三角函数的周期性

1.4.1三角函数的周期性

一、导学目标

1.引导学生从单位圆中，得出正弦、余弦函数值呈现周期性变化

2.函数周期性定义

3．能求三角函数的周期

二、知识回归

1.任意角的三角函数

sin y α=

cos x α=

2.终边与α角相同 2απ+

2απ-

2()k k Z απ+∈ 三角函数值相同

三、新知导学

由观察可知

1.三角函数值出现周期性变化的特点

sin(2)sin cos(2)cos x k x x k x

ππ+=+= （k Z ∈） 2.函数定义

对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使定义域内每一个x ,都有()()f x T f x +=,则函数()f x 叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

3.正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的周期

2,4,6,2,4,6,ππππππ---

2(,0)k k Z k π∈≠ 都是它们的周期

2π是所有周期中最小的正数，是sin ,cos x x 的最小的

正周期

周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就是()f x 的最小正周期，一般，函数周期都是指最小正周期

sin ,cos y x y x ==的周期是T=2π

四、例题分析与巩固训练

(1)()sin 3f x x = 1(2)()2cos()23

g x x π=- 分析：由sin ,cos x x 周期都是2π，设周期T 即可

（1） 设()f x 周期为T ，()()f x T f x +=

∴sin3()sin3x T x +=

sin(33)sin 3x T x +=

32T π∴=

23

T π= （2） 设()g x 周期为T ()()g x T g x +=

2cos()2cos()2323

x T x ππ+-=- 即2cos ()2cos()23223x T x ππ⎡⎤-

+=-⎢⎥⎣⎦ 22

T π∴= 巩固训练

A 1. 求下列函数的周期

（1）2sin 2y x =-

（2）cos 3

x y = 2.判断下列说法是否正确，并说明理由

（1）76x π=时，2sin()sin 3x x π+=，则23

π一定是函数sin y x =的周期

B 思考

sin()cos()

y A x y A x ωϕωϕ=+=+ （其中,,A ωϕ为常数，0,0A ω≠>） 的周期为2T π

ω=

例2 若钟摆高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示

（1） 求该函数的周期

（2） 求10t s =时钟摆高度

分析：观察图像可知

解：（1） 1.5T s =

（2）(10)(16 1.5)(1)20f f f =+⨯==

∴ 10t s =时钟摆高度20h mm =

巩固训练

1.若弹簧振子对平衡位置的位移()x cm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示

（1）求该函数的周期

（2）求10.5t s =时弹簧振子对平衡位置的位移

五、名师点评

六、学业达标

A 1.求下列三角函数的周期

（1）sin()3y x π

=+

（2）cos 2y x =

（3）3sin()25x y π

=+

（4）3sin 4x

y =

B 若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为23π

，求正数k 的值

C 函数3sin()3y kx π

=+的最小正周期T ，(1,3)T ∈，求正整数k

的值