成都田中高2017级一诊模拟试题文科数学

成都田中高2017级一诊模拟试题文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集，集合，则（） A ．B ．C ．D ．2．已知复数，则的虚部是（） A ． B ． C ． D ．4 3．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13．1万公里，其中高铁营业里程2．9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列4．已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为（）AB ． CD ．5．若，则（）A ．B ．C ．D ．6．等差数列的前项和为，已知，，则（） A ．57 B ．60 C ．63 D ．667．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为（） A ． B ． C ． D ．8．若变量，满足约束条件，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．{}|14U x x =≤≤{}|3327xA x =≤<U A =ð[]1,3(]3,4[]3,4()3,434i z =+5z45-454-22221x y a b+=()0a b >>()2,0A ()0,1B -3π4tan 43θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭tan 2θ=725-725724-724{}n a n n S 3620a a +=535S =7S =36π27π18π12πx y 103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩yx 13-12-2-32-9．在直三棱柱中，己知，，则异面直线与所成的角为（） A ． B ． C ． D ．10．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的离心率为（）ABCD11．设曲线在点处的切线方程为，则（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设奇函数的定义域为，且的图像是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知，则_________．14．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从，，，，，，，这8组勾股数中中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为________．15．在中，，，则_________．16. 在平面直角坐标系中，动点P 在椭圆C:221169x y +=上运动，则点P 到直线50x y --=的距离的最大值为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前项和，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．111ABC A B C -AB BC ⊥2AB BC ==1CC =1AC 11A B 30︒45︒60︒90︒()222210,0x y a b a b-=>>30°l l y ()0,b (1)ln y a x x =--()1,033y x =-a =()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭()()cos sin 0f x x f x x '+<()π2cos 3f m f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭m ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,01,0x e x f x x x ⎧->=⎨-≤⎩()()ln 2f f =()3,4,5()5,12,13()6,8,10()7,24,25()8,15,17()9,40,41()9,12,15()10,24,26ABC △0CA CB ⋅=uu r uu r 2BC BA ⋅=uu u r uu rBC =uu u r {}n a ()0d d ≠{}n b 2d n A nB {}n a {}n b n 13b =23A =53A B ={}n a {}n b 11n n n n c b a a +⋅=+{}n c n n S 2(1)n S n <+18．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且有． （1）证明：； （2）求四棱锥的体积．19．（12分）某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：（1与月份之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．参考公式与数据：线性回归方程，其中，．20．（12分）已知抛物线，直线是它的一条切线． （1）求的值；（2）若，过点作动直线交抛物线于，两点，直线与直线的斜率之和为常数，求实数的值．ABCD 2AB =3BC =E AD 2AE ED =H BE ABE △BE A S SC SD =SH BCDE ⊥平面S BCDE -x y x ˆˆˆybx a =+ˆˆˆybx a =+1221ˆni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑5121.2i i i x y ==∑()220y px p =>2y x =+p ()2,4A (),0p m B C AB AC m21．（12分）设函数． （1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴正半轴重合,直线 的参数方程为：（ 为参数， ），曲线 的极坐标方程为: . （1）写出曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 两点,直线 过定点(2,0)M ,若 ，求直线 的斜率. 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 己知，函数．（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围．成都市田家炳中学高2017届一诊模拟试题文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】因为，， 所以．故选C ． 2．【答案】A2()(2)ln ()f x ax a x x a =---∈R ()f x ()f x a 0a >()f x x a =-2a =()()35f x f x ++≤()()()2g x f x f x a =-+0x ∈R ()202g x a a ≥-a {}|14U x x =≤≤{}{}|3327|13xA x x x =≤<=≤<{}[]|343,4U A x x =≤≤=ð【解析】由，得，所以虚部为．故选A ．3．【答案】D【解析】选项A ，B 显然正确；对于C ，，选项C 正确； 1．6，1．9，2．2，2．5，2．9不是等差数列，故D 错，故选D ． 4．【答案】B【解析】由题意可得，，所以，， 所以，故选B ． 5．【答案】C6.【解析】因为，所以，又，解得，， 设数列的公差为，所以，解得，所以，从而，故选C ．7．【答案】A【解析】设底面圆的半径为，则高为，由，得，∴．故选A ． 8．【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域，表示通过可行域内的点与坐标原点的直线的斜率， 又，解得C ，由图可知：点C 与坐标原点的连线斜率最大，即． 故选B ．9．【答案】C【解析】连接，，如图：34i z =+()()()534i 5534i 34i 34i 34i 5z --===++-45-2.9 1.60.81.6->2a =1b =24a =21b =c ==2c =()1535355253522a a a S a +⨯===⨯=37a =3620a a +=37a =613a ={}n a d 6336a a d -==132a d =⎧⎨=⎩22n S n n =+763S =r 2r 2236r r ⋅=29r =22π24π36πS r r r =⋅==侧面yx(),x y 3020x y x -+=⎧⎨+=⎩()2,1-()2,1-()0,0max 1122y x ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭1AC 1BC又，则为异面直线与所成的角．因为且三棱柱为直三棱柱，∴，∴面， ∴，又，，∴，解得．故选C ． 10．【答案】A 【解析】由题意设直线的方程为， 令，得，因为，所以， 所以，故选A ．11．【答案】D【解析】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即，故选D ． 12．【答案】D【解析】令，则．因为，有，∴当时，，则在上单调递减． 又是定义域在上的奇函数，∴， 则也是上的奇函数并且单调递减．11AB A B ∥1BAC ∠1AC 11A B AB BC ⊥1AB CC ⊥AB ⊥11BCC B 1AB BC ⊥2AB BC ==1CC =1BC ==1tan BAC ∠160BAC ∠=︒l )3y x c =+0x =3y c =3b =22222232ac b b b b =-=-=2e ==1y a x'=-()1,013a -=4a =()()cos f x g x x=()()()2cos sin cos f x x f x x g x x +''=π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭()()cos sin 0f x x f x x '+<π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '<()()cos f x g x x=π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()()cos cos f x f x g x g x x x --==-=--()()cos f x g x x=ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭又等价于，即，∴，又，∴，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3【解析】由题意得，∴， 故答案为3．14．【答案】 【解析】从这8组勾股数中随机抽取1组，共8种抽取方法， 其中能构成等差数列的有，，，共3种，故所求概率为，故答案为．15．【答案】【解析】由，知，则在方向的投影为， 由向量数量积的几何意义得： ，∴，． 16．【答案】三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）见解析． 【解析】（1）因为数列，是等差数列，且，，所以，整理得，解得，所以，即，，即． 综上，，． （2）由（1）得，所以，即． ()π2cos 3f m f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3cos cos 3ππf f m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭<()π3g m g ⎛⎫< ⎪⎝⎭π3m >ππ22m -<<ππ32m <<()ln2ln22f e =-=-()()()ln22413f f f =-=-=38P =()3,4,5()6,8,10()9,12,1538P =38P =20CA CB ⋅=CA CB ⊥BA BC BC 2cos 2BC BA AB BC ABC BC ⋅=⋅⋅∠==2BC =n a n =21n b n =+{}n a {}n b 23A =53A B =112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩111a d =⎧⎨=⎩()11n a a n d n =+-⋅=n a n =()11221n b b n d n =+-⋅=+21n b n =+n a n =21n b n =+()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++18．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）取的中点，连接，，由已知得，∴， 又点是的中点，∴．因为，点是线段的中点，∴．又因为，∴，从而平面，∴， 又，不平行，∴平面．（2）由（1）知，底面的面积为，∴四棱锥的体积19．【答案】（1）；2．16（百台）；（2）．【解析】（1）因为，，所以，则， 于是关于的回归直线方程为． 当时，（百台）．（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为，，，，购买意愿为12月份的抽2人记为，，从这6人中随机抽取3人的所有情况为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、、、，共4种，故所求概率为． 20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，代入，得，因为拋物线与直线相切， 所以，解得． （2）设，，3CD M HM SM 2AE AB ==2SE SB ==H BE SH BE ⊥SC SD =M CD SM CD ⊥HM BC ∥HM CD ⊥CD ⊥SHM CD SH ⊥CD BE SH ⊥BCDE 2sin45SH AH ==⨯︒=113DE BC ==BCDE ()131242S =⨯+⨯=S BCDE -1433V =⨯=ˆ0.320.24y x =+15P =()11234535x =++++=()10.60.8 1.2 1.6 1.8 1.25y =++++=221.253 1.2ˆ0.325553b -⨯⨯==-⨯ˆ 1.20.3230.24a =-⨯=y x ˆ0.320.24yx =+6x =ˆ0.3260.24 2.16y =⨯+=a b c d A B (),,a b c (),,a b d (),,a b A (),,a b B (),,a c d (),,a c A (),,a c B (),,a d A (),,a d B (),,a A B (),,b c d (),,b c A (),,b c B (),,b d A (),,b d B (),,b A B (),,c d A (),,c d B (),,c A B (),,d A B (),,a A B (),,b A B (),,c A B (),,d A B 41205P ==4p =2m =-2y x =+2x y =-22y px =2240y py p -+=()220y px p =>2y x =+()22440Δp p =-⨯=4p =()11,B x y ()22,C x y则． 设过点的动直线的方程为，代入，得，所以，，，所以．若变化，为常数，则需满足，解得．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，其定义域为，所以．①当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增．③当时，，此时在上单调递减．④当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知：①当时，． 易证，所以．因为，， ．所以恰有两个不同的零点，只需，解得． ②当时，，不符合题意． ③当时，在上单调递减，不符合题意．④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，()()12122212121212884488444162288AB AC y y y y k k y y y y y y y y ++--+=+=+=+++++--(),0P m x ty m =+28y x =2880y ty m --=264320Δt m =+>128y y t +=128y y m =-()()121212888841642AB AC y y t k k y y y y t m++++==++++-t AB AC k k +8842m=-2m =-(44ln 2,)++∞()()22ln f x ax a x x =---()0,+∞()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x-+=---=>'0a ≥()0f x '<102x <<()0f x '>12x >()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭20a -<<()0f x '<102x <<1x a >-()0f x '>112x a<<-()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a =-()0f x '≤()f x ()0,+∞2a <-()0f x '<10x a <<-12x >()0f x '>112x a -<<()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a ≥()14ln224af x f -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小值ln 1x x ≤-()()()222ln 11f x ax a x x ax a x =---≥--+()110313a <≤+()()()()()2221116191211031319191a a f a a a a a a ⎛⎫++≥⋅--⋅+=> ⎪ ⎪++++⎝⎭()120f =>()f x 14ln2024af -⎛⎫=+< ⎪⎝⎭44ln2a >+20a -<<114ln2024af f a -⎛⎫⎛⎫->=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2a =-()f x ()0,∞+2a <-()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且， 又，由于，，所以，函数最多只有1个零点，与题意不符．综上可知，，即的取值范围为．22．（1）曲线C 的极坐标方程为 ，所以 . 即 ，即 .（2）把直线 的参数方程带入 得 设此方程两根为 ，易知 ,而定点M 在圆C 外，所以 ，， ， ，可得， ∴ ，所以直线 的斜率为-1. 23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得．综上可知，原不等式的解集为． （2），存在使得成立，等价于．又因为，所以， 即，解得，结合，所以实数的取值范围为．14ln2024a f -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭1111ln f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1102a <-<1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 44ln2a >+a ()44ln2,++∞{}|23x x -≤≤(0,4]2a =()()12,13213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩1x <-125x -≤21x -≤<-12x -≤<35≤12x -≤<2x ≥215x -≤23x ≤≤{}|23x x -≤≤()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+0x ∈R ()202g x a a ≥-()2max 2g x a a ≥-2x a x a x a x a a --+≤---=222a a a ≥-240a a -≤04a ≤≤0a >a (]0,4。