(北师大版)数学必修三：1.8《最小二乘估计》ppt课件
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高中数学第一章统计8最小二乘估计ppt课件北师大版必修3
2．线性回归方程 用 x 表示x1＋x2＋n …＋xn，用 y 表示y1＋y2＋n …＋yn，则用最小 二乘法可求得
b＝x1－
x
y1－ y ＋x2－ x y2－ y ＋…＋xn－ x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2
x
yn－
y
x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n x y ＝_______x_21＋__x_22_＋__…__＋__x_2n－__n__x_2__________. a＝___y_－__b_x___.
解：(1)如图：
4
(2) x iyi ＝ 6×2 ＋ 8×3 ＋ 10×5 ＋ 12×6 ＝ 158 ， x ＝
i＝1
6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，i＝41x2i ＝62＋82＋102＋122
＝344，b＝15384－4－4×4×9×924＝1240＝0.7，a＝ y －b x ＝4－0.7×9＝ －2.3，故线性回归方程为 y＝0.7x－2.3.
8
参考数据： x ＝77.5， y ≈85， (xi－ x )2＝1 050，
i＝1
8
8
(yi－ y )2≈457， (xi－ x )(yi－ y )≈688，
i＝1
i＝1
1 050≈32.4， 456≈21.4， 550≈23.5.
解：(1)应选女生 25×480＝5(人)，男生 15×480＝3(人)． (2)若以数学成绩 x 为横坐标，物理成绩 y 为纵坐标做散点图 (图略)，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并 且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩是高度正相关，设 y 与 x 线性回归方程 y＝bx＋a，根据所给的数据，可以计算出 b＝1608580 ≈0.66，a＝85－0.66×77.5＝33.85，所以 y 与 x 的线性回归方程 为 y＝0.66x＋33.85.
高中数学必修三北师大版 最小二乘估计 课件(共22张)
释疑点 最小二乘法“二乘”的含义 “ 二乘 ”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近(在古汉语 中的“平方”称为“二乘”)． 讲重点 最小二乘法的数据拟合 用最小二乘法进行数据拟合时给出逼近曲线，其特点是：所求的 逼近曲线不一定经过这些离散点，但要保证这条曲线与所有点的贴近 程度最大.
知识点 2 线性回归方程 (1)回归：一种统计方法，它通过计算变量之间的相关系数进而估 计它们之间的联系公式． x1＋x2＋„＋xn y1＋y2＋„＋yn (2)用 x 表示 ，用 y 表示 ， n n 由最小二乘法可以求得 x1y1＋x2y2＋„＋xnyn－nxy b＝ 2 2 ，a＝ y －b x ，这样得到的直线方程 2 2 x1＋x2＋„＋xn－n x y＝a＋bx 称为线性回归方程，a，b 是线性回归方程的系数．
解析：(1)散点图如图：
(2)由散点图可知，年收入越高，年饮食支出越高，图中点的趋势 表明两个变量间也确实存在着线性相关关系． 依题意可计算得： x ＝6， y ＝1.83， x 2＝36， x y ＝10.98，
i＝1
^ xiyi＝117.7， x2 i ＝406，b＝
i＝1
10
10
i＝1
讲重点 关于线性回归方程的四点说明 (1)求线性回归方程的前提条件：当两变量的线性相关时，求出的 线性回归方程才有实际意义． (2)数据越多，拟合效果越好，相关程度越高，估计越精确． (3)选择的数据不同，得到的回归方程也不同，这是由样本的随机 性造成的． (4)线性回归方程过定点( x ， y ).
解析：(1)作出散点图：
观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者有线性 相关关系．
1 (2) x ＝ (0.8 ＋ 1.1 ＋ 1.3 ＋ 1.5 ＋ 1.5 ＋ 1.8 ＋ 2.0 ＋ 2.2 ＋ 2.4 ＋ 2.8) ＝ 10 1.74， 1 y ＝ (0.7＋1.0＋1.2＋1.0＋1.3＋1.5＋1.3＋1.7＋2.0＋2.5)＝1.42， 10
北师大版高中数学必修3课件1.8最小二乘估计课件
求系数a和b。 （2）利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。 即在 x=x0处的估计值为 y=a+bx0
用最小二乘法推导3个点的线性回归方程 设有3个点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 则有最小二乘法可知直 线 y=a+bx与这3个点 的接近程度由下面表达式刻画: 2 2 2 y a bx y a bx y a bx 1 2 3 1 2 3 （※）即
42
44
46
x
（2）由（1）知城市居民的年收入与该商品的销售额之间存在着显著的线性相关关系,列表：
i xi yi xiyi 1 32.2 25.0 805 2 31.1 30.0 933 3 32.9 34.0 1118.6 4 35.8 37.0 1324.6 5 37.1 39.0 1446.9 6 38.0 41.0 1558 7 39.0 42.0 1638 8 43.0 44.0 1892 9 44.6 48.0 2140.8 10 46.0 51.0 2346
北京师范大学出版社 | 必修三
第一章 · 统计
最小二乘估计
新课导入
高二某班学生每周用于数学学习的时间 x(单位:h)与数学成绩 y(单位:分)之间有如 下数据: x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 某同学每周用于数学学习的时间为18h, 试预测该生数学成绩。 100 y
x x, y y 2.线性回归方程必有解_______________
3.求线性回归方程时应先利用散点图进行线性相关判断。 4.利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。
高中数学必修三北师大版 1.8最小二乘估计 课件(29张)
5 2 xi ＝145； xiyi＝138 i＝1 i＝1
5
i＝1
x－ y xiyi－5－ －2 x2 i －5 x
5
5
于是可得b＝
138－5×5×5 ＝ ＝0.65， 145－5×52
i＝1
a＝－ y －b－ x ＝5－0.65×5＝1.75. ∴所求的回归直线方程是y＝1.75＋0.65x.
【课标要求】 1.了解最小二乘法的思想. 2.能根据给出的线性回归方程的系数公式，建立线性回归方程.
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．最小二乘法的定义 如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，可以用下面的 表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋ [y2－(a＋bx2)]2＋„＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝ a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
i ＝1
xiyi.第三步：代入公式计算b，a的值．第四步：写出直线方程.
n
跟踪训练 1 某种产品的广告费支出x(千万元)与销售额y(千万 元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 3 4 6 5 7 (1)画出散点图，判断变量x与y是否具有线性相关关系； (2)如果x与y具有线性相关关系，求回归直线方程．
解析：(1)散点图如图．
由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以广告费支出x与 销售额y之间有线性相关关系．
(2)设回归直线方程为y＝a＋bx.列出下列，并用科学计算器进 行有关计算. 1 2 3 4 5 i 2 4 5 6 8 xi 3 4 6 5 7 yi 6 16 30 30 56 xiyi － x ＝5；－ y ＝5，
5
i＝1
x－ y xiyi－5－ －2 x2 i －5 x
5
5
于是可得b＝
138－5×5×5 ＝ ＝0.65， 145－5×52
i＝1
a＝－ y －b－ x ＝5－0.65×5＝1.75. ∴所求的回归直线方程是y＝1.75＋0.65x.
【课标要求】 1.了解最小二乘法的思想. 2.能根据给出的线性回归方程的系数公式，建立线性回归方程.
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．最小二乘法的定义 如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，可以用下面的 表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋ [y2－(a＋bx2)]2＋„＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝ a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
i ＝1
xiyi.第三步：代入公式计算b，a的值．第四步：写出直线方程.
n
跟踪训练 1 某种产品的广告费支出x(千万元)与销售额y(千万 元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 3 4 6 5 7 (1)画出散点图，判断变量x与y是否具有线性相关关系； (2)如果x与y具有线性相关关系，求回归直线方程．
解析：(1)散点图如图．
由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以广告费支出x与 销售额y之间有线性相关关系．
(2)设回归直线方程为y＝a＋bx.列出下列，并用科学计算器进 行有关计算. 1 2 3 4 5 i 2 4 5 6 8 xi 3 4 6 5 7 yi 6 16 30 30 56 xiyi － x ＝5；－ y ＝5，
《最小二乘估计》公开课教学PPT课件【高中数学必修3(北师大版)】
新课学习
利用线性回归方程对总体进行估计
（1）求线性回归方程 y=a+bx:
①列表求 x ， y , x1 y1+ x2 y2+···+ xn yn的值;
②由 b
x1 y1 x2 y2 x12 x22
求系数a和b。
xn yn nx y ; a y bx
xn2 nx 2
（2）利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。
即在 x=x0处的估计值为 y=a+bx0
新课学习
用最小二乘法推导3个点的线性回归方程
设有3个点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 则有最小二乘法可知直 线 y=a+bx与这3个点 的接近程度由下面表达式刻画:
y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 y3 a bx3 2 （※）即
把（※）式整理为关于a的二次函数 f(a), 即
f (a) 3 a2 2a y bx y1 bx1 2 y2 bx2 2 y3 bx3 2
从而当 b
x1 y1 x2 y2 x3 y3 3 x x12 x22 x32 3 x 2
y
时, 函数 f(a)达到最小值。
10 4 38 50
-1 （1）试用最小二乘法求出线性回归方
64
程;（2）如果某天的气温是-5oC, 请预 测这天可能会卖出热茶多少杯。
解:（1）根据要求列出表格，计算得
x
35 , y 3
115 3
1910 6 35 115
b
3 3 1.648,
由系数公式得，
1286 6 35 35 33
新课学习
某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天的气温(x)之间是线性相关的。数据如下表:
2019版高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计课件 北师大版必修3
(2)任意一组数据都有一个对应的线性回归方程. ( )
(3)散点图中的点越集中,两个变量的相关性越强. ( )
(4)线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系.
()
(5)线性回归方程 y=bx+a 一定过点(������, ������)(其中������ =
������1 +������2 +…+ ������������ ������
确定未知数据.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练2已知x,y的取值如下表所示,
x234 y546
如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为 y=bx+72,则 b 等于
()
A.-12
B.12
C.-110
D.110
解析:由表中数据可得������=3,������=5,因此回归直线 y=bx+72一定经过
单位时( ) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位
解析:∵两个变量线性负相关,∴变量x增加一个单位,y平均减少1.5
个单位. 答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画
“×”.
(1)散点图能直观地反映数据的相关程度. ( )
程的系数.
【做一做1】 已知x与y之间的一组数据如下表:
x 0 1 23 y 1 2 46
则y与x的线性回归方程y=bx+a,必过点( )
A.(2,3)
B.(1.5,3)
C.(1.5,3.25) D.(2,3.25) 解析:������ = 0+1+4 2+3=1.5,������ = 1+2+44+6=3.25. 因为回归直线必过点(������, ������),所以 C 正确.
2020-2021学年数学北师大版必修3课件：1-8 最小二乘估计
n
叫作最小二乘法，故 Q(a，b)＝ (yi－bxi－a)2，故选 A.
i＝1
类型二 求回归直线方程
【例 2】 某市近 5 年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表：
年份
2014 2015 2016 2017 2018
x/万户
1
1.1 1.5 1.6 1.8
y/百万立方米 6
7
9
11
12
(1)检验是否线性相关；
其中正确的有( C )
A．①②③
B．①②④⑤
C．①②③④ D．③④⑤
解析：线性回归方程只能近似地表示线性相关关系．
2．线性回归方程 y＝bx＋a 必过( D )
A．(0,0)点
B．( x ，0)点
C．(0， y )点 D．( x ， y )点
解析：回归直线系数 a、b 有公式 a＝ y －b x ，所以 y ＝a ＋b x ，故直线必过定点( x ， y )．
一、选择题 1．下列叙述中： ①变量间关系有函数关系，又有相关关系； ②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系；
n
③ xi＝x1＋x2＋…＋xn；
i＝1
n
xi－ x yi－ y
i＝1
④线性回归方程 y＝bx＋a 中，b＝
，a＝ y
n
xi－ x 2
i＝1
－b x ；
⑤线性回归方程一定可以表示相关关系．
i＝1
i＝1
b.
某种产品的广告费支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：
百万元)之间有如下对应数据：
x2 4 5 6
8
y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)预测当广告费支出为 7 百万元时的销售额．
叫作最小二乘法，故 Q(a，b)＝ (yi－bxi－a)2，故选 A.
i＝1
类型二 求回归直线方程
【例 2】 某市近 5 年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表：
年份
2014 2015 2016 2017 2018
x/万户
1
1.1 1.5 1.6 1.8
y/百万立方米 6
7
9
11
12
(1)检验是否线性相关；
其中正确的有( C )
A．①②③
B．①②④⑤
C．①②③④ D．③④⑤
解析：线性回归方程只能近似地表示线性相关关系．
2．线性回归方程 y＝bx＋a 必过( D )
A．(0,0)点
B．( x ，0)点
C．(0， y )点 D．( x ， y )点
解析：回归直线系数 a、b 有公式 a＝ y －b x ，所以 y ＝a ＋b x ，故直线必过定点( x ， y )．
一、选择题 1．下列叙述中： ①变量间关系有函数关系，又有相关关系； ②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系；
n
③ xi＝x1＋x2＋…＋xn；
i＝1
n
xi－ x yi－ y
i＝1
④线性回归方程 y＝bx＋a 中，b＝
，a＝ y
n
xi－ x 2
i＝1
－b x ；
⑤线性回归方程一定可以表示相关关系．
i＝1
i＝1
b.
某种产品的广告费支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：
百万元)之间有如下对应数据：
x2 4 5 6
8
y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)预测当广告费支出为 7 百万元时的销售额．
高中数学北师大版必修3第一章《最小二乘估计》ppt课件
最小二乘法就是基于这种想法。
问题2：
用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？
设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一、点到直线的距离公式
d bxi yi a b2 1
y
xi , yi
y a bx
方法二、 yi a bxi 2
0
xi , a bxi
最小二乘估计
问题导入：
上一节课我们学习了人的身高与右手 一拃长之间近似存在着线性关系，这种 线性关系可以有多种方法来进行刻画， 那么用什么样的线性关系刻画会更好？ 这就是本节课我们要讨论的问题。
最小二乘估计
问题1：
用什么样的线性关系刻画会更 好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近 （也就是距离最小）。
课堂练习：
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，(3，
4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）A
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距 离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表 示二者之间的接近程度
问题3：
怎样刻画多个点与直线的接近程度？
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）
与直线y=a+bx的接近程度：
y1 a bx12 y2 a bx2 2 y3 a bx3 2 y4 a bx4 2 y5 a bx5 2
问题2：
用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？
设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一、点到直线的距离公式
d bxi yi a b2 1
y
xi , yi
y a bx
方法二、 yi a bxi 2
0
xi , a bxi
最小二乘估计
问题导入：
上一节课我们学习了人的身高与右手 一拃长之间近似存在着线性关系，这种 线性关系可以有多种方法来进行刻画， 那么用什么样的线性关系刻画会更好？ 这就是本节课我们要讨论的问题。
最小二乘估计
问题1：
用什么样的线性关系刻画会更 好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近 （也就是距离最小）。
课堂练习：
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，(3，
4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）A
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距 离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表 示二者之间的接近程度
问题3：
怎样刻画多个点与直线的接近程度？
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）
与直线y=a+bx的接近程度：
y1 a bx12 y2 a bx2 2 y3 a bx3 2 y4 a bx4 2 y5 a bx5 2
北师大版高中数学必修三第1章统计1.8最小二乘估计课件
2
,
������ = ������-������������ .
a,b是线性回归方程
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
【做一做1】 在最小二乘法中,用来刻画各样本点到直线 y=a+bx“距离”的量是( ) A.|yi−������| B. (������������ − ������)2 C.|yi-(a+bxi)| D.[yi-(a+bxi)]2 解析:最小二乘法的定义明确给出,用[yi-(a+bxi)]2来刻画各个样本 点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度),用它们的和 表示这些点与这条直线的接近程度. 答案:D
-4-
§8 最小二乘估计
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
2.线性回归方程 (1)线性回归方程的概念
设 n 个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则������ =
������1 +������2 +…+������������ ,则 ������
b=
������1 +������2+…+������������ , ������ ������ (������1 -������)(������1 -������)+(������2 -������)(������2 -������)+…+(������������ -������)(������������ -������) (������1 -������) +(������2 -������) +…+(������������ -������)
-6-
,
������ = ������-������������ .
a,b是线性回归方程
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
【做一做1】 在最小二乘法中,用来刻画各样本点到直线 y=a+bx“距离”的量是( ) A.|yi−������| B. (������������ − ������)2 C.|yi-(a+bxi)| D.[yi-(a+bxi)]2 解析:最小二乘法的定义明确给出,用[yi-(a+bxi)]2来刻画各个样本 点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度),用它们的和 表示这些点与这条直线的接近程度. 答案:D
-4-
§8 最小二乘估计
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
2.线性回归方程 (1)线性回归方程的概念
设 n 个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则������ =
������1 +������2 +…+������������ ,则 ������
b=
������1 +������2+…+������������ , ������ ������ (������1 -������)(������1 -������)+(������2 -������)(������2 -������)+…+(������������ -������)(������������ -������) (������1 -������) +(������2 -������) +…+(������������ -������)
-6-
高中数学必修三北师大版 最小二乘估计 课件(38张)
2
2 x i nx
,a y bx;
第四步，写出回归方程y=bx+a.
【知识拓展】样本中心点的含义
点( x， y )是在用最小二乘法计算回归直线方程时出现的一个特
殊点,我们又称为样本中心点.可以验证样本中心点一定在回归 直线上,这一性质在解决回归直线问题时要灵活应用,巧妙代入, 从而简化计算.
x y x
i 1 i 1 n i 2 i
n
i
nxy
2
，a y bx
n x
1.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的
身高数据如下：
父亲身高x(cm) 儿子身高y(cm)
174 175 )
176 175
176 176
176 177
178 177
则y对x的线性回归方程为( (A)y=x-1 (B)y=x+1
y bx 这样得到的直线方程y=bx+a称为线性回归方程， a=______,
系数 a,b是线性回归方程的_____.
【轻松判断】
(1)求线性回归方程的方法是最小二乘法.(
)
)
(2)最小二乘法适用的前提条件是具有线性相关关系.(
(3)数据进行拟合，拟合的效果与数据的多少无关.(
提示：(1)正确.由线性回归方程的求法可知.
最小值 的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为 _______
最小二乘法.
(2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如 线性回 果散点图呈现出线性相关关系，可以用最小二乘法求出______ 归方程 ；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用 _______ 其他的工具进行拟合.
2 x i nx
,a y bx;
第四步，写出回归方程y=bx+a.
【知识拓展】样本中心点的含义
点( x， y )是在用最小二乘法计算回归直线方程时出现的一个特
殊点,我们又称为样本中心点.可以验证样本中心点一定在回归 直线上,这一性质在解决回归直线问题时要灵活应用,巧妙代入, 从而简化计算.
x y x
i 1 i 1 n i 2 i
n
i
nxy
2
，a y bx
n x
1.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的
身高数据如下：
父亲身高x(cm) 儿子身高y(cm)
174 175 )
176 175
176 176
176 177
178 177
则y对x的线性回归方程为( (A)y=x-1 (B)y=x+1
y bx 这样得到的直线方程y=bx+a称为线性回归方程， a=______,
系数 a,b是线性回归方程的_____.
【轻松判断】
(1)求线性回归方程的方法是最小二乘法.(
)
)
(2)最小二乘法适用的前提条件是具有线性相关关系.(
(3)数据进行拟合，拟合的效果与数据的多少无关.(
提示：(1)正确.由线性回归方程的求法可知.
最小值 的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为 _______
最小二乘法.
(2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如 线性回 果散点图呈现出线性相关关系，可以用最小二乘法求出______ 归方程 ；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用 _______ 其他的工具进行拟合.
北师大版高中数学必修3课件1.8最小二乘估计课件(数学北师大必修3)
销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。
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经典回放
特别提醒
（1）函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关 系是
自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系
是非随机变量与随机变量的关系。
（2）不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量 间可能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。
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第一章 · 统计
§8 最小二乘估计
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1．相关关系的概念
在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：
一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积
S与其边长之间的函数关系（确定关系）； 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一 块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系） 相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间 的关系叫做相关关系。
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点 所以将(176,176)代入A,B,C,D中检验知选C.
2．求回归直线方程的思想方法
观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近， 思考：类似图中的直线可画几条？ 最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小：
ˆ bx a ，其中a、b是待定系数。 设所求的直线方程为 y
ˆi bxi a(i 1,2, , n) ，于是得到各个偏差。 则y
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典例1
已知x与y之间的几组数据，如表:
高中数学-1.8-最小二乘估计课件-北师大必修3
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是 __________. (2)散点图中n个点的中心是__________.
【解析】(1)将x=4代入y=2.75x+9得y的估计值为20.
答案:20
(2)因为 x x1 x2 xn ,
如表
i
xi
yi
x
2 i
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
进而可求得b=112 5 6 3.4 10 1 .
200 5 6 6 20 2
a=3.4- 1 ×6=0.4,
2
所以利润额y对销售额x的线性回归方程为:y=0.5x+0.4.
估计它们之间的联,
n
用 y 表示 y1 y2 yn ,
n
由最小二乘法可以求得
x1y1 x2y2 xn yn n x y
b=_____x_12 __x_22_____x__2n __n_x_2_____,a=__y__b__x__,这样得到的直线 方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_系__数__.
(2)当销售额为4千万元时,利润额为:
y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距 的估计值,往往因计算不准导致错误.
高中数学必修三北师大版 1.8 最小二乘估计 课件(27张)
B．y＝－11.47＋2.62x D．y＝11.47－2.62x
解析： 选 A 利用题目中的已知条件可以求出 x ＝6.5， y ＝28.5，
i＝1
xiyi－8 x y
2 x2 i －8 x 8
8
然后利用线性回归方程的计算公式得 b＝
＝
i＝1
1 849－8×6.5×28.5 ≈2.62，a≈ y －b x ＝11.47，因此线性回归 478－8×6.52 方程为 y＝11.47＋2.62x.
2．在最小二乘法中，用来刻画各样本点到直线 y＝a＋bx“距 离”的量是 A．|yi－ y | C．|yi－(a＋bxi)| B．(yi－ y )2 D．[yi－(a＋bxi)]2 ( )
解析： 选 D
最小二乘法的定义明确给出，用[yi－ (a＋
bxi)]2 来刻画各个样本点与这条直线之间的 “ 距离 ”(即 二者之间的接近程度)，用它们的和表示这些点与这条直 线的接近程度．
求线性回归方程的技巧和注意点 (1)求解线性回归方程时，需要进行复杂的计算，采用列 表法会使计算进行得更有条理．表格可以参考如下方法设计：
i 1 2 3 … n 合计 平均
xi
yi
x
xiyi
将需要计算的量列在表格中，再按照公式求解线性回归 方程即可． (2)若已知变量 x，y 成线性相关关系，无需检验相关性即 可求解线性回归方程，否则需要根据散点图判断变量 x，y 之 间是否存在线性相关关系，再求解线性回归方程．
花费的时间．为此进行了 10 次试验，测得数据如下：
零件数/个
10 20 30
40
81
50
89
60
95
70
80
90
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3.（2014·重庆高考）已知变量 x 与 y 正相关,且 由观测数据算得样本平均数 x 3,y 3.5 ,则由 该观测数据测算的线性回归方程可能是( A ) A. y 0.4x 2.3 C. y 2x 9.5 B. y 2x 2.4 D. y 0.3x 4.4
解：（1）
0
x /千万元
（2）数据如下表：
可以求得
b=0.5,a=0.4 线性回归方程为：
i 1 2 3 4 5 合计
xi 3 5 6 7 9 30
yi 2 3 3 4 5 17
xi2 9 25 36 49 81 200
xiyi 6 15 18 28 45 112
1.最小二乘法的思想. 2.线性回归方程的系数：
由表格得： 35 115 x ， y = 由表格可得： 3 3
35 115 ， y 所以 x 3 3 35 115 所以 1 910 6
3 35 115 b 1910 6 3 1.648 3 35 3 35 b 1 286 6 35 1.648 35 1286 6 3 3 3 3
部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是
线性相关的.数据如下表: 气温（xi）／ ℃ 杯数（yi）／杯 26
20
18
24
13
34
10
38
4
50
-1
64
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程.
(2)如果某天的气温是－3℃，请预测这天可能会卖
出热茶多少杯.
解：（1）由散点图可以看出，两个变量 是线性相关的.
2
若有n个样本点：（x1，y1）,… ,（xn，yn），可以用下 面的表达式来刻画这些点与直线y＝a+bx的接近程度:
[y1 (a bx1 )] [y n (a bx n )]
2
2
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
思考3：怎样使 [y1 (a bx1 )]2 [y n (a bx n )]2
y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直线 y=a+bx的接近程度：
y1 a bx1 y2 a bx2 y3 a bx3 2 2 y4 a bx4 y5 a bx5
2 2
d
bx i y i a b2 1
x ,a bx
i i
y a bx
方法二:
yi a bxi
2
0
x
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而
且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者之 间的接近程度.
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示： 例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，
a 57.557 57.557 a 于是，线性回归方程为 y 57.557 - 1.648 x .
（2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方
程知，当某天的气温是－3℃时，卖出热茶的杯数
估计为：
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）.
【说明】
1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，
1.已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性
回归方程y=a+bx必经过点 ( D
x y 0 1 1 3 2 5
)
3 7
A.（2，2）
B.（1.5，0）
C.（1，2）
D.（1.5，4）
2.(2014·湖北高考)根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 ( A ) y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回归方程为 y=bx+a,则 A.a>0,b<0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0
达到最小值？ 先来讨论3个样本点的情况
…………………①
2 2 2 2 3 a - 2（ a y - bx) ( y1 - bx1) ( y2 - bx2 ) ( y3 - bx3 )
利用配方法可得
同样使用配方法可以得到，当
从而得到直线y=ɑ+bx的系数ɑ，b，且称直线y=ɑ+bx 为这3个样本点的线性回归方程.
利用散点图观察数据是否具有线性关系. 2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求出
方程.
3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的
规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合.
例2 下面是两个变量的一组数据：
x y 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64
请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程. 解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
一切澎湃于心，让我们真正能够在心里 有所酝酿的东西，都值得我们去努力.
i 1 2 3 4 5
xi
1 2 3 4 5
yi
1 4 9 16 25
2 xi
xi yi
1 8 27 64 125
1 4 9 16 25
6
7 8 合计
6
7 8 36
36
49 64 204
36
49 64 204
216
343 512 1 296
，
y=-15+9x.
思考：哪一个对呢？
所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散 点图.如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这 个规律性进行拟合.如果散点图呈现出线性关系,我 们可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果散 点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的 工具进行拟合.
4.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和 利润额资料如下表：
商店名称
销售额（x）/千万元 利润额（y）/百万元
A
3 2
B
Hale Waihona Puke 5 3C6 3D
7 4
E
9 5
（1）画出销售额和利润额的散点图.
（2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润
额y对销售额x的线性回归方程.
y
（1）散点图如图
所示：
/百万元
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方
程的系数：
x y
i 1 n i i 1
n
i
nx y
2
x i nx
2
牢记公 式
特别提醒：在回归直线方程中，b是回归直线方程
的斜率，a是截距；b的含义容易理解成增加的单
位数，而实际上，它代表x每增加一个单位，y的
平均增加单位数.一般地说，当回归系数b＞0时，
详细学习！
1.了解最小二乘法的思想.
2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性
回归方程.(重点)
3.会用线性回归方程对总体进行估计.(难点）
思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方 便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi） 方法一:点到直线的距离公式
y
A x
i
, yi
说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每 增加一个单位时，y就增加b个单位；当b＜0时， 说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每 增加一个单位时，y就减少b个单位.
思考4:如果样本点只有两个，用最小二乘法得 到的直线与用两点式求出的直线一致吗？ 提示:是一致的.
与用两点式相同.
例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖
§8 最小二乘估计
在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量
和年龄之间近似存在着线性关系，这种线性关系可
以有多种方法来进行刻画.但是这些方法都缺少数学
思想依据.
问题1.用什么样的线性关系刻画会更好一些？
想法：保证这条直线与所有点都接近（也就是距离 最小）.
最小二乘法就是基于这种想法.本节课我们来进行