湖北省孝感高中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
《解析》湖北省部分重点中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年湖北省部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定是（）A．∃n0∈Z，n0∉Q B．∃n0∉Z，n0∈Q C．∀n0∈Z，n0∉Q D．∀n0∉Z，n0∈Q2．抛物线y=﹣的焦点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）q等于（）A．1 B．1±C．1﹣D．1+4．下列命题中正确的个数为（）①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．A．1 B．2 C．3 D．05．设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能确定6．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．9．在△ABC 中，A （x ，y ），B （﹣2，0），C （2，0），给出△ABC 满足的条件，就能得到A ．E 3，E 1，E 2B ．E 1，E 2，E3C ．E 3，E 2，E 1 D ．E 1，E 3，E 210．已知椭圆+=1上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（ ）A．10种B．20种C．30种D．40种12．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某项测试有6道试题，小明答对每道试题的概率都是，则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为．14．（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．15．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个，在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比（x%）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比（y%）的数据，建立的回归直线方程是y=0.8x+4.6，这里，斜率的估计0.8说明一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加左右．16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件；则下列结论中正确的是：．①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B与事件A1相互独立；④P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2和A3中哪一个发生有关；⑤事件A1，A2和A3两两互斥．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．18．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足：•=m（|•|2﹣2），求动点P的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型．19．袋内装有6个球，这些琮依次被编号为l、2、3、…、6，设编号为n的球重n2﹣6n+12（单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）．（1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；（2）如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．20．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．21．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．（1）求n的值；（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．22．直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知=（ax1，by1），=（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．2015-2016学年湖北省部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定是（）A．∃n0∈Z，n0∉Q B．∃n0∉Z，n0∈Q C．∀n0∈Z，n0∉Q D．∀n0∉Z，n0∈Q【考点】命题的否定．【专题】对应思想；演绎法；简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定是∃n0∈Z，n0∉Q，故选：A【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定方法，难度不大，属于基础题．2．抛物线y=﹣的焦点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线方程化为标准方程，确定开口方向，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线方程化为标准方程为：x2=﹣8y∴2p=8，∴=2∵抛物线开口向下∴抛物线y=﹣x2的焦点坐标为（0，﹣2）故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线方程化为标准方程，确定开口方向．q等于（）A．1 B．1±C．1﹣D．1+【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】由离散型随机变量的分布列的性质，X其每个值的概率都在[0，1]之间，且概率之和为1，得到关于q的不等式组，求解即可．【解答】解：由分布列的性质得；⇒∴q=1﹣；．故选C【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质及应用，属基本运算的考查．4．下列命题中正确的个数为（）①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．A．1 B．2 C．3 D．0【考点】相关系数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据“残差”的意义、线性相关系数和相关指数的意义，即可作出正确的判断．【解答】解：根据线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，判断①错误；根据比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，判断②正确；根据用相关指数R2刻画回归的效果时，R2的值越大说明模型的拟合效果就越好，判断③错误；综上，正确的命题是②．故选：A．【点评】本题考查了“残差”与线性相关系数、相关指数的意义与应用问题，是基础题．5．设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能确定【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．【解答】解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点，即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4，∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，∴P（ξ＞4）=0.5，由正态曲线的对称性知μ=4，故选：B．【点评】从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大．6．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可．【解答】解：若l1，l2是异面直线，则l1，l2不相交，即充分性成立，若l1，l2不相交，则l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键．7．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】选择结构．【专题】图表型；分类讨论．【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x ，y ．则所有事件集可表示为0≤x ≤5，0≤y ≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x ﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x ﹣y=2和y ﹣x=2在0≤x ≤5，0≤y ≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：C ．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．9．在△ABC 中，A （x ，y ），B （﹣2，0），C （2，0），给出△ABC 满足的条件，就能得到则满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为（）A．E3，E1，E2B．E1，E2，E3C．E3，E2，E1D．E1，E3，E2【考点】曲线与方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，依次分析可得，①中可转化为A点到B、C两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程；②中利用三角形面积公式可知A点到BC距离为常数，轨迹为两条直线；③中∠A=90°，可用斜率或向量处理．【解答】解：①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，而BC=4，所以AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与E3对应；②△ABC的面积为10，所以BC•|y|=10，|y|=5，与E1对应，③∠A=90°，故•=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，与E2对应．故满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为E3E1E2故选A．【点评】本题考查直接法、定义法求轨迹方程，属基本题型、基本方法的考查．10．已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）A．2 B．4 C．8 D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先根据椭圆的定义求出MF2=8的值，进一步利用三角形的中位线求的结果．【解答】解：根据椭圆的定义得：MF2=8，由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，根据中位线定理得：|ON|=4，故选：B．【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理．11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（）A．10种B．20种C．30种D．40种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】由题意，不考虑甲乙两名同学在同一景点，有=36种，甲乙两名同学在同一景点，有=36种，即可得出结论．【解答】解：由题意，不考虑甲乙两名同学在同一景点，有=36种，甲乙两名同学在同一景点，有=6种，所以这四名同学的安排情况有36﹣6=30种．故选：C．【点评】本题考查排列、组合知识，考查学生的计算能力，比较基础．12．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．【解答】解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某项测试有6道试题，小明答对每道试题的概率都是，则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由条件利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得要求事件的概率．【解答】解：要求事件的概率为••=，故答案为：．【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，属于基础题．14．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．15．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个，在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比（x%）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比（y%）的数据，建立的回归直线方程是y=0.8x+4.6，这里，斜率的估计0.8说明一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右．【考点】回归分析的初步应用．【专题】计算题．【分析】回归直线方程y=0.8x+4.6中，回归系数是0.8，回归截距是4.6，根据相应的意义可求．【解答】解：回归直线方程y=0.8x+4.6中，回归系数是0.8，回归截距是4.6，斜率的估计0.8表示个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右．故答案为1%，0.8%【点评】本题考查回归直线方程重回归系数的几何意义，属于基础题．16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件；则下列结论中正确的是：①②⑤．①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B与事件A1相互独立；④P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2和A3中哪一个发生有关；⑤事件A1，A2和A3两两互斥．【考点】概率的意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、条件概率计算公式、互斥事件定义求解．【解答】解：∵甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，∴事件A1，A2，A3不会同时出现，∴事件A1，A2，A3是两两互斥事件，P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B|A1）==，P（B|A2）=，P（B|A3）=，∴P（B）=P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3）=，故①正确，②正确，④错误，⑤正确；事件B发生与否受到事件A1的影响，∴事件B与事件A1不是相互独立事件，故③错误．故答案为：①②⑤．【点评】解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率计算公式、条件概率的求法．中档题，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率计算公式、条件概率的求法．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；复合命题的真假．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p，再利用不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R与判别式的关系即可得出q；由p或q为真，p且q为假，可得p与q为一真一假，进而得出答案．【解答】解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴，∴m＞2或m＜﹣2又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，∴，∴1＜m＜3∵p或q为真，p且q为假，∴p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．（2）当p为假q为真时，综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．【点评】熟练掌握“三个二次”与判别式的关系及其“或”“且”命题的真假的判定是解题的关键．18．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足：•=m（|•|2﹣2），求动点P的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型．【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程．【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），根据向量条件建立方程关系进行化简即可得到结论．．【解答】解：（1）设P（x，y），则=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），=（x，y），=（﹣1，0），=（1，0）∴=x2+y2﹣1，=﹣x，∵，∴x2+y2﹣1=m（x2﹣1）化简得，（m﹣1）x2﹣y2=m﹣1，∴当m＞1时，方程为x2﹣=1，表示焦点在x轴上的双曲线；当m=1时，方程为y=0，是x轴所在直线；当0＜m＜1时，方程为x2+=1，表示焦点在x轴上的椭圆；当m=0时，方程为x2+y2=1，表示单位圆；当m＜0时，方程为x2+=1，表示焦点在y轴上的椭圆．【点评】本题主要考查轨迹方程的应用，涉及一元二次方程表示曲线的判断，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．．19．袋内装有6个球，这些琮依次被编号为l、2、3、…、6，设编号为n的球重n2﹣6n+12（单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）．（1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；（2）如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．【考点】排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（1）由题意可得n2﹣6n+12＞n，解得n＜3，或n＞4，故有n=1，2，5，6，由此求得重量大于其编号的概率．（2）如果不放回的任意取出2个球，这两个球的编号可能的情况共15种，设编号为m的球与编号为n的球重量相等，可得m+n=6，共有2种情况，由此求得所求事件的概率．【解答】解：（1）由编号为n的球其重量大于其编号，则有n2﹣6n+12＞n，解得n＜3，或n ＞4，故n=1，2，5，6．∴从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率为=．（2）如果不放回的任意取出2个球，这两个球的编号可能的情况为：1、2；1、3；1、4；1、5；1、6；2、3；2、4；2、5；2、6；3、4；3、5；3、6；4、5；4、6；5、6，共15种情况．设编号为m的球与编号为n的球重量相等，则有m2﹣6m+12=n2﹣6n+12，即（m﹣n）（m+n ﹣6）=0，结合题意可得m+n﹣6=0，即m+n=6．故满足m+n=6的情况为1、5；2、4，共两种情形．故所求事件的概率为．【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，古典概型，属于中档题．20．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，（3）根据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．【点评】本题考查了频率分布直方图，样本，中位数，只有会识图，问题就很好解决．21．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．（1）求n的值；（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）解题的关键是ξ=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去．（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望．【解答】解：（1）∵当ξ=2时，有C n2种坐法，∴C n2=6，即，n2﹣n﹣12=0，n=4或n=﹣3（舍去），∴n=4．（2）∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，∴，，，，∴ξ0 2 3 4∴．【点评】培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的观点分析问题的能力，充分体现数学的化归思想．启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力．22．直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知=（ax1，by1），=（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆经过点，建立方程组，求得几何量，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得方程，从而可求直线l 的斜率k的值；（Ⅲ）分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，利用=0，A在椭圆上，可求△AOB的面积；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得△AOB的面积是定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，椭圆经过点，∴…2分∴a=2，b=1∴椭圆的方程为…3分（Ⅱ）依题意，设l的方程为由，∴显然△＞0，…5分由已知=0得：==解得…6分．（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，∵=0，∴，∵A在椭圆上，∴，∴，|y1|=∴S==1；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版
2015年秋季学期期中质量调研考试高二数学（理科）试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C A B = ．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22-- 3．下列函数中，为奇函数的是A ．122xx y =+ B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈； C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=5．已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A ．4 B ．5 C ．2- D ．3- 6．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如图1，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+ 与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）． 则区域M 面积与矩形OABC 面积之比为 A ．118 B ．112C ．16 D ．1311+8. 已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为A. ()<e (0)a f a fB. ()>e (0)a f a fC. ()=e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数f x =()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几 何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y+=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． 14. 已知111()1()23f n n n+=+++鬃??N ，且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时，有__________________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()212A f +=．求sin B ．16.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：2222n n n na a S a -+=，且0,.n a n +>∈N（1）求123,,;a a a（2）猜想}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明17．（本小题满分14分）如图3所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为 矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥， 4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ；（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19.（本小题满分14分）设双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率e =A 、B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）.（1）求双曲线C 的方程； （2）求直线AB 方程；（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.ADBCFE图3参考答案9． {2}x x ≥； 10． 83； 11．2214y x -=； 12．6；13．123n n -⋅-； 14．2(2)2n n f +>；三、解答题15．解：（1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=． ……………………………2分0πϕ<< ，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=． ……………5分（2）222a b c ab +-= ，2221cos 22a b c C ab +-∴==， (7)分sin C ∴==． …………………………………………8分 由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ ， sin A ∴==， ……………………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ，1sin sin cos cos sin 2B A C A C ∴=+==12分 16． （1）1111112a a S a ==+-，所以，11a =-?，又∵0n a >，所以11a =.221221=12a S a a a +=+-， 所以2a =, 3312331=12a S a a a a ++=+- 所以3a =（2）猜想n a =证明： 1o 当1n =时，由（1）知11a =成立．2o 假设()n k k +=?N 时，k a =成立1+11111=(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a +++-=+--+- 1112k k a a ++=+-所以21120k k a +++-=1k a +=所以当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n +ÎN 都成立．17．解：（法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，//BF CG 且BF CG =，∴ 四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． ∴ …………2分四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ． DG ⊂ 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，//AF ∴平面CDE ． ……………………………………………………4分（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ，∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又 CD CE C = ，EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥，又 平面ADE 平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………………7分4DC CE ==，∴cos CE DEC DE ∠==． 即平面ADE 与平面BCEF ． ……………………9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥，AD BC FEP又 AB BF B = ， BC ∴⊥平面ABP ， ∴BC FH ⊥，则FH EP ⊥．又 FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠． ……………………………11分4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF ==HE =，∴cos HE HEF EF ∠===． 即直线EF 与平面ADE． ……………………………14分 （法二）（1） 四边形BCEF 为直角梯形，四边形∴BC CE ⊥，BC CD ⊥， 又 平面ABCD ⊥平面BCEF ，且 平面ABCD 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ， 则(0,2,4)AF =- ，(2,0,0)CB =． ………………2分BC CD ⊥ ，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． …………………………………………………………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ，(0,4,4)DE =-，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩， 取11z =，得1(0,1,1)n = ． ……………………………6分 DC ⊥ 平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos α= 因此，平面ADE 与平面BCEF． …………………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =- ，1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅，………12分 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则cos sin ,EF n θ=<因此，直线EF 与平面ADE． ………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18． 解：（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ．当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．……………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1n n n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n-++=-+，即：331(1)=n n a n a n -+．…………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n + (2)n ≥．………………………………………8分 另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a nn ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- ． 又 当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +． …………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)na n +． ………………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立． （Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++， 解，得33+1(2)(11)k a k k =+=++． ∴当1n k =+时，猜想也成立． 因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………………8分（3） 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， .................................10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++ (22222)11111=234(1)n n ++++++ (2)11111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+… 111111111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+… 1113=4214n +-<+．………………………………………14分19．解：（1）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===33a ce c ，解得a =1. （1分） 所以222312b c a =-=-=， （2分）故双曲线C 的方程为2212y x -=. （3分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩. 两式相减得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=-+ ， （4分） 由题意得12x x ≠，221=+x x ，421=+y y ， （5分） 所以1)(221212121=++=--y y x x x x y y ，即1=AB k . （6分）故直线AB 的方程为1y x =+. （7分） （3）假设A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为P. 因为AB 为圆P 的弦，所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上；又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ，故圆心P 为CD 中点M . （8分） 下面只需证CD 的中点M 满足|MA |=|MB |=|MC |=|MD |即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：A （-1，0），B （3，4）. （9分）由（1）得直线CD 方程：3y x =-+， （10分）由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：C （-3+52，6-52），D （-3-52，6+52）， （11分）所以CD 的中点M （-3，6）. （12分） 因为102364||=+=MA ，102436||=+=MB ，1022020||=+=MC ，1022020||=+=MD ， （13分）所以||||||||MD MC MB MA ===，即 A 、B 、C 、D 四点在以点M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上. （14分） 20．解：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ， （5分）解得103a <<， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分） （2）当a =1时，131)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分）①当t +3<-1，即t <-4时，因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为583311)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ； （9分） ②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分）由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，且-1 [t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ； （11分） ③当t +3>2，即t >-1时， 由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23max +++=+=t t t t f x f . （13分） 综上所述，当a =1时，)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23max t t t t t t x f 或. （14分）。
湖北省孝感高级中学2015-2016学年高二数学5月调考试题 理
孝感高中2017届高二年级调考数学（理）试题考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知命题;25sin ,:=∈∃x R x p 使.01,:2>++∈∀x x R x q 都有命题给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题； ②命题“q P ⌝∧”是假命题 ③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝⌝∨”是假命题 其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③2．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是（ ） A ．相关系数r 变大 B ．残差平方和变大C ．R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强3．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2024()a a a ++213()a a -+的值为：（ ） A ．1B ．-1C ．0D ．24．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A ．08B ．07C ．02D ．015．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是 12，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ） A ．18B ．38C. 14D. 78第2题图第5题图6．轴的两个交点与的长轴被圆椭圆x b y x by a x 22222220)b (a 1=+>>=+三等分，则椭圆的离心率是（ ）322D. 33C. 22B. 21 .A7．已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+by a x ，双曲线2C 的方程为12222=-b y a x ，1C 与2C 的离心率之积为415，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．02=±y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x 8．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ） A ．1－π4 B ．π2－1 C ．2－π2 D ．π49．若52)11(-+xa x ）（的展开式中常数项为－1，则a 的值为（ ） A ．1 B ．8 C ．－1或－9 D ．1或910．设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0 ，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值是（ ）.A ．6B ．8 C. 9 D ．1211．已知双曲线中心在原点,且一个焦点为),0,7(F 直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（ ） A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 12．将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数的个数是 ( )A ．251B ．241C ．250D ．240第8题图二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上） 13．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x >a )＝0.68，则P (a ≤x <4－a )＝____.14．执行如图所示的程序框图，输出的结果为________________. 15．已知点P 在抛物线x y 42=上，当P 到直线4y x =+的距离最短时，点P 的坐标是__________.16．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知集合{}{}0|,062|2<==++-=x x B m mx x x A ，若命题“φ=B A ”是假命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题12分）柜子里有4双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率： （1）取出的鞋不成双； （2）取出的鞋都是同一只脚的；（3）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成双.19．（本小题12分）已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的直线L 交抛物线于),(),,(2211y x B y x A )(21x x <两点，过B 作抛物线准线的垂线BD ，垂足为D .（1）若直线L 的斜率为2且线段AB 的长为10，求该抛物线的方程；（2）直线AD 是否过X 轴上的一定点？若是，求出此定点，若不是，说明理由.第13题图第14题图20．（本小题12分）已知在2)nx的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1．（1）求展开式中6x 的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；．（3）求231981...9n nn n n n c c c -++++的值.21．（本小题12分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队．．中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队． （1）求甲队队员跳高成绩的中位数；（2）如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？（3）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．22．（本小题124PA PB += （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(1,0)作直线L 与曲线C 交于M 、N 两点，若35OM ON ∙=-,求直线L 的方程；（3）设T为曲线C在第一象限内的一点，曲线C在T处的切线与X、Y轴分别交于点E、F， 面积的最小值.求OEF数学（理）试题答案一、选择题BBADB DCADD DD二、填空题13. 0.36 14. 20 15.(1,2) 16. 1三、解答题17.解：由题：方程0622=++-m mx x 有负根 ①若方程无根，则)3,2(,0-∈<∆m②若方程无负根，则⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥∆06020m m 3≥∴m由① ②知，2->m ，所以，当方程有负根时，2-≤m （10分）18.解：（1）7628121224==C C C C P （4分） （2）73281224==C C C P （8分 ）（3）73281224==C C C P （12分）19.解：（1），4=P x y 82=（6分） （2）当AB 与x 轴不垂直时，设AB 方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得ky 2－2py －p 2k ＝0.由根与系数的关系得，y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p2y 1，∴D (2p -，－p 2y 1)∵A 在抛物线上，∴y 21＝2px 1， ∴A (py 221，y 1)∴k AD ＝2p y 1. ∴直线AD 的方程为y ＝2p y 1（py x 221-）+1y = 2p y 1x .∴直线AD 过定点（0,0）当AB ⊥x 轴时， 此时B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p ，A ）（p p,2∴直线AD 的方程为x y 2=，∴直线AD 过定点（0,0）综上可知，直线AD 过定点（0,0） （12分） （注意：斜率为-2时也对）20. （1）由1:14)2(:)2(2244=--n nC C 解得n=9 （2分） 因为通项：2522791)2(rr rr xC T -+-=，令3,625227=∴=-r r于是系数为672)2(339-=-C （4分） （2）设第r+1项系数绝对值最大，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--++119911992222r r r r r r r r C C C C解得20317≤≤r ，于是r 只能为6 （6分） 所以系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C xx ---= （8分）（3）原式=()911999991999292191090=-++++C C C C []1)91(9-+=91109- (12分)21．（1）177cm （3分） (2)合格2人，不合格3人 （6分） （3）X=0，1，23314)0(21228===C C X P , 3316)1(2121418===C C C X P , 111333)2(21224====C C X P因此，X 的分布列如下：∴E (X )＝0×1433＋1×1633＋2×111＝33＝3.（12分）22当直线l 的斜率存在时,设直线)1(:-=x k y l ，代入曲线C 的方程得：0)1(48412222=-+-+k x k x k ）（，ON OM ⋅2212212212212121)()1()1)(1(k x x k x x k x x k x x y y x x ++-+=--+=+=22414k k +-==53-，1:±=k 解得 故所求的直线l 的方程为01=-+y x 或01=--y x ；（7分）当直线l 不为x 轴时，设过)01(，的直线l ：1+=y x λ，代入曲线C 的方程得032422=-++y y λλ）（1:±=λ解得故所求的直线l 的方程为01=-+y x 或01=--y x ；（7分）0)1(4841222=-+++b kbx x k ）（，由0=∆得，1422+=k b 又有),0(),0,(b F kb E -,所以21421)(212≥+-=-=k k b k b S 当21-=k 时取“= 所以，OEF ∆面积的最小值是2. （12分）。
2015—2016学年度湖北省部分高中期中联考高三理科数学参考答案
a 2, 所以当 a 0 时，有 解得 1 a 2; 3 3a,
所以实数 a 的取值范围是 1 a 2 . 18. 解：(1)设公差为 d ，由已知得 解得 d 1或d 0(舍去） …..3 分 所以 a1 3, a n n 2 …………..5 分 ……10 分
由 f ( x ) 0, 得x ln 当 x ln ③当 e
2
a a 1,2 ，当 x 1, ln 时f ( x ) 0, f ( x )递减 ， 2 2
a a a ,2时f ( x ) 0, f ( x )递增 所以 f ( x ) min f (ln ) a a ln 2 ….5 分 2 2 2 a 即 a 2e 2 时 2
MF2 MF1 PF1 2 3 ，且 F1 F2 2 2 2 3 …………..3 分
M在以 F1，F2 为焦点，长轴长为 2 3的椭圆上
。
点M的轨迹方程为：x 2
y2 1 …………………5 分 3
（2）假设存在满足条件的点 Q（x ,0) 。
1 当 l x轴 时， l的方程为 x 0
3/5
k 点Q到直线l的距离d
d
所以
2 2k 2 3 k2 1 k 2
3 2 1 k 2 3 k2
3 2 1 k 2 3 2 3 (1 k 2 ) 3 AB 即： 2 2 3 k2 3 k2
k2 1
点Q的坐标为（
2 2 2 2 或点 Q的坐标为（ ， 0） ， 0） 4 4 2 2 ， 0） 4 …….12 分
此时 A 点坐标为 (0, 3 ) ， 显然 x轴上存在点Q（ 3， 满足题意。 B点坐标为（0， - 3） 0） …6 分
2015-2016年湖北省孝昌一中、应城一中、孝感一中三校联考高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2015-2016学年湖北省孝昌一中、应城一中、孝感一中三校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）经过点A（，﹣1），且倾斜角为60°的直线方程为（）A．x﹣y﹣4=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣4=02．（5分）运行如图的程序，若x=1，则输出的y等于（）A．8 B．7 C．6 D．53．（5分）圆C的方程为：x2+y2﹣6x﹣8y+23=0，则圆心C到点A（﹣1，1）的距离为（）A． B．4 C．3 D．54．（5分）用更相减损术得111与148的最大公约数为（）A．1 B．17 C．23 D．375．（5分）2015年某企业员工有500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．现在要从年龄较小的第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取16人，则在第4组抽取的人数为（）A．3 B．6 C．4 D．86．（5分）已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线7．（5分）读程序对甲乙两程序和输出结果判断正确的是（）A．程序不同，结果不同B．程序相同，结果不同C．程序不同，结果相同D．程序相同，结果相同8．（5分）圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，则等于（）A．1 B．2 C．4 D．169．（5分）在空间直角坐标系中，以A（m，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰三角形，其中m∈Z，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣6或4 D．6或410．（5分）从区间[﹣2，9]中任取一个实数a，则恰使得函数f（x）=ln（ax2﹣2x+a）存在最大值或最小值的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的是（）A．AC∥平面BEFB．B、C、E、F四点不可能共面C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE与平面BEF可能垂直12．（5分）若函数f（x）=有两个零点，则k的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．[，）D．[，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷+
2015-2016学年第一学期期中考试试卷高二数学（理科）试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1. 若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于()A. {0}B. {1}D. {0,1}C. {0,1,2}2. 已知等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9等于()A. 12B. 24C. 36D. 483.下列四个结论：(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行；(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 34. 关于直线a,b,c以及平面α，β，给出下列命题：①若a∥α，b∥α，则a∥b②若a∥α，b⊥α，则a⊥b③若a⊂α，b⊂α且c⊥a，c⊥b，则c⊥α④若a⊥α，a∥β，则α⊥β其中正确的命题是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④5. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.B.C. 5D.6. 空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD=BC=6，MN=3则AD和BC所成的角是( )A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°7. 已知O (0，0，0)，A (-4，6，-1)，B (4，3，2)，则下列各向量中是平面AOB 的一个法向量的是( ) A. (0，1，6)B. (-1，2，-1)C. (-15，4，36)D. (15，4，-36) 8. 若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是( ) A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 平行或垂直9. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥ 底面A 1B 1C 1， 底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( ) A. CC 1与B 1E 是异面直线B. AC ⊥平面ABB 1A 1C. AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D. A 1C 1∥平面AB 1E10. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( ) A. 75° B. 60°C. 45°D. 30°11.直线x-y+1=0的倾斜角为( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°12. 在锐角ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b . 若2asinB =b ，则角A 等于( )A. B. C.D.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13. 已知点A(2，3)，B(-3，-2)．若直线l 过点P(1，1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是____________．14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ，则其通项a n =____________． 15. 设四棱锥V －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长都是，那么这个四棱锥的表面积是________． 16. 如图长方体中，AB=AD=2，CC 1=，则二面角C 1-BD-C 的大小为____________．三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其他每题12分) 17. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ．已知a 10=30，a 20=50．(1)求通项a n；(2) 若S n=242，求n．18. 如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：AE∥平面BFD；19. 如图，边长为2 的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2 ，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求异面直线PM与BD所成的角20. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，P A=AD=2，AB=1，E、F分别是AB，PC的中点．求直线EF与平面ABCD所成角21. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P为DD1的中点．(1)求证：平面P AC⊥平面BDD1；(2)求三棱锥D-P AC的体积．22. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=23，BC=6．A求二面角A-PC-D的余弦值．期中考试理科数学答案【答案】一、客观题1.D2.B3. A4. C5. A6.B7.D8. B9. C 10. C11. C 12. A；二、主观题13. k≥2或k≤ 14. 2n-1015. 12 16. 30°17. 解：(Ⅰ)由a n=a 1+(n-1)d，a 10=30，a 20=50，得方程组解得a 1=12，d=2．所以a n=2n+10．(Ⅱ)由得方程解得n=11或n=-22(舍去)．18. 20. 解：(Ⅰ)证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．(Ⅱ)证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．19.(1)证明：取CD中点N，连接MN.∵△PCD是等边三角形∴PN⊥CD∵ 平面PCD⊥平面ABCD, 平面PCD∩平面ABCD=CD,PN⊂平面PCD∴PN⊥平面ABCD ∵ AM⊂平面ABCD ∴PN⊥AM又∵ 矩形ABCD中，BC=2CD=2，且M,N分别是BC,CD的中点∴ AN=3，AM= , MN= ∴ AN2=AM2+ MN2∴ AM⊥MN ∵PN∩MN=N ∴ AM⊥平面PMN ∴AM⊥PM（2）∵ M,N分别是BC,CD的中点∴ MN∥BD ∴∠PMN是异面直线PM与BD所成的角由（1）知PN⊥MN，∵△PCD是边长为2的等边三角形∴PN=∴ tan∠PMN==1 ∵异面直线所成的角的范围是（0°，90°]∴∠PMN=45°，即异面直线PM与BD所成的角是45°20. 解：(1)连接AC,BD交于点O，连接OF，∵ F是PC中点∴ OF∥PA∵PA⊥平面ABCD∴OF⊥平面ABCD∴ ∠FEO是直线EF与平面ABCD所成角∵四边形ABCD是矩形，PA=AD=2，E、F分别是AB，PC的中点．∴OE=OF=1∴EFO是等腰直角三角形∴∠FEO=45°∴EF与平面ABCD所成角45°．21. 解：(1)设AC∩BD=O，连接OP，∵O，P分别为BD，D 1D中点，∴BD 1∥OP…3′∵OP⊂平面PAC，BD 1⊄平面PAC，∴BD 1∥平面PAC…5′(2)∵D 1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴D 1D⊥AC…7′又AC⊥BD，D 1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD 1…9′∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD 1…10′(2)∵PD⊥平面ADC，∴V D-PAC= …14′22. 解：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．∴BD⊥PA．又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．又∠DAC=90°-∠BAC=30°，∴DE=ADsinDAC=1，，又，∴ ，PC=8．由Rt△EFC∽Rt△PAC得．在Rt△EFD 中， ，∴ cos ∠EFD=31933． ∴二面角A-PC-D 的余弦值为31933．。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
高二期中数学卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷注意事项：第Ⅰ卷为选择题，共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。
每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。
不能直接写在本试卷上。
1、集合}032|{2<--=x x x M ，}|{a x x N >=，若N M ⊆，则实数a 的范围是（ ）A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞ 2、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（ ）3、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于（ ）D.44、已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂ ，，，m γ⊥，则有（ ） A ．αγ⊥且//m β B ．αγ⊥且l m ⊥ C ．//m β且l m ⊥ D ．//αβ且αγ⊥5、设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、已知0)](log [log log 237=x ，那么21-x 等于（ ）A.31 B.63 C.33 D.427、已知3cos(),sin 245x x π-=则=（ ）（D ）（C ）（B ）（A ）A ．1825 B ．725 C ．725- D ．1625- 8、利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落 在坐标轴上的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 9、各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为7112a a +的最小值为（ ）A ．16B ．8C．D ．410、在错误！未找到引用源。
湖北省孝感高级中学2015-2016学年高二5月调研考试理数
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题;25sin ,:=∈∃x R x p 使.01,:2>++∈∀x x R x q 都有命题给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题； ②命题“q P ⌝∧”是假命题 ③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝⌝∨”是假命题 其中正确的是（ ） A ．②④ B ．②③ C ．③④D ．①②③【答案】B考点：1、复合命题真假的判定；2、正弦函数的值域．2.如图，5个(,)x y 数据，去掉()3,10D 后，下列说法错误的是（ ）A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．2R 变大 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强 【答案】B 【解析】试题分析：由散点图，知去掉()3,10D 后，y 与x 的线性相关加强，且为正相关，所以r 变大，2R 变大，残差平方和变小，故选B 考点：散点图．3.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2024()a a a ++213()a a -+的值为：（ ） A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】试题分析：令1x =，得，401234(2a a a a a =++++．又令令1x =-，得，401(2a a =-＋234a a a -+，所以22024130241302413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++++--＝4(2（42＝411=． 考点：二项式定理．4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 （ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A ．08B ．07C ．02D ．01 【答案】D考点：系统抽样方法．5.在如图所示的电路图中，开关a b c ，，闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是 （ ）A ．18 B ．38C ．14 D ．78【答案】B 【解析】试题分析：设开关,,a b c 闭合的事件分别为,,A B C ，则灯亮事件D ABC ABC ABC =，且,,A B C 相互独立，,,ABC ABC ABC 互斥，所以()()()()P D P ABC P ABC P ABC =＝()()()P A P B P C ＋()()()P A P B P C ＋()()()P A P B P C ＝111111(1)222222⨯⨯+⨯⨯-＋111(1)222⨯-⨯＝38，故选B ． 考点：互斥事件与相互独立事件的概率．6.2222222 1 (0)x y a b x y b x a b+=>>+=椭圆的长轴被圆与轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是 （ ）322D. 33C. 22B. 21 .A【答案】D考点：椭圆的几何性质．【方法点睛】求圆锥曲线中的离心率问题主要有两种途径：（1）根据条件直接求出,a c 的值，然后利用c e a=求解；（2）根据题设条件建立关于,,a b c 的齐次等式，结合222c a b =+转化为关于e 的等式，进而可求得离心率e ．7.已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+by a x ，双曲线2C 的方程为12222=-b y a x ，1C 与2C 的离心率之 积为415，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．02=±y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x 【答案】C【解析】试题分析：由已知，得1e =，2e =，所以124e e ==，解得12b a =±，所以2C 的渐近线方程为12b y x x a =±=±，即02=±y x ，故选C ． 考点：椭圆与双曲线的几何性质．8.如图，在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π【答案】A 【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积212121242S π=⨯-⨯π⨯=-，所以由几何概型知，所求事件概率22124P π-π==-，故选A ． 考点：几何概型．9.若52)11(-+xa x ）（的展开式中常数项为－1，则a 的值为（ ） A ．1 B ．8 C ．－1或－9 D ．1或9 【答案】D考点：二项式定理．【思路点睛】(1)求形如*()()n a b n ∈N ＋的式子的特定项的相关量(如常数项、参数值、特定项等)的基本步骤：第一步，写出通项公式1r n r rr n T C a b -+=；第二步，根据题目相关条件，列出相应方程(组)或不等式(组)，求解出r ；第三步，把r 代入通项公式中求相关量． 10.设F 为抛物线28y x ＝的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++的值是（ ）.A ．6B ．8 C. 9 D ．12 【答案】D 【解析】试题分析：由抛物线方程，得(2,0)F ，准线方程为2x =-．设,,A B C 坐标分别为112233(,),(,),(,)x y x y x y ，则由抛物线的定义，知123123||||||2226FA FB FC x x x x x x ++=+++++=+++．因为FA FB FC ++＝0，所以123123(222,)(0,0)x x x y y y -+-+-++=，则1232220x x x -+-+-=，即1236x x x ++=，所以123||||||||||||612FA FB FC FA FB FC x x x ++=++=+++=，故选D ．考点：1、抛物线的定义及几何性质；2、向量的坐标运算．11.已知双曲线中心在原点，且一个焦点为),0,7(F 直线1-=x y 与其相交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（ ） A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 【答案】D考点：1、双曲线的方程及几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【一题多解】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>．因为MN 的中点的横坐标为32-，且中点也在直线1-=x y 上，所以中点的纵坐标为53-．设1122(,),(,)M x y N x y ，分别代入双曲线方程并作差，可得2222221212()()b x x a y y -=-，所以2121221212()()5()()2y y y y b a x x x x +-==+-①．又因为一个焦点为)0,7(F ，所以222c a b =+ ②，联立①②，解得222,5a b ==，所以双曲线方程为15222=-y x ，故选D ． 12.将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数的个数是 ( )A ．251B ．241C ．250D ．240 【答案】D 【解析】试题分析：先选取三个不同的数字有310C 种方法，然后将其中最大的数放在百位上，另外两个不同的数放在十位或个位上，有22A 种排法，所以共有310C 22240A =（个）三位数，故选D ．考点：排列与组合的应用．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知随机变量22(),x N σ～，若()0.68P x a >＝，则4()P a x a ≤<－＝____.【答案】0.36考点：正态分布曲线．【技巧点睛】利用正态分布求某些概率问题时，要注意：(1)先弄清正态分布的均值μ和方差2σ分别是多少；(2)需要熟记()P X μσμσ<≤－＋，2()2P X μσμσ<≤－＋，3()3P X μσμσ<≤－＋的值，充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1来解题．14.执行如图所示的程序框图，输出的结果为________________.【答案】20 【解析】试题分析：第一次循环，得5,4s a ==；第二次循环，得20,34s a ==<，退出循环，输出20s =．考点：程序框图．15.已知点P 在抛物线x y 42=上，当P 到直线4y x =+的距离最短时，点P 的坐标是__________. 【答案】(1,2)考点：1、点到直线的距离公式；2、抛物线的方程．16.若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点12F F P 、，是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是________. 【答案】1 【解析】试题分析：因为两曲线的焦点相同，所以211c m n =-=+，即2m n -=．设P 是两曲线在第一象限内的交点，则由椭圆与双曲线的定义，有1212||||||||PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩12||||PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩12||||2PF PF =．在12F PF ∆中，由余弦定理，得22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=2()404n m -+=，所以122F PF π∠=，所以12F PF S ∆ ＝121||||12PF PF =．考点：1、椭圆与双曲线的定义及性质；2、余弦定理．【方法点睛】圆锥曲线上一点与圆锥曲线两个焦点为顶点构成的三角形通常称为焦点三角形，处理焦点三角形常规方法：（1）利用圆锥曲线的定义得到两条焦半径的关系；（2）利用正弦定理或余弦定理建立相关等式．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）已知集合{}{}0|,062|2<==++-=x x B m mx x x A ，若命题“φ=B A ”是假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】2m ≤-．考点：1、集合交集运算；2、命题真假的应用．18.（本小题12分）柜子里有4双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率： （1）取出的鞋不成双； （2）取出的鞋都是同一只脚的；（3）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成双. 【答案】（1）67；（2）37；（3）37． 【解析】试题分析：先求得随机抽取2只的可能情况，（1）求出取出的鞋不成双的可能，然后利用古典概型公式求解；（2）求出取出的都是同一只脚的可能，然后利用古典概型公式求解；（3）求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成双的可能，然后利用古典概型公式求解试题解析：（1）7628121224==C C C C P （4分）（2）73281224==C C C P （8分 ）（3）73281224==C C C P（12分 ） 考点：古典概型．19.（本小题12分）已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的直线L 交抛物线于),(),,(2211y x B y x A )(21x x <两点，过B 作抛物线准线的垂线BD ，垂足为D .（1）若直线L 的斜率为2且线段AB 的长为10，求该抛物线的方程；（2）直线AD 是否过x 轴上的一定点？若是，求出此定点，若不是，说明理由. 【答案】（1）x y 82=；（2）(0,0)．（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设AB 方程为()2py k x =-(0k ≠)． 由222()p y y px k x ⎧-==⎪⎨⎪⎩，得2220ky py p k -=-． 由根与系数的关系得，212y y p =-，∴221p y y -=，∴ 21(,)2p p D y --．∵A 在抛物线上，∴2112y px =， ∴211(,)2y A y p，∴12ADp k y =，∴直线AD 的方程为11121222()y y x p p p y x y y +==-， ∴直线AD 过定点（0,0） 当AB x ⊥轴时， 此时(,)2p B p -，(,)2pD p --，(,)2p p A ，∴直线AD 的方程为x y 2=，∴直线AD 过定点（0,0）综上可知，直线AD 过定点（0,0） （12分） 考点：1、抛物线的定义及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系．【方法点睛】定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，由此得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．20.（本小题12分）已知在2)nx的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1．（1）求展开式中6x 的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；．（3）求231981...9n n n n nn c c c -++++的值. 【答案】（1）672-；（2）325376x -；（3）91109-．考点：二项式定理．21.（本小题12分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm )．跳高成绩在175cm 以上(包括175 cm )定义为“合格”，成绩在175cm 以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员， 学校决定只有乙队．．中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．（1）求甲队队员跳高成绩的中位数；（2）如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？（3）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．【答案】（1）177cm；(2) 合格人数为2人，不合格人数为3人；（3）分布列见解析，2 ()3E X=．因此，X的分布列如下：∴1222()012333311333E X=⨯+⨯+⨯==.（12分）考点：1、茎叶图；2、中位数；3、分层抽样；4、离散型随机变量的分布列及数学期望．【方法点拨】求解离散随机变量分布列和数学期望，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，从而分别计算出相对应的概率，写出随机变量的分布列，最后正确运用数学期望公式进行计算．22.（本小题12分）已知)0,3(),0,3(B A -，动点P 满足4PA PB +=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(1,0)作直线L 与曲线C 交于M N 、两点，若35OM ON ∙=-，求直线L 的方程；（3）设T 为曲线C 在第一象限内的一点，曲线C 在T 处的切线与,x y 轴分别交于点E F 、，求OEF ∆面积的最小值． 【答案】（1）1422=+y x ；（2）01=-+y x 或01=--y x ；（3）2．考点：1、椭圆的定义及方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量的坐标运算．【方法点睛】求圆锥曲线中的向量的数量积主要有两种方法：（1）根据条件求出所涉及到的向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式求解；（2）根据条件确定所涉及到的两个向量的模及它们的夹角，然后利用向量数量积的非坐标形式求解．。
湖北省孝感市六校教学联盟2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年湖北省孝感市六校教学联盟高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．把二进制数10102化为十进制数为（）A．20 B．12 C．11 D．102．已知，则x=（）A．1 B．9 C．1或2 D．1或33．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件 B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件D．以上答案都不对4．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（）A．B．0 C．1 D．5．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．1206．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题为（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③7．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．148．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A．B．C．D．9．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B同时发生的概率是（）A．B．C．D．10．数80100除以9所得余数是（）A．0 B．8 C．﹣1 D．111．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种．A．150 B．180 C．240 D．54012．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，则P（X＞2）= ．14．计算1﹣3+9﹣27+…﹣39+310= ．15．如图程序是求一个函数的函数值的程序，若执行此程序的结果为3，则输入的x值为16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14．其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）．三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22．电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．2015-2016学年湖北省孝感市六校教学联盟高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．把二进制数10102化为十进制数为（）A．20 B．12 C．11 D．10【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】利用累加权重法，可将二进制数10102化为十进制数．【解答】解：1010（2）=2+23=10（10），故将二进制数10102化为十进制数为10，故选：D【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．2．已知，则x=（）A．1 B．9 C．1或2 D．1或3【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；排列组合．【分析】由题意可得或，求解可得x值．【解答】解：由，得或，解得：x=1或3．故选：D．【点评】本题考查组合及组合数公式，考查了组合数公式的性质，是基础题．3．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件 B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件D．以上答案都不对【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题．【分析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，由互斥事件和对立事件的概念可判断两事件是互斥事件，不是对立事件【解答】解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不是对立事件，故两事件之间的关系是互斥而不对立，故选C．【点评】本题考查事件的概念，考查互斥事件和对立事件，考查不可能事件，不可能事件是指一个事件能不能发生，不是说明两个事件之间的关系，这是一个基础题．4．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（）A．B．0 C．1 D．【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】计算题．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的未知量p．【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）Eξ=300，Dξ=200∴Eξ=300=np，①；Dξ=200=np（1﹣p），②可得1﹣p==，∴p=1﹣故选D【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．5．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．120【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．【解答】解：∵C n°+C n1+…+C n n=2n=64，∴n=6．T r+1=C6r x6﹣r x﹣r=C6r x6﹣2r，令6﹣2r=0，∴r=3，常数项：T4=C63=20，故选B．【点评】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．6．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题为（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【考点】线性回归方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①不正确，②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上，正确；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，正确．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故不正确．故选：D．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了抽样方法，相关系数，回归分析，独立性检验等知识点，难度不大，属于基础题．7．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．8．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要求出以线段AM为边作正方形，这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，先求得对应线段AM的长，然后代入几何概型公式即可求解．【解答】解析：正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm到9cm之间．线段AB的长度为12cm，则所求概率为=．故选C．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．9．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B同时发生的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则P（A）=，P（B）=，∴P（AB）=P（A）P（B）=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互独立事件概率乘法公式的合理运用．10．数80100除以9所得余数是（）A．0 B．8 C．﹣1 D．1【考点】同余方程．【专题】计算题；二项式定理．【分析】利用二项式定理展开80100=（81﹣1）100=C100081100﹣C10018199+…﹣C1009981+1，即可得出．【解答】解：因为80100=（81﹣1）100=C100081100﹣C10018199+…﹣C1009981+1．显然展开式中出最后一项不含81，其余各项都能被81整除，所以80100除以9所得余数是为1．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用和整除的方法，属于基础题．11．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种．A．150 B．180 C．240 D．540【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果，∴根据分类计数原理知共有90+60=150故不同保送的方法数为150种，故选：A．【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．12．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框 i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，则P（X＞2）= 0.1 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），由此知曲线的对称轴为Y轴，可得P（0≤X≤2）=0.4，即可得出结论．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，∴P（0≤X≤2）=0.4∴P（X＞2）=0.5﹣0.4=0.1故答案为：0.1．【点评】本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率．14．计算1﹣3+9﹣27+…﹣39+310= 1024 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】逆用二项式定理，经观察，第一项1=110，最后一项为310，奇数项为正，偶数项为负，即可得到答案．【解答】解：∵1﹣3C101+9C102﹣27C103+…﹣39C109+310=（1﹣3）10=（﹣2）10=210=1024，故答案为：1024．【点评】本题考查二项式定理的应用，着重考查学生观察与逆用公式的能力，属于中档题．15．如图程序是求一个函数的函数值的程序，若执行此程序的结果为3，则输入的x值为4或﹣3【考点】程序框图．【专题】计算题；分类讨论；试验法；算法和程序框图．【分析】根据程序语言的运行过程，得程序运行后输出的函数y=；令y=3，求出对应x的值．【解答】解：根据程序语言的运行过程，得该程序运行后输出的是函数y=；又输出y=3，所以，当x≤0时，y=﹣x=3，解得x=﹣3，满足题意；当0＜≤1时，y=0，不满足题意；当x＞1时，y=x﹣1=3，解得x=4，满足题意；综上，x的值是4或﹣3．故答案为：4或﹣3【点评】本题利用程序语言考查了分段函数求值的应用问题，是基础题目．16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14．其中正确结论的序号是①③（写出所有正确结论的序号）．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意知射击一次击中目标的概率是0.9，得到第3次击中目标的概率是0.9，连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，得到是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率和至少击中目标1次的概率，得到结果．【解答】解：∵射击一次击中目标的概率是0.9，∴第3次击中目标的概率是0.9，∴①正确，∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，∴本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1∴②不正确，∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1﹣0.14．∴③正确，故答案为：①③【点评】本题考查独立重复试验，独立重复试验要从三方面考虑①每次试验是在同样条件下进行，②各次试验中的事件是相互独立的，③每次试验都只有两种结果．三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【专题】计算题．【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．【解答】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．22．电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；计数原理的应用．【专题】概率与统计．【分析】（1）若8种口味均不一样，有种，若其中两瓶口味一样，有种，若三瓶口味一样，有8种．由此能求出小王共有多少种选择方式．（2）由已知得，由此能求出小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列、数学期望和方差．【解答】（本题满分12分）解：（1）若8种口味均不一样，有=56种，若其中两瓶口味一样，有=56种，若三瓶口味一样，有8种．所以小王共有56+56+8=120种选择方式．…（5分）（2）ξ的取值为0，1，2，3．由于各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为，…（7分）故随机变量ξ服从二项分布，即，，，，，∴ξ的分布列为…（10分）其数学期望，方差．…（12分）【点评】本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，要认真审题，要将题目中的关系读懂，是中档题．。
湖北省孝感高中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年湖北省孝感高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1.下列反映两个变量的相关关系中，不同于其它三个的是 （）A.名师出高徒 B .水涨船高C .月明星稀D .登高望远2.重庆市 2013年各月的平均气温（C ）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是()0 3 91 2 5 S2 00 3 38312A. 19 B .20 C. 21.5 D . 233. 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1名,抽到二年级女生的概率是 0.19 •现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）.4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取 2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （） A. “至少有一个红球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D.“恰有1个黑球”与“恰有 2个黑球”5•执行如图所示的程序框图，如果输出 S=3,那么判断框内应填入的条件是（）A. k W6 B . k<7 C . k<8 D. k<96. 下列关于概率的理解中正确的命题的个数是①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0.4 ;]②某种体育彩票的中奖概率为I ,则买1000张这种彩票一定能中奖；③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70喘指明天孝感有70%勺区域下雨，30%勺区域不下雨.()A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知(1+x) 10=a o+a i (1 - x) +a2 (1 - x) 2+…+a io (1 - x) 10,贝Ua8=()A. - 180B. 180C. 45D.- 45x01234y 2.2 4.3 4.5 4.8t且回归方程是=0.95x+2.6，贝U t=()A. 6.7B. 6.6C. 6.5D. 6.49. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a, b分别为14, 18，则输出的a=()10. 20152015除以8的余数为（）A. 1B. 3C. 5D. 711. 对于两随机事件A, B若P (A U B) =P (A) +P (B) =1,则事件A, B的关系是()A.互斥且对立B.互斥不对立C.既不互斥也不对立D .以上均有可能12•如果自然数a的各位数字之和等于8,我们称a为“吉祥数” •将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1, a2, a s …，若a n=2015，则n=()A. 83B. 82C. 39D. 37二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上)13.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.现从1 , 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为_____________________________ .14 .回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数.如121, 94249是回文数，则4位回文数有_____________ 个.15 .已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.5 1 - 2q 2 q则常数q=16•关于圆周率n，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验•受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计n的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对(x, y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(X, y)的个数m；最后再根据统计数m估计n的值•假如统计结果是m=34那么可以估计n - __________ (用分数表示)三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如图. 观察图形，回答下列问题：(1)49.5 - 69.5这一组的频率和频数分别为多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的中位数及平均成绩.18. x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x.(1)请写出程序框图所表示的函数表达式；(2)求输出的y (y v 5)的概率；(3)求输出的y (6v y w 8)的概率.开始19.已知(I)求n的值;(n)求展开式中系数最大的项.20.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0, 1, 2, 3四个数中任取的一个数，b是从0, 1, 2三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.(2)若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.m 硏］nd-121 . ( 1)求证：C HC '';i 2 3 k n2 2 2 2(2)求和：C 1 +2 C 1 +3C 1 + …+k C 1 + …+n C 1.0 1 2 r 2n- i 2n 022 .在(1+x+x2)n=D 1+D x+D • x2+…+D 1 x r+- +D ：x2n「1+D x2n的展开式中，把D 1,i 2D 1, D 1，-, D 叫做三项式系数.0 12 3 4(1) 当n=2时，写出三项式系数D ' , D ' , D ' , D ' , D '的值；m IIL' 1 n(2) 类比二项式系数性质 C wH=C +C ( K mfC n, m€ N, n € N),给出一个关于三项JH+1式系数D厂-1 (1 <mic2n- 1, m€ N, n€ N)的相似性质，并予以证明；0 0 1(3) 求D：i，C 1 2 2:11 ： +D ： 11! C ： 11 ：——+ (— 1)2014 20142015 2015k D ： i，C ：川+…+D ： il! C ：—D ： C ：的值.2015-2016学年湖北省孝感高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列反映两个变量的相关关系中，不同于其它三个的是（）A.名师出高徒B.水涨船高C .月明星稀D .登高望远【考点】变量间的相关关系.【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计.【分析】由题意，A, B, C具有因果关系，C没有因果关系，可得结论.【解答】解：由题意，A, B, D具有因果关系，C没有因果关系，是感觉的故选：C.【点评】本题考查了两个变量之间具有相关关系的定义，根据学过公式和经验进行逐项验证，一定要和函数关系区别出来.2.重庆市2013年各月的平均气温（C）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是82A. 19B. 20C. 21.5 D . 231【考点】茎叶图.【专题】概率与统计.【分析】根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20,20±20=20则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键.比较基础.3•某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表•已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19 •现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）.【考点】分层抽样方法.【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数.【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500, 即总体中各个年级的人数比例为3: 3: 2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为264X-=16故选C.【点评】本题考查分层抽样知识，属基本题.4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个红球”与“都是黑球”B. “至少有一个黑球”与“都是黑球”C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D. “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【考点】互斥事件与对立事件.【专题】概率与统计.【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A:事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，「.A不正确对于B:事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，^口：一个红球一个黑球，「.B不正确对于C:事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生口：一个红球一个黑球，•••「不正确对于D:事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，.••这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，• D正确故选D【点评】本题考查互斥事件与对立事件.首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别•同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件•属简单题5•执行如图所示的程序框图，如果输出S=3,那么判断框内应填入的条件是（）A. k W6 B . k<7 C . k<8 D. k<9【考点】程序框图.【专题】图表型.【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3,可得判断框内应填入的条件.【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log23 3第二次循环log23?log 34 4第三次循环log23?log 34?log 45 5第四次循环log23?log 34?log 45?log 56 6第五次循环log23?log 34?log 45?log 56?log 67 7第六次循环log23?log s4?log 45?log 56?log 67?log 78=log 28=3 8故如果输出S=3,那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k w 7故选B.【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构•对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律.本题属于基础题.6. 下列关于概率的理解中正确的命题的个数是①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0.4 ;1②某种体育彩票的中奖概率为I ,则买1000张这种彩票一定能中奖；③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70喘指明天孝感有70%勺区域下雨，30%勺区域不下雨.（）A. 0B. 1C. 2D. 3【考点】命题的真假判断与应用.【专题】阅读型；对应思想；定义法；概率与统计；简易逻辑.【分析】根据概率和频率的辩证关系，及概率的意义，逐一分析三个命题的真假，可得答案.【解答】解：①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的频率是0.4，概率是0.5 ,故错误；②某种体育彩票的中奖概率为•HO，则买1000张这种彩票也不一定能中奖，故错误；③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%勺可能下雨，故错误；综上所述，正确的命题个数是0个，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断和应用为载体，考查了频率的基本概念，难度不大，属于基础题.10 2 107. 已知(1+x) =a o+a i (1 - x) +a2 (1 - x) + …+a io (1 - x)，贝U a8=()A. - 180B. 180C. 45D.- 45【考点】二项式定理.【专题】计算题.【分析】将1+x写成2 - (1 - x);利用二项展开式的通项公式求出通项，令1-x的指数为8, 求出a8.【解答】解：•••(1+x) 10=10•••其展开式的通项为T r+1= (- 1) r210-r C0r(1 - x) r8令r=8 得a8=4C10 =180故选B【点评】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.关键是将底数改写成右边的底数形式.且回归方程是=0.95x+2.6，贝U t=()A. 6.7B. 6.6C. 6.5D. 6.4【考点】线性回归方程.【专题】计算题；规律型；对应思想；概率与统计.【分析】利用回归直线方程结果样本中心，列出方程即可求出t ._ 1+2+3+4【解答】解：由题意可得：：u •=2._ 2. 2+4. 3+4. 5+4. 8+t 15. g+t= ! i = 打回归方程是=0.95x+2.6 ,95 X 姑2. 6可得解得t=6.7 .故选：A.【点评】本题考查回归直线方程的应用，考查计算能力.9•程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a, b分别为14，18，则输出的a=()/ 输Nab/A. 0B. 2C. 4D. 14【考点】程序框图.【专题】算法和程序框图.【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a, b的值，即可得到结论. 【解答】解：由a=14, b=18, a>b,则b变为18 - 14=4,由a > b,贝U a 变为14 - 4=10,由a > b,贝U a 变为10 - 4=6,由a > b,贝U a变为6 - 4=2,由a v b,贝U b变为4 -2=2,由a=b=2,则输出的a=2.故选：B.【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题.10. 20152015除以8的余数为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【考点】二项式定理的应用.【专题】转化思想；综合法；二项式定理.【分析】先将幕利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数.P 0 厂1 厂2【解答】解：T 2015 2015=2015=「节「？20162015—「1「？20162014+「节「？20162013—厂3 r2014 厂2015「I： ?20162012+…+ ：* ?2016—「I：,r2015故20152015除以8的余数为-：1丨：=-1,即20152015除以8的余数为7, 故选：D.【点评】本题考查利用二项式定理的展开式解决整除性问题，关键是将幕形式写成二项式形式，属于基础题.11. 对于两随机事件A, B若P (A U B) =P (A) +P (B) =1,则事件A, B的关系是()A.互斥且对立B.互斥不对立C.既不互斥也不对立D .以上均有可能【考点】互斥事件与对立事件.【专题】探究型；分类讨论；分类法；概率与统计.【分析】通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案.【解答】解：若是在同一试验下，由P (A U B) =P ( A) +P ( B) =1，说明事件A与事件B 一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P (A U B) =P (A) +P ( B) =1,但事件A和B也不见得对立，所以事件A与B的关系是不确定的.故选：D【点评】本题考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题.12. 如果自然数a的各位数字之和等于8,我们称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1, a2, a3 …，若a n=2015，则n=()A. 83B. 82C. 39D. 37【考点】数列递推式.【专题】点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论.【解答】解：由题意，一位数时只有8 一个；二位数时，有17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80 共8 个三位数时：(0, 0, 8)有1个，(0, 1 , 7)有4个，(0, 2, 6)有4个，(0, 3, 5)有4个，(0, 4, 4)有2 个，(1, 1 , 6)有3 个，(1, 2, 5)有6 个，(1, 3, 4)有6个，(2, 2, 4),有3 个，(2, 3, 3)有3 个，共1+4X 3+2+3X 3+6X 2=36 个，四位数小于等于2015: (0, 0, 1, 7)有3 个，(0, 0, 2, 6)有1 个，(0, 1, 1, 6)有6 个,(0, 1, 2, 5)有7 个，(0, 1, 3, 4)有6 个，(1 , 1, 1 , 5)有3 个，(1 , 1, 2, 4)有6 个，(1, 1, 3, 3)有3 个，(1, 2, 2, 3)有3 个，共有3X 4+6X 3+1+7=38 个数，•••小于等于2015 的一共有1+8+36+38=83 个，即a83=2015故选：A【点评】本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上)13•如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数•现丄从1 , 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为I'【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】计算题；整体思想；分析法；概率与统计.【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可.【解答】解：从1, 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数，有(1 , 2, 3), (1, 2, 4), (1 , 2, 5),(1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 4, 5) (2, 3, 4), ( 2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 4, 5)共10 种，其中只有(3 , 4 , 5)为勾股数，丄故这3个数构成一组勾股数的概率为⑴故答案为：111【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题.14 •回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数•如121, 94249是回文数，则4位回文数有90个.【考点】计数原理的应用.【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合.【分析】依题意，利用排列组合可求得4位回文数共有：；门个.【解答】解：依题意，利用排列组合可求得4位回文数共有■ - '=90个故答案为：90.【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解回文数的定义是解题的关键.则常数q=1 -:.【考点】离散型随机变量及其分布列.【专题】概率与统计.【分析】由分布列的性质可得0.5+1 - 2q+q2=1，解得q的值.V2 V2 【解答】解：由分布列的性质可得0.5+1 - 2q+q2=1,解得q=1+ （舍去），或q=1 - ■-,故答案为•.【点评】本题主要考查离散型的分布列的性质，属于基础题.16.关于圆周率n，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计n的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x, y）;再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（X,47 y）的个数m最后再根据统计数m估计n的值.假如统计结果是m=34,那么可以估计n - I1' （用分数表示）.【考点】模拟方法估计概率.【专题】应用题；概率与统计.【分析】由试验结果知120对0〜1之间的均匀随机数x, y,满足1 ,面积为1,两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2v 1且, x+y > 1，面积兀丄为I -：,由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计n的值.【解答】解：由题意，120对都小于I的正实数对（x, y）,满足1此尺1，面积为1,两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x, y）,满足x2+y2< 1且IXyVl , x+y> 1，面兀1积为4 -:,因为统计两数能与I构成钝角三角形三边的数对（x, y）的个数m=34,34 X 1 94 _47所以1 .1 = 4 - I,所以n =己「= _14T故答案为：丨工【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如图. 观察图形，回答下列问题：（1）49.5 - 69.5这一组的频率和频数分别为多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的中位数及平均成绩.【专题】数形结合；定义法；概率与统计.【分析】（1）根据频率分布直方图，结合频率和频数的定义和公式进行求解即可.(2)根据中位数和平均数的定义和公式进行求解.【解答】解：(1)频率为(0.015+0.015 )X 10=0.30.频数为0.30 X 60=18. --------------------(2)平均成绩为44.5 X 0.1+54.5 X 0.15+64.5 X 0.15+74.5 X 0.3+84.5 X 0.25+94.5 X 0.05=70.5 . --------- ,中位数为69.5+ ' = ' ~ 72.8 .--------------------【点评】本题主要考频率分布直方图的应用，要求熟练掌握频数，频率和中位数和平均数的公式和概念，比较基础.18. x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x.(1)请写出程序框图所表示的函数表达式；(2)求输出的y (y v 5)的概率；y=x+ 1［结束］(3)求输出的y (6v y w 8)的概率.【考点】程序框图.【专题】函数的性质及应用；概率与统计；算法和程序框图.【分析】(1)由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量值，分析程序各分支对应的操作可得程序框图所表示的函数表达式；(2)求出输出的y (y v 5)的x值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案;(3)求出输出的y (6 v y w 8)的值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案;【解答】解：(1)由已知可得'y _ 1,程序框图所表示的函数表达式是尸［叶1, 0<x<7(2)当 y v 5 时，若输出 y=x+1 (O w x w 7),此时输出的结果满足 x+1 v 5, 所以O w x v 4, 若输出 y=x - 1 (7 v x w 10), 此时输出的结果满足 x — 1 v 5, 所以O w x v 6 (不合)，所以输出的y ( y v 5)的时x 的范围是O w x v 4.4-0 2则使得输出的y (y v 5)的概率为［二(3)当 x w7 时，输出 y=x+1 (O w x w 7), 此时输出的结果满足 6 v x+i w8 解得5v x w 7； 当x > 7时，输出 y=x — 1 (7v x w 1O ), 此时输出的结果满足 6 v x — 1 w8 解得7v x w 9;综上，输出的 y (6v y w 8)的时x 的范围是5v x w 9.9-5 2则使得输出的y 满足6v y w8的概率为： ：l ■.【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数，几何概型，是概率，函数与算法的综合 应用，难度不大，属于基础题.(n)求展开式中系数最大的项.【考点】二项式系数的性质. 【专题】计算题.【分析】(I )利用二项展开式的通项公式求出展开式前三项的系数，列出方程求出n .(II )设出系数最大的项，据最大的系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的的展开式中前三项的系数成等差数列.19.求n 的值;系数，列出不等式组求出r，求出系数最大的项.C^2X-^X cl【解答】解：(I)由题设，得- r-2即n - 9n+8=0，解得n=8, n=1 (舍去).1 > 1(r+1)(H)设第r+1的系数最大，则即［2r 9 - r 解得「=2 或r=3 .所以系数最大的项为T3=7x5, ：'".【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查二项展开式中系数最大项的求法.20.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0, 1, 2, 3四个数中任取的一个数，b是从0, 1, 2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.(2)若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型.【专题】计算题.【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a>b(1) 本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率.(2) 本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{ (a, b) |0 < a< 3, 0< b< 2}, 满足条件的构成事件A的区域为{ (a, b) |0 < a< 3, 0< b< 2, a>b}，根据概率等于面积之比，得到概率.【解答】解：设事件A为“方程有实根”.当a>0, b>0时，方程有实根的充要条件为a>b（1 ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1, 2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3,2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件，g 3•••事件A发生的概率为P==-（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{ （a, b）|0 < a w 3, 0< b< 2}满足条件的构成事件A的区域为{ （a, b）|0 w a w 3, 0< b< 2, a>b}3X2-^X22n 2 _2•所求的概率是y t【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点.m 昭］m>l21 . （1）求证：C 一C '';1 2 3 k n（2）求和：C 1 +22C 1 +32C I+…+k2C | +…+n2C 1.【考点】组合及组合数公式.【专题】证明题；转化思想；构造法；排列组合.【分析】（1）根据组合数的公式，把等式右边变形，化出左边公式即可；pk 厂—2 广k pk' 1（2）根据k （k- 1）n=n （n - 1）刃_ J把k2負化为n （n - 1）》+n 1,再由此求和.mH ______ 〔n+1）_-____【解答】解：（1）证明：右边'-门-J：l-皿=二二一二：=左边，即证明等式成立;k 门！ (2)v k ( k - 1)■ =k (k— 1)二■上 一 -：■(n-2) !=n (n _ 1)1-- - - : ::-•:1 2 3 k n2 2 2 2:.C i +2 C i +3 C + …+k C i +…+n C 丨 厂 Dp 1广 口-2厂。
湖北省孝感高级中学高二数学上学期期中考试 理.doc
湖北省孝感高级中学~度上学期期中考试二年级（理科数学）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图,下列四个框图中满足UNTIL 语句结构的是( )A. B. C. D. 2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加数学竞赛. 下列各对事件为互斥事件的是（ ）A ．至少有1名男生和至少有1名女生B ．至少有1名男生和至多有1名女生C ．至多有1名男生和全是男生D ．至多有1名男生和全是女生3. 下列说法中正确的是（ ） A. 某种彩票的中奖率为11000，则买1000张这种彩票一定能中奖. B. 天气预报说明天本地降水概率为70%，则明天本地会有70%的区域下雨. C. 试验100次得到的频率一定比试验50次得到的频率更接近概率.D. 连续将一枚骰子掷10次，结果都是出现1点，则可推测该骰子可能不均匀. 4. 某学校在校学生2000人，为提高学生身体素质，学校举行了“阳光锻炼一小时”活动，学生可选择参加羽毛球或乒乓球，每人都参加，且每人只参加其中一项活动，各年级参加高一年级高二年级高三年级羽毛球人数 a b c 乒乓球人数x y z其中a ：b ：c =2：5：3，全校参加乒乓球的人数占总人数的 ，为了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加羽毛球的学生中应抽取（ ） A. 15人B. 30人C. 40人D. 45人5．已知两条直线m 、n ，两个平面α、β. 给出下面四个命题： ①//,////m n m n αα⇒②,//m m αββα⊥⊥⇒ ③//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥④,,a b a b αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥其中正确命题的个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 06. 用秦九韶算法计算多项式23456()23456f x x x x x x x =+++++在3=x 时的值时,不会出现的数值是（ ）4A. 23B. 73C. 142D. 2227. 有甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，他们每次命中环数的条形图如图所示，共计两位运动员的平均环数分别为x 甲，x 乙标准差为s 甲，s 乙，则A. x x <乙甲，s s >乙甲B. x x <乙甲，s s <乙甲C. x x >乙甲，s s >乙甲D. x x >乙甲，s s <乙甲8. 有一个小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度 －1 3 8 12 17 饮料瓶数3405272122根据上表可得回归方程$$y bxa =+$中的b $为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（ ） A. 141B. 191C. 211D. 2419. 若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++产生进位现象，则称n 为“先进数”. 例如: 4是“先进数”，因4+5+6产生进位现象. 2不是“先进数”，因2+3+4不产生进位现象. 那么，小于100的“先进数”的概率为（ ） A. 0.10B. 0.90C. 0.89D. 0.8810.如图, 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1， B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1，若二面角A —BD —C 为60°，则B 1C 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ） A.14B.12C.3D.3二、填空题：本题共25分，每小题5分，请将各题的正确答案直接写在题目的横线上. 11. 运行如图所示的程序,输出的结果是 . A=5 A=A+10PRINT “A=”; AEND12. 二进制数10000001001转化为八进制数是 .13. 右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图，其中分组区间为(](](](](]0,1,1,2,2,3,3,4,4,5.则由直方图可估计该城市居民月均用水量的众数是，中位数是 .14. 某赛季甲，乙两名篮球运动员每场比赛得分情况用茎叶图表示如图：根据以上茎叶图，下列说法中正确的有.①甲得分的中位数为26,乙得分的中位数为36；②甲与乙比较，甲的稳定性更好；③乙有613的叶集中在茎3上；④甲有911的叶集中在茎1、2、3上.15. 执行如图所示的程序框图,则输出的a为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 两枚大小相同、质地均匀地正四面体玩具的各个面上分别定着数字1，2，3，5. 同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个朝下的面上的数字之和.（1）求事件“m不小于6”的概率.（2）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是否相等？并给出证明.第15题图17. 已知分段函数221233113x , xy x , xx , x>≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪-⎩，请设计一个求函数值的算法，并完成程序框图.18. 甲、乙两人相约于下午13：00 — 14：00之间到某车站乘公交车外出，他们到达车站的时间是随机的，设在13：00 — 14：00之间有四班客车开出，开车时间分别为13：15，13：30，13：45，14：00，分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率.（1）约定见车就乘；（2）约定最多等一班车.19. 某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了n名同学进行调查,下表是这n名同学的日平均睡眠时间的频率分布表.序号(i) 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率1 [4,5) 4 0.082 [5,6)0.203 [6,7) a4 [7,8) b5 [8,9)0.08（1）求n的值.若a=20,将表中数据补全,并画出频率分布直方图;（2）统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表.若据此计算的这n名学生的日平均睡眠时间的平均值为6.68.求a、 b的值,并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上概率.20. 如图是某几何体的正视图和侧视图，请画出该几何体可能的俯视图，并求出对应几何体的表面积. （说明：本题每画出一种情形4分,三种及以上满分）21. 如图，将图（1）所示直角梯形ABCD 延EF 折成一个直二面角A －EF －C ，其中AE=EB=BC=CF=EF=2、DF=1，连接AB 、AC 、CD 构成图（2）所示几何体. （1）求异面直线AB 与CD 所成角余弦值；（2）在棱AC 上是否存在一点P ，使BP ∥面EDC ，若存在请指出点P 位置，若不存在请说明理由；（3）求四棱锥A EBCF -与四棱锥D EBCF -公共部分的体积.高二数学（理）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCDDBCCBDC二、填空题 11. A=1512. 2011 13. 2.5 2.114. ①③④15. 13 416. 解:由表可知,基本事件总数为4×4=16种……………………(4分)(1)81P(m6)162≥==……………………………………(8分)(2)P(m为奇数)=168=P(m为偶数)=35188-=故“m为奇数”和”m为偶数”的概率不相符. …………（12分）17. 解：第一步输入x…………………………………………(1分)第二步判断x>－2是否成立.若是,则执行第三步;否则,计算y=x,并输出y.…… (3分)第三步判断x>3是否成立.若是,则计算y=3x－11,并输出y;否则,计算y=2x－1,并输出y. ………………(6分)18. 解：设甲、乙两艘船到达码头的时间分别为x、y，则1314x≤≤1314y≤≤由几何概型可知，试验区域D为点（x、y）所形成的正方形，以16个小方格表示如图①所示.（3分）（1）如图②，约定见车就乘的事件所表示的区域d1为图中4个黑色小方格所求概率为41164=………………………………………………………………………………（7分）（2）如图③约定最多等一班车的事件所表示的区域d2为图中10个黑色小方格，所求推车为105168=……………………………………………………………………………（12分）点数 1 2 3 51 2 3 4 62 3 4 5 73 4 5 6 85 6 7 8 1019.序号(i ) 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率 1 [4,5) 4 0.08 2 [5,6) 100.20 3 [6,7) a 0.4 4 [7,8) b0.24 5[8,9)40.08（1）解：4n 500.08== （3分）…………………………（6分）（2）50n = P(3)50a i ==P(4)50bi == ∴平均时间为：4.50.08 5.50.2 6.57.58.50.08 6.685050a b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即：1315454a b += ① …………………………………………………………（8分）又0.080.215050a b+++=即32a b += ② ……………………………（10分） 由①②解得：1319a b =⎧⎨=⎩， 从平均睡眠时间在7小时以上的为0.38+0.08＝0.46 …………………………………（12分） 20.4322S =+表121.解：（1）取AE 的中点G ，连接DG 、BG //DF GE Q ∴四边形GEFD 为平行四边形//GD EF Q 又//EF BC Q ∴四边形GBCD 为平行四边形 //GD CD Q ABG ∴∠为异面直线AB 与CD 所成角 …………………………（2分）ABG ∆中22AB = 5BG = 1AG =所以222310cos 2410AB BG AG ABG AB BG +-∠===⋅故异面直线AB 与CD 所成角余弦值为310………………………………（4分） （2）存在，点P 为棱AC 中点 ………………………………………………………………（5分） 连接EC 、BF 交于点O ，连接OP 、OD 、PDO Q 、P 分别为EC 、AC 中点 1//2OP AE ∴又1//2DF AE //OP DF ∴∴四边形OPDF 为平行四边形//PD OF ∴ 又BO =OF //BO PD ∴ ∴四边形BODP 为平行四边形 //BP OD ∴ 又OD ⊆平面EDC //BP ∴平面EDC……………………………………………………（8分）（3）连接BD ，交平面ACF 于点N ，连接AF 、ED 交于点M ，连接MN .则D EBCF D MNCF V V V --=-公共…………………………………………………………（10分）//BE CF Q //BE ∴面ACFQ 面DBE ⋂面ACF =MN //MN BE ∴ 13MN DM BE DE ∴== 23MN ∴= 过点D 作DH AF ⊥垂足为H又DH CF ⊥ DH ∴⊥面MNCFDH ∴为四棱锥2D －MNCF 的高，且cos4DH DF π=⋅11()32D V MNCF MN CF MF DH ∴-=⨯⨯+⋅⨯827= ………………………………………………………………（13分）D EBCF D MNCF V V V --∴=-公共482832727=-=………………………………………………………………（14分）。
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湖北省孝感高中高二上学期期中考试（数学）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线1=+y x 与圆221+=x y 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．两条直线310210与-+=+-=x y x y 的夹角是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．已知3020+-≥⎧⎨-≥⎩x y x y ,则=-z x y 的最小值为（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-34．已知圆221:(1)(1)1++-=C x y ,圆21与圆C C 关于直线10--=x y 对称，则圆2C 的方程为（ ）A ．22(2)(2)1++-=x yB ．22(2)(2)1-++=x yC ．22(2)(2)1+++=x yD ．22(2)(2)1-+-=x y5．椭圆221925+=x y 的准线方程是（ ）A ．254=±x B ．165=±y C ．165=±x D ．254=±y 6．给出下列三个命题：①方程12=-yx 表示斜率为1，在y 轴上截距为-2的直线； ②到y 轴距离为2的轨迹方程为2=x ; ③到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．与圆22(2)(3)1-+-=x y 相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线共有（ ）条A ．1B ．2C ．3D ．48．到两定点A （3，0）、B （0，0）距离之比为2的点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线9．已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的左、右焦点分别为12(,0)(,0)、-F c F c .若双曲线上存在点P ，使1221sin sin ∠=∠PF F aPF F c，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(1⎤⎦B ．1,3+C ．1,)+∞D ．1)10．若双曲线221x y -=左支上一点(,)P a b 到直线y x =a b +=( )A ．12-B ．12C ．12±D ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 . 12．经过(2,2)(1,1)、--A B 两点的直线的倾斜角为 .13．方程(34)(52)760()m x m y m m ++-+-=∈R 所表示的曲线过定点 . 14．函数sin 1()cos 2f θ-θ=θ-的最大值为 .15．点C 在线段AB 上，线段AB 外一点P 满足：||||2PA PB -=,||4PA PB -=.若||||PA PC PB PC PA PB =,I 为PC 上一点,且,0||||ACAP BI BA AC AP ⎛⎫=+λ+λ> ⎪⎪⎝⎭.则 (Ⅰ)I 为△PAB 的 心； （Ⅱ）||BI BA BA = .三、解答题（本小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知直线23100x y -+=和直线3420x y +-=交于点P ，求： （Ⅰ）过点P 且垂直于直线3240x y -+=的直线方程； （Ⅱ）过点P 且平行于直线4370x y --=的直线方程. 17．（本小题满分12分）已知圆P 满足:①过点E (2,2)-;②和直线4x y +=相切；③圆心P 在直线y x =上.（Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）已知AC 、BD 为圆P 的两条相互垂直的弦，垂足为(1,1)M ,直接写出（不需给出演算步骤）四边形ABCD 面积的最大值.18．（本小题满分12分）甲型H1N1流感是可控、可防、可治的.医学证明：人体每天摄入含有、、A B C 三种成份的药物达到一定量（A 不少于15mg,B 不少于18mg,C 不少于27mg ）就可以治疗甲型H1N1流感.现有金刚烷胺和金刚乙胺两种含有A 、B 、C 成份的药物，且这两种药物每颗含A 、B 、 C 的量如下表所示：问某感染了甲型H1N1流感的病人要想通过服用金刚烷胺和金刚乙胺两种药物治好病，每天必须服用这两种药物多少颗才能使三种成份药量达到要求，且使服用药物的总颗粒数最少？ 19．（本小题满分12分）已知方程22242(3)2(14)1690()x y t x t y t t +-++-++=∈R 的图形是圆. （Ⅰ）求t 的范围；（Ⅱ）求其中面积最大的圆的方程.本小题满分13分）一般地，我们称离心率e =.已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的一个焦点为(,0)(0).>F c c P 、Q 为椭圆上的任意两点，M 为线段PQ 中点，O 为坐标原点.（Ⅰ）证明：若E 是“黄金椭圆”，则,,a b c 成等比数列；（Ⅱ）设E 为黄金椭圆，若直线和PQ OM 斜率分别为PQ K 和OM k ,求PQ OM K k 的值. 21．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率12e =,右准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点1F 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同两点、A B ,求||AB 的值； （Ⅲ）D 、E 是椭圆C 上的两个动点，点3(1,)2P .若直线PD 与直线PE 的倾斜角互补，试证明：直线DE 的斜率为定值，并求出这个值.参考答案一、选择题：BCABD ADBDA二、填空题：12.34π; 13.(1,2)-;14.43; 15.内,1.（前空2分，后空3分）三、解答题： 16．解：由231002,34202x y x x y y -+==-⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩(2,2)点P ∴-.（2分）（Ⅰ）直线3240x y -+=的斜率为32,∴所求直线斜率为23-.∴22(2)3y x -=-+化简得：2320x y +-=，故所求直线方程2320x y +-=.(7分)（Ⅱ）设满足条件的直线方程为:430x y m -+=,又点P 在直线上,4(2)320m ∴⨯--⨯+=. 故14m =，∴所求直线方程为43140x y -+=. （12分）17．解：（Ⅰ）设圆心(,)a a ,2,0a =∴=.(4分)即圆心为(0,0),∴半径=,∴圆的方程：228x y +=. (8分)（Ⅱ）max ()14=ABCD S .(12分)18．解：设每天需服用金刚烷胺x 颗，金刚乙胺y 颗，则：2152183270,0,且+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥∈∈⎩x y x y x y x y x y N N(4分)目标函数z x y =+. (5分)作出可行域可得在点1839(,)55处取最小值.（7分）但,x y ∈N ,为此需调整.当1839,55x y ==时，5711.45x y +==.12,x y ∴+≥当12时x y +=.39x y =⎧⎨=⎩或48x y =⎧⎨=⎩合条件. （11分）∴每天至少服用金刚烷胺3颗，金刚乙胺9颗或每天至少服用金刚烷胺4颗 ，金刚乙胺8颗. (12分) 19．解：圆的方程可化为：2222[(3)][(41)]761-++--=-++x t y t t t . （3分） （Ⅰ）由题意知：217610,17即-++>-<<t t t .(6分)（Ⅱ）面积最大，即半径的平方223167617()77t t t -++=--+最大.即31(,1)77t =∈-时取 最大(9分)∴合条件的圆的方程.22241316()()7497x y -++=. (12分).（Ⅰ）22222()(1)-=--=--b ac a c ac e e a . （3分） E是黄金椭圆，210即∴=+-=e e e .(5分)2,,,0,,,又成等比数列b ac a b c a b c ∴=≠∴.（6分）（Ⅱ）设1122(,)(,)、P x y Q x y 则121221122112,,,22PQ OM x x y y y y y y M k k x x x x ++-+⎛⎫∴==⎪-+⎝⎭， 22122212-∴=-PQ OMy y k k x x . （8分）221222222121222222222101x y x x y y a b a b x y a b ⎧+=⎪--⎪∴⇒+=⎨⎪+=⎪⎩,∴2222221PQ OM b a c k k e a a -=-=-=-=. (13分) 21．（Ⅰ）212214c e a ac a x c ⎧==⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎪⎩. (2分)2223b a c ∴=-=. （3分） ∴椭圆C 方程：22143x y +=.(4分)（Ⅱ）1(1,0),:1F l y x -∴=+.2221788034120y x x x x y =+⎧⇒+-=⎨+-=⎩.228824||7AB ∴==. (8分) （Ⅲ）∵直线PD 与直线PE 倾斜角互补，即0PD PE k k +=.(9分)设223:(1)1243，代入=-++=PD x y l y k x 得：2223(34)4(32)4()1202++-+--=k x k k x k .设3(,)(,),(1,)2、D D E E D x y E x y P 在椭圆上,2234()12234D k x k --∴=+.32=+-D D y kx k ，同理，2234()1232,234+-==-+++E E E k x y kx k k. (12分)()21.2E D D E DE E D E D y y k x x k k x x x x --++∴=-=--即直线DE 斜率为定值，其值为12. (14分)。
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2015-2016学年湖北省孝感高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列反映两个变量的相关关系中，不同于其它三个的是( )A．名师出高徒B．水涨船高 C．月明星稀 D．登高望远2．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是( )A．19 B．20 C．21.5 D．233．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18 C．16 D．124．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”5．执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是( )A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤96．下列关于概率的理解中正确的命题的个数是①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0.4；②某种体育彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票一定能中奖；③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．( )A．0 B．1 C．2 D．37．已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=( )A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣458．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是=0.95x+2.6，则t=( )A．6.7 B．6.6 C．6.5 D．6.49．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=( )A．0 B．2 C．4 D．1410．20152015除以8的余数为( )A．1 B．3 C．5 D．711．对于两随机事件A，B若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A，B的关系是( ) A．互斥且对立B．互斥不对立C．既不互斥也不对立 D．以上均有可能12．如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=2015，则n=( )A．83 B．82 C．39 D．37二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）13．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．现从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为__________．14．回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数．如121，94249是回文数，则4位回文数有__________个．15．已知离散型随机变量X的分布列为则常数q=__________．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值．假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈__________（用分数表示）．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如图．观察图形，回答下列问题：（1）49.5﹣69.5这一组的频率和频数分别为多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的中位数及平均成绩．18．x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x．（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的y（y＜5）的概率；（3）求输出的y（6＜y≤8）的概率．19．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．20．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．（1）求证：C=C；（2）求和：C+22C+32C+…+k2C+…+n2C．22．在（1+x+x2）n=D+D x+D x2+…+D x r+…+D x2n﹣1+D x2n的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式系数．（1）当n=2时，写出三项式系数D，D，D，D，D的值；（2）类比二项式系数性质C=C+C（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数D（1≤m≤2n﹣1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明；（3）求D C﹣D C+D C﹣…+（﹣1）k D C+…+D C﹣D C的值．2015-2016学年湖北省孝感高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列反映两个变量的相关关系中，不同于其它三个的是( )A．名师出高徒B．水涨船高 C．月明星稀 D．登高望远【考点】变量间的相关关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意，A，B，C具有因果关系，C没有因果关系，可得结论．【解答】解：由题意，A，B，D具有因果关系，C没有因果关系，是感觉的故选：C．【点评】本题考查了两个变量之间具有相关关系的定义，根据学过公式和经验进行逐项验证，一定要和函数关系区别出来．2．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是( )A．19 B．20 C．21.5 D．23【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18 C．16 D．12【考点】分层抽样方法．【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．故选C．【点评】本题考查分层抽样知识，属基本题．4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【考点】互斥事件与对立事件．【专题】概率与统计．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D【点评】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题5．执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是( )A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．6．下列关于概率的理解中正确的命题的个数是①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0.4；②某种体育彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票一定能中奖；③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；对应思想；定义法；概率与统计；简易逻辑．【分析】根据概率和频率的辩证关系，及概率的意义，逐一分析三个命题的真假，可得答案．【解答】解：①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的频率是0.4，概率是0.5，故错误；②某种体育彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票也不一定能中奖，故错误；③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%的可能下雨，故错误；综上所述，正确的命题个数是0个，故选：A．【点评】本题以命题的真假判断和应用为载体，考查了频率的基本概念，难度不大，属于基础题．7．已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=( )A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】将1+x写成2﹣（1﹣x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1﹣x的指数为8，求出a8．【解答】解：∵（1+x）10=10∴其展开式的通项为T r+1=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r令r=8得a8=4C108=180故选B【点评】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．8．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是=0.95x+2.6，则t=( )A．6.7 B．6.6 C．6.5 D．6.4【考点】线性回归方程．【专题】计算题；规律型；对应思想；概率与统计．【分析】利用回归直线方程结果样本中心，列出方程即可求出t．【解答】解：由题意可得：==2．==，回归方程是=0.95x+2.6，可得．解得t=6.7．故选：A．【点评】本题考查回归直线方程的应用，考查计算能力．9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=( )A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＞b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．10．20152015除以8的余数为( )A．1 B．3 C．5 D．7【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．【解答】解：∵20152015=2015=•20162015﹣•20162014+•20162013﹣•20162012+…+•2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，故选：D．【点评】本题考查利用二项式定理的展开式解决整除性问题，关键是将幂形式写成二项式形式，属于基础题．11．对于两随机事件A，B若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A，B的关系是( ) A．互斥且对立B．互斥不对立C．既不互斥也不对立 D．以上均有可能【考点】互斥事件与对立事件．【专题】探究型；分类讨论；分类法；概率与统计．【分析】通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案．【解答】解：若是在同一试验下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，所以事件A与B的关系是不确定的．故选：D【点评】本题考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．12．如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=2015，则n=( )A．83 B．82 C．39 D．37【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论．【解答】解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+1+7=38个数，∴小于等于2015的一共有1+8+36+38=83个，即a83=2015故选：A【点评】本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）13．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．现从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；分析法；概率与统计．【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故答案为：【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．14．回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数．如121，94249是回文数，则4位回文数有90个．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合．【分析】依题意，利用排列组合可求得4位回文数共有个．【解答】解：依题意，利用排列组合可求得4位回文数共有=90个故答案为：90．【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解回文数的定义是解题的关键．15．已知离散型随机变量X的分布列为则常数q=1﹣．【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】由分布列的性质可得 0.5+1﹣2q+q2=1，解得q的值．【解答】解：由分布列的性质可得 0.5+1﹣2q+q2=1，解得q=1+（舍去），或 q=1﹣，故答案为．【点评】本题主要考查离散型的分布列的性质，属于基础题．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值．假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈（用分数表示）．【考点】模拟方法估计概率．【专题】应用题；概率与统计．【分析】由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．【解答】解：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=34，所以=﹣，所以π==．故答案为：．【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如图．观察图形，回答下列问题：（1）49.5﹣69.5这一组的频率和频数分别为多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的中位数及平均成绩．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，结合频率和频数的定义和公式进行求解即可．（2）根据中位数和平均数的定义和公式进行求解．【解答】解：（1）频率为（0.015+0.015）×10=0.30．频数为0.30×60=18．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）平均成绩为44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05=70.5．﹣﹣﹣，中位数为69.5+=≈72.8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考频率分布直方图的应用，要求熟练掌握频数，频率和中位数和平均数的公式和概念，比较基础．18．x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x．（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的y（y＜5）的概率；（3）求输出的y（6＜y≤8）的概率．【考点】程序框图．【专题】函数的性质及应用；概率与统计；算法和程序框图．【分析】（1）由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，分析程序各分支对应的操作可得程序框图所表示的函数表达式；（2）求出输出的y（y＜5）的x值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；（3）求出输出的y（6＜y≤8）的值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；【解答】解：（1）由已知可得程序框图所表示的函数表达式是；（2）当y＜5时，若输出y=x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，所以0≤x＜4，若输出y=x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，所以0≤x＜6（不合），所以输出的y（y＜5）的时x的范围是0≤x＜4．则使得输出的y（y＜5）的概率为；（3）当x≤7时，输出y=x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足6＜x+1≤8解得5＜x≤7；当x＞7时，输出y=x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足6＜x﹣1≤8解得7＜x≤9；综上，输出的y（6＜y≤8）的时x的范围是5＜x≤9．则使得输出的y满足6＜y≤8的概率为．【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数，几何概型，是概率，函数与算法的综合应用，难度不大，属于基础题．19．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式前三项的系数，列出方程求出n．（II）设出系数最大的项，据最大的系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的系数，列出不等式组求出r，求出系数最大的项．【解答】解：（Ⅰ）由题设，得，即n2﹣9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）．（Ⅱ）设第r+1的系数最大，则即解得r=2或r=3．所以系数最大的项为T3=7x5，．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查二项展开式中系数最大项的求法．20．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【专题】计算题．【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．【解答】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．21．（1）求证：C=C；（2）求和：C+22C+32C+…+k2C+…+n2C．【考点】组合及组合数公式．【专题】证明题；转化思想；构造法；排列组合．【分析】（1）根据组合数的公式，把等式右边变形，化出左边公式即可；（2）根据k（k﹣1）=n（n﹣1），把k2化为n（n﹣1）+n，再由此求和．【解答】解：（1）证明：右边=•===左边，即证明等式成立；（2）∵k（k﹣1）=k（k﹣1）=n（n﹣1）=n（n﹣1），∴k2==n（n﹣1）+n，∴C+22C+32C+…+k2C+…+n2C=n（n﹣1）（++…+）+n（++…+）=n（n﹣1）2n﹣2+n2n﹣1=n（n+1）2n﹣2．【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了转化思想与构造法的应用问题，是中档题目．22．在（1+x+x2）n=D+D x+D x2+…+D x r+…+D x2n﹣1+D x2n的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式系数．（1）当n=2时，写出三项式系数D，D，D，D，D的值；（2）类比二项式系数性质C=C+C（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数D（1≤m≤2n﹣1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明；（3）求D C﹣D C+D C﹣…+（﹣1）k D C+…+D C﹣D C的值．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；同一法；二项式定理．【分析】（1）直接利用条件求得三项式系数D，D，D，D，D的值．（2）类比二项式系数性质C=C+C（1≤m≤n，m∈N，n∈N），得到三项式系数有如下性质，再根据（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n•（1+x+x2）的左右两边x m+1的系数相等，证得=++成立．（3）根据（1+x+x2）2015 •（x﹣1）2015 =（x3﹣1）2015的等式两边的x2015项的系数相同，从求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为（1+x+x2）n =x4+2x3+3x2+2x+1，D=1，D=2，D=3，D=2，D=1．（2）类比二项式系数性质C=C+C（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：=++（1≤m≤2n﹣1）．因为（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n•（1+x+x2），所以（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）•（ D+D x+D x2+…+D x r+…+D x2n﹣1+D x2n）．上式左边x m+1的系数为，而上式右边x m+1的系数为++，可得=++，（1≤m≤2n﹣1）．（3）∵（1+x+x2）2015 •（x﹣1）2015 =（D+D x+D x2+…+D x r+…+D x2n﹣1+D x2n）•（﹣•x2014+•x2013﹣x2012+…+•x﹣），其中x2015系数为 D C﹣D C+D C﹣…+（﹣1）k D C+…+D C﹣D C，∵（1+x+x2）2015 •（x﹣1）2015 =（x3﹣1）2015，而二项式的（x3﹣1）2015的通项公式 T r+1=，因为2015不是3的倍数，所以（x3﹣1）2015的展开式中没有x2015项，由代数式恒成立，可得D C﹣D C+D C﹣…+（﹣1）k D C+…+D C﹣D C=0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于难题．。