大学物理 机械振动 框架图和解题方法
大学物理解题方法(第1章 振动)
4. 简谐运动的能量 势能：
动能：
1 2 E p kx 2
1 1 2 电能： E E 2 C q 1 2 磁能： E B Li 2
1 E k m 2 2
机械能：E E k E p
1 2 kA 2
电磁能：E E E EB
---简谐运动能量方程
6
5. 简谐运动的合成 (1)同方向、同频率， 合振动振幅决定于分振动的振幅和相位差； (2)同方向、不同频率， 分振动频率相差很小时产生拍现象； (3)相互垂直、不同频率，分振动频率为简单整 数比时合运动轨迹为李萨如图形。
27
8. (1) 解：设小球处于平衡状态时， 弹簧伸长为x0，则 F浮 mg kx0 0 ---平衡条件 浮力是常量，暂不计算；
ρ
ρ0
x
kx0 是常量，暂不计算。
设小球离开平衡位置时的位移为x （向上为正）
F浮 mg k ( x0 x ) ma ---动力学方程
kx ma
3 6 cos
25
x(cm )
6 3
7.(2) 解：
1
x A cos(t )
o
t ( s)
3
t =1s
O
3
6 x
旋转矢量法
2 t / T 3 2 5 2 1 / T 6 5 6
26
8. 如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，下端固 定于水底，上端系一个直径为d的木质小球，小 球的密度ρ小于水的密度ρ0，推动后，小球在水 中沿铅直方向振动，如不计水对小球的阻力和 小球所吸附的水的质量： (1) 证明小球的运动为简谐 振动； (2) 设开始时，小球在水中 处于平衡位置，并具有向 上的初速度 v 0 ，试写出其 振动表达式。
大学物理(第四版)课后习题及答案 机械振动
大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相ϕ=3π/4。
试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t 图和a--t图。
13-1分析弹簧振子的振动是简谐运动。
振幅A、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程x=Acos(ωt+ϕ)的三个特征量。
求运动方程就要设法确定这三个物理量。
题中除A、ϕ已知外，ω可通过关系式ω=2π确定。
振子运动的速度T和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。
解因ω=2π，则运动方程 T⎛2πt⎛x=Acos(ωt+ϕ)=Acos t+ϕ⎛⎛T⎛根据题中给出的数据得x=(2.0⨯10-2m)cos[(2πs-1)t+0.75π]振子的速度和加速度分别为v=dx/dt=-(4π⨯10-2m⋅s-1)sin[(2πs-1)t+0.75π] a=d2x/dt2=-(8π2⨯10-2m⋅s-1)cos[(2πs-1)t+0.75πx-t、v-t及a-t图如图13-l所示π⎛⎛13-2 若简谐运动方程为x=(0.01m)cos⎛(20πs-1)t+⎛，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和4⎛⎛初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。
13-2分析可采用比较法求解。
将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(ωt+ϕ)作比较，即可求得各特征量。
运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。
解（l）将x=(0.10m)cos[(20πs-1)t+0.25π]与x=Acos(ωt+ϕ)比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率ω=20πs-1，初相ϕ=0.25π，则周期T=2π/ω=0.1s，频率ν=1/T=10Hz。
（2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为x=(0.10m)cos(40π+0.25π)=7.07⨯10-2m v=dx/dt=-(2πm⋅s-1)sin(40π+0.25π)a=d2x/dt2=-(40π2m⋅s-2)cos(40π+0.25π)13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg•m。
大学物理 机械振动知识要点 PPT
例、 图中定滑轮半径为 R, 转动惯量为 J , 轻弹簧劲度系数为 k ,物体 质量为 ｍ, 现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手,不计一切摩擦和空 气阻力,使证明系统作简谐振动,并求其作谐振动的周期。
解:以 m 为研究对象。
在平衡位置 O 时:合外力 F0 mg kl 0 (1)
在任意位置 x 时:合外力 F mg T1 (2)
kc
证明:
o xc
水平面
分析振动系统机械能守恒!
x
建坐标如图,
弹簧原长处为坐标原点,设原点处为势能零 点,质心在xc时系统的机械能为
1 2
kxc2
1 2
mvc2
1 2
J c2
const.
(注意上式中的是刚体转动的角速度)
1 2
kxc2
1 2
mvc2
1 2
J c2
const.
将
Jc
1 2
mR2
vc R
k
以下由转动系统解出 T1:
J
R
m
T1
O
x
mg
R
T1R k(l x)R J
X
J
f
T1 T1 k(l x) R (3)
将 (1),(3)代入(2)中,合外力
F mg k(l x) J kx J (4)
R
R
而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度
a F
代入(4)中得
R mR
JF F kx mR2
机械振动知识要点
1、掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意 义及确定方法
x Acos(t )
决定于系统本身的性质！ k
m
A和由初始条件x0, v0决定！
大学物理第7章机械振动
则物体的运动为简谐振动。
3.简谐振动的基本特征
1） F kx( M )
2） a 2 x （ 2 ）
3）d 2 dt
x
2
2x
0（ d2
dt 2
2
0）
三．简谐振动的速度和加速度
xAcots()
v d x A si tn )( A c o t s ( )
一水平弹簧振子做简谐振动，振幅
A=410-2m，周期T=2s，t=0时，
[1] x0 21，0 且2m 向负方向运动； [2] x02，10且2m 向正方向运动； 试分别写出这两种情况下的振动方程。
例7-2
已知一简谐振动的振动曲线求振动方程
6 x(m)102
3
t(s)
5
简谐振动的能量
x Acos(t ) v Asin(t )
t 0时刻的位相 称为初相，确定开始时刻振
动物体的运动状态。
t = 0，由运动方程可知：
x0Acos v0Asi n
由上式可得到：
A x02 v02 2
tg v0 x0
5、位相差Δ
设有两个简谐振动：
x 1A 1co1 ts (1 ) x 2A 2co2 ts (2 )
两者的位相差为：
2）
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s (1)
2k, AA1A2 (2k1), AA1A2
* 二. 同方向不同频率的简谐振动的合成
x1 Acos(1t ), x2 Acos(2t )
x
x1
x2
2 A c os 2
1
2
t cos(2
1
2
t
)
* 三．相互垂直的同频率的简谐振动的合成
大学物理第五章机械振动习题解答和分析
5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2100.2-⨯=，周期s T 0.1=，初相.4/3πϕ=试写出它的振动位移、速度和加速度方程。
分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。
解：振动方程为：]2cos[]cos[ϕπϕω+=+=t TA t A x 代入有关数据得：30.02cos[2]()4x t SI ππ=+ 振子的速度和加速度分别是：3/0.04sin[2]()4v dx dt t SI πππ==-+ 2223/0.08cos[2]()4a d x dt t SI πππ==-+5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度.分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。
解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππϕω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1/210s νωπ-==， 周期1/0.1T s ν==，/4rad ϕπ=（2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ϕππππ=+=+ 由cos x A ϕ=，sin A νωϕ=-，22cos a A x ωϕω=-=-得 20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=-5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。
解：（1）跟据x m ma f 2ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x 将0=t 代入上式中，得： 5.0f N =（2）由x m f 2ω-=可知，当0.2x A m =-=-时，质点受力最大，为10.0f N =5-4为了测得一物体的质量m ，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率Hz 0.11=ν；而当将另一已知质量为'm 的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为Hz 0.22=ν.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.分析 根据简谐振动频率公式比较即可。
物理中的机械振动知识点解析及解题技巧
物理中的机械振动知识点解析及解题技巧机械振动是物理学中的重要分支，研究物体在平衡位置附近做微小振幅周期性运动的规律。
在本文中，我们将对机械振动的知识点进行解析，并介绍一些解题技巧。
一、简谐振动简谐振动是理想化的机械振动模型，它假设振动系统没有能量损耗，且恢复力与位移成正比。
简谐振动的典型例子包括弹簧振子和摆锤等。
解析公式：1. 位移公式：x(t) = A*cos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 速度公式：v(t) = -A*ω*sin(ωt+φ)。
3. 加速度公式：a(t) = -A*ω²*cos(ωt+φ)。
解题技巧：1. 周期与频率的关系：T = 1/f，其中T为周期，f为频率。
2. 角频率与频率的关系：ω = 2πf。
3. 振动的周期和频率与弹簧的劲度系数和质量有关：T = 2π√(m/k)，其中m为质量，k为劲度系数。
二、阻尼振动阻尼振动是指振动系统中存在有能量消耗的情况下的振动现象。
根据阻尼的不同，可以分为无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动。
解析公式：1. 无阻尼振动的位移公式：x(t) = A*cos(ωnt + φ)，其中A为振幅，ωn为自然角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 欠阻尼振动的位移公式：x(t) = A*e^(-βt)*cos(ωdt + φ)。
3. 过阻尼振动的位移公式：x(t) = A1*e^((-β1)t) + A2*e^((-β2)t)，其中A1、A2为常数，β1、β2为自然频率。
解题技巧：1. 阻尼比：ζ = β/ωn，其中β为阻尼常数，ωn为自然角频率。
2. 衰减因子：η = e^(-βt)。
三、受迫振动受迫振动是指振动系统在受到外力作用下的振动现象。
当外力频率等于振动系统的固有频率时，会出现共振现象。
解析公式：1. 受迫振动的位移公式：x(t) = X*cos(ωt-δ)，其中X为振幅，ω为外力角频率，t为时间，δ为初相位差。
(完整版)大学机械振动课后习题和答案(1~4章总汇)
1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++1.4 求图所示扭转系统的总刚度。
两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t Tk T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+故等效刚度为：12111eq t t k k k =+1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。
解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+&故等效刚度为：12eq P c c c x ==+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 1122P x c P x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩&&，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+&1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。
机械振动常用解题方法例析
机械振动常用解题方法例析上海师范大学附属中学李树祥一、等效模型法:水平方向的弹簧振子和小摆角条件下的单摆是简谐振动的两个最基本最典型的模型，某一物理问题中的研究对象如果与它们具有类似的运动规律，我们就可利用原有模型的已知结论，以简化求解。
因此解题时可把一些物体的运动等效为单摆模型，等效单摆的周期公式可以广义地表示为，式中为等效摆长，为等效重力加速度。
等效摆长等于等效摆球的重心到等效悬点的距离（也就是摆球做圆周运动的半径）。
等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力F与摆球的质量m之比），即。
求的基本步骤如下：（1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡位置）。
（2）计算摆球的视重。
（3）利用，求出等效重力加速度。
应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向的力（法线方向）包括在内。
因为只有对回复力有贡献的力，才能改变振动周期。
例1、如图1所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过角。
若绳长为l，摆球质量为m，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为（）。
A. B.C. D.析解：平衡时摆球受重力mg，风力，线的拉力，受力分析如图2所示。
由力的平衡可得，摆球的视重为，等效重力加速度为图1图2所以摆的周期为，故选项B 正确。
例2、如图3所示，光滑圆弧槽半径为R ，A 为最低点，C 到A距离远小于R ，两小球B 和C 都由静止开始释放，问哪一个小球先到A 点？析解：B 球到A 点时间用自由落体运动规律求解，其时间：，由于C 到A 距离远小于R ，故小球C 的运动可等效为单摆。
C 球第一次到达A 点用单摆周期公式：。
显然，，即B 球先到。
讨论：要使两球在A 点相遇，可使B 球上移，问此时B 球高度h 为多少？分析：B 球下落时间为：，又C 点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相应的h 值亦应有多解：，解得：，故选项B 正确。
二、对称法：就是利用简谐运动相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可能等值反向，动能、势能一定相同的这些特点来分析问题的方法。
大学物理 机械波知识结构
机械波部分
1 平面简谐振动
2 频率、周期、波长、波速
u T
3 介质的振动位移、速度、加速度
物理系：史彭
大学物理：机械波知识结构
二、基本定理
1 平面简谐波方程（波函数） y( x, t) A cos[ (t x ) ]
u
典型习题
已知原点振动方程求平面简谐波方程 已知原点非振动方程求平面简谐波方程 已知波方程求各物理量
大学物理：机械波知识结构
一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它
的周期
；用余弦函数描述时初相位
。
2
x
1
7
6
6
t 7
t 12
T 2 24 3.43s
7
4
3
3
物理系：史彭
大学物理：机械波知识结构
一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg的物 体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10cm， 然后由静止释放并开始计时。求： (1) 物体的运动学方程； (2) 物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力； (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。
利用旋转矢量法得出简谐振动方程
利用初始条件解题
A
x02
v
2 0
2
（2）已知简谐振动方程，求各物理量
tg 1 ( v 0 ) x0
A T
物理系：史彭
大学物理：机械波知识结构
2 简谐振动的机械能
Ek
1 mv 2 2
Ep
1 kx2 2
大学物理课件0机械振动
mg
0 cos t
l T 2 g 2
其中，单摆的周期是
1. A 、 的确定：
k 2. (结合周期T,结合旋转矢量法) ： m
2
2 v0 2 A x0 2 x0 A cos v0 A sin arctan v0 x0
F
2. 阻尼振动方程 F弹 , f 以弹簧振子为例 2 d x o m 2 kx x dt 2 d x dx k x0 或写为 2 dt m dt m 定义固有角频率ω0和阻尼因子β，有 k 2 2 0 m m
x
d x dx 2 2 2 0 x 0 dt dt
2o 两振动到达同一状态的时间差是
五、旋转矢量(rotational vector)
旋转矢量
A
(ωt 2 φ2 ) (ωt1 φ1 ) 2 1 t t 2 t1
t
t+
Oo
矢径 A 与 x 轴夹角为: ( t ) 在 x 轴上的投影为: x = Acos( t )
o
合振幅最小
t
( 3) φ φ2 φ1为其它值时
则A在上述两者之间。
当A1=A2时： 合振幅最大值是2A1 ；
合振幅最小值是0。 二、相互垂直同频率简谐振动的合成 特点: ω1=ω2=ω , x1 x2 对如下两个振动
x A1 cos(ωt φ1 ) y A2 cos(ωt φ2 )
2o 初相 ，由开始时刻振动物体的运动状 态决定 由运动方程可知：t = 0时刻
x0 A cos φ υ0 ωA sin φ
υ υo A x , tan φ ω ωxo 5. 相位差(phase fifference) 两个简谐振动的相位之差称为相位差, 用Δ 表示
高考物理经典题型：三种模型解决机械振动和机械波
三种模型解决机械振动和机械波距离高考还有不到一个月了，各位同学也早已进入到最后的冲刺阶段。
对于现阶段的复习，建议各位同学要回归课本，巩固知识点，重温近几年天津卷的真题，加强解题的规范性和准确性。
机械振动和机械波作为高考选择题的必考考点，常在多选题中出现，因此也成为选择题中的难点和失分点。
因此，我今天要和各位同学分享机械振动和机械波中常见的三种模型。
模型一：长度/时间模型（多解性）1、长度模型特征：已知两点间距为x和振动情况，求波长。
方法：按传播方向平移振动图像，写出多解表达式。
例题：（2008 天津）一列简谐横波沿直线由a向b传播，相距10.5m的a、b两处的质点振动图象如图中a、b所示，则（）A．该波的振幅可能是20cmB．该波的波长可能是8.4mC．该波的波速可能是10.5m/sD．该波由a传播到b可能历时7s【分析】由振动图象可知波的振幅及周期；由图象得出同一时刻两质点的位置及振动方向，则可得出ab间可能含有的波长数，则可得出波长的表达式，波速公式可得出波速的可能值；则可知该波从a传播到b点可能经历的时间．【解答】解：A 、由图可知，波的周期为4s ，振幅为10cm ，故A 错误；B 、由图可知，在0时刻a 在负向最大位置处，b 在平衡位置向正方向运动，而波由a 向b 传播，则ab 间距离与波长关系为l ＝（n +34）λ=4n+34λ（n ＝0，1，2，3﹣﹣﹣﹣﹣﹣），将8.4m 代入n 无解，故B 错误；C 、由B 可知λ=424n+3m ，由v =λT 可知，v =424n+34m/s =10.54n+3m/s （n ＝0、1、2﹣﹣﹣﹣﹣﹣），将10.5m/s 代入，n 无解，故C 错误；D 、由a 到b 需要的时间t =l v=（4n+3）s ，当n ＝1时，t ＝7s ，故D 正确； 故选：D 。
2、 时间模型特征：已知时间间距为t 的两个时刻的振动情况，求周期。
方法：按传播方向平移振动图像，求多解表达式。
《大学物理教程》郭振平主编第十章 机械振动和机械波
第十章 机械振动和机械波一、基本知识点机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动叫做。
胡克定律: 弹簧弹性力F 的大小与位移x 的大小成正比，而且F 的方向与位移方向相反，即F kx =-式中，k 为弹簧的劲度系数。
具有这种性质的力称为线性回复力。
简谐振动的运动学方程:cos()x A t ωϕ=+式中A 为振幅，表示振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值；()t ωϕ+是决定简谐振动状态的物理量，称为在t 时刻振动的相位，单位是弧度()rad ；ϕ为初相位，是0t =时刻的相位；ω=角频率。
简谐振动的动力学方程:2220d x x dtω+=简谐振动的频率：振动物体在单位时间内完整振动的次数，单位是赫兹()Hz 。
简谐振动的周期：振动物体完成一次完整振动所经历的时间，单位是秒()s 。
关系：周期T 是频率ν的倒数；ω=2πν=2π/T简谐振动物体的速度:sin()cos()2dx A t A t dt πυωωϕωωϕ==-+=++ 简谐振动物体的加速度:22222cos()cos()d xa A t x A t dtωωϕωωωϕπ==-+=-=++振幅：A = 初相位：arctanx υϕω-= 式中，0x 为t=0时刻的初始位移，0υ为t=0s 时刻的初始速度。
旋转矢量法: 用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动的方法。
以简谐振动的平衡位置O 作为x 轴的坐标原点，自O 点出发作一矢量A（其长度等于简谐振动振幅A ）。
设0t = 时刻，矢量A 与x 轴所成的角等于初相位ϕ。
若矢量A以角速度ω（其大小等于简谐振动角频率ω）匀速绕O 点逆时针旋转，则在任一时刻矢量A末端在x 轴上的投影点P 相对原点的位移为cos()x A t ωϕ=+，显然，P 在x 轴上做简谐振动。
如图10-1所示。
cos()x A t ωϕ=+图10-1 简谐振动的旋转矢量法弹簧振子的弹性势能：222211cos ()22p E kx mA t ωωϕ==+弹簧振子的动能：222211sin ()22k E m mA t υωωϕ==+ 系统的总机械能：2212p k E E E mA ω=+=表明总机械能总量守恒。
大学物理上知识结构图
运 动 的 特
运 动 学
/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ专
性
大 学 物 理 上
门
运动→机械运动→研究方法→参考系→坐标系→理想化模型→质点（系）刚体 质 点 /系/ 和 描 述 物 体 运 动 的 基 础 / 质 点 / 系 / 和 刚 体 的 相 关 概 念 质 心 自 由 度 n 物体的质量中心。对于规则的几何体质心就是它的几何中心如圆球 的球心就是它的质心；对于由多个质点组成的质点系的质心，其质 心位置由以下公式确定： 质 量 刚 体 比 较 质 点 系 刚体 名称 质点 定义 物体的大小和形状对 所讨论的问题影响不 大，把物体看成是有质 量的点 多个质点组成的系统， 如连结体问题 大小和形状不能忽略， 且在任何情况下大小和 形状都不发生变化的物 体。 比较 当只有一 （多） 个物体存在， 且它 （们） 的大小和形状可忽略时，把它（们） 看成一个质点（系） ；刚体是特殊的质 点系，他可以看成是有许多个小质点 组成，且每个质点间的相对位置保持 不变，如门在转动过程中。物体理想 化模型的抽象与物体的运动形式有 关：如轮子，平动-质点；转动-刚体。
动量增加的方向一致。 3.物理意义：使物体动量发生变化。 1.动量：质量与速度的乘积，是状态量。用 P 表示，是矢量。 P 大小 P m v ，方向：与 v 同向 2.动量定理：合外力的冲量引起动量的变化微分形式 d I
mv ，
F (t )dt d P
（1）恒力： I P2 P 1 P
基 础
转动定律： M
J 力矩产生角加速度，使刚体转动。 F ex m' d vC m' aC dt
质点系：质心运动定律：数学表达式：
文字表述：作用于系统的和外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度。 静 力 学 基 础 1.定义：力的时间累积效果用冲量来描述，是过程量。定义：等于力乘以力 的作用时间，用 I 表示，是矢量。 对于质点：
物理解析机械振动和波动问题的解题技巧
物理解析机械振动和波动问题的解题技巧物理学中，机械振动和波动问题是重要且常见的研究对象。
掌握解析方法和技巧对于解决这类问题至关重要。
本文将介绍一些解析机械振动和波动问题的解题技巧。
一、机械振动问题的解题技巧机械振动问题常常涉及弹簧振子、简谐振子、阻尼振动等。
以下是解析机械振动问题的一些技巧。
1. 弹簧振子问题弹簧振子问题是机械振动问题的基础，解决弹簧振子问题的关键在于根据受力分析确定恢复力和阻尼力。
一般来说，弹簧振子问题可以分为无阻尼、阻尼和受迫振动三种情况进行求解。
对于无阻尼情况，可以利用胡克定律和牛顿第二定律建立微分方程，再求解得到振动的表达式。
对于阻尼和受迫振动问题，需要根据阻尼和外力的特点选择合适的方程和方法进行求解。
2. 简谐振子问题简谐振子是振动问题中常见的一种情况，其特点是振动物体的加速度与位移成正比且方向相反。
解决简谐振子问题的关键在于确定振子的运动方程。
一般来说，可以利用牛顿第二定律和胡克定律建立微分方程，然后求解得到振动的表达式。
3. 阻尼振动问题阻尼振动是指振子在阻力作用下进行的振动。
解决阻尼振动问题的关键在于考虑阻尼力对振子的影响。
可以利用牛顿第二定律和阻力的表达式建立微分方程，然后求解得到振动的表达式。
二、波动问题的解题技巧波动问题常常涉及波速、频率、波长、干涉和衍射等。
以下是解析波动问题的一些技巧。
1. 波速、频率和波长的关系波速、频率和波长是波动问题中的重要概念，它们之间存在着一定的关系。
根据定义，波速等于频率乘以波长。
因此，在解决波动问题时，可以利用波速、频率和波长之间的关系进行推导和计算。
2. 干涉和衍射问题干涉和衍射是波动现象中的重要问题，解决干涉和衍射问题的关键在于利用波动理论和波动方程进行分析。
干涉和衍射问题中常常涉及到波的相位差、波的叠加等概念。
根据波动理论和波动方程，可以得到干涉和衍射的条件和结果。
以上是解析机械振动和波动问题的一些解题技巧。
在解决这类问题时，需要灵活运用物理知识和数学方法，根据具体情况选择合适的方程和方法进行求解。
大学物理机械振动框架图和解题方法
第5章 机械振动一、基本要求1．掌握描述简谐运动各物理量的物理意义及相互关系，能根据给定的初始条件建立简谐运动方程；2．掌握旋转矢量法，并能用以求解初相、相位、相位差、时间差；理解简谐运动合成规律； 3．理解振幅、周期、频率、相位等描述机械波的重要物理量。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：理解简谐运动特征并能根据给定的初始条件写出简谐运动方程。
难点：掌握旋转矢量法在解题中的应用。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===⎪⎩⎪⎨⎧=+''+=-=李萨如图形垂直方向频率整数比椭圆运动垂直方向同频率拍同方向不同频率仍为简谐运动同方向同频率简谐运动的合成总能量弹性势能动能简谐运动的能量复摆单摆弹簧振子典型例子初相相位角频率频率周期振幅基本物理量谐运动微分方程谐运动方程回复力公式简谐运动的定义振动::::212121,,:,,,,,:0:)cos(::2222kA E E E kx E mv E x x t A x kx F p k p k ωϕω(三）容易混淆的概念： 1.初相和相位简谐振动运动方程 简谐振动能量 简谐振动合成速度方程 加速度方程 动能 势能 合振幅合相位初相ϕ反映简谐运动物体在初始时刻的运动状态；相位ϕω+t 反映简谐运动物体在任意时刻的运动状态。
2.角频率和频率角频率（圆频率）ω反映角位置随时间的变化，对于谐振子而言，由劲度系数和质量决定，又称固有频率；频率ν是单位时间内完成全振动的次数，是周期的倒数。
（四）主要内容：1．简谐运动的基本概念： （1） 运动方程：)cos(ϕω+=t A x ，A x m =（2） 速度方程：)sin(ϕωω+-=t A v ，A v m ω=（3） 加速度方程：)cos(2ϕωω+-=t A a ，A a m 2ω=（4） 周期：ωπ2=T（5） 频率：πων21==T （6） 时间差与相位差的关系：ωϕ∆=∆t2.旋转矢量法：在平面上画一矢量A ，初始位置与x 轴正方向的夹角等于初相位ϕ,其尾端固定在坐标原点上，其长度等于振动的振幅A ，并以圆频率ω为角速度绕原点作逆时针匀速转动，则矢量A 在x 轴上的投影为：) cos(ϕω+=t A x 。
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第5章 机械振动一、基本要求1．掌握描述简谐运动各物理量的物理意义及相互关系，能根据给定的初始条件建立简谐运动方程；2．掌握旋转矢量法，并能用以求解初相、相位、相位差、时间差；理解简谐运动合成规律； 3．理解振幅、周期、频率、相位等描述机械波的重要物理量。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：理解简谐运动特征并能根据给定的初始条件写出简谐运动方程。
难点：掌握旋转矢量法在解题中的应用。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===⎪⎩⎪⎨⎧=+''+=-=李萨如图形垂直方向频率整数比椭圆运动垂直方向同频率拍同方向不同频率仍为简谐运动同方向同频率简谐运动的合成总能量弹性势能动能简谐运动的能量复摆单摆弹簧振子典型例子初相相位角频率频率周期振幅基本物理量谐运动微分方程谐运动方程回复力公式简谐运动的定义振动::::212121,,:,,,,,:0:)cos(::2222kA E E E kx E m v E x x t A x kx F p k p k ωϕω(三）容易混淆的概念： 1.初相和相位简谐振动运动方程 简谐振动能量 简谐振动合成速度方程 加速度方程 动能 势能 合振幅合相位初相ϕ反映简谐运动物体在初始时刻的运动状态；相位ϕω+t 反映简谐运动物体在任意时刻的运动状态。
2.角频率和频率角频率（圆频率）ω反映角位置随时间的变化，对于谐振子而言，由劲度系数和质量决定，又称固有频率；频率ν是单位时间内完成全振动的次数，是周期的倒数。
（四）主要内容：1．简谐运动的基本概念：（1） 运动方程：)cos(ϕω+=t A x ，A x m =（2） 速度方程：)sin(ϕωω+-=t A v ，A v m ω= （3） 加速度方程：)cos(2ϕωω+-=t A a ，A a m 2ω= （4） 周期：ωπ2=T（5） 频率：πων21==T （6） 时间差与相位差的关系：ωϕ∆=∆t2.旋转矢量法：在平面上画一矢量A ，初始位置与x 轴正方向的夹角等于初相位ϕ,其尾端固定在坐标原点上，其长度等于振动的振幅A ，并以圆频率ω为角速度绕原点作逆时针匀速转动，则矢量A在x 轴上的投影为：)cos(ϕω+=t A x 。
旋转矢量做一次圆周运动，其矢端在x 轴上投影点完成一次简谐运动。
3.简谐运动实例：（1）弹簧振子振动方程：)cos(ϕω+=t A x角频率和周期：m k =ω，km T π2= 4.简谐运动的能量： 动能：221mv E k =势能：221kx E p =机械能：总能量（守恒）222221212121mv kx mv kA E E E m P k +===+= 5.简谐运动的合成：（1）两个同方向、同频率简谐振动的合成：仍为简谐振动：)cos(ϕω+=t A x 。
其中合振幅和合初相分别为：⎪⎩⎪⎨⎧++=∆++=22112211212221cos cos sin sin cos 2ϕϕϕϕϕϕA A A A arctgA A A A A a. 同相：当相位差满足π的偶数倍，即：πϕk 2±=∆时，振动加强，21A A A MAX +=； b. 反相：当相位差满足π的奇数倍，即：πϕ)12(+±=∆k 时，振动减弱，21A A A MIN -=。
（2）同方向、频率相近的两简谐运动合成后，振幅随时间缓慢地周期性变化的现象称为“拍”，拍频为12υυυ-=；（3）同频率、相互垂直的两简谐运动的合成，一般为椭圆运动； （4）相互垂直、频率成整数比的两简谐运动合成，形成李萨如图形。
（五）思考问答： （1） 问题1 符合什么规律的运动是简谐运动？答：当物体所受的合外力大小与位移成正比且方向与位移方向相反时，即kx F -=；或物体的运动方程满足时间的余弦或正弦关系，或物体的动力学方程满足：0222=+x dtx d ω时，物体的运动为简谐运动。
问题3 弹簧振子做简谐运动时，如果振幅增为原来的两倍而频率减小为原来的一半，问他的总能量怎样改变？ 答：因为：πνωω2,2121222===A m kA E ，所以，当2020041,2,2ωωνν===A A ， 时，总能量()020********1242121E A m A m A m E ====ωωω，不改变。
问题4 如何判断振动物体的运动是简谐运动？答：确定振动物体是否做简谐运动的依据是简谐运动的运动学特征和动力学特征，即：x a 2ω-= 或kx F -=, 或 0222=+x dtx d ω 。
归纳起来，凡满足下列情况之一者为简谐运动：⑴离开平衡位置的位移x 和时间t 满足)cos(ϕω+t A ； ⑵加速度a 和位移x 满足x a 2ω-=；⑶回复力F 和位移x 成正比而且反向（这样的力称线性回复力）：kx F -=；⑷位移满足简谐运动的动力学方程:0222=+x dtx d ω；⑸运动过程中，物体的动能和势能均随时间做简谐变化，且机械能守恒。
问题5 质点作简谐运动时，位移、速度、加速度三者能同时为零，能同时有最大值吗？ 答：依据简谐运动的运动学方程：得： )cos()sin()cos(2ϕωωϕωωϕω+-==+-==+=t A dtdv a t A dt dxv t A x回答显然是否定的，因为：⑴位移为零时，加速度为零，速度则以最大值通过平衡位置； ⑵位移最大时，加速度最大，速度则为零。
问题6 两个必须澄清的概念：⑴把单摆的摆球拉开一个甚小的角度ϕ ，然后放手任其摆动，并在放手时开始计时.问：（a ）ϕ是不是单摆的初相；(b)摆球的角度是单摆的角频率吗？⑵对弹簧振子系统而言，忽略了弹簧的质量，则系统的角频率为mk=ω；倘若弹簧 的质量M 不可忽略，振子系统的角频率可以是mM k +=ω 吗？答：⑴(a)有些读者可以认为：摆球从ϕ角位置开始运动，满足初始条件，且初相的量纲是角度，故得出ϕ就是初相的结论，这是错误的。
这里必须指出两点：第一，两个量纲相同的物理量，并不意味着其物理意义相同。
例如：功和力矩具有相同的物理量纲，但物理意义完全不相同；第二，简谐运动中的初相能确定振动系统在初始时的运动状态，而初相本身不是运动状态，不与某一具体角对应，只有在简谐运动中，旋转矢量图中初相才表现为初始时刻旋转矢量A 与x 坐标轴的夹角。
在本题中，0=t 时，振动系统处在最大角位移m θ =ϕ处，角速度为零，则初相为零。
(b)错误。
必须清楚系统做简谐运动时，它的角频率是由系统本身的性质决定的，而与其运动状态无关，故又称固有频率。
只有在简谐运动的旋转矢量图中，矢量A 逆时针旋转的角速度才表示振动系统的角频率。
⑵不可以。
第一，对于忽略质量的弹簧，振子偏离平衡位置时，弹簧中各部分中的弹性力相同，即为振子受到的弹性力。
若弹簧的质量不可忽略，则弹簧中各部分的弹性力不相同，作用在振子上的弹性力无法列出；第二，弹簧振子的简谐运动必须遵守牛顿定律，而牛顿定律适用的条件之一是质点，若考虑弹簧的质量，由于弹簧本身不能视为质点，故也就不能将M 加到m 上去了。
三、解题方法1.已知质点做简谐运动的振幅、角频率、初始条件等，求质点运动方程。
此类题目一般先设简谐运动方程式，再先用旋转矢量法或解析法由初始条件求得初相，再代入运动方程标准式。
2.已知质点做简谐运动方程式，求其振幅、角频率、周期、频率、初相等物理量，一般用待定系数法，与标准式相比较求解。
四、解题指导1.简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的最短时间为1/4周期吗？走过该距离的一半所需的时间为多少？是1/8周期吗？振子从平衡位置出发沿x 轴正方向运动,经历1/8周期时运动的位移是多少？ 解：（提示：旋转矢量法，设振子作水平振动，作x 轴，若垂直振动，作y 轴。
） 振子作简谐运动时，从平衡位置运动到最远点所需的最短时间是1/4周期。
因振子的速度)sin(ϕωω+-=t A v 不是常数，振子作变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是1/8周期。
从旋转矢量图中可以看出:振子从平衡位置P 运动到2/A 处M 点时，相应的振幅矢量转过了6/π的角度：6π =∆t ω所以12π26π6π T T t ===∆ω也就是说，振子从平衡位置O 运动到2/A 处所用的时间为12/T ，而不是8/T 。
而振子从2/A 处运动到最远点的时间为：6124T T T t =-='∆振子从平衡位置O 出发，经过8/T 时，位移为：A A T A x 22)4πcos()2π8cos(=-=-=ωP2．已知某质点作简谐运动，振幅cm 4，周期s 25.0，初始时刻位于A 22-处且向正方向运动，求质点的振动方程。
（提示：求质点的振动方程，必须先求出其振动的振幅A ，角频率ω以及初相位0ϕ。
解：（提示，此题的关键是根据旋转矢量法或解析法正确求出初相位。
）（1） 求初相方法1 旋转矢量法质点0=t 时的振动相位（初相位）为π43-=ϕ或π45=ϕ方法2 解析法将0=t 时，Ax 220-=代入简谐运动方程有：ϕcos 22A A =-即：π43,22cos ±=-=ϕϕ0=t 时0sin >-=ϕωA v 即0sin <ϕ所以，取4/π3-=ϕ，也可取4/π5=ϕ。
（2）求角频率22ππω==T 所以，该质点的振动方程为：)432cos(04.0ππ-=t x 或)452cos(04.0ππ+=t x 3．一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是：(1)A x -=0；(2)过平衡位置向正向运动； (3)过2Ax =处向负向运动； (4)过2A x -=处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为 ⎩⎨⎧-==0000sin cos φωφA v A x将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1πππφ+==t T A x )232cos(232πππφ+==t T A x)32cos(33πππφ+==t T A x)452cos(454πππφ+==t T A x4．一个质点同时参于两同方向、同频率的简谐运动，它们的振动方向分别为：))(32cos(8))(62cos(621cm t x cm t x ππ-=+=试用旋转矢量法求出合振动方程。
解：（提示：由旋转矢量图或余弦定理求出合振幅和合初相。
）cm10)cm 64()cm 36(222221=+=+=A A A0.403rad0.643)rad -(1.046rad )86arctg 3π(==-=ϕ故合振动方程为：))(403.02cos(10cm t x -= 5．图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．解：由题图(a)，0=t 时，质点在平衡位置,00>v (问为什么大于零),πφ230=（或πφ210-=）,s 2,cm 10==T AA 2即： 1s rad 2-⋅==ππωT故： m )23cos(1.0ππ+=t x a 由图(b),0=t 时，质点在2A 处,35,000πφ=>v （或3π-）一秒时间内，旋转矢量转过的角度为：πππϑ6523=+= 165165-==s ππωm )3565cos(1.0ππ+=t x b 6．某振动质点的t x -曲线如图所示，试求：（1）振动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需时间。