数学---江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二上学期期中考试(解析版)

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江苏省四校2017-2018高二数学上学期期中联测试题(word版含答案)

江苏省四校2017-2018学年高二数学上学期期中联测试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．) 1.命题“1,0->>∀x x x ”的否定形式为___________________. 2.曲线x e y 2=在0=x 处的切线方程是__________.3.以双曲线1322=-y x 的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________ . 4.已知函数22()log f x x x =+，则'()f x = .5.平行”和直线”是直线““02)1(30123=--+=++=y a x y ax a 的____________.（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）6.过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A,B 两点,当ACB ∠最小时,直线l 的方程为_________________.7.设P 是直线0=-+b y x 上的一个动点，过P 作圆422=+y x 的两条切线PB PA ,，若APB ∠的最大值为60°，则b = ．8.已知圆0241022=+-+x y x 的圆心是双曲线)0(19222>=-a y ax 的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.9.已知命题[]a x x p ≥∈∀2,4,1:，命题022,:2=-++∈∃a ax x R x q ，若命题""q p 且是真命题，则实数a 的取值范围为_____________ .10.函数)(x f y =的图像在点5=x 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5('f f +等于_________.11.已知P 是椭圆141222=+y x 上的动点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则→→⋅21PF PF 的取值范围是___________ .12.已知直线l 与圆3)5(:22=++y x C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为_______________.13.设R n m ∈,，则222)122()22(+-+--n m n m 的最小值为___________.14.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的短轴长为2，离心率为22，设过右焦点的直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A ,，过B A ,作直线2=x 的垂线BQ AP ,，垂足分别为Q P ,，记PQBQAP +=λ，若直线l 的斜率32≤≤k ，则λ的取值范围为___________.二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15. （本小题满分14分）（1）求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程. （2）已知抛物线的焦点在y 轴上，点(,3)M m -是抛物线上的一点，M 到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程.16.（本小题满分14分）已知a 为实数，:p 点)1,1(M 在圆4)()(22=-++a y a x 的内部；,:R x q ∈∀都有012≥++ax x .（1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若q 为假命题，求a 的取值范围；（3）若”且“q p 为假命题，且”或“q p 为真命题，求a 的取值范围．17.（本小题满分15分）已知曲线042:22=+--+m y x y x C（1）若1=m ，过点)3,2(的直线l 交曲线C 于N M ,两点，且32=MN ，求直线l 的方程；（2）若曲线C 表示圆，且直线02=--y x 与圆相交于B A ,两点，是否存在实数m ，使得以AB 为直径的圆过原点，若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由。

【数学】2017-2018年江苏省无锡市江阴市四校联考高一(上)数学期中试卷带答案

2017-2018学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）若集合A={1，3}，B={0，3}，则A∪B=．2．（5分）计算：sin210°的值为．3．（5分）若扇形的半径为2，圆心角为，则它的面积为．4．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点．5．（5分）若一个幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．6．（5分）已知a=20.3，b=20.4，c=log20.3，则a，b，c按由大到小排列的结果是．7．（5分）函数的定义域是．8．（5分）已知点M（4，x）在角α的终边上，且满足x＜0，cosα=，则tanα=．9．（5分）不等式4x﹣2x+2+3＜0的解集为．10．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则sinα﹣cosα=．11．（5分）函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，则a 的取值范围是．12．（5分）已知定义在R上的函数，满足对任意x1≠x2都有成立，则实数m的取值范围是．13．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得成立的x的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合B=[m﹣3，m]m∈R（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；（2）设全集为R，若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．16．（14分）（1）8﹣+2+（）0（2）（lg5）2+lg2•lg50．17．（14分）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a的值；（2）证明：f（x）是R上的增函数；（3）解不等式：f（log2x）≤．19．（16分）如图，在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数y=ax2+bx+c（a≠0），x∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A（4，4）；观光带的后一部分为线段BC．（1）求函数为曲线段OABC的函数y=f（x），x∈[0，10]的解析式；（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？20．（16分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lgx，g（x）=3﹣x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．2017-2018学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）若集合A={1，3}，B={0，3}，则A∪B={0，1，3} ．【解答】解：∵集合A={1，3}，B={0，3}，∴A∪B={0，1，3}，故答案为：{0，1，3}．2．（5分）计算：sin210°的值为﹣．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣，故答案为﹣．3．（5分）若扇形的半径为2，圆心角为，则它的面积为．【解答】解：S==．扇形故答案为：．4．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2）．【解答】解：令x﹣1=0，求得x=1，且y=2，故函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2），故答案为（1，2）．5．（5分）若一个幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为f （x）=x﹣2．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴2α=，解得：α=﹣2，∴y=x﹣2．故答案为：f（x）=x﹣2．6．（5分）已知a=20.3，b=20.4，c=log20.3，则a，b，c按由大到小排列的结果是b，a，c．【解答】解：∵1＜a=20.3＜b=20.4，c=log20.3＜0，∴a，b，c按由大到小排列的结果是b，a，c．故答案为：b，a，c．7．（5分）函数的定义域是（1，4] ．【解答】解：由题意得：1﹣log3（x﹣1）≥0，故log3（x﹣1）≤1，故0＜x﹣1≤3，解得：1＜x≤4，故函数的定义域是（1，4]，故答案为：（1，4]．8．（5分）已知点M（4，x）在角α的终边上，且满足x＜0，cosα=，则tanα=﹣．【解答】解：∵点M（4，x）在角α的终边上，且满足x＜0，cosα==，∴x=﹣3，则tanα==﹣，故答案为：﹣．9．（5分）不等式4x﹣2x+2+3＜0的解集为（0，log23）．【解答】解：由4x﹣2x+2+3＜0，得（2x）2﹣4•2x+3＜0，解得1＜2x＜3，则0＜x＜log23．故答案为：（0，log23）．10．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则sinα﹣cosα=．【解答】解：将sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α∈（0，π），∴α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，则sinα﹣cosα=．故答案为：11．（5分）函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，则a 的取值范围是[0，] ．【解答】解：由于函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，当a=0时，f（x）=﹣12x+5，满足条件．当a≠0时，则有，解得0＜a≤．综上可得，0≤a≤，故答案为：[0，]．12．（5分）已知定义在R上的函数，满足对任意x1≠x2都有成立，则实数m的取值范围是0＜m≤3．【解答】解：由已知中对任意x1≠x2都有成立，可得：函数f（x）在R为上增函数，则，解得：0＜m≤3，故答案为：0＜m≤3．13．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得成立的x的取值范围是{x|x＜﹣2或0＜x＜2} ．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣2）=f（2）=0，又f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，∴当x＜﹣2时，f（x）＞0；由函数f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称可知，当0＜x＜2时，f（x）＜0；∴使得成立的x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜2．故答案为：{x|x＜﹣2或0＜x＜2}．14．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合B=[m﹣3，m]m∈R（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；（2）设全集为R，若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|（x+2）（x﹣4）≤0}═[﹣2，4]，集合B=[m﹣3，m]，m∈R，﹣﹣﹣（3分）∵A∩B=[2，4]，∴，解得m=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）由（1）知C R B={x|x＜m﹣3，或x＞m}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵A⊆C R B，∴4＜m﹣3，或﹣2＞m，解得m＜﹣2，或m＞7．故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）16．（14分）（1）8﹣+2+（）0（2）（lg5）2+lg2•lg50．【解答】解：（1）（1）8﹣+2+（）0原式=4﹣+1+3+1=9﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）（lg5）2+lg2•lg50=lg25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=lg5+lg2=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）17．（14分）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴f（x）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（16分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a的值；（2）证明：f（x）是R上的增函数；（3）解不等式：f（log2x）≤．【解答】（1）解：f（x）的定义域为R．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即==﹣∴a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）证明：函数f（x）在R上是增函数，证明如下：…（6分）设x1，x2∈R，且x1＜x2，易知，则．…（9分）因为x1＜x2，所以，所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是R上的增函数..…（11分）解：（3）令f（x）=，解得x=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴f（log2x）≤即f（log2x）≤f（2）．∵f（x）为R上的增函数，∴log2x≤2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）∴0＜x≤4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）19．（16分）如图，在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数y=ax2+bx+c（a≠0），x∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A（4，4）；观光带的后一部分为线段BC．（1）求函数为曲线段OABC的函数y=f（x），x∈[0，10]的解析式；（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？【解答】解：（1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为A（4，4），所以，解得所以，当x∈[0，6]时，…（3分）因为后一部分为线段BC，B（6，3），C（10，0），当x∈[6，10]时，…（6分）综上，…（8分）（2）设OM=t（0＜t≤2），则由，得，所以点…（11分）所以，绿化带的总长度y=MQ+QP+PN=…（13分）当t=1时，所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长…（16分）20．（16分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lgx，g（x）=3﹣x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）它们具有关系G：令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx+x﹣3，∵h（1）=﹣2＜0，h（4）=lg4+1＞0；故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上连续，故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系G．（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，当m＞0时，h（x）=；当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故；故m∈[，3]；当m∈（0，）∪（3，+∞）时，若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=﹣4m+1＜0；故没有零点；综上所述，若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[，3]．。

2017-2018年江苏省无锡市江阴四校高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．（5分）复数z=的虚部为．2．（5分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是．3．（5分）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）|=．4．（5分）用数学归纳法证明不等式“2n＞n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n0应取为．5．（5分）三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是．（填写序号）6．（5分）观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为．7．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（用数字回答）8．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．9．（5分）已知﹣=，则C21m=．10．（5分）（ax﹣）8的展开式中x2的系数为70，则a=．11．（5分）在数列{a n}中，a1=2，，可以猜测数列通项a n的表达式为．12．（5分）记等差数列{a n}得前n项和为S n，利用倒序相加法的求和办法，可将S n表示成首项a1，末项a n与项数的一个关系式，即S n=；类似地，记等比数列{b n}的前n项积为T n，b n＞0（n∈N*），类比等差数列的求和方法，可将T n表示为首项b1，末项b n与项数的一个关系式，即公式T n=．13．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=．14．（5分）学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有种．（用数字作答）二、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）（1）设（3x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4．①求a0+a1+a2+a3+a4；②求a0+a2+a4；③求a1+a2+a3+a4；（2）求S=C271+C272+…+C2727除以9的余数．16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．17．（14分）（1）证明：当a＞2时，；（2）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．18．（16分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员．19．（16分）已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+9c+81c+…+9n﹣1c的值．20．（16分）已知数列{b n}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{b n}的通项b n；（2）设数列{a n}的通项a n=log a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{a n}的前n项和．试比较S n与log a b n+1的大小，并证明你的结论．2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．（5分）复数z=的虚部为﹣1．【解答】解：z===，则复数z的虚部﹣1，故答案为：﹣1．2．（5分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是a、b都不能被2整除．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，故答案为：a、b都不能被2整除．3．（5分）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）|=．【解答】解：∵复数z=﹣1﹣i，∴=﹣1+i．∴（1﹣z）=（1+1+i）•（﹣1+i）=﹣3+i．∴|（1﹣z）|=|﹣3+i|=．故答案为：．4．（5分）用数学归纳法证明不等式“2n＞n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n0应取为5．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12+1=2，2n＞n2+1不成立，n=2时，左=22=4，右=22+1=5，2n＞n2+1不成立，n=3时，左=23=8，右=32+1=10，2n＞n2+1不成立，n=4时，左=24=16，右=42+1=17，2n＞n2+1不成立，n=5时，左=25=32，右=52+1=26，2n＞n2+1成立，因为n＞5成立，所以2n＞n2+1恒成立．5．（5分）三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是②．（填写序号）【解答】解：推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③正方形是平行四边形．”中大前提：矩形是平行四边形；小前提：正方形是矩形；结论：所以正方形是平行四边形．故小前提是：②正方形是矩形．故答案为：②6．（5分）观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为+…+=+…+．【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．∴第n个等式为：+…+=+…+．7．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为72（用数字回答）【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有A44=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．8．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．【解答】解：∵f（k）=+++…+（k∈N*），∴f（k+1）=++…++；（k∈N*），则f（k+1）﹣f（k）=++…++﹣（+++…+）=；故答案为：9．（5分）已知﹣=，则C21m=210．【解答】解：∵﹣=，∴﹣=，化简，得：6×（5﹣m）!﹣（6﹣m）!=，6﹣（6﹣m）=，∴m2﹣23m+42=0，解得m=2或m=21（舍去），∴=210．故答案为：210．10．（5分）（ax﹣）8的展开式中x2的系数为70，则a=±1．【解答】解：（ax﹣）8的展开式中的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•a8﹣r•，令8﹣=2，求得r=4，故x2的系数为•a4=70，则a=±1，故答案为：±1．11．（5分）在数列{a n}中，a1=2，，可以猜测数列通项a n的表达式为．【解答】解：∵a1=2，，∴，，，，由此猜测a n=．故答案为：a n=．12．（5分）记等差数列{a n}得前n项和为S n，利用倒序相加法的求和办法，可将S n表示成首项a1，末项a n与项数的一个关系式，即S n=；类似地，记等比数列{b n}的前n项积为T n，b n＞0（n∈N*），类比等差数列的求和方法，可将T n表示为首项b1，末项b n与项数的一个关系式，即公式T n=．【解答】解：在等差数列{a n}的前n项和为S n=，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{b n}的前n项积T n==，故答案为：13．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8= 180．【解答】解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10∴其展开式的通项为T r+1=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r令r=8得a8=4C108=180故答案为：18014．（5分）学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有930种．（用数字作答）【解答】解：若甲乙都入选，则从其余6人中选出2人，有C62=15种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有A44﹣2A33+A22=14种，故共有15×14=210种；若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有C63=20种，女生乙不适合担任四辩手，则有C31A33=18种，故共有20×18=360种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出4人，有C64=15种，再全排，有A44=24种，故共有15×24=360种；综上所述，共有210+360+360=930种．故答案为：930种．二、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）（1）设（3x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4．①求a0+a1+a2+a3+a4；②求a0+a2+a4；③求a1+a2+a3+a4；（2）求S=C271+C272+…+C2727除以9的余数．【解答】解：（1）①令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=（3﹣1）4=16；（3分）②令x=﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4=（﹣3﹣1）4=256，而由①知a0+a1+a2+a3+a4=（3﹣1）4=16，两式相加，得2（a0+a2+a4）=272，所以a0+a2+a4=136；（6分）③令x=0，得a0=（0﹣1）4=1，所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4﹣a0=16﹣1=15；（2）S=++…+=227﹣1=89﹣1=（9﹣1）9﹣1=×99﹣×98+…+×9﹣﹣1=9×（×98﹣×97+…+）﹣2=9×（×98﹣×97+…+﹣1）+7，显然上式括号内的数是正整数．故S被9除的余数为7．16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．【解答】解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴w===2﹣i．（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆．∴在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．17．（14分）（1）证明：当a＞2时，；（2）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．【解答】证明：（1）要证+＜2，只要证（+）2＜（2）2，只要证2a+2＜4a，只要证＜a，由于a＞2，只要证a2﹣4＜a2，最后一个不等式成立，所以+＜2；（2）（反证法）假设与中均不小于2，即≥2，≥2，∴1+x≥2y，1+y≥2x．将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y＞2矛盾，故与中至少有一个小于2．18．（16分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员．【解答】解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C63种选法．再选2名女运动员，有C42种选法．共有C63•C42=120种选法．（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有C41•C64+C42•C63+C43•C62+C44•C61=246种选法．法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C105﹣C65=246种．（3）“只有男队长”的选法为C84种；“只有女队长”的选法为C84种；“男、女队长都入选”的选法为C83种；∴共有2C84+C83=196种．∴“至少1名队长”的选法有C105﹣C85=196种选法．（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．其中不含女运动员的选法有C54种，∴不选女队长时共有C84﹣C54种选法．既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84﹣C54=191种．19．（16分）已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+9c+81c+…+9n﹣1c的值．【解答】解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是：=56：3，解得n=10．因为通项：T r+1=•（﹣2）r •，当5﹣为整数，r可取0，6，于是有理项为T1=x5和T7=13440．（2）设第r+1项系数绝对值最大，则．解得，于是r只能为7．所以系数绝对值最大的项为T8=﹣15360．（3）n+9c+81c+…+9n﹣1c=10+9+92•+…+910﹣1•===．20．（16分）已知数列{b n}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．第11页（共13页）（1）求数列{b n}的通项b n；（2）设数列{a n}的通项a n=log a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{a n}的前n项和．试比较S n 与log a b n+1的大小，并证明你的结论．【解答】解：（1）设数列{b n}的公差为d ，由题意得解得所以b n=3n﹣2．（2）由b n=3n﹣2，知S n=log a（1+1）+log a（1+）++log a（1+）=log a[（1+1）（1+）（1+）]，log a b n+1=log a．因此要比较S n 与log a b n+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小．取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞，由此推测（1+1）（1+）（1+）＞．①若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，S n ＞log a b n+1．当0＜a＜1时，S n ＜log a b n+1．下面用数学归纳法证明①式．（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+）（1+）＞．那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+）（1+）＞（1+）第12页（共13页）=（3k+2）．因为==，所以（3k+2）＞．因而（1+1）（1+）（1+）（1+）＞．这就是说①式当n=k+1时也成立．由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：当a＞1时，S n ＞log a b n+1．当0＜a＜1时，S n ＜log a b n+1．第13页（共13页）。

江阴四校17—18学年下学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)

2017-2018学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上） 1. 复数iiz 212+-=的虚部为 ▲ ． 2．用反证法证明命题“若ab N b a ,,∈能被2整除，则b a ,中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是 ▲ ．3．设复数1(z i i =--为虚数单位),z 的共轭复数为,(1)|z z z -⋅则|=___▲_____.4．用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n 0应取为 ▲ ．5．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是 ▲ ．(填写序号) 6．观察下列等式：11122-=11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_______________▲_____________________. 7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数有 ▲ 个 8．设f （k ）=+++…+（k ∈N *），那么f （k+1）﹣f （k ）= ▲ ．9.已知mm m C C C 76510711=-，则mC 21= ▲ . 10.8)1(xax -的展开式中2x 的系数为70，则a =___▲_____． 11.在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 __▲.12. 记等差数列{a n }得前n 项和为S n ，利用倒序相加法的求和办法，可将S n 表示成首项a 1，末项a n 与项数的一个关系式，即S n =221na a ）（+；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，b n ＞0（n ∈N *），类比等差数列的求和方法，可将T n 表示为首项b 1，末项b n 与项数的一个关系式，即公式T n = ▲ ．13.已知1010221010)1()1()1()1(x a x a x a a x -++-+-+=+ ，则8a = ▲ ． 14. 学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有 ▲ 种．二、解答题（本大题共6小题，共90分。

江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题+Word版含答案

2017-2018学年第二学期高二期中考试数学学科试题（文科）一、填空题（每小题5分，共70分。

请把答案直接填写在答题卷相应位置.） 1.已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a 等于 ▲ .2.若32z i =-，则2=-z i▲ . 3.已知命题1:0,2p x x x∀>+≥,那么命题p ⌝为 ▲ .4.函数()ln 3y x =-的定义域是 ▲ .5．已知2133311,,log 34a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 ▲ . 6.“1x >” 是 “11x<” 的 ▲ 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 7.设函数()133,1{1log ,1x x f x x x -≤=->，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是 ▲ .8.二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W = ▲ .9.已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .10.若函数)(x f 定义在R 上的奇函数，且在)0,(-∞上是增函数，又0)2(=f ，则不等式0)1(<+x xf 的解集为 ▲ .11.已知函数()()20{ 20x x f x f x x ≤=->，则()()()()1232017f f f f ++++=▲ .12.设函数()212exf x x =-+，则使()()24f x f x ≤-成立的x 的取值范围是 ▲ .13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，均有()()2f x f x +=，当[)0,1x ∈时， ()21x f x =-，则下列结论正确的是 ▲ .① ()f x 的图象关于1x =对称 ② ()f x 的最大值与最小值之和为2 ③方程()lg 0f x x -=有10个实数根 ④当[]2,3x ∈时， ()221x f x +=-14.已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=,1,)(,1|,1|)(2x a x x x a x f 函数)(2)(x f x g -=，若函数)()(x g x f y -=恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤).15.(本小题满分14分）已知:p 实数x ，满足0x a -<，:q 实数x ，满足2430x x -+≤. （1）若2a =时p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围16．(本小题满分14分）已知函数()()2lg 1f x x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦．（1）求函数()f x 的定义域．（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．17.(本小题满分14分）已知函数()xf x b a =⋅ (其中,a b 为常量且0a >且1a ≠）的图象经过点()1,8A , ()3,32B . (1)试求,a b 的值；(2)若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.18.(本小题满分16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足623-=a P ，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足241+=a Q ，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为)(x f （单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19.(本小题满分16分）已知函数()2,.f x x x a a R =-∈ ⑴若0a =，且() 1.f x =-，求x 的值；⑵当0a >时，若()f x 在[)2,+∞上是增函数，求a 的取值范围； ⑶若1=a ，求函数()f x 在区间[]()00m m >，上的最大值()g m .20．(本小题满分16分）已知函数54)(2-++=a x x x f ,724)(1+-⋅=-m m x g x .（1）若函数)(x f 在区间]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）当时，若对任意的]2,1[1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =成立，求实数m的取值范围；（3）若]2,[),(t x x f y ∈=的值域为区间D ，是否存在常数，使区间D 的长度为t 46-？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（注：区间],[q p 的长度为p q -）2017-2018学年第二学期高二期中考试数学学科答案（文科）一、填空题 1. －2 2.2155i + 3. 21,0<+>∃x x x 4. [)2,35. c b a <<6. 充分不必要7. [)0,+∞8. 43r π9.)0,22(-10. )1,0()1,3(⋃-- 11. 30252 12.44,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 13. ③ 14. （2，3]二、解答题15.（1）由0x a -<，得x a <.当2a =时，2x <，即p 为真命题时，2x <. ----------------------2分由2430x x -+≤得13x ≤≤，所以q 为真时，13x ≤≤. ----------------------4分若p q ∧为真，则12x ≤<所以实数x 的取值范围是[)1,2. ----------------------7分（2）设(),A a =-∞，[]1,3B =， ----------------------8分q 是p 的充分不必要条件，所以B A ⊆， ----------------------10分从而3a >.所以实数a 的取值范围是()3,+∞. ---------------------14分16.（1）因为()210x a x a +-->即()()10x x a +->， ----------------------1分当1a <-时，不等式的解为x a <或1x >-，所以函数()f x 的定义域为{|x x a <或1}x >-． ----------------------3分当1a =-时，不等式的解为1x ≠-，所以函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠-． ----------------------5分当1a >-时，不等式的解为1x <-或x a >，所以函数()f x 的定义域为{|1x x <-或}x a >． ----------------------7分（2）如果()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称， ----------------------9分由（1）知， 1a =， ----------------------11分检验：当1a =时，定义域为{|1x x <-或1}x >关于原点对称，()()2lg 1f x x =-， ()()()()22lg 11f x x lg x f x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦，因此当1a =时， ()f x 是偶函数． ----------------------14分17.（1）由函数()xf x b a =⋅的图象经过点()1,8A , ()3,32B ，知38{ 32a b a b ⋅=⋅=-----2分1,≠>a o a ，4,2==∴b a --------------------6分（2）解：由（1）可得恒成立令，只需，易得在为单调减函数，-------------10分. --------------------14分18.（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元所以总收益=43.5（万元） ----------------------4分（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元所以 ----------------------8分依题意得，解得 ----------------------10分故令，则所以当t =，即72x =万元时， y 的最大值为44万元， ----------------------14分所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元． ----------------------16分19.(1)由0a =知()f x x x =()1f x =-即1x x =- ∴1x =- ----------------------3分(2)----------------------4分,0>a)(x f ∴在),(a -∞上单调递增，在)2,(a a 上单调递减，在),2(+∞a 上单调递增-------6分()f x 在[)2,+∞ 上是增函数 22,1a a ∴≤≤即∴01a <≤ ---------------------8分(3)()f x 图象如图当01m <≤时， ----------------------10分当11m <≤时， ()()11g m f ==----------------------12分当1m >时，----------------------14分综 ----------------------16分20.(1)根据题意得：的对称轴是，故在区间递增， --------1分因为函数在区间上存在零点，故有，即，故所求实数的范围是； --------------------3分（2）若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域是函数的值域的子集，时，的值域是， ----------------------4分下面求，的值域，令，则，，①时，是常数，不合题意，舍去； ----------------------5分②时，的值域是，要使，只需，计算得出； ----------------------7分③时，的值域是，要使，只需，计算得出；综上，的范围是. ----------------------9分（3）根据题意得，计算得出，----------------------10分①时，在区间上，最大，最小，，计算得出：或（舍去）；---------------------12分②时，在区间上，最大，最小，，计算得出：；---------------------14分③时，在区间上，最大，最小，，计算得出：或，故此时不存在常数满足题意，综上，存在常数满足题意，或. ----------------------16分。

江苏省江阴四校高二数学上学期期中试题

2018—2019学年高二期中考试数学学科试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1。

命题“1sin ,≤∈∃*x N x ”的否定是 ▲ ． 2。

直线310x y ++=的倾斜角的大小是 ▲ ．3。

“1>x ”是“12>x ”的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要"“既不充分也不必要"之一）。

4。

平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程 ▲ 。

5. 若圆C 经过（1，0），(3，0）两点，且与y 轴相切，则圆C 的标准方程为_____▲ ____. 6。

点P 是直线02=-+y x 上的动点,点Q 是圆122=+y x 上的动点，则线段PQ 长的最小值为 ▲ .7. 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4,AA 1＝6．若E ,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ▲ ．8. 若将一圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥体积为__▲ ．9。

椭圆1163622=+y x 焦点为21,F F ,P 为椭圆上一点，且21PF PF ⊥,则21F PF ∆的面积为 ▲ ． 10. 已知βα,是不同的平面，l m ,是不同的直线，给出下列4个命题： ①若,,//αα⊂m l 则;//m l ②若,,//,m l l =⊂βαβα 则;//m l ③若α⊂m m l ,//则α//l ；④若,//,ααm l ⊥则.m l ⊥ 则其中真命题为 ▲ .11. 若命题“R x ∈∃，使01)1()1(2≤+---x a x a ”是假命题，则实数a 的取值范围为 ▲ 。

12。

在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax+y ﹣2=0与圆心为C 的圆(x ﹣1)2+(y ﹣a)2= 相交于A,B 两点，且△ABC 为正三角形，则实数a 的值是 ▲ ．13. 在平面直角坐标系中,若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的取值范围是___▲ _。

2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷

2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡指定位置处.1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．2．（5分）直线l过点A（﹣1，3），B（1，1），则直线l的倾斜角为．3．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行”的条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．5．（5分）圆心为（3，0），而且与y轴相切的圆的标准方程为．6．（5分）已知正三棱锥的底面边长是3，高为，则这个正三棱锥的侧面积为．7．（5分）将直线l1：x﹣y﹣3=0，绕它上面一定点（3，0）沿逆时针方向旋转15°得直线l2，则l2的方程为．8．（5分）直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是．9．（5分）已知命题p：x2﹣5x﹣6≤0；命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．10．（5分）过点M（1，﹣2）的直线l将圆C：（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是．11．（5分）已知两条不同的直线m，n与两个不重合的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；其中真命题的是．（填序号）12．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为．13．（5分）已知圆A：x2+y2=1，圆B：（x﹣3）2+（y+4）2=10，P是平面内一动点，过P作圆A、圆B的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的取值范围为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知三角形的顶点为A（2，3），B（﹣1，0），C（5，﹣1），求：（1）AC边上的中线BD所在直线的方程；（2）AB边上的高CE所在直线的方程．16．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．17．（14分）设命题p：∀x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（16分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（I）求圆M的方程；（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．19．（16分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．20．（16分）已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2﹣1）（t∈R），⊙M是以AC 为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的最大值，并求此时∠DBE的大小．2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡指定位置处.1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．2．（5分）直线l过点A（﹣1，3），B（1，1），则直线l的倾斜角为．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．可得tanθ=，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ==﹣1，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行”的充分不必要条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）【分析】当a=3时可推得直线平行，但直线平行可得a=3或a=﹣2，不能推得a=3，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：当a=3时，直线可化为3x+2y+1=0和3x+2y﹣2=0，显然平行；若直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行，则a（a﹣1）﹣2×3=0，且3×1﹣a（﹣2）≠0，解之可得a=3或a=﹣2，故直线平行推不出a=3，故前者是后者的充分不必要条件．故答案为：充分不必要【点评】本题考查充要条件的判断，涉及直线的一般式方程和平行关系，属基础题．4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正切值为2．【分析】判断∠A1EA是直线AE与平面ABCD所成的角，由此能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，∴∠A1EA是直线AE与平面A1B1C1D1所成的角，也就是直线AE与平面ABCD所成角．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2a，则A1E=a，AA1=2a，∴tanA1EA==2．故答案为：2．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．（5分）圆心为（3，0），而且与y轴相切的圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=9．【分析】由条件求得圆的半径，即可求得圆的标准方程．【解答】解：以点（3，0）为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是（x﹣3）2+y2=9．故答案为（x﹣3）2+y2=9．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，求出圆的半径，是解题的关键，属于中档题．6．（5分）已知正三棱锥的底面边长是3，高为，则这个正三棱锥的侧面积为．【分析】由题意：可知底面是边长为3的正三角形，正三棱锥的高为，可求棱长，正三棱锥的侧面积是底边为3，全等的3个等腰三角形，可求其高，可得正三棱锥的侧面积．【解答】解：由题意：可知底面是边长为3的正三角形，正三棱锥的高为，（如图）AO=，BC=BD=DC=3，AO⊥平面BDC，∵△BDC是边长为3的正三角形，∴OE=，∴AE=，∴正三棱锥的侧面积S=．故答案为：．【点评】本题考查了正三棱锥的性质和正三角形性质的运用，棱锥侧面积的计算．属于基础题．7．（5分）将直线l1：x﹣y﹣3=0，绕它上面一定点（3，0）沿逆时针方向旋转15°得直线l2，则l2的方程为x﹣y﹣3=0．【分析】由题意可得直线l的倾斜角，进而可得直线l2的倾斜角，可得其斜率，可得直线方程．【解答】解：∵直线l：x﹣y+3=0的斜率为1，故倾斜角为45°，∴直线l2的倾斜角为45°+15°=60°，斜率为tan60°=，∴直线l2的方程为y﹣0=（x﹣3），即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查直线的夹角，涉及倾斜角和斜率的关系，属基础题．8．（5分）直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于d时，弦长等于AB=2，故当弦长大于4时，则得d2＜5，解此不等式求出k的取值范围．【解答】解：由于圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9则圆心（3，2），半径为3设圆心（3，2）到直线y=kx+1的距离为d，由弦长公式得，AB=2＞4，故d2＜5，即，化简得（k﹣2）（2k+1）≤0，∴﹣＜k＜2，故答案为：．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题．9．（5分）已知命题p：x2﹣5x﹣6≤0；命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（0，3] ．【分析】分别求出关于p，q的x的范围，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：命题p：x2﹣5x﹣6≤0，则﹣1≤x≤6，命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），则3﹣m≤x≤3+m，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则，（“=”不同时成立），解得：m≤3，故m∈（0，3]，故答案为：（0，3]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题以及复合命题的判断，是一道基础题．10．（5分）过点M（1，﹣2）的直线l将圆C：（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是x+2y+3=0．【分析】根据垂径定理得到过M的弦最短时，所对的劣弧最短，而当直线l与直线AM垂直时得到的弦最短，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到直线l的斜率，写出直线l的方程即可．【解答】解：当劣弧最短时，MA与直线l垂直．所以k l•k AM=﹣1，圆心坐标为（2，0）得到直线AM的斜率k AM=2，所以k l=﹣所以过M（1，﹣2）的直线l的方程为：y+2=﹣（x﹣1）化简得x+2y+3=0．故答案为：x+2y+3=0．【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握两直线垂直时所取的条件是斜率乘积等于﹣1，会根据条件写出直线的一般式方程．11．（5分）已知两条不同的直线m，n与两个不重合的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；其中真命题的是②③④．（填序号）【分析】根据空间直线，平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可．同时利用反例的应用．【解答】解：对于①，若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，则①错误；对于②，由垂直与同一平面的两直线平行可知：②为真命题；对于③，若m∥α，则存在l⊂β，使m∥l，由m⊥β，可得l⊥α，结合面面垂直的判定定理可得α⊥β，即③也为真命题．对于④，由m⊥α，n⊥β，m∥n，利用面面平行的判的定理可知：则α∥β；故④为真命题，故答案为：②③④．【点评】本题重点考查了空间中直线与直线平行、直线与平面平行、平面和平面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．12．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为54．【分析】由球的表面积求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的体积．【解答】解：由球的表面积公式，得4πR2=12π，∴R=．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=，∴a=6．•h=•a•a•sin60°•h=×6×6×2=54．∴该正三棱柱的体积为：V=S底故答案为：54【点评】本题考查了球的表面积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长．13．（5分）已知圆A：x2+y2=1，圆B：（x﹣3）2+（y+4）2=10，P是平面内一动点，过P作圆A、圆B的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为．【分析】设出P（x，y），依题意，求出P的坐标的轨迹方程，然后求方程上的点到原点距离的最小值．【解答】解：设P（x，y），依题意，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，PE=PD，所以x2+y2﹣1=（x﹣3）2+（y+4）2﹣10，整理得：3x+4y﹣8=0，P到坐标原点距离的最小值就是原点到3x+4y﹣8=0的距离，∴P到坐标原点距离的最小值为．故答案为．【点评】本题考查圆的切线方程，两点间的距离公式，轨迹方程问题，转化的数学思想，是难度较大的题目．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的取值范围为a≥3．【分析】求出圆的圆心与半径，利用ON与已知圆的直径列出关系式求解即可．【解答】解：圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），圆的圆心（a，3﹣a），半径为1，点N为圆M上任意一点，若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，|ON|≥2，|ON|的最小值为：|OM|﹣1，可得﹣1≥2，解得a≥3或a≤0（舍去）．故答案为：a≥3．【点评】本题考查圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知三角形的顶点为A（2，3），B（﹣1，0），C（5，﹣1），求：（1）AC边上的中线BD所在直线的方程；（2）AB边上的高CE所在直线的方程．【分析】（1）求出AC的中点坐标，求出直线BD的斜率，从而求出直线BD的方程即可；（2）求出直线AB的斜率，根据AB⊥CE，得到直线CE的斜率，从而求出直线CE的方程即可．【解答】解：（1）由题意：AC的中点，∴，∴，化简得：2x﹣9y+2=0，故BD的直线方程为：2x﹣9y+2=0；（2）由题意得：，∵AB⊥CE，∴k AB•k CE=﹣1，∴k CE=﹣1，∴y+1=﹣（x+5），化简得：x+y﹣4=0，故CE的直线方程为：x+y﹣4=0．【点评】本题考查了求直线斜率问题，考查求直线方程问题，是一道基础题．16．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．【分析】（1）连接AC，则AC∥A1C1，E，F分别是AB，BC的中点，可得EF∥AC，然后再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；【解答】解：（1）连接AC，则AC∥A1C1，而E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，则EF∥A1C1，故EF∥平面A1BC1（7分）（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，则A1C1⊥平面D1DBB1（12分）又A1C1⊂平面A1BC1，所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1（14分）【点评】此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．17．（14分）设命题p：∀x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【分析】分别求出命题p，q为真时实数a的取值范围．再由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，p，q一真一假，可得实数a的取值范围．【解答】解：p：不等式ax2+ax+1＞0（a≠0）对x∈R恒成立，∴∴0＜a＜4．…（3分）q：设两个圆的圆心距为d．∴．∵两圆外离，∴d＞|a|+2，∴|a|＜3，∴﹣3＜a＜3．…（6分）∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p，q一真一假．…（8分）①p真q假时，，∴3≤a＜4…（10分）②p假q真时，，∴﹣3＜a≤0．…（12分）综上所述，实数a的取值范围为（﹣3，0]∪[3，4）．…（14分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次函数的图象和性质，圆和圆的位置关系，难度中档．18．（16分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（I）求圆M的方程；（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．【分析】（I）设圆心M（a，0），利用M到l：8x﹣6y﹣3=0的距离，求出M坐标，然后求圆M的方程；（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），设AC斜率为k1，BC斜率为k2，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：8x﹣6y﹣3=0的距离为，∴，又∵M在l的下方，∴8a﹣3＞0，∴8a﹣3=5，a=1，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．（4分）（Ⅱ）设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6．由方程组，得C点的横坐标为，∵|AB|=t+6﹣t=6，∴，由于圆M与AC相切，所以，∴；同理，，∴，∴，（10分）∵﹣5≤t≤﹣2，∴﹣2≤t+3≤1，∴﹣8≤t2+6t+1≤﹣4，∴，．（13分）【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．19．（16分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．【分析】（I）要证线与面垂直，只要证明线与面上的两条相交线垂直，找面上的两条线，根据四边形是一个菱形，从菱形出发找到一条，再从PA⊥平面ABCD，得到结论．（II）要求三棱锥的体积，首先根据所给的体积确定用哪一个面做底面，会使得计算简单一些，选择三角形AMC，做出底面面积，利用体积公式得到结果．（III）对于这种是否存在的问题，首先要观察出结论，再进行证明，根据线面平行的判定定理，利用中位线确定线与线平行，得到结论．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，∴AB=BC又∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，又M为BC中点，∴BC⊥AM而PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN（II）∵又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1•AN∴三棱锥N﹣AMC的体积S△AMC=（III）存在点E，取PD中点E，连接NE，EC，AE，∵N，E分别为PA，PD中点，∴又在菱形ABCD中，∴，即MCEN是平行四边形∴NM∥EC，又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE∴MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是一个非常适合作为高考题目出现的问题，题目包含的知识点比较全面，重点突出，是一个好题．20．（16分）已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2﹣1）（t∈R），⊙M是以AC 为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的最大值，并求此时∠DBE的大小．【分析】（Ⅰ）由题意求出圆心M的坐标、半径BM的长度，用t圆方程求交x 轴的弦长，再由△CDE的面积为14求出t．（Ⅱ）先假设存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切，再利用圆心M到直线的距离等于半径M，求解．（Ⅲ）对式子通分后观察特点，在△BDE中，设∠DEB=θ，用三角形的面积相等和余弦定理用θ表示所求的式子，再进行整理后由正弦函数的单调性求最大值及θ．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，B（0，2）、M（2t，t2），∴|BM|==；∴以M为圆心、BM为半径的圆方程为（x﹣2t）2+（y﹣t2）2=t4+4，∴其交x轴的弦，∴，解得，t=±2，∴⊙M的方程为（x±4）2+（y﹣4）2=20；（Ⅱ）假设存在存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切；∵，y M=t2，∴存在一条平行于x轴的定直线y=﹣1与⊙M相切；（Ⅲ）在△BDE中，设∠DBE=θ，且DE为弦，故，由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE边上的高为2；由三角形的面积相等得：，∴；由余弦定理得，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE×cosθ，∴，∴，∴=，故当时，的最大值为．【点评】本题的前两问属于基础题，考查了圆的方程、求弦长、直线与圆相切问题；第三问的知识跨度大，考查了正（余）弦定理，正（余）弦和差公式以及三角函数的单调性，注意角的范围；是综合性很大的题目．。

江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 复数的虚部为__________．【答案】【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式，即可得到复数虚部.详解：，则复数的虚部，故答案为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.2. 用反证法证明命题“若能被2整除，则中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是__________．【答案】都不能被2整除【解析】试题分析：先写出要证明题的否定，即为所求．解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，故答案为：a、b都不能被2整除．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．3. 设复数虚数单位),的共轭复数为，则________.【答案】【解析】分析：由，可得，代入，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意和4. 用数学归纳法证明不等式“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值自然数应取为__________．【答案】5. 三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是__________．(填写序号)【答案】②【解析】试题分析：小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提．考点：演绎推理．6. 观察下列等式：…………据此规律，第个等式可为___________.【答案】【解析】试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.故答案为.考点：归纳推理.7. 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数有__________ 个【答案】【解析】分析：用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个，故答案为.点睛：本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.8. 设，那么______．【答案】【解析】分析：根据函数表达式含义，准确判断出与项数变化规律以及之间的关系即可得到结论.详解：，，，故答案为.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.9. 已知，则_________.【答案】【解析】分析：由组合数性质得，解方程求出，进而能求出的值.详解：，，化简得，，，解得或（舍去），，故答案为.点睛：本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：（1）；（2）；（3）.10. 的展开式中的系数为70，则________．【答案】【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式,再令的幂指数等于,求得的值,即可求得展开式中的的系数,再根据的系数为70 ,求得的值.详解：的展开式中通项公式的为，令，求得，故的系数为，则，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11. 在数列中，，可以猜测数列通项的表达式为_________.【答案】【解析】分析：根据，，，依次由，分别求出，仔细观察，总结规律，可猜想.详解：，，，由此猜测，故答案为.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12. 记等差数列得前项和为，利用倒序相加法的求和办法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即；类似地，记等比数列的前项积为，类比等差数列的求和方法，可将表示为首项，末项与项数的一个关系式，即公式______．【答案】【解析】分析：由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从而可得结果，.详解：在等差数列得前项和为，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列的前项积，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比.13. 已知，则__________．【答案】【解析】，，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14. 学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．【答案】【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.详解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.二、解答题（本大题共6小题，共90分。

江苏省无锡江阴市四校高二数学上学期期中试题

2016-2017学年第一学期高二期中考试数学学科试题一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案填写在答题卡指定位置．．．．．．．处. 1. 命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是．2. 直线l 过点)3,1(-A ，)1,1(B ，则直线l 的倾斜角为 .3.“3=a ”是“直线012=++y ax 和直线02)1(3=+-+y a x 平行”的条件. （从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）4. 正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为11D A 的中点，则直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为 .5. 圆心为（3,0），而且与y 轴相切的圆的标准方程为 .6. 已知正三棱锥的底面边长是3，高为21，则这个正三棱锥的侧面积为 . 7. 将直线l 1：x －y －3＝0，绕它上面一定点(3,0)沿逆时针方向旋转15°得直线l 2，则l 2的方程为．8. 直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点，若4AB >，则k 的取值范围是 .9. 已知命题p ：x 2－5x －6≤0；命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0（m >0），若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是．10. 过点)2,1(-M 的直线l 将圆C ：(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是 .11. 已知两条不同的直线n m ,与两个不重合的平面βα,，给出下列四个命题： ①若αα//,//n m ，则n m //； ②若αα⊥⊥n m ,，则n m //； ③若βα⊥m m ,//，则βα⊥； ④若n m n m //,,βα⊥⊥，则βα//；其中真命题的是 .（填序号）12. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为π12，则这个正三棱柱的体积为 .13. 已知圆A ：221x y +=，圆B: 10)4()3(22=++-y x ，P 是平面内一动点，过P 作圆A 、圆B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为．14. 在平面直角坐标系xoy 中，圆)0(1)3()(:22>=-++-a a y a x M ，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的取值范围为 .二. 解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字．．．．．说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．.15. （本小题满分14分）已知三角形的顶点为)3,2(A ，)0,1(-B ，)1,5(-C ，求：（1）AC 边上的中线BD 所在直线的方程；（2）AB 边上的高CE 所在直线的方程.16. （本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中， A 1C 1⊥B 1D 1，E ,F 分别是AB , BC 的中点.（1）求证：EF ∥平面A 1BC 1；（2）求证：平面D 1DBB 1⊥平面A 1BC 1.A 1B 1C 1ABC D 1DEF第16题17. （本小题满分14分）设命题p ：R x ∈∀，都有)0(12≠-->a ax ax 恒成立；命题q ：圆222a y x =+与圆4)4()3(22=-++y x 外离. 如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分16分）已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．（1）求圆M 的方程；（2）设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△AB C 的面积S 的最大值和最小值．19. （本小题满分16分）如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA . （1）证明：BC ⊥平面AMN ；（2）求三棱锥AMC N -的体积；（3）在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.20. （本小题满分16分）已知)1,0(A 、(0,2)B 、2(4,21)()C t t t R -∈，圆M 是以AC 为直径的圆，再以M 为圆心、BM 为半径作圆交x 轴交于D 、E 两点．（1）若CDE ∆的面积为14，求此时圆M 的方程；（2）试问：是否存在一条平行于x 轴的定直线与圆M 相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；（3）求BD BEBE BD+的最大值，并求此时DBE ∠的大小．MC D2016-2017学年第一学期高二期中考试数学学科试题参考答案一. 填空题1. 01,2≤+∈∃x R x2. ︒135（或π43） 3. 充分不必要 4. 2 5. 9)3(22=+-y x6.29 7. 333-=x y 8. )2,21(- 9. (]3,0 10. 032=++y x 11. ②③④ 12. 54 13. 5814. 3≥a 二. 解答题15. （1）解：由题：AC 的中点)1,27(D ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分9212701=+-=∴BD k ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 )1(920+=-∴x y ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分化简得：0292=+-y xBD 的直线方程为：0292=+-y x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分(2)由题：11203=+-=AB k ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 CE AB ⊥1-=⋅∴CE AB k k1-=∴CE k ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分)5(1+-=+∴x y化简得：04=-+y x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分CE 的直线方程为：04=-+y x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分16. （1）解：连结AC .F E , 分别是BC AB ,的中点，AC EF //∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分直四棱柱1111D C B A ABCD -，11//CC AA ∴且11CC AA =，∴四边形11A ACC 为平行四边形，11//C A AC ∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 11//C A EF ∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分⊄EF 平面11BC A ，⊂11C A 平面11BC A ，//EF ∴平面11BC A . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分（2）直四棱柱1111D C B A ABCD -，⊥∴1BB 平面1111D C B A . ⊂11C A 平面1111D C B A ，111C A BB ⊥∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分又1111D B C A ⊥ ，1111B D B BB =⋂，⊂111,D B BB 平面11B BDD⊥∴11C A 平面11B BDD . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分又⊂11C A 平面11BC A ，∴平面11BC A ⊥平面11B BDD . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分17.解：p ：不等式)0(012≠>++a ax ax 对R x ∈恒成立，⎩⎨⎧<∆>∴00a40<<∴a . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 q ：设两个圆的圆心距为d . 54)3(22=+-=∴d .两圆外离， 2+>∴a d ， 3<∴a ，33<<-∴a . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，q p ,∴一真一假. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ①p 真q 假时， ⎩⎨⎧≥-≤<<3340a a a 或， 43<≤∴a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分②p 假q 真时， ⎩⎨⎧<<-≥≤3340a a a 或， 03≤<-∴a .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分综上所述，实数a 的取值范围为(][)4,30,3 -. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 18.解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12，┄┄┄┄┄┄┄┄2分 ∴|8a －3|82＋62＝12．又点M 在直线l 的下方， ∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 ∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 ∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分同理，)6(2)6(122++-=t t k ． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分∴tt t t k k 6)16(32221+++=-，∴16)6(622+++=t t t t S ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分19. 证：（1）底面ABCD 是菱形，︒=∠60ABC ， ABC ∆∴为等边三角形，又M 是BC 中点BC AM ⊥∴ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 ⊥PA 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，BC PA ⊥∴ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分A PA AM = ⊂PA AM ,平面AMN⊥∴BC 平面AMN ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分（2）M 是BC 中点， 2360sin 22212121=︒⨯⨯⨯⨯==∴∆∆ABC MAC S S┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 N 是PA 的中点 121==∴PA AN ⊥PA 平面ABCD 6331=⋅=∴∆-AN S V AMC AMC N┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分（3）在线段PD 上存在一点E ，且点E 为PD 的中点时，使得//NM 平面ACE ┄11分连结AE CE NE ,,E N , 分别是PD PA ,的中点， AD NE 21=∴，AD NE // 四边形ABCD 是菱形，且M 是BC 的中点， AD MC 21=∴，AD MC // MC NE MC NE =∴,// ∴四边形MCEN 是平行四边形CE MN //∴ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 ⊄MN 平面ACE ，⊂CE 平面ACE//MN ∴平面ACE ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分又⊥PA 平面ABCD ， ⊂AD 平面ABCD AD PA ⊥∴ 2==AD PA 22=∴PD 点E 为PD 的中点 2=∴PE ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分20．解：（1）由题：2(2,)M t t ，以M 为圆心、BM 为半径的圆方程为224(2)()4x t y t t -+-=+，┄┄┄┄┄┄┄┄2分其交x 轴的弦4DE =，21(21)142CDE S DE t ∆=⋅-=，2t ∴=±， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分圆M 的方程为22(4)(4)25x y ±+-=；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分（2）∵21MA t ==+，圆M 的方程为22222)1()()2(+=-+-t t y t x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分2M y t =，∴圆心M 到直线1-=y 的距离为12+t∴存在一条平行于x 轴的定直线1-=y 与圆M 相切；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分（3）在BDE ∆中，设DBE θ∠=，11sin 42422BDE S BD BE θ∆=⋅⋅=⨯⨯=， ∴8sin BD BE θ⋅=； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 228162cos sin BD BE θθ+-=⨯⨯， ∴2216cos 16sin BD BE θθ+=+，∴BD BE BE BD+=222sin 2cos ),(0,42BD BE BD BE ππθθθθ+⎤=+=+∈⎥⋅⎦，┄┄┄┄14分故当4πθ=时，BD BEBE BD+的最大值为 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分。

【解析】江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二上学期期中考试物理试题含解析

2017-2018学年第一学期高二期中考试物理学科试题一、单项选择题（30分）1. 下列对电源电动势概念的认识中，正确的是（）A. 电源电动势等于电源两极间的电压B. 电源把越多的其他形式的能转化为电能，电动势就越大C. 电动势和电压单位相同，所以物理意义也相同D. 在闭合电路中，电动势等于路端电压与电源内部电势降落之和【答案】D【解析】A、电源电动势等于电源没有接入电路时两极间的电压．故A错误．B、根据电动势的定义式可知，电源移动单位电荷量时，非静电力做功越多，电源把其他形式的能转化为电能越多，电源的电动势越大．故B错误．C、电动势和电压单位相同，但物理意义不相同，电动势表征电源把其他形式的能转化为电能的本领大小，电压等于电势差．故C错误．D、根据闭合电路欧姆定律得知，在闭合电路中，电动势等于外电压与内电压之和．故D正确．故选D.【点睛】本题考查对电动势的理解，可以抓住电动势的物理意义和定义式来加深理解．2. 关于电流，下列说法中正确的是（）A. 通过导体横截面的电荷量越多，电流越大B. 电子运动速率越大，电流越大C. 单位时间内通过导体横截面的电荷量越多，导体中的电流就越大D. 因为电流有方向，电流是矢量【答案】C根据I=nesv可知电子运动的速率越大，电流不一定越大，选项B错误；电流的方向是认为规定的，所以电流是一个标量，故D错误；故选C。

考点：电流【名师点睛】本题考查了学生对电流的相关知识的掌握，属于电学基础知识的考查，相对比较简单。

3. 一段长为L，电阻为R的均匀电阻丝，把它拉成3L的均匀细丝后，切成等长的三段，人后把它们并联在一起，其电阻值为（）A. 3RB. RC. R/3D. R/9【答案】B【解析】试题分析：一段长为L，电阻为R的均匀电阻丝，把它拉制成3L长的均匀细丝后，切成等长的三段，然后把它们并联在一起，长度和横截面积均没有改变，根据电阻定律公式，其电阻不变，电阻仍为R；故选B．考点：电阻定律【名师点睛】本题关键根据电阻定律判断，记住公式即可，基础题。

江苏省无锡市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是．2．“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是．3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为．4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是．5．“x＞0”是“x≠0”的条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为．8．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为．9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为cm2．10．下列，其中正确的是（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．11．椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为．12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为．13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为．14．已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．18．（文科班选做此题）已知a＞0，p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，q：点P（1，1）在圆（x ﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，若存在，请求出a 的范围；若不存在，请说明理由．19．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是60°．【分析】根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，由直线的方程可得直线的斜率k=，进而可得tanα=，结合α的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，直线x﹣y+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，tanα=且0°≤α＜180°，则有α=60°，故答案为：60°【点评】本题考查直线倾斜角的计算，掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键．2．“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是∀x∈R，e x≠x﹣1．【分析】由题意，“∃x∈R，e x=x﹣1”，其否定是一个全称，按书写规则写出答案即可【解答】解：“∃x∈R，e x=x﹣1”是一个特称，其否定是一个全称所以“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定为“∀x∈R，e x≠x﹣1”故答案为：∀x∈R，e x≠x﹣1．【点评】本题考查特称的否定，解题的关键是熟练掌握特称的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的的书写规则，特称的否定是全称，全称的否定是特称．3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y﹣2=0．【分析】设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入即可得出．【解答】解：设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入可得：﹣1+3+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：x+3y﹣2=0．故答案为：x+3y﹣2=0．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒．【分析】据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=4时的值，即为物体在4秒末的瞬时速度．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，求导函数可得s′=2t﹣1当t=4时，s′=2t﹣1=2×4﹣1=7，故物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒，故答案为：7米/秒．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的物理意义，属于基础题．5．“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）【分析】将题设中的改写成的形式，分别判断它的真假及其逆的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案【解答】解：原：若“x＞0”则“x≠0”，此是个真其逆：若“x≠0”，则“x＞0”，是个假，因为当“x≠0”时“x＜0”，也可能成立，故不一定得出“x ＞0”，综上知“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．【点评】本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为+=1．【分析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），再由点（2，）、（，﹣）代入椭圆方程，解方程即可得到m，n，进而得到所求标准方程．【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），由题意可得，解得，即有椭圆方程为+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算求解能力，属于基础题．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为60°．【分析】连接B1D1和D1C，由BD∥B1D1，知∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．由△D1B1C是等边三角形，知异面直线DB与B1C所成角为60°．【解答】解：连接B1D1和D1C，∵BD∥B1D1，∴∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．在△D1B1C中，∵B1D1=D1C=B1C，∴∠D1B1C=60°．故答案为：60°【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化．8．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离与半径之间的关系是解决本题的关键．9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为8cm2．【分析】设出正四棱锥的底面边长为a=2，h为高，运用体积公式求解得出h=1，求解斜高h′=2，运用面积公式求解即可．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，∴a=2，h为高，即（2）2×h=4，h=1，∴斜高为：=2，∴侧面积为：4×2=8故答案为：【点评】本题考查了三棱锥的几何性质，运用求解斜高，侧面积公式，属于中档题，关键是把立体问题，转化为平面问题．10．下列，其中正确的是①（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．【分析】在①中，由线面垂直的性质得n⊥α在②中，α与β相交或平行；在③中，直线m与平面α有可能相交；在④中，∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补．【解答】解：①若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的性质得n⊥α，故①正确；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；③若直线m∥n，则直线m与平面α有可能相交，故③错误；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补，故④错误．故答案为：①．【点评】本题考查真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为x2+（y﹣）2=．【分析】先根据中位线定理可推断出PF2垂直于x轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设|PF1|=t，根据勾股定理求得t和|PF2|，可得M的坐标，可得所求圆的标准方程．【解答】解：∵O是F1F2的中点，M为PF1的中点，∴PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴，∵c===2，∴|F1F2|=4设|PF1|=t，根据椭圆定义可知|PF2|=8﹣t，∴（8﹣t）2+16=t2，解得t=5，∴|PF2|=3，可得M（0，），|PM|=，即有所求圆的方程为x2+（y﹣）2=．故答案为：x2+（y﹣）2=．【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查圆的方程的求法，注意运用中位线定理和椭圆的定义，属于中档题．12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为y=±x．【分析】双曲线的焦点在y轴上，且=3，焦点到渐近线距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵一条准线方程为y=﹣3，∴双曲线的焦点在y轴上，且=3，∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，∴b=2，∴a=2，c=4∴渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，属于基础题．13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为（1，+∞）．【分析】由f′（x）＞1，f（x）＞x+1可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x+1），因为f（1）=2，f′（x）＞1，所以g（1）=f（1）﹣（1+1）=0，g′（x）=f′（x）﹣1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x+1的解集即是g（x）＞0=g（1）的解集．∴x＞1．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决此类问题的关键是构造函数g（x）=f （x）﹣（x+1），然后利用导数研究g（x）的单调性，从而解决问题，属于中档题．14．已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是（）．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标方位计算即可．【解答】解：由得，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜，＜x2＜2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1++x2﹣x1+a﹣ex2=+a+x2=3+x2，∵，＜x2＜2，∴＜3+x2＜4故答案为（）【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．【分析】（1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；（2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）取PD的中点M，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME∥FB，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）连接BD，∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，∴DF⊥AB，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DF，又由PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BE∥MF，（2）的关键是证明DF⊥平面PAB．17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．【分析】（1）利用导数的运算法则可得y′，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；（2）利用切线的方程即可得出点B，C的坐标，再利用三角形的面积公式，求得S（a），再由导数求得单调区间和最值，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y=x2，∴y'=2x，可得切线l的斜率为2a，∴切线l的方程是y﹣a2=2a（x﹣a），即2ax﹣y﹣a2=0；（2）由2ax﹣y﹣a2=0，令y=0，解得x=，∴B（，0）；令x=1，解得y=2a﹣a2，即C（1，2a﹣a2），∴|BD|=1﹣，|CD|=2a﹣a2，∴△BCD的面积S（a）=（1﹣）（2a﹣a2）=（a3﹣4a2+4a），S′（a）=（3a2﹣8a+4）=（3a﹣2）（a﹣2），令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=．当0＜a＜时，S'（a）＞0；当＜a＜1时，S'（a）＜0．∴a=时，S（a）有最大值．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，导数的几何意义等是解题的关键．18．（文科班选做此题）已知a＞0，p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，q：点P（1，1）在圆（x ﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，若存在，请求出a 的范围；若不存在，请说明理由．【分析】根据条件求出的成立的等价条件，根据复合真假关系进行判断即可．【解答】解：若：∀x≥1，x﹣+2≥0，即x+2≥，即x2+2x≥a在x≥1时成立，设f（x）=x2+2x，则f（x）=（x+1）2﹣1，当x≥1时，函数f（x）为增函数，则函数f（x）的最小值为f（1）=1+2=3，则a≤3，即p：a≤3若点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，则（1﹣a）2+（1﹣a）2＞4，即（a﹣1）2＞2，即a＞1+或a＜1﹣，若存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，则p，q为一真一假，则此时p：0＜a≤3，q：a＞1+，若p真q假，则，得0＜a≤1+，若p假q真，则，得a＞3，综上0＜a≤1+或a＞3．【点评】本题主要考查复合真假的应用，根据条件求出的等价条件是解决本题的关键．19．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sin θ==．∴平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值为．【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．已知函数f （x ）=（m ，n ∈R ）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）设函数g （x ）=ax ﹣lnx ．若对任意的，总存在唯一的，使得g （x 2）=f （x 1），求实数a 的取值范围．【分析】（I ）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m 的方程，解方程求出m 值，即可得到f （x ）的解析式；（Ⅱ）由（I ）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f （X ）的单调性，由此易判断f （x ）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g （x 2）=f （x 1），及函数g （x ）=ax ﹣lnx ．我们分别对a 值与e 及e 2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）==f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，故此时（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0＜a≤ e【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f （x）的解析式是解答的关键．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出|y1﹣y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积，利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值；（3）设AB中点为H（x0，y0），运用中点坐标公式可得y0，再由两点的距离公式可得|GH|，再由弦长公式，可得|AB|，作差|GH|2﹣|AB|2，化简整理，即可判断G与AB为直径的圆的位置关系．【解答】解：（1）由题意可得2b=2，e==，由a2﹣b2=c2，解得b=1，a=，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由直线x=my﹣1代入椭圆的方程可得，（3+m2）y2﹣2my﹣2=0，判别式为4m2+8（3+m2）＞0恒成立，y1+y2=，y1y2=﹣，设直线与x轴的交点为N（﹣1，0），|y1﹣y2|===，S△AOB=|ON||y1﹣y2|=×1×=，令=t（t≥），则m2=t2﹣2，∴S△AOB==，∵t≥，t+是增函数，∴当t=，即m=0时，S△AOB取得最大值，最大值为=．（3）AB中点为H（x0，y0）．由（2）可得，y1+y2=，y1y2=﹣，∴y0==．G（﹣2，0），∴|GH|2=（x0+2）2+y02=（my0+1）2+y02=（1+m2）y02+2my0+1=（1+m2）++1，|AB|2=（1+m2）（y1﹣y2）2=（1+m2）[+]，故|GH|2﹣|AB|2=（1+m2）++1﹣（1+m2）[+]=＞0。

江苏省无锡市江阴市四校联考2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈N}，则M∩N=．2．幂函数y=f（x）的图象经过点（8，2），则此幂函数的解析式为f（x）=．3．设函数f（x）=（x﹣4）0+，则函数f（x）的定义域为．4．函数y=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）恒过定点．5．关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为．6．已知函数f（x）=ax3﹣+2，若f（﹣2）=1，则f（2）=．7．若m∈（0，1），a=3m，b=log3m，c=m3则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为．8．函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，则实数m的取值范围．9．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围．10．已知函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=．11．函数的单调增区间为．12．已知函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，则a的取值范围是．13．若关于x的方程log|x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a的取值范围是．14．若已知f（e x+）=e2x+，关于x的不等式f（x）+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|＞0}，集合B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若B∪C=B，求实数m的取值范围．16．已知A={x|（2x）2﹣6•2x+8≤0}，函数f（x）=log2x（x∈A）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数h（x）=[f（x）]2﹣log2（2x），求函数h（x）的值域．17．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使甲厂有盈利，求产量x的范围；（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？18．已知函数f（x）=a﹣为奇函数．（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．19．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈N}，则M∩N={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】由题意知集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1＜n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈Z}={0，1，2，3}，∴M∩N={0，1}，故答案为：{0，1}．2．幂函数y=f（x）的图象经过点（8，2），则此幂函数的解析式为f（x）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】用待定系数法，求出幂函数y=f（x）的解析式【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R；∵函数的图象过点（8，2），∴8α=2，解得α=；∴f（x）=，故答案为：3．设函数f（x）=（x﹣4）0+，则函数f（x）的定义域为（1，4）∪（4，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及指数幂的意义得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1且x≠4，故函数的定义域是（1，4）∪（4，+∞），故答案为：（1，4）∪（4，+∞）．4．函数y=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的图象恒过定点（1，0），求出该题的答案即可．【解答】解：当x﹣1=1，即x=2时，y=log a（x﹣1）+2=0+2=2，∴函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．5．关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】利用一元二次方程的根与不等式的关系与韦达定理，用a来表示b，c，带入不等式ax2﹣bx+c＞0即可求解．【解答】解：由题意：不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），可知a＜0，由ax2+bx+c=0可知其根x1=﹣1，x2=3，由韦达定理可得：，可得：b=﹣2a，c=﹣3a．那么：不等式ax2﹣bx+c＞0转化为：a（x2+2x﹣3）＞0，∵a＜0，∴x2+2x﹣3＜0，解得：﹣3＜x＜1．所以不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}．故答案为：{x|﹣3＜x＜1}．6．已知函数f（x）=ax3﹣+2，若f（﹣2）=1，则f（2）=3．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性转化求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣+2，f（﹣2）=1，则f（2）=8a﹣+2=﹣（﹣8a++2）+4=﹣1+4=3．故答案为：3．7．若m∈（0，1），a=3m，b=log3m，c=m3则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为a＞c ＞b．【考点】对数值大小的比较．【分析】由m∈（0，1），根据对数式的性质得到b=log3m＜0，由指数函数的单调性得到1＜a＜3，0＜c＜1，则a，b，c的大小可以比较．【解答】解：因为m∈（0，1），所以b=log3m＜0，1＜a=3m＜31=3，0＜c=m3＜13=1，所以a＞c＞b．故答案为a＞c＞b8．函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，则实数m的取值范围[﹣1，0] ．【考点】二次函数的性质．【分析】通过讨论m的范围，结合二次函数的性质，求出m的范围即可．【解答】解：m=0时：f（x）=﹣2x+3，在R上递减，符合题意；m≠0时：函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，f（x）是二次函数，对称轴x=≤﹣1，且m＜0，解得：﹣1≤m＜0，综上：﹣1≤m≤0，故答案为：[﹣1，0]．9．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围（﹣2，0）∪（0，2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数f（x）是偶函数，将不等式f（x2﹣2）＜f（2），等价转化为f（|x2﹣2|）＜f（2），然后利用函数在[0，+∞）上是单调增函数，进行求解．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴不等式f（x2﹣2）＜f（2），等价为f（|x2﹣2|）＜f（2），∵函数在[0，+∞）上是单调增函数，∴|x2﹣2|＜2，解得﹣2＜x＜2，x≠0故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）．10．已知函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数的定义域为（0，+∞）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（4）=log34+4﹣5＞0，f（3）=log33+3﹣5＜0，∴函数f（x）=log3x+x﹣5的零点一定在区间[3，4]，函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，∴a=3，b=4，a+b=7．故答案为：7．11．函数的单调增区间为[2，+∞）．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】令t=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，则f（x）=，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得t的减区间．【解答】解：令t=﹣x2+4x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+4，则f（x）=，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t=﹣（x﹣2）2+4 的减区间为[2，+∞），故答案为[2，+∞）．12．已知函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【分析】利用已知条件判断函数的单调性，通过分段函数列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，可知函数是减函数，可得，解得a．故答案为：（﹣∞，]．13．若关于x的方程log|x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a的取值范围是a＞1．【考点】函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【分析】画出函数图象，结合图象求出a的范围即可．【解答】解：画出函数y=log|x+a|和y=|2x﹣1|的图象，如图示：，结合图象：a＞1，故答案为：a＞1．14．若已知f（e x+）=e2x+，关于x的不等式f（x）+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是[﹣1，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用换元法求解出f（x）的解析式，求出f（x）的值域，带入不等式f（x）+m≥0恒成立，再实数m的取值范围．【解答】解：由题意f （e x +）=e 2x +=（e x +）2﹣2，令e x +=t ，（t），则g （t ）=（t ）2+∴f （x ）的解析式为：f （x ）=（x）2+，（t ），∴f （x ）∈[2，+∞）∴不等式f （x ）+m ≥0转化为：f （x ）≥﹣m 恒成立，∵f （x ）min =2，∴2≥﹣m 即可恒成立．解得：m ≥﹣1．实数m 的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x |＞0}，集合B={x |y=lg （﹣x 2+3x +28）}，集合C={x |m +1≤x ≤2m ﹣1}．（1）求（∁R A ）∩B ；（2）若B ∪C=B ，求实数m 的取值范围．【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）利用分式不等式的解法求出集合A ，函数的定义域求出集合B ，求出A 的补集，即可求解结果．（2）利用并集关系，转化为子集关系，求解m 即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）集合A={x |＞0}={x |x ＞7或x ＜﹣2}，…B={x |y=lg （﹣x 2+3x +28）}={x |﹣4＜x ＜7}，… 所以∁R A={x |﹣2≤x ≤7}… 所以（∁R A ）∩B=[﹣2，7）… （2）因为B ∪C=B ，所以C ⊆B …①当C=∅时，m +1＞2m ﹣1，即m ＜2，此时B ⊆A …②当C ≠∅时，，即2≤m ＜4，此时B ⊆A …综上所述，m 的取值范围是{m |m ＜4}…16．已知A={x |（2x ）2﹣6•2x +8≤0}，函数f （x ）=log 2x （x ∈A ）．（1）求函数f （x ）的定义域；（2）若函数h （x ）=[f （x ）]2﹣log 2（2x ），求函数h （x ）的值域．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）设t=2x，把（2x）2﹣6•2x+8≤0转化为关于t的一元二次不等式求得t的范围，进一步求得x的范围得答案；（2）设u=log2x，由（1）u=log2x∈[0，1]，然后利用配方法求得函数的值域．【解答】解：（1）设t=2x，∵A={x|（2x）2﹣6•2x+8≤0}，∴t2﹣6t+8≤0，解得2≤t≤4，∴x∈[1，2]，即函数f（x）的定义域为[1，2]；（2）设u=log2x，由（1）u=log2x∈[0，1]，∴，∴h（x）∈[]．17．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使甲厂有盈利，求产量x的范围；（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由G（x）=2.8+x．通过f（x）=R（x）﹣G（x得到解析式；（2）利用分段函数分别盈利时，取得x的范围，即可．（3）当x＞5时，当0≤x≤5时，分别求解函数的最大值即可．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…f（x）=R（x）﹣G（x）=，…（2）①当0≤x≤5时，由﹣0.4x2+2.4x﹣2＞0，得：x2﹣6x+5＜0，解得1＜x＜5．所以：1＜x＜5．…②当x＞5时，由6.2﹣x＞0解得x＜6.2．所以：5＜x＜6.2．综上得当1＜x＜5或5＜x＜6.2时有y＞0．…所以当产量大于100台，小于620台时，且不为500台时，能使工厂有盈利．…（3）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=1.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=3时，f（x）有最大值为1.6（万元）．答：当工厂生产300台时，可使赢利最大为1.6万元．…18．已知函数f（x）=a﹣为奇函数．（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）直接利用奇函数的定义f（﹣x）=f（x），可求出a值；（2）直接利用函数的单调性定义证明即可；（3）利用奇函数与单调性直接转化为t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2对t∈R恒成立，从而求出m的取值范围．【解答】解：（1）由于函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）；∴a﹣=﹣a+；∴2a=；∴a=1．（2）任意x1，x2∈R，且x1＜x2；f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+；=＜0；∵x1＜x2∴0＜＜∴＞0，所以，f（x1）＜f（x2）；则f（x）为R上的单调递增函数．（3）因为f（x）=1﹣为奇函数，且在R上为增函数；所以由f（t2﹣（m﹣2）t）+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，得到：t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2对t∈R恒成立；化简后：2t2﹣（m﹣2）t﹣m+1＞0；所以△=（m﹣2）2+8（m﹣1）＜0；∴﹣2﹣2＜m＜﹣2+2；故m的取值范围为：（﹣2﹣2，﹣2+2）．19．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）∴对称轴为x=1又最小值为1设f（x）=a（x﹣1）2+1又f（0）=3∴a=2∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1∴（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立化简得m＜x2﹣3x+1设g（x）=x2﹣3x+1则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1∴m＜﹣120．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．【解答】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n﹣m取最大值2016年11月26日。

数学---江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二上学期期中考试试题

江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二上学期期中考试试题一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案填写在答题卡指定位置．．．．．．．处1.命题“n n N x 22>∈∀，”的否定是．2.过点P(－1，3)且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为______________．3.23-=a 是直线0121=-+ay x l ：和直线0)1(2=-+ay x a l ：平行的条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空） 4.若圆C 的半径为1，点C 与点)02(，关于点)01(，对称，则圆C 的标准方程为．5.已知正方体1111D C B A ABCD -，F E ，分别是正方形1111D C B A 和11A ADD 的中心，则EF 和CD 所成的角的大小是 .6.直线02sin =++y x α的倾斜角的取值范围是．7.设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为11S V ，，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为22S V ，，若π321=V V ，则21S S的值为 . 8.直线01=++y ax 被圆0222=+-+a ax y x 截得的弦长为2，则实数a 的值为 .9.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：过点)231(，P ，离心率为21，则椭圆C 的方程为 .10. 已知βα，是两个不同的平面，m l ，是两条不同的直线，βα⊂⊥m l ，.给出下列命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒l m //；④αβ//m l ⇒⊥. 其中正确的命题是 . 11.已知实数y x ，满足方程142-+-=x x y ，则xy的取值范围是 . 12.已知圆4)2()(221=++-y a x C ：与圆1)2()(222=+++y b x C ：相外切，则ab 的最大值为 .13.若圆034222=+-++y x y x C ：关于直线062=++by ax 对称，过点)(b a ，作圆的切线，则切线长的最小值是 .14.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：与不过坐标原点O 的直线m kx y l +=：相交于B A 、两点，线段AB 的中点为M ，若AB 、OM 的斜率之积为43-，则椭圆C 的离心率为 ﹒ 二. 解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必．要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．. 15.（本小题满分14分）（1）求过点)3,1(A ，斜率是直线x y 4-=的斜率的31的直线方程；（2）求经过点)2,5(-A ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程.16.（本小题满分14分）如图，过底面是矩形的四棱锥F -ABCD 的顶点F 作EF ∥AB ，使AB ＝2EF ，且平面ABFE ⊥平面ABCD ，若点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：（1）FG ∥平面AED ；（2）平面DAF ⊥平面BAF .17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设命题p ：椭圆1822=-+my m x C ：的焦点在x 轴上；命题q ：直线0=+-m y x l ：与圆922=+y x O ：有公共点.若命题q p ∧为假命题，且命题q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分16分）如图，在三棱锥ABC D -中，已知BCD ∆是正三角形，⊥AB 平面BCD ，a BC AB ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且FC AF 3=．（1）求三棱锥ABC D -的体积；（2）求证：⊥AC 平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且CA CN 83=，求证：//MN 平面DEF ．19.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；（3）设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TQ TP TA =+，求实数t 的取值范围．20.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)04(，-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD 的最小值.参考答案一、填空题（70514='⨯）1．nn N x 2,2≤∈∃ 2. 012=-+y x 3.充分不必要条件 4. 122=+y x5. 4π6. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 7.π23 8. -2 9. 13422=+y x 10．①④ 11. []30， 12.49 13．4 14. 21二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.解：（1）所设求直线的斜率为k ，依题意3431)4(-=⨯-=k …………………………2分直线经过点)3,1(A ∴所求直线方程为)1(343--=-x y ，即01334=-+y x .………………4分（2）1当直线不过原点时，设所求直线方程为)0(12≠=+a aya x 将（-5,2）代入所设方程，解得21=a ，所求直线方程为012=++y x ；……………………………………………8分2当直线过原点时，设所求直线方程为kx y =，将（-5,2）代入所设方程，解得52-=k ，所求直线方程为x y 52-=，即052=+y x ；……………………………12分综上：所求直线方程为012=++y x 或052=+y x .……………………14分 16.证明：（1） DG ＝GC ，AB ＝CD ＝2EF ，AB ∥EF ∥CD ，∴EF ∥DG ，EF ＝DG .∴四边形DEFG 为平行四边形， ∴FG ∥ED.又 FG ∥平面AED ，ED ⊂平面AED ，∴FG ∥平面AED. ………………………………………………………7分（2）平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面BAF ，又 AD ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面BAF . . ……………………………………………14分17.解：若命题p 为真：由题可知，m m <-<80，解得84<<m ……………………3分若命题q 为真：0=+-m y x 与圆O ：922=+y x 有公共点则圆心O 到直线l 的距离：32≤=m d ，解得2323≤≤-m …7分命题q p ∧为假命题，且命题q p ∨为真命题∴若p 真q 假，则⎩⎨⎧>-<<<232384m m m 或解得823<<m …………………10分若q 真p 假，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥≤232384m m m 或解得423<<-m ……………………13分综上：实数m 的取值范围是[]()8,234,23⋃-…………………………………14分 18. 解：（1）因为△BCD 是正三角形，且AB BC a ==，所以234BCD S a ∆=．又AB ⊥平面BCD ，故13D ABC A BCD V V AB --==⋅⋅S △BCD 21334a a=⋅⋅3312a =．…………4分（2）在底面ABC 中，取AC 的中点H ，连接BH ，因AB BC =，故BH AC ⊥．因3AF FC =，故F 为CH 的中点．E 为BC 的中点，故EF ∥BH ，故EF AC ⊥．因⊥AB 平面BCD ，AB ⊂平面ABC ，故平面ABC ⊥平面BCD ． △BCD 是正三角形，E 为BC 的中点，故DE BC ⊥，故DE ⊥平面ABC ．AC ⊂平面ABC ，故DE ⊥AC ．又DE EF E ⋂=，故⊥AC平面DEF ．（3）当38CN CA =时，连CM ，设CM DE O ⋂=，连OF ．…………………10分因E 为BC 的中点，M 为DB 中点，故O 为△BCD 的重心，23CO CM =．因FC AF 3=，CA CN 83=，故23CF CN =，所以MN ∥OF ．又OF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，所有MN ∥平面DEF ．…………………16分 19.解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l //OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．20.解：（1）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)04(，-A∴24==c a ，……………………2分 12222=-=c a b∴椭圆C 的标准方程为1121622=+y x ．…………………………………4分（2）直线l 的方程为)4(+=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)4(1121622x k y y x 消元得[]01216)34()4(22=-+++k x k x ∴34121642221++-=-=k k x x ，…………………………………………6分当34121622++-=k k x 时，3424)4341216(222+=+++-=k kk k k y∴)3424341216(222+++-k kk k D ，点P 为AD 的中点∴P 的坐标为)3412341216(222+++-k kk k ，则)0(43≠-=k kk op ………………………………………………………………8分直线l 的方程为)4(+=x k y ，令0=x ，得E 点坐标为)40(k ，假设存在定点)0)((≠m n m Q ，使得EQ OP ⊥，则1-=EQ O P k k ，即1443-=-∙-mkn k 恒成立 ∴03)124(=-+n k m 恒成立∴⎩⎨⎧=-=+030124n m ，即⎩⎨⎧=-=03n m ∴定点Q 的坐标为)03(，-…………………………………………………………10分（3） l OM // ∴OM 的方程可设为kx y = 由⎪⎩⎪⎨⎧==+kx y y x 1121622，得M 点的横坐标为34342+±=k x ……………………12分由l OM //，得349431222++∙=-=-+-=+k k x x x x x x x x OM AE AD M A D M A E A D …………14分 22)34634(3122≥+++=k k 当且仅当3463422+=+k k 即23±=k 时取“=” ∴当23±=k 时，OM AE AD +的最小值为22﹒……………………………16分。

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江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二上学期期中考试一、填空题：共14题1. 命题“”的否定是_____________.2. 过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是________.3. 是直线和直线平行的_______条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空)4. 若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为______________.5. 已知正方体分别是正方形和的中心,则和所成的角的大小是______.6. 直线的倾斜角的取值范围是______________.7. 设棱长为的正方体的体积和表面积分别为,底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为,若,则的值为____________.8. 直线被圆截得的弦长为2,则实数的值为___________.9. 在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为,则椭圆的方程为_________________.10. 已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,.给出下列命题:①;②;③;④.其中正确的命题是____________.11. 已知实数满足方程=,则的取值范围是______.12. 已知圆=与圆=相外切,则的最大值为_______.13. 若圆=关于直线=对称,过点作圆的切线,则切线长的最小值是________.二、解答题：共6题15. (1)求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;(2)求经过点,且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程.16. 如图,过底面是矩形的四棱锥F ABCD的顶点F作EF∥AB,使AB＝2EF,且平面ABFE⊥平面ABCD,若点G在CD上且满足DG＝G.求证:(1)FG∥平面AED;(2)平面DAF⊥平面BAF.17. 在平面直角坐标系中,设命题:椭圆的焦点在轴上;命题:直线与圆有公共点.若命题为假命题,且命题为真命题,求实数的取值范围.18. 如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面为的中点,在棱上,且.(1)求三棱锥的体积;(2)求证:平面;(3)若为中点,在棱上,且,求证:平面.19. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+,求实数t的取值范围.20. 如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点.(1)求椭圆的方程;(2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.参考答案一、填空题：共14题1.【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“”的否定是故答案为2.【答案】【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P（－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0.考点：两条直线的位置关系3.【答案】充分不必要条件【解析】若l1//l2,则=,则a=0或,经检验都符合题意，所以l1//l2充要条件是a=0或，故是a=0或的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4.【答案】【解析】因为点与点关于点对称,所以点C的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为.故答案为5.【答案】【解析】连接DC1,分别是正方形和的中心,所以分别为的中点，故DC1//EF,则DC1与所成的角即为和所成的角，大小为故答案为6.【答案】【解析】由直线方程可得直线的斜率为,所以直线=的倾斜角的取值范围是故答案为7.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，因此考点：圆锥体积及侧面积8.【答案】-2【解析】圆=,则圆心(a,0),半径为,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离为,即=,则.故答案为-29.【答案】【解析】由题意可得,求解可得===,所以椭圆的方程为=.故答案为10.【答案】①④【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由可得或,又,则m,l的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,又,由线面垂直的判定定理可知,的位置关系可能不垂直,故③错误;由,又,所以,故④正确.故答案为①④11.【答案】【解析】方程=化为,表示的图形是一个半圆,令,即y=kx,如图所示,当直线与半圆相切时,k=,所以的取值范围是故答案为12.【答案】【解析】因为圆=与圆=相外切,所以,两边平方可得a2+b2+2ab=9,又因为a2+b2≥2ab,所以ab≤,所以ab的最大值为.故答案为13.【答案】4【解析】因为圆=关于直线=对称,所以圆心在直线=上,所以,即,又圆的半径为,当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为=,所以切线长的最小值为=.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b)与圆心的距离最小时.14.【答案】故答案为点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二、解答题：共6题15.【答案】(1);(2) 所求直线方程为或.【解析】试题分析：(1)由已知直线求出所求直线的斜率,再利用直线方程的点斜式求解即可;(2)分两种情况讨论:当直线过原点时,设所求直线方程为, 当直线不过原点时,设所求直线方程为=,则结论易得.试题解析：(1)所设求直线的斜率为,依题意==直线经过点所求直线方程为,即.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为=将(-5,2)代入所设方程,解得,所求直线方程为,当直线过原点时,设所求直线方程为,将(-5,2)代入所设方程,解得=,所求直线方程为=,即;综上:所求直线方程为或.16.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)根据题意证明四边形DEFG为平行四边形,则FG∥ED,由线面平行判定定理，结论易证得;(2)由面面垂直的性质定理证明AD⊥平面BAF,由面面垂直的判定定理易证出结论.试题解析：(1)证明:(1)DG＝GC,AB＝CD＝2EF,AB∥EF∥CD,EF∥DG,EF＝DG.四边形DEFG为平行四边形,FG∥ED.又FG∥平面AED,ED⊂平面AED,FG∥平面AED.(2)平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD＝AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,AD⊥平面BAF,又AD⊂平面DAF,平面DAF⊥平面BAF.17.【答案】实数的取值范围是【解析】试题分析：命题为真:由题可知,;命题为真:与圆有公共点,则,又知命题p与q一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题为真:由题可知,,解得若命题为真:与圆有公共点,则圆心到直线的距离:=,解得命题为假命题,且命题为真命题,若真假,则解得若真假,则解得综上:实数的取值范围是18. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由求解即可;(2)在底面中,取的中点,连接,由题意证明,利用面面垂直的性质定理证明平面,则可得,即可证明结论;(3) 连接,,设,证明,则∥,即可证明结论. 试题解析：(1)因为△是正三角形,且,所以.又⊥平面,故==S△BCD.(2)在底面中,取的中点,连接,因,故.因,故为的中点.为的中点,故∥,则故因平面平面,故平面平面.△是正三角形,为的中点,故,故平面.平面,故.又,故平面.(3)当时,连接,.设,因为的中点,为中点,故为△的重心,.因==,故,所以∥.又平面平面,所以∥平面.点睛：本题主要考查空间几何体的体积、线面与面面平行与垂直的判定与性质,考查了等积法求体积、空间想象能力与逻辑推理能力.19. 【答案】（1）圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1；（2）直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0；（3）实数t的取值范围是[2-2,2+2].【解析】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，. （1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离因为而所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设因为，所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.20. 【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）定点的坐标为.（3）当时,的最小值为.【解析】试题分析：(1)由椭圆的离心率,左顶点为易得结论;(2)直线的方程为,联立椭圆方程消去y,由根与系数的关系,求出点P坐标,根据题意,则结论易得;(3)设的方程可设为,联立椭圆方程,求出点M坐标,=,结合基本不等式求解即可.试题解析：(1)椭圆的离心率,左顶点为,==椭圆的标准方程为.(2)直线的方程为,由消元得===当时,==,点为的中点,的坐标为则=直线的方程为,令,得点坐标为假设存在定点使得,则,即=恒成立,恒成立,,即,定点的坐标为(3),的方程可设为.由,得点的横坐标为=由,得====,当且仅当=即时取“=”,当时,的最小值为.点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、两条直线的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了方程思想与计算能力.。