水工结构可靠度置信区间的研究与应用

( x i3 ) 与原随机变量概率密度函数值 f x ( x i3 ) 值 f X′ i i
图1 J C 法中对非正态 图 2 两个正态随机变量的 随机变量的当量正态化 极限状态方程和设计验算点
相等 。 参见图 1 。 由条件 ( 1) 得当量正态分布的平均值 μX′ 为: i
′ μX′ = x i3 - Φ- 1 [ FX i ( x i3 ) ]σ Xi i
( 6)
Φ- 1 ( ・ ) 为标准正态分布函数的反函数 ,φ( ・ ) 为标 准正态分布的概率密度函数 。
1 . 1 . 1 两个正态随机变量的结构可靠指标
则称随机区间 [θ ^ 1 ,θ ^ 2 ] 为参数 θ的置信度置信 水 平 ( confidence level) 为 1 - α 的 置 信 区 间
2 . 2 可靠度置信区间的数学定义
Pf = Φ( -
μZ ) σ Z
可靠度置信区间的数学定义对于结构可靠性研
( 3)
究 , 常常只给出一个可靠度值 , 其实质是基于这样一 个假定 , 即用实测的一些的统计参数值 ( 材料性能参 数、 几何尺寸参数等) 代替真实值 。 以实验为基础的 经过数学处理的统计均值可能很接近真实均值 , 也 可能相差较大 。 因此 , 以很多近似值通过数学变换得 来的可靠度必然也存在一个误差范围和可信的程 度 , 或者说包含着可靠度的置信区间 。 仿照数理统计中置信区间的定义 , 可以对水工 结构可靠度的置信区间进行数学描述 : 设总体 X 的 ) 含有一个未知参数 β, 可靠概率函数记作 Ps ( x ,β 对于给定的α值 ( < 0 α < 1) , 若由样本 X 1 , X 2 , …,
第 4 卷第 2 期 2006年6月
水利与建筑工程学报
Journal of Water Resources and Architectural Engineering
Vol. 4 No. 2 J un . , 2 0 0 6
水工结构可靠度置信区间的研究与应用
张桂花1 , 解 伟1 , 胡士辉2
Research and Appl ication of Conf idence Interval of Rel iabil ity in Hydraul ic Structure Engineering
ZHAN G Gui2hua1 , XIE Wei1 , HU Shi2hui2
( 1 . Nort h Chi na Instit ute of W ater Conservancy and Hydroelect ric Power , Zhengz hou , He’ nan 450008 , Chi na ;
0 引 言
自 20 世纪初期 ,国际上开始了结构可靠性基本 理论的研究 ,并逐步扩展到建筑结构分析和设计领 域 ,我国对结构可靠度理论的研究始于 20 世纪 50 年代 , 在诸多专家 、 学者的努力下 , 自 80 年代以来 , 在结构可靠度方面的理论和应用有了很大的进展 。 但是 ,目前对于水工结构工程中从事理论和实践工 作的人来说 ,大多数把精力集中在求解复杂的可靠 性问题上 ,还没有顾及到可靠度的置信区间
cos θ ^ P 3 对坐标的方向余弦 , 因此 , 可靠度 R 是法线 O 指标β就是标准正态坐标系 O ^S ^R ^ 中 , 原点 O ^ 到极限
1 - α, 则称随机区间 [ T 1 , T 2 ] 为参数 β的置信水平
为 1 - α的置信区间 , T 1 , T 2 分别称置信下限和置信 上限 , 1 - α称为置信度 。 这里的可靠指标 β也必须 满足上述θ的所有属性 , 这样 β值与失效概率 Pf 就 具有一一对应关系 。 上述定义也可以失效概率 Pf 来表述 。 对于置信 α 区间 , 当然希望置信度 1 - 越大越好 , 即可靠度的
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可靠性越大 ; 同时 , 又希望估计的精度尽量的高 。 当 样本容量一定的时候 , 二者是互相矛盾的 。 置信区间 的理论是在给定的置信度 1 - α的前提下 , 尽量选用 精 度 更 高 的 置 信 区 间[1 ] 。 常取信度为 5 %、 1 %、 10 % , 即置信水平为 95 % 、 99 % 、 90 % 。 换句话说 , 使 置 信 区 间 包 含 未 知 参 数 的 概 率 为 95 % 、 99 % 、 [1 ] 90 % 。
X n 确定的两个统计量 T 1 = T 1 ( X 1 , X 2 , …, X n ) 和 T 2 = T 2 ( X 1 , X 2 , …, X n ) 满足 P{ T 1 < β < T 2 } =
μZ 于是 , 可通过σ 查标准正态分布表得到失效概率 Z
Pf , 为了应用上的方便 , 令
2 可靠度的置信区间的数学定义
2 . 1 置信区间的定义 [ 4 ]
) 含有一个未知参 设总体 X 的分布函数 F ( x ,θ 数 θ, 若由样本 X 1 , X 2 ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…X n 确定的两个统计量θ ^1 =θ ^ 1 ( X 1 , X 2 , …X n ) 和 θ ^2 = θ ^ 2 ( X 1 , X 2 , …X n ) , 对
2 . W uhan U niversity , W uhan , Hubei 430072 , Chi na)
Abstract : The develop ment of design t heory for reliability in hydraulic st ruct ure engineering is int roduced briefly , t he confidence interval of reliability in hydraulic st ruct ure engineering is defined and t he solution about two normal dist ribution random variables’lower limit of confidence interval under four different conditions is showed. Keywords : hydraul ic structure engineering ; rel iabil ity ; conf idence interval

状态直线的最短距离 O ^ P , 这就是 β的几何意义 。
3
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第 2 期 张桂花 ,等 : 水工结构可靠度置信区间的研究与应用
2 σ Z) 其 中 , 均 值 μ Z = μ R - μ S; 标准差 σ Z = 2 2 σ R +σ S 可导出 :
下限和置信上限 (lower ,upper confidence limit ) , 区 间 [θ ^ 1 ,θ ^ 2 ] 是参数 θ 的区间估计 。 这其中 ,θ虽然未 知 , 但被看成是固定常数 , 区间 [θ ^ 1 ,θ ^ 2 ] 是一个随机 区间 [ 4 ] 。
1 水工结构可靠度设计方法进展
为了便于可靠度分析的实际应用 , 国内外从事 可靠度分析与研究的科技工作者提出了十分实用的
收稿日期 :2005211228 修稿日期 :2005212226 ) ,女 ( 汉族) ,河南周口人 ,在读硕士研究生 ,主要研究方向为水工结构可靠度 。 作者简介 : 张桂花 (1980 —
′ ′ 态随机变量 X′ i ( 其平均值为 μ X i , 标准差为 σ X i ) 的分
( x i3 ) 与原随机变量 ( 其平均值为 μX , 布函数值 FX′ i i
3 标准差为 σ X i ) 的分布函数值 FX i ( x i ) 相等 ; ( 2 ) 设
计验算点 x i3 处 , 当量正态随机变量概率密度函数
Met hod) [ 2～3 ] 等等 。 1. 1 验算点法 (J C 法)
。本
为了能够考虑基本变量的一般分布类型 ,Rack2
witz 和 Fiessler 在改进一次二阶矩法的基础上 ,提出
文针对这种现状 ,在水工结构工程中 ,提出了水工结 构可靠度的置信区间这一思想 。同时 , 结合以往水 工结构可靠度的分析方法 , 对求解水工结构可靠度 置信区间的方法进行了一定程度的探讨 。
β=
μZ μR - μS = 2 2 σZ σ R +σ S
( 4)
1 . 1 . 2 验算点的几何解释
对于两个正态随机变量 R 、 S 线的极限状态方 程可表示为 :
Z = g( R , S) = R - S = 0 ( 5)
式中 : R 为结构抗力 ; S 为作用在结构上的荷载效 应。 设 R 与 S 相互独立 , 并且都服从正态分布 。 在 OS R 坐标系中 , 把正态分布 N (μ i ,σ i ) 标准化 为 N ( 0 , 1) 后 , 极限状态方程式为倾角为 45° 一条直 线。 如图 2 所示 ,β是坐标系 O ^S ^R ^ 中原点 O ^ 到极限状 态直线的距离 O ^ P 3 ( 其中 P 3 为垂足) , 而 cos θ S 及
( 1)
′ 由条件 ( 2) 得当量正态分布的平均值 σ Xi 为 : ′ σ X =
i
φ{ Φ- 1 [ FX i ( x i3 ) ]}
3 fX ( xi )
i
( 2)
( 1) 和 ( 2) 式中 Φ( ・ ) 为标准正态分布函数 ,
于给定的 α值 ( < 0 α < 1) , 有 : P{θ ^1 < θ < θ ^ 2} = 1 - α
( confidence interval) 。 P 为概率 ,θ ^ 1 ,θ ^ 2 分别称置信