2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.【答案】()B【考点】可去间断点，积分上限函数及其导数【难易度】★★ 【详解】解析：()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点.（2）如图，曲线方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续导 数，则定积分'()axf x dx ⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.【答案】()C【考点】定积分的分部积分法，定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()()aa a xf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形ACD 的面积.（3）已知24(,)x y f x y e+=则 ( )()A (0,0),(0,0)x y f f ''都存在 ()B (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在()C(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()D (0,0),(0,0)x y f f ''都不存在【答案】()C【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：2400011(0,0)limlim 00xx x x x ee f x x +→→--'==-- 00011lim lim 100xx x x e e x x →+→+--==--，001lim 10x x e x -→--=-- 000011lim lim 00xx x x e e x x -→+→---≠--，所以偏导数不存在. 24200011(0,0)limlim 000y y y y y ee f y y +→→--'===-- 所以偏导数存在。

故选C . （4）设函数f 连续．若⎰⎰++=uvD y x yx y x f v u F d d )(),(2222，其中区域uv D 为图中阴影部分，则=∂∂uF（ ） （A ）2()vf u ．（B ）).(2u f u v（C ）()vf u ．（D ）).(u f uv【答案】A【考点】利用极坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：用极坐标变换将二重积分F （u ，v ）表为定积分．uv D 的极坐标表示为u r v ≤≤≤≤1,0θ，⇒.d )(d )(d ),(21120r r f v r rrr f v u F u uv ⎰⎰⎰==θ⇒)(2u vf uF=∂∂．选（A ）． （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.【答案】()C 【考点】逆矩阵的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.【答案】()D【考点】矩阵合同的判定【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()2212142313021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=。

记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()()()2212142313021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正、负惯性指数相同，故选()D（7）设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.【答案】()A【考点】两个及两个以上随机变量简单函数的分布，二维随机变量相互独立的性质 【难易度】★★★ 【详解】 解析：()(){}{}max ,F Z P Z x P X Y x =≤=≤()()()()()2P X x P Y x F x F x F x =≤≤==（8）设随机变量()0,1X N :，()1,4Y N :，且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.【答案】()D【考点】相关系数的概念、随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：用排除法设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,()()EX EY E Y E aX b aEX b ===+=+ 10, 1a b b =⨯+=排除()B故选择()D二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .【答案】1【考点】函数连续的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：由()()22lim lim 11x cx cf x f x c c c+-→→=⇒+=⇒= （10）设3411x x f x x x +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则()2f x dx =⎰ .【答案】1ln 32【考点】复合函数，定积分的换元积分法 【难易度】★★ 【详解】解析：222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭所以()22t f t t =-()()()2222222211111(2)ln 2ln 6ln 2ln 3222222x f x dx dx d x x x x ==-=-=-=--⎰⎰⎰（11）设{}22(,)1D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ . 【答案】4π【考点】二重积分的计算 【难易度】★★ 【详解】 解析：()222221()2DDDDDx y dxdy x dxdy ydxdy x dxdy x y dxdy -=-==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21200124d r rdr ππθ==⎰⎰ （12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】1y x=【考点】变量可分离的微分方程 【难易度】★★【详解】由0xy y '+=⇒1,,ln ln dy y dy dxy x C dx x y x-==-=+-所以1x C y =+，又(1)1y =，所以1y x=.（13）设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14A E --= . 【答案】3【考点】矩阵的特征值的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：A 的特征值为1,2,2，所以1A -的特征值为1,12,12，所以14A E --的特征值为4113⨯-=，41211⨯-=，41211⨯-= 所以143113B E --=⨯⨯=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == . 【答案】112e - 【考点】泊松分布、随机变量方差的计算公式 【难易度】★★★ 【详解】解析：因为X 服从参数为1的泊松分布，所以=1,1EX DX =，又 22()DX EX EX =-，所以 22EX =所以 {}2P X EX=={}1122P X e -==三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限21sin limln x xx x→. 【考点】洛必达法则，等价无穷小【难易度】★★ 【详解】 解析：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=- (16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-.（Ⅰ）求dz ；（Ⅱ）记1(,)()z z u x y x y x y ∂∂=--∂∂，求.xu∂∂ 【考点】多元函数的全微分，全微分形式不变性，多元隐函数的求导法【难易度】★★★ 【详解】 解析：（Ⅰ）将方程两端求全微分，利用一阶全微分形式不变性可得)d d d ()(d d 2d 2z y x z y x z y y x x ++⨯++'=-+ϕ⇔.d )](1[d )(2[d )](2[z z y x y z y x y x z y x x ++'+=++'-+++'-ϕϕϕ由此解出 ⋅++'+++'-+++'+++'-=y z y x z y x y x z y x z y x x z d )(1)(2d )(1)(2d ϕϕϕϕ （1）（Ⅱ）由（1）得)(1)(2,)(1)(2z y x z y x y y z z y x z y x x x z ++'+++'-=∂∂++'+++'-=∂∂ϕϕϕϕ，从而 )(1),(yz x z y x y x u u ∂∂-∂∂-== ⋅++'+=++'+++'--++'+++'--=)(12))(1)(2)(1)(2(1z y x z y x z y x y z y x z y x x y x ϕϕϕϕϕ 故)1)(()](1[22xzz y x z y x x u ∂∂+++"++'+-=∂∂ϕϕ ⋅++'+++"+-=++'+++'-+++'+++"-=32)](1[)()21(2])(1)(21[)](1[)(2z y x z y x x z y x z y x x z u x z y x ϕϕϕϕϕϕ (17) （本题满分11分） 计算⎰⎰Dy x xy d d }1,max{，其中{}(,)02,02D x y x y =≤≤≤≤．【考点】二重积分的性质、二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：画出积分区域即可求解.()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰112222211102215191112ln 2ln 2ln 244x xdx dy dx dy dx xydy =++=++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 方法二：积分区域如右图.⎰⎰⎰⎰+=21.d d 1D D xy I σσ将第一个积分作如下分解⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=21.d 1d 1d 1D DD σσσ⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--=+-=2212122212212122121d |21d )12(4d d d d 4x xy x x y xy x y x I xx xx x x x x x x d 121d 2d 1232422122121⎰⎰⎰-++⋅-=.2ln 419||ln 2112212221+=++=x x (18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数， （I ）证明对任意实数t ，都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（II ）证明()()()202xt t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．【考点】函数的周期性，定积分的基本性质【难易度】★★★ 【解析】 证明：（I ）对于()22t f x dx +⎰，令2x u =+，则()()2202t tf x dx f u du +=+⎰⎰因为()f x 的周期为2，所以()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰所以()()()()()22222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰（II ）()()()22022x t t g x f t f s ds dt ++⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()()()()()2220022220002220000202()22()()22()22()()()x x t t xx x t t xt t xxt t x t t f t dt f s ds dt f t dt f t dt f s ds dt f s ds dtf t dt f t dt f s ds dt f t dt f t f s ds dtg x ++++++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以()g x 是周期为2的周期函数.(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为r ＝0.05，并依年复利计算．某基金会希望通过存款A 万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10＋9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？【考点】幂级数的和函数 【难易度】★★★★ 【详解】解析：设开始时刻为t ＝0，记0.05＝r ．由题设知A （单位：万元）应满足：在第1年末时存款余额,119019)1(rA r A +>⇔>-+ 在第2年末时存款余额,)1(28119028)1](19)1([2r r A r r A +++>⇔>-+-+ 如此继续下去，在第n 年末时存款余额0)910()1(28)1(19)1(21>+--+-+-+--n r r r A n n n Λ⇔ .)1(910)1(281192nr nr r A +++++++>Λ 不难看出，能够使取款一直继续下去的A 应满足ΛΛ++++++++≥nr n r r A )1(910)1(281192 ⇔ ⋅+++=++≥∑∑∑∞=∞=∞=nn n n n n r nr r n A )1(9)1(110)1()910(111 在已知的幂级数和函数公式)1|(|)1(1),1|(|1121111<-=<-=-∞=-∞=∑∑x x nx x x xn n n n 中，令rx +=11即得 ,11)111(11)1(,111111)1(12211r r rr r n r r r r nn n n +=+-+=+=+-+=+∑∑∞=∞= 故 3980919)11(91022=+=++≥rr r r r A （万元），即A 至少应为3980万元．(20) （本题满分11分）设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O ，()1,,T nx x x =L ，()1,0,,0Tb =L .（Ⅰ）证明行列式()1n A n a =+；（Ⅱ）当a 为何值时，该方程组有唯一解，求1x ； （Ⅲ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解. 【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）证明：消元法．记2222212121||212na a a a a A a a a a =OO O22122213121212212na a a ar ar a a a a -OO O 322222130124123321212naa a r ar a a a a a a -O OO=L Ln n na a a n r ar nn a n n a n 12130124113111----+O OO (1)n n a =+．（Ⅱ）由克莱姆法则，0A ≠时方程组有唯一解，故0a ≠时方程组有唯一解. 由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a a a a D na a a a a a a a a ---===OO O OO O所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （Ⅲ）当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M OM O此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为(0,1,0,,0)(1,0,0,0)T T x k =+L L ，其中k 为任意常数．（21）（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（Ⅰ）证明123,,ααα线性无关；（Ⅱ）令()123,,P ααα=，求1P AP -.【考点】向量组的线性无关的概念，矩阵的特征值的概念，矩阵的特征向量的概念，矩阵的 特征向量的性质 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（Ⅱ）记123(,,),P ααα=则P 可逆，123123(,,)(,,)A A A A αααααα=1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（Ⅰ）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）求Z 的概率密度()Z f z ．【考点】条件概率的计算，两个及两个以上随机变量简单函数的分布【难易度】★★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）1201111(0)(0)()()2222Y P Z X P X Y X P Y f y dy ≤==+≤==≤==⎰（Ⅱ）当2z ≥时，()1F z = 当1z <-时，()0F z = 当12z -≤<时，()()()F z P Z z P X Y z =≤=+≤(1)(1)(0)(0)(1)(1)P X Y z X P X P X Y z X P X P X Y z X P X =+≤=-⋅=-++≤=⋅=++≤=⋅=[]1(1)()(1)3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- 当10z -≤<时，1011()1(1)33z F z dy z +==+⎰当01z ≤<时，011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰当12z ≤<时，1011()111(1)33z F z dy z -⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰所以 0 11()(1) 1231 z 2z F z z z <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩，则1,12()30,z f z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X L 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i X X n ==∑，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n=- （Ⅰ）证 T 是2μ的无偏估计量.（Ⅱ）当0,1μσ==时 ，求DT . 【考点】估计量的无偏性，样本方差【难易度】★★★★ 【详解】解析：(Ⅰ)221()()E T E X S n =-221()E X E S n =-221E X nσ=-因为：2(,)X N μσ:, 2(,)X N n σμ:,而 22()EX DX EX =+221nσμ=+ 222211()E T n nσμσμ=+-=,所以 T 是2μ的无偏估计(Ⅱ) 22()()D T ET ET =-,()0E T =, 4422222()S ET E X X S n n=-⋅+因为 1(0,)X N n:(0,1)1XN :令1X X = ()2242422233x x E X dx dx EX +∞+∞---∞-∞====⎰⎰所以 423E X n=222222()E X S E X ES n n ⋅=⋅22(())DX E X n=+ 21(0)n n =+22n=44221()S E ES n n= 42222()1ES DS ES DS =+=+因为 222(1)(1)n S W n χσ-=-: 且21σ=22(1)2(1)DW n DS n =-=-22(1)DS n =-,4211(1)1n ES n n +=+=--所以 222232111n ET n n n n +=-+⋅-2(1)n n =-。