北师大版九年级数学下第二章《二次函数》单元测试题(含答案).doc
九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版(含答案)
九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m 2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（ ）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（ ）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x… -2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（ ） A ．21(2)42y x =-- B ．21(1)32y x =-- C ．21(2)52y x =-- D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：⊥<0abc ；⊥240b ac ->；⊥0a b c ++=；⊥21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⊥若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 _____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．23．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1264 14．（2，0） 15．316．132y y y << 17．10 18．﹣3＜x ＜1 19．4 20．1.12521．(1)2114y x =-+(2)3 (3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）226，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。
北师大版九年级下第二章《二次函数》单元测试含答案
北师大版九年级数学下册第二章单元测试一、 选择题（每小题4分，共10小题，满分40分） 每题有A 、B 、C 、D 四个选项，只有一个是正确的，请把正确的选项填写在题的括号内.1.二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限 2.函数y=k x与y=﹣kx 2+k （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3.关于二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象，下列说法中错误的是（ ）A ．当x ＜2，y 随x 的增大而减小B ．函数的对称轴是直线x=1C ．函数的开口方向向上 D．函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）4.如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图所示是二次函数y=ax 2﹣x+a 2﹣1的图象，则a 的值是（ ）A．a=﹣1 B．a=12C．a=1 D．a=1或a=﹣16.抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2+bx+c，则b、c的值为（）A．b=2，c=2 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=27.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3 B．x＞5 C．3＜x＜4 D．4＜x＜58.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④D．②③④9.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞510.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）请把正确的答案填写在横线上.11.二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是．12.抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为．13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．14.如图，抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线的对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为．三、解答题（共8小题，满分90分）15.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．16.如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．17.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．18.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．19.已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．20.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．21.如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（Ⅱ）求△BCD的面积；（Ⅲ）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．22.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=23x2+bx+c经过点A，B，交正x轴于点D，E是OC上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作BF⊥BE交y轴与F（1）求b，c的值及D点的坐标；（2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；（3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．23.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=12x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．参考答案及解析1. 【答案】C ．解析：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选C ．2. 【答案】B ．解析：由解析式y=﹣kx 2+k 可得：抛物线对称轴x=0；A 、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k ＜0，则﹣k ＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y 轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k 的取值相矛盾，故A 错误；B 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B 正确；C 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故C 错误；D 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故D 错误．故选B ．3. 【答案】A ．解析：∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x ＜1时y 随x 的增大而减小，故B 、C 正确，A 不正确， 令x=0可得y=﹣3，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3），故D 正确，故选A ．4. 【答案】B ．解析：∵a ＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c ＜0，∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b a＞0， ∴对称轴在y 轴右侧，故第四个选项错误．故选B ．5. 【答案】C ．解析：由图象得，此二次函数过原点（0，0），把点（0，0）代入函数解析式得a 2﹣1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a ＞0；所以a=1．故选C ．6. 【答案】B解析：y=x 2﹣2x ﹣3=x 2﹣2x+1﹣4=（x ﹣1）2﹣4，图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x ﹣1+2）2﹣4+2=（x+1）2﹣2=x 2+2x ﹣1，则b=2，c=﹣1，故选B ．7. 【答案】C解析：∵x=3时，y=0.5，即ax 2+bx+c ＞0；x=4时，y=﹣0.5，即ax 2+bx+c ＜0，∴抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，∴关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的一个解x 的范围是3＜x ＜4．故选C ．8. 【答案】A解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣2b a=﹣1， ∴b=2a ＞0，则2a ﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；∵x=2时，y ＞0，∴4a+2b+c ＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y 1）离对称轴的距离与点（3，y 2）离对称轴的距离相等，∴y 1=y 2，所以④不正确．故选A ．9. 【答案】D.解析：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax 2+bx+c ＜0的解集即是y ＜0的解集，∴x ＜﹣1或x ＞5．故选D ．考点：二次函数利用图象.10. 【答案】D ．解析：对称轴为直线x=﹣1，且﹣1＜x 1＜x 2，当x ＞﹣1时，y 2＜y 1，又因为x 3＜﹣1，由一次函数的图象可知，此时点P 3（x 3，y 3）在二次函数图象上方，所以y 2＜y 1＜y 3．故选D ．11. 【答案】5.解析：y=x 2﹣2x+6=x 2﹣2x+1+5=（x ﹣1）2+5，可见，二次函数的最小值为5．12. 【答案】1.解析：当y=0，则0=x 2﹣5x+6，解得：x1=2，x2=3，故AB的长为：3﹣2=1．13.【答案】0或1①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．14.【答案】（11，﹣.解析：如图所示：∵抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，x+1）（x﹣3）=0时，x=﹣1，或x=3，当x=0时，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，，对称轴x=1，∴BM=3﹣1=2，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，①点D在∠ABC的平分线上时，∵tan∠=∴∠ABC=60°，∴∠ABD=30°，∴∴D（1；②点D 在∠ABE 的平分线上时，∠ABE=180°﹣60°=120°，∴∠ABD=60°，∴∴D （1，﹣.15.【答案】（1）43b c =-⎧⎨=⎩ ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2解析：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（3，0），∴3=16+4093b cb c +⎧⎨=++⎩ ，解得43b c =-⎧⎨=⎩ ；（2）∵该二次函数为y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1．∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．16. 【答案】（1）y=﹣x 2﹣4x ；（2）（﹣2，4）、（﹣4）、（﹣2﹣4）． 解析：（1）由已知条件得20(4)4(4)0c a c =⎧⎨⨯--⨯-+=⎩，解得10a c =-⎧⎨=⎩，所以，此二次函数的解析式为y=﹣x 2﹣4x ；（2）∵点A 的坐标为（﹣4，0），∴AO=4，设点P 到x 轴的距离为h ，则S △AOP =12×4h=8，解得h=4，①当点P 在x 轴上方时，﹣x 2﹣4x=4，解得x=﹣2，所以，点P 的坐标为（﹣2，4），②当点P 在x 轴下方时，﹣x 2﹣4x=﹣4，解得x 1=﹣x 2=﹣2﹣所以，点P 的坐标为（﹣4）或（﹣2﹣4），综上所述，点P 的坐标是：（﹣2，4）、（﹣4）、（﹣2﹣4）．17. 【答案】（1）b=2,c=3, y=﹣x 2+2x+3．(2) ﹣1＜x ＜3解析：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x 2+bx+c 中，得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩． ∴y=﹣x 2+2x+3．（2）令y=0，解方程﹣x 2+2x+3=0，得x 1=﹣1，x 2=3，抛物线开口向下，∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．18. 【答案】（1）M （12，0），P （6，6）；（2）y=16-x 2+2x ；（3）15米． 解析：（1）M （12，0），P （6，6）（2）∵顶点坐标（6，6）∴设y=a （x ﹣6）2+6（a≠0）又∵图象经过（0，0）∴0=a （0﹣6）2+6∴a=16- ∴这条抛物线的函数解析式为y=16-（x ﹣6）2+6，即y=16-x 2+2x ； （3）设A （x ，y ）∴A （x ，16-（x ﹣6）2+6） ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC=16-（x ﹣6）2+6， 根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x ，∴BC=12﹣2x ，即AD=12﹣2x ，∴令L=AB+AD+DC=2[16-（x ﹣6）2+6]+12﹣2x=13-x 2+2x+12=13-（x ﹣3）2+15． ∴当x=3，L 最大值为15∴AB 、AD 、DC 的长度之和最大值为15米．19. 【答案】（1）w=﹣20x 2+100x+6000，x ≤4，且x 为整数；(2) 当定价为57或58元时有最大利润6120元；(3) 售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．解析: （1）w=（20﹣x ）（300+20x ）=﹣20x 2+100x+6000，∵300+20x≤380，∴x≤4，且x 为整数；（2）w=﹣20x 2+100x+6000=﹣20（x ﹣52）2+6125， ∵﹣20（x ﹣52）2≤0，且x≤4的整数， ∴当x=2或x=3时有最大利润6120元，即当定价为57或58元时有最大利润6120元；（3）根据题意得：﹣20（x ﹣52）2+6125≥6000， 解得：0≤x≤5．又∵x≤4，∴0≤x≤4答：售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．20. 【答案】（1）y=x 2﹣2x ﹣3．（2）对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8．解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b ，﹣1×3=c ， ∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x 2﹣2x ﹣3．（2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8， ∴12AB•|y P |=8， ∵AB=3+1=4，∴|y P |=4，∴y P =±4， 把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1± 把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8．21. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72.解析：（Ⅰ）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，得： 428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）；（Ⅱ）如图1，∵抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8，∴C（0，8），∵B（4，0），∴直线BC解析式为y=﹣2x+8，∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=12×3×1+12×3×3=6．（Ⅲ）如图2，∵C（0，8），D（1，9）；代入直线解析式y=kx+b，∴89 bk b=⎧⎨+=⎩，解得：18 kb=⎧⎨=⎩，∴y=x+8，∴E点坐标为：（﹣8，0），∵B（4，0），∴x=4时，y=4+8=12∴F点坐标为：（4，12），设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+9+m；当x=﹣8时，y=m﹣72，当x=4时，y=m，∴m﹣72≤0 或m≤12，∴0＜m≤72，∴抛物线最多向上平移72个单位．22.【答案】（1）b=43，c=2；D点坐标为（3，0）．（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；（3）当m=2S最小为0．解析：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=23-x2+bx+c得28223cb c=⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得b=43，c=2；∴y=23-x2+43x+2；令23-x2+43x+2=0解得x1=﹣1，x2=3∴D点坐标为（3，0）．（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；∵四边形OABC是正方形∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°又∵BF⊥BE∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠CBE∴△ABF≌△BCE∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．（3）如图，可以看出S△BEF=S梯形OCBF﹣S△OEF﹣S△BEC=12（2+2+m）×2﹣12m（2+m）﹣12（2﹣m）×2=﹣12m2+m+2S △BED =12×（3﹣m ）×2 =3﹣m 两个三角形的面积差最小为0，即3﹣m=﹣12m 2+m+， 解得∵E 是OC 上的动点∴m=2当m=2S 最小为0．23. 【答案】（1）最高点P 的坐标为（2，4）；（2）点A 的坐标为（72，74）；（3）214；（4）点M 的坐标为（32，154）． 解析：（1）由题意得，y=﹣x 2+4x=﹣（x ﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P 的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：2124y x y x x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩，或7274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故可得点A 的坐标为（72，74）； （3）如图，作PQ ⊥x 轴于点Q ，AB ⊥x 轴于点B ．S △POA =S △POQ +S △梯形PQBA ﹣S △BOA =12×2×4+12×（74+4）×（72﹣2）﹣12×72×74=4+6916﹣4916=214； （4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的解析式为y=12x+b ， ∵P 的坐标为（2，4）， ∴4=12×2+b ，解得b=3， ∴直线PM 的解析式为y=12x+3． 由21324y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，32154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点M 的坐标为（32，154）．。
北师大九年级下数学《第二章二次函数》单元测试(含答案)
2、选择题1.二次函数y=x +4x - 5的图象的对称轴为（ ）3.要得到函数y=2x 2-1的图象，应将函数 y=2x 2的图象（）C. 沿y 轴向上平移1个单位 □沿 y 轴向下平移1个单位2 ..4. 若 A （- 3, y 1）, B （- 1 , y 2）, C （ 2, y 3）为二次函数 y=x - 2x - 3 的图象上的三点，贝U y 1 , y 2 y 3的大小关系是（） A. y 1 < y 2< y 3B. y 2 < y 1 < y 3C. yj < y 2< y 1D. y 3< y 1< y 22 ..5. 已知二次函数 y=ax +bx+c ,且ac < 0,则它的图象经过（ ）A. 一、二、三象限B.二、三、四象限C. 一、三、四象限D. 一、二、三、四象限2 26.方程ax +bx+c=0的两个根是—3和1,那么二次函数 y=ax +bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）7. 若将函数y=2x 2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（210. 抛物线y=- 3x +2x - 1与坐标轴的交点个数为（第二章二次函数A. x= - 4B. x=42.二次函数y= ( x - 1) 2- 2的顶点坐标是( )A. (1，- 2)B. (- 1，2)C.x=- 2D. x=2C. (- 1,- 2)D. (1 , 2)A. 沿x 轴向左平移1个单位B. 沿x 轴向右平移1个单位A. x =— 3B.关一2C.=x — 1D.关12A.y=2 (x - 1) - 3B. y=2 ( x - 1) 2+32C. y=2( x+1) - 3D. y=2 ( x+1) 2+32A. 0个B.个C. 个D.个2+k 的图象如图所示，下列判断正确的是（B. h >0, k < 0C. h < 0, k > 0D. h < 0, k < 09. y=x 2+（ 1— a ） x + 1是关于x 的二次函数，当 x 的取值范围是 Kx w 时,y 在x = 1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（）A. a=5B. a >5C. c = 3D. a >3A. h >0, k >0211. 如图，二次函数 y=ax+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5, 1），下列结论：①ac v 0; ②a+b=0；③4ac - b 2=4a ;a+c ） 2 - b 2< 0 .其中正确的个数是（）A. 1个B.个C.个D.个二、填空题212. 抛物线y=- 2 （x - 3） +4的顶点坐标是 ________ .13. 若抛物线y=ax 2+bx+c （a 工0的图象与抛物线 y=x 2 - 4x+3的图象关于y 轴对称，则函数 y=ax 2+bx+c 的解 析式为 _________ .2 2 ...14. 二次函数y= （x - 2m ） +m ,当m < x < m+1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 15. _____________________________________ 抛物线y=- x 2- 2x+3与x 轴交点为 . 2 __16. ）若二次函数y=x+2x+m 的图象与x 轴没有公共点，则 m 的取值范围是 _____________217. 已知抛物线y=ax +bx+c 的部分图象如图所示，若 y >0，则x 的取值范围是 ___________ .19.二次函数y= （a - 1） x 2 - x+a 2 - 1的图象经过原点，贝Va 的值为 __________ 三、解答题20. 已知「一「「wW -川 门—厂一是x 的二次函数，求 m 的值和二次函数的解析式.221. 已知二次函数y=ax +bx+3的图象过点（-1, 8）、（ 1, 0），求这个二次函数的表达式.3个单位，则所得抛物线的解析式是222. 已知二次函数 y= - x +2x+m . (1)如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点 A (3，0)，与y 轴交于点B ,直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x的取值范围... 223. 如图，对称轴为直线 x=2的抛物线y=x+bx+c 与x 轴交于点A 和点B ,与y 轴交于点C ,且点A 的坐标(1) 求抛物线的解析式，以及 B 、C 两点的坐标；(2)求过O , B , C 三点的圆的面积.(结果保留n)一、 选择题 CADCDCDBBBD 二、 填空题 12. (3, 4) 13. y=x 2+4x+3 14. m > 115. (- 3, 0),( 1, 0) 16. m > 1 17. x v- 1 或 x > 5 218. y=x -10x+18. 19. - 1 三、解答题20. 解：「一 ；~川-'是x 的二次函数,•••此二次函数的解析式为： y=6x 2+9或y=2x 2 - 4x+1.解析式为y=« - 4x+322. (1)解：•二次函数的图象与x 轴有两个交点,2=2 +4m > 0 m >- 1(2)解：•二次函数的图象过点 A ( 3, 0),• 0= — 9+6+m • m=3,•••二次函数的解析式为： y=- «+2x+3, 令 x=0,则 y=3, • B ( 0, 3),参考答案21.解：把(-1, 8)2仏-占+ 3二&(1, 0)代入 y=ax +bx+3 得、，解得 a+i+3=0Jo 二 1 b二-4，所以二次函数的沖-砒H0nt- --1 = 2，解得 m=3 或 m= - 1,设直线AB的解析式为：y=kx+b.3t+i = 0，解得:6 = 3直线AB的解析式为：2抛物线y=- x +2x+3,严-1L i = 3y=- x+3,的对称轴为：x=1,•••把x=1 代入y=- x+3 得y=2, ••• P ( 1, 2)(3)解：根据函数图象可知：x v 0或x> 323. (1)解：由题意得： f 2 解得:l-b+c=O2•抛物线解析式为：y=x - 4x- 5,当x=0 时，x2- 4x- 5=0,(x+1)( x- 5) =0, x i=- 1 , x2=5,• A (- 1, 0), B (5, 0),当x=0 时，y= - 5,• C ( 0, - 5),•••抛物线解析式为y=/-4x- 5, B点坐标为(5, 0), C点坐标为(0，- 5)(2)解：连接BC,则△ OBC是直角三角形，•••过0、B、C三点的圆的直径是线段在Rt A 0BC 中，0B=0C=5• BC=5、~ ,•圆的面积为n (BC的长度,。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。
最新北师大版九年级数学下册《第二章二次函数》单元测试题(有答案)
第二章二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是()A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(x－1)C．y＝1x2D．y＝(x－1)2－x22．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是()A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点3．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值是－3，那么m的值等于() A．10 B．4 C．5 D．64．如图2－Z－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是()图2－Z－1A．x＜－2 B．－2＜x＜4C．x＞0 D．x＞45．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b＋c >0；④若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z －3A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③8．如图2－Z －4，正三角形ABC 的边长为4，P 为BC 边上的任意一点(不与点B ，C 重合)，且∠APD ＝60°，PD 交AB 于点D .设BP ＝x ，BD ＝y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )图2－Z －4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E 为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z－10，在直角坐标系中，已知点A(8，0)，B(0，6)，点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由点A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ.若设运动时间为t(0＜t＜103)秒，解答下列问题：(1)当t为何值时，△APQ与△ABO相似？(2)设△AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．图2－Z－1017．(14分)如图2－Z－11，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，AB＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P为对称轴上一动点，求△APC的周长的最小值；(3)设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________．图2－Z－11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x是二次函数；C.y ＝1x 2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C.6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b 2a ＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y＝－14x2＋x.故选C.9．[答案] y＝－2(x＋1)2－310．[答案] (－1，0)11．[答案] ＞[解析] 由y＝(x＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x＝－3.∵抛物线开口向上，而点A(4，y1)到对称轴的距离比点B(－4，y2)到对称轴的距离远，∴y1＞y2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C.设AB与y轴交于点H，∵AB＝12，∴AH＝BH＝6，由题可知：OH＝5，CH＝4，∴OC＝5＋4＝9，∴B(6，5)，C(0，9)．设该抛物线的表达式为y＝ax2＋k，∵顶点为C(0，9)，∴y＝ax2＋9.把B(6，5)代入，得5＝36a＋9，解得a＝－1 9，∴抛物线的表达式为y＝－19x2＋9.当y＝0时，0＝－19x2＋9，解得x＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)，∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)．故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC .∵C ，D 两点的纵坐标相同，∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4.∵CD ＝2－0＝2，∴S △BCD ＝12×2×4＝4. 15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．(3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600，－10(x －50)2＝－250，x －50＝±5，x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10.①当P A AB ＝AQ OA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011；②当AP OA ＝AQ AB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023.综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似． (2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ，∴AP AB ＝PD OB ，即10－3t 10＝PD 6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)．把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3，点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)，∴点C的坐标为(0，3)，∴BC＝32＋32＝3 2，AC＝32＋12＝10.∵点A，B关于对称轴直线x＝2对称，∴P A＝PB，∴P A＋PC＝PB＋PC，此时PB＋PC＝BC，∴当点P在对称轴上运动时，P A＋PC的最小值等于BC，∴△APC的周长的最小值＝AC＋P A＋PC＝BC＋AC＝3 2＋10.(3)(2，－1)。
北师大版九年级下第二章《二次函数》单元测试含答案
单元测试(二) 二次函数一、选择题(每小题3分，共24分)1．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是( )A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对 2．(兰州中考)抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( )A ．直线x ＝12B ．直线x ＝－12C ．y 轴D ．直线x ＝23．(成都中考)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( ) A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2＋4 D ．y ＝(x －1)2＋2 4．如果a 、b 同号，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象是( )5．(牡丹江中考)将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，3) C ．(0，4) D ．(0，7)6．(泸州中考)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x ＝－1，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是( )A ．x<－4或x>2B ．－4≤x ≤2C ．x ≤－4或x ≥2D ．－4<x<27．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为( )A ．3 mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9 m8．(枣庄中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc ＝0；②a ＋b ＋c>0；③a>b ；④4ac －b 2<0.其中，正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题4分，共20分)9．若函数y＝ax2的图象是一条不经过一、二象限的抛物线，则a____________0.10．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取最大值4，当x＝0时，y＝－14，则函数表达式为____________．11．平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为y＝－16x2＋13x＋32(单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为____________．12．(宿迁中考)当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为____________．13．老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有____________．(填写姓名即可)三、解答题(共56分)14．(8分)已知抛物线y＝ax2＋bx经过(2，0)，(－1，6)．(1)求这条抛物线的表达式；(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．15．(10分)小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：由于粗心，16.(12分)某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且y ＝ax 2＋bx ，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．(1)求y 的函数表达式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？17．(12分)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的表达式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h ＝－1128(t －19)2＋8(0≤t ≤40)，且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？18．(14分)(枣庄中考)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)当△PAC 为直角三角形时，求点P 的坐标．参考答案1．C 2.C 3.D 4.D 5.B 6.D 7.D 8.C 9.< 10.y ＝－2(x －3)2＋4 11.1.5 m 12.3 13.小华、小彬、小明14．(1)y ＝2x 2－4x.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标(1，－2)．15．根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x ＝0.可设函数表达式为y ＝ax 2＋c.把x ＝1，y ＝2；x ＝0，y ＝－1代入，求得函数表达式为y ＝3x 2－1.则x ＝2与x ＝－2时应取值相同．把x ＝2代入y ＝3x 2－1，得y ＝11.故这个算错的y 值所对应的x 的值为2.16．(1)由题意，x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 所以y ＝x 2＋x.(2)设第1年到第x 年利润为g 万元，则g ＝33x －100－x 2－x ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156. 当g ＝0时，x 1＝16＋239，x 2＝16－239≈3.5，故当x ＝4时，即第4年可收回投资． 答：投产后，这个企业在第4年就能收回投资．17．(1)依题意，顶点C 的坐标为(0，11)，点B 的坐标为(8，8)，设抛物线表达式为y ＝ax 2＋c ，有⎩⎪⎨⎪⎧8＝64a ＋c ，11＝c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－364，c ＝11.∴抛物线表达式为y ＝－364x 2＋11(－8≤x ≤8)． (2)令－1128(t －19)2＋8＝11－5.解得t 1＝35，t 2＝3.∴当3≤t ≤35时，水面到顶点C 的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35－3＝32(小时)． 答：禁止船只通行时间为32小时．18．解(1)∵B(4，m)在直线y ＝x ＋2上， ∴m ＝6，B(4，6)．∵A(12，52)、B(4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝52，16a ＋4b ＋6＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.∴所求抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)． ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵a ＝－2＜0，∴当n ＝94时，线段PC 取得最大值498，此时，P(94，174)．综上所述，存在符合条件的点P(94，174)，使线段PC 的长有最大值498.(3)显然，∠APC ≠90°，如图1，当∠PAC ＝90°时，设直线AC 的表达式为y ＝－x ＋b ，把A(12，52)代入，得－12＋b ＝52.解得b ＝3.由－x ＋3＝2x 2－8x ＋6，得x 1＝3或x 2＝12(舍去)． 当x ＝3时，x ＋2＝3＋2＝5.此时，点P 的坐标为P 1(3，5)． 如图2，当∠PCA ＝90°时，由A(12，52)知，点C 的纵坐标为y ＝52.由2x 2－8x ＋6＝52，得x 1＝12(舍去)，x 2＝72.当x ＝72时，x ＋2＝72＋2＝112.此时，点P 的坐标为P 2(72，112)．综上可知，满足条件的点P 有两个，为P 1(3，5)，P 2(72，112)．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．18m >B ．18mC ．18m >-且0m ≠ D ．18m 且0m ≠ 2．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．对称轴为y 轴的二次函数是（ ）A ．y=(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=-(x-1)2 4．已知二次函数()222y mx m x =+-，它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ，其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面四个结论中：①0a b c ++<；②13a c =-；③只有当12a =时，ABD △是等腰直角三角形； ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个．其中正确的结论有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1)7．二次函数223y x =-+在14x -≤≤内的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．－29D ．－308．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了多远？（ ）A ．10.35mB ．8.375mC ．8.725mD ．9.375m 9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像如图所示，则下列结论：①abc >0；②a ﹣b +c >0；③4a ﹣2b +c <0，其中结论正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知二次函数223y x x =--+，下列叙述中正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为直线1x =C ．函数有最小值D ．当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小11．二次函数2y ax bx c =++的图像如图，现有以下结论：①0abc >；②42a c b +<；③320b c +<；④()(1)m am b b a m ++<≠-，其中正确结论序号为（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④ 12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．如图，直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线233384y x x =-++经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为_____．14．如图，二次函数2y x mx =-+的图象与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=(t 为实数）在14x <<的范围内有解，则t 的取值范围是_______．15．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc >；②20a b -=；③320b c +>；④2(am bm a b m +≤-为实数)．其中正确结论是_____________（只填序号)．16．如图1，AO ，BC 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线21410y x x =-+的图象．因实际需要，在OA 与BC 间用一根高为2.5m 的立柱MN 将绳子撑起，若立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，则点D 到地面的距离为______．17．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点．若()15,P y ，()2,Q m y 是抛物线上的两点，且12y y >，则m 的取值范围是______．18．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当0x >时，y 随着x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．19．若函数2(1)42y a x x a =+-+的图像与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为____． 20．把函数y ＝x 2＋3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________．三、解答题21．某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x （元/件）时，日销售量为（200-x ）件．（1）写出用售价x （元/件）表示每日的销售利润y （元）的表达式（2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销售量是多少件？（3）当售价定位多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？22．已知地物线2y x bx c =-++()0a ≠与y 轴交于点A ，点()3,2B 在该抛物线上 （1）若抛物线的对称轴是直线x m =，请用含b 的式子表示m ；（2）如图1，过点B 作x 轴的垂线段，垂足为点C ．连结AB 和AC ，当ABC 为等边三角形时，求抛物线解析式；（3）如图2，在（2）条件下，已知P 为x 轴上的一动点，连结AP 和BP ，当30APB ∠=︒时，求满足条件的点P 的坐标．23．抛物线y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，求m 的值及抛物线的顶点坐标． 24．已知抛物线的顶点坐标是()1,4-，且过点(0,3)．()1求这个抛物线对应的函数表达式．()2在所给坐标系中画出该函数的图象．()3当x 取什么值时，函数值小于0?25．已知抛物线2y ax c =+经过点()0,2A 和点()1,0B -．（1）求抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点坐标为()2,1，平移后的抛物线与x 轴的两个交点分别为点,C D （点C 在点D 的左边）．求点,C D 的坐标；（3）将（1）中的抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m ，平移后的抛物线与x 轴两个交点之间的距离为n ．若15m <≤，直接写出n 的取值范围．26．如图，已知某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A（1）求该二次函数的表达式；（2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点，若点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，可得△＝221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论．【详解】解：∵原函数是二次函数，∴0m ≠，∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则△＝240b ac ->，即221410m m m -⨯->(+)()， 解得18m >-． ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解．【详解】解：2(0)y ax bx a =+≠，0c ，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误； A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴b x 02a =->， 所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交，所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．C解析：C【分析】由已知可知对称轴为x ＝0，从而确定函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，由选项入手即可．【详解】解：二次函数的对称轴为y 轴，则函数对称轴为x ＝0，即函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】分m ＞0，m ＜0两种情形，判断对称轴与x=14的位置关系即可. 【详解】∵()222y mx m x =+-， ∴抛物线一定经过原点，∴选项A 排除；∵()222y mx m x =+- ， ∴对称轴为直线x=22224m m m m ---=⨯， ∵24m m --14=24m m m --=24m-， 当m ＞0时，抛物线开口向上，24m -＜0， ∴对称轴在直线x=14的左边， B 选项的图像符合；C 选项的图像不符合； 当m ＜0时，抛物线开口向下，24m -＞0， ∴对称轴在直线x=14的右边， D 选项的图像不符合；故选B.【点睛】 本题考查了二次函数的图像，熟练掌握抛物线经过原点的条件，抛物线对称轴的位置与定直线的关系的判定是解题的关键.5．D解析：D【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，∴对称轴x ＝1，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0；故①正确；②∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c ＝0，又∵b ＝﹣2a ，∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴13a c =-∴结论②正确．③如图1，连接AD ，BD ，作DE ⊥x 轴于点E ， ，要使△ABD 是等腰直角三角形，则AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∵DE ⊥x 轴，∴点E 是AB 的中点，∴DE ＝BE ，即|244ac b a -|()312--==2，又∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴|()()24324a a a a⨯---|＝2，a ＞0， 解得a 12=， ∴只有当a 12=时，△ABD 是等腰直角三角形， 结论③正确 ④要使△ACB 为等腰三角形，则AB ＝BC ＝4，AB ＝AC ＝4，或AC ＝BC ，Ⅰ、当AB ＝BC ＝4时，在Rt △OBC 中，∵OB ＝3，BC ＝4，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝42﹣32＝16﹣9＝7，即c 2＝7，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c 7=-，∴a 73c =-=．Ⅱ、当AB ＝AC ＝4时，在Rt △OAC 中，∵OA ＝1，AC ＝4，∴OC 2＝AC 2﹣OA 2＝42﹣12＝16﹣1＝15，即c 2＝15，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c=，∴a 3c =-= Ⅲ、当AC ＝BC 时，∵OC ⊥AB ，∴点O 是AB 的中点，∴AO ＝BO ，这与AO ＝1，BO ＝3矛盾，∴AC ＝BC 不成立．∴使△ACB 为等腰三角形的a ． 结论④正确．故答案选：D【点睛】二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 2b a=-判断符，（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2﹣4ac ＞0；②1个交点，b 2﹣4ac ＝0；③没有交点，b 2﹣4ac ＜0．6．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答． 7．C解析：C【分析】根据图象，直接代入计算即可解答 【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y 最小值=-2×16+3=-29．故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．8．D解析：D 【分析】求出函数的最大值即可得求解． 【详解】∵22575156648s t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝＝＋， ∴当54t ＝时，s 取得最大值759.3758=，即汽车刹车后到停下来前进的距离是9.375m 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．9．D解析：D 【分析】由抛物线开口向下，得到a ＜0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，可得出abc ＞0，得到①正确；根据图象知，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，得到②正确；根据图象知，当x =﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，得到③正确，从而得出结论． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0．∵02ba -<， ∴b ＜0．∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；根据图象知，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，故②正确； 根据图象知，当x =﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，故③正确． 则其中正确的有3个，为①②③． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）来说，a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性及x =﹣1，﹣2时对应函数值的正负．10．D解析：D 【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【详解】解：A. 2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 错误； B.2223=(1)4y x x x =--+-++∴图象的对称轴为直线1x =-，故选项B 错误； C.2223=(1)4y x x x =--+-++ ∵a=-1<0，∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C 错误； D. 2223=(1)4y x x x =--+-++∴当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选项D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可．11．A解析：A 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线的对称性结合点()2,42a b c --+的位置可判断②，由抛物线的图像结合点()1,a b c ++的位置，对称轴方程，可判断③，由函数的最大值可判断④，从而可得答案． 【详解】 解：图像开口向下， a ∴＜0，12bx a=-=-＜0, b ∴＜0，函数图像与y 轴交于正半轴，c ∴＞0，abc ∴＞0，故①符合题意； 抛物线与x 轴的一个交点在0~1之间，由抛物线的对称性可得：抛物线与x 轴的另一个交点在3~2--之间，∴ 当2x =-时，42y a b c =-+＞0，4a c ∴+＞2,b 故②不符合题意；12bx a=-=-， 2,b a ∴= 即1,2a b =当1x =时，y a b c =++＜0， 12b bc ∴++＜0， 32b c ∴+＜0，故③符合题意； 当1x =-时，函数有最大值,y a b c =-+当1x m =≠-，2,y am bm c =++2am bm c ∴++＜,a b c -+()m am b b ∴++＜,a 故④符合题意．故选：.A 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．12．D解析：D 【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由图象开口向上，可知a<0， 与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误；∵122b a -= ∴=-a b ，∴0a b +=，故B 错误；当12x =时，则11042y a b c =++>，∵=-a b ，∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误； 当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++ 4222an an a an a c =++--+ 42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥， ∴22(1)an n c c ++≤， 即y c ≤，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】设出E 的坐标表示出M 坐标进而表示出EM 化成顶点式即可求得EM 的最大值【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点∴点E 的坐标是（m ）点M 的坐标是（m ）∴EM ＝﹣（）＝＝（m2﹣4m ）＝（解析：32【分析】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点， ∴点E 的坐标是（m ，233384m m -++），点M 的坐标是（m ，334m -+）， ∴EM ＝233384m m -++﹣（334m -+）＝23382m m -+＝38-（m 2﹣4m ）＝38-（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32， 故答案为32． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．【分析】求出函数解析式求出函数值取值范围把t 的取值范围转化为函数值的取值范围【详解】先由已知可得二次函数y=−x2+mx 的图象与x 轴交于坐标原点和(40)所以对称轴x==所以m=4代入方程y=−x2 解析：04t <≤【分析】求出函数解析式，求出函数值取值范围，把t 的取值范围转化为函数值的取值范围. 【详解】先由已知可得，二次函数 y=−x 2+mx 的图象与 x 轴交于坐标原点和 (4,0) 所以对称轴 x=2b a-=()221m -=⨯-， 所以m=4，代入 方程y=−x 2+mx 得， y=-x 2+4x ， 当x=2时，y=4 即顶点坐标是（2，4） 当x=1时，y=3， 当x=4时，y=0 由x 2−mx+t=0 得 t=-x 2+4x=y因为当 1<x<4 时， 0<y≤4，所以在 1<x<4 范围内有实数解，则 t 的取值范围是0<t≤4， 故答案为：0<t≤4 ． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程数形结合分析问题，注意函数的最低点和最高点.15．①②④【分析】根据抛物线开口向下对称轴抛物线与轴相交于正半轴可得可以判断①和②正确；当时有解得由图像可知化简后可判断得③错误；由图像可知当时抛物线有最大值当时根据得到化简后得故④正确【详解】解：抛物解析：①②④． 【分析】根据抛物线开口向下，对称轴12bx a=-=-，抛物线与y 轴相交于正半轴，可得0a <，20b a =<，0c >，可以判断①和②正确；当0y =时，有210a x c a ，解得11a cx a ，21a cx a，由图像可知，011a c a，化简后可判断得③错误；由图像可知，当1x =-时，抛物线有最大值1y a bc ，当x m =时，22y am bmc ，根据12y y ≥得到20a bcam bmc化简后得2am bm a b +≤-，故④正确．【详解】 解：抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线的对称轴12bx a=-=-， 20b a ∴=<，抛物线与y 轴相交于正半轴，0c ∴>，∴0abc >，故①正确；∴2220a b a a -=-=，故②正确；当0y =时，2220ax bx c ax ax c ，∴210a x c a∴11a cx a， 21a cx a由图像可知，011a c a∴14a c a则有30a c +<，∴62320a c b c +=+<，故③错误； 由图像可知，当1x =-时，抛物线有最大值1y a bc ，当x m =时，22y am bmc ，∵12y y ≥ ∴20a bcam bmc则2am bm a b +≤-，故④正确； 故答案是：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．16．2m 【分析】根据起始抛物线确定点A 的坐标结合已知确定N 的坐标从而确定新抛物线的解析式即可求解【详解】∵抛物线解析式为∴点A 的坐标为（04）∵立柱到的水平距离为左侧抛物线的最低点与的水平距离为∴新抛物解析：2m ． 【分析】根据起始抛物线，确定点A 的坐标，结合已知确定N 的坐标，从而确定新抛物线的解析式即可求解． 【详解】∵抛物线解析式为21410y x x =-+， ∴点A 的坐标为（0，4），∵立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，∴新抛物线的顶点坐标的横坐标为2，点N 的坐标为（3，52）， 设抛物线的解析式为y=a 2(2)x k -+，把（0，4），（3，52）分别代入解析式，得 5a 244k a k ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得1a 22k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为y=21(2)22x -+， ∴抛物线的最小值为2即点D 到地面的距离为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的生活应用，解析式的确定，熟练把生活问题转化为函数问题，灵活确定抛物线的解析式是解题的关键．17．【分析】根据图像经过的两点确定抛物线的对称轴利用对称轴确定P 的对称点利用数形结合思想确定m 的范围即可【详解】∵抛物线经过两点∴解得b=-6a ∴抛物线的对称轴为直线x==3∴的对称点为∵∴故填【点睛】解析：15m <<. 【分析】根据图像经过的两点，确定抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P 的对称点，利用数形结合思想，确定m 的范围即可. 【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点，∴4201640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩， 解得b=-6a ，∴抛物线的对称轴为直线x=2ba-=3, ∴()15,P y 的对称点为()11,P y '， ∵12y y >， ∴15m <<， 故填15m <<. 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键.18．y=-x2-2x-1【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-≤0；只要举出满足以上两个条件的abc 的值即可得出所填答案【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c①开口向下∴a ＜0；②当x ＞0时y 随着x 的解析：y=-x 2-2x-1． 【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-2ba≤0；只要举出满足以上两个条件的a 、b 、c 的值即可得出所填答案． 【详解】解：二次函数y=ax 2+bx+c ， ①开口向下， ∴a ＜0；②当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小，-2ba≤0，即b ＜0； ∴只要满足以上两个条件就行，如a=-1，b=-2，c=-1时，二次函数的解析式是y=-x 2-2x-1．故答案为：y=-x2-2x-1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．19．或或【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解若为二次函数由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac＝0据此求解可得【详解】解：当a＋1＝0即a＝−1时函数解析式为y＝−4x−2与x轴只有一个交-或1解析：2-或1【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac＝0，据此求解可得．【详解】解：当a＋1＝0，即a＝−1时，函数解析式为y＝−4x−2，与x轴只有一个交点；当a＋1≠0，即a≠−1时，根据题意知，（−4）2−4×（a＋1）×2a＝0，整理，得：a2＋a−2＝0，解得：a＝1或a＝−2；综上，a的值为−1或−2或1．-或1．故答案为：2-或1【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y＝0，即ax2＋bx＋c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根之间的关系：△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．y＝x2＋2【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标再利用顶点式写出解析式即可【详解】解：函数y＝x2＋3的顶点坐标为（03）∵函数图象向下平移1个单位长度∴得到的函数图象顶点坐标为（0解析：y＝x2＋2．【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标，再利用顶点式写出解析式即可．【详解】解：函数y＝x2＋3的顶点坐标为（0，3），∵函数图象向下平移1个单位长度，∴得到的函数图象顶点坐标为（0，2），∴得到函数解析式为y＝x2＋2．故答案为：y＝x2＋2．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，通过平移求出新图象顶点坐标是关键．三、解答题21．（1）y=-x 2+320x-24000 ；（2）当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件；（3）当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【分析】（1）根据利润=（销售价-成本价）×销售量可以得到解答；（2）令（1）中y=1500可以得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到产品售价x 的值，并进一步得到日销售量；（3）把（1）得到的函数配方，再根据二次函数的性质即可得到解答 ． 【详解】解：（1）y =（x -120）（200-x ）=-x 2+320x-24000 ； （2）日销售利润是1500元，即y=1500，则 1500=-x 2+320x-24000 解得：x 1=170，x 2=150当x=170时，日销售量是30件，当x=150时，日销售量是50件∴当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件 ．（3）∵y=-x 2+320x-24000 =-（x-160）2+1600∴当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，由题意列出二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可．22．（1）2b m =；（2）21y x =-+；（3）)12,0P ，)22,0P【分析】（1）直接根据对称轴为2bx a=-代入a ，b 计算即可得出答案； （2）首先根据点B 的坐标及等边三角形求出AC ，OC 的长度，然后利用勾股定理求出AO 的长度，从而得出c 的值，最后将点B 代入解析式中即可求解；（3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P 的位置从而可确定出点P 的坐标． 【详解】 （1）∵22b b x a =-=， ∴2b m =．（2）∵ABC 为等边三角形，BC x ⊥轴，)B ，∴2AC BC ==，3OC =， 在Rt AOC 中， 221AO AC OC =-=∴1c =把()3,2B 代入21y x bx =-++，得43b =， ∴2431y x x =-++． （3）如图，由（2）知ABC 为等边三角形，∴60ACB ∠=︒，∵30APB ∠=︒，∴2ACB APB =∠∠，由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，经过点P ． ∵P 在x 轴上，∴点P 即为圆C 与x 轴的交点，∵2BC =，∴2r，2CP = ∵()3,0C， ∴()132,0P -， 由轴对称性可知，()232,0P +．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键．23．m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【分析】根据y=2x 2+4mx+m-5的对称轴为直线x=1，可以求得m 的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．【详解】解：∵y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，∴－422m ⨯＝1， 解得m ＝－1， ∴y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴此抛物线的顶点坐标为(1，－8)，∴m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x=-2b a，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．24．()()2114y x =-++或223y x x =--+；()2见解析；()33x <-或1x > 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，由抛物线()214y a x =++过点(0,3)，1a =-即可；（2）列表，描点在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）用平滑曲线连接即可；（3）由函数值小于0，可得函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧即可．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，抛物线()214y a x =++过点(0,3)， 4=3a +，1a =-，抛物线的解析式为()214y x =-++；（2）列表：0）连线：用平滑曲线连接，（3）∵函数值小于0，∴函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧，当x<-3或x>1时，函数值小于0．【点睛】本题考查抛物线的解析式，画函数图像，函数图像的位置关系，掌握抛物线的解析式的求法，描点画函数图像的方法，函数图像与x 轴关系自变量范围是解题关键．25．（1）222y x =-+；（2）222,0,222C D ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3210n <≤【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解方程求得它们的值；（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令0y =，则解关于x 的方程，即可求得点C 、D 的横坐标；（3）根据抛物线与x 轴两个交点之间的距离为2211212||()4x x x x x x -+-的关系来即可求n 的取值范围；【详解】解：（1）抛物线2y ax c =+经过点(0,2)A 和点(1,0)B -， ∴20c a c =⎧⎨+=⎩， 解得：22a c =-⎧⎨=⎩， ∴此抛物线的解析式为222y x =-+；（2）此抛物线平移后顶点坐标为(2,1)，∴抛物线的解析式为22(2)1y x =--+，令0y =，即22(2)10x --+=，解得 1222x =+，2222x =-，点C 在点D 的左边，(C ∴ 2-0)，(2D +，0)； （3）设平移后抛物线的解析式是22y x m =-+，该抛物线与x 轴的两交点横坐标为1x ，2x ，整理为：220x m -=．此时120x x +=，122m x x =-．则21||x x n -==．当1m =时，n =当5m =时，n =．所以，n n <≤【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．26．（1）223y x x =--；（2）421n -．【分析】（1）设二次函数的解析式是y=a （x-h ）2+k ，先代入顶点A 的坐标，再把B 的坐标代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）由点P 到y 轴的距离不大于4，得出 ，结合二次函数的图象可知，请根据图象直接写出n 的取值范围．【详解】解：（1）某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A ，设二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把(4,5)A 代入得：25(41)4a =--解得：1a =，所以函数表达式为：223y x x =--．（2）点P 到y 轴的距离为||m ，∴||m ≤4，∴44m -，∵2223(1)4y x x x =--=--，在44m -时，当m=1时，有最小值n=-4；当m=-4时，有最大值n=21，∴421n -．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数求最值，二次函数图象和性质的应用，求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键．。
第二章 二次函数数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第二章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y=﹣x2+2x+5 图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（）A.0米到8米B.5米到8米C. 到8米D.5米到米2、某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是，那么可列出的方程是（）A. ；B. ；C. ；D. .3、二次函数y=3x2-6x+5的图象的顶点坐标是（）A.（1,2）B.（1,8）C.（﹣1,2）D.（1,﹣4）4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的图象可能是（）A. B. C. D.5、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③a ﹣b+c＞0；④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2.其中正确的有（）个A.1个B.2个C.3个D.4个6、在下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（）A. B. C. D.7、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A.y=B.y=﹣C.y=﹣D.y=8、已知某二次函数的图象与轴相交于A，B两点.若该二次函数图象的对称轴是直线，且点A的坐标是，则AB的长为（）A.5B.8C.10D.119、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A.球不会过网B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界 D.无法确定10、如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A.﹣4B.﹣2C.1D.311、抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A.（1，3）B.（﹣1，3）C.（﹣1，﹣3）D.（1，﹣3）12、小明在解二次函数时，只抄对了，，求得图象过点．他核对时，发现所抄的比原来的值大2．则抛物线与轴交点的情况是（）A.只有一个交点B.有两个交点C.没有交点D.不确定13、二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A.一、三象限B.二、四象限C.一、二象限D.三、四象限14、将抛物线y=﹣2（x+3）2+1向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得到的抛物线的解析式为（）A.y=2（x+1）2B.y=﹣2（x+5）2+2C.y=﹣2（x+5）2+3 D.y=﹣2（x﹣5）2﹣115、下列函数是二次函数的是（）A.y=﹣B.y=x 2+xz+1C.x 2+2y﹣1=0D.xy=x 2﹣y二、填空题(共10题，共计30分)16、已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象上的两点（x1， y1）和（3，y2），若y1＞y2，则x1的取值范围是________.17、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）、B（3，3），且当1≤x≤3时，-1≤y≤3，则a的取值范围是________18、如图，抛物线与x轴正半轴交于点A, 点B的坐标为（0，-3），线段AB绕点P旋转180°，A,B的对应点C,D均落在抛物线上，则点P的坐标为________19、如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是________.20、二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为________21、某个函数具有性质：当x<0时，y随x的增大而减小，这个函数的表达式可以是________（只要写出一个符合题意的答案即可）.22、如果是二次函数，则m=________．23、将抛物线：向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是________.24、抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=1：2：3，y最小值为6，则此抛物线的解析式为________．25、某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …y …﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 …根据表格提供的信息，有下列结论：①该抛物线的对称轴是直线x=﹣2；②该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）；③b2﹣4ac=0；④若点A（0.5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5．则所有正确的结论的序号是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、一个二次函数y=（k﹣1）．求k值．27、已知二次函数图象顶点坐标（﹣3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标．28、如果二次函数y=x2﹣x+c的图象过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并求出该函数图象的顶点坐标．29、矩形的长和宽分别是4cm, 3cm ，如果将长和宽都增加x cm ，那么面积增加ycm2（1）求y与x之间的关系式.（2）求当边长增加多少时，面积增加8 cm230、如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B4、C5、C6、C7、C8、C9、C10、B11、A12、B13、D14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。
北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试及答案
北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试及答案 (时间：90分钟，满分：100分)尹巷中学徐效忠编辑一、选择题(每题3分，共36分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A.B.C.D.2.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=xC. 直线2-=xD. 直线2=x3. 抛物线y = a(x+1)2 -2与x 轴交于点（-3，0），则该抛物线与x 轴另一交点的坐标是（ ）A 、（21，0） B 、（1，0） C 、（2，0） D 、（3，0）4. （08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >5. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图所示，则点在 第___象限 ( ) A. 一 B. 二C. 三7. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x= -1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1C.10.把y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C.D.11.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）OxyAO xyBO xyCOxyD北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试12.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ）A. 0>M ，0>N ，0>PB. 0<M ，0>N ，0>PC. 0>M ，0<N ，0>PD. 0<M ，0>N ，0<P一选择题（每题3分，共36分）二、填空题(每题4分，共24分)13. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.14. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________.15. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.16. 若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（-2，8），且一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为-1和2，则该二次函数的解析关系式为 ___________17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. （2009年甘肃庆阳）图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法： ①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）三．解答题19.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元练习题（含答案）1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( )A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位2．抛物线y＝2x2－5x＋3与坐标轴的交点共有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)、B(2，y2)、C(5，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y24．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为( )A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0,2或－25．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( )A．b＞1 B．b＜1 C．b≥1 D．b≤16．设计师以y＝2x2－4x＋8的图形为灵感设计杯子如图所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE 等于( )A．17 B．11 C．8 D．77．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为 .8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是 .9. 二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是 .10. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1y2(填“＞”“＜”或“＝”)．11. 已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过A(－1,1)、B(2,4)两点，顶点坐标(m，n)，有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜12；④n≤1.则所有正确结论的序号是 .12. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为A(－2，－2)，且过点B(0,2)，则二次函数的表达式为 .13. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是 m2.14. 如图，抛物线的顶点为A(2,1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15. 某工厂制作A、B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B 数量相等．(1)制作一件A和一件B分别获利多少元？(2)工厂安排65人制作A、B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B.现在在不增加工人的情况下，增加制作C.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每天制作A、C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式；(3)在(1)(2)的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．参考答案：1-6 BBBDDB 7. －5≤y ≤4 8. x ＞5或x ＜－1 9. (－1,8) 10. ＞11. ① ② ④12. y ＝(x ＋2)2－2 13. 11214. 解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，把(0,0)代入得4a ＋1＝0，解得a ＝－14.所以抛物线的解析式为y ＝－14(x －2)2＋1，即y ＝－14x 2＋x ；(2)存在．因为抛物线的对称轴为直线x ＝2，则B(4,0)，设M(x ，－14x 2＋x)，根据题意得12×4×|－14x 2＋x|＝12×4×1×3，所以－14x 2＋x ＝3(舍)或－14x 2＋x ＝－3，解－14x 2＋x ＝－3得x 1＝－2，x 2＝6，此时M 点的坐标为(－2，－3)或(6，－3)．15. (1) 解：设制作一件A 获利x 元，则制作一件B 获利(105＋x)元，由题意得：30x ＝240x ＋105，解得：x ＝15，经检验，x ＝15是原方程的根，当x ＝15时，x ＋105＝120，答：制作一件A 获利15元，制作一件B 获利120元；(2) 解：设每天安排x 人制作B ，y 人制作A ，则2y 制作C ，于是有：y ＋x ＋2y ＝65，∴y ＝－13x＋653，答：y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－13x ＋653； (3) 解：由题意得：W ＝15×2×y ＋[120－2(x －5)]x ＋2y ×30＝－2x 2＋130x ＋90y ，又∵y ＝－13x＋653， ∴W ＝－2x 2＋130x ＋90y ＝－2x 2＋130x ＋90(－13x ＋653)＝－2x 2＋100x ＋1950，∵W ＝－2x 2＋100x ＋1950，对称轴为x ＝25，而x ＝25时，y 的值不是整数，根据抛物线的对称性可得：当x ＝26时，W 最大＝－2×262＋100×26＋1950＝3198元，此时制作A 产品的13人，B 产品的26人，C 产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．。
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数》单元测试卷含参考答案
ᔰ0 B.જ ܾ D. જ ܾെ ᔰ 8જ
米，
A. ൌ ᭰ 0 જ B. ൌ ᭰ 0 െ જ C. ൌ ᭰10 જ D. ൌ 10᭰െ െ0જ 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ， ） 11. 将抛物线 ൌ െ 1 向左平移 1 个单位，再向上平移 െ 个单位后，所得的抛物线的顶点坐标是________． 1െ. 将抛物线 ൌ െ െ 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到的抛物线经过点᭰1 3જ， ᭰ જ，则 ൌ________， ൌ________． 㾰જ 中， જ㾰 ൌ 0 ， જ 㾰જ ൌ 5，延长 જ 到 જ，使 જજ ൌ 3，延长 㾰જ 到 퐷，使 13. 如图，在 જ퐷 ൌ ，连接 㾰જ、જ퐷、퐷 ，则四边形 㾰જ퐷 面积的最大值为________．
的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整 െ3.᭰8 分જ 在一幅长 80 ，宽 50 െ 个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，要求纸边的宽度不得少于 1 ，同时不得超过 െ ．
（1）求出 关于 的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （െ）此时金色纸边的宽应为多少 时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．
1 . 设 ൌ െ 1，当 取何值时 最小，最小是多少？当 ൌ 0 时， ൌ________，当 ᔰ 0 时， 的范围 是________，当 જ 0 时， 的范围是________． 15. 若抛物线 ൌ જ െ 的形状与 ൌ െ െ 的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是᭰0 3જ，则该抛物线 的函数表达式是________． 0，试写出一个满足条件的函数的表达 16. 已知二次函数 ൌ જ െ ܾ 的图象过点᭰ 1 െજ，并且 જܾ 式________． 17. 已知抛物线 ൌ െ 3 与 轴相交于点 ，其顶点为 ，平移该抛物线，使点 平移后的对应点 与点 重合，则平移后的抛物线的解析式为________． ൌ________． 18. 若把函数 ൌ െ െ 的形式，其中 ， 为常数，则 3 化为 ൌ ᭰ જെ 1 . 用长为 8 的铝合金条做一个如图所示的矩形窗框，设水平的一边长为 ，窗户的透光面积为 那么 与 之间的函数表达式为________．
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第二章二次函数单元测试一、选择题 (本大题共7 小题，共 28 分 )1．已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 的开口向下，顶点坐标为 (2，－ 3)，那么该抛物线有 () A．最小值－ 3 B．最大值－ 3 C．最小值 2 D ．最大值 22．已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的 x 与 y 的部分对应值如下表：x －1 0 1 2 3y 5 1 － 1 － 1 1则该二次函数图象的对称轴为( )5 3A ． y 轴B．直线 x＝2 C．直线 x＝2 D．直线 x＝23．若二次函数 y＝ (m－ 1)x2－ mx－ m2＋1 的图象过原点，则 m 的值为 ()A．±1 B． 0 C． 1 D．－1图 8－Z－1c4．一次函数 y＝ ax＋ b 和反比例函数y＝x在同一平面直角坐标系中的图象如图8－ Z－ 1所示，则二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的图象大致为 ()图 8－Z－2为5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为18 元，降价后的价格为y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为()x，该药品原价A ． y＝ 36(1－ x) B． y＝ 36(1＋ x) C．y＝ 18(1 － x)2 D． y＝ 18(1＋ x2)图 8－Z －36．如图 8－ Z － 3 是二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋ c 图象的一部分 ，图象过点 (－ 3，0)，对称轴① b 2＞ 4ac ；② 2a ＋ b ＝0；③ a ＋ b ＋ c>0；④若点 B － 5为直线 x ＝－ 1，给出四个结论： 2， y 1 ，C － 1，y 2 为函数图象上的两点 ，则 y 1＜ y 2.其中正确的是 ()2A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③图 8－Z －47．如图 8－ Z －4， Rt △ OAB 的顶点 A(－ 2，4)在抛物线 y ＝ax2上，将 Rt △OAB 绕点 O顺时针旋转 90°， 得到 △OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为 ()A ．( 2， 2)B ．(2，2)C ．( 2，2)D ．(2， 2)二、填空题 (本大题共 5 小题，共 25 分 )8． 函数 y ＝ (x － 2)(3－ x)取得最大值时 ， x ＝ ________．9． 将抛物线 y ＝ 2(x － 1)2＋ 2 向左平移 3 个单位 ，再向下平移 4 个单位长度 ，那么得到的抛物线的表达式为 ____________ ．10．如图 8－ Z － 5，某公路隧道横截面为抛物线 ，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为y 轴建立如图 2－ Z － 7 所示的平面直角坐标系 ，若抛物线的表达式为 y ＝－ 1 22 x ＋ b ，则隧道底部宽 AB 为 ________m.图 8－Z－5 图 8－Z－ 6 11．如图 8－ Z － 6 所示，已知抛物线 y＝ ax 2＋ bx＋ c 与 x 轴交于 A， B 两点，顶点 C 的纵坐标为－ 2，现将抛物线向右平移 2 个单位长度，得到抛物线2y＝ a1 x ＋ b1 x＋ c1，则下列结论正确的是 ________． (写出所有正确结论的序号)① b>0 ；② a－ b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若 c＝－ 1，则 b2＝4a.12．二次函数y＝ x2－ 2x－3 的图象如图8－ Z－ 7 所示，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB 为23个单位长度，以 AB 为边作等边三角形 ABC ，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为 ________________ ．图 8－Z－7三、解答题 (共 47 分 )13． (14 分 )如图 8－ Z－ 8，已知矩形 ABCD 的周长为 12， E， F， G， H 为矩形 ABCD 的各边中点，若 AB＝ x，四边形 EFGH 的面积为 y.(1)请直接写出y 与 x 之间的函数关系式；(2)根据 (1) 中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．图 8－Z－814．(16 分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40 元，售价为每件 60 元，每月可卖出300 件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元，每月要少卖10 件；售价每下降 1 元，每月要多卖 20 件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 (60 ＋x)元/ 件 (x＞ 0 即售价上涨， x＜0 即售价下降 )，每月饰品销量为 y 件，月利润为 w 元．(1)直接写出y 与 x 之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6000 元，应如何控制销售价格？15． (17 分 )如图 8－ Z－ 9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A( －1，0)， B(4， 0)， C(0，－ 4)三点，P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)动点 P 运动到什么位置时，△PBC 的面积最大，求出此时点 P 的坐标和△PBC 的最大面积．图 8－Z－9详解详析1．B [解析 ] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为 (2，－3) ，所以该抛物线有最大值－3.故选 B.2．D [解析 ] 观察表格可知 ，点 (0，1)与点 (3，1)、点 (1，－ 1)与点 (2，－ 1)的纵坐标分别相等 ，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称 ，进而可求得对称轴为直线x ＝0＋ 32 (或1＋2 32 )＝ 2.故选 D.3． D 4.C 5.C26． B [ 解析 ] ①由抛物线与 x 轴有两个交点 ，得 b － 4ac ＞ 0，所以①正确；②因为对称轴为直线 x ＝－ 1，则－ b＝－ 1，即 2a － b ＝ 0，所以②错误； ③因为抛物线经过点A(－ 3，2a0)，对称轴为直线 x ＝－ 1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为 (1，0)，于是有 a ＋ b ＋ c ＝ 0，所51以③错误；④点B － 2， y 1 在对称轴左侧 1.5 个单位长度处 ，点C －2， y 2 在对称轴右侧 0.5 个单位长度处 ，找出相应的点 ，显然 y 1＜ y 2，所以④正确．故选 B.57． C 8.29． y ＝2(x ＋ 2) 2－2( 或 y ＝ 2x 2＋ 8x ＋ 6)10． 8 [ 解析 ] 由题意可知抛物线y ＝－ 1x 2＋ b 的顶点坐标为 (0， 8)，2∴ b ＝ 8， ∴抛物线的函数表达式为1 2当 y ＝ 0 时， 0＝－ 2x ＋ 8，解得1 2y ＝－ 2x ＋ 8.x ＝ 4 或－ 4，∴水面宽 AB ＝ 4＋ 4＝8(m) ．故答案为 8.11． ③④ [ 解析 ] 由题图知 ，抛物线开口向上 ， ∴ a>0.又对称轴在 y 轴的右侧 ，b∴ x ＝－ >0，∴ b<0 ，①错误．当x＝－ 1 时，抛物线在x 轴上方，∴ y＝ a－ b＋ c>0 ，②错误．设平移后的抛物线顶点为E，与 x 轴右边的交点为D，则阴影部分的面积与平行四边形CEDB 的面积相同．∵平移了 2 个单位长度，点 C 的纵坐标是－ 2，∴ S＝ 2×2＝ 4，③正确．由抛物线的顶点坐标公式，得 y C＝－ 2，24ac－ b∴＝－ 2.∵ c＝－ 1，解得 b2＝4a，④正确．故填③④.12． (1＋7， 3)或(2，－ 3)13．解： (1) ∵矩形 ABCD 的周长为 12，AB＝ x，1∴ BC＝2×12－ x＝ 6－ x.∵ E， F， G， H 为矩形 ABCD 的各边中点，1 1 2∴ y＝ x(6 － x) ＝－ x ＋ 3x，2 2即 y＝－12x2＋ 3x.1 2 1 2＋4.5，(2)y＝－ x ＋ 3x＝－(x－ 3)2 2∵a＝－1＜ 0，2∴ y 有最大值，当 x＝ 3 时， y 有最大值，为 4.5. 14．解： (1) 由题意可得：300－ 10x（0≤x≤ 30），y＝300－ 20x（－ 20≤x<0） . (2)由题意可得：（ 20＋ x ）（ 300－10x ）（ 0≤x ≤30）， w ＝（ 20＋ x ）（ 300－ 20x ）（－ 20≤x<0），化简得：－ 10x 2＋ 100x ＋ 6000（0≤x ≤30），w ＝－ 20x 2－ 100x ＋ 6000（－ 20≤x<0），－ 10（ x － 5） 2＋ 6250（ 0≤x ≤30），即 w ＝ － 20（ x ＋ 5）2 ＋6125（－20≤x<0）. 2由题意可知 x 应取整数 ，所以当 x ＝－ 2 或 x ＝－ 3 时， w ＜ 6125＜ 6250 ，故当销售价格为每件65 元时 ，月利润最大 ，最大月利润为 6250 元．(3)由题意得 w ≥ 6000，如图，令 w ＝ 6000 ，5 2 2＋ 6250， 即 6000＝－ 20(x ＋ ) ＋ 6125， 6000＝－ 10(x － 5)2解得 x 1＝－ 5， x 2＝ 0， x 3＝10，∴－ 5≤x ≤10，故将销售价格控制在55 元到 70 元之间 (含 55 元和 70 元 )，才能使每月利润不少于6000元．15． 解： (1) 设这个二次函数的表达式为y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，a －b ＋c ＝ 0，a ＝1，把 A ， B ， C 三点的坐标分别代入可得16a ＋ 4b ＋ c ＝ 0，解得 b ＝－ 3， c ＝－ 4，c ＝－ 4，∴这个二次函数的表达式为y ＝ x 2－ 3x － 4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP ，交 OC 于点 D ，交 BC 下方抛物线于点P ，连接 OP ， CP ，如图① ，∴PO＝ PC，此时点 P 即为满足条件的点．∵ C(0，－ 4)，∴D(0，－ 2)，∴点 P 的纵坐标为－ 2.当 y＝－ 2 时，即 x2－3x－ 4＝－ 2，解得 x1＝3－17(不合题意，舍去)，x2＝3＋17.2 23＋17∴存在满足条件的点P，其坐标为 (，－2)．(3)∵点 P 在抛物线上，∴可设 P(t ，t2－ 3t－ 4)．过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图② ，∵B(4， 0)，C(0，－4)，∴直线 BC 的函数表达式为y＝x－ 4，∴F(t， t－ 4)，∴PF＝ (t－4)－ (t2－ 3t－ 4)＝－ t2＋ 4t，∴S△PBC ＝S△ PFC＋S△ PFB＝1 1 1 1 1 2×4 2PF·OE＋ PF ·BE＝ PF ·(OE＋ BE )＝PF ·OB＝(－ t ＋ 4t)2 2 2 2＝－ 2(t－2)2＋ 8，∴当 t＝ 2 时， S△PBC最大，且最大值为8，此时 t2－ 3t－ 4＝－ 6，∴当点 P 的坐标为 (2，－ 6)时，△ PBC 的面积最大，最大面积为8.。