2017年高考真题及答案：理科数学(全国Ⅲ卷)

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2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B C D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A =，B =，则A B 中元素的个数为{}22(,)1x y x y +=│{}(,)x y y x =│ A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．B C D ．2123．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为x y x y x y A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆22221x y a b-=y x =有公共焦点，则C 的方程为221123x y +=A ．B ．C ．D ．221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=6．设函数f (x )=cos(x +)，则下列结论错误的是3πA ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x)的图像关于直线x =对称83πC ．f (x +π)的一个零点为x =D ．f (x )在(,π)单调递减6π2π7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．B ．C ．D ．π3π4π2π49．等差数列的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则前6项的和{}n a {}n a 为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为22221x y a b+=直径的圆与直线相切，则C 的离心率为20bx ay ab -+=A B C D ．1311．已知函数有唯一零点，则a =211()2()x x f x x x a e e --+=-++A ．B ．C ．D ．112-131212．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若= +，则+的最大值为APλAB μAD λμA ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年高考全国3卷理科数学及答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22(,)1A x y x y =+=│，{}(,)B x y y x ==│，则A B 中元素的个数( )A.3B.2C.1D.0 2.设复数z 满足()1i z 2i +=，则z =( )A.12B.2D.23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 ( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4.()()5+y 2y x x −的展开式中33y x 的系数为 ( )A.−80B.−40C.40D.805.已知双曲线2222:1x y C a b−=()00>>a b ，的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为( )A.221810x y −= B.22145x y −= C.22154x y −= D.22143x y −=6.设函数()π3cos ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，则下列结论错误的是( )A.()f x 的一个周期为2π−B.()f x 的图像关于直线8π=3x 对称 C.()π+f x 的一个零点为π6=xD.()f x 在(π2,π)单调递减7.执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A.5B.4C.3D.28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若236a a a ,,成等比数列，则{}n a 前6项的和为( )A.24−B.3−C.3D.810.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab −+=相切，则C 的离心率为( )A.3B.3C.3D.1311.已知函数211()2(e e )−−+=−++x x f x x x a 有唯一零点，则a =( )A.12−B.13C.12D.112.在矩形ABCD 中，12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP=AB+AD λμ，则λμ+的最大值为( ) A.3D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件y 0,20,0,x x y y −≥⎧⎪+−≤⎨⎪≥⎩则z 34x y =−的最小值为 .14.设等比数列{}n a 满足1213–1,3a a a a +==−−，则4=a .15.设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足1()()12f x f x +−>的x 的取值范围是 .16.a b ，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a b ，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒.其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）ABC △的内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin 0+=A A，a ,2b =. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD △的面积.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 19.（12分）如图，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，.ABD CBDAB BD ∠=∠=，（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角––D AE C 的余弦值.已知抛物线C ：22y x =，过点（2，0）的直线l 交C 与,A B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，−2），求直线l 与圆M 的方程.21.（12分）已知函数1(n )l =−−f x a x x . （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111+1+1+222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜，求m 的最小值.________________ _____________（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2,,x m my k =−+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）.设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ： ()cos si n ρθθ+，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数12f x x x =+−−（）. （1）求不等式1f x ≥（）的解集；（2）若不等式2– f x x x m ≥+（）的解集非空，求m 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）A B 中元素的个数为()()(2i 1i 1i 1i −+−3.【答案】A【解析】根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A 错误. 4．【答案】C【解析】当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含23x y 的项，即()()23352C x y −，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含32x y的项，即()()32252C x y −，所以33x y 的系数为()23325522108440C C ⨯−⨯=⨯−=.5．【答案】B【解析】根据双曲线C 的渐近线方程为2y x =，可知2b a = ①，又椭圆221123x y +=的焦点坐标为（3，0）和（3−，0）,所以229a b += ②，根据①②可知224,5a b ==,所以选B. 6．【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数()f x 的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为π2−，A 正确；当8ππ,3π33=+=x x ，所以πcos 13⎛⎫+=− ⎪⎝⎭x ，所以B 正确；()4cos cos 33ππππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x ，当π6=x 时，4π3π32+=x ，所以()π0+=f x ，所以C 正确；函数()πcos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 在（π2，23π）上单调递减；（23π，π）上单调递增，故D 不正确.所以选D .7．【答案】D【解析】010*******,100911001090,13S M t S M t =+==−==−===，，＞；，,90＜91，输出S ，此时，3t =不满足t N ≤，所以输入的正整数N 的最小值为2，故选D. 8．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，则22213=1=24r ⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以，圆柱的体积33=π1=π44⨯V ，故选B.9．【答案】A【解析】设等差数列n a 的公差为d ，因为236,,a a a 成等比数列，所以2263a a a =，即()()()211152a d a d a d ++=+，又11a =，所以220d d +=，又0,d ≠则2d =−，所以6159a a d =+=−，所以n a 的前6项的和6196242S −=⨯=−，故选A. 10．【答案】A以线段12A A 为直径的圆的方程为222x y a +=，由原点到直线20bx ay ab −+=的距离==d a ，得223a b =，所以C 的离心率3e ==.11．【答案】C【解析】由()()2112x x f x x x a ee −−+=−++，得()()()()()()2212121121122224422x x x x x x f x x x a e e x x x a e e x x a e e −−+−−−−−−⎡⎤−=−−−++=−++++=−++⎣⎦，所以()()2f x f x −=，即1x =为()f x 图像的对称轴.由题意()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即()()2111111210f a ee −−+=−⨯++=，解得12a =.故选C. 12．【答案】A【解析】以A 为坐标原点，AB AD ，所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），B （1，0），C （1，2），D （0，2），可得直线BD 的方程为220x y +−=，点C 到直线BD 的距=，圆C ：()()224125x y −+−=，因为P 在圆C 上，所以P （1cos 5θ+，2θ+）(1,0)AB =，(0,2)AD =，(,2)AP AB AD λμλμ=+=，所以122{θλθμ==()22sin 3λμθθθα+==++≤，tan 2α=，选A.13．【答案】1−【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线:340l x y −=，平移直线l ，当直线34z x y =−经过点A （1，1）时，z 取得最小值，最小值为341−=−.14．【答案】8−【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则121(1)1a a a q +=+=−，2131(1)3a a a q −=−=−，两式相除，得21113q q +=−，解得12,1q a =−=，所以3418a a q ==−. 15．【答案】∞1（-，+）4【解析】当0x ＞，()=21xf x ＞恒成立，当102x −＞，即12x ＞时，121()=212x f x −−＞，当102x −≤，即102x ≤＜时，111()=222f x x −+＞，则不等式1()()12f x f x +−＞恒成立.当0x ≤时，113()()121222+−=+++=+f x f x x x x ＞，所以104x −≤＜.综上所述，x 的取值范围是（14−，+∞）.16．【答案】②③【解析】由题意知，,,a b AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1，则1,AC AB ==，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，l 为半径的圆.以C 为坐标原点，以CD 的方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，CA 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系.则D （1，0，0），A （0，0，1），直线a 的单位方向向量(0,1,0), 1.a a ==B 点起始坐标为（0，1，0），直线b 的单位方向向量b (1,0,0), 1.b == 设B 点在运动过程中的坐标B'(cos ,sin ,0)θθ，其中θ为'CB 与CD 的夹角，[0,2)θπ∈.那么AB'在运动过程中的向量'(cos ,sin ,1),'2AB AB θθ=−=.设直线AB'与a 所成的夹角为[0,2],απ∈(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos [0,],2a ABθθαθ−⋅==∈故[,],42ππα∈所以③正确，④错误. 设直线AB'与b 所成的夹角为β，则[0,2],βπ∈ 'bcos 'AB b AB β⋅=(cos ,sin ,1)(1,0,0)'b AB θθ−⋅= .θ 当'AB 与a 成60︒角时，=3πα，1sin =322πθα 因为22sin +cos =1,θθ 所以cos =2θ 所以1cos =.2βθ 因为[0,2],βπ∈所以=3πβ，此时'AB 与b 成60︒角.所以②正确，①错误.三、解答题17.【答案】解：（1）由已知得tan =A 所以2π3A=. 在ABC 中，由余弦定理得22π2844cos 3=+−c c ，即2+224=0c c −. 解得c 6=−，（舍去），c =4 （2）由题设可得π=2∠CAD ，所以π6∠=∠−∠=BAD BAC CAD . 故ABD 面积与ACD 面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD= 又ABC 的面积为142sin 2BAC⨯⨯∠=所以ABD ∆【解析】（1））先求出角A ,再根据余弦定理求出c 即可；（2）根据ABD ，ACD ，ABC 的面积之间的关系求解即可. 18.【答案】解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===， ()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为（2200，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =−=；若最高气温位于区间[)20，,25，则63002300412002;Y n n n =⨯+−−=−（）若最高气温低于20，则6200220048002;Y n n n =⨯+−−=−（）因此()20.4120020.480020.26400.4.EY n n n n =⨯+−⨯+−⨯=−（）当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642;Y n n n =−=若最高气温低于20，则6200220048002;Y n n n =⨯+−−=−（）因此()()20.40.480020.2160 1.2.EY n n n =⨯++−⨯=+所以300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.【解析】（1）根据表格提供的数据进行分类求解即可；（2)根据分布列得到关于利润的函数表达式，进而求解最值.19.解：（1）由题设可得，,ABD CBD ∆≅∆从而AD DC =.又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠.取AC 的中点O ，连接,,DO BO 则,.DO AC DO AO ⊥=又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥.所以DOB ∠为二面角D AC B −−的平面角.在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故0∠DOB=90.所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则−(1，0，0),(0(1，0，0),(0，0，1)A B C D .由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得1022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，故 ()()11，0，1，2，0，0，1，，22AD AC AE ⎛⎫=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭ 设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则00AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n即01022x z x y z .−+=⎧⎪⎨−++=⎪⎩，可取113=,,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭n .设m 是平面AEC 的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m同理可得(01,=−m . 则77cos ,==n m n m n m . 所以二面角D AE C−−的余弦值为7.【解析】（1）通过题目中的边角关系证明线线垂直，进而得二面角D AC B −−的平面角为DOB ∠，最后利用勾股定理的逆定理得 90DOB ∠=︒，从而得证；（2）根据（1）中得到的垂直关系，建立空间直角坐标系计算即可.20.【答案】解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my .=+由222x my y x =+⎧⎨=⎩，可得212240则4y my ,y y −−==−.又221212==22y y x ,x ,故()21212==44y y x x . 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为12124==14y y x x −−，所以OA OB ⊥. 故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m +.故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r = 由于圆M 过点42P −（，），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y −−+++=，即()()121212124+2200x x x x y y y y −++++=由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m −−=，解得11或2m m ==−.当1m =时，直线l 的方程为20x y −−=，圆心M 的坐标为（3，1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y −+−=.当12m =−时，直线l 的方程为240x y +−=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）设出l 的方程，通过联立方程，证明直线OA 与OB 的斜率之积为1−即可；（2）根据（1）的结论及P 点的坐标即可求解直线与圆的方程.21.【答案】解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫⎪⎝⎭，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x−=−=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x a =是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当1a =时，()0f x ≥.故1a =.（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x −−. 令1=1+2n x 得111+＜22n n ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而 2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222n n n ln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故21111+1+1+＜222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3. 【解析】（1）通过求函数的导数，对函数的单调性进行研究，求解函数最小值点即可；（2)将问题转化为“和”式不等式，根据数列求和公式求解即可.22.【答案】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()12l :y k x =−；消去参数m 得2l 的普通方程()212l :y x k=+. 设,P x y （）,由题设得()()212y k x y x k ⎧=−⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y −=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y −=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 40＜＜2ππ−=≠,r q q q q .联立()()222cos sin 4cos +sin ⎧−=⎪⎨⎪⎩r q q r q q 得()cos sin =2cos +sin −q q q q . 故1tan 3=−q ，从而2291cos =，sin =1010q q . 代入()222cos -sin =4r q q 得2=5r ，所以交点M【解析】（1）先将两条直线的参数方程化为普通方程，联立，消去k 即可得所求曲线C 的普通方程；（2）先将（1）中求得的曲线C 的普通方程化为极坐标方程，再与3l 的极坐标方程联立，求出M 的极径即可.23.【答案】解：（1）()31211232,x f x x ,x ,x .−−⎧⎪=−−≤≤⎨⎪⎩＜，，＞当＜1x −时，()1f x ≥无解；当12x −≤≤时，由()1f x ≥得，211x −≥，解得12x ≤≤当＞2x 时，由()1f x ≥解得＞2x .所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥.（2）由()2f x x x m ≥−+得212m x x x x ≤+−−−+，而22212+1+235=+2454x x x x x x x xx ,+−−−+≤−−+⎛⎫−− ⎪⎝⎭≤ 且当32x =时，2512=4x x x x +−−−+. 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）直接分段讨论即可解决问题；（2）先分离出参数m ，再将问题转化为最值问题，进而求解参数的取值范围.。

2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2．设复数 z 满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
C．1
D．0
1 A． 2
2 B． 2
C． 2
D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
体积为
A． π
B．
3π 4
C．
π 2
D．
π 4
9．等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6 成等比数列，则 a 前 6 项的和
n
为
A．-24
B．-3
C．3
D．8
x2 10．已知椭圆 C： a2
y2 b2
1，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A ，A ，且以线段 A A 为
12
12
直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为
6 A． 3
3 B． 3
2 C． 3
11．已知函数 f (x) x2 2x a(ex 1 e x 1) 有唯一零点，则 a=
1 D． 3
A． 1 2
1 B． 3
1 C． 2
D．1
12．在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若
AP = AB + AD ，则 + 的最大值为
A．3
B．2 2
C． 5
D．2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
xy0 13．若 x ， y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z 3x 4 y 的最小值为__________．

2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B ．2C D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为AB C D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A．12-B．13C．12D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为A．3 B．CD．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B CD ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．BC．3D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．C．D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析

2017年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅲ理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={}22x y y x│，则A B=(,)(,)1│，B={}x y x y+=中元素的个数为A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；集合中的表示方法。

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。

集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。

2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．12 BCD ．2【答案】C 【解析】【考点】复数的模；复数的运算法则【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： (1)1212z zz z ±=± ；(2) 1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z⋅== ；(4)121212z z z z z z -≤±≤+ ；(5)1212z zz z =⨯ ；(6)1121z z z z =。

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】动性大，选项D说法正确；故选D。

【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。

2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│,B ={}(,)x y y x =│,则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i,则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．（x +y ）(2x —y ）5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．—80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C :22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f （x ）=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x ）的一个周期为−2π B ．y =f (x ）的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π）的一个零点为x =6πD ．f （x ）在（2π,π）单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．—3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，(a >b >0）的左、右顶点分别为A 1,A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A 6B 3C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点,则a =A．12-B．13C．12D．112．在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为A．3 B．CD．2二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

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2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞）（2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量12(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300(B) 450(C) 600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）310 （B ）10（C ）10-（D ）310- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+（C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π（C ）6π（D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件错误!未找到引用源。

【数学】2017年高考真题——全国Ⅲ卷(理)(精校解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）理科数学一、选择题1．(2017·全国Ⅲ理，1)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．02．(2017·全国Ⅲ理，2)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( ) A ．12B ．22C ． 2D ．23．(2017·全国Ⅲ理，3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(2017·全国Ⅲ理，4)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80B ．－40C ．40D ．805．(2017·全国Ⅲ理，5)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝16．(2017·全国Ⅲ理，6)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减7．(2017·全国Ⅲ理，7)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．28．(2017·全国Ⅲ理，8)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．πB.3π4C.π2D.π49．(2017·全国Ⅲ理，9)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24B ．－3C ．3D ．810．(2017·全国Ⅲ理，10)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63B ．33C ．23D ．1311．(2017·全国Ⅲ理，11)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于( )A ．－12B ．13C ．12D ．112．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2C. 5D ．2二、填空题13．(2017·全国Ⅲ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．14．(2017·全国Ⅲ理，14)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.15．(2017·全国Ⅲ理，15)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．16．(2017·全国Ⅲ理，16)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号) 三、解答题17．(2017·全国Ⅲ理，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋ 3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．18．(2017·全国Ⅲ理，18)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19．(2017·全国Ⅲ理，19)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角DAEC 的余弦值．20．(2017·全国Ⅲ理，20)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．21．(2017·全国Ⅲ理，21)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．22．(2017·全国Ⅲ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．23．(2017·全国Ⅲ理，23)[选修4—5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．参考答案一、选择题 1．【答案】B【解析】集合A 表示以原点O 为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B. 2．【答案】C【解析】方法一由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2. 故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C. 3．【答案】A【解析】对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A 错误；对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B 正确；对于选项C ，D ，由图可知显然正确．故选A. 4．【答案】C【解析】因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C. 5．【答案】B 【解析】由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5.所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B. 6．【答案】D【解析】A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确；D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．故选D. 7．【答案】D【解析】假设N ＝2，程序执行过程如下： t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91，符合题意． ∴当N ＝2时成立．显然2是最小值．故选D. 8．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π×⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4.故选B. 9．【答案】A【解析】由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.故选A. 10．【答案】A【解析】由题意知，以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63. 故选A. 11．【答案】C【解析】方法一 f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.方法二 f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a ＞0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C. 12．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A. 二、填空题 13．【答案】－1【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)． ∴z min ＝3－4＝－1. 14．【答案】－8【解析】设等比数列{a n }的公比为q . ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1，① a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8. 15．【答案】⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 【解析】由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.16．【答案】②③【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰直角三角形ABC 的直角边长为1.由题意知，点B 在平面xOy 中形成的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．设直线a 的方向向量为a ＝(0,1,0)，直线b 的方向向量为b ＝(1,0,0)，CB →以Ox 轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[)0，2π，则B (cos θ，sin θ，0)， ∴AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝ 2. 设直线AB 与a 所成的夹角为α，则cos α＝|AB →·a ||a ||AB →|＝22|sin θ|∈⎣⎡⎦⎤0，22，∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误；设直线AB 与b 所成的夹角为β，则cos β＝|AB →·b ||b ||AB →|＝22|cos θ|.当直线AB 与a 的夹角为60°，即α＝60°时，则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝22， ∴|cos θ|＝22，∴cos β＝22|cos θ|＝12. ∵45°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB 与b 的夹角为60°. ∴②正确，①错误．三、解答题17．解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.18．解 (1)由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，P (X ＝200)＝2＋1630×3＝0.2，P (X ＝300)＝3630×3＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋430×3＝0.4.则X 的分布列为(2)，因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ，因此EY ＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ，因此EY ＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n .所以当n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元． 19．(1)证明由题设可得△ABD ≌△CBD . 从而AD ＝CD ，又△ACD 为直角三角形，所以∠ADC ＝90°，取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO . 又因为△ABC 是正三角形，故BO ⊥AC ，所以∠DOB 为二面角DACB 的平面角，在Rt △AOB 中，BO 2＋OA 2＝AB 2，又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA →为x 轴正方向，OB →为y 轴正方向，OD →为z 轴正方向，|OA →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，A ()1，0，0，D ()0，0，1，B ()0，3，0，C (－1，0,0)，由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，故AE →＝⎝⎛⎫－1，32，12，AD →＝()－1，0，1，OA →＝()1，0，0.设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面AEC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n 1＝0，AD →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋32y 1＋12z 1＝0，－x 1＋z ＝0，令x 1＝1，则n 1＝(1，33，1)． ⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n 2＝0，OA →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32y 2＋12z 1＝0，x 2＝0，令y 2＝－1，则n 2＝(0，－1，3)，设二面角DAEC 的平面角为θ，易知θ为锐角，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝77.20．(1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上． (2)解由(1)可得y 1＋y 2＝2m ， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 21．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，故x ＝a 是f (x )在x ∈(0，＋∞)上的唯一极小值点也是最小值点．由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0，令x ＝1＋12n ，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n ，从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e ，而⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n >⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123＝13564>2，所以m 的最小值为3.22．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l 3与C 的交点M 的极径为 5. 23．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54.。

2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据,绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小,变化比较平稳 4．(x +y ）(2x -y ）5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．—40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f （x )=cos(x +3π）,则下列结论错误的是 A ．f (x ）的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π）的一个零点为x =6πD ．f (x ）在(2π，π)单调递减 7．执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2,a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，(a >b 〉0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A 6B 3C 2D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A．12-B．13C．12D．112．在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为A．3 B．CD．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年高考全国Ⅲ卷理数试题(Word版含答案)

2017年高考全国Ⅲ卷理数试题（Word版含答案）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A．3B．2C．1D．02．设复数z满足(1+i)z=2i，则OzO=A．B．C．D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为A．-80B．-40C．40D．805．已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为A．B．C．D．6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为?2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．C．D．9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A．-24B．-3C．3D．810．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．11．已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为A．3B．2中/华-资*源%库C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017高考全国3卷理科数学试题以及答案

2017高考全国3卷理科数学试题以及答案2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y=+=，{}(,)B x y y x==，则A B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1D．02．设复数z满足(1i)2iz+=，则z=（）A．12B．22C．2D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线22221x yC a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y-= D ．22143x y-=6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3D ．1311．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．14．设等比数列{}na 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 30A A =，27a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[)1015，[)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540，天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ，AB BD ．（1）证明：平面ACD 平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．DABCE20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M的方程．21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m m y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+20，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||=+1--2．f x x x（1）求不等式()f x≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m2≥-+的解集非空，求m的取值范围．2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22=+=，{}A x y x y(,)1==，则A B中元B x y y x(,)素的个数为（）A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】A表示圆221+=上所有点的集合，B表示x y直线y x=上所有点的集合，故A B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（）A ．12B ．2C ．2D ．2 【答案】C 【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+=，故选C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y-=D ．22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y ，则5b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229ab c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πxyO7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：SM t初始状态 0 100 1第1次循环结束 10010- 2第2次循环结束 901 3 此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}na 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}na 前6项的和为（） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】∵{}na 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326aa a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220dd +=又∵0d ≠，则2d =- ∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A 6B 3C 2D ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222ab d aa b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222ba c=-，可得()2223aa c=-，即2223c a =∴6c e a =A 11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x xx a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(ee)x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x轴正半轴，AB为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =． ∴22125BD +∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．()A O DxyBPCE12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 255．∵P 在C 上． ∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标0(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而0(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴01512x μθ==+，02155y λθ==．两式相加得：222515152552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=+=++=++≤(其中5sin ϕ，25cos ϕ)当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y=-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小．由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．A B (1,1)(2,0)x y -=20x y +-=yx14．设等比数列{}na 满足121a a+=-，133a a-=-，则4a =________．【答案】8- 【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f =-y由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，a b AC、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC=，2AB=，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向，CA为z轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线a的方向单位向量(0,1,0)a=，a=．||1B点起始坐标为(0,1,0)，直线b的方向单位向量(1,0,0)b=，b=．||1设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)'，Bθθ其中θ为B C'与CD的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)'=--，ABθθAB'=．||2设AB'与a所成夹角为π[0,]α∈，2则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos sin |a AB θθαθ--⋅=∈'．故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2cos |AB b b AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='.当AB '与a夹角为60︒时，即π3α=，12sin 22232πθα=．∵22cos sin 1θθ+=， ∴2|cos |θ=．∴21cos cos |2βθ==．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 30A A =，27a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 30A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A=+-⋅.又∵127,2,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =. （2）∵2,27,4AC BC AB ===，由余弦定理22227cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得7CD . 由勾股定理223AD CD AC =-=又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 326ABDS AD AB =⋅⋅=△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[)1015，[)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540，天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500 ()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：X200 300 500 P 15 25 25⑵①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max400Y=，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+=此时max520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ，AB BD ．（1）证明：平面ACD 平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．DBCE【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO ；ABC∆为等边三角形 ∴BO AC ⊥∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆.∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得：2OD =，3OB =∴222OD OB BD+=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面DBC EODABC EyOz⑵由题意可知V V D ACEB ACE--=即B ,D 到平面ACE 的距离相等即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,4a E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭易得：3,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ，则110AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(13,1,3n =2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(20,1,3n =-若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos n n n n θ⋅==⋅20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y x x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y ym+=，124y y =-．1212OA OBx x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为0(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224xy =-+=，半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为0(,)Q x y ，12012y y y +==，0023xy =+=，半径22||31r OQ ==+则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减；当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增． ①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立 ∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (11)2222222n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n+++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n+++>+++=> 当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n+++∈ ∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222nm +++<， ∴m 的最小值为3．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m m y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+20，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……②①⨯②消k可得：224x y -= 即P的轨迹方程为224x y -=；⑵将参数方程转化为一般方程 3:20l x y += ……③联立曲线C 和3l 22204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩解得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得5ρ=即M 5．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意； ②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m≥等价为()2-+f x x x m≥，令()()2g x f x x x=-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。

2017全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．2 C ．2 D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A 6B 3C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。