一个Hilbert型奇异重积分算子的范数
一类新广义的Hilbert型奇异积分算子的范数及其应用
（ ９ ）
（ ｙ ， Ａ ｌ ， ｇ ）≤ ｙ ｌ － － ￣ － ａ ｌ ｑ Ｂ（ １一Ａ Ｉ ｑ ， Ａ 一１＋Ａ １ ｇ ） ． （ ７ ） 证明 令 “＝ｙ ／ ｘ， 则有 ：
（ ｘ ， Ａ ２ ， ｐ ） ＝ 寿
小
ｖ
＝
［
．
由Ｈ ６ １ ｄ ｅ ｒ 不 等式 ｍ 得：
ｑ
Ｊ ０
Ｐ
引 理 设 ｐ ＞ ， 古 ＋ 寺 ＝ ・ ， Ａ ， Ａ ２ ∈
Ｒ， １ 一 Ａ ２ Ｐ＞０， １一 Ａ ｌ ｑ＞０， Ａ ＞ｍａ ｘ ｛ １一 Ａ ｌ ｑ ， １一Ａ ２ Ｐ｝， 定义 权 函数 （ ｘ ， Ａ ２ ， ｐ ）＝ （ ４ ）
这里 ， 常数 因－ ７ ： （
６
） ，
）＝
（ ５ ）
． ．个
ｓ ｕ ｐ
，
ｆ Ｉ ｒ ｆ ｌ Ｉ ｐ １
则有 ： （ Ｄ ＾ （ ， Ａ ２ ， ｐ ）≤ 一 ＾ 一 Ａ ２ 尸 （ １一Ａ ２ ｐ， Ａ 一１＋Ａ ２ ｐ ） ， （ ６ ）
Ａ
≤［ Ｂ（ １一Ａ ２ Ｐ， Ａ一１＋Ａ ２ Ｐ ） ］ Ｘ
， ＋ ＿
） 和
［ Ｂ（ ＋ 一 Ｐ
，
ｑ
） ］ 均 为最 佳． 当 Ａ ：１
‘ ‘
［ 收稿 日期 ］ ２ ０ １ ２—１ ０— ２ １ ［ 基金项 目］ 广 西教育厅科研项 目（ ２ ０ １ ２ ０ ４ Ｌ Ｘ ６ ７ ２ ） ． ［ 作者简介 ］ 唐慧羽（ １ ９ ７ ６一） ， 女， 广西都安人 ， 讲师 ， 主要从事基础数学理论及应用等方 面的研究 ［ 通讯作者］ 陈广生 ， 副教授 ， 硕士．
内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
内积空间是希尔伯特空间的特例
完备的内积空间具有完备的几何结构，使得向量可以 按照内积进行长度和角度的度量，并且存在一个完备 的基底来表示空间中的任意向量。
内积空间是一个具有内积运算的线性空间，其满足正 定性、对称性和线性等性质。希尔伯特空间是内积空 间的特殊情况，它是一个完备的内积空间。
希尔伯特空间是内积空间的推广
Annual Work Summary Report
2021
2022
2023
目录
Байду номын сангаас
O1
引言
coOnte2nts
内积空间的基 本性质
O3
希尔伯特空间 的基本性质
O4
内积空间与希 尔伯特空间的 关系
O5
希尔伯特空间 的几何解释
O6
希尔伯特空间 的应用
#O1
引言
#2022
什么是内积空间
内积运算用于计算向量之间的角度和长度，是线性 代数和泛函分析中的基本概念。 内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运 算，满足非负性、正交性、对称性和三角不等式等 性质。
希尔伯特空间的例子
$L^2$空间
01
函数空间，其元素是平方可积函数，通常用于描述物理系统的
状态。
$L^2$空间的子空间
02
例如，$L^2(0,1)$的闭子空间，通常用于描述量子力学中的束
缚态。
有限维空间
03
例如，$R^n$（实数向量空间），其具有有限个维度。
#O4
内积空间与希尔 伯特空间的关系
#2022
描述算子
在量子力学中，概率幅可以通过希尔伯 特空间中的内积计算。
计算概率幅
在信号处理和图像处理中的应用
二类具有卷积核和Hilbert核的奇异积分方程
在 方程 （ ． ） ， ０的范 围扩 充到 一７≤ ≤０， 方程 （． ） ２ １中 把 ｒ 在 ２ １ 的右边 部分 添 加 未知 函数 Ｆ一 ０ ， （ ） 在新 方
程 （ 添加 的 ） 边取 Ｆ ｕｉ 逆 变换 ， 指 两 ｏｒ ｒ ｅ 由引理得 （ 口＋２ｂ ｇ ＋ ） ＝ｇ ， ｉｓｎ ＋ （． ） ２ ２
１ ， 知 函数 Ｆ ０ ） 未 （ ）∈Ｌ［一７， ］为 了讨论 问题 方便 ， 求 Ｆ ０ 是一 个偶 函数 ， 于 Ｆ ０ 是一 般 函数 ， ： ｒ７ ， ｒ 要 （） 对 （） 可 用本 文 的类似 方法 求解 ， 这里 不再 赘述 ．
￥收 稿 日期 ：０ 一２０ ２ １ ｌ－ １ ￣ ＦＯ
Ｆ（ ）ｏ ． ｃｔ ｒ
ｄ Ｓ （ ）＝ ，Ｆ ０
Ｆ（ ｃｔ ）ｏ
ｄ 并且 Ｆ ）∈Ｌ ［ ， （ ｚ 一仃， ， 丌］那
（） １
（ Ｆ ０ ）＝ ｓｎｋ Ｓ （ ） ２ ｇ ，
（ ， ０ ）＝一 ／ ｇ ． ５ （） ２ 一ｓｎｋ ｆ
作者简介 ： 李平润 ， １６ －硕士 ， 男， ６， ９ 讲师； 研究方向： 复分析及其应用 、 解析函数边值（ 问题与奇异积分方程．Ｅｍ ｉ ｌ ｉ ｕ ＠１３ｃｍ． 逆） －ａｌ ｉ ， ｎ ６ ．ｏ ： ｐ ￣＇
第 ３期
李平 润 ： 类具有 卷 积核和 Ｈｉｅｔ 的奇 异积 分方程 二 ｌ ｒ核 ｂ
（ ）Ｓ ２ Ｆ∈Ｌ ［ ｒ仃］ ２ 一７， ，
（Ｆ（ ） Ｓ ０ ）∈ｚ［一 ｒ７］ ２ ７， ． ｒ
２ 具 有 Ｈｌ ｒ核 和 卷 积 核 的 Ｗｉ ｅ－ ｏ ｆ 奇 异 积分 方 程 的 求解 ｉｅｔ ｂ ｅ ｒ ｐ型 ｎ Ｈ
在 Ｌ［一７， ］ ｒ７ 中求解 下 列 Ｗｉ ｅ． ｏｆ ｒ ｅ ｒＨ ｐ 型奇异 积分 方程 ｎ
一个带参数积分核的Hilbert型奇异积分算子的范数刻画及应用
负 可测 函数 ， 记
Ｌ （， 。 ＝ ｛ ０ Ｉ ｌ 一 ０ ＋。） 厂≥ Ｉ ｌ ｆ｝
．一０ ａ ，ｆ － ， ｙ Ｊ ｍ １ Ｖ ） ） ｄ Ｘ
Ｙ∈ （ ０，＋ Ｄ ， 。） （） １
一
Ｊ ａ ，… ｒＪｍ ｙ ≤ ０ ｘ ａ ０ ｛ ｝ 加』／ ｄ古 ｄ古 ｓ （ （’ｃ ．， ｃ ）』ｇｙｙ ｃ 。 ．）
其中， ｆ≥ ０ ｇ≥ ０ Ｊ ∈ Ｌ （ ， Ｄ ）ｇ ∈ Ｌ （ ， ， ， ０ ＋ 。 ， ０ ＋ 。 ） 由于 （ ） ３ 中的常数 因子 （ ） 。， ２ 和（ ） 加 和 ｐ ｑ是 最佳 的 ， 于是可 知 ， 相应 的 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ积分 算子 Ｔ满 足 ｂ
摘 要 ：定 义 带 参 数 和
的 积 分 核 下 的 Ｈｉ ｅ ｔ型 奇 异 积 分 算 子 ｌ ｒ ｂ
．（ ） ） 一 ＿（ 厂
Ｊ 一ｆ ｒ ・ ， ．
。
，』 ｄ （ ）
∈ （ ， ）研 究 了 ． （ （ ， 。 ＋ ， 的 了 。 ＋ ） ， （ ， ） 有 界 性 问题 ， 。＋ ） ）１ （ ＋ 一ａ ） ． 用 此 范 Ｉ ， ）） ｒ （ｑ 向 （ｄ ， 口 古
件 一
．
（ １＋ 一 ｐ） 一 ｂ （ １一 ＋ ｐ 一 ｂ ）
。
（ ｆ南 ｊ ’。 ｏ
筹 出 ） ｇ ＝ ｃ 古
引理 ２ 设 户＞ １ ， ｌ＋Ｌ ＝ ｑ
—
１ 口 ∈ Ｒ， ＞ １＋ ，
（ （ Ⅲ ｄ Ｉ ６ ））。 ｒ （ ， ｆｘｘ ． ，） （ Ｐ
（ ０
（ ）＜ 。 ， 删 ＋。 ｝
一个含参数的Hilbert型奇异积分算子的范数
ｓ ｕ ｐ
川
（ ｐ ） （ Ｊ ｆ ０ 厂 ， （ ） ） 古 （ ｆ ＋ ￣ ｇ ｑ （ ） ） １ ， （ ２ ）
・
！ ｌ ！
ｌ １ 州 ， 。
，
） ｄ ， ｙ ∈ （ 。 ， ＋ ∞ ） ・ （ ） 其 中
．
是 线性 算子 ， ＭＹ ， ｇ∈Ｌ （ ０， ＋∞） ， 定 义厂与
＋ ∞
ｌ Ｉ 川 ＝（ ｆ ｆ （ ） ｄ ｘ ） ．
ｇ的 内积 为
，
关于 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型 积分 算 子 及 相关 不 等 式 已有 许
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ５ ． ０ １ ４
１ 引 言 与预 备 知 识 设， ∈ Ｌ （ Ｏ ， ＋∞） ， 定义参 变量 的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型奇 异积分算子 ， 为
，
弓 Ｉ 理 １ 设 Ｐ＞１ ， ０＜Ａ ＜１一 ， 一１＜ ＜６ ｐ一
［ （ ｐ ） ］ ｌ ． ＋ ∞ ｆ （ ） ｄ ｘ ，
Ｊ ０
（ ３ ）
１ ， 则 有
，
其 中
（ ６ ， ｐ ， ） ＝ 』 ：
一 一
一 如 ｄ ＝
，
∽ （ Ｙ ）＝
则（ ２ ） 和（ ３ ） 式 可写 为
，
（ ７ １ ＾ （ ， ｇ ）≤ ｋ （ Ｐ ）Ｉ Ｉ ｆ Ｊ Ｉ ｇ Ｉ Ｉ ， （ ／ ）（ Ｙ ）＝ ｌ Ｉ （ ／ ） ≤ （ Ｐ ）Ｉ Ｉ ｆ ，
一类广义的带参数的Hilbert型奇异积分算子及其应用
一
类广义 的带参数 的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型奇异 积分算 子及 其应用
陈广 生 ，丁 宣 浩
（ １ ． 广 西现代 职 业技 术 学 院 建 筑与信 息工程 系， 广 西 河池 ５ ４ ７ ０ ０ ０ ： ２ ． 重 庆 工商 大 学 数 学与 统计 学 院 ， 重庆 ４ ０ ０ ０ ６ ７ ）
（ ３ ）
这 里 的 系数 ｋ （ Ｐ ）＝Ｂ（ Ａ ， １一Ａ）＋Ｂ（ Ａ ／ ｑ ， １一Ａ）是 最佳 的．
（ ｂ ） 如果 ０＜Ｊ
。
Ｈ 一 ¨ ｆ （ ） ｄ ｘ＜ｏ 。 ， 贝 ０ 有
川［
。
＜
（
。
＿ １ ） （ １ ＿ ¨
舳
ｒ ，
摘
要： 在 区间 （ ０ ， ｂ ）上 定义 了一个带参数的核为
的Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型奇异积 分算子 Ｔ， 研 究 了它的有界 性和 范数 问
Hale Waihona Puke 题． 作 为应用 ， 还考虑 了其涉及 内积的等价形式．
关键词 ： Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型奇异积分 算子 ； Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型 不等 式 ； 算子 范数 ； 内积 ； Ｈ ￣ ｉ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等 式
价 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型积 分不 等式 ：
。 。
ｄ ｄ ｙ ＜
。
［ Ｊ ． 。 （ ） ｄ ］ 古 ［ 。 ｇ ｑ （ ） ｄ ］ １ ， ［ ｓ ｉ ｎ （ 一 ￣ ／ ｐ ）
（ １ ） （ ２ ）
Ｅ ｆ 。
这 里 的 常数 因子 ７ ｒ ／ ｓ ｉ ｎ （ 订 ）与 ［ ｓ ｉ ｎ （ 霄 ） ］ 是最 佳 的． 式（ １ ） 称为 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ— Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 积 分不 等式 ， 它在 分析 学 中有重 要 的应用 ． 文献 ［ ３ ］ 首 先 引人多 参数 ， 对式（ ２ ） 进行 了推 广． 文献 ［ ４—５ ］ 引入 独立 参 数 Ａ， 建 立 了 下 列新的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型 积分 不等 式 ：
一个Hilbert型奇异积分算子的范数及应用
用 ， 已有许 多相关 研 究成 果 并 满足何 条件 时 ，
，
Ｊ 尸（）ｘ Ｉ ｘｄ ＜＋。 或０ Ｉ 。 ＜
０ Ｊ０
”相 ｘｄ ＜ ｎ 卜尸（） ｘ
对 非 负 可澳 函数 （ ） 记 ｊ Байду номын сангаас ，
＋ｏ ， 献［ ］ 到如下 的 Ｈｉ ｅｔ ｏ文 １得 ｌ ｒ 型不 等式 ： ｂ
Ｌ （， 。 一 ｛ ≥ ０ Ｉ 一 ：ｏ ＋。） ｆ ： Ｉ Ｉ Ｉ ｆ
佳的．
０ 预 备 知 识 与 引 理
设 Ｐ ＞ １ １ ＋ ，一 一 １ Ｐ ｑ
ｒ 。 ＋ 。 ｒ＋。 。
对 ｆ∈ Ｌ（ ， Ｃ ） 若定 义 Ｈｉ ｅｔ Ｏ＋ ｘ ， Ｄ ｌ ｒ 型奇 异积 分 ｂ
算 子 ，：
，
≥ Ｏ ｆ ≥ ０ ０ ＜ ， ，
，）） Ｉ ｍ ， ）． （一 Ｖ （ｄ （ Ｊ ａ ．ｚ ｆ ｘ ｝１ Ｉ １ ， ｚ ０ ’ 。 。
Ｅｄｉｉ ｔｏｎ）， ２ １， ０１ ３８（ ）： ７— ０ １ ０２ ３０ Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｄ ｅ ｉ ｉｂ ｒ ’ ｙｐ ｉ ｆｎｅ ａ Ｈ ｌ ｅ ｔＳ ｔ ｅ ｓｎｇｕｌｒ ｉ ｅ ａ ｅ ａ ｏ ａ ｎｔｇｒ ｌｏｐ ｒ ｔ ｒ
（
）＝
Ｊ０
Ｏｎ ｈ ｒ ｏｆ ａ Ｈｉ ｂ ｒ ’ ｙ ｉ ｕ ａ ｎ ｅ ｒ ｌｏ ｒ ｔ ｒ ａ ｄ ｉｓ ａ ｔ ｅ ｎｏ ｍ ｌ ｅ ｔｓ ｔ ｐｅ ｓ ｎｇ ｌ ｒ ｉ ｔ ｇ ａ ｐｅ ａ ｏ ｎ ｔ ｐｐｌｃ ｉ ｎｓ ｉ ａｔｏ
．
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｅｉｎ ｉｅｓｔ （ ｃｅ ｃ ｏ ｒ ａ ｊａ ｇＵｎｖ ｒｉ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ Ｚｈ ｙ
一类广义的Hilbert型奇异积分算子的范数
（ 广西现代职业技术学 院计算机 工程 系 。 广西河池 ５ ４ ７ ０ ０ ０ ）
摘 要 ： 在 区 间 （ 。 ， ６ ） 上 ， 定 义 了 一 个 广 义 的 带 参 数 的 核 为 南
中图分类号： ０ １ ７ ８ 文献标识码： Ａ
的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｎ 型 奇 异 积 分 算 子 Ｔ ， 研 究 了 它
≤
（ ㈩
＝
， ） ， ∈（ ０ ’ ６ ）
（ ３ ）
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ２—２ ２
基金项 目： 广 西教育厅科研项 目（ ２ ０ １ ２ ０ ４ Ｌ Ｘ ６ ７ ２ ）
作者简介 ： 陈广生 （ １ ９ ７ ９一 ） ， 男， 广西北流人 ， 硕士， 副教授．研究方 向： 解析 不等式、 小波分 析和热辐射．
洛 阳师范学院学报 ２ ０ １ ３年第 ５期
龇
而 ・
≤
㈤叫 古
≤
，
．
０ 一－ ， Ａ ＞
研 务 ） ｉ
Ｉ ｆ ． ｏ ＇ ｏ ， （ ， ， ， Ａ ｌ ， ｇ ） ｙ Ａ ２ ａ ｇ ｑ （ ｙ ） ） ｉ
由引理 １
，
引 理 ２ 设 ｐ ＞ ｌ ， 寺 ＋ 寺 ＝ １ ， 占 任 意 小 的 正 ｛ ∞ （ ｘ ， Ａ ２ ， ｐ ） ｐ 尸 （ ）
的有界性 问题 并求 出其 范数． 作为应用 ， 还考虑其 涉及 内积的等价形式． 关键词 ：Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型奇异积分算子 ； Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不等式 ； 算子 范数 ；内积 ； Ｈ Ｏ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等式
文章编号： １ ０ ０ ９— ４ ９ ７ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ ０ ３一 Ｏ ３
Strongart数学笔记：从Hilbert变换看奇异积分算子
从Hilbert变换到奇异积分算子奇异积分算子是调和分析中比较难学的一部分内容，主要就是缺乏具体实例支持，即便是最简单的球对称情形，其计算也是异常麻烦的，更不用说其他一般情况了。
这里我准备从最简单的一维Hilbert transform开始，看看从中能够挖掘出多少关于奇异积分算子的信息。
Hilbert transform可以定义为主值积分H（f）=p.v.1/π∫f(y)/(x-y)dy，其初等性质可以通过Fourier transform 来研究。
事实上，我们有H（f)^(ξ)=(-isgnξ)f^(ξ)，由此可得H 是L^2(R)上的等距同构,同时H^2=-I.由此我们可以把Hilbert transform推广到高维类比，得到Riesz transform的概念。
事实上，我们有Rj(f)^(ξ)=(-iξj/|ξ|)f^(ξ),并且ΣRj=-I.它与经典分析的联系就在于可以作为f∈L^p(R)的conjugate Possion integral Q的极限，利用Fourier transform可以得到Qy*f=Py*Hf a.e.成立。
对此我们可以构造极大函数H^(ε)(f)进行刻画，有f∈L^p时，H^(ε)(f)-Qε(f)→0在L^p与a.e的意义上均成立。
事实上，类似的极大函数法在调和分析中是非常普遍的，其Lp收敛依据的是Lebesgue dominated convergence theorem，而a.e.收敛则是依据Lebesgue differentiation theorem.Hilbert transform满足良好的几何变换性质，它与平移、正展缩都是交换的，而与反射是反交换的。
有趣的是，在L^2（R）的有界算子若满足这三个条件，那么至少在相差一个常数的意义上它必然就是Hilbert transform.保持前两种变换，把反射换成旋转条件ρTjρ^(-1)=ΣρjkTk，我们就能得到此结论的高维类比。
一类涉及Hilbert型奇异重积分算子的不等式及其应用
（ Ｏ， ｑ ， Ａ， Ｐ，） ｌ
（） ６
其 中
Ａ， ， ， ） ＝ ｏ＋… ＋（ ）） ］ ，（ ａ ａ
×
ｍ ａ ｘ
ｌｒ ｉ ａ
，一
［（） ． （） ｒ ． 等） ＝ （ ＋‘ ＋
“ 一ｄ ＝ “
其 中 ｒ ｔ表示 ｆ函数 ． （）
引理 ２ 设 ｐ＞１ 一 ＋ １ ， １
一
≥０ｇ Ｙ Ｉ０ 文 ［ ］ ，（ ） ， １ 曾证明了如下 的 Ｈｌ ｒ型不 ＞ ｉｅ ｂｔ 等式
ｙ ≤
：
１ ＞ Ａ＞凡 ２一 ， ０， （
Ｐ， ） 则 ６（ ， ， Ｙ ＝ ０ 凡 Ａ， Ｐ，） ） ～ × 一
［ Ａ＋凡 ｐ一 ） ［ Ａ＋ｎ ｑ一２ ］ （ ２］（ （ ）’
且 （ ） 中的常数因子 （ ， ，，） ５式 Ａ ＯＰ ｑ 是最佳值． Ｌ
证明 （ ） 用 Ｈ １ｅ 不等式 有 １利 ６ｄｒ
＋
ｌｍ ｉ
…
（ ｇ＝ ＇ 从 ）
ｌ１ － ； （／ Ｉ ＂ ｆ ： ｎＡｃ 一 ： 。 一 ＝ ｙ ＾ ）ｄ＝ Ｉ ｉ “
２ ｑ ） ＋Ａ一２ Ｊ （ ） ０
收稿 日期：０ ７— １ １ ２０ ０ —０ 基金项 目： 广东省 自然科学基金 （６ ０ ０ ３ 和广东省高校 自然科学研究重点基金（ Ｚ ２ １ 资助项 目 ０ ３ １０ ） ５０６ ） 作者简介 ： 洪 勇（ ９９ ） 男 ， １５ 一 ， 教授 ， 主要从事调和分析和实分析的研究
第 ６期
洪
勇： 一类涉及 Ｈ ｌ ｒ 型奇异重积分算子 的不等式及其应用 ｉ ｅｔ ｂ
６５ ８
（（ ， ， ，） Ｄ ｎ Ａ， Ｐ ）
无限维Hilbert空间中算子方程的正算子解
Springer-Verlag,1997 [8] CONWAYJB Acoursein!unctionalanalysis[M] New York:Springer-Verlag,1985
The Positive Operator Solutions of the Operator Equation in the Infinite Dimensional Hilbert Space
所以
Xk+1=2Xk—Xk(B — A*XkA)X! = (B—A*XkA)—1 — [Xk — (B—A*Xk A)—1 ]
(B—A*XkA)[Xk —(B—A*XkA)—1]W (B—A*XkA)—1<Ps
即 Xk+1<P,综上知 Xk<Xk+1<P.
因此，犻mXk存在，设limXk=X,对 Xk = 2Xk—1—Xk—1(B — A*Xk—1A)Xk—1 两边取极限，得 X—S+A*X!A = B,即
故 II X I —2〉II AB-2 II 成立，所以
II A II — II AB-1B2 II W II AB-1 II I B1 II <I X II —狋 II B1 II , I A II 2< II X II —狋 II B II ,
即
X
II A I 2
IIXI >H.
定理3如果算子方程Xr + A*XA—B存在可逆的正算子解，则
kf !
kf !
X为方程的正算子解.
推论 若算子方程X-S+A*X!A = B有正算子解，则当II Xk — Xk—1 ||<E时，
£ II X厂一(B—A*XkA) || < || B | 2
hilbert空间中 积分的范数小于范数的积分
hilbert空间中积分的范数小于范数的积分在Hilbert空间中，积分的范数小于范数的积分是一个非常重要且深奥的概念。
在本文中，我们将从简单到复杂地探讨这个主题，深入解读其含义，并共享我们的个人观点和理解。
1. 什么是Hilbert空间？让我们简要介绍一下Hilbert空间。
Hilbert空间是一个具备内积和完备性的向量空间，它是数学分析和量子力学中非常重要的概念。
在Hilbert空间中，我们可以定义向量的长度和角度，从而使得我们能够进行更深入的分析和讨论。
2. 积分的范数和范数的积分接下来，让我们来了解一下积分的范数和范数的积分。
在Hilbert空间中，对于一个可测函数f(x)，我们可以定义其范数||f||为关于内积的平方根。
我们可以定义积分的范数为整个空间中所有可测函数的范数的上确界。
而范数的积分则是针对积分空间中所有可测函数的积分的上确界。
当积分的范数小于范数的积分时，意味着函数在Hilbert空间中的收敛性更好，更能够刻画函数的性质。
3. 深入理解积分的范数小于范数的积分通过上面的介绍，我们可以看到积分的范数小于范数的积分这一概念实际上是在讨论函数在Hilbert空间中的收敛性和性质。
当积分的范数小于范数的积分时，意味着函数的波动性更小，更符合Hilbert空间的完备性和内积的定义。
这一性质在实际的数学分析和量子力学中有着非常重要的应用，能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
4. 个人观点和理解从我个人的角度来看，积分的范数小于范数的积分这一概念是Hilbert 空间理论中非常有趣且深刻的地方。
它不仅在数学分析中有着重要的应用，同时也可以帮助我们更好地理解量子力学中的波函数性质。
通过深入研究这一概念，我们可以更好地理解Hilbert空间的完备性和内积的定义，从而更深刻地理解函数在高维空间中的性质。
总结回顾通过本文的探讨，我们从简单到复杂地介绍了Hilbert空间中积分的范数小于范数的积分这一概念。
hilbert空间非负算子幂保序性的一个简捷证明
hilbert空间非负算子幂保序性的一个简捷证明Hilbert空间作为一种非负空间，主要应用于几何、数学分析以及计算机科学等领域，其重要性无可小觑。
在Hilbert空间中，非负算子幂的保序性是一个重要的概念，它的定义和特性深受广大学术界的关注。
本文的目的是对非负算子幂保序性进行证明，为Hilbert空间的研究提供指导。
首先，我们先介绍非负算子幂保序性的定义：一个变换$ T：X rightarrow X $希尔伯特空间上的非负算子（记作 $ T geq 0 $），然后我们定义 $T^n$（$n in mathbb{N}$）为T的n次幂，并且 $T^n geq 0$。
现在我们定义，如果有两个变换 $T_1, T_2 in X $ 且 $ T_1 geq T_2 $，那么我们称 T的保序性为$ T^n geq T^{n+1}$，即 $ T_1^n geq T_2^{n+1}$ 。
这就是我们要证明的定义的内容，接下来下面我们就介绍证明的思路和具体的步骤。
证明非负算子幂保序性时，由于$ T geq 0 $，因此 $ T geq T $ 。
凭借此基础，我们可以推出$ T^n geq T^{n+1}$，且 $ T_1^n geqT_2^{n+1}$ 。
为了将其推出，我们需要证明$ T_1 geq T_2$情况下$ T_1^n geq T_2^{n+1} $ 。
考虑$ T_2 $的n+1次幂，也就是$ T_2^{n+1} $，若 $ T_1 geq T_2$ ,由于乘积性质，$T_1^n geq T_2^n cdot T_2 $，所以有$T_1^n geq T_2^{n+1}$。
根据上述分析，证明非负算子幂保序性时需要证明$ T_1 geqT_2$情况下$ T_1^n geq T_2^{n+1} $而乘积性质则提供了有效的方法，从而验证了$ T^n geq T^{n+1}$。
即可以说明非负算子幂保序性成立。
以上就是本文对非负算子幂保序性的一个简捷证明，它告诉我们，只要确定$T_1 geq T_2$，就能证明$ T_1^n geq T_2^{n+1} $，从而证明非负算子幂保序性的真实性。
希尔伯特变换的定义和性质
1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分设实值函数)(t f ,其中),(+∞-∞∈t ，它的希尔伯特变换为ττπτd t f t f ⎰+∞∞-∧-=)()()(， (1) 常记为)]([)(t f H t f =∧(2)由于)(t f ∧是函数)(t f 与πt 1的卷积积分，故可写成 )(t f ∧=)(t f *πt 1(3)2) 2π相位设])([)(∧∧=t f F f F ，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，)(f F ∧是)(t f ∧的傅里叶变换)(f F 和πt 1的傅里叶变换的乘积。
由⎩⎨⎧<>-=-=.0,,0,)sgn(]1[f j f j f j t F π (4)得).()]sgn([)(f F f j f F -=∧)sgn(f j -可表达为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-=--.0,0,)sgn()(22f f f j f B e e jj ππ或者ef jf B )sgn(2)(π-=所以)(f B 是一个2π相移系统，即希尔伯特变换等效于2π±的相移，对正频率产生2π-的相移，对负频率产生2π相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位41波长。
因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。
3) 解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数)(t Z :∧+=)()()(t f j t f t Z (5)也可以写成)()()(t j e t A t Z φ-= (6)其中，)(t A 称为希尔伯特变换的包络；)(t φ称为瞬时响应信号。
希尔伯特变换包络)(t A 定义为)()()(22t f t f t A ∧+=(7)相位定义为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∧)()(arctan )(t f t f t φ (8)瞬时频率定义为dtf d f )(210φπ=(9)根据傅里叶变换式)]([)(1f Z F t Z -=)()(t f j t f ∧+=⎩⎨⎧==∧)](Im[)()](Re[)(t Z t f t Z t f (10) 为计算)(f Z ，由).()]sgn([)(f F f j f F -=∧知)()]sgn(1[)(f F f f Z +=)()(1f F f B = (11)其中⎩⎨⎧<>=0,00,2)(1f f f B因此，可以简单地从)(f F 得到)(t Z ，而)(t Z 的虚部即)(t f ∧。
Hilbert空间的进一步研究
Hilbert空间的进一步研究摘要本文在既有知识的基础上学习了建立赋范线性空间，给向量赋予了范数（向量的长度），也学习了它是R n中向量长度在抽象空间中的推广。
但在R n中向量还有一个很重要的特征—向量之间的夹角、正交等概念。
特别是有了正交概念以后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立某些数值算法的重要理论。
本文将这些概念抽象推广到一般的赋范线性空间，建立了内积空间和Hilbert空间，并对Hilbert空间进行了进一步的研究，分析了Hilbert空间的应用。
关键字：Hilbert空间引言希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。
中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。
1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。
1884年获得博士学位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。
1893年被任命为正教授,1895年,转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于1930年退休。
在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。
1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。
希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。
战争期间，他敢干公开发表文章悼念"敌人的数学家"达布。
希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。
由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。
冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。
rkhs范数 -回复
rkhs范数-回复什么是rkhs范数？RKHS代表可重产核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space），是在机器学习和函数分析领域中常用的一种数学工具。
RKHS是一种特殊类型的希尔伯特空间，它具有许多有用的性质，可以应用于数据分析、模式识别、回归分析等领域。
在RKHS中，有一个重要的概念，即rkhs范数。
rkhs范数是用来度量RKHS 中的函数的大小或长度的一种方式。
它是通过核函数来定义的，核函数是RKHS中的一个特殊函数，可以在点之间计算函数之间的相似度。
具体来说，rkhs范数可以通过核函数计算得到。
在RKHS中，对于任意一个函数f，可以通过核函数K和权重向量w来表示为f(x) = ∑(i=1 to n) w_i K(x_i, x)，其中x_i是训练样本，n是样本的数量，w是一个权重向量。
rkhs 范数就是通过计算权重向量w的L2范数来度量函数f的大小。
rkhs范数具有许多重要的性质。
首先，它是一个真正的范数，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
其次，rkhs范数可以用于度量两个函数之间的距离，例如通过计算两个函数的rkhs范数之差来度量它们之间的差异。
此外，rkhs范数还具有正则化的作用，可以用于控制模型的复杂度，并防止过拟合。
在实际应用中，rkhs范数被广泛用于机器学习算法中，特别是在支持向量机（SVM）和回归模型中。
在支持向量机中，rkhs范数被用作优化目标的一部分，通过最小化rkhs范数来得到一个稀疏解，即只有少数关键支持向量被选出。
而在回归模型中，rkhs范数可以用来度量预测函数的平滑程度，从而在模型选择中起到重要作用。
尽管rkhs范数在理论和实践中被广泛应用，但它也存在一些挑战和限制。
首先，计算rkhs范数可能涉及到高维空间中的复杂计算。
其次，选择合适的核函数和权重向量也是一个挑战，不同的核函数和权重向量可能会导致不同的rkhs范数值。
此外，rkhs范数的大小本身并不能提供关于函数的详细信息，必须与其他评估指标和方法结合使用。
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式茬调和分析等分析学科 中有重要应用 ， 是基础的重要不等式．近年来 ， ｌｅ 算子及相关不等式 的研究 Ｈｉ ｒ ｂｔ
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本 文将 引入 一个带 参数 的 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ 型奇异重 积分 算子 ， 讨论其 范数 问题 ．作 为应用 ， 出其 等价 式及 ｂ 并 导
摘要 ： 引入 带参 数 的 Ｈｉ ｅｔ 奇 异 重 积 分 算 子 ： ｌ ｒ型 ｂ
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作 者简 介 ；洪 勇（９９ ） １ ５ 一 ，男 ，云 南 昭 通 人 ，教授 ，主要 从 事 调 和 分 析 和 实 分析 的研 究 ．
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第 ３期
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２０ ０ ８年 ６月
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文 章 编 号 ：１０ —５７ （０ ８ ０ ０ ２ Ｏ ０ ０ ４ １ ２ ０ ）３— ０４一 ６
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个 Ｈｉ ｅｔ 奇 异 重 积 分 算 子 的 范 数 ｌ ｒ型 ｂ
洪 勇
广 东 商 学 院 数 学 与 计 算 科 学 系 ，广 州 ５０ ２ １３０
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第３ ３卷 第 ３期
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西 南 师 范 大 学 学 报 （ 自然科 学版）
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