人教版数学八年级下第16章《二次根式》导学案

人教版数学八年级下第16章《二次根式》导学案（共27页）16.1 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】1a≥0）的意义解答具体题目.2a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.【重点难点】1、二次根式的性质.2、能确定二次根式中字母的取值范围.知识概览图a≥0）新课导引二次根式的性质二次根式的有关概念0)a≥的式子叫做二次根式代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式二次根式二次根式的双重非负性2(0)a a=≥①被开方数a非负，即a≥00)a≥(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存在近似关系式，r= 其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?【问题探究】因为R≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求?【解析】因为16002＝25600001600．所以r ≈教材精华知识点1 二次根式的概念读作“二次根号”．拓展(1)二次根式必须含有二次根号，但是4是.(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，有意义，即a≥0a取什么实数，都有a2≥0，因为它们虽然都有，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．的根指数为2，即，我们常省略根指数2，写作，不要误把的根指数当做03．(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：223理数称为二次根式的系数.知识点2 确定二次根式中字母的取值范围a 就必须是非负数，即a ≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，，只有当2x +1≥0，即x ≥12-时，才有意义. 再如，对于式子来说，只有当30,10,x x -≥⎧⎨+≥⎩即-1＜x ≤3时，二次根式才有意义.拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.知识点3 二次根式的性质二次根式的双重非负性:0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知0.（2=a （a ≥0）. 由于a ≥0）表示非负数a 和算术平方根，将非负数a 的算术平方根平方，就等于它本身a 2=a 2=32=62=1.5.拓展 （12=a （a ≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.（22=a （a ≥0）逆用，写成a =2（a ≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x 2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，22，所以x 2-2=x 2-2=（x （x .（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：（32=32×2=9×2=18.2=（12)2×2=14×6=32等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.由于a2. a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0.a=，然后再根据a的符号化简绝对值. 55=-=. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如5==.a的符号不确定，那么要讨论.(0),0(0),(0).a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪<⎩拓展2知识点5 代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a+b，ab，st(t≠0)，x3，3)x=等都是代数式.拓展代数式中不含有“＝”“＞”“＜”等符号，只有运算符号.课堂检测基本概念题1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1（2（3）（4（5（6（7）（8（9（10基础知识应用题2、当x取何值时，下列各式有意义？（1（22xx+；（3；（4（5；（6（7；（821aa+.3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1综合应用题4、（1）三角形的高是底的12，底为xcm，则这个三角形的面积是cm2;图21-1（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的半径为r ）.探索创新题5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值11.5a a =其中甲同学的做法是：原式＝111214910.55a a a a a a +-=-=-=乙同学的做法是：原式＝1111.5a a a a a +-==谁的做法是正确的？说明理由. 体验中考1、若代数式2x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A. x ＞1且x ≠2 B. x ≥1 C. x ≠2 D. x ≥1且x ≠22、若x ，y 为实数，且20x ++=，则（x ＋y ）2010的值为 . 学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号；二是看被开方数是否是非负数.解：（1）∵-3＜0.（2）∵(-3)2＞0.（3）∵(-3)3=-27＜0.（4）∵3.（5-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.①当x≤0②当x＞0..（6）∵4.（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0.（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，∴当x≠-3.∴.（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4是二次根式；当a≠4时，-(a-4)2＜0不是二次根式..（10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0.【解题策略】本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.2、分析本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.解：（1300 xxx⎧∴=⎨-⎩≥，≥0,.∴当x=0时，.（22xx+有意义，则必有202xxx-⎧∴⎨+≠⎩≥，≤0,，且x≠-2.∴当x≤0，且x≠-22xx+有意义.（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x都有意义.（4）欲使2-3x＞0，∴x＜23.∴当x＜23.（5有意义，则必有2402xxx+⎧∴⎨-≠⎩≥，≥-20,，且x≠2.∴当x≥-2，且x≠2时，2x-有意义.（6）欲使有意义，则必有2303xxx-⎧∴⎨-≠⎩≥，≥30,.∴当x≥3有意义.（7）欲使1x -有意义，则必有120112x x x -⎧⎪∴⎨-≠⎪⎩≥，≤0,，且x ≠-1.∴当x ≤12，且x ≠-1. （8）欲使21aa +有意义，则必有201a a a -⎧∴⎨+≠⎩≥，≤20,，且a ≠-1. ∴当a ≤2，且a ≠-121aa +有意义. 【解题策略】 本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x -3≥0，得x ≥3，由x 2-3≠0，得xx ≥3的范围内，所以只需满足x ≥3即可. （7）小题中，由1-2x ≥0，得x ≤12，由1x -≠0，得x ≠±1，只有x =-1在x ≤12的范围内，而x =1不在x ≤12的范围内，所以只需满足x ≤12，且x ≠-1即可.3、分析a =. 解：由数轴可知a ＜0，b ＞0，a -b ＜0，a b a b ---=-[()]a b a b ----=a b a b --+-=2b -.【解题策略】a ==(0),0(0),(0).a a a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm ，则高为2xcm ，所以三角形的面积为21··224x x x =（cm 2）. （2）因为第一个圆的半径为r ，所以第二个圆的半径为4r ，所以这两个圆的周长之和为52242r r r πππ+=. 答案：（1）24x （2）52r π5、分析 本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为15a =，所以1a a＞，所以11.a a a a-=- 解：甲同学的做法是正确的，理由如下：111.5a a a a-=，且，即=5 1111,0,.a a a a a a a a--=∴＞∴＞∴- 乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了a 与1a的大小关系，导致错误. 【解题策略】a =进行化简时，0a ≥.a =体验中考1、分析 本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知11 2.20,x x x x -⎧⎨-⎩≥0,∴≥且≠≠故选D.2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由20x +=知x ＋2＝0，且y －3＝0，所以x ＝－2，y ＝3，所以(x ＋y )2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.16.2 二次根式的乘除学习目标、重点、难点【学习目标】1、最简二次根式概念；2、二次根式的乘除法法则及其逆用； 【重点难点】1、最简二次根式概念；2、二次根式的乘除法法则及其逆用； 知识概览图最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式0)a b =≥，≥00)a b =≥，＞00)a b ≥，≥00)a b =≥，＞0新课导引如右图所示，一个直角三角形ABC 中，两直角边BC ，AC 分别是6和10，那么由勾股定理可知其斜边AB ==设这个直角三角形斜边上的高CD 为x ，则11661013622x x ⨯⨯==所以利用的是面积“桥”的方法.二次根式的乘除法法则 二次根式乘除法法则的逆用二次根式的乘除136分解因数，即136＝22×34=进一步将分母中的根号化没即可，==教材精华知识点1 二次根式的乘法0,0).a b ≥≥ 拓展 （1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式. （2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.=，公式中的a ，b 必须满足a ≥0，b ≥0.（3=0,0)a b =≥≥，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）0,0)a b ≥≥(0)a a =≥将这些因数（式）开出来，进而将二次根式化简.==(0).x x ==+≥（4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正知识点2 二次根式的除法公式()a b ≥0,＞0可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例如：==拓展 （1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如：2.===（2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.==.2==（3）()a b ≥0,＞0，)a b =≥0,＞0.可以用语言叙述为：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.=1）a 必须是非负数，b 必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如=.（4）二次根式的除法运算结果要化到最简.知识点3 最简二次根式被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是说，若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，则这个二次根式就是最简二次根式.例如：等都是最简二次根式. 拓展 （1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： ①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=次根式.=2和22()x y +的指数都是1二次根式.22a b +.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.课堂检测基本概念题1、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？（x＞2），-x,(b＞0，a＞0),a＞b＞0), .基础知识应用题23=-成立，则（）xA. x≥3B.x≥-3C. -3≤x≤3 D．x为任意实数3=（）A. x≥6B. 0≤x≤6C. x≥0D. x＞6综合应用题4、如图21-4所示，飞行员在飞机B处用雷达测得飞机和目标城市A的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度h.探索创新题5、已知ab，请用含a，b以上方法表示. 体验中考1、（1?A.B.C.D. E. 0问题的答案是（只需填字母）：；（2）那么这个数的一般形式是什么？（用代数式表示）2、对于任意不相等的两个数a，b，定义一定运算※如下：a※b32124====※※. 学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查最简二次根式的概念.解:.39==，=x-2,--==,(x>2), -( b>0, a>0),不是最简二次根式.【解题策略】判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母，另外，要看被开方数是否含有能开方的因式.2、分析本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+3≥0,且x-3≥0，由此可得x≥3，故选A.3、分析本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x≥0，且x-6＞0，所以x＞6.故选D.规律·方法求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.4、分析本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个直角三角形中去分析.解：因为α=45°，所以∠A= 45°.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以∠ABC== 45°，所以AC=BC=h.由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即2h2=(4.5×102)2.21810000. 28h h=⨯= ==22所以（4.510）所以答：飞机此时的高度为m）.【解题策略】解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.5、分析解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来.解法17.ab ====解法277.101010ba =====解法3.1010ab ===【解题策略】根据4.9=4910=490100及二次根式的性质化简，化简后使其与a，b相关，然后将能用a，b代替的用a，b代替，表示出结果.体验中考1、分析本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案.解：（1）A，D，E.（2）设这个数为x,则x a(a为有理数)，所以xa为有理数)，2、分析本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力，12※4=411.. 124822==-故填【解题策略】对于新定义的运算，要看清它的计算实质，利用例子把新运算转化为普通的运算.16.3 二次根式的加减学习目标、重点、难点【学习目标】1、同类二次根式的概念；2、二次根式的加减；3、二次根式的混合运算；【重点难点】1、同类二次根式；2、二次根式的混合运算；知识概览图同类二次根式二次根式的加减二次根式的加减二次根式的混合运算新课导引如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）【问题探究】由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm2，6.28 cm2π取3.14时，它们的值分别为，那么如何计算错误！未找到引用源。