高中数学人教版必修一： 函数的零点 pptx

(2)f(x)＝x2－1x. 解 方法一 由 x2－1x＝0 得 x2＝1x， 令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x，
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象知两图象只有一个 交点， 故函数有一个零点.
方法二 令 f(x)＝0 得 x2－1x＝0
即x3－1＝0(x≠0)， ∴x＝1，即方程只有一个根. ∴函数有一个零点.
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.无法判断
解析 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，
所以f(0)·f(4)＜0.
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3.如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的
取值范围是( C )
A.(－2,6)
B.[－2,6]
C.(－∞，－2)∪(6，＋∞)
D.{－2,6}
故判别式 Δ＝1＋4a＝0，a＝－14. 综上，当 a＝0 或 a＝－14时，函数仅有一个零点.
规律方法 判断或求形如函数y＝ax2＋bx＋c的零点时， 首先对a分a≠0和a＝0两种情况讨论，然后对a≠0的情 况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即 可判断函数零点的情况.
跟踪演练2 判断下列函数的零点个数： (1)f(x)＝x2－7x＋12； 解 由f(x)＝0即x2－7x＋12＝0， 得Δ＝49－4×12＝1＞0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等的实数根. ∴函数f(x)有两个零点.
a＞0， a＜0，
则 a 应满足
或
f2＜0 f2＞0，
a＞0，
a＜0，
即
或
4a－4a＋1＋a－1＜0， 4a－4a＋1＋a－1＞0，
解得0＜a＜5，
∴a的取值范围为(0,5).
规律方法 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零
点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题
别是( B )
A.(0，±2)；±2
B.(±2,0)；±2
C.(0，－2)；－2
D.(－2,0)；2
解析 令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以
函数的零点为±2.
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2.若函数f(x)在定义域R上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，
且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( B )
2a＋b＝－4，
a＝2，
即
解得
－4a＋b＝－16，
b＝－8.
课堂小结 1.函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程 没有实数根，则函数没有零点.反映在图象上就是函数图象与x轴 无交点，如函数y＝1或y＝x2＋1就没有零点. 2.判断函数的零点，可利用的结论： 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端 点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y ＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b，得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，即m2－4m－12＞0，
∴m＞6或m＜－2.
4.函数 f(x)＝x－4x的零点个数为( C )
A.0
B.1
C.2
D.无数个
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x2－4 解析 f(x)＝ x ，得 x1＝2，x2＝－2，即函数有 2 个零点.
5.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4， 1 2 3 4 5 则a＝__2__，b＝_－__8__. 解析 ∵2，－4是函数f(x)的零点， ∴f(2)＝0，f(－4)＝0，
x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
函数的图象
方程的实数根 函数的图象与
x轴的交点
x1＝－1，x2＝3 (－1,0)，(3,0)
x1＝x2＝1 (1,0)
无实数根 无交点
[预习导引] 1.函数的零点 (1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值 等于零 ， 即 f(α)＝0 ，则α叫做这个函数的 零点 . (2)性质 ①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值 变号 . ②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值
Δ＝0 Δ＜0
_一__个__二__重__零_点__：__x_＝__－__2_ba_ 无零点
_两__相__等__实__根__：__x_＝__－__2b_a_ 无实根
要点一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； 解 ∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)， ∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1.
_保__持_同__号__.
2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系
判别式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
Δ＞0
－b± b2－4ac
－b± b2－4ac
_两__个__零_点__：__x_＝______2_a_____ _两__不_等__实__根__：_x_＝______2_a_____
[知识链接] 考查下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3； (2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1； (3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的 坐标.
答案 方程 函数
跟踪演练1 求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点. 解 (1)当a＝0时，令y＝0得x＝－2；
(2)当 a≠0 时，令 y＝0 得，x＝1a或 x＝－2. ①当 a＝－12时，函数的零点为－2； ②当 a≠－12时，函数的零点为1a，－2. 综上所述：(1)当 a＝0 或－12时，零点为－2； (2)当 a≠0 且 a≠－12时，零点为1a，－2.
(2)f(x)＝x4－1. 解 ∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1和1. ∴函数的零点为±1. 规律方法 函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝ f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
要点三 函数零点性质的应用 例3 已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且 一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围. 解 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零 点，且一个零点大于2，一个零点小于2. ∴f(x)的大致图象如图所示：
得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论.
跟踪演练3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有 两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的 取值范围. 解 由已知抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别 在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得
要点二 函数零点个数的判断 例2 若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围. 解 ①若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点； ②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2 －x－1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)，
f0＝2m＋1＜0， f－1＝2＞0， f1＝4m＋2＜0， f2＝6m＋5＞0
m＜－12， m∈R， ⇒m＜－12， m＞－56，
∴－56＜m＜－12，故 m 的取值范围是(－56，－12).
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1.函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分
第二章——
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
[学习目标] 1.理解函数零点的概念. 2.会求一次函数、二次函数的零点. 3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点 的横坐标之间的关系.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功