第二章08指数分布无记忆性 二项分布最大可能值

e ( s t ) e t P ( X t ) e s
即元件以前曾经无故障使用的时间，不影响它以后使用 寿命的统计规律。 所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布
几何分布也有这样的性质
2、二项分布的最有可能值
二项分布的分布列为：
k PX ( k ) P ( X k ) C n p k q n k
k 0,1,2,..., n
某些特殊情况的二项分布列：
PX (k )
二项分布列， n=9，p=1/2
二项分布列， n很大，p很小
012345 6789
k
n
k
当p=1/2时，分布列相对于n/2的位置是对称的；当p<1/2时， 分布列偏向于0，当p>1/2时，分布列偏向于n。 一般地，若对X的所有可能取值 j，有：
例 （教材P96）某元件的使用寿命X服从指数分布,其平均使用 寿命为1000小时,求该元件使用1000小时没有坏的概率.
解:由于EX=1000可知,该指数分布的参数为
x X的分布函数为 F ( x ) 1 e 1000 0
1 1000
x0 x0
1 1000 1000
例（教材P85）某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计 算命中率为60%的概率. 解 设X为30次中命中目标的次数，则
X ~ B(30,0.8) 记Y 30 X , 则Y ~ B(30,0.2) X P( 0.6) P( X 18) P(Y 12) 30 P(Y 12) P(Y 11)
所以 P{ X 1000} 1 F (1000) e
e 1 0.368
例 某种产品的寿命服从指数分布，均值为1000小时。按照厂方 承诺，寿命大于100小时为合格品，每件产品可赚5元；50~100小 时为次品，每件产品可赚1元；小于50小时为废品，每件赔3元. 求平均每件产品可盈利多少。
( n 1) p 1 k0 ( n 1) p
结论： 当( n + 1)p 是整数时，在 k0 =(n+1)p与(n +1)p–1处的概率取得 最大值。（概率值相等） 当( n + 1)p 不是整数时，在 k0=[( n + 1)p] 处的概率取得最大值。 （ [( n + 1)p] 表示取( n + 1)p最大整数部分） 例如：某人投篮命中率为0.4，问连续10次独立的投篮中，最 有可能命中多少次？若是9次投篮呢？
p
k C n p k q n k （q 1 p）
即当N很大,n相对与N很小时,超几何分布以二项分布为极限.
例（教材P92）有1000件产品，其中废品数为15件，混放装箱， 每箱100件，现从中任取一箱，求箱中有一件是废品的概率。 解 设箱中的（即任取的100件中的）废品数为X，则X服从超 几何分布 超几何分布的极限分布是二项分布 二项分布的极限分布是 Poisson 分布
例（教材P84）某人投篮的命中率为0.8，若连续投篮5次，求 最多投中2次的概率. 解 设X为5次中投中的次数，则
X ~ B(5,0.8)
Y ~ B(5,0.2) 设Y为5次中未投中的次数，则 P ( X 2) P (Y 3) 1 P (Y 2) 1 0.9421 0.0579
0 0 0 0
k 记 pk P ( X k ) C n p k (1 p) n k , k 0,1, , n
( n k0 1) p k0 (1 p) k0 ( n 1) p pk 0 1 ( n k 0 ) p 由(2)式 1 Pk0 ( k0 1)q ( n k0 ) p ( k0 1)(1 p) k0 ( n 1) p 1
e 1.5 0.5 e 1 0.368 e
注意：P( X 1500| X 500) P ( X 1000)
这种性质称为无后效性
指数分布的“无记忆性”（无后效性）：
若 X ~Ｅ(),则
P( X s t X s) P( X t )
P( X s t , X s) P( X s t ) 证：P ( X s t X s ) P( X s) P( X s)
X ~ U 0.5,0.5
P( X 0.3) 0.3dx 0.6
设Y表示5个加数中取整误差绝对值不超过0.3的个数 Y ~ B(5,0.6) 5 Y ~ B(5,0.4)
P(Y 3) P(5 Y 2) 0.6826
如果n>40,如何计算？ 泊松近似
四 超几何分布(了解） 如果随机变量X的概率函数为
，
解：设X表示产品的寿命，Y表示产品的盈利，则：
P{Y 5} P{ X 100} e
1 50 1000

1 100 1000
e 0.1
P{Y 1} P{50 X 100} P{ X 50} P{ X 100}
e
e
1 100 1000
P( X k )
k n C N 1 C N k
2
C
n N
k 0,1,2,... min( N 1 , n )
N1 N2 N
可以验证
0 N1 , n N
X～H(n,N1 ,N)
则称X服从超几何分布,记为
P( X k ) 0
P( X k ) 1
k
2、应用场合 若N个元素分为两类,
0.9969 0.9905 0.0064
例（教材P86）计算机在进行加法运算时,每个加数按四舍五入取 整数,假定每个加数的取整误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分布,今 有5个加数相加,计算它们中至少有3个加数的取整误差绝对值不超 过0.3的概率。 解 设X表示一个加数的取整误差
0.3
500 1000

1 1000 1000
e 1 0.368
1500 1000
e 0.5 , P( X 1500) e
e 1.5
P ( X 500, X 1500) P ( X 1500) P ( X 1500 | X 500) P ( X 500) P ( X 500)
期望与方差
N1 EX n N N1 N 2 N n DX n N N N 1
例(教材P91)有产品20件，其中有二等品5件，其余为一等品。 今从这些产品中随机地抽取4件检验质量，求取到的二等品的件 数X的分布。 解 X的可能取值为0,1，2,3，4。 X的分布为 X P 0 0.2817
3.二项分布的计算 (1)直接查表(教材347页附表1，二项分布函数值表)
例（P86）随机变量X～B(n,p),已知EX=6,DX=4.2计算P(X≥5)
首先应确定n,p的值. 由于 EX=np=6 DX=npq=4.2 解得 q=0.7,p=0.3,n=20, 查附表1,得 P(X≥5)=1-P(X<5)=1-P(X≤4)=1-0.2375=0.7625 (2)当n≤40 ,p比较大时，无法直接查表，可利用下述定理: 定理2.4 如果随机变量X～B(n,p),且Y=n-X,则Y～B(n,q), 其中q=1-p. 证:略 若X表示n次重复试验中事件A发生（成功）的次数，则Y=n-X 表示事件A不发生（失败）的次数。 显然有如下两个公式成立: P(X=k)=P(Y=n-k) P(X≤k)=P(Y≥n-k) 解:
4 C5k C15 k P( X k ) 4 C20
k 0,1,2,3,4
3 0.031 4 0.001
具体值列表如下
1 0.4696
2 0.2167
4、超几何分布与二项分布的关系
在超几何分布中
N1 如果 lim N N
则lim
N k n C N 1 C N k 2 n CN
P ( X k ) P ( X j ),
则称 k为X 的最大可能值，记做 k 0
pk0 pk0 1 pk pk 1 则必有 1 (1) 1 ( 2) 即 pk 1 pk pk0 pk0 1 k pk 0 C n 0 p k0 q n k0 ( n k 0 1) p 由(1)式 k 0 1 k 0 1 n k 0 1 1 pk 0 1 C n p q k0q
e 0.05 e 0.1
P{Y 3} P{ X 50} 1 e 0.05
4.4243
例某种产品的寿命服从指数分布，均值为1000小时。 （1）使用1000小时没有坏的概率。 （2）若发现该元件使用了500小时没有损坏,求它还可以继续使 用1000小时的概率. 解:(1) P{ X 1000} 1 F (1000) e (2) P( X 500) e
1、指数分布和的有效性和无记忆性
e x , x 0 指数分布的密度函数为：f ( x ) x0 0,
1 e x , x 0 分布函数为： F ( x ) 0, x 0
则 P ( X x ) 1 F ( x ) e x 称为元件的有效性
第一类共有 N 1 个，第二类有N 2 个（N 1 N 2 N）。 从中不放回地抽取 n个，设这n个元素中含有的第一类 元素个数为 X， 则X 0，2， min( N 1 , n) 1， ...
P( X k )
k n C N 1 C N k
2
n CN
即X服从超几何分布。 超几何分布在产品的质量检验等方面有广泛的应用。
N 1000 n 100 N1 15 0.015 p N 1000
np 100 0.015 1.5
P( X 1) 0.3347