专题07 极化恒等式问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版)
高考数学专题《极化恒等式》填选压轴题及答案
专题23 极化恒等式【方法点拨】极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点D 是△ABC 边的中点，则22221||||4AB AC AD BC AD BD ⋅=-=-，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【典型例题】例1 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ． 【答案】78【解析】设BD x =，DF y =由极化恒等式得222294BA CA AB AC AD BD y x ⋅=⋅=-=-=， 22221BF CF FB FC FD BD y x ⋅=⋅=-=-=-解之得可得2294a b -=，221a b -=-，因此2138x =，258y =，因此222451374888BE CE EB EC ED BD y x ⨯⋅=⋅=-=-=-=．点评：紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.例2 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的BC最小值为 ． 【答案】73-【分析】本题的难点在于如何将2PB PC +“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式. 【解析】设23PB PC PD +=，则2133PD PB PC =+，D 在BC 上 所以(2)=3PA PB PC PA PD +如图，取BC 中点为E ，由极化恒等式得221=4PA PD PE AD -在ABD ，由余弦定理得22242128=+2cos 422=9329AD AB BD AB BD ABD -⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅ 所以当=0PE ，即P 为AD 中点时，()min7=9PA PD-所以(2)PA PB PC +的最小值73-，此时P 为AD 中点.例3 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧(含端点B 、E )上的一点，则P A → ·PB →的取值范围是 .【答案】【分析】取AB 的中点设为O ，则，然后利用平几知识确定PO 的取值范围，代入即可.【解析】取AB 的中点设为O ，则，当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为222PO =-；当P 与B （或E ）重合时，POEB [882,0]-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-EBCAP D取得最大值为PO =2，所以的取值范围是.例4 半径为2的圆O 上有三点A ，B ，C ，满足++0OA AB AC =，点P 是圆内一点，则++PA PO PB PC ⋅的取值范围是（ ）A . [)4,14-B . (]4,14-C . [)4,4-D . (]4,4-【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可. 【解析】由++0OA AB AC =得+AB AC AO = 在平行四边形ABOC 中，OB OC =， 故易知四边形ABOC是菱形，且BC =设四边形ABOC 对角线的交点为E由极化恒等式得222114PA PO PE AO PE ⋅=-=-222134PB PC PE BC PE ⋅=-=-所以2++24PA PO PB PC PE ⋅=- 因为P 是圆内一点，所以03PE ≤<所以242414PE -≤-<，即4++14PA PO PB PC -≤⋅<，选A .例5 在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠AC B 为钝角，M ，＝1，若CM CN ⋅的N 是边AB 上的两个动点，且MN 最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ．【分析】取MN 的中点P ，由极化恒等式将“CM CN ⋅的最小值为34”转化为AB 边上的PA PB⋅[8-高CH =1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=- ∵CM CN ⋅的最小值为34∴min 1CP =由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH =1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1358-.例6 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A ．161655+ B ．16855+ C ．165D ．565【答案】D【解析】设BC 中点为D ，则22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=-，又因为max 49555PD AD r =+=+=，所以()max8156555PB PC =-=， 故选：D.例7 正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是四边形11AA D D 内一点（包含边界），且34FE FD ⋅=-，当三棱锥F AED -的体积最大时，EF 与平面11ABB A 所成H角的正弦值为（ ） A ．23B ．53C ．255D ．52【答案】A【分析】由条件34FE FD ⋅=-及极化恒等式入手，设DE 的中点为G ，则222153444FE FD FG DE FG ⋅=-=-=-，所以212FG =，故点F 的轨迹是以G 为球心，22为半径的球被面11AA D D 所截得的半圆，当点F 在半圆弧的最高点时，三棱锥F AED -的体积最大，此时易求得EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23. 【解析】设DE 的中点为G ，则由极化恒等式得222153444FE FD FG DE FG ⋅=-=-=-，所以212FG =， 故点F 的轨迹是以G 为球心，22为半径的球被面11AA D D 所截得的半圆， 当点F 在半圆弧的最高点时，三棱锥F AED -的体积最大， 此时易求得EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23.【巩固练习】1. 如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 .ABCD P ABCD 3,4PA PC ==6AC =PB PD ⋅3.若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________.4.已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________．5.在中，已知，，则面积的最大值是 ．6.已知单位向量PA ，PB ，PC 满足2330PA PB PC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A ．89B ．23C ．59D ．17. 已知2OA OB ==，且向量OA 与OB 的夹角为120°，又1PO =，则AP BP ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]3,3-8.已知平面向量,a b c ,满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，22b c -=，那么b c ⋅的最小值为________．9.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．10.在ABC ∆中，︒=∠==60,4,3BAC AC AB ，若P 是ABC ∆所在平面内的一点，且2=AP ，则PC PB ⋅的最大值为_____.11.已知点P 是边长为32的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PB PA ⋅的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN → 的最小值为__________. 13.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当P A → ·PC →取得最小值时，sin ∠P AC 的值为________．14.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足P A → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．15.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC → ＋BC →2的最小值是__________．16.在半径为1的扇形AOB 中，若∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．ABC ∆2BC =1AB AC •=ABC ∆ABC ∆6B π∠=BA BC ⋅17. 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．18. 已知球O 的半径为1， ,A B是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案或提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由224BD AB AD OA ⋅=-得=8BD ，2294BD BC DC OC ⋅=-=.2.【答案】 【提示】设矩形的对角线交点为O ，由222222346942AC PA PC PO PO +-⋅=-=-=，得272PO =，227119422BD PB PD PO ⋅=-=-=-.3.【答案】98-【解析】根据极化恒等式得：2228(2)(2)(2)99⋅=+--=+--≥a b a b a b a b ，故98⋅≥-a b ，所以⋅a b 的最小值为98-．4.【答案】－54【提示】 由a ·e ＝1，b ·e ＝－2得: a ·e －b ·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b |cos θ＝3 a ·b=14[|a ＋b |2－|a －b |2]≤－54 5.112-【提示】取BC 的中点为D ，则224BC AB AC AD •=-，所以2AD =因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值． 6.【答案】A【解析】∵2330PA PB PC ++=，∴23PB PC PA +=-， 如图，设BC 中点为D ，则()1123PD PB PC PA =+=-，且1PA PB PC ===， ∴,,P A D 三点共线，PD BC ⊥，1133PD PC ==，43AD =， ∴ABC 为等腰三角形， ∴22223CD PC PD =-=， ∴22224228339AB AC AD CD ⎛⎫⎛⎫⋅=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 7. 【答案】C【解析】连结A B 、，则=23AB 设AB 的中点为T ， 由222134PT AB PT AP BP ⋅==--，易知02PT ≤≤，所以2331PT -≤-≤ 故31AP BP -≤⋅≤，故选：C 8.【答案】58【解析】由12a b ⋅=，2a c ⋅=得23a b a c ⋅⋅=+，即(23a b c ⋅+)= 又(22cos a b c a b c θ⋅+)=+（其中θ为向量a 与2b c +的夹角） 所以32cos b c θ+= 所以2221195(2)(2)488cos 8b c b c b c θ⎛⎫⎡⎤⋅=+--=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭. ABC ∆29.【答案】 10.【答案】10237+ 【提示】方法同上. 11.【答案】[]3,6-12.【答案】716-13.【答案】392614.【答案】31,31⎡⎤-+⎣⎦15.【答案】4316.【解析】如图，取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →则PD 2则OD 2则PD 2则14则即求PD 的最小值．由图可知，当PD ⊥OB 时，PD min ＝34， 则OP →·BP →的最小值是－116.17.【答案】[0,2]【解析】 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]． 18.【答案】B【解析】设,A B 的中点为C ，则12OC =33,32⎛⎤+ ⎥⎝⎦由极化恒等式得22213·44 PA PB PC AB PC=-=-因为12OC=，点P是球面上任意一点所以13 22PC≤≤所以13·,22PA PB⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,故选B.。
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备不等式综合(含解析).doc
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备不等式综合（含解析）【考点导读】能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1.假设函数()()()()22112,022x f x x x g x x x -⎛⎫=+>=≠ ⎪-⎝⎭，那么()f x 与()g x 的大小关系是()()f x g x >2.函数()()22f x a x a =-+在区间[]0,1上恒为正，那么a 的取值范围是0＜a ＜23.当点(),x y 在直线320x y +-=上移动时，3271x y z =++的最小值是74.f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，那么f (x )·g (x )＞0的解集是22,,22b b a a ⎛⎫⎛⎫⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，那么x 的取值范围是x ＞3或x ＜－1 【范例导析】例1、集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q〔1〕假设φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。
〔2〕假设方程()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围。
分析：问题〔1〕可转化为2220ax x -+>在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解；从而和问题〔2〕是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数. 解：〔1〕假设φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解xx a 222+->∴ 令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u 所以a>-4,所以a 的取值范围是{}4->a a〔2〕方程()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解那么0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解2121122222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴x x x a当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 时，()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解点拨：此题用的是参数分离的思想例 2.f (x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，假设m 、n ∈[—1，1]，m+n ≠0时有()().0>++nm n f m f 〔1〕判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论； 〔2〕解不等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ； 〔3〕假设f (x)≤122+-at t 对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立，求实数t 的取值范围、上为增函数、〔2〕∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-123,1121,1111,1211x x x x x x 由此解得 〔3〕由(1)可知：f 〔x 〕在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x ∈[—l ，1]，恒有f 〔x 〕≤1、所以要使f 〔x 〕≤122+-at t ，对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立， 即要122+-at t ≥1成立，故at t 22-≥0成立、记g(a )=at t 22-对a ∈[—1，1]，g(a )≥0恒成立，只需g(a )在[—1，1]上的最小值 大于等于零、 故()()⎩⎨⎧≥-≤⎩⎨⎧≥>.010010g t g t ，或，， 解得：t ≤—2或t=0、 点拨：一般地，假设()[],,y f x x a b =∈与()[],,y g t t m n =∈假设分别存在最大值和最小值，那么()()f x g t ≤恒成立等价于()()max min f x g x ≤.例3.甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，汽车每小．．时的运输成本．．．．．．〔以元为单位〕由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元、〔1〕把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域； 〔2〕为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解 解：〔1〕依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为 )(2bv vas v s bv v s a y +=⋅+⋅=、故所求函数为)(bv bas y +=，定义域为)0(c v ，∈、〔2〕由于v b a s 、、、都为正数，故有bv bas bv v a s ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv vas 2)(≥+、 当且仅当bv va=，即b a v =时上式中等号成立、 假设c b a ≤时，那么bav =时，全程运输成本y 最小； 当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv vas v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc cas y +=、综上可知，为使全程运输成本y 最小，在c b a ≤时，行驶速度应为b a v =； 在c ba≤时，行驶速度应为c v =、 点拨：此题主要考查建立函数关系式、不等式性质〔公式〕的应用、也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题、 反馈练习： 1.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，那么使0)(<x f 的x 的取值范围是),0(+∞2.一个直角三角形的周长为2P ，其斜边长的最小值122+P3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差d 的取值范围是833d <≤ 4.如果函数213log (23)y x x =--的单调递增区间是(-∞，a ]，那么实数a 的取值范围是____a <-1____5.假设关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，那么实数m 的取值范围为(,3]-∞-6.设实数m ,n ,x ,y 满足ny mx b y x a n m +=+=+则,,2222的最大值ab7、关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，那么a 的取值范围是［－2，2］8.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围13-<>x x 或9..三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路、甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”、乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”、 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”、参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是a ≤1010.设曲线cx bx ax y ++=23213在点x 处的切线斜率为()x k ，且()01=-k ,对一切实数x ，不等式()()1212+≤≤x x k x 恒成立〔0≠a 〕.(1)求()1k的值；(2)求函数()x k 的表达式.解：〔1〕设()c bx ax x k ++=2，()()1212+≤≤x x k x , ()()1112111=+≤≤∴k ,()11=∴k (2)解：⎩⎨⎧==-1)1(0)1(k k ⎩⎨⎧+=+-10b a c b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2121c a b x c x ax ≥++∴212,161,0441,0212≥∴≤-=∆≥+-ac ac c x ax ， 又()16142=+≤c a ac ，即41,161,161161==∴=∴≤≤c a ac ac ()()22141412141+=++=∴x x x x k 11.二次函数f (x)=()0,,12>∈++a R b a bx ax且,设方程f (x )=x 的两个实根为x 1和x 2、〔1〕如果x 1<2＜x 2<4，且函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证：x 0＞—1； 〔2〕如果∣x 1∣<2，∣x 2—x 1∣=2，求b 的取值范围、 解：(1)设g(x)=f (x)—x=()()0242.011212<<<<>+-+g x x a x b ax得，由，且，且g(4)>0，即,81,221443,221443,03416,0124>-<--<<-∴⎩⎨⎧<-+<-+a a a a b a b a b a 得由∴.1814112,4112832-=⋅->-=->->-ab x a a b a 故〔2〕由g(x)=()同号、可知2121,01,011x x ax x x b ax ∴>==+-+、 ①假设0<x 1<2，那么x 2一x 1=2，即x 2=x 1+2>2，∴g(2)=4a +2b —1<0， 又()()()，负根舍去，得01112441222212>+-=+=--=-a b a aa b x x ，代入上式得();41,231122<-<+-b b b 解得②假设-2<x 1<0，那么x 2=－2+x 1<-2，∴g 〔-2〕<0，即4a －2b +3<0，同理可求得47>b 、 故当0<x 1<2时，41<b ；当-2<x 1<0时，47>b 、 12.A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为vkm/h(8<v 0v ≤)，假设船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v 0应为多少？分析：此题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间表达了分类讨论这一重要的数学思想，此题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。
专题08 隐零点问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版)
专题08 隐零点问题有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题.类型一 根据隐零点化简求范围典例1. 已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =(其中e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3. （1）求实数a 的值； （2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； 【答案】3【解析】解析：（1）()'1ln f x a x =++，由()3f e =解得1a =； （2）()ln f x x x x =+，()ln ()11f x x x xk g x x x +<=--，22ln '()(1)x xg x x --=-，令()2ln h x x x =--，有1'()10h x x=->，那么()(1)1h x h >=-. 不妨设0()0h x =，由(3)0h <，(4)0h <，则可知0(3,4)x ∈，且00ln 2x x =-. 因此，当()0h x >时，()'0g x >，0x x >；当()0h x <时，()'0g x <，0x x <； 即可知[]000000min 00(ln 1)(1)()()11x x x x g x g x x x x +-====--，所以0k x ≤，得到满足条件的k 的最大正整数为3.类型二 根据隐零点分区间讨论典例2 已知函数2()2ln (0)f x x t x t =->，t 为何值时，方程()2f x tx =有唯一解. 【答案】(,0){1}-∞ 【解析】222ln 22(ln )x t x tx t x x x -=⇔+=， 当ln 0x x +=时，有t R ∈； 设()ln u x x x =+，1'()10u x x =+>；又(1)10u =>，11()10u e e=-<，不妨设00ln 0x x +=， 则可知01(,1)x e∈. 当ln 0x x +≠时，得到22()ln x t g x x x=+； 2222ln (12ln )'()(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x -+-+==++， 令()12ln g x x x =-+，易知(1)0g =，且1x >时，()0g x >；1x <时，()0g x <；综上可知()g x 在区间00(0,),(,1)x x 上为减函数，在区间(1,)+∞上为增函数；画图函数图像：因此，可知所求t 的范围为(,0){1}-∞.类型三 根据隐零点构造新函数典例3 已知函数()21x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】1(,]2-∞【解析】()'12x f x e ax =--，首先，当0a ≤时，在[0,)+∞上()'0f x ≥恒成立，则有()()00f x f ≥=． 其次，当0a >时，令()x g x e =，()21h x ax =+，由题1可知，当021a <≤，即102a <≤时，()()g x h x ≥．此时()'0f x ≥,同样有()0f x ≥．再者，当12a >时，函数()y g x =与()y h x =相交于点()0,1和()00,x y ．同时，当()00,x x ∈时，()'0f x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >. 即可知()()02000min1x f x f x e x ax ⎡⎤==---⎣⎦，将0012x e ax =+代入得到：()00000112x x e f x e x x -=---⋅ ()00x >，令()112x xe F x e x x -=---⋅()0x >，则()()11'2x e x F x --=． 又由变式2可知()1xx e-+-≤，那么()1'02x x e e F x -⋅-≤≤，即()F x 在区间()0,+∞上递减，因此有()()000f x f <=，与()0f x ≥矛盾，故12a >不合题意． 综上可知，满足题意的实数a 的取值范围为1(,]2-∞．1．已知函数 ， .（ 且为常数， 为自然对数的底） （1）讨论函数 的极值点个数；（2）当 时， 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）当 时，无极值点；当 时，有且仅有1个极值点；（2） 【解析】（1） 的定义域为 ，，因为函数 在 上恒成立， 所以函数 在区间 上单调递增，且值域为 ， ①当 时， 在区间 上恒成立， 即 ，故 在 上单调递增， 所以无极值点； ②当 时，方程 有唯一解，设为 ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 所以 是函数 的极小值点， 即函数 只有1个极值点.（2）当 时，不等式 对任意的 恒成立， 即 对任意的 恒成立，即对任意的恒成立，记，，记，因为在恒成立，所以在上单调递增，且，，所以存在使得，且时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增；. 所以，即，又因为，，，所以，因此，所以，解得.综上，实数的取值范围是.2．已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.【答案】(1) (2) 三个零点【解析】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，，时，递减，时，，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，，一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点. 另一方面，，设，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得，令，则，①当时，递减，则，而，故；②当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有：，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.3．已知函数，.（Ⅰ）令①当时，求函数在点处的切线方程；②若时，恒成立，求的所有取值集合与的关系；（Ⅱ）记，是否存在，使得对任意的实数，函数在上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数，若不存在，请说明理由.【答案】（1）①；②见解析；（2）2【解析】（1）①由题意，可得，则，所以，所以在处的切线方程为②由，即则，，因为在上单调递减，所以，存在，使得，函数在上单调递增，在上单调递减，，由得，，∴，所以的所有取值集合包含于集合.（Ⅱ）令，（1），，由于，，，，，由零点存在性定理可知，，函数在定义域内有且仅有一个零点.（2），，，，，同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点.（3）假设存在，使得，则，消，得.令，，所以单调递增.∵，，∴，此时，所以满足条件的最小正整数.4．已知函数（为自然对数的底数）．（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵，∴，令，则，所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，∴，．（2）∵对任意恒成立，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立．令，则．由于，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．即在单调递减，在上单调递增．∴．又，即，∴．∴．∵，∴．又∵对任意恒成立，∴，又，∴．5．己知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】（1）解：因为，函数的定义域为，所以．当时，，所以函数在上单调递增．当时，由，得（负根舍去），当时，，当时，，所以函数在上单调递减；在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）先求的取值范围：方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数有两个零点，首先，解得．因为，且，下面证明．设，则．因为，所以．所以在上单调递增，所以．所以的取值范围是．方法2:由，得到．设，则．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以由．因为时，，且，要使函数有两个零点，必有．所以的取值范围是．再证明：方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，即证．即证，即证．因为，所以即证，或证．设，．即，．所以．所以在上单调递减，所以．所以．方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，需证．即证，即证．因为，所以即证．设，则，．所以在上单调递减，所以．所以．方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．要证，需证．只需证．即证，即证．即证．因为，所以，即．所以．而，所以成立．所以．方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．由已知得即．先证明，即证明．设，则．所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．所以有．即．因为（），所以，即．所以．方法5:要证，其中，，即证．利用函数的单调性，只需证明．因为，所以只要证明，其中．构造函数，，则．因为（利用均值不等式），所以在上单调递减．所以．所以在上恒成立．所以要证的不等式成立．6．已知函数．（无理数）（1）若在单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，证明：当时，．（参考数据）【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）在单调递增，在（1，＋∞）恒成立，设h（x）＝（x＋x2）e x－1－，由题意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x）＝e x－1（x2＋3x＋1），当x∈（1，＋∞）时，x2＋3x＋1＞0，故h'（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）单调递增，所以h（x）＞h（1）＝2－，故2－≥0，≤2，综上∈（－∞，2]．（2）当＝0时，f（x）＝xe x－1，g（x）＝e x－x2－x，g'（x）＝e x－2x－1，设m（x）＝e x－2x－1，则m'（x）＝e x－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，当x∈（0，ln2）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，当x∈（ln2，＋∞）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增．因此m（x）≥m（ln2）＝e ln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，又g'（0）＝0，，故存在x0∈（ln2，），使g'（x0）＝0，即，．当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，，由于x0∈（ln2，），函数单调递减，故所以，当x＞0时，．7．已知函数（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若，在区间上是否存在，使，若存在求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为极小值为3，无极大值(2)见解析【解析】（1）当时，，且时，时，有极小值故函数的单调递减区间为，单调递增区间为极小值为3，无极大值.（2）时，，时为函数的唯一极小值点又，当时在区间上若存在，使，则，解得当时，在为单调减函数，，不存在，使综上所述，在区间上存在，使，此时8．已知函数(1)若=1时，求函数的最小值；(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）0 （2）0【解析】解：（1）,,则，当时，，函数单调递减，当时，为增，在处取最小值0.（2）由，得2，∴当时，2函数在0，上单调递减，∴当时，在0，上最多有一个零点.∵有两个零点，∴ .令2，，显然有一正根和一负根，∴在0，上只有一个零点，设这个零点为，当时，；当x，时，；∴函数在上单调递减，在x，上单调递增，要使函数在0，上有两个零点，只需要函数的极小值，即,22，2可得在0，上是增函数，且 ，∴ 0由，得∴0 2 2,即0 .9．设函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的单调区间；（2）若，，求证：无零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）若，则，.当时，，单调递减，当时，，单调递增.的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由可知，，当时，，显然没有零点；当时，设，，在单调递增，又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，∴h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为x0，则x0a，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x）的最小值为g（x0）alnx0，∵x0a，∴﹣1，两边取对数可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，∴g（x0）a（lna+1﹣x0）ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（当且仅当x0＝1时取等号），令m（a）＝a﹣alna，则m′（a）＝﹣lna，∴当a∈（0，1）时，m′（a）＞0，当a∈（1，e]时，m′（a）＜0，∴m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减．∴当0＜a≤e时，m（a）≥0，当且仅当a＝e时取等号，由x0a可知当a＝1时，x0＝1，故当a＝e时，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，∴g（x0）＞0．∴当0≤a≤e时，g（x）没有零点．10．已知函数（其中是自然对数的底数，，）在点处的切线方程是.（I）求函数的单调区间；（II）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）递减区间为，单调递增区间为；（II）【解析】（I）由条件可知，对函数求导得，于是，解得.所以，，令得，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故函数的单调递减区间为，单调递增区间为（II）由（I）知，解法1：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可..令，则，所以在上单调递增，又，，所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增，因，两边同时取自然对数，则有，即，构造函数，则，所以函数在上单调递增，因，所以，即，所以，即，于是实数的取值范围是.解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.先证明，令，则.于是当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）.所以当时，有，所以，即，当且仅当时取等号，于是实数的取值范围是.。
巧用极化恒等式,妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
4a b (a b) (a b)
2
2
极化恒等式的几何意义：
(a b) 2 (a b) 2 a b 4
设OA ＝a, OB b, D为AB的中点，即点 C的轨迹是 以D为起点，以
例4
数量积有关的范围问题
点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1 D1 的底面 A1B 1C 1D1 1 ， 1 上的一点，则 PA PC 的取值范围为 2 .
A
. M B
.P
D1
在ABC中，点 E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上， 若ABC的面积为 2，则 PC PB BC 的最小值是
2 2 1 取BC的中点 D，在 PBC内使用恒等式得： PC PB ＝PD －BD ＝ | PD | 2 | BC | 2 , 4 4 2 2 因为 ABC的高 h , PBC的高为 , 从而 | PD | , | BC | | BC | | BC | 3 4 3 2 从而原式 | PD | 2 | BC | 2 | BC | 2 3 2 4 4 | BC |
解二：建系： AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴，设 AB 4 ， C (a, b), P( x,0) 则 A(2,0), B(2,0), P0 (1,0)
(2 x)(a x) a 1恒成立，即 x 2 (a 2) x a 1 0 在 2 x 2 恒成立， a 2 0 ，即点 C 在 AB 的中垂线上， CA CB 。
极化恒等式-教师版
极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（ ）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−， 故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角， 在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)， 所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（ ）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ． 【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则， 当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2， 所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________． 解： 由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是 ．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________． 【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角） 所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。
2019年浙江省高考冲刺压轴数学试卷及答案解析 (1)
2019浙江省高考压轴卷数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Sh h 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高1.若集合P={y|y ≥0}，P ∩Q=Q ，则集合Q 不可能是（ ）A ．{y|y=x 2，x ∈R}B ．{y|y=2x，x ∈R}C ．{y|y=lgx ，x ＞0}D ．∅2.抛物线y=﹣2x 2的准线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．4.若存在实数x ，y 使不等式组与不等式x ﹣2y+m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥3 5.不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-1x 21|xB ．{x|x ＞1}C ．{x|x ＜1或x ＞2}D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<1x 21x |x 或6.在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于（ ） A ．2n+1﹣2B ．3nC ．2nD ．3n ﹣17.定义在R 上的奇函数f （x ）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f （﹣1）=0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8.随机变量X 的分布列如下表，且E （X ）=2，则D （2X ﹣3）=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.已知平面α∩平面β=直线l ，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，且A ，B ，C ，D ∉l ，点M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．（ ）A ．当|CD|=2|AB|时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行10.设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019年江苏省高考冲刺压轴卷 数学试题及解析(Word版,解析版)
2019江苏省高考压轴卷数 学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、KS5U 解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ． 6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且AB ＝点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+（﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x （f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.KS5U 解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把KS5U 答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值；（2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞），短轴长为． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为3，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值； （3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答．KS5U 解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值． （2）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-．（1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．2019年江苏省高考压轴卷 数学1．【答案】{1，2，4，5} 【解析】解：A ∩B ＝{3}， 则∁U （A ∩B ）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}， 2．【答案】1．【解析】解：∵（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ＝2， ∴1210a a +=⎧⎨-=⎩，即a ＝1．故答案为：1． 3．【答案】60．【解析】解：由题意可知，抽样比为500181009000540045=++．故北乡应抽8100×145＝180，南乡应抽5400×145＝120， 所以180﹣120＝60， 即北乡比南乡多抽60人， 故答案为：604．【答案】31]． 【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量123030x x x y xx ⎧+->⎪=⎨⎪≤⎩的值， 由于当x ＞0时，123y x x+≥＝﹣3， 当x ≤0时，y ＝3x∈（0，1]，则输出y的取值范围是31]．故答案为：31]． 5．【答案】-4．【解析】解：∵函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，f （m ）＝﹣6，∴当m ＜3时，f （m ）＝3m ﹣2﹣5＝﹣6，无解；当m ≥3时，f （m ）＝﹣log 2（m +1）＝﹣6， 解得m ＝63，∴f （m ﹣61）＝f （2）＝32﹣2﹣5＝﹣4．故答案为：﹣4． 6．【答案】34． 【解析】解：∵f （x ）＝sin （x ﹣1），p ∈{1，3，5，7}，f （1）＝sin0＝0， f （3）＝sin2＞0， f （5）＝sin4＜0， f （7）＝sin6＜0，∴f （p ）≤0的概率为p ＝34． 故答案为：34． 7．【答案】1．【解析】解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象，可得12521212πππω⋅=+，∴ω＝2， 再根据五点法作图可得2012πφ⋅+=，求得6πφ=-，∴函数f （x ）＝2sin （26x π-），∴f （76π）＝2sin （736ππ-）＝2sin 136π＝2sin 6π＝1， 故答案为：1．8．【答案】x 2+（y ﹣3）2＝10． 【解析】解：P （3，4）为C 上的一点， 所以91612m -＝，解得m ＝1， 所以A （﹣1，0）B （1，0）， 设△PAB 的外接圆的圆心（0，b ）， 则1+b 2＝32+（b ﹣4）2，解得b ＝3，则△PAB 的外接圆的标准方程为x 2+（y ﹣3）2＝10． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝10．9．【答案】{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤x ≤﹣4}． 【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |， 此时若有f （x ）≤2，即20|3|2x x x ≥⎧⎨-≤⎩，解可得0≤x ≤1或2≤x≤32，即此时f （x ）≤2的解集为{x |0≤x ≤1或2≤x≤32+}， 又由f （x ）为偶函数，则当x ≤0时，f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤0≤x ≤﹣2}，综合可得：f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤1或2≤xx ≤﹣2}； 则不等式f （x ﹣2）≤2的解集{x |﹣3≤x ≤1或0≤x或﹣72≤x ≤﹣4}； 故答案为：{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤12或﹣72≤x ≤﹣4}． 10．【答案】2e． 【解析】解：函数f （x ）＝alnx 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝ax ，g ′（x， 设曲线f （x ）＝alnx 与曲线g （x公共点为（x 0，y 0），由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，a ＞0． 由f （x 0）＝g （x 0），可得0alnx联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得2e a =．故答案为：2e．11．【答案】5．【解析】解：取AB 的中点M ，连OM ，则OM ⊥AB ，∴|OM |1===，即点M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．∴|PA PB |2||PM +=，设点O 到直线3x +4y ﹣15＝0的距离为3d ==，所以2|PM |≥2d ﹣1＝6﹣1＝5（当且仅当OP ⊥l ，M 为线段OP 与圆x 2+y 2＝1的交点时取等） 故答案为：5．12．【答案】4． 【解析】解：由题意得1211232323acsin asin csin πππ+＝， 即ac ＝a +c ， 得+＝1，得a +c ＝（a +c ）（1a +1c）＝22224c a a c ++≥+=+=， 当且仅当a ＝c 时，取等号， 故答案为：413．【答案】13342n n+--．【解析】解：点D 为△ABC 的边BC 上一点，2,2()n n n n BD DC E D E B E C E D =-=- ∴3122n n n E C E D E B =-又322n n n n E A E C E D E B λλλ==-， 1141345n n a a +-=-⨯-，∴134541n n a a +--=-，14434414141n n n n a a a a +--=-=--，11141131,441111n n n n n n n a a a a a a a ++---===+----，，∴11123(2)11n n a a ++=+--， ∴1123,3 2.11n n n n a a +==---，13(13)3342132n n n n S n +⨯---=-=-．故答案为：13342n n+--．14．已知函数f （x ）＝，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ． 【答案】34．【解析】解：∵x ＝0∈A ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出f （x ）的图象如下图：当x ＞0时，f （x ）≥m ；当x ＜0时，m ≥f （x ）．即y 轴左侧的图象在y ＝m 下面，y 轴右侧的图象在y ＝m 上面， ∵f （3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f （4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f （﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4， f （﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y ＝a ，由图可知：当﹣24＜a ≤﹣9时，A ＝{1，2，3}，符合题意；a ＝0时，A ＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数m的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故答案为：34．15．【答案】见解析.【解析】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BC中点，∴MN∥A1C，∵A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M．解：（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，平面AB1M⊥平面B1BCC1，且交线为B1M，BP⊂平面AB1M，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，又BP∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC．16．【答案】（1）49．（2）14． 【解析】解：（1）∵已知12(,),(0,cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),，∴sinαβ=（﹣∴22249sinsin cos αβαβαβ（﹣）＝（﹣）（﹣）＝． （2）[]2cos cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ++++＝（）（﹣）＝（）（﹣）-（）（﹣2111321272714cos α-⋅-=-=﹣，求得14cos α，或14cos α＝-（舍去），综上，cos α 17．【答案】（1）S ＝12a 2tan θ，θ∈（0，2π）；22(sin )(sin cos 1)a T θθθ=+，θ∈（0，2π）；（2）49． 【解析】解：（1）由题意知，AC ＝a tan θ， 所以△ABC 的面积为：S ＝12AC •BC ＝12a 2tan θ，其中θ∈（0，2π）； 又DG ＝GF ＝BG sin θ＝cos cos CG a BGθθ-=， 所以BG ＝sin cos 1aθθ=+，DG sin sin cos 1a θθθ=+，所以正方形DEFG 的面积为：2T DG ＝=22(sin )(sin cos 1)a θθθ+，其中θ∈（0，2π）； （2）由题意知22sin cos (sin cos 1)f θθθθθ+（）＝，其中θ∈（0，2π）， 所以21sin cos 2sin cos f θθθθθ++（）＝；由sin θcos θ＝12sin2θ∈（0，12]，所以15sin cos sin cos 2θθθθ+≥，即f （θ）≤49，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝4π时“＝”成立；所以f （θ）的最大值P 为49．18.【答案】（Ⅰ）22142x y +＝；（Ⅱ）2k =±.【解析】解：（Ⅰ）由题意可得22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝2，b，c，∴椭圆C 的方程为22142x y +＝. （Ⅱ）易知椭圆左顶点A （﹣2，0），设直线l 的方程为y ＝k （x +2），则E （0，2k ），H （0，﹣2k ），由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨⎪⎩+＝消y 可得（1+2k 2）x 2+8k 2x +8k 2﹣4＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， ∴△＝64k 4﹣4（8k 2﹣4）（1+2k 2）＝16则有x 1+x 2＝22812k k -+，x 1x 2＝228412k k -+，∴x 0＝12（x 1+x 2）＝﹣22412k k +，y 0＝k （x 0+2）＝2212kk+， ∴0012OP y k x k=-＝， ∴直线EM 的斜率k EM ＝2k ，∴直线EM 的方程为y ＝2kx +2k ，直线AH 的方程为y ＝﹣k （x +2）， ∴点M （43-，23k ）， ∴点M 到直线l ：kx ﹣y +2k ＝0的距离4||k d ，∴|AB |=，∴12AP AB ＝，∴2244|k ||k |113•2212123APM S AP d k k ∆⋅==++＝＝解得k =19.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-；（2）0x =（3）见解析【解析】（1） 当3a =时，函数()212ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，. 则()22x 3x 2f x x 3x x-+=+-='，令()f x 0'=得，1x =或2x =．列表：所以函数的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-． （2）依题意，切线方程为()()()0000y f x x x f x (x 0)=-+>'， 从而()()()0000g(x)f x x x f x (x 0)+'=->， 记()()()p x f x g x =-，则()()()()()000p x f x f x f x x x =---'在()0+∞，上为单调增函数， 所以()()()0p x f x f x 0=-''≥'在()0+∞，上恒成立， 即()022p x xx 0x x +-'=-≥在()0+∞，上恒成立．变形得0022x x x x +≥+在()0+∞，上恒成立 ，因为2xx +≥=x =， 所以002x x +，从而(20x 0≤，所以0x（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点()111T x y ，，()222T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：()()()111y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：()()()222y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以()()()()()()12111222f x f x {x x f x x x f x .f f ''''=-=-，即121222111111222221222x x x x { 12122x x x x x a2x x x x x a .2x 2x a a ln a ln a +-=+-⎛⎫⎛⎫+--+-=+--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，12221122x x 2{ 112x x 2x x .22ln ln =-=-，消去2x 得，221121x x 22ln02x 2+-=．令21x t 2=，由120x x <<与12x x 2=，得()01t ∈，，记()1p t 2lnt t t =+-，则()()222t 121p t 10t t t -=--=-<'， 所以()p t 为()01，上的单调减函数，所以()()p t p 10>=． 从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．20．【答案】（Ⅰ）l （P ）＝5． l （Q ）＝6；（Ⅱ）证明见解析； （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．【解析】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4＝6，2+6＝8，2+8＝10，4+6＝10，4+8＝12，6+8＝14，得l （P ）＝5．由2+4＝6，2+8＝10，2+16＝18，4+8＝12，4+16＝20，8+16＝24，得l （Q ）＝6．（5分） （Ⅱ）证明：因为a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）最多有2(1)2n n n C -=个值，所以(1)()2n n l A -≤． 又集合A ＝2，4，8，，2n，任取a i +a j ，a k +a l （1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n ）， 当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i +a j ＜2a j ＝2j +1≤a l ＜a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j ＝l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i ＝k ，j ＝l 时，a i +a j ＝a k +a l ． 即所有a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）的值两两不同， 所以(1)()2n n l A -=．（9分） （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1+a 2＜a 1+a 3＜…＜a 1+a n ＜a 2+a n ＜…＜a n ﹣1+a n ， 所以a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中至少有2n ﹣3个不同的数，即l （A ）≥2n ﹣3． 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列， 考虑a i +a j （1≤i ＜j ≤n ），根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j ＝a 1+a i +j ﹣1； 当i +j ＞n 时，a i +a j ＝a i +j ﹣n +a n ；因此每个和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）等于a 1+a k （2≤k ≤n ）中的一个， 或者等于a l +a n （2≤l ≤n ﹣1）中的一个．所以对这样的A ，l （A ）＝2n ﹣3，所以l （A ）的最小值为2n ﹣3． 21．A ．选修4—1：几何证明选讲 【答案】证明见解析. 【解析】证明：因为CD 为圆的切线，弧所对的圆周角为BAC ∠，所以 BCD BAC ∠=∠． ① 又因为为半圆的直径，所以90ACB ∠=︒．又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠． ② 由①②得ABC CBD ∆∆∽， 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换 【答案】40=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则40102MN ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 因为10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则110=02N -⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以矩阵401040=1020102M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C ．选修4—4：坐标系与参数方程【解析】将直线l 的参数方程为2{2x t y t ==--化为方程：240x y ++=圆的方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标系方程：()24cos sin ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，()()22228x y -++=，其圆心()2,2-，半径为∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线l 被圆C 截得的弦长为5= D ．选修4—5：不等式选讲 【答案】3 【解析】因3x y z xyz ++=，所以1113xy yz xz++=， 又2111()()(111)9xy yz xz xy yz xz++++≥++=， 3xyyz xz ++≥，当且仅当1x y z ===时取等号，所以xy yz xz ++的最小值为3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．KS5U解析应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.【答案】（1）5；（2）5． 【解析】解：（1）因为AD ∥BC ，所以∠DAP 或其补角就是异面直线AP 与BC 所成的角， 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD⊥PD ， 在Rt △PDA 中，AP ==cos ∠DAP ＝AD AP= 所以，异面直线AP 与BC（2）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．∵AD ⊥PD ，AD ∥BC ，∴PD ⊥BC ， 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ， ∴PD ⊥平面PBC ，∴∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC ﹣BF ＝2． 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF中，可得DF =在Rt △DPF 中，sin ∠DFP＝5PD DF =． 所以，直线AB 与平面PBC23. 【答案】（1）0，-2；（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．．【解析】（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =； 当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m ---=++++，奇子集的个数1133()C C C C C C m m m n nn n n n g m --=+++，所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=．当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m --=++++，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn n n n g m ---=+++，所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+．一方面，1220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-，所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n n n n n n -----+-+-+； 另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)n x -中m x 的系数为22(1)C m m n-， 故()F m =22(1)C m mn -． 综上，22(1)C ,()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．。
巧用极化恒等式秒杀高考向量题
巧用极化恒等式秒杀高考向量题冷世平整理说明：由于前几天，大家经常提到极化恒等式，本人便收集整理了一些相关资料，相对较系统，且加入了群里大家讨论的部分题目，由于相当一部分内容非原创，所以只和大家分享一下自己整理的好东西而已，故不作投稿使用。
高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。
1.极化恒等式极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4a b a b a b 2⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。
224()(a b a b a b ⋅=+-- )注：21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣ 2⎤⎦表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦ （如图）在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214a b AM BM AM BC ⋅=-=-2，它揭示了三角形的中线与边长的关系。
此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。
2．极化恒等式的应用自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。
高一数学微专题++妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(解析版)
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2 ②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)【典型例题】题型一：定值问题1(2024·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA ·CA =4，BF ·CF =-1，则BE ·CE 的值是()A.4B.8C.78D.34【答案】C【解析】因为D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以BF =BD +DF ，CF =CD +DF =-BD +DF ，BA =BD +DA =BD +3DF ，CA =CD +DA =-BD +3DF ，所以BF ⋅CF =BD +DF ⋅-BD +DF =DF 2-BD2=-1，BA ·CA =BD +3DF ⋅-BD +3DF =9DF 2-BD2=4，可得DF 2=58，BD 2=138，又因为BE =BD +DE =BD +2DF ，CE =CD +DE =-BD +2DF所以BE ·CE =BD +2DF ⋅-BD +2DF =4DF 2-BD 2=4×58-138=78，故选：C ．2(2024·贵州毕节·统考三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA ⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】依题意，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，则BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC-AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC24=7，BE ⋅CE =12BC -23AD ⋅-12BC -23AD =49AD 2-14BC 2=16FD 2-BC 24=2，因此FD 2=1,BC 2=8，BF ⋅CF =12BC -FD ⋅-12BC -FD =4FD 2-BC24=4×1-84=-1.故选：B .3(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1,AD =2，点E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE=A.32B.-32C.34D.-34【答案】A【解析】取HF 中点O ，则EF ⋅FG =EF ⋅EH =EO 2-OH 2=1-122=34, GH⋅HE =GH ⋅GF =GO 2-OH 2=1-12 2=34，因此EF ⋅FG +GH ⋅HE =32，选A .题型二：范围与最值问题1(2024·山东潍坊·高三统考期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1] B.0,2C.[1，2]D.-1,1【答案】A【解析】如下图所示：考虑P 是线段AB 上的任意一点，PM =PO +OM ，PN =PO +ON =PO -OM ，圆O 的半径长为1，由于P 是线段AB 上的任意一点，则PO∈1,2 ，所以，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2∈0,1 .故选：A .2(2024·陕西榆林·统考三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为()A.-30 B.-27C.-15D.-9【答案】B【解析】由题意，四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，可得∠DAC =60°，在△ABC 中，由余弦定理得到AC =63，连接AC 和BD 交于点O ，则点O 为AC 的中点，连接OA ，OC ，OP ，则PA =PO +OA ，PC =PO +OC =PO -OA，所以PA ⋅PC =PO +OA ⋅PO -OA =PO 2-OA 2=PO2-27≥-27．故选：B .3(2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4 B.1,4C.0,9D.1,9【答案】C【解析】由题可知，AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，∠B =90°，设内切圆半径为r ，则S △ABC =12×3×4=12×3+4+5 r ，解得r =1，设内切圆圆心为O ，因为PQ 是△ABC 内切圆的一条直径，所以OP =1，OQ =-OP ，则MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ =MO -OP ，所以MP ⋅MQ =MO +OP MO -OP =MO 2-OP 2=MO2-1，因为M 为△ABC 边上的动点，所以MO min =r =1；当M 与C 重合时，MOmax =10，所以MP ⋅MQ的取值范围是0,9 ，故选：C题型三：求参问题以及其它问题1(2024·浙江杭州·高一校联考期中)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C.则()A.∠ABC =90°B.∠BAC =90°C.AB =ACD.AC =BC【答案】D【解析】如图，取BC 的中点D ，由极化恒等式可得：PB ⋅PC =PD 2-BD 2 ，同理，P 0B ⋅P 0C =P 0D 2 -BD 2，由于PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则PD ≥P 0D ，所以P 0D ⊥AB ，因为P 0B =14AB ，D 是BC 的中点，于是AC =BC .故选：D .2(2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中)在△ABC 中，AC =2BC =6，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =2，若CM ⋅CN的最小值为3，则cos ∠ACB =．【答案】2-2109【解析】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO ⊥AB 于O ，如图，PM =12MN =1，依题意，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-PM 2=CP 2-1，因CM ⋅CN 的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此CO =2，在Rt △AOC 中，cos ∠OCA =CO CA=13，sin ∠OCA =223，在Rt △BOC 中，cos ∠OCB =CO CB =23，sin ∠OCB =53，所以cos ∠ACB =cos (∠OCA +∠OCB )=cos ∠OCA cos ∠OCB -sin ∠OCA sin ∠OCB =2-2109.故答案为：2-21093(2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)在△ABC 中，AC =2BC =4，∠ACB 为钝角，M ,N 是边AB 上的两个动点，且MN =1，若CM ⋅CN 的最小值为34，则cos ∠ACB =．【答案】1-358【解析】取MN 的中点P ，取PN =-PM ，PN =PM =12，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP +PN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-14，因为CM ⋅CN 的最小值34，所以CP min =1．作CH ⊥AB ，垂足为H ，如图，则CH =1，又BC =2，所以∠B =30°，因为AC =4，所以由正弦定理得：sin A =14，cos A =154，所以cos ∠ACB =cos 150°-A =-32cos A +12sin A =-32×154+12×14=1-358．故答案为：1-358.【过关测试】一、单选题1(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)在△ABC 中，A =90°，AB =4，AC =43，P ，Q 是平面上的动点，AP =AQ =PQ =2，M 是边BC 上的一点，则MP ⋅MQ的最小值为()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】取PQ 的中点N ，则MP =MN +NP ,MQ =MN +NQ =MN -NP ，可得MP ⋅MQ =MN +NP ⋅MN -NP =MN 2-NP 2=MN2-1，∵MN =MA +AN ≥MA -AN ，当且仅当N 在线段AM 上时，等号成立，故MN ≥MA -AN =MA-3 ，显然当AM ⊥BC 时，MA取到最小值23，∴MN ≥MA-3 ≥23-3 =3，故MP ⋅MQ =MN2-1≥3-1=2.故选：B .2(2024·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习)已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为()A.-2 B.-8C.-1D.0【答案】A【解析】如图AB 为棱长为2的正方体外接球的一条直径，O 为球心，P 为正方体表面上的任一点，则球心O 也就是正方体的中心，所以正方体的中心O 到正方体表面任一点P 的距离的最小值为正方体的内切球的半径，它等于棱长的一半，即长度为1，AB 的长为正方体的对角线长，为23，我们将三角形PAB 单独抽取出来如下图所示：PA ⋅PB =(PO +OA )⋅(PO +OB )=(PO +OA )⋅(PO -OA )=PO |2- OA |2=|PO |2-232 2=|PO |2-3，所以PA ⋅PB 的最小值为12-3=-2.故选：A .3(2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)已知点P 在棱长为4的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为( )．A.-8 B.-4C.-1D.0【答案】A【解析】由题意知：正方体的外接球的球心为O ，正方体的外接球的直径AB =42+42+42=43，则O 为AB 的中点，所以OA =-OB，且|OA |=|OB|=23，故PA ⋅PB =(OA -OP )⋅(OB -OP )=OA ⋅OB -(OA +OB )⋅OP +OP 2=-OA 2+OP 2=OP2-12，当OP 与正方体的棱长平行时，此时OP 最小，故OP≥2，所以PA ⋅PB的最小值4-12=-8．故选：A4(2024·贵州贵阳·统考一模)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =π2,BD=2DC ，则AB ⋅AD=()A.9B.18C.6D.12【答案】D【解析】由BD =2DC 可得：DC =13BC ，所以AC -AD =13BC =13AC -AB ，所以AD =13AB +23AC ，AB ⋅AD =AB ⋅13AB +23AC =13AB 2+23AB ⋅AC ，因为AB =6,AC =3,∠BAC =π2，所以AB ⋅AD =13AB 2+23AB ⋅AC =13×36=12.故选：D .5(2024·贵州贵阳·统考模拟预测)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =2π3,BD=2DC ，则AB ⋅AD =()A.18B.9C.12D.6【答案】D【解析】∵BD =2DC =2(BC -BD )，即BD =23BC ，∴AD =AB +BD =AB +23BC =AB +23AC -AB =13AB+23AC ，∴AB ⋅AD =AB ⋅13AB +23AC =13AB 2+23AB ⋅AC =13×62+23×6×3×cos 2π3=6.故选：D6(2024·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习)八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如△ACD )为等腰直角三角形，点O 为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB ⋅AO的值为()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】如图：连接OD因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，所以∠ADO =∠ODB =45°，OD =2，AD=4，∠ADB =90°.所以AB ·AO =AD +DB ·AD +DO =AD 2+AD ·DO +DB ·AD +DB ·DO=42+4×2×cos 3π4+0+2×2cos π4=14.故选：A7(2024·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末)如图，在四边形ABCD 中，AC =4，BA⋅BC =12，E 为AC 中点.BE =2ED ，求DA ⋅DC 的值()A.0B.12C.2D.6【答案】A【解析】∵AC =4，E 为AC 中点，∴AE =CE =2，∵BA ⋅BC =BE +EA ⋅BE +EC =BE +EA ⋅BE -EA =BE 2-EA 2=BE2-4=12，∴BE =4，∴DE =12BE =2，∴DA ⋅DC =DE +EA ⋅DE +EC =DE +EA ⋅DE -EA =DE 2-EA2=4-4=0.故选：A .8(2023·贵州·校联考二模)如图，在平面四边形ABCD 中，AC=4，BA ⋅BC=12，E 为AC 的中点，BE =λED ，DA ⋅DC =-209，则λ的值为()A.2B.3C.43D.32【答案】B【解析】∵AC=4，E 为AC 的中点，∴|AE |=|CE|=2，∵BA ⋅BC =(BE +EA )⋅(BE +EC )=(BE +EA )⋅(BE -EA )=BE 2-EA 2=BE2-4=12，∴|BE|=4，∵BE =λED ,∴|DE |=1λ|BE |=4λ，∴DA ⋅DC =(DE +EA )⋅(DE +EC )=(DE +EA )⋅(DE -EA )=|DE |2-|EA |2=16λ2-4=-209，解得：λ=3.故选：B .9(2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测)已知△ABC 是边长为1的正三角形，BD =2DC ，AB +AC=2AE ，则AE ⋅AD =()A.34B.32C.38D.1【答案】A【解析】由AB +AC =2AE ，可知E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，如图所示：因为BD =2DC ，根据上图可知AD =AE +ED =AE +16BCAE ⋅AD =AE ⋅AE +16BC =AE 2=34故选：A10(2024·四川绵阳·统考二模)如图，在边长为2的等边△ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点(靠近点B )，点F 为BC 的中点，则FE ⋅EC=()A.-34B.-56C.34D.12【答案】B【解析】由已知，BA =2，BC =2，∠ABC =60°，所以BA ⋅BC =BA ⋅BC cos ∠ABC =2×2×12=2.由已知D 是AC 的中点，所以BD =12BA +BC，BE =13BD =16BA +BC ，BF =12BC .所以FE =BE -BF =16BA +BC -12BC=16BA -13BC ，EC =BC -BE =BC -16BA +BC =-16BA +56BC ，所以，FE ⋅EC =16BA -13BC ⋅-16BA +56BC =-136BA 2+736BA ⋅BC -518BC 2=-136×4+736×2-518×4=-56.故选：B .11(2024·江西南昌·高一南昌二中校考开学考试)已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB =120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在线段AB 上(不包含两个端点)，则CM ⋅CN的取值范围是()A.-12,1B.-1,1C.-34,0D.-1,0【答案】C【解析】∵∠AOB =120°，∴点C 在线段AB 上，且OC ∈12,1，∴CM ⋅CN =OM -OC ⋅ON -OC =OM ⋅ON -OM +ON ⋅OC +OC 2=-1+OC 2=-1+OC2，∵OC ∈12,1 ，∴CM ⋅CN ∈-34,0 .故选：C .二、填空题12(2024·黑龙江大庆·高一大庆一中校考期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE的值是.【答案】58【解析】因为BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC -AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC 24=5，BF ⋅CF =12BC -13AD ⋅-12BC-13AD =4FD 2-BC24=-2，因此FD 2=78,BC 2=232，BE ⋅CE =12BC -ED ⋅-12BC -ED =4ED 2-BC 24=16FD 2-BC 24=58.故答案为：58.13(2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,BA ⋅CA =15，BE ⋅CE =5，则BF ⋅CF=.【答案】-1【解析】∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BE =BD +DE =BD +2DF ,CE =-BD +2DF ，BA =BD +3DF ,CA =-BD +3DF ，∴BE ⋅CE =4DF 2-BD2=5，BA ⋅CA =9DF 2-BD 2=15，∴DF 2=2,BD2=3，又∵BF =BD +DF ,CF =-BD +DF ，∴BF ⋅CF =DF 2-BD 2=-1，故答案为：-1．14(2024·江苏盐城·统考一模)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BE ⋅CE =2，BC =2，则BF ⋅CF =．【答案】-14/-0.25【解析】因为BE ⋅CE =BD +DE ⋅CD +DE =BD +DE ⋅-BD +DE=DE 2-BD2=2，又D 是BC 的中点，且BC =2，所以BD =1，代入上式得DE 2=3，所以DE=3，因为E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以DF =32，则BF ⋅CF =BD +DF ⋅CD +DF =BD +DF ⋅-BD +DF =DF 2-BD 2=34-1=-14，故答案为：-14.15(2024·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是.【答案】0,14【解析】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2=PO 2-14，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，OP min =12，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，OP max =22，即12≤OP ≤22，因此，PM ⋅PN =PO 2-14∈0,14.故答案为：0,14.16(2024·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为.【答案】99,148【解析】在BC 上取一点G ，使得BG =4，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则DG =83，GC =8，CD =82+83 2=16，tan ∠BCD =838=3，即∠BCD =60°.BE ⋅BF =14BE +BF 2-BE -BF 2 =142BP 2-FE 2 =BP 2-9，当BP ⊥CD 时，BP 取得最小值，此时BP=12×sin60°=63，所以BE ⋅BFmin =63 2-9=99.当F 与D 重合时，CP =13，BC =12，则BP 2=122+132-2×12×13×12=157，当E 与C 重合时，CP =3，BC =12，则BP 2=122+32-2×12×3×12=117，所以BE ⋅BF max =157-9=148，即BE ⋅BF 的取值范围为99,148 .故答案为：99,14817(2024·全国·高三专题练习)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的最小值为，最大值为.【答案】99148【解析】在BC 上取一点G ，使得BG =4，取EF 的中点P ，连接DG ,BP ，如图所示：则DG =83,GC =8，CD =82+83 2=16，tan ∠BCD =838=3，即∠BCD =60°，BE ⋅BF =14BE +BF 2-BE -BF 2 =142BP 2-FE 2 =BP 2-9，当BP ⊥CD 时，BP 取得最小值，此时BP =12×sin60°=63，所以BE ⋅BF min =63 2-9=99.当F 与D 重合时，CP =13，BC =12，则BP 2=122+132-2×12×13×12=157，当E 与C 重合时，CP =3，BC =12，则BP 2=122+32-2×12×3×12=117，所以BE ⋅BFmax =157-9=148，故答案为：99；148.18(2024·浙江杭州·高二校联考期中)在△ABC 中，AB =4,BC =5,AC =6，点M 为△ABC 三边上的动点，PQ 是△ABC 外接圆的直径，则MP ⋅MQ的取值范围是【答案】-9,0【解析】根据向量关系可得MP ⋅MQ =MO 2-R 2，即判断MO 2-R 2的取值范围即可，由图可知MO 的最大值为R ，最小值为R 2-9.设外接圆的圆心为O ，半径为R ，可得MP ⋅MQ =MO +OP ⋅MO +OQ =MO 2+MO ⋅OP +OQ +OP ⋅OQ =MO2-R 2，∵M 为△ABC 三边上的动点，可知MO的最大值为O 到三角形顶点的距离，即为半径R ，且MO的最小值为O 到AC 边的距离，过O 作OM 0⊥AC ，垂足为M 0，则OM 0 =R 2-32=R 2-9，∴MP ⋅MQ的最大值为R 2-R 2=0，最小值为OM 0 2-R 2==R 2-9-R 2=-9，故MP ⋅MQ的取值范围是-9,0 .故答案为：-9,0 .19(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知正△ABC 的边长为2，PQ 为△ABC 内切圆O 的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为.【答案】0,1【解析】先由正△ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ ，再结合OQ =-OP ，可得到MP ⋅MQ =MO 2-OP 2=MO 2-13，再根据图像利用临界值法，求出MP ⋅MQ的取值范围.如图所示，O 为正△ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在△BDO 中，BD =1，∠OBD =30°，可求得内切圆半径OD =33.又PQ 为圆O 的直径, ∴OQ =-OP，利用向量的线性表示可得，MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ =MO -OP，∴MP ⋅MQ =(MO +OP )(MO -OP )=MO 2-OP 2=MO 2-13，又M 为△ABC 边上的动点，由图可知，当M 为△ABC 边的中点时，MO 最小为33，即MP ⋅MQ min =0；当M 为△ABC 的顶点时，MO 最大为233，即MP ⋅MQ max =1.∴MP ⋅MQ的取值范围为0,1 .故答案为：0,1 .20(2024·全国·高一假期作业)设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C，则三角形ABC 形状为.【答案】C 为顶角的等腰三角形【解析】取BC 的中点D ，连接PD ，P 0D ，如图所示：PB ⋅PC =PD +12BC ⋅PD -12BC =PD 2-14BC 2，同理P 0B ⋅P 0C =P 0D 2-14BC 2，∵PB ⋅PC≥P 0B ⋅P 0C ，∴PD 2-14BC 2≥P 0D 2-14BC 2∴PD ≥P 0D∴P 0D ⊥AB ，设O 为AB 的中点，∴P 0B =12OB ⇒P 0D ⎳OC ⇒OC ⊥AB ,∴AC =BC 即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：C 为顶角的等腰三角形．21(2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测)设直角△ABC ，P 0是斜边AB 上一定点．满足P 0B =16AB =1，则对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则斜边AB 上的高是．【答案】22【解析】取BC 中点D ，则PB ⋅PC =PD +DB PD +DC =PD 2+PD ⋅DC +DB +DC ⋅DB =PD 2-DB 2，同理P 0B ⋅P 0C =P 0D 2-DB 2，又PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，故PD 2≥P 0D 2，即PD ≥P 0D 恒成立，所以DP 0⊥AB .作CE ⊥AB ，则P 0为EB 中点，故EB =2P 0B =2，所以AE =4.又因为直角△ABC ，故CE 2=AE ⋅EB =8，所以CE =22，即斜边AB 上的高是22故答案为：2222(2024·河北保定·高一校联考期中)已知点P 在棱长为1的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为．【答案】-12/-0.5【解析】由题意，正方体外接球的直径AB =3，设点O 为正方体外接球的球心，则O 为AB 的中点，所以OA =-OB 且OA = OB =32，则PA ⋅PB =OA -OP ⋅OB -OP =OA ⋅OB -OA +OB ⋅OP +OP 2=OP 2-322由OP ≥12，所以PA ⋅PB 的最小值为12 2-32 2=-12．故答案为：-1223(2024·天津和平·统考二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，则AD +AB 在AB 上的投影向量为(用AB 表示)；若点M ,N 分别是边BC ,CD 上的点，且满足BM BC =CNCD，则AM ⋅AN 的取值范围是.【答案】 54AB2,5【解析】在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，建立如图所示的直角坐标系，则B 2,0 ，A 0,0 ，D 12,32，C 52,32 ，AB =(2,0)，AC =52,32 ，AD =12,32 ，所以AD +AB =AC =52,32，所以(AD +AB )⋅AB =52×2+32×0=5，AB =2，所以AD +AB 在AB 上的投影向量为AD +AB ⋅AB AB ⋅ABAB=54AB ；设BM BC =CNCD=λ，λ∈0,1 ，则BM =λBC ，CN =λCD ，所以M 2+λ2,3λ2 ,N 52-2λ,32 ，所以AM ⋅AN =2+λ2,3λ2 ⋅52-2λ,32 =-λ2-2λ+5，因为λ∈0,1 ，函数y =-λ2-2λ+5的对称轴为λ=-1，所以y =-λ2-2λ+5在0,1 上单调递减，所以λ∈0,1 时，y =-λ2-2λ+5∈2,5 ，即AM ⋅AN 的取值范围是2,5 .故答案为：54AB；2,524(2024·天津南开·高三校考阶段练习)如图在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =8，AB =12，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若CE =3，则EA ⋅EB =；若CE =λCF 0≤λ≤1 ，则EA ⋅EB的最小值为.【答案】 13-36【解析】因为∠ABC =90°，BF =12AB =6，BC =8，则CF =BC 2+BF 2=10，当CE =3时，EF =7，此时EA ⋅EB =EF +FA ⋅EF +FB =EF -FB ⋅EF +FB =EF 2-FB2=72-62=13；EF =CF -CE =1-λ CF ，则EA ⋅EB =EF 2-FB 2=1-λ 2CF2-36≥-36，当且仅当λ=1时，等号成立，故EA ⋅EB的最小值为-36.故答案为：13；-36.。
微专题6 极化恒等式
微专题6 极化恒等式1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合. 2.极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a·b ＝14(|AC →|2－|BD →|2).如图(1).3.极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB →·AC →＝|AM →|2－14|BC →|2，或AB →·AC→＝|AM →|2－|BM →|2.如图(2).图(1) 图(2)类型一 求平面向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.例1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE→＝________.(2)(2022·郑州调研)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________.答案 (1)32 (2)4解析 (1)连接EG ，FH 交于点O (图略)， 则EF →·FG →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH →·HE →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32. (2)取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，因AB ＝4，AE ＝2，A ＝60°，故BE 2＝16＋4－2×4×2×cos 60°， 故BE ＝23，则BE ⊥AE .在△DEB 中，FN ∥EB ，FN ＝12BE ， 故FN ＝ 3.BF →·DE →＝2FB →·FD→＝2(FN →2－DN →2)＝2(3－1)＝4. 训练1 (1)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC→的值是________.(2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE→的值为________.答案 (1)9 (2)78解析 (1)因为AB →·AD →＝AO →2－OD →2＝9－OD →2＝－7⇒OD →2＝16，所以BC →·DC→＝CO →2－OD →2＝25－16＝9. (2)设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n . 根据向量的极化恒等式，得AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，① FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.② 联立①②，解得n 2＝58，m 2＝138. 因此EB →·EC→＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78. 即BE →·CE→＝78. 类型二 求平面向量数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.例2 (1)设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB ︵上，如图所示，则PC →·PD→的取值范围是________.(2)(2022·贵阳模拟)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________.答案 (1)[0，16] (2)214解析 (1)取CD 的中点E ，由极化恒等式得PC →·PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋PD →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－PD →22＝|PE →|2－|ED →|2＝|PE →|2－4， 由图知2≤|PE →|≤25，故PC →·PD →∈[0，16].(2)法一(极化恒等式法)连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC→＝AD →2－BD →2，又|AD→|＝12|AB →＋AC →|＝52， 故AB →·AC→＝254－BD →2＝254－14BC →2，又因为BC min ＝3－1＝2， 所以(AB →·AC →)max＝214.法二(坐标法)以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)，则AB→＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3) 从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52， 即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤（b ＋c ）24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立.训练2 (1)如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP→的最小值为________.(2)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB→的最大值为________.答案 (1)－116 (2)2解析 (1)取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP→＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14， 于是只要求PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB 时，PD ＝34时有最小值，即所求最小值为－116.(2)如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，OC →·OB→＝OE →2－BE →2＝OE →2－14，而|OE→|≤|OF →|＋|FE →|＝12|AD →|＋|FE →|＝12＋1＝32， 当且仅当O ，F ，E 三点共线时取等号， 所以OC →·OB→的最大值为2.一、基本技能练1.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝( )A.－16B.12C.4D.1答案 A解析 因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： AB →·AC →＝|AM →|2－14|BC →|2＝9－14×100＝－16.2.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 A解析 由极化恒等式得a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.3.如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB ︵上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN→＝( )A.13B.7C.5D.3答案 C解析 连接PO (图略)，PM→·PN →＝|PO →|2－|OM →|2＝9－4＝5.4.如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP→＝( )A.1B.116C.14D.－12答案 B解析 取AO 中点Q ，连接PQ (图略)， AP →·OP →＝P A →·PO→＝|PQ →|2－|AQ →|2＝516－14＝116. 5.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →＝( )A.14B.12 C.1 D.2 答案 C解析 取AE 的中点为O ，设|AE→|＝x (0≤x ≤1)，∴DE →·DA →＝|DO →|2－|AO →|2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1.6.(2022·宝鸡模拟)已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是( ) A.[0，9] B.[0，3] C.[－3，0] D.[－9，0] 答案 D解析 如图，MA →·MB→＝MO →2－AO →2＝MO →2－16，∵|OG →|≤|OM →|≤|OC →|， ∴7≤|OM→|≤4，∴MA →·MB→的取值范围是[－9，0].7.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A.2B.3C.6D.8答案 C解析 如图，由已知OF ＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE→|2－14|OF →|2＝|PE →|2－14， ∵|PE →|2max＝254，∴OP →·FP→的最大值为6.8.已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是( ) A.0 B.2 C.3 D.6答案 A解析 如图，点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|AB→|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，AB 的中点在x 轴上，OA →·OB →＝OM →2－BM →2＝4－4＝0.9.若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a·b 的最小值为( ) A.－12 B.－14 C.－34 D.－98答案 D解析 a·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98. 当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，〈a ，b 〉＝π时，a·b 取最小值－98.10.已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( ) A.－14 B.－13 C.－12 D.－1 答案 C解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， 取OC 中点D ，由极化恒等式得， PO →·PC→＝|PD →|2－|CD →|2＝|PD →|2－14， 又|PD →|2min＝0， ∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12.11.在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于________. 答案 109解析 取EF 的中点M ，连接AM ，∵|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|， ∴以AB ，AC 为邻边的平行四边形为矩形， ∴2AM ＝4＋1＝5，∴AM ＝52，EM ＝12×13×2AM ＝AM 3＝56， 则AE →·AF→＝|AM →|2－|EM →|2＝54－536＝109. 12.已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________. 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直直线时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝|PO →|2－|OB →|2＝(2)2－12＝1. 二、创新拓展练13.已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.∠ABC ＝90° B.∠BAC ＝90° C.AB ＝AC D.AC ＝BC答案 D解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ， 则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE .根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则|PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB . 因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点， 所以AC ＝BC .14.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是( )A.44B.22C.24D.72答案 B解析 如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝|EP →|2－|AE→|2＝|EP →|2－16＝2，∴|EP→|＝32， 又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →， ∴AE→＝2DP →， 即△F AE 中，DP 为中位线， AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4， FE ＝2PE ＝62，cos ∠AEP ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF ＝AE 2＋EP 2－AP 22·AE ·EP ，故|AP→|2＝40，AD →·AB →＝AF →·AE→＝|AP →|2－|EP →|2＝40－(32)2＝22. 15.如图，△ABC 是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP →·BP→的最小值是________.答案 1解析 取AB 中点O ，连接PO .AP →·BP →＝P A →·PB→＝|PO →|2－|OA →|2＝|PO →|2－3， 要求AP →·BP →最小值，只需求|PO →|2的最小值，连接CO 交圆C 于点D ， 则当P 与D 重合时，|PO →|有最小值， |PO →|min ＝3－1＝2， 故(AP →·BP →)min＝4－3＝1. 16.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN→的取值范围是________.答案 [0，2]解析 由正方体的棱长为2， 得内切球的半径为1， 正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径. 设内切球的球心为O ， 则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1. 由于P 为正方体表面上的动点， 故OP ∈[1，3]，所以PM→·PN→∈[0，2].。
2019高考数学压轴小题及答案解析
2019高考数学压轴小题及答案解析题组一10.设函数$f(x)$为定义域为$\mathbb{R}$的奇函数，且$f(x)=f(-2x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\sin x$，则函数$g(x)=\cos(\pi x)-f(x)$上的所有零点的和为（）在区间$[-2,2]$。
11.已知函数$f(x)=\frac{2}{1+x^2}+\sin x$，其中$f'(x)$为函数$f(x)$的导数，求$f(2018)+f(-2018)+f'(2019)+f'(-2019)$的值。
12.已知直线$l:y=ax+1-a(a\in\mathbb{R})$，若存在实数$a$使得一条曲线与直线$l$有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于$|a|$，则称此曲线为直线$l$的“绝对曲线”。
下面给出的四条曲线方程：$y=-2x-12$，$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，$y=4x$，$x+3y=4$。
其中直线$l$的“绝对曲线”的条数为（）。
15.若平面向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$，满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，则$\vec{1}$在$\vec{2}$方向上投影的最大值是（）。
16.观察下列各式：$3=3^1$，$6=3+5$，$9=7+9+11$，$12=13+15+17+19$，$\cdots$，$3m=m^2+(m+1)^2+(m+2)^2+\cdots+(2m-1)^2$。
按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则$m$的值为（）。
2019版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 压轴大题突破练(四) Word版含答案
压轴大题突破练(四) 函数与导数(2)1.已知函数 f (x )＝x －sin x ，x ∈R .12(1)试求函数f (x )的递减区间；(2)试求函数f (x )在区间[－π，π]上的最值.解 (1)求导数得：f ′(x )＝－cos x ，12令f ′(x )<0，即－cos x <0，12得－＋2k π<x <＋2k π，k ∈Z ，π3π3∴函数f (x )在区间(－＋2k π，＋2k π)，k ∈Z 上为减函数.π3π3(2)由(1)知，函数f (x )在区间(－π，－)，(，π)上为增函数，在区间(－，)上为减函数，π3π3π3π3∴函数f (x )在x ＝－处取极大值f (－)＝－，在x ＝处取极小值f ()＝－，∵f (－π)π3π332π6π3π3π632＝－，f (π)＝，∴函数f (x )在区间[－π，π]上的最大值为f (π)＝，最小值为f (－π)＝－.π2π2π2π22.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )＞(a ＋1)ln x ＋ax －1在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.解 (1)由题意得，f ′(x )＝＋2x (x ＞0)，a x ∴f ′(1)＝a ＋2，又f (1)＝0，∴切线方程是y ＝(a ＋2)(x －1)，即(a ＋2)x －y －a －2＝0.(2)由f (x )＞(a ＋1)ln x ＋ax －1得，ax ＜x 2－ln x ，∵x ＞1，∴a ＜x －恒成立.ln x x令g (x )＝x －，ln x x 则g ′(x )＝，x 2＋ln x －1x 2令h (x )＝x 2＋ln x －1，则h ′(x )＝2x ＋＞0，1x ∴h (x )在(1，＋∞)上递增，而h (1)＝0，∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上递增，∴g (x )＞g (1)＝1，∴当a ≤1时，a ＜g (x )恒成立，∴a 的取值范围是(－∞，1].3.(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.(1)解 f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a ).①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点.②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln ，a 2则f (b )>(b －2)＋a (b －1)2＝a >0，a 2(b 2－32b )故f (x )存在两个零点.③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a ).若a ≥－，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递e 2增.又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点.若a <－，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，e 2f ′(x )>0，因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增.又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点.综上，a 的取值范围为(0，＋∞).(2)证明 不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2.设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )，所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.4.已知函数f (x )＝ln x －ax 2 (a ∈R ).12(1)若f (x )在点(2，f (2))处的切线与直线x －2y ＋1＝0垂直，求实数a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间[1，e 2]上零点的个数.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f (x )＝ln x －ax 2.12∴f ′(x )＝－ax ＝，1x 1－ax 2x 由于直线x －2y ＋1＝0的斜率为，12∴×＝－1，∴a ＝.121－4a 254(2)由(1)知f ′(x )＝－ax ＝.1x 1－ax 2x 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增.当a >0时，由f ′(x )>0，得x < ，1a 由f ′(x )<0，得x >，1a ∴f (x )在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减.1a 1a 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，＋∞).1a 1a (3)由(2)可知，当a <0时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增，∵f (1)＝－a >0，∴ f (x )在区间[1，e 2]上没有零点.12当a ＝0时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增，∵f (1)＝－a ＝0，12∴f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点.当a >0时，①若≤1，即a ≥1时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递减，1a ∵f (1)＝－a <0，∴f (x )在区间[1，e 2]上没有零点.12②若1<<e 2，即<a <1时，f (x )在[1，]上单调递增，在[，e 2]上单调递减，1a 1e41a 1a ∵f (1)＝－a <0，f ()＝－ln a －，121a 1212f (e 2)＝2－a e 4.12若－ln a －<0，即a >时，f (x )在区间[1，e 2]上没有零点；12121e 若－ln a －＝0，即a ＝时，f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点；12121e 若－ln a －>0，即a <时，由f (e 2)＝2－a e 4>0得a <，此时f (x )在区间[1，e 2]上有一个零12121e 124e4点.由f (e 2)＝2－a e 4≤0，得a ≥ ，此时f (x )在区间[1，e 2]上有两个零点.124e4③若≥e 2即0<a ≤时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增，1a 1e4∵f (1)＝－a ＜0，f (e 2)＝2－a e 4>0，1212∴f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点.综上所述，当0≤a <或a ＝时，f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点；4e41e 当≤a <时，f (x )在区间[1，e 2]上有两个零点；4e41e 当a <0或a >时，f (x )在区间[1，e 2]上没有零点.1e。
专题07 极化恒等式问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版)
专题07 极化恒等式问题极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1. 极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦r r r r r r2. 极化恒等式三角形模型：在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则221||||4AB AC AD BC ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中，221(||||)4AB AD AD BD ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r类型一 利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，4,1,BA CA BF CF ⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r则BE CE ⋅u u u r u u u r值为______.【答案】78【解析】设2222,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==⋅=-=-=u u u r r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r r r2222||||1BF CF FD BD b a ⋅=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r解得22513,88b a ==r r22227||||48BE CE ED BD b a ∴⋅=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r r r类型二 利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,3C AC BC ︒∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ⋅u u u r u u u r最小值为______【答案】154【解析】设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2CM =即点M 在如图所示的圆弧上，则222211115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ≧类型三 利用极化恒等式求参数典例 3 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,则三角形ABC 形状为_______.【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r Q …2222011||||||44PD BC P b BC ∴--u u u r u u u r u u r u u u r r …0||PD P D ∴u u u r r r…0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.1.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是_____【答案】32-【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,222133()22||||2||222PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r当且仅当M 与P 重合时取等号2．直线0ax by c ++=与圆220:16x y +=相交于两点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为_______【答案】[6,10]- 【解析】圆心O 到直线0ax by c ++=的距离为1d ==设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||||||||OP OA PA OP OA -+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 剟23||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈-u u u r u u u u r u u u r u u u r 剟3．如图，已知B,D 是直角C两边上的动点，12,||,()6AD BD AD BAD CM CA CB π⊥=∠==+u u u r u u u ur u u u r u u u r1()2CN CD CA =+u u u r u u u r u u u r，则CM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为______【答案】14)4【解析】设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，21||4CM CN CG ⋅=-u u u u r u u u r u u u r221||||16MN CG =-u u u u r u u u r21111||||||4)22164CG CH HG CM CN⎛+=+⋅+-= ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r Q 剟 所以CM CN ⋅u u u u r u u u r的最大值为14)44.如图在同一平面内，点A 位于两平行直线m,n 的同侧，且A 到m,n 的距离分别为1，3，点B,C 分别在m,n上，且||5AB AC +=u u u r u u u r，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值为______【答案】214【解析】连接BC ，取BC 的中点D ，则22AB AC AD BD ⋅=-u u u r u u u r ，又15||22AD AB AC =+=u u ur u u u r故2225251444AB AC BD BC ⋅=-=-u u u r u u u r又因为min 312BC =-=所以21()4max AB AC ⋅=u u u r u u u r5.在半径为1的扇形AOB 中，60AOB ︒∠=,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅u u u r u u u r的最小值为_____【答案】41-【解析】取OB 的中点D ，连接PD ，则22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-u u u r u u u r于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD AB ⊥时， min PD =即所求最小值为41-6.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r （λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为______ 【答案】43-【解析】如图取AB 的中点为D ，连接CD,则21CA CB CD λ⋅=-=u u u r u u u r10CD λ=-<„又由点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，12，则负数λ的最大值为43-7.已知A(0,1)，曲线4:log C y x =横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅u u u r u u u r的最小值为2，则α=______【答案】e 【解析】如图，B （1，0），则AB =BP ，取BP 的中点C ，连接AC,因为AB AP ⋅u u u r u u u r 的最小值为2，则有()2222max2AC BCAB -===上式等价于222AB BC AC +„，即90ABP ︒∠…当且仅当P 与B 重合时取等号，此时曲线C 在B 处的切线斜率等于1，即11n ,e l a α==8.若平面向量,a b r r 满足|2|3a b -≤rr ，则a b ⋅r r 的最小值为_____【答案】98-【解析】222222(2)(2)|2||2|0398888a b a b a b a b a b +--+---⋅==≥=-r r r r r r当且仅当|2|0,|2|3a b a b +=-=r r r r ，即33||,||,,42a b a b π==<>=rr r 时a b ⋅r r 取最小值98-9.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值为_____【答案】2 【解析】如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，222224()()(2)(2)41OC OB OC OB OC OB OE BE OE ⋅=+--=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以214OC OB OE ⋅=-u u u r u u u r u u u r而113|||||||||||1222OE OF FE AD FE ≤+=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，当且仅当,OF AD OA OD ⊥=时取等号，所以OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值为210.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心,AE 为半径作弧交AD 于F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅u u u r u u u r的最小值为______【答案】5-【解析】如图取CD 的中点M.222224()()(2)(2)44PC PD PC PD PC PD PM DM PM ⋅=+--=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r所以21PC PD PM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r而||1||||||PM PM AP AE +=+≥=u u u u r u u u u r u u u r u u u r，当且仅当P,Q 重合时等号成立所以PC PD ⋅u u u r u u u r 的最小值为21)15-=-11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，求PM PN ⋅u u u u r u u u r的范围.【答案】[0,2] 【解析】如图当弦MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时O 为MN 的中点，222224()()(2)(2)44PM PN PM PN PM PN PO OM PO ⋅=+--=-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r所以21PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r u u u r而1||PO ≤≤u u u rPM PN ⋅u u u u r u u u r 的范围为[0,2]。
2019年高考理科数学复习 最后的攻坚与排查 第一部分 高考微切口——攻坚克难
第一部分高考微切口——攻坚克难微切口1角的变换1微切口2三角形中的最值问题3微切口3平面向量问题的“基底法”与“坐标法”5微切口4几何图形中的数量积的应用7微切口5组合几何体的体积(面积)问题9微切口6隐性圆的研究(1)(可转化为直线与圆的问题)11 微切口7隐性圆的研究(2)(可转化为圆与圆的问题)13 微切口8构造不等关系求离心率范围15微切口9结合椭圆中直线的斜率关系求定点问题17微切口10复合函数的零点问题(含隐零点问题)20微切口11分段函数中的取值范围问题22微切口12构造辅助函数解决问题24微切口13不等式恒成立问题26微切口14多元变量问题的处理28微切口15数列中的奇、偶项问题30微切口16与等差、等比数列有关的整数解问题32微切口1 角的变换例1 若cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35，17π12<x<7π4，则sin2x ＋2sin 2x 1－tanx＝________． 变式1 设α∈(0°，90°)，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝________．变式2 已知函数f(x)＝2cos x2⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2－1，x ∈R . (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 设α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (α)＝2，f (β)＝85，求f(α＋β)的值．1. 三角函数式的变换遵循“三变”：变“角”；变“函数名称”；变“结构特征”．2. 角的变换基本思路：(1) 是否是倍数关系：看α前的系数是否为倍数关系，如果是，提出2后进行下一步，如果不是也进行下一步；(2) 相加减后是否为特殊角：将两角进行相加或相减得出特殊角，如果是90°的倍数，运用诱导公式，否则运用两角和差公式求解；(3) 利用换元思想：将条件中的角或所要的角设为t ，将另一角用t 表示，这样比较容易找到两个角之间的关系．1. 已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝23，那么cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________．2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝33⎝⎛⎭⎫－π2<α<π2，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________．3. 若2cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos2α＝________．4. 若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，则sin2α＝________．5. 将函数f(x)＝－sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π6个单位长度后，得到的函数g(x)的图象关于直线x ＝π12对称，若g ⎝⎛⎭⎫θ2－π4＝－35，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝________．6. 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ＝________． 7. 已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．8. 已知向量a ＝(－2，sin θ)与b ＝(cos θ，－1)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1) 求sin θ和cos θ的值； (2) 若sin (θ－φ)＝1010，π2<φ<π，求cos φ的值．微切口2 三角形中的最值问题例1 如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，AD ＝DC ，BD ＝3，则△ABC 面积的最大值为________．(例1)【思维引导】思路1：利用余弦定理求出cosA ，进而得到sinA ， 然后求出△ABC 的面积，最后求其最大值；思路2：利用向量的模求出△ABC 的面积，再求出其最大值．变式 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cosCcosA .(1) 求角A 的大小；(2) 当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围．1. 求解最值问题时，要注意三角形内角和为π这一限制条件．例如，若△ABC 是锐角三角形，则0<A<π2，A ＋B>π2，sinA>cosB ，sinB>cosC.2. 求解最值问题的关键在于将三角函数f(x)进行正确地“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的最值．同时要注意两边之和大于第三边等隐含条件．3. 求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围，也可利用基本不等式求范围．1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为32a ，则c b＋bc取得最大值时内角A 的值为________． 2. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋42＝c 2，ab ＝4，则sinCtan 2Asin2B的最小值是________．3. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，则△ABC 的面积的最大值为________．4. 如图，已知半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则四边形OACB 的面积S 的最大值是________．(第4题)5. 已知△ABC 的面积为S ，且BA →·BC →＝6S7，则sin 2A ＋sin 2C 的取值范围是________．6. 已知△ABC 的周长为6，且BC ，CA ，AB 成等比数列，则BA →·BC →的取值范围是________． 7. 已知函数f(x)＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6.(1) 求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x 的取值集合；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f(A)＝32，b ＋c ＝2，求实数a 的最小值．8. 在锐角三角形ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，3a ＝2csinA.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值； (2) 求△ABC 的周长的取值范围．微切口3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则 AE →·AF →的最小值为________．(例1)变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________．变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF →＝________．2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →＝________．(第2题)3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝3332，则AB 的长为________．(第3题)4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________．(第4题)5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，则实数m n＝________．6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________．7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12PC →，点M ，N 在过点P的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．(第7题)8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．(第8题)9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．(第9题)10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC →且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3.(1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．微切口4 几何图形中的数量积的应用例1 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°. (1) 求|OA →＋OB →|；(2) 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．(例1)例2 已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA →·PB →的取值范围是________．变式 在△ABC 中，若M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．1. 平面向量数量积的两种运算方法：(1) 依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．(2) 利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标来处理．如何将问题转化为已知条件的数量积表示是解题成功关键．2. 极化恒等式： a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2](极化恒等式)几何意义：如图(1)，向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(AC 2－DB 2)(平行四边形模式)．思考：在△ABD 中(M 为BD 的中点)，此恒等式如何表示呢？如图(2)，将△ABD 补为平行四边形ABCD ，因为AC ＝2AM ，所以a ·b ＝AM 2－14DB 2(三角形模式)．注意：运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式．图(1) 图(2)1. 已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．2. 在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝2 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________． 3. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上(含原点)滑动，则OB →·OC →的最大值是________．(第3题)4. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →＝________．5. 如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．(第5题)6. 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC.若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为________．7. 在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________． 8. 如图，在圆O 的内接三角形ABC 中，M 是BC 的中点，AC ＝3.若AO →·AM →＝4，则AB ＝________．(第8题)9. 如图，已知点O 为△ABC 的外心，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ，且2OA →＋3OB →＋4OC →＝0.(1) 求cos ∠BOC 的值；(2) 若△ABC 的面积为15，求b 2＋c 2－a 2的值．(第9题)微切口5组合几何体的体积(面积)问题例1请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________m时，帐篷的体积最大．(例1)变式如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为________．(变式)例2如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A-BCDE.(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．(例2)采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)．1.几何体的“分割”：几何体的分割，即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体．2.几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．1.在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD 折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．2.已知矩形的顶点都在半径为2的球的球面上，且AB＝3，BC＝3，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球于E，则四棱锥E-ABCD的体积为________．3.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为________．4.已知三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径AD＝2，且△ABC，△BCD都是等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是________．5.如图，半径为1的球内切于正三棱锥PABC中，则此正三棱锥的体积的最小值为________．(第5题)6.如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．若圆柱侧面积为16π，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为________．(第6题)7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________．(第7题)8.设正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．9. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿着AE ，AF ，EF 把该正方形折叠成三棱锥APEF(点B ，C ，D 重合于点P)，则三棱锥APEF 的内切球的半径为________．(第9题)10. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE.(1) 求证：CD ⊥平面A 1OC ；(2) 当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．图(1) 图(2)(第10题)微切口6 隐性圆的研究(1)(可转化为直线与圆的问题)例1 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1，0)，B(4，0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．【思维引导】已知A ，B 为定点，满足AP ＝12PB 的点P 的轨迹是一个圆，要求m 的取值范围，只要使动直线x －y ＋m ＝0与该圆有公共点即可．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过点P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．例2求函数y ＝2－sinx2－cosx的最值．【思维引导】其函数最值为定点(2，2)和动点(cosx ，sinx)连线的斜率的最值．1. 阿波罗尼斯圆：阿波罗尼斯圆(线)是解析几何中常见的问题背景，了解其特性．动点P(x ，y)到定点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)的距离之比为定值λ(c ，λ为正数)，求点P(x ，y)的轨迹方程．【解析】依题意，由距离公式：（x ＋c ）2＋y 2＝λ（x －c ）2＋y 2，化简得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋2c(1＋λ2)x ＋(1－λ2)c 2＝0 (1)． 【讨论】方程的图形是什么？ ①当λ＝1时，得 x ＝0，也就是线段F 1F 2的垂直平分线(定义这样的直线为阿波罗直线)； ②当λ≠1时，方程(1)变形得x 2＋y 2＋2c （1＋λ2）1－λ2x ＋c 2＝0，化成标准形式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－1·c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫2cλλ2－12 (2)． 这是以⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋1λ2－1·c ，0为圆心，且半径r ＝⎪⎪⎪⎪2cλλ2－1的圆(称之为阿波罗尼斯圆)． 2. 与圆有关的最值问题：在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论．1. 若动直线y ＝k(x －2)与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，k的值为________．2.设点P是函数y＝－4－（x－1）2图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则PQ 的最小值为________．3.已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，那么ba－2c的取值范围为________．4.若实数a，b，c成等差数列，点P(－1，0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为点M，点N(3，3)，则线段MN长度的最大值为________．5.在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1，1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．6.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围是________．7.设函数f(x)＝a＋－x2－4x和g(x)＝43x＋1，已知当x∈[－4，0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．8.已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，求最小正整数t的值．微切口7 隐性圆的研究(2)(可转化为圆与圆的问题)例1在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．【思维引导】注意对条件MA 2＋MO 2＝10的转化．变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上一存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．(变式2)1. 如何将隐圆变为显圆：圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，常见的有以下策略．策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；策略二 动点P 对两定点 A ，B 的张角是90°(k PA ·k PB ＝－1或PA →·PB →＝0)确定隐圆； 策略三 两定点A ，B ，动点 P 满足PA →·PB →＝λ确定隐圆；策略四 两定点A ，B ，动点 P 满足PA 2＋PB 2是定值确定隐圆；策略五 两定点A ，B ，动点 P 满足AP ＝λBP(λ>0，λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆)． 2. 利用几何法简化研究直线和圆及圆与圆的位置关系：直线和圆有关的网络交汇问题，利用直线和圆及圆与圆的位置关系，借助圆的几何性质的代数表示(相切条件，勾股数等)简化运算，充分体现解析几何的特点“代数的方法研究几何性质，利用几何性质可简化其运算”．1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．2. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．3. 已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，若点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________． 4. 在平面直角坐标系xOy 中，若与点A(2，2)的距离为1且与点B(m ，0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为________．5. 已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA →·PB →≤0，则线段EF 长度的最大值是________． 6. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m)2＋(y ＋m)2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是________．7. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －4)2＝4，若过x 轴上的一点P(a ，0)可以作一直线与圆M 相交于A ，B 两点，且满足PA ＝BA ，求实数a 的取值范围．8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l ∥AB ，且与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．(第8题)微切口8 构造不等关系求离心率范围例1 已知椭圆的中心在原点O 处，右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________．【思维引导】离心率的范围实质为一个不等关系，如何构建这种不等关系？可以利用长度和垂直平分线性质构建．y 2b 2＝1(a>b>0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是________．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，则椭圆离心率的取值范围是________．离心率的范围问题是高考的热点问题，如何找到关于“a ，c ”的不等关系式是问题的关键，常用的处理方法和技巧有：1. 借助平面几何图形中的不等关系：根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段等，将这些量结合曲线的几何性质用a ，b ，c 进行表示．2. 借助题目中给出的不等信息：根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立等，进一步得到离心率的不等关系式．3. 借助函数的值域求范围：根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域求解离心率的范围．4. 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围：在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)中，－a ≤x ≤a ，P 是椭圆上任意一点，则a －c ≤PF 1≤a ＋c 等．1. 设a>1，则双曲线x 2a 2－y2（a ＋1）2＝1的离心率e 的取值范围是________．2. 已知过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．3. 已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为________．4. 已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x ，y)在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．6. 设F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，且F 1F 2＝2c ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1·PF 2＝2c 2，则椭圆的离心率的最小值为________．7. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若PF 21PF 2的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．8. 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其焦距为2c ，点Q ⎝⎛⎭⎫c ，a 2在椭圆的外部，点P 是椭圆C 上的动点，且PF 1＋PQ<53F 1F 2恒成立，则椭圆离心率的取值范围是________．9. 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，如果椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率e 的取值范围为________．10. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1＝12，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2＋1的取值范围是________．微切口9 结合椭圆中直线的斜率关系求定点问题例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝⎛⎭⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q.(例1)变式 过椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．1. 圆锥曲线中定点问题处理方法：(1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2) 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 2. 两直线的斜率关系的处理：一种方法是通过消除参数来减少变量个数，另一种方法即是设点的坐标，然后通过“设而不求”的办法来加以处理．1. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为22，过点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N.(1) 求椭圆的方程；(2) 求证：直线MN 必过定点，并求出此定点的坐标．(第1题)2. 已知椭圆x 23＋y 22＝1，过点P(1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．3. 如图，已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，圆E 2：x 2＋y 2＝a 2，过椭圆E 1的左顶点A 作斜率为k 1的直线l 1与椭圆E 1和圆E 2分别相交于点B ，C.设D 为圆E 2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k 2，当k 1k 2＝b 2a 2时，试问：直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．(第3题)4. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 不经过点P 2且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，求证：直线l 过定点．微切口10复合函数的零点问题(含隐零点问题)例1已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有七个不相同的实数根，则实数b的取值范围是________．变式已知函数f(x)＝|e x－1|，又g(x)＝f2(x)－tf(x)(t∈R)，若满足g(x)＝－1的x有三个，则t的取值范围是________．例2(隐零点问题)已知函数f(x)＝x(1＋lnx)．(1) 求函数f(x)的单调区间及其图象在点x＝1处的切线方程；(2) 若k∈Z，且k(x－1)<f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值．1.复合函数零点问题：考虑关于x的方程g(f(x))＝0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))＝0的根的个数．2.“隐零点”问题：求解导数压轴题时，我们一般对零点设而不求，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们称这类问题为“隐零点”问题．其处理方法如下：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小，我们将其称为隐形零点三部曲．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．1. 关于x 的方程(x 2－1)2－3|x 2－1|＋2＝0的不相同实数根的个数是________．2. 设定义域为R 的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x)＋bf(x)＋c ＝0有3个不同的解x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23＝________．3. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有2个零点，则实数a 的取值范围是________．4. 已知定义在R 上的函数f(x)＝⎩⎨⎧|x 2＋x|，x ≤0，ln （x ＋1），x>0，若函数g(x)＝f(x)－a(x ＋1)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．5. 已知函数f(x)＝x|lnx|，若关于x 的方程f 2(x)－(2m ＋1)f(x)＋m 2＋m ＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －t ）2，x ≤t ，x 4，x>t ，其中t>0，若函数g(x)＝f(f(x)－1)有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．7. 已知函数f(x)＝ax 2－ax －xlnx ，且f(x)≥0.(1) 求实数a 的值；(2) 求证：f(x)存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f(x 0)<2－2.微切口11 分段函数中的取值范围问题例1 已知a ∈R ，函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x>0.若对任意的x ∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则实数a 的取值范围是________．例2 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，0<x<2，x ＋22x ，x ≥2，若0＜a ＜b ＜c ，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则abf （c ）的取值范围为________．变式 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x<0，log a （x ＋1）＋1，x ≥0(a>0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x3恰有2个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．1. 分段函数零点问题： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2. 分段函数恒成立问题：(1) a ≥f(x)恒成立⇔a ≥f(x)max ； (2) a ≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min .3. 分段函数单调性问题：分段函数单调性的判断应注意各段间的联结关系．我们知道，在各段上单调性相同的分段函数在整个定义域上不一定是单调函数．因此，特别要注意每相邻两段联结间的单调性．求分段函数的单调性问题，如能借助函数的图象，则可以很直观地求出函数的单调区间或判断函数的单调性．1. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x<1，lnx ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________．2. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（3a －1）x ＋4a ，x<1，log ax ，x ≥1在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是________．3. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．4. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0）在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a 的取值范围是________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4，若函数y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧|x|，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m>0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)＝b 有3个不同的根，则m 的取值范围是________． 8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．9. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（2a －4）x ＋2a －3，x ≤t ，－x 2＋3x ，x>t ，无论t 取何值，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上总是不单调，则实数a 的取值范围是________．10. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x>－1，若f(x)在区间[m ，4]上的值域为[－1，2]，则实数m 的取值范围为________．。
专题07 极化恒等式问题
专题 07 极化恒等式问题极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1 ⎡2 2 ⎤1. 极化恒等式： a ⋅b = 4⎣(a + b ) - (a - b ) ⎦22 2.极化恒等式三角形模型：在∆ABC 中，D 为 BC 的中点，则 AB ⋅ AC =| AD | - | BC | 43. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形 ABCD 中， AB ⋅ AD = 1 (| AD |2 4- | BD |2 )类型一 利用极化恒等式求值典例 1.如图在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E,F 是 AD 上的两个三等分点，BA ⋅ CA = 4, BF ⋅ CF = -1, 则BE ⋅ C E 值为.17【答案】8【解析】2 2设DC =a, DF =b, BA ⋅CA =| AD |2 - | BD |2 = 9b -a = 42 2BF ⋅C F =| FD |2 - | BD |2 =b -a =-12解得b =5,213a =8 822227∴BE ⋅C E =| ED |- | BD | = 4b -a =8类型二利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C=90︒,AC=4,BC=3，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE ⋅DF 最小值为15【答案】4【解析】1设EF 的中点为M，连接CM，则| CM |=2即点 M 在如图所示的圆弧上，则 DE ⋅ DF =| DM |2 - | EM |2 =| DM |2 - 1≧| CD | - 1 4 2 - 1 =15 4 4类型三 利用极化恒等式求参数1 典例 3 设三角形 ABC ， P 0 是边 AB 上的一定点，满足 P 0 B =4PB ⋅ PC ≥ P 0 B ⋅ P 0C ,则三角形 ABC 形状为.【答案】C 为顶角的等腰三角形.【解析】AB, 且对于边 AB 上任一点 P ，恒有取 BC 的中点D ，连接 PD,P 0 D.PB ⋅ PC P 0 B ⋅ P 0C2 2 22 ∴| PD | - | BC | 4 P 0b - | BC | 4∴| PD | P 0 D∴ P 0 D ⊥ AB ,设O 为 BC 的中点，∴OC ⊥ AB ∴ AC = BC即三角形 ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.2 1 131. 已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是【答案】 -2【解析】设 BC 的中点为 O ，OC 的中点为 M,连接 OP,PM,2 23 3 ∴ PA ⋅ (PB + PC ) = 2PO ⋅ PA = 2| PM | - | AO | = 2| PM | - ≥-2 2 2当且仅当 M 与 P 重合时取等号2.直线 ax + by + c = 0 与圆0 : x 2 + y 2 = 16 相交于两点 M,N,若c 2 = a 2 + b 2，P 为圆 O 上任意一点，则PM ⋅ PN 的取值范围为【答案】[-6,10]【解析】2 1a 2+ b2圆心 O 到直线 ax + by + c = 0 的距离为 d = | c |= 1设 MN 的中点为 A ，PM ⋅ PN =| PA |2 - | MA |2 =| PA |2 -15| OP | - | OA | | PA | | OP | + | OA |∴3 | PA | 5, PM ⋅ PN =| PA |2 -15 ∈[-6, 10]π13. 如图，已知 B,D 是直角 C 两边上的动点， AD ⊥ BD ,| AD |= 3, ∠BAD = 6, CM =2(CA + CB )1 CN = 2(CD + CA ) ，则CM ⋅ CN 的最大值为1【答案】 ( 4+ 4)【解析】13⎪2 1设 MN 的中点为 G ，BD 的中点为 H ， CM ⋅ CN =| CG | -4 22 1| MN | =| CG | -161 13 ⎛ 113 ⎫21 1| CG | | CH | + | HG |= + 2 4 ∴CM ⋅ CN 2 +- = ( 4 16 4 + 4)所以CM ⋅ CN 的最大值为 1( 4⎝ ⎭+ 4)4. 如图在同一平面内，点 A 位于两平行直线 m,n 的同侧，且 A 到m,n 的距离分别为 1，3，点 B,C 分别在 m,n上，且| AB + AC |= 5 ，则 AB ⋅ AC 的最大值为21 【答案】 4【解析】连接 BC ，取 BC 的中点 D ，则 AB ⋅ AC = AD 2 - BD 2，又 AD = 1 5| AB + AC |=2225 2 25 1 2 故 AB ⋅ AC = - BD = - BC4 4 413 1311 33又因为BC min = 3 -1 = 2 21所以( AB ⋅AC)max = 45.在半径为1 的扇形AOB 中，∠AOB = 60︒,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P，则OP ⋅BP 的最小值为【答案】-4【解析】2 2 21取 OB 的中点D，连接 PD，则OP ⋅BP =PD -OD=PD -4于是只要求求 PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB 时，PDmin = 4即所求最小值为-46.已知线段AB 的长为 2，动点 C 满足CA ⋅C B =λ（λ为常数），且点 C 总不在以点 B 为圆心，1为半径的2圆内，则负数λ的最大值为【答案】-4【解析】如图取 AB 的中点为 D，连接 CD,则CA ⋅CB =CD2 -1 =λCD = 1+λ, -1 λ< 02 ()91 1 又由点 C 总不在以点 B 为圆心， 2为半径的圆内，故 1+ λ 1 ，则负数λ 的最大值为- 3247. 已知A(0,1)，曲线C : y = log 4 x 横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且 AB ⋅ AP 的最小值为2，则α =【答案】e【解析】如图，B （1，0），则 AB = ，连接 BP ，取 BP 的中点 C ，连接 AC,因为 AB ⋅ AP 的最小值为 2，则有 AC 2 - BC2= 2 = ( 2)2 = AB 2max上式等价于 AB 2 + BC 2 AC 2 ，即∠ABP 90︒当且仅当 P 与 B 重合时取等号，此时曲线 C 在B 处的切线斜率等于 1，即 = 1 ln α, a = e8. 若平面向量 a , b 满足| 2a - b |≤ 3 ，则 a ⋅ b 的最小值为【答案】 -8【解析】2 2(2a +b)2 - (2a -b)2 | 2a +b | - | 2a -b | 02 - 32 9a ⋅b ==≥=-8 8 8 8当且仅当| 29.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则OC ⋅O B 的最大值为【答案】2【解析】如图取 BC 的中点 E，取AD 的中点F，2 4OC ⋅OB = (OC +OB)2 - (OC -OB)2 = (2OE)2 - (2BE)2 = 4OE21-1所以OC ⋅OB =OE -41 1 3而| OE |≤| OF | + | FE |= || AD | + | FE |=+1 =，2 2 2当且仅当OF ⊥AD, OA =OD 时取等号，所以OC ⋅OB 的最大值为 210.已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 AB 的中点，以 A 为圆心,AE 为半径作弧交 AD 于F，若 P 为劣弧EF 上的动点，则PC ⋅PD 的最小值为【答案】5 - 2 【解析】5a +b |= 0,| 2a -b |= 3，即||=3,| b |=3, <,>=π时⋅b取最小值-9a ab a4285 5如图取 CD 的中点 M.2 4PC ⋅ PD = (PC + PD )2 - (PC - PD )2 = (2PM )2 - (2DM )2= 4PM- 42 所以 PC ⋅ PD = PM -1而| PM | +1 =| PM | + | AP |≥| AE |= ，当且仅当 P,Q 重合时等号成立所以 PC ⋅ PD 的最小值为( -1)2 -1 = 5 - 211. 正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦 MN 的长度最大时，求 PM ⋅ PN 的范围. 【答案】[0, 2]【解析】如图当弦 MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时 O 为MN 的中点，524PM ⋅PN = (PM +PN )2 - (PM -PN )2 = (2PO)2 - (2OM )2 = 4PO - 42所以PM ⋅PN =PO-13而1 ≤| PO |≤，所以PM ⋅PN 的范围为[0, 2]。
重难点专题03妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学新教材培优讲义与精练(
典型例题
题型二：范围与最值问题
典型例题
题型二：范围与最值问题
典型例题
题型三：求参问题以及其它问题
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题型三：求参问题以及其它问题
重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
CONTENTS
01
题型归纳
02
方法技巧
03
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
方法技巧
03
典型例题
典型例题
题型一：定值问题
典型例题
题型一：定值问题
典型例题
题型一：定值问题
典型例题
题型二：范围与最值问题
典型例题Байду номын сангаас
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专题07 极化恒等式问题
极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.
1. 极化恒等式：221
()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=
+--⎣
⎦
2. 极化恒等式三角形模型：在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则221
||||4
AB AC AD BC ⋅=-
3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中，221
(||||)4
AB AD AD BD ⋅=
-
类型一 利用极化恒等式求值
典例1.如图在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，4,1,BA CA BF CF ⋅=⋅=-则
BE CE ⋅值为______.
【答案】7
8
【解析】
设2
2
22,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==⋅=-=-=
22
22||||1BF CF FD BD b a ⋅=-=-=-
解得2
2513,88
b a =
= 22
227
||||48
BE CE ED BD b a ∴⋅=-=-=
类型二 利用极化恒等式求最值或范围
典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,3C AC BC ︒∠===，
E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ⋅最小值为______ 【答案】
15
4
【解析】
设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2
CM =
即点M 在如图所示的圆弧上，
则2
22211115
||||||||4244
DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---=≧
类型三 利用极化恒等式求参数
典例 3 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=
1
4
AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅,则三角形ABC 形状为_______.
【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】
取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.
00PB PC P B P C ⋅⋅…
2222011
||||||44
PD BC P b BC ∴-
-… 0||PD P D ∴…
0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，
OC AB AC BC ∴⊥∴=
即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.
1.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是_____ 【答案】32
-
【解析】
设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,
222133()22||||2||222
PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-
=-≥- 当且仅当M 与P 重合时取等号
2．直线0ax by c ++=与圆220:16x y +=相交于两点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则
PM PN ⋅的取值范围为_______
【答案】[6,10]- 【解析】
圆心O 到直线0ax by c ++=的距离为
1d =
=
设MN 的中点为A ，
222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-
||||||
||||OP OA PA OP OA -+剟
23||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈-剟
3．如图，已知B,D 是直角C 两边上的动点，12,||3,
,()
6
AD BD AD BAD CM CA CB π
⊥=∠=
=+ 1
()2
CN CD CA =
+，则CM CN ⋅的最大值为______
【答案】
1
4)4
【解析】
设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，21||4
CM CN CG ⋅=-
221||||16
MN CG =-
2
113
111
||||||4)24
24164CG CH HG CM CN
⎛+=+∴⋅+-= ⎝
⎭剟
所以CM CN ⋅的最大值为
1
4)4
+ 4.如图在同一平面内，点A 位于两平行直线m,n 的同侧，且A 到m,n 的距离分别为1，3，点B,C 分别在m,n
上，且||5AB AC +=，则AB AC ⋅的最大值为______
【答案】
214
【解析】
连接BC ，取BC 的中点D ，则22
AB AC AD BD ⋅=-， 又15||22
AD AB AC =
+= 故2225251
444
AB AC BD BC ⋅=
-=- 又因为min 312BC =-=
所以21
()4
max AB AC ⋅=
5.在半径为1的扇形AOB 中，60AOB ︒∠=,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值为_____
【答案】4
1-
【解析】
取OB 的中点D ，连接PD ，则22214
OP BP PD OD PD ⋅=-=-
于是只要求求PD 的最小值即可，
由图可知，当PD AB ⊥时， min PD = 即所求最小值为4
1-
6.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，1
2
为半径的
圆内，则负数λ的最大值为______ 【答案】4
3-
【解析】如图取AB 的中点为D ，连接CD,则2
1CA CB CD λ⋅=-=
10CD λ=-<…
又由点C 总不在以点B 为圆心，1
2
为半径的圆内，
12，则负数λ的最大值为4
3-
7.已知A(0,1)，曲线4:log C y x =横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则α=______ 【答案】e 【解析】
如图，B （1，0），则AB =BP ，取BP 的中点C ，连接AC,
因为AB AP ⋅的最小值为2，则有()
22
22max
2AC BC AB -===
上式等价于222AB BC AC +…，即90ABP ︒
∠…
当且仅当P 与B 重合时取等号，此时曲线C 在B 处的切线斜率等于1， 即
1
1n ,e l a α
==
8.若平面向量,a b 满足|2|3a b -≤，则a b ⋅的最小值为_____
【答案】9
8
-
【解析】
222222(2)(2)|2||2|0398888
a b a b a b a b a b +--+---⋅==≥=-
当且仅当|2|0,|2|3a b a b +=-=，即33
||,||,,42a b a b π=
=<>=时a b ⋅取最小值9
8
-
9.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则OC OB ⋅的最大值为_____ 【答案】2 【解析】
如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，
2
22224()()(2)(2)41OC OB OC OB OC OB OE BE OE ⋅=+--=-=-
所以2
14
OC OB OE ⋅=-
而113|||||||||||1222
OE OF FE AD FE ≤+=
+=+=， 当且仅当,OF AD OA OD ⊥=时取等号，所以OC OB ⋅的最大值为2
10.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心,AE 为半径作弧交AD 于F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为______
【答案】5-【解析】
如图取CD 的中点M.
2
22224()()(2)(2)44PC PD PC PD PC PD PM DM PM ⋅=+--=-=-
所以2
1PC PD PM ⋅=-
而||1||||||5PM PM AP AE +=+≥=，当且仅当P,Q 重合时等号成立
所以PC PD ⋅的最小值为21)15--=-
11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，求PM PN ⋅的范围. 【答案】[0,2]
【解析】
如图当弦MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时O 为MN 的中点，
2
22224()()(2)(2)44PM PN PM PN PM PN PO OM PO ⋅=+--=-=-
所以2
1PM PN PO ⋅=-
而1||3PO ≤≤，所以PM PN ⋅的范围为[0,2]。