多项式的整除
数学中的多项式函数与整除性理论
数学中的多项式函数与整除性理论多项式函数作为基本的数学概念，在数学的各个分支中都有着广泛的应用。
而整除性理论是现代数学中的一个重要理论体系，它探究了数字之间的整除关系及其相关性质。
本文将探究多项式函数与整除性理论的关系，以及多项式函数在整除性理论中的应用。
1. 多项式函数的定义及性质多项式函数是指以自变量x为变量，系数为任意实数或复数的一次或多次幂的和。
即P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn，其中a0,a1,a2,…,an为实数或复数。
多项式函数的阶次为最高幂的次数，而且一般情况下只考虑最高幂的系数不为零的多项式函数。
多项式函数具有以下性质：（1）多项式函数加法和乘法都满足结合律、交换律和分配律。
（2）多项式函数的导数是其各项系数与下标同时减一的多项式函数。
（3）多项式函数的零点是指使其取值为零的自变量值。
每个n 次多项式函数最多有n个不同的零点。
2. 整除性理论中的多项式函数应用整除性理论探究了数字之间的整除关系及其相关性质，其应用范围覆盖了数论、代数及解析几何等许多分支。
在整除性理论中，多项式函数有着重要的应用。
（1）多项式的因式分解与整数相似，多项式也可以进行因式分解。
多项式的因式分解指的是将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式，即P(x)=a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)，其中b1，b2，…，bn为多项式的根。
（2）最大公因数和最小公倍数多项式的最大公因数是指可以整除每个给定的多项式的最高公共因式。
最小公倍数是指可以被每个给定的多项式除尽的最小公倍式。
（3）整处关系的判定多项式的整除关系也可以像整数一样判定。
如果一个多项式f(x)能够被另一个多项式g(x)整除，则在f(x)除以g(x)的余数为零的情况下，f(x)可以表示为g(x)与余数r(x)的乘积。
即f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，其中q(x)为商，r(x)为余数。
如果r(x)为零，则f(x)能够被g(x)整除。
高等代数第三版
显然仍不能整除 f x .
第一章 多项式
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
F[ x] 的多项式，因而在 F[ x] 里，这一等式仍然成立．
f x g x qx r x
qx 0, r x f x （ii）若 f x 0 ,且 f x g x . 把f x 和g ( x)
按降幂书写: n n 1 f x an x an1 x a1x a0 g x bm x m bm1 x m1 b1x b0
于是由 r x 的唯一性得出，在 F[ x] 里 g x 也不能整除
f x .
总之，两个多项式之间的整除关系 不因为系数域的扩大而改变.
第一章 多项式
例1
确定m ，使 x 1 | x mx mx 1 .
1 n m 令q1 x a n bm x ，并记 f1 x f x q1 x g x,
这里an 0, bm 0,并且 n
m
第一章 多项式
则f1 x 有以下性质：
或者 f1 x 0或 f1 x f x
f k 1 x f k x qk 1 x g x
f x f1 x g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 f k x g x ，于是
第一章 多项式
3、多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
2.2多项式的整除性
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出 是否有 g( x) f ( x).
多项式的整除性
4.3 多项式的整除性教学内容：4.3多项式的整除性教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。
理解和掌握带余除法。
授课时数：2学时教学重点：多项式整除的概念及基本性质教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明）教学过程：在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。
一、多项式整除的概念及性质1. 定义定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。
此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是)(x f 的倍式。
如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x .由定义1知：1︒0|)(],[)(x f x F x f ∈∀;特别地，0|0.2︒)(|,x f c F c ∈∀.3︒,c d F ∀∈,0≠c ，有d c |.如2|0。
4︒高次多项式不能整除低次多项式。
课堂思考题：1）能整除任何多项式的多项式是什么？2）能被任何多项式整除的多项式是什么？2. 整除的基本性质我们可以将整数的整除性质平移过来1） 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f ;2） 若)(|)(),(|)(x g x h x f x h ,则))()((|)(x g x f x h ±;3） 若)(|)(x f x h ,则对任意)(x g ,有)()(|)(x g x f x h ；4） 若)(x h |i f )(x ,()(),1,2,3,,,i c x F x i n ∀∈= 则|)(x h ∑=n i i i x f x c 1)()(； (整除倍式和)5） 对任一多项式(),()|(),|()(0,)f x cf x f x c f x c c F ≠∈;6） 若),(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则存在0,≠∈c F c ,使)()(x cg x f =.二.带余除法⒈ 实例（中学中的多项式除多项式）例2 322()26,()1f x x x x g x x x =+++=++，求()g x 除()f x 所得商式()q x 及余式()r x 。
多项式的整除运算方法
多项式的整除运算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊多项式的整除运算方法，这可真是个有趣又实用的玩意儿呢！你看啊，多项式就像是一群小伙伴，它们在一起玩耍，而整除运算呢，就像是给它们排排队，分分组。
比如说，一个多项式能不能被另一个多项式整除，就好像一群小朋友能不能被分成整齐的小组一样。
咱先来说说多项式整除的基本概念吧。
这就好比你有一堆糖果，你要看看能不能正好分成几个相同的小堆。
如果能，那就是整除啦！比如说，x²+2x 能不能被 x 整除呢？那当然能啦，就像把那些糖果正好能按一定规则分好一样。
还有啊，多项式整除也有一些小窍门呢！就像你找东西有诀窍一样。
比如，你可以通过观察系数啦，次数啦等等来判断。
这多有意思呀！再说说多项式整除的运算规则吧。
这就好像玩游戏有游戏规则一样。
咱得按照规则来，不能乱来呀！比如说，两个多项式相乘的结果要是能被另一个多项式整除，这中间可就有大学问了。
你想想，这就像搭积木，要把一块块积木搭得稳稳当当的，不能随便乱搭。
在多项式的整除运算里，我们得细心，得认真，不能马虎哟！不然可就搭不好啦。
还有一个特别重要的点，就是要多练习呀！就像你学骑自行车，不练习怎么能行呢？只有多做几道题，多尝试几次，才能真正掌握这个神奇的多项式整除运算方法呀！咱可别小看这多项式的整除运算，它在好多地方都有用呢！比如在数学研究中，在解决实际问题中，都能看到它的身影。
你说神奇不神奇？所以啊，朋友们，好好学一学多项式的整除运算吧！它会给你带来很多惊喜和收获的。
别觉得它难，只要你用心，肯定能学会。
就像那句话说的：世上无难事，只怕有心人嘛！相信自己，你一定能行的！。
高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念
![高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念](https://img.taocdn.com/s3/m/e6002d24b4daa58da0114a2b.png)
若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中，这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知， 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有 证：
f x
第二章
多项式
作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。 证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证： 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式的运算是一种基本的数学运算，其步骤与一般的除法类似，只不过这里的除数和被除数都是多项式。
具体步骤如下：首先，我们需要理解多项式。
多项式是包含多个项的数学表达式，每个项都由一个系数和一个变量的幂组成。
例如， 3x2+2x−5 是一个多项式，其中 3x2、2x 和−5 是它的项。
在多项式除以多项式的运算中，我们首先要确定一个除数多项式和一个被除数多项式。
例如，我们选择 3x2+2x−5 作为被除数，选择 x2−3x+2 作为除数。
接下来，进行以下步骤：1.确定可以相除的项：只有当被除数的每一项都能被除数的每一项整除时，才能进行多项式除以多项式的运算。
在这个例子中，被除数的每一项都能被除数的每一项整除。
2.计算商的系数：这是被除数每一项与除数每一相应项的系数相除的结果。
例如，(3x2)÷(x2)=3，因为 3 是 3x2 的系数， x2 是 x2 的系数。
类似地，(2x)÷(x)=2 和(5)÷(1)=5。
将这些结果相加，得到 3+2+5=10，因此，商是 10。
3.计算余数：将商乘以除数，得到结果后减去被除数，得到余数。
在这个例子中，余数是 (10(x2−3x+2))−(3x2+2x−5)=4x−13。
最后，商和余数共同构成了多项式除以多项式的结果。
在这个例子中，结果是10+(4x−13)=4x−3。
需要注意的是，多项式除以多项式的运算和普通除法有一个主要区别：在多项式除法中，余数可以是任何形式的多项式，而不一定是常数。
而在普通的除法中，余数一般是常数。
另外，要注意在进行多项式除以多项式的运算时，我们要把每一个步骤都看作一个整体，然后对它们进行整理和简化。
在上述例子中，步骤是先计算商的系数，再计算余数，最后得到结果。
这些步骤并不是独立的，而是相互关联的。
在进行每一步时，我们都要考虑到下一步的需要和上一步的结果。
例如，在计算商的系数时，我们不仅要得到正确的结果，还要考虑到这个结果会对余数的计算产生影响。
高等代数考研辅导第1讲多项式
(1)零多项式只能整除零多项式 4.说明 (2) f ( x), cf ( x)有相同的因式和倍式
例1.1: 证明：x2 +x 1| x3m +x3n 1 x3 p 2 (m, n, p N ).
(1)( x 1) | f ( x n ) x n 1| f ( x n ) 同理可证明 (2) x 2 x 1| f ( x 3 ) xf ( x 3 ) ( x 1) | f ( x), ( x 1) | f ( x). 1 2 1 2
r 标准分解式:f ( x) cp1r1 ( x) p22 ( x) psrs ( x), c是f ( x)的首项系数,p1 ( x)， ，ps ( x)是首项系数为1的
互不相同的不可约多项式,ri是正整数.
k l r 1 (1) f ( x) ap1k1 ( x) prkr ( x) prk11 ( x) pmm ( x), g ( x) bp1l1 ( x) prlr ( x) qrlr1 ( x) qnn ( x), 其中pr 1 ( x), , pm ( x)与
(1)找u ( x), v( x), 使u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1; (2)证明f ( x), g ( x)的任一公因式都是非零常数； (3)证明( f ( x), g ( x)) 1的方法： (3)反证法； (4) f ( x)的均不是g ( x)的根.
2.因式分解定理及唯一性定理:P上每个次数 1的多项式f ( x )都可以唯一 分解成P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性指 f ( x ) p1 ( x ) ps ( x ) q1 ( x ) qt ( x ), 那么s t且适当调序后有pi ( x ) ci qi ( x )(ci 0)
第三节 整除的概念
第一章 多项式 Polynomial
第三节 整除的概念
§1.3 整除的概念
一、引入
这一节以及后面各节的讨论都是在某一固定的 数域 P 上的多项式环 P[x] 中进行的. 在一元多项式环中， 可以作加、减、乘三种 运算，但是乘法的逆运算——除法并不是普遍可以
做的. 因此整除就成了两个多项式之间的一种特殊
f (x) | ( u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) ) , 其中 ui (x) 是数域 P 上任意的多项式. 证明 由 f (x) | g i (x) 得
gi (x) = hi (x) f (x ) , i = 1 , 2 , … , r , 由此即得
§1.3 整除的概念
u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) =(u1 (x) h1(x) + u2 (x) h2(x) + … + ur (x) hr(x)) f (x). 从而 f (x) | ( u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) ). 证毕
3. 整除的性质
性质 1 如果 f (x) | g(x) , g(x) | f (x) , 那么
f (x) = c g (x) ,
其中 c 为非零常数.
§1.3 整除的概念
证明
由 f ( x ) | g ( x ) , 有 g ( x ) = h 1( x ) f ( x ) ,
又由 g(x) | f (x) , 有 f (x) = h2(x) g(x) . 于是
多项式的整除
证明：由f(x)=
1 c
(cf(x)),可得。
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F)
g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
若是 r(x)r(x)0 那么，
q(x)q(x)0
这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左 边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。 因此必有：
r(x)r(x)0
因而 q(x)q(x)0
即 r(x ) r(x )q ,(x ) q (x )
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定 义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一 个多项式。
若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x).
若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是，
（(x) (x)）=0，从而（(x)）=0，
（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
则有：f(x)=cg(x).
说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项 式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质 判定两首项系数为1的多项式是否相等。
二 带余除法定理
三 定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两 个多项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中 可以找到多项式g(x)和r(x),使
四
f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*）
多项式的综合除法
多项式的综合除法多项式的综合除法是一种用于求解多项式除法的方法。
多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
常用的多项式除法有长除法、综合除法和因式分解法。
综合除法在多项式的除法中是一种比较简便的方法，因为它直接使用多项式的系数进行计算，而不需要花费额外的时间去计算每一次的乘法。
使用综合除法时，我们需要先将两个多项式按照降幂排列，再将除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，并将其作为商的第一个系数。
然后将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式。
重复这个过程直到除式的次数比余数的次数低为止。
下面我们以一个例子来说明综合除法的具体步骤：例题：求解 f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 被 g(x) = x - 2 整除的商和余数。
步骤一：将两个多项式按照降幂排列，得到：f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5g(x) = x - 2步骤二：计算除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，得到：1/1 × x = x将其作为商的第一个系数，得到：q(x) = x步骤三：将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式，得到：x(x-2) = x^2 - 2xf(x) - x(x-2) = (x^3 - 3x^2 + x + 5) - (x^2 - 2x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5步骤四：重复步骤二和步骤三，得到：1/1 × (x^2 - 2x) = x - 2q(x) = x + 1(x^3 - 4x^2 + 3x + 5) - (x^2 - 2x)(x + 1) = -x - 5步骤五：最后余数为 -x - 5 。
因此， f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中商为 q(x) = x + 1，余数为 r(x) = -x - 5。
综合除法的优点在于它简便易行，只需要按照一定的步骤计算即可得到答案。
多项式的整除性和带余除法
由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式.
当g(x)≠0时,由带余除法定理得到
Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式 f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除
其中q(x)通常称为g(x)除f (x)的商,
r(x)称为g(x)除f (x)的余式.
• Definition5.(整除的定义)
• 称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果 存在P[x]上的多项式h(x), 使得
f (x) g(x)h(x)
成立.
用g(x) | f (x)表示g(x) 整除 f (x),
解 : 作综合除法:
3 | 1 0 2 5 94
3 9 33 114
1 3 11 38 20 所以 q(x) x3 3x 2 11x 38
r f (3) 20
EXERCISES2. 设f (x) 2x3 x 2 3x 5 用综合除法求 f (2). EXERCISES3. 求用 (x i) 除 f (x) x 4 2ix3 (1 i)x 2 3x 7 i 的商式与余数. *结论 : f (c) 0 (x c) | f (x)
f(x)的余式为零.
• 整除性的几个常用性质:
Байду номын сангаас
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除
• 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则
多项式的整除性
4）若h( x)| fi ( x),ci ( x) F ( x), i 1,2,3, , n,
n
则h( x) | ci ( x) fi ( x)； (整除倍式和) i 1
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5） f (x) F[x],c F,c 0 c | f (x);cf (x) | f (x). 6）若 f ( x) | g( x), g( x) | f ( x),,则存在c F ,c 0,
使 f ( x) cg( x). 二.带余除法
1.实例（中学中的多项式除多项式）
重复对 f1( x)的同样讨论，由于
( f ( x)) ( f1( x)) ( f2( x)) ，
而( f (x))有限，因此在进行了有限步后，必有 fk ( x) 适合 fk ( x) 0或( fk ( x)) ( g( x))。于是可得到
一串等式：
f ( x) g( x) a0b01 xnm f1( x), f1( x) g( x) a10b01 xn1m f2( x),
a b x , 1 nk1m k1,0 0
r(x)
fk ( x)
适合式（1），并且r( x) 0，或
(r( x)) (g( x))
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3）现证唯一性
设还能找到F[ x]的多项式q1( x), r1( x)，使
f ( x) g( x)q1( x) r1( x)
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但 ( g( x)(q( x) q1( x)) ( g( x))， 而显然有 (r1( x) r( x)) ( g( x))，
多项式的整除性
1.3多项式的整除性1.用()g x 除()f x ,求商式()q x 和余式()r x : (1) 322432123(),()f x x x x g x x x =-+-=-+ (2) 4322323(),()f x x x x g x x x =-+-=-+(1) 45164516()()(),(),()f x g x x q x x r x =+-=+=-(2) 221391731391732488824888()()(),(),()f x g x x x x q x x x r x x =--++=--=+2.确定,a b 的值,使223()g x x x =-+能整除43236()f x x x x ax b =-+++,得2153()()()()f x g x x x a x b =-++++-,所以53,a b =-=3.下列命题是否成立,为什么?(1)成立,否则由()(),()|()()h x f x h x f x g x +,则()|[()()]()()h x f x g x f x g x +-=导致矛盾;(2)不成立,例如11(),(),()h x x f x x g x x ==+=-,但2|x x ,即()|()()h x f x g x + (3) 不成立,例如22(),(),()h x x f x x g x x ===,但222|x x ,即()|()()h x f x g x (4)成立,由于()(),()()f x g x f x g x ∂=∂,所以(),()f x g x 只相差一个常数因子,所以()|()g x f x 成立.(),()f xg x 被()h x 除得的余式相等.()⇒设1122()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中1100()()()r x or r x h x =≤∂<∂和2200()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是1212()()()[()()][()()]f x g x h x q x q x r x r x -=-+-,由()[()()]h x f x g x -⇒ 12()()()h x r x r x -但1212[()()]m ax{(),()}()r x r x r x r x h x ∂-≤∂∂<∂,这显然不可能,除非120()()r x r x -=,即12()()r x r x =()⇐设12()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中 00()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是12()()()[()()]f x g x h x q x q x -=-()[()()]h x f x g x ⇒-5.常数,,a b c 满足什么条件时,21()g x x ax =++能整除4()f x x bx c =++?2222121()()()()f x g x x ax a b a a x c a =-+-++-++- 所以222010,b a a c a +-=+-=所以221a b c a +=+=1()()()()()g x h x f x q x p x =,2()()()f x h x p x = 所以2112()()()()()()()()()()g x h x h x p x q x p x g x q x p x p x =⇒=()()q x g x ⇒7.证明：对任意非负整数n,都有222111|()n n x x x x ++++++n 用数学归纳法: 当0n =时,结论显然成立;假设结论在一切不大于n 的非负整数成立,那么在1n +时,3232212121111()[()]()[()]n n n n n xx x xx x x x +++++++=+++++-221212111[()]()()n n n x x x x x x +++=++++++由归纳假设有222111|()n n x x x x ++++++,同时2212111|()()n x x x x x ++++++所以232311|()n n x x xx ++++++8.设k 是任意正整数,证明|()|()kx f x x f x ⇔,下面证明必要性用反证法:若|()x f x ,则10()(),f x xf x c c =+≠,那么1()[()]()kkkf x xf x c xg x c =+=+,由|()|k kx f x x c ⇒矛盾.9.证明：|()()x f x f x ⇔的常数项为011100(),n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠ 于是由于111|nn n n x a x a xa x --+++ ,1110|()n n n n x f x a x a xa x a --=++++所以111000|()()|n n n n x f x a x a x a x x a a ---+++⇒⇒= 反过来,若00a =,显然有|()x f x 10.证明：11||d n x x d n --⇔()⇐设n dq =,则1211111()()[()()]n dq d q d d q d q x x x x x x ---=-=-=-+++11|dnx x ⇒--()⇒若|d n ,设0,n dq r r d =+<<,于是 11111()()ndq rdqr r r r dqrx xxx x x x xx +-=-=-+-=-+-由于111111|,|[()]|d n d r d q d r x x x x x x x ----⇒--,但0r d <<,这显然不可能.所以,必然有0r =,即|d n .。
多项式整除计算方法
多项式整除计算方法
1. 嘿，你知道多项式整除计算方法里的长除法吗？就像小学生做除法运算一样！比如说，用 x+2 去整除x²-3x+2，咱就一步一步来，最后就能得
出结果啦，是不是很神奇呀？
2. 还有那个余数定理呢，可重要啦！就好比你在找东西，知道了一个关键信息，就能快速找到啦！像x³-5x²+3x+1 除以 x-1 时，把 1 代进去求值，那就是余数呀，懂了吧？
3. 合成除法也很有意思呢！哇，它就像是一把神奇的钥匙，能快速打开计算的大门哦。
比如计算x³+2x²-x+1 除以 x-2，用合成除法一下子就能搞定呢！
4. 嘿，你有没有试过对多项式进行因式分解来帮助整除呀！就如同解开一个复杂的谜题，一旦解开，一切都清晰了。
比如2x³-6x²+4x，分解一下，整除计算就简单多了呀，太奇妙了吧！
5. 系数比较法也很实用哦！这不就像是在对比不同的东西，找出它们的特点嘛。
比如两个多项式，通过比较系数就能知道能不能整除啦，是不是很赞？
6. 特殊值法也别小瞧呀！那感觉就像买彩票中了奖一样惊喜呢。
比如对某个多项式，找个特殊值一试，说不定整除的情况就一目了然啦！
7. 哎呀呀，还有好多多项式整除计算方法等着我们去探索呢！它们就像一个个宝藏，等着我们去发现挖掘！赶紧行动起来吧，让我们在数学的世界里尽情遨游呀！
我的观点结论就是：多项式整除计算方法丰富多彩，每一种都有其独特之处和奇妙的地方，值得我们好好去研究和运用！。
九年级数学多项式的运算
九年级数学多项式的运算数学是一门精密而有趣的学科，其中多项式的运算是数学学习的重要部分之一。
在九年级数学课程中，学生将学习如何进行多项式的基本运算，包括相加、相减、相乘，以及整式的整除等。
本文将详细介绍九年级数学中多项式的运算方法和规则。
一、多项式的定义在介绍多项式的运算规则之前，我们首先需要了解多项式的基本概念。
多项式是由常数项、变量项和次数组成的代数式。
一个典型的多项式可以写成如下形式：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式，a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0表示系数，x 表示变量，n表示次数。
二、多项式相加与相减在九年级数学中，多项式的相加与相减是最基础的运算之一。
对于两个多项式P(x)和Q(x)，我们可以按照以下规则进行相加或相减：1. 合并同类项：将具有相同变量和次数的项合并在一起。
2. 对应系数相加或相减：将合并后的同类项的系数相加或相减。
举个例子，假设我们有以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 + 4x - 3要计算P(x) + Q(x)，我们只需要按照上述规则进行运算。
首先合并同类项，得到：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + 4x - 3) = (3x^2 + 2x^2) + (2x + 4x) + (1 - 3)然后对应系数相加或相减，得到最终结果：P(x) + Q(x) = 5x^2 + 6x - 2同样地，要计算P(x) - Q(x)，也可以按照相同的步骤进行运算。
三、多项式的乘法多项式的乘法是数学中另一个重要的运算。
对于两个多项式P(x)和Q(x)，我们可以按照以下规则进行相乘：1. 使用分配律：将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘。
2. 合并同类项：将相乘后的项按照变量和次数进行合并。
多项式整除次方证明
多项式整除次方证明假设存在两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$，其中 $g(x)$ 是$f(x)$ 的因式，即 $f(x)$ 可以被 $g(x)$ 整除，即 $f(x) =g(x)q(x)$，其中 $q(x)$ 是一个多项式。
假设 $g(x)$ 是一个 $n$ 次多项式，则我们可以把 $g(x)$ 写成$g(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 的形式，其中$a_n \neq 0$。
那么现在我们要证明的是，$f(x)$ 的 $m$ 次方（$m > n$）也可以被 $g(x)$ 整除。
我们把 $f(x)$ 的 $m$ 次方写成 $(g(x)q(x))^m$ 的形式：$$(g(x)q(x))^m = g(x)^m (q(x))^m$$我们可以看出，$g(x)^m$ 是一个 $mn$ 次多项式，而$q(x)^m$ 是一个 $m$ 次多项式。
因此，$(g(x)q(x))^m$ 是一个$mn$ 次多项式。
现在，我们需要证明 $(g(x)q(x))^m$ 能够被 $g(x)$ 整除，即存在一个多项式 $p(x)$，使得 $(g(x)q(x))^m = g(x)p(x)$。
我们可以将 $g(x)p(x)$ 展开成：$$g(x)p(x) = (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0) (b_k x^k + b_{k-1} x^{k-1} + \cdots + b_0)$$其中 $k = mn - n$，即 $p(x)$ 是一个 $k$ 次多项式。
我们需要证明的是，$(g(x)q(x))^m$ 在展开后，每一项的次数都是$n$ 的倍数（因为 $g(x)$ 除完之后，剩下的次数必须是 $n$ 的倍数）。
因此，我们只需要证明，$g(x)p(x)$ 在展开后，每一项的次数都是 $n$ 的倍数。
考虑 $g(x)p(x)$ 中某一项的 $x$ 次数为 $i$，$0 \leq i \leq k+n-1$。
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q ( x) q ( x) 0
r ( x) r ( x), q( x) q( x)
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定 义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一 个多项式。 5 2 例如： f ( x) x 1, g ( x) x f ( x) x 2 0 x 5 1 令 q( x) 0, r ( x) x 1. f ( x) x x ( x 1 x ). 令 q( x) x , r ( x) x x 1
<二>多项式整除的基本性质
1。 如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x). 证明：f(x)|g(x) h1(x) F[x] 使 g(x)=f(x) h1(x) ……（1） g(x)|h(x) h2(x) F[x] 使 h(x)=g(x) h2(x) ……（2） 由（1），（2）得h(x)=f(x)(g(x) h2(x)) 即 f(x)|h(x)
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F) g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
6。若f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中 0 c F. 证明：由f(x)|g(x) (x) F[x],使 g(x)=f(x) (x) ……（1） 由g(x)|f(x) (x) F[x],使 f(x)=g(x) (x) ……（2） 由（1），（2）得：f(x)=f(x) (x) (x) 若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x). 若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是， （(x) (x)）=0，从而（(x)）=0， （ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
二
证明：先证定理的前一部分。 若f(x)=0或（f(x)）< (g(x)).那么 可以取q(x)=0,r(x)=f(x). 若(f(x)) (g(x)) 令 f(x)=a xn + a xn-1 +…+ an-1x+ an, g(x)=b0xm+ b1xm+1+…+ bm-1x+ bm 其中a0 0，b0 0，且n >m,令有
问题：
1。零多项式能否整除零多项式？ 2。任意非零多项式能否整除零多项式？ 3。零多项式能否整除任意非零多项式？ 4。零次多项式能否整除任意多项式？ 5。零次多项式能否被任意多项式整除？
Байду номын сангаас
分析：
1。因h(x) ∈F[x],均有 0=0h(x) 成立， 故0|0有意义。
2。对0≠f(x)∈F[x],
0
m
0
r(x)=f(x). 满足等式（*）且或者r(x)=0,或者 （r(x))<(g(x)). 下证唯一性。
假设存在 q( x), r ( X ) f [ X ] 使
F ( X ) g ( x)q( x) x( x)
…….(3)
且 r ( x) 0 或者 ( x(x)) (g(x)) 由（3），（*）得
1
0
0
0
0
1
0
F2 (x)= F1 (x)- b0-1 a xn -m g(x) 其中b10是f1 (x)的首次系数。则f2 (x)=0或者 （f2(x)）< （ f1 (x)）=n. 这样做下去，由于 （f1(x)）> （ f2 (x)> （ f3 (x) ）>…… 最后一定存在fk(x): fk(x)= fk-1(x)-b0-1 a xn -m g(x) 而fk(x)=0或（ fk (x)）<m,于是有等式：
注：
1.f(x)|g(x)不能写作f(x)/g(x),以免与 分式混淆。 2.整除性不是多项式的运算，它只是F[x] 元素间的一种关系。 3.若f(x)|g(x),则(f(x)) (g(x)) 4.若f(x) † g（x），则对任意 h(x)∈F[x], g(x)=f(x)h(x)均不成立。
g ( x)[q( x) q( x)] r ( x) r ( x)
若是 r ( x)
r ( x) 0那么，
q ( x) q ( x) 0
这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左 边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。 因此必有：
r ( x) r ( x) 0
0
1
f1(x)=f(x)- b0-1 a xn-m g(x).
0
则f1(x)=0或（f1(x)）< （f(x)）=n 若f (x)=0则f(x)= a xn-m g(x). 令q(x)= b0-1 a xn-m,r(x)=0即可。 若f1(x)=0， （f1(x)）< （g(x)）则有 f(x)= b -1 a xn-m g(x)+ f (x) 令q(x)= b0-1 a xn-m ， r(x)=f1(x)即 可。 若f1(x) 0， （f1(x)）=n1 >（g(x)）, 令
5。 对
g(x)∈F[x],0 ≠C ∈F, 若存在h(x) ∈F[x],使 C=g(x)h(x), 则g(x)与h(x)均为零多项 式。
结论：
1。零多项式能整除且仅能整除零多 项式。 2。零多项式能被任意多项式整除 （即零多项式有任意多高次的因 式）。 3。零次多项式只能被零次多项式整 除。 4。零次多项式整除任一多项式。
则有：f(x)=cg(x). 说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项 式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质 判定两首项系数为1的多项式是否相等。
带余除法定理 定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两个多 项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中可以 找到多项式g(x)和r(x),使 f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*） 这里或者r(x)=0,或者 (r(x))< (g(x)). 满足以上条件的多项式q(x)和r(x)只有 一对，此时分别称为f(x)除以g(x)的商 式与余式。
例2.令h(x)=(x-2)(x-3),g(x)=(x-2) ² ,f(x)=(x-3) ² . 有h(x)|f(x)g(x),但h(x) † g(x)且h(x) † f(x). 4。若h(x)|f2(x),(i=1,2,……，t),那么 gi(x) F[x],(i=1,2,……，t),有 h(x)|(f1(x)g1(x) + f2(x)g2(x) +… + fi(x)gi(x) ) 5。每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，其中 0 c F. 1 证明：由f(x)= c (cf(x)),可得。
注：此命题的逆命题不一定成立。 例1.令h(x)=x,g(x)=x ² -1,g(x)=x ² +1,有 h(x)|(f(x) +g(x))，但h(x) † f(x),h(x) † g(x).
3。如果h(x)|f(x),那么g(x) F[x],均有 h(x)|f(x)g(x) 证明：h(x)|f(x) (x) F(x),使 f(x)= h(x)(x)，得 f(x)g(x) =h(x)((x)g(x)),即 h(x)|f(x)g(x) 注：此命题逆命题不一定成立。
§2.5 多项式的整除
设F是一个数域，F[x]是F上一元多项式环。 一、多项式整除的定义与性质。 <一>多项式整除的定义 定义：令f(x)和g(x)是数域F上多项式环F[x]的两
个多项式，如果存在F[x]的多项式h(x),使
g(x)=f(x)h(x)
则称f(x)整除（能除尽）g(x). 记为 f(x)|g(x) 此时称f(x)是g(x)的因式， g(x)是f(x)的倍式。 否则，则称f(x)不整除g(x),记作f(x) † g(x).
不存在0h(x)∈F(x),使 0=f(x)h(x)成立。 欲使 0=f(x)h(x)成立， 只有 h(x)=0
3。
对0≠f(x)∈F[x], 不存在h(x) ∈F[x],使 f(x) = 0 h(x)成立。
4。对f(x)∈F[x],
0 ≠C ∈F，均有 1 f(x)=C( c f(x))
2。如果h(x)|f(x),h(x)|g(x),那么 h(x)|(f(x) +g(x)). 证明：h(x)|f(x) (x) F[x],使 f(x)=h(x) (x) ……（1） h(x)|g(x) (x) F[x],使 g(x)=h(x) (x) ……（2） 由（1），（2）得 f(x) +g(x)=h(x)((x) +(x) ) 即 h(x)|(f(x) +g(x)).
10
1
k-1,0
k-1
f(x)-b0-1a xn-mg(x)=f1(x), f1(x)-b0-1a10xn1-mg(x)=f2(x), …… fk-1(x)-b0-1ak-1,0xnk-1-mg(x)=fk(x),. 相加得： f(x)=b0-1a xn-m+b0-1a10xn1-m+…+b0-1ak-1,0xnk-1-m 令g(x)=b0-1a xn-m+b0-1 a10xn1-m+…+b0-1 ak-1,0xnk-10
5
2 2 5 4
2
5
4
2。 q ( x )
1 b0
(b a x b a x ... b a x
1 nm 1 n1 m 1 0 0 0 10 0 k 1 , 0 nm nk 1 m 0 k 1 , 0