的半径与三棱锥的高之间的关系，本题属于中档题.14．()2229x y -+=【分析】设圆的标准方程，圆心(,)C a b ，依题意PC的斜率为，又圆心在24y x =-，可得出关于,a b 的两关系式，可求出,a b ，进而求出半径r ，即可求出圆的标准方程.【详解】可设圆M 的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，则根据题意可得()(22224,3,b a r a b ⎧=-=⎪⎪=-+-⎪⎩解方程组可得2,0,3,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即得圆M 的方程为()2229x y -+=.故答案为:()2229x y -+=.【点睛】本题考查圆的标准方程，确定圆心坐标关系是解题的关键，属于基础题.15．12【解析】试题分析：圆22:(2)1C x y -+=的圆心为，圆心到直线的距离为d =，因为弦AB =2221r 4d AB +=可化为2241115k k +=+，又10,.2k k >∴= 考点：直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆相交时，圆的弦长问题，属于基础题.解决直线与圆的位置关系通常有代数法和几何法两种处理策略，代数法就是通过整理直线方程与圆的方程构成的方程组，通过韦达定理和弦长公式来解，虽然思路简单，但运算量大，对考生的运算能力要求较高，代数是结合圆的的性质构造弦心距、半弦和半径之间的关系，运算量小，准确率高，往往作为首选方法.16【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====12ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以h =ABC 的距离为3. 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力17．22(1)(2)2x y -++=【解析】试题分析：设出圆心坐标，利用圆C 经过点(2,1)A -，和直线1x y +=相切，建立方程组，可求圆C 的方程.试题解析：由题意求得圆心和半径即可，设圆心的坐标为(,2)C a a -，=∴1a =，r AC ===∴圆C 的方程为22(1)(2)2x y -++=考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式18．（1）见解析（2）12+【分析】 （1）由AB ⊥平面PAC ，得到AB PC ⊥，结合AB AC ⊥，可证得AB ⊥平面PAC ，即得证；（2）由APE CPA ∆∆，可得PC =，在Rt PAC ∆中，213AE =，所以AC =BE =，PAB PAC ABC PBC S S S S S ∆∆∆=+++运算可得解. 【详解】（1）连接AEPA ⊥平面,,ABC PA AB PA AC ∴⊥⊥ 又,,AB AC AC PA A AB ⊥⋂=∴⊥平面PAC ，AB PC ∴⊥ 又,,BE PC BE AB B PC ⊥⋂=∴⊥平面ABE ，AE PC ∴⊥（2）由//EF 平面PAB ，EF ⊂平面PBC平面PAB ⋂平面PBC PB =得，//EF PB因为2BF FC =所以2PE EC =所以由（1）可得，APE CPA ∆∆，则2223AP PE PC PC =⋅=又1PA =，得2PC = 在Rt PAC ∆中，2221213393AE PE EC PC PC PC =⋅=⋅==所以23AC BE ==== 则该三棱锥的表面积1112242322PAB PAC ABC PBC S S S S S ∆∆∆=+++=+⨯+⨯=+【点睛】 本题考查了立体几何综合，考查了线线垂直的证明和三棱锥的表面积的求解，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．22221)10(3)(2)10x y x y ++=-++=（或【解析】试题分析：求解圆的方程一般采用待定系数法或性质法，本题中由圆所过的两点M ，N 坐标可得到圆心在线段MN 的中垂线上，得到关于圆心的方程，利用圆心到直线MN 的距离可得到关于圆心的另一关系式，解方程组可得到圆心值，进而求得圆的半径，得到其方程试题解析：230MN x y --=直线方程：,)235a b MN d a b ==⇒--=圆心（到直线的距离210MN a b ++=且在直线的中垂线上满足：，1,03,2a b a b =-===-解得或210r =22221)10(3)(2)10x y x y ∴++=-++=（或 考点：圆的方程及性质20．（1）证明见解析（2（3 【分析】（1）取PB 中点G ，连接,AG NG ，根据已知条件，可证四边形AMNG 为平行四边形，即可得证结论；（2）点A 到平面PMN 的距离，即为点A 到平面PCM 的距离，求出PCM ∆，ACM ∆的面积，P ACM A PCM V V --=等体积法，即可求出结论；（3）由（2）的结论，得出直线与平面所成的角，解直角三角形，即可求解.【详解】（1）证明：取PB 中点G ，连接,AG NG ，∵N 为PC 的中点，∴//NG BC ，且1N 22G BC ==， 又223AM AD ==，且//AD BC ， ∴//AM BC ，且12AM BC =， 则//NG AM ，且NG AM =，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴//MN AG .又∵AG ⊂平面PAB .MN ⊄平面PAB ，∴//MN 平面PAB .（2）取BC 的中点H ，连接AH ，∵AB AC =，∴AH BC ⊥且AH =，∴四边形AHCM 是矩形，∴CM AD ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CM ⊥，∴CM ⊥平面PAM 且CM AH ==，过点A 作AF ⊥平面PMN 于F ，则AF 即为点A 到平面PMN 的距离.∵P ACM A PCM V V --=，∴1133ACM PCM S PA S AF ∆∆⋅=⋅，112422AF ⨯=⨯，∴5AF =. （3）连接,AN NF 由（2）知ANF ∠即为直线AN 与平面PMN 所成的角，在Rt PAC ∆中，4PA =，3AC =，∴5PC =，又∵N 是PC 的中点， ∴1522AN PC ==，∴sin AF ANF AN ∠==，所以直线AN 与平面PMN .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到面距离，以及直线与平面所成的角，解题的关键是等体积法的应用，属于中档题.f21．（1）d =，5OAB S ∆=（2）22420x y x y +--= 【分析】(1)求出直线OB 的方程,利用点到直线的距离公式求出距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.(2)设出圆的一般方程,利用待定系数法求解D,E,F 即可.【详解】(1)解：直线OB 方程为：20x y -=点(1,3)A 到直线OB 的距离d ==又2OB =152=OAB S ∆∴⨯= (2)设OAB ∆外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=把三点(0,0)O ，(1,3)A ，(4,2)B 分别代入，得：0410302204200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==⎩⎩求的OAB ∆外接圆的方程为22420x y x y +--=【点睛】本题主要考查三角形的面积的计算以及三角形外接圆的求解,利用待定系数法是解决本题的关键.22．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【详解】试题分析：(1)利用已知的面面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)把两平面所成角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备. 试题解析：法1：（Ⅰ）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD 又∵BD AC ⊥，AC PA A ⊥=，∴BD ⊥平面PAC ，又∵,E F 分别是BC 、BD 的中点，∴EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊆平面NEF ，∴平面PAC ⊥平面NEF ； 5分（Ⅱ）连OM ，∵EF ⊥平面PAC ，OM ⊂平面PAC ，∴EF ⊥OM ，在等腰三角形NEF 中，点O 为EF 的中点，∴NO EF ⊥，∴MON ∠为所求二面角M EF N --的平面角，设4AB =，∵点M 是PA 的中点，∴2AM NC ==，所以在矩形MNCA 中，可求得MN AC ==NO =MO = 9分在MON ∆中，由余弦定理可求得：222cos 2OM ON MN MON OM ON +-∠==⋅⋅ ∴二面角M EF N --的余弦值为33-． 12分 法2：（Ⅰ）同法1； 5分（Ⅱ）设4AB =,建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ,(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，(0,0,2)M ，(4,4,2)N ∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，则(0,2,2)EN =(0,2,2)EN =， 设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则0220{{2200m EN y z x y m EF ⋅=+=⇒-+=⋅=，令1x =，得1y =，1z =- 即(1,1,1)m =-，同理可求平面MEF 一个法向量(1,1,3)n =， 9分∴cos ,333m n ==-⨯， ∴二面角M EF N--的余弦值为33-． 12分 考点：空间点、线、面的位置关系.。
安徽省太和第一中学2020-2021学年高二12月月考数学(理,奥赛班)试题
太和一中2020－2021第一学期高二年级调研数学试卷（奥赛班）满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，102．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）3．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．84．设a 、b 是异面直线，给出下列命题：①经过直线a 有且仅有一个平面平行于直线b ；②经过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b ；③存在分别经过直线a 和直线b 的两个平行平面；④存在分别经过直线a 和直线b 的两个互相垂直的平面．其中错误的命题为（ ）A ．①与②B ．②与③C ．②与④D ．仅②5．设点(,)i i i P x y 在直线:i i i i l a x b y c +=上，若()(1,2)i i i i a b c i +==，且12PP ≥恒成立，则12c c +的值A ．2B ．4C ．6D ．8 6．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．407．已知直线1l ：310mx y m --+=与直线2l ：310x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =D 是线段AB 的中点.则PD 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．18．设a N ∈,且0≤a ＜13,若201851a +能被13整除,则a =( )A ．0B ．1C ．11D ．129.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ）A ．15种B ．90种C ．120种D ．180种10．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）种A ．96B ．120C ．180D ．21611．E 、F 是正三角形ABC 的边AB 、AC 的中点，沿EF 把正三角形折成60°的二面角（如图），则ABC ∠的正切值为（ ）A B C D ．以上答案均不对12．已知7280128(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-+⋯⋯+-，则56a a +=( )A ．14-B ．0C ．14D ．28-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.直线l 过点()1,0，且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的一般式方程是________.14．将A ，B ，C ，D ，E 五个字母排成一排，若A 与B 相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种.15．一个五位数abcde 满足a b <,b c d >>,d e <,且a d >,b e >(如37201､45412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有______个五位数符合“正弦规律”. 16．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱12AA =，4,3AB AD ==，点E ，F 分别为棱BC ，1CC 上的动点.若四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）①存在点E ，使得1EF A F ⊥；②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个；④当点F 为1CC 中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体11A B EF 四个面所在平面，有4对相互垂直.三、解答题：本题共6题，共70分(17题10分，18-22均为12分)。
2020-2021学年安徽省太和第一中学高二上学期期中考试数学试题(普通班)
安徽省太和第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（普通班）满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取样本容量为36的样本，最合适的抽取样本的方法是（ ） A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ．分层抽样 D ．抽签法2.已知()()()2,2,0,0,2,2,2,0,2A B C ，则,,A B C 满足（ ） A ．三点共线B ．构成直角三角形C ．构成钝角三角形D ．构成等边三角形3．已知直线a 、b ，平面α、β、γ，下列命题正确的是（ ） A ．若αγ⊥，βγ⊥，a αβ⋂=，则a γ⊥ B ．若a αβ⋂=，b αγ⋂=，c βγ⋂=，则////a b cC ．若a αβ⋂=，//b a ，则//b αD ．若αβ⊥，a αβ⋂=，//b α，则//b a4.已知正方体的8个顶点中，有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）A. B ．1: C ．2:D ．5 . 执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >6 .直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．线段AB 长为2a ，两端A ，B 分别在一个直二面角的两个面内，AB 和两个面所成角分别为45︒，30，那么A ，B 在棱上射影间的距离为（ ）．A ．2aB ．2aC ．aD ．2a 9．某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．5-B ．5C ．2D ．1510．已知直线:l ()23y k x =-+，圆:O ()()224x a y b -+-=，且点(),a b 是圆()()22234x y -+-=上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．对任意的实数k 与点(),a b ，直线l 与圆O 相切B ．对任意的实数k 与点(),a b ，直线l 与圆O 相交C ．对任意的实数k ，必存在实数点(),a b ，使得直线l 与圆O 相切D ．对任意的实数点(),a b ，必存在实数k ，使得直线l 与圆O 相切11.在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．C ．D ．312在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等； ②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为2. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省太和第一中学2020-2021学年高二数学10月月考试题理奥赛班[含答案]
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22．已知两个定点 A（0，4），B（0，1），动点 P 满足|PA|＝2|PB|，设动点 P 的轨迹为曲 线 E，直线 l：y＝kx﹣4. （1）求曲线 E 的轨迹方程；
5
A． 7
B． 5
C． 2
D．3
10．直线 x y 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 x 22 y2 2 上，
则△ABP 面积的取值范围是
A． 2 ，6
B． 4 ，8
C． 2 ，3 2
D． 2 2 ，3 2
11．已知点
P x,
y 是直线
kx
y
由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态
时 k 的取值，进而得到结果.
【详解】
y =1+
4-
x2
x2
可பைடு நூலகம்为
y 12
4y
1
曲线 y =1+ 4 - x2 表示以 0,1为圆心， 2 为半径的圆的 y 1的部分
又直线 y k x 2 4 恒过定点 A2, 4
取 AC 中点 O ，连接 DO ， BO .
DO 因为 AD CD ，所以 DO AC ，
6 2
2
3 2
2
3 2
.
BO
又因为 AB BC ，所以 BO AC ，
3
2
3 2 2
3 2
.
又平面 DAC 平面 ABC AC ， DO AC ，所以 DO 平面 ABC .
安徽省太和第一中学2021学年上学期高二年级期中考试物理试卷(奥赛班)
安徽省太和第一中学2020-2021学年上学期高二年级期中考试物理试卷（奥赛班）总分：100分 时间：90分钟一、单选题（1--8单选，9--12多选，共48分，每题4分，漏选2分，错选0分）1．如图所示为一通电直导线，设导线中每米长度内有n 个自由电荷，每个自由电荷的电荷量为e ，它们的定向移动速度均为v ，现加一磁场，其方向与导线垂直，磁感应强度为B ，则磁场对长度为L 的一段导线的安培力的大小应是（ ）A ．neBLvB ．meBL/vC ．eBv/nLD ．eBLv/n2．一条形磁铁静止在斜面上，固定在磁铁中心的竖直上方的水平导线中通有垂直纸面向里的恒定电流，如图所示，若将磁铁的N 极位置与S 极位置对调后，仍放在斜面上原来的位置，则磁铁对斜面的压力F 和摩擦力f F 的变化情况分别是A ．F 增大，f F 减小B ．F 减小，f F 增大C ．F 与f F 都减小D ．F 与f F 都增大3．如图所示，半径为R 、质量为m 的半圆形导线框用两根绝缘细线悬挂，静止时直线边水平，导线框中通有沿顺时针方向的电流，图中水平虚线为匀强磁场的上边界线，匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于导线框向里，处于磁场区域的导线框对应的圆心角为120°，此时每根细线的拉力大小为F 1。
现保持其他条件不变，将虚线下方的磁场移至虚线上方，使虚线为匀强磁场的下边界，此时每根细线的拉力大小为F 2。
则导线框中的电流大小为（ ）ABC ．123()F F B Rπ-D ．126()F F B Rπ-4．喷墨打印机的简化模型如图所示，墨汁微滴（重力不计）从墨盒喷出，经带电室带负电后，以速度v 沿轴线垂直匀强电场飞入极板间，最终打在纸上，纸面关于轴线对称，通过调节信号输入使微滴可以带不同的电荷量q ，改变偏转电压U 及两极板的极性均可改变墨汁微滴打在纸上的位置，乃至能够恰好使微滴可以打在纸上的最高点和最低点。