上海市控江中学高二期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)
上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知等比数列{}n a ，11a =，48a =-，则7S =________2．线性方程组273045x y x y -+=⎧⎨-=⎩的增广矩阵是________ 3．已知向量(2,5)a =，则与向量a 同向的单位向量0a =________4．已知向量(3,2)a =，(12,4)b x =--，且a ∥b ，则实数x =________5．已知1222,11000021(1),100001n n n n a n n n +⎧≤<⎪⎪+=⎨+⎪≥⎪+⎩，*n N ∈，则lim n n a →∞=________ 6．已知向量(cos ,0)a α=，(1,sin )b α=，则||a b +的取值范围为________ 7．已知平面内三点(3,0)A 、(2,2)B 、(5,4)C -，则向量AB 与BC 的夹角为________ 8．已知数列{}n a 满足143n n a a +-=，且12a =，则lim n n a →∞=________ 9．已知不同的三点,,A B C 在一条直线上，且52012OB a OA a OC =+，则等差数列{}n a 的前2016项的和等于________10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且1(1)n n S n a +=+，则n a =________ 11．若数列{}n a 是首项为12，公比为12a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值为________12．以AB 为直径的半圆，||2AB =，O 为圆心，C 是AB 上靠近点A 的三等分点，F 是AB 上的某一点，若AC ∥OF ，则AF BC ⋅=________13．把数列1{}21n -的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A t s ，则(11,4)A =________14．点O 在△ABC 内部，且满足4560OA OB OC ++=，则△ABC 的面积与△ABO 、△ACO 面积之和的比为________二、单选题15．用数学归纳法证明：()()2221111122232121n n n ++++<-≥--（n∈N *）时第一步需要证明（ ） A ．11221<-- B ．221112221+<-- C ．222111122321++<-- D ．222211*********+++<-- 16．在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2320x x -+=的两根，则6a 的值是（ ）A ． C ．．2±17．已知0a >，0b >，且ab ，若11lim 5n n n n n a b a b ++→∞-=-，则+a b 的值不可能是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1018．已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是( ), A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上三、解答题19．已知向量(1,2),(,1)a b x →→==（1）当(2)(2)a b a b +⊥-时,求x 的值；（2）若,a b <>为锐角,求x 的范围.20．已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，它的前n 项和为n S ；（1）若363,21S S ==-，求公比q ；（2）若0q >，且1321n n T a a a -=+++，求lim n n nS T →∞ 21．已知数列{}n a 满足212n n n a a a +=-+，*n N ∈，且10.9a =，令lg(1)n n b a =-；（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列1{}nb 各项和； 22．设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是,i j ，坐标平面上点列()n n A B n N *∈、分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②14OB i =且114(1)n n B B i n n +=⨯+； （1）写出2OA 及3OA 的坐标，并求出n OA 的坐标（2）若1n n OA B +∆的面积是n a ，求()n a n N *∈的表达式（3）对于（2）中的n a ，是否存在最大的自然数M ，对一切n *∈N 都有n a M ≥成立？若存在，求出M ，若不存在，说明理由参考答案1．43【解析】【分析】设出等比数列的公比，由1a 和4a 的值求出q ，直接代入等比数列的前n 项和公式求7S ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，48a =-，得：334118a a q q ==⨯=-，所以，2q =-． 则771(12)12943123S ⨯+===+． 故答案是：43．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．2．273415--⎛⎫ ⎪-⎝⎭【分析】在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．【详解】由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为273415--⎛⎫ ⎪-⎝⎭． 故答案为：273415--⎛⎫ ⎪-⎝⎭． 【点睛】本题考查方程组增广矩阵的定义及求法，考查运算求解能力，属于基础题．3．2(3 【分析】利用向量a 的单位向量0||a a a =，即可得出． 【详解】向量a的单位向量022(||332a a a ===+． 故答案为：2(,)33． 【点睛】 本题考查单位向量的求法，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意单位向量的方向. 4．4-【分析】利用向量共线定理的坐标运算，求得关于x 的方程，解方程即可得出．【详解】//a b ，1223(4)0x ∴-⨯--=，解得：4x =-． 故答案为：4-．【点睛】本题考查向量共线定理的坐标运算，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题． 5．1【分析】根据数列的分段表示，直接利用数列的极限求解，即可得答案．【详解】∵1222,11000021(1),100001n n n n a n n n +⎧<⎪⎪+=⎨+⎪⎪+⎩，*n N ∈， ∴2222211(1)lim lim lim 1111n n n n n n n a n n →∞→∞→∞+++===++． 故答案为：1．【点睛】本题考查数列的极限的求法，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取第二个表达式进行极限求解.6．[0,2]【分析】直接利用向量的模化简，通过三角函数求解表达式的最值．【详解】向量(cos ,0)a α=，(1,sin )b α=，则||(cos a b α+==∵1cos 1022cos 4αα-≤≤⇒≤+≤，∴||[0,2]a b +∈.故答案为：[0,2]．【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量的模的求法、三角函数的最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力．7．π【分析】先求出,AB BC 的坐标，容易得到3BC AB =-，这样即可得出AB ，BC 的夹角．【详解】∵(1,2),(3,6)AB BC =-=-，∴3BC AB =-；∴BC 与AB 方向相反，∴,AB BC 的夹角为π．故答案为：π．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法、向量夹角的概念，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意根据两个向量为相反向量，得到夹角的大小，也可以通过数量积运算得到夹角的余弦值.8．2-【分析】可设11()3n n a t a t +-=-，解得2t =-，则112(2)3n n a a ++=+，运用等比数列的通项公式，可得数列{}n a 的通项公式，再由数列极限公式，即可得答案．【详解】 ∵143n n a a +-=，可设11()3n n a t a t +-=-，∴2t =-，则112(2)3n n a a ++=+， ∴数列{2}n a +是以12a +为首项，13为公比的等比数列， ∴1112(2)()3n n a a -+=+⋅114()3n -=⋅，即114()23n n a -=⋅-， 则11lim lim[4()2]3n n n n a -→∞→∞=⋅-022=-=-． 故答案为：2-．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法和极限的求法，注意运用待定系数法和极限公式，考查化简运算能力，属于中档题．9．1008【分析】不同的三点A ，B ，C 在一条直线上，且52012OB a OA a OC =+，可得520121a a +=，由等差中项的性质可得1201652012a a a a +=+，再利用等差数列的求和公式即可得出．【详解】∵A ，B ，C 三点在一条直线上，且52012OB a OA a OC =+，520121a a ∴+=．12016520121a a a a ∴+=+=．则等差数列{}n a 的前2016项的和120162016()10082a a +==． 故答案为：1008．【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其性质、向量共线定理，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10．2,11,2n n =⎧⎨≥⎩【分析】对递推关系利用多递推一项再相减可得1n n a a +=，从而求出当2n 时的通项公式，再验证1n =时，是否符合，即可得答案。
上海市控江中学高二期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)
控江中学高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 复数1i -的虚部是2. 两条异面直线所成角的取值范围是3. 若直线a 、b 与平面α所成的角相等，则直线a 、b 的位置关系是 （填“平行、相交、异面”中的一个或几个）4.计算：2021=5. 已知复数134i z =+，2i z t =+，且12z z ⋅是实数，则实数t =6. 如果实数x 、y 满足102010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为7. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则点1A 到平面ADE 的距离为8. 正方形ABCD 在平面M 的同一侧，若A 、B 、C 三点到平面M 的距离分别是2、3、4，则直线BD 与平面M 的位置关系是9. 如图，Rt △ABC 的直角顶点A 在平面α内，BC ∥α，BC =，AB 、AC 与α分别成30°、45°角，则BC 与平面α的距离是 10. 已知12,z z C ∈，下列命题：（1）若22120z z +=，则120z z ==；（2）若||1z <，则11z -<<； （3）若12z z >，则120z z ->；（4）若0z z +=，则z 是纯虚数； 其中真命题的序号是11. 下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）12. 已知复数1z 、2z 满足1||1z ≤，21Re 1z -≤≤，1Im 1-≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积是二. 选择题13. 已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能14. 若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） A. 若m ∥α，n α⊄，则m ∥n B. 若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥ C. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D. 若m αβ=，m n ⊥，则n α⊥15. 已知集合{||5i ||5i |8,}A z z z z C =+--=∈与{|||4,}B z z z C ==∈，则集合A B 中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边 三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方 形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方 形ABCD 内的轨迹是（ ）A. B. C. D.三. 解答题17. 已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=. （1）若2m =，求此方程的解；（2）若方程的一个根α满足||2α=，求实数m 的值.18. 已知三种食品P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示，现将x 公斤的食品P 、y 公斤的食品Q 、z 公斤的食品R 混合，制成10公斤的混合物，如果这10公斤的混合物中至少含320单位的维生素A 与640单位的维生素B .（1）当1x =，2y =时，求10公斤混合物中维生素A 的总含量； （2）当x 、y 、z 为何值时，混合物的成本最小？19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，2AD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.（1）求直线FB 与平面ABCD 所成的角的余弦值； （2）求二面角F AE D --的大小（用反三角函数表示）.20. 已知虚数z 使得4m z z=+是实数. （1）求||z 的值； （2）求m 的取值范围；（3）若(2)(1i)z ++是纯虚数，求z 的值.21. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱AB 、AD 的中点. （1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小；（2）连接AC ，与EF 交于点M ，点N 在线段1A C 上移动，求证：MN 与EF 保持垂直； （3）已知点G 是直线1A E 上一点，过直线11B D 和点G 的平面交平面1A EF 于直线GH ，试根据点G 的不同位置，判断直线11B D 与直线DH 的位置关系，并证明你的结论.参考答案一. 填空题1. 1-2. (0,]2π3. 平行、相交、异面4.1i 25.34 6. 727. 8. 平行9. 2 10. （3） 11. ①④⑤ 12. 12π+二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. B三. 解答题17.（1）1i x =±；（2）{0,8,4}m =-. 18.（1）310；（2）2x =，5y =，3z =.19.（1（2）20.（1）||2z =；（2）(4,4)-；（3）2i z =. 21.（1）3π；（2）证明略；（3）异面、相交.。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)
上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。
2019年上海市高二第二学期期中数学试卷含详细答案
2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（ ）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果； （2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果； （2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=()A. (0,3]B. (0,3)C. [0,3]D. [3,+∞)2.已知曲线C的方程为x2a −y2b=1，则“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.如果直线a、b是异面直线，点A、C在直线a上，B、D在直线b上，那么直线AB和CD一定是()A. 平行直线B. 相交直线C. 异面直线D. 以上都有可能4.随着社会的繁荣与发展，人口结构与社会经济、自然资源分配间的矛盾日趋尖锐.把握人口发展的变化情况，将为政府机构制定和完善未来收入、消费、教育、就业、养老、医疗社会保障等相关政策提供决策依据.某市为更好地了解该市近30年来，人口年龄结构的变化情况，统计了该市2000年，2010年，2019年各年龄段人口数量的比例，得到如图所示的柱形图，根据图示信息，得出下列推断，其中不正确的推断是()A. .该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少B. 该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加C. .该市2000年，2010年，2019年相比，人口的平均年龄不断增加D. 该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数不断减少二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.如果复数1+ai2−i的实部和虚部相等，则实数a等于______ ：6.已知a，b∈R，a+bi=(1+2i)(1−i)(i为虚数单位)，则a+b的值为______ ．7.已知抛物线y2=−8x的准线过双曲线x2m −y23=1的右焦点，则双曲线的离心率为______ ．8.坐标系与参数方程选做题极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为____________；9.已知直线l1：2x−y+3=0和l2：x=−1，抛物线y2=2x上的动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是______．10.已知复数(i为虚数单位)，则|z|=；11.如图，棱长为的正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正切值为；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为．12.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线所成角的正切值是_________________．13.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为(ρ∈R)，它与曲线(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|=_______________．14.下列结论中正确的是______ ．①命题“若α=π4，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4“；②从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为48；③已知|a⃗|=|b⃗ |=1，向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，且(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+t b⃗ )，则实数t的值为−1；④线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．15.若复数z=1+i，则|z|=______．i16.已知恒过定点(1,1)的圆C截直线x=−1所得弦长为2，则圆心C的轨迹方程为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知复数z=(1+i)2+3(1−i)(i是虚数单位)．2+i(1)求复数z的模|z|；(2)若z2+az+b=1+i(a,b∈R)，求a+b的值．18.如图，已知AB⊥平面BCE，CD//AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．(1)在线段BE上是否存在一点F，使CF//平面ADE？(2)求证：平面ABE⊥平面ADE；(3)求二面角B−DE−A的余弦值．19. 已知平面内动点C 到点F(1,0)的距离比到直线x =−12的距离长12．(1)求动点C 的轨迹方程E ；(2)已知点A(4,0)，过点A 的直线l 与曲线E 交于不同的两点P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过原点．20. 在棱长为a 的正方体ABCD −A′B′C′D′中，如图E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，EF ∩BD =H ；(Ⅰ)求二面角B′−EF −B 的正切值；(Ⅱ)试在棱B′B 上找一点M ，使D′M ⊥面EFB′，并证明你的结论．21. 已知动点P 到直线l ：x =−1的距离等于它到圆C ：x 2+y 2−4x +1=0的切线长(P 到切点的距离)，记动点P 的轨迹为曲线E ．(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，问是否存在常数λ使得|AC|⋅|BC|=λ|OC|2？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：A={x|x2−2x−3≤0}=[−1,3]，B={y|y=2x}=(0,+∞)，则A∩B=(0,3]，故选：A．分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．本题考查了二次不等式以及指数的运算，考查交集的定义以及运算，是一道基础题．2.答案：B解析：解：若a>b>0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a>−b>0，即a>0，b<0，满足a>b，即必要性成立，即“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特点求出a，b的关系是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：由已知可得A，B，C，D四点不在任何同一平面上，进而根据异面直线的定义可得答案．本题考查的知识点是异面直线的判定，其中根据已知分析出A，B，C，D四点不在任何同一平面上是解答的关键．解：∵直线a、b是异面直线，点A、C在直线a上，B、D在直线b上，则A，B，C，D四点不在任何同一平面上，故直线AC、BD一定是异面直线，故选C．4.答案：D解析：解：对于A，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少，选项A正确；对于B，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加，选项B正确；对于C，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在大于20岁的人口比例增加，所以人口的平均年龄不断增加，选项C正确；对于D，根据柱形图，不能得出该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数是增加还是减少，所以选项D错误．故选：D．根据柱形图，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．本题考查了柱形图的分析与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.答案：13解析：解：1+ai2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=(2−a)+(2a+1)i5，∵复数1+ai2−i的实部和虚部相等，∴2−a=2a+1，即a=13．故答案为：13．由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于虚部求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.答案：4解析：解：∵(1+2i)(1−i)=1−i+2i−2i2=3+i，∴a+bi=3+i，由复数相等的定义可得a=3，b=1，∴a+b=3+1=4故答案为：4由复数的乘法运算，化简已知式子的右边，由复数相等可得a、b的值，进而可得答案．本题考查复数相等的定义，涉及复数的乘法运算，属基础题．7.答案：2解析：解：抛物线的焦点坐标为(−2,0))，准线方程为x=2．则c=2.所以c2=m+3=4，解得m=1，所以双曲线的离心率为e=ca=2，故答案为：2．抛物线y2=−8x的准线为x=2，故有c2=m+3=4，求得c值，即得双曲线的离心率的值．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到c2=m+3=4，求出c值，是解题的关键．8.答案：解析：试题分析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出圆心距即可解：将极坐标方程C1：ρ=2cosθ和C2：ρ=sinθ，分别化为普通方程C1：ρ=2cosθ⇒ρ2= 2ρcosθ⇒x2+y2=2x⇒(x−1)2+y2=1，C2：ρ=sinθ⇒ρ2=ρsinθ⇒x2+y2=y⇒x2+ (y−)2=()2，然后就可解得两个圆的圆心距为d=考点：极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得9.答案：4√55+12解析：解：抛物线y 2=2x 的准线为直线l ：x =−12，焦点为F(12,0)，如下图所示：过点P 分别作直线l 1、l 2的垂线，垂足分别为点D 、A ，设PA 交直线l 于点B ，过点F 作直线l 1的垂线，垂足为点M ，由抛物线的定义可知，|PB|=|PF|，则抛物线y 2=2x 上的动点P 到直线l 1和l 2的距离之和为|PA|+|PD|=|PB|+|PD|+12=|PF|+|PD|+12， 当且仅当P 、D 、F 三点共线时，|PF|+|PD|取最小值|FM|=|2×12−0+3|√22+(−1)2=4√55， 所以，|PA|+|PD|≥4√55+12． 故答案为：4√55+12． 过点P 分别作直线l 1、l 2的垂线段PD 、PA ，假设线段PA 交抛物线的准线于点B ，利用抛物线定义得|PF|=|PB|，将抛物线y 2=2x 上的动点P 到直线l 1和l 2的距离之和转化为|PF|+|PD|+12，利用P 、D 、F 三点共线取得最小值，即可求出答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键就是利用抛物线的定义进行转化，属于中等题． 10.答案： 10解析：试题分析：因为复数=9−1+6i =8+6i ，那么可知|z|=，故可知答案为10．考点：复数的概念点评：复数的模的求解是解题的关键，属于基础题。
上海市2019-2020学年第二学期期中考试高二数学试卷
第二学期期中考试高二数学试卷（2019.4）一、填空题1、设ii z +=3，则z Im =______ 2、已知直线α平面//m ，直线n 在α内，则m 与n 所有可能的位置关系是________3、已知复数22)21()3()31(i i i z --+=，则||z =______ 4、已知R b a ∈,，且i b ai ++,2是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则pq =_______5、若1|2|≤-i z ，则复数||z 的取值范围是_________6、正四棱锥ABCD P -的底面边长为1，2=PA ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______7、若一圆柱的侧面积为π6，则经过圆柱的轴的截面积为______8、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，那么PQ P D +1的最小值是______二、 选择题9、0=x 是),(R y x yi x z ∈+=为纯虚数的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、不充分且不必要条件10、下列命题中错误的是（ ）A 、过平面α外的一点可以作无数条直线与平面α平行B 、与同一个平面所成角相等的两条直线必平行C 、若直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直于平面αD 、垂直于同一个平面的两条直线平行11、若b a 、为非零实数，则以下四个命题都成立：①01≠+aa ②2222)(b ab a b a ++=+③若||||b a =，则b a ±=④若ab a =2，则b a = 则对于任意非零复数b a 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题12、已知ABC ∆的三边分别是5,4,3===AB BC AC ，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积13、在长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱AB AA 、1的中点，4==BC AB ，31=AA ，求（1）EF 与11C A 所成的角（2）C A 1与平面ABCD 所成的角14、在复数集中，解方程0||2=+z z 解：0||2=+z z 0)1|(|||0||||2=+=+∴z z z z ，即0,11||0||=≥+=∴z z z 解得）（又0=∴z 方程的解是请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误，如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程15、在空间四边形ABCD 中，BCD AB 平面⊥，︒=∠90BCD ，且1==BC AB ，3=BD （1）若AD EF BD CE ⊥⊥,，求证：CEF AD 平面⊥（2）求二面角B AD C --的大小。
上海市控江中学2018-2019学年高二上期中质量调研数学试题
控江中学2018-2019学年度第一学期高二年级期中质量调研数学试卷一、填空题1.写出直线012=++y x 的一个法向量=_________.2.二元一次方程⎩⎨⎧=+=+021y x y x 的增广矩阵为_________. 3.若()()，，，，1211-=-=b a 则=∙________. 4.三阶行列式741852963中,6的代数余子式的值为______.5.若向量()()，，，，R x x x x ∈+-==121且∥则=x ______. 6.若直线l 的一个方向向量()，，31=d 则l 与直线01=+-y x 的夹角为______. 7.已知数列{}n a 是以1首项的等比数列,其各项和，2=S 则{}n a 的公比=q ______.8.已知()()，，、，321121=-=P P 若P 在21P P 的长线上,=则点P 的坐标为_____.9.，2==且()()，52=+-则在+投影为________. 10.若直线l 经过点M(-2,1),且以A(0,-3)、B(-1,4)为端点的线段相交,则直线l 倾斜角的取值范围是__________.11.如图,在ΔOAB 中，，==若点M 分AB 所成的比为2:1,若点N 分所成的比为3:1,OM 和BN 交于点P,则可用表示为________.12.若平面向量e b a ，，，2211==∙=∙=则b a ∙的最小值为________. 二、选择题13.直线022=++y x 与直线012=+-y x 的位置关系是A 平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合14.已知向量，若1=∙且与不平行,则下列结论不正确的是 A.1=∙ B.()()∙=∙ C.()∙+∙=+ D.()()λλ∙=15.如图已知A(4,0)、B(0,4)、O(0,0),若光线L 从点P(2,0)射出，直线AB 反射后到直线OB 上,在经直线OB 反射回原点P,则光线L 所在的直线方程为A.2-=x yB.42-=x yC.3231-=x y D.63-=x y16.若数列{}n a 满足211=a 且()()，n n n a a a 321321---+=+则2018a 为 A.3635- B.5231+C.0D.1 三、解答题17.设常数，R m ∈,利用行列式解关于y x 、的二元一次方程组,并对其解的情况进行讨论： ()⎩⎨⎧=+=++212y mx m y m x18.已知()，，43-=是与方向相同的单位向量,是与垂直的单位向量。
上海控江初级中学数学高二下期中测试卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．61010- B ．61010+ C ．51010- D ．51010+ 3．(0分)[ID ：13557]已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（ ） A ．1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-4．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32-5．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B 3C 3D 36．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B 315C ．322-D ．3157．(0分)[ID ：13619]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a bcosC <，则ABC 为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43D ．329．(0分)[ID ：13613]已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．2310．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心11．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3412．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 13．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个14．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =二、填空题16．(0分)[ID ：13725]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．17．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.18．(0分)[ID ：13696]已知点12(1,1),(7,4)P P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是______________19．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________20．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.21．(0分)[ID ：13688]若(2,2)A -，(cos ,sin )()B R θθθ∈，则AB 的最大值是________.22．(0分)[ID ：13684]设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .23．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．24．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________25．(0分)[ID ：13637]已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________.三、解答题26．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22π xπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 27．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 28．(0分)[ID ：13757]设()2cos 22cos 16f x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．29．(0分)[ID ：13809]已知函数()Asin()f x x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0，ϕ＜π）的一段图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若3[8x π∈-，]4π，求函数()f x 的值域． 30．(0分)[ID ：13808]已知向量(,)u x y =与向量(,)v x y x y =-+的对应关系用()v f u =表示.(1) 证明：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+； (2) 证明：对于任意向量a ，()2f a a =；(3) 证明：对于任意向量a 、b ，若a b ⊥，则()()f a f b ⊥.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．A 3．A4．A5．D6．A7．A8．C9．A10．A11．C12．A13．B14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际17．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别18．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公19．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力22．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确23．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义24．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况25．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】C ，进而求出角C是直角，即结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin1可选出答案．【详解】由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得10310cos ,sin 1010αα==， 而()3101010610sin2cos 2sin cos cos 210101010απαααα-+-=-=⨯⨯-=. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 试题分析：设，则，因()//a b b +，所以，，只有A 满足考点：向量共线的条件4．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.5．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．6．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ． 7．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理，将a bcosC <，转化为sin sin A BcosC <，再利用两角和与差的三角函数得到cos sin 0B C <判断. 【详解】 因为a bcosC <， 所以sin sin A BcosC <， 所以()sin sin B C BcosC +<，所以sin cos cos sin sin B C B C BcosC +<， 所以cos sin 0B C <， 所以,2B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以ABC 为钝角三角形. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+，∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴ 23ωπππ+≤， 403ω∴<≤， 综上可知403ω<≤. 故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.10．A解析：A 【解析】 【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||ACAC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB ACOP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=， ∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=，()tan 0yx xα=≠. 12．A解析：A 【解析】 【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ因为2=(),2263T T Tππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-，所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．B解析：B 【解析】 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确； ③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．B解析：B由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CM AC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15． D解析：D 【解析】 【分析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案． 【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题； 对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题； 对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题； 对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题； 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：14【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．17．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别 解析：()0,2【解析】 【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案，可讨论当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =；又利用点P 在三角形内部可得答案．【详解】三角形ABC 内一点，且向量AP xAB y AC =+， 当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =； 当点P 与点C 重合时有0x =，1y =．但是因为P 在三角形ABC 内，01x y ∴<+<，01x <<，01y <<, 02x x y ∴<++<,即2y x +的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查向量的加法运算以及三角形法则，平面向量基本定理的应用，有限与无限的数学思想，考查向量与不等式等知识的综合处理能力．18．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公 解析：22-【解析】 【分析】根据定比分点公式求出点P 的坐标，利用投影公式求出投影即可. 【详解】由题：点P 分向量12PP 的比是12，即1212PP PP =， 设()1212,,PP P y P P x =，即()()11,17,42x y x y --=--， 即7122122x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：32x y ==⎧⎨⎩，所以()()13,2,2,1P P P =， 向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是1122PP a a⋅-==.故答案为：22- 【点睛】此题考查求定比分点坐标，求向量投影，熟练掌握公式对解题有事半功倍的作用.19．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=， 即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APCS AP AC sin θ=⋅， 12ABCSBC AC sin θ=⋅， 所以1.3APCABCSS =20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力 解析：1【解析】 【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案. 【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点则2211x x x -=∴= 故答案为：1 【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力 解析：3【解析】 【分析】计算24sin 594AB πθ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】(2,2)A -，(cos ,sin )()B R θθθ∈()()2222cos 2sin 522sin 22cos 4sin 594AB πθθθθθ⎛⎫=-++=+-=-+≤ ⎪⎝⎭当()324k k Z θππ=+∈时等号成立，即3AB ≤ 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间距离公式，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.22．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.23．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义 解析：【解析】试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，2222()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉-21cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以212cos ,b a b b-〈〉=，0,180a b ≤〈〉≤，21211b b-∴-≤≤，解得112b ≤≤，所以b 的最小值为． 考点：向量的数量积运算及其性质．【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．24．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况解析：25-【解析】 【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：8122105a b b⋅-==- 故答案为：25- 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.25．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．三、解答题 26．（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6． 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．27．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54．【解析】 【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=， 解得34m =-．所以(BA =-=13,44BC ⎛⎫=-⎪⎝⎭，104BC =， 故ABC ∆的面积为15244=． 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．28．（1）()f x 的单调递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）4【解析】 【分析】利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解出x 的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用A 为锐角和12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求得A ；利用余弦定理和基本不等式可求得1bc ≤，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值. 【详解】()1cos 2cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2233322f x x x x x x x xπππ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为：(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,663A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭62A ππ∴+=，即3A π= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2212b c bc bc bc bc +-=≥-=（当且仅当b c=时取等号）1sin 244ABC S bc A bc ∆∴==≤（当且仅当b c =时取等号）即ABC ∆【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.29．（1）函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8k ππ-+，k Z ∈；（2）函数()f x 的值域为[2]. 【解析】 【分析】（1）由函数的图象，可求得函数的解析式为3()2sin(2)4f x x π=+，进而利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间；（2）由3[8x π∈-，]4π，则32[04x π+∈，5]4π，利用三角函数的性质，即可求解函数的最大值与最小值，得到函数的值域. 【详解】（1）求得()32sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈ 588k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8k ππ-+，k Z ∈ （2）∵3[8x π∈-，]4π∴32[04x π+∈，5]4π∴当4x π=时，()min f x =8x π=-时，()max 2f x =∴函数()f x 的值域为[2] 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用问题，其中解答中根据函数的图象得出函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重靠考查了推理与运算能力，属于基础题.30．(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析 【解析】 【分析】 (1)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ，然后利用题中关系式即可推导出所证恒等式；(2)设向量11(,)a x y ，则利用题中关系以及向量模的求解即可证明等式；(3)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，由a b ⊥可得出12120x x y y +=,然后利用题中关系式可推导出()()0f a f b ⋅=，即可证明()()f a f b ⊥成立. 【详解】 证：(1)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++由题中关系式可得：12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++，11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+1122112212121212(,)(,)mx my nx ny mx my nx ny mx nx my ny mx nx my ny =-+-+++=+--+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+，对于任意向量a 、b 及常数,m n 恒成立；(2)设向量11(,)ax y ，则由题中关系可得1111()(,)f a x y x y =-+，则2222221111111111()|(,)|()()2()f a x y x y x y x y x y =-+=-++=+， 即得()2f a x =，因为21a x y =+∴()2f a a =成立，命题得证；(3)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ， 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即得12120x x y y +=由题中关系式可得：1111()(,)f a x y x y =-+，2222()(,)f b x y x y =-+ 则由()()()()1111111222222212()()(,)(,)f a f b x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=-+⋅-+=--+++()121220x x y y =+=，即()()0f a f b ⋅=，所以()()f a f b ⊥成立.【点睛】本题着重考查了对题意的理解，利用题中关系式结合向量的坐标运算、向量模的表达式以及向量垂直的性质来推导所证命题结果，属于一般难度的题.。
上海市控江中学20182019学年高二下学期期中考试数学试题.docx
控江中学2018-2019高二下期中考试卷2019.4一、填空题1．复数1i -的虚部是______．2．两条异面直线所成角的取值范围是______．3．若直线a ，b 与平面α所成的角相等，则直线a ，b 的位置关系是______（填“平行、相交、异面”中的一个或几个）．4．计算：2021=______．5．已知复数134z i =+，2z t i =+，且12z z ⋅r是实数，则实数t =______．6．如果实数x ，y 满足102010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为______．7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则点1A 到平面ADE 的距离为______．8．正方形ABCD 在平面M 的同一侧，若A 、B 、C 三点到平面M 的距离分别是2、3、4，则直线BD 与平面M 的位置关系是______．9．如图，Rt ABC △的直角顶点A 在平面α内，BC αP，BC =AB 、AC 与α分别成30︒，45︒角，则BC 与平面α的距离是______．10．已知12,z z C ∈，下列命题：（1）若22120z z +=，则120z z ==；（2）若1z <，则11z -<<； （3）若12z z >，则120z z ->； （4）若0z z +=r，则z 是纯虚数；其中真命题的序号是______．11．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是______．（写出所有符合要求的图形序号）（1）（2）（3）（4）（5）12．已知复数1z ，2z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积是______． 二、选择题13．已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ）． A ．m 与n 异面 B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能14．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）． A ．若m αP ，n α⊄，则m n P B ．若m n P ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m αP ，n αP ，则m n PD ．若m αβ=I ，m n ⊥，则n α⊥15．已知集合{}558,A z z i z i z C =+--=∈与{}4,B z z z C ==∈，则集合A B I 中的元素企业为（ ）．16．四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹是（ ）．A ．B ．C ．D ．三、解答题17．已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=． （1）若2m =，求此时方程的解；（2）若方程的一个根α满足2α=，求实数m 的值．18．已知三种食品P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示，现将x 公斤的食品P 、y 公斤的食品Q 、z 公斤的食品R 混合，制成10公斤的混合物．如果这10公斤的混合物中至少要含320单位的维生素A 与640单位的维生素B ．（2）当x 、y 、z 为何值时，混合物的成本为最小？19．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，2AD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．（1）求直线FB 与平面ABCD 所成的直角的余弦值； （2）求二面角F AE D --的大小（用反三角函数表示）． 20．已知虚数z 使得4m z z=+是初． （1）求z 的值； （2）求m 的取值范围；（3）若()()21i z ++是纯虚数，求z 的值．21．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱AB 、AD 的中点．（1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小；（2）连接AC ，与EF 交于点M ，点N 在线段1A C 上移动．求证MN 与EF 保持垂直；（3）已知点G 是直线1A E 上一点，过直线11B D 和点G 的平面交平面1A EF 于直线GH ，试根据点G 的不同位置，判断直线11B D 与直线DH 的位置关系，并证明你的结论．参考答案1．1-2．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．平行、相交、异面 41i 2+ 5．346．7278．平行 9．210．③ 11．①④⑤ 12．12π+ 13．D14．B15．A16．B17．解：（1）当2m =，原方程为2220x x -+=，求根公式求解得11x i =+，21x i =-．（2）依题意，方程的根α满足2α=1︒ 当方程的解为实数根时，由2α=得2α=±，代入原方程得0m =或8m =-． 2︒ 当方程的解为虚数根时，令a bi α=+，另一根为a bi β=-．由韦达定理22224a ab m αβαβ+==⎧⎨=+==⎩，∴4m =．综上，0m =或8m =-或4m =．18．解：本题用线性规划方法求解，过程略． 19．解：（1）6（2）20．解：（1）设i z a b =+，则()2222224i 4444i i i i a b a b m z a b a b a b z a b a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++-⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 依题意，2240b b a b-=+，得224a b +=，∴2z ==． （2）()22424,4am a a a b=+=∈-+．（注意：0b ≠） （3）由（1）i z a b =+，且224a b +=()()()()()()2121i 22i z i a bi a b a b ++=+++=+-+++⋅当此式为纯虚数时，20a b +-=，联立方程求得20a b =-⎧⎨=⎩（舍）或02a b =⎧⎨=⎩∴2i z =． 21．解：（1）π3（2）证明略 （3）异面、相交。
上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为．如图，在正方体1ABCD A B -．如图，在正四棱锥P ABCD -四棱锥的高是．若球的体积是9π2，则球的表面积是．在正四面体ABCD中，棱AB ．如图，PA^平面ABCD.正方形二、单选题13．若l 是平面a 与平面b 的交线，直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面a 内，2l 在平面b 内，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l 、2l 中的一条相交B ．l 与1l 、2l 都相交C ．l 至多与1l 、2l 中的一条相交D ．l 与1l 、2l 都不相交14．如图，在三棱锥A BCD -中，棱AB 的中点为E ，棱AC 的中点为F ，棱BD 的中点为G ，经过E 、F 、G 的截面一定是（ ）A ．三角形B ．矩形C ．梯形D ．平行四边形15．定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度（mm ）来判断降雨程度；其中小雨（0mm 10mm -），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨16．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点，4AB BC ==，13AA =.(1)求直线1AC 与平面ABCD 所成的角的大小；(2)求直线EF 与直线1AC 所成的角的大小.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PD ^平面ABCD ，60PAD DAB ÐÐ==o ，E 为AD 的中点.(1)证明：平面PBE ^平面PAD ；(2)求二面角B PA D --的大小.19．如图，AB 是圆柱下底面的直径且长度为2，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点.取BD 中点E ，连接1,AE A E ，设正方体棱长为则112,A D A B BD AB AD ====由三线合一可知1,AE BD A E ^平面ABD Ç平面1A BD BD =，所以二面角而在直角三角形1AEA 中，tan Ð故答案为：6．9π【分析】求出球体的半径，利用球体的表面积公式可求得结果【详解】设该球的半径为r，则球的体积为因此，该球的表面积为24π9πr=故答案为：) 2,5éë11．12【分析】根据正方体的对称性，可知球【详解】不妨设正方体棱长为【分析】作出辅助线，得到//,//EF，所以四边形EFPG为平行四边形，求出经GP EG FP过E、F、G的截面为平行四边形EFPG.【详解】取CD的中点P，连接,,,PF PG EF EG，因为棱AB的中点为E，棱AC的中点为F，棱BD的中点为G，所以//,//AD FP ADEG，BC GP BCEF，//,//故//,//GP EG FPEF，所以四边形EFPG为平行四边形，故经过E、F、G的截面为平行四边形EFPG.故选：D15．B【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断.【详解】做出容器的轴截面，如图所示，【方法点晴】本题主要考查了空间中点、线、面的。
上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
控江中学2020学年度第一学期期中考试高二数学一､填空题1. 直线:35l y x =+的斜率的大小为______． 3直接根据斜率的定义求解即可. 由直线:35l y x =+， 得其斜率为3， 故答案为：3.2. 行列式151321497-中，元素4的代数余子式的值为______． 3根据代数余子式的定义，直接计算，即可求解.根据代数余子式的计算，可得行列式151321497-中，元素4的代数余子式()31511321+-=.故答案为：33. 直线:10l x y ++=的一个法向量为______．()1,1根据法向量的概念判断．直线:10l x y ++=的一个法向量为(1,1)． 故答案为：(1,1)．4. 直线1:1l y =与直线2:20l x y -+=的夹角大小为______．4π 根据题意，得到直线的倾斜角，进而得到两直线的夹角，得到答案. 由题意，直线2:20l x y -+=的斜率为1k =，可得直线2l 的倾斜角为4πα=，所以直线1:1l y =与直线2:20l x y -+=的夹角大小为244πππ-=.故答案为：4π.5. 若直线1:26l x ay C +-=与直线()()2:150l x a y a +-++=平行，则实数a =______． 2由2(1)0a a --=求得a ，然后检验是否平行即可得． 由题意2(1)0a a --=，解得2a =，2a =时，两直线方程分别为：2260x y +-=和70x y ++=，平行． 故答案为：26. 已知向量3b =，且6a b ⋅=，则向量a 在向量b 的方向上的投影为______．2根据数量积的定义和投影的计算公式即可求解. 因为6a b ⋅=，所以cos ,6a b a b ⨯=， 又因为3b =，所以向量a 在向量b 的方向上的投影为6cos ,2a a b b⨯==， 故答案为：2.7. 线性方程组的增广矩阵为121101t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解为35x y =⎧⎨=⎩，则三阶行列式121101116t t ----值为______． 0由题意知35x y =⎧⎨=⎩是方程12x y t y t -+=⎧⎨=⎩的解，代入即可求得1t ，2t 的值，代入行列式，按第一列展开即可求得行列式的值.由题意知35x y =⎧⎨=⎩是方程12x y t y t -+=⎧⎨=⎩的解，所以12355t t -+=⎧⎨=⎩，解得1225t t =⎧⎨=⎩我们按照第一列展开得()()()()1112161511205611--+-=---⨯+--=--，故答案为：08. 设a ，b 是两个不平行的向量，若2AB a kb =+，2BC a b =+，2CD a b =-，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为______．23由,AB BD 共线即可得．由题意3BD a b =+，因为,,A B D 三点共线，所以,AB BD 共线， 所以存在实数λ，使得()23a kb a b λ+=+， 所以23λ=，k λ=，所以23k =． 故答案为：23． 9. 已知直线():22l y k x -=-与两点1,0A ，点()4,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦写出线段AB 的方程，联立求得交点坐标，由14x ≤≤可求得k 的范围．由条件得()()22114y k x y x x ⎧-=-⎪⎨=-≤≤⎪⎩有解，解得23121k x k k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，由23141k k -≤≤-，得12k ≤或2k ≥．故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数k 的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出,PA PB 的斜率，由图形观察出k 的范围．10. 若α∈R ，则直线23cos 10x y α+⋅+=的倾斜角的范围是______．22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据直线方程求出方向向量和斜率，再根据三角函数的性质求出倾斜角的取值范围即可.直线23cos 10x y α+⋅+=方向向量为()3cos ,2α-， 斜率存在时为223cos 3cos k αα-==-，又[)(]cos 1,00,1α∈-，所以(][)1,11,cos α∈-∞-+∞，所以22,,33k ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭∈， 所以倾斜角范围为22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:4l y x =-+的距离之和为22a b +的最小值为______．1利用点到直线的距离公式可得：46a b a b -++-=，通过分类讨论可知：点(,)a b 是如图所示的正方形的4动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:4l y x =-+的距离之和为∴+=46a b a b -++-=，分为以下4种情况：0405a b a b a -≥⎧⎪+-≥⎨⎪=⎩或0401a b a b b -≥⎧⎪+-<⎨⎪=-⎩或0405a b a b b -≤⎧⎪+->⎨⎪=⎩或0401a b a b a -≤⎧⎪+-<⎨⎪=-⎩．可知点(,)a b 是如图所示的正方形的4(,)a b 的距离， 结合图像可知：当取点(1,0)A -或(0,1)B -1．22a b ∴+的最小值为1.故答案为：1．本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式，解题的关键是通过分类讨论，可得到点(,)a b 22a b +思想，及数形结合思想，属于中档题． 12. 在ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，其中λ，R μ∈，则2λμ-的取值范围是______．[]8,1--构造“等和线”解题，作12EG ED =-，连接BG ，则2EB ED EB EG λμλμ+=-，BG 对应的21λμ-=，作与BG 平行的直线，点在同一直线上时，2λμ-相等，求出过A 和C 的直线对应的“和”，即可得所求范围．构造“等和线”解题，作12EG ED =-，连接BG ，则2EB ED EB EG λμλμ+=-， 所以2EF EB ED EB ED λμλμ=+=-， 显然BG 对应的21λμ-=，作出的一系列平行线，EH 对应的20λμ-=AI 对应的21λμ-=-，过点D 对应的等和线22λμ-=-，过点C 对应的“等和线：28λμ-=-， 所以2λμ-的取值范围是[]8,1--. 故答案为：[8,1]--．关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若,OA OB 是不共线向量，OC xOA yOB =+，则,,C A B 共线1x y ⇔+=，由此可得，当C 点在与AB 平行的直线上时，对应的x y +相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题． 二､选择题13. 点()2,3P 关于直线:0l x y +=的对称点的坐标是（ ） A. ()2,3-- B. ()3,2-- C. ()2,3- D. ()3,2B设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解．设对称点为(,)x y ，则31223022y x x y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得32x y =-⎧⎨=-⎩．即对称点为(3,2)--．故选：B ．14. 已知向量a ，b ，则“0a =或0b =”是“0a b ⋅=”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分又非必要A利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 若“0a =或0b =”则0a b ⋅=， 若0a b ⋅=，则“0a =或0b =”或,2a b π=，所以“0a =或0b =”是“0a b ⋅=”的充分不必要条件，故选：A15. 已知e ，f 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅=，31n f a n ⋅=-，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是（ ）A. 单调递增数列且1lim 3n n b →∞=B. 单调递减数列且1lim 3n n b →∞=C. 单调递增数列且lim 3n x b →∞=D. 单调递减数列且lim 3n n b →∞= B设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =，由垂直求出n a ，再计算出n b ，然后判断数列的单调性，并计算极限．【详解】设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =， 则 n e a y n ⋅==，31n f a x n ⋅==-， 所以()31,n a n n =-， 所以11313n n b n n==--，所以数列{}n b 是单调递减数列且1lim 3n n b →∞=．故选：B ． 关键点点睛：本题考查向量的垂直，数列的单调性与极限．解题关键是引入坐标，设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =，把向量的数量积转化为坐标运算，求出n a ，从而计算出n b ，而数列单调性珠判断可结合函数的单调性的性质判断．16. 已知点()0,0A ，点()3615B ,，点C 的横坐标、纵坐标都为整数，则ABC 的面积的最小值为（ ）A. 12B. 1C. 32D. 3C利用结论()11,AB x y =，()22,AC x y =，则122112ABCS x y x y =-求出三角形面积，分析可得最小值（需要先证明此结论）． 先证明一个结论，若()11,AB x y =，()22,AC x y =， 则122112ABCSx y x y =-，下面对此作出证明： 222222111sin 1cos cos 222ABC S AB AC A AB A AB AC AB AC A =⋅⋅=⋅-=-△2==122112x y x y ===- 在本题中，设(),C x y ， 则()36,15AB =，(),AC x y =， 所以1221113361532222ABC S x y x y y x y x =-=-=-△， 因为x ，y 都是整数，所以321y x -≥， 所以333222ABC S y x -≥=△．故选：C ． 结论点睛：本题考查三角形的面积，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标常常是已知的，此时有结论：()11,AB x y =，()22,AC x y =，则122112ABCS x y x y =-． 三､解答题．17. 已知关于x ､y 的方程组()2321mx y x m y m +=⎧⎨+-=-⎩，m 为常数，且m R ∈．（1）写出此方程组的系数矩阵； （2）解此方程组．（1）132m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（2）见详解. 【分析】（1）根据方程组，直接得出对应的系数矩阵；（2）讨论1m =-，3m =，3m ≠且1m ≠-三种情况，分别求解，即可得出结果.（1）方程组()2321mx y x m y m +=⎧⎨+-=-⎩的系数矩阵为132m m ⎛⎫⎪-⎝⎭； （2）因为()()21233132m D m m m m m ==--=-+-，21241312x D m m m m m ==--+=---，()()2263231y m D m m m m m ==--=-+-，当1m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，原方程组无解， 当3m =时，0x y D D D ===，原方程组有无数解，当3m ≠且1m ≠-时，原方程组有唯一解121x y D x m DD m y D m ⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪+⎩. 18. 已知2=a ，1=b ，向量a 与向量b 的夹角为3π，设向量m a tb =+，向量2n ta b =+． （1）求a b ⋅的值；（2）设()f t m n =⋅，求()f t 的表达式；若m 与n 的夹角θ为锐角，求实数t 的取值范围． （1）1；（2）2()62f t t t =++，3t <-3t >-t ≠. （1）由数量积的定义计算；（2）由数量积的运算法则计算出m n ⋅，解不等式0m n ⋅>，并去除掉向量共线的取值即可得． （1）||||cos 12cos13a b a b πθ⋅=⋅⋅=⋅⋅=；（2）()()()()()(22222||2f t m n a tb ta b t a t b t a b =⋅=+⋅+=+++⋅⋅2242262t t t t t =+++=++，因为m 与n 的夹角θ为锐角， 所以0m n ⋅>，即2620t t ++>，解得3t <-3t >-又由m 和n共线，解得t =，所以实数t的取值范围是3t <--3t >-+t ≠.、本题考查向量的数量积．向量,m n 夹角为锐角是0m n ⋅>的充分不必要条件，,m n 夹角为0（即同向时）也有0m n ⋅>，同样向量,m n 夹角为钝角是0m n ⋅<的充分不必要条件． 19. 已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N距离的比PMPN= （1）若点P，求点P 的横坐标；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．（1）3±；（2）)10x y ++=；111x y-=±.（1）根据直接法，利用PMPN=(),P x y ，代入化简即可得到点P 的轨迹方程，由P 的，代入即可得解；（2）根据几何关系，因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，PM k =，求出直线方程，代入圆的方程求得P 点坐标，即可得解.（1）设(),P x y ，因为PM PN==化简得22610x y x +-+=，令y =，得2630x x -+=，解得3x =±所以点P 的横坐标为3±；（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，3PM k =±，所以直线PM 的方程为)1y x =+把)1y x =+代入22610x y x +-+=， 得2410x x -+=，解得12x =，22x =所以点P 的坐标为(2+或(21-或(21-或(2，所以直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+，所以直线PM 的点法向式方程为)10x y ++=直线PN 的点方向式方程为111x y -=±. 本题考查了求轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系以及直线的点法向式方程和点方向式方程，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）直接法求轨迹方程，利用条件直接列式求方程； （2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力，需强化训练.20. 已知直线l 过定点()2,1P -，且交x 轴负半轴于点A ､交y 轴正半轴于点B .点O 为坐标原点．（1）若AOB 的面积为4，求直线l 的方程；（2）求OA OB +的最小值，并求此时直线l 的方程；（3）求PA PB ⋅的最小值，并求此时直线l 的方程．（1）240x y -+=；（2）322+2220x +=；（3）4；30x y -+=.（1）设:1x y l a b +=，代入点坐标，得到211a b -+=，再利用面积公式得到()142ab -=，两式联立求解,a b ，即可得出结果；（2）||||OA OB b a +=-，得到()2123a b b a a b b a -⎛⎫--+=++ ⎪-⎝⎭，利用基本不等式求解即可；（3）利用A ，P ，B 三点共线，可得AP PB AP PB ⋅=⋅，利用平面向量的数量积公式以及基本不等式即可求解.（1）设:1x y l a b+=， 因为过点()2,1P -，所以211a b-+=，所以()142AOB S ab =-=△， 由2118a b ab ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩解得42a b =-⎧⎨=⎩， 所以直线l 的方程为142x y -+=， 即240x y -+=；（2）||||OA OB b a +=-，所以()212||||33a b OA OB b a b a a b b a -⎛⎫+=-=--+=++≥+ ⎪-⎝⎭当且仅当2a =，1b =所以直线l的方程为20x +=；（3）因为A ，P ，B 三点共线， 所以()()2,12,125AP PB AP PB a b a b ⋅=⋅=--⋅-=-+-()212222254154b a b a a b a b a b a b ⎛⎫=-+-+-=--++-=--≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当3a =-，3b =时取等号，所以直线l 的方程为30x y -+=.关键点睛：本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是基本不等式的应用.21. 已知在平面直角坐标系中，点(),0A a ､点()0,B b （其中a ､b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 靠近点A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R ，求λ的值； （2）如图，设点121,,,,,k n P P P P -是线段AB 的n 等分点，()1k OP OA OB μμ=+-，其中11k n ≤≤-，n ，*k N ∈，2n ≥，求当2020n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ､b 的式子表示）（3）若1a b ==，[]0,1t ∈，求()113t AB AO OB t BA -++-的最小值． （1）23λ=；（2）221011+a b （3）103. （1）利用向量的线性运算AP OP OA =-，将()1OP OA OB λλ=+-代入，再由13AP AB =求解. （2）易得对任意正整数m ，n ，且2020m n +=，有202020202020m m m OP OA OB -=+，202020202020n n n OP OA OB -=+，从而m n OP OP OA OB +=+求解. （3）当1a b ==时，设线段AB 上存在一点M ，使得t AB AM =，()1t BA BM -=，且存在点20,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13NB OB =，然后转化()113t AB AO OB t BA OM MN -++-=+，利用线段和最小求解.（1）因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=-, 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，所以13AP AB =， 所以113λ-=-，所以23λ=. （2）由题意得12019120202020OP OA OB =+， 20191201920202020OP OA OB =+， 所以12019OP OP OA OB +=+，事实上，对任意正整数m ，n ，且2020m n +=，有202020202020m m m OP OA OB -=+， 202020202020n n n OP OA OB -=+， 所以m n OP OP OA OB +=+所以221212*********n OA OP OP OP OB OA OB a b -+++++=+=+， （3）当1a b ==时，线段AB 上存在一点M ，使得t AB AM =，()1t BA BM -=，且存在点20,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13NB OB =， 则t AB AO AM AO OM -=-=，()113OB t BA NB BM NM +-=+=， 所以()113t AB AO OB t BA OM MN -++-=+， 即线段AB 上存在一点M ，到点O 和点N 的距离之和，如图所示：作点O 关于线段AB 的对称点()1,1O '，则最小值为3O N =='. 方法点睛：在直线l 上存在点P,使得PA PB +最小和PA PB -最大问题：当点A ，B 在直线l 的异侧时，连接AB 与直线l 的交点P ，使得PA PB +最小； 作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '与直线l 的交点P ，使得PA PB -最大； 当点A ，B 在直线l 的同侧时，连接AB 与直线l 的交点P ，使得PA PB -最大； 作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '与直线l 的交点P ，使得PA PB +最小；。
2022-2023学年上海市控江中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市控江中学高二上学期期中数学试题一、填空题1．某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务、则不同的选择办法共有______种．【答案】24【分析】根据题意分两步，第一步先从4人中选出3人，第二步再安排到3个不同的社区，根据分步计数原理即可得到结果.【详解】由题意可分两步，第一步先从4名新冠疫情防控志愿者选出3人，共有种方法；34C 第二步选出的3人去3个不同的社区，共有种方法，根据分步计数原理可知，33A 不同的选择办法共有种，3343C A =46=24⨯故答案为：242．若平面截球O 所得圆的半径为，则球心O 到平面的距离为α2cm α___________.cm【分析】根据球的截面圆性质计算．【详解】．R =2r =由题意球心到截面的距离为d ===．3．在棱长为1的正四面体中，点到平面的距离为______．ABCD A BCD【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，且，连接、B C BE CD ⊥CF BD ⊥E F BE CF O ⋂=AO 、，先证明平面，则到平面的距离为的长度，在结合勾股定理求解AE AF AO ⊥BCD A BCD AO 即可.【详解】过点、分别作，，垂足分别为、，且，B C BE CD ⊥CF BD ⊥E F BE CF O ⋂=连接、、，AO AE AF 在正四面体中，为等边三角形，ABCD BCD △所以、分别为、的中点，E F CD BD 所以，，AE CD ⊥AF BD ⊥又，面；，平面，AE BE E = AE BE ⊂、ABE AF CF F ⋂=AF CF ⊂、ACF 所以平面，平面，CD ⊥ABE BD ⊥ACF 又平面，平面，AO ⊂ABE AO ⊂ACF 所以，，CD AO ⊥BD AO ⊥又，平面，CD BD D = CD BD ⊂、BCD 所以平面，即到平面的距离为的长度，AO ⊥BCD A BCD AO由于，所以1BC CD ==BE ==AE =则，13OE BE =所以在中，.Rt AOE △AO =.4．设ABCD 是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，，则二面角的大小为______．PA AB =P BC A --【答案】45°【分析】连接，证明为二面角的平面角，根据求出即可.PB PBA ∠P BC A --PA AB =PBA ∠【详解】解：连接，因为平面，平面，所以，又在正方形PB PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥中，，，所以平面，ABCD AB BC ⊥PA AB A ⊥=BC ⊥PAB 平面，则 ，所以为二面角的平面角.PB ⊂PAB BC ⊥PB PBA ∠P BC A --在直角三角形中，，所以.PAB PA AB =45PBA ∠=故答案为：455．若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为______．【答案】1【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径.【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为半圆的弧长：，2πl =设底面圆半径为，则有，所以底面半径为：1.r 2π2πr =故答案为：16．已知球的表面积是，则该球的体积为________.16π【答案】323π【解析】设球的半径为r ，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.2r =【详解】设球的半径为r ，则表面积，2416S r ππ==解得，2r =所以体积，3344322333V r πππ==⨯=故答案为：323π【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.7．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.【答案】100【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.【详解】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高，5h '==因此，侧面积，28451002S +=⨯⨯=所以所求的侧面积为100.故答案为：1008．棱柱的底面是边长为的正方形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 11160A AD A AB ∠=∠=︒12AA =则此棱柱的体积为______．【分析】设和交于点，在中，求出；在中，求出；在中，AC BD O 1A AB △1A B 1A DB △1AO 1AAO 求出；过作底面，垂足在对角线上，在中，求出棱柱的高1A AO ∠1A 1A E ⊥ABCD E AC 1Rt A AE ，利用棱柱的体积公式求解即可．1A E 【详解】设和交于点，AC BD O 中，，，则1A AB △12,1AA AB ==160A AB ∠=︒1A B ===同理1A D =中，，，则1A DB△11A B A D ==BD=1A O ==中，，则，即1A AO12,AA AO ==1A O=2221111cos 2AA AO A O A AO AA AO +-∠==⨯⨯145A AO ∠=︒，过作底面，垂足在对角线上，11A AD A AB ∠=∠ ∴1A 1A E ⊥ABCD E AC 在中，，，则1Rt A AE 12AA =145A AO ∠=︒1AE =此棱柱的体积为21V Sh ===9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该正四棱锥的高为边长的一个正方形面积与该正四棱锥一个侧面三角形的面积相等，则此正四棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为______．【分析】如图在正四棱锥中，，为边上的中点，则即为侧面P ABCD -AC BD O = M BC OMP ∠与底面所成角的平面角，再设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角PBC ABCD P ABCD -d a 形底边上的高为，根据题意求出的关系，从而可得出答案.h ,a h 【详解】如图在正四棱锥中，，为边上的中点，P ABCD -AC BD O = M BC 则为正四棱锥的高，，OP P ABCD -,PM BC OM BC ⊥⊥则即为侧面与底面所成角的平面角，OMP ∠PBC ABCD 设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，P ABCD -d a h 根据题意得，该四棱锥的高为边长的正方形面积，21S d =该四棱锥一个侧面三角形的面积，212S ah =又因，且，所以，即，12S S =2224a h d =+22142a h ah-=2211024h h a a -⋅-=因此，h a=112cos2aOM OMPMP h ∠====.10．对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：对于是偶数时，n n !!n n ；对于是奇数时，.现有如下四个()()!!24642n n n n =--⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯n ()()!!24531n n n n =--⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯命题：①；②；③的个位数是；④的个()()2021!!2022!!2022!⋅=10112022!!21011!=⋅2022!!02023!!位数是.正确的命题序号为______.5【答案】①②③④【分析】根据的双阶乘的定义可直接验证知①正确；将展开式各项提出之后，即可知②n 2022!!2正确；由展开式中含因数因数可知③正确；结合的个位数可推导得④正确.2022!!102019!!【详解】对于①，()()()(2021!!2022!!20212019201731202220202018⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅，①正确；)422022202120203212022!⨯⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=对于②，，(10112022!!20222020201864221011101010093=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯)10112121011!⨯⨯=⋅②正确；对于③，的展开式中含因数，其个位数为，③正确；2022!! 10∴0对于④，，2019!!20192017201597531=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 的个位数与的个位数相同，个位数为；∴2019!!13579⨯⨯⨯⨯5又，的个位数与相同，个位数为，④正确.2023!!202320212019!!=⨯⨯2023!!∴315⨯⨯5故答案为：①②③④.11．在直三棱柱中，AB ⊥BC ，，点P 在棱BC 上运动，则过点P 且111ABC A B C -12AB BC CC ===与AC 垂直的平面α截该三棱柱所得的截面面积的最大值为______.【答案】【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，从而平面平面AC 1MNB B //α，由此能求出过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值．1MNB BP AC α【详解】取中点为，中点为，连接，，，AC M 11A C N BM 1B N MN 则有，且，BM AC ⊥1//BB MN 因为三棱柱是直三棱柱，故平面,111ABC A B C -1BB ⊥ABC 所以平面，即，，所以平面，MN ⊥ABC MN AC ⊥BM MN M = AC ⊥1MNB B 平面平面，∴//α1MNB B 因为点在棱上运动，当点运动到点时，此时截面最大，进而面积最大，P BC ∴P B，此时12BM AC ==2MN =N N 2BM B S MB M =⋅==故答案为：12．空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的ααα2倍，这样的平面的个数是___________个α【答案】32【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：α（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，4832⨯=故答案为：32二、单选题13．在三棱锥中，若，，那么必有（ ）A BCD -AD BC ⊥AD BD ⊥A ．平面平面B ．平面平面ADC ⊥BCD ABC ⊥BCD C ．平面平面D ．平面平面ABD ⊥ADC ABD ⊥ABC【答案】A【解析】由已知条件推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；利AD ⊥BCD 用面面垂直的性质定理可判断BCD 选项的正误.【详解】，，且，平面.AD BC ⊥ AD BD ⊥BC BD B = AD ∴⊥BCD 对于A 选项，平面，所以，平面平面，A 选项正确；AD ⊂ ADC ADC ⊥BCD 对于B 选项，若平面平面，过点在平面内作，如下图所示：ABC ⊥BCD A ABC AE BC ⊥由于平面平面，平面平面，，平面，ABC ⊥BCD ABC ⋂BCD BC =AE BC ⊥AE ⊂ABC 平面，AE ∴⊥BCD 又平面，过点作平面的直线有且只有一条，假设不成立，B 选项错误；AD ⊥ BCD A BCD 对于C 选项，若平面平面，平面平面，，平面，ABD ⊥ADC ABD ⋂ADC AD =AD BD ⊥BD ⊂ABD 平面，BD ∴⊥ADC 平面，则，而与是否垂直未知，C 选项错误；CD ⊂ ADC BD CD ⊥BD CD 对于D 选项，过点在平面内作，垂足为点，D ABD DF AB ⊥F若平面平面，平面平面，，平面，ABD ⊥ABC ABD ⋂ABC AB =DF AB ⊥DF ⊂ABD 所以，平面，DF ⊥ABC 平面，，BC ⊂ ABC BC DF ∴⊥，，平面，BC AD ⊥ DF AD D ⋂=BC ∴⊥ABD 平面，，但与是否垂直未知，D 选项错误.BD ⊂ ABD BC BD ∴⊥BC BD 故选：A.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.14．下列命题中，正确的是（ ）A ．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交B ．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面C ．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线D ．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行【答案】C【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案．【详解】一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A 错误；一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a ∥b ，l 与a 确定一个平面，则l 与a 平行或相交，如下图l 与a 相交的情况，l 与b 异面，B 错误；一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C 正确；一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面， D 错误．故选：C 15．正方体的棱长为1，点P 在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是1111ABCD A B C D -（ ）A ．若点P 在线段上运动，则AP 与所成角的范围为1D C 1AB ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．若点P 在矩形内部及边界上运动，则AP 与平面所成角的取值范围是11BDD B 11BDD B ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若点P 在内部及边界上运动，则AP 11D B C △D ．若点P 满足，则点P 轨迹的面积为1AP =π2【答案】B【分析】根据线线角的定义可知：当点与重合时最小，点在的中点时最大即可确定P 1,C D P 1D C T 范围.当垂直时，线面角最大，当与重合时,线面角最小；当平面时，此时最P 11,D B AP ⊥11D B C AP 小;根据点的运动轨迹为球面的一部分即可求解.P 【详解】连接,则为等边三角形，当点与重合时，AP 与所成角最小11,,AD AC D C 1ACD △P 1,C D 1A B 为，当点在的中点时，AP 与所成角最大为，故A 对.π3P 1D C T 1A B π2连接交于,故,则平面,故当与重合时，AC BD O 11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=AO ⊥11BDD B P O AP 与平面所成角最大为，当与重合时,此时长度最大，此时AP 与平面11BDD B π2P 11,D BAP 所成角最小，最小角为,故 AP 与平面所成角的取值范围是，故11BDD B 1π6AD O ∠=11BDD B ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦B 错误.四面体，等边11111AC AD AC B D B C CD ======∴ 11A CB D -，当平面11D B C △AP ⊥时，此时故C 对.点P 满足时，此时在以为球心，半径为1的11D B C AP 1AP =P A 球面上，又因为点P 在正方体内部及表面上运动，故点在的球面上运动，故面积为P 18，故D 对.21π4π1=82⨯⨯故选:B16．空间中到正方体棱，，所在的直线距离相等的点有（ ）1111ABCD A B C D -11A D AB 1CC A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，设1B D 1B D P ，其中，作平面，垂足为，再作，垂足为，即可得到点(,,)P a a a 01a ≤≤PE ⊥1A D E 11EF A D ⊥F 到直线的距离，同理得到点到直线的距离，即可判断.P 11A D P 1AB CC 、【详解】在正方体上建立如图所示空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -并设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，1B D 1B D P 因为，所以设，其中.1(1,1,1)DB = (,,)P a a a 01a ≤≤作平面，垂足为，再作，垂足为，PE ⊥1A D E 11EF A D ⊥F则是点到直线的距离，所以PF P 11A D PF =同理点到直线P 1AB CC 、所以上任一点与正方体的三条棱、所在直线的距离都相等，1B D 1111ABCD A B C D -1AB CC 、11A D 所以与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点有无数个.1111ABCD A B C D -111AB CC A D 、、故选：D.三、解答题17．如图，梯形ABCD 满足AB//CD ，，现将梯形ABCD90,1,30ABC AB BC BAD ∠===∠= 绕AB 所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω(1)求的体积VΩ(2)求的表面积S Ω【答案】 (2)3π+【详解】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得的体积V （2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应Ω公式可得结果试题解析：18．已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求：1111ABCD A B C D -12AA =⑴异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；BD 1AB ⑵四面体的体积．11AB D C 【答案】（1）（2）23【详解】解：⑴连，∵ ，1111,,,BD AB B D AD 1111//,BD B D AB AD =∴异面直线与所成角为，记，BD 1AB 11AB D ∠11AB D θ∠=2221111111cos 2AB B D AD AB B D θ+-==⨯∴ 异面直线与所成角为BD 1AB ⑵连，则所求四面体的体积11,,AC CB CD ．11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=19．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AB ＝AD ＝2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．(1)证明：A 1、C 1、F 、E 四点共面；(2)求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接AC ，利用三角形中位线和直线平行传递性可证；（2）建立空间直角坐标系，由向量法直接计算可得．【详解】（1）连接AC ，∵E ，F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，又∵AA 1∥CC 1，∴四边形ACC 1A 1为平行四边形，∴A 1C 1∥AC ，∴A 1C 1∥EF ，所以A 1，C 1，F 、E 四点共面；（2）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1（2，0，1），E （2，1，0），F （1，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，1），则，()()()111,1,0,0,1,1,0,2,1EF A E CD =-=-=- 设平面A 1C 1FE 的法向量为，(),,n x y z = 故，取x ＝1，得，100n EF x y n A E y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ()1,1,1n = 记直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为θ，则11sin n CD n CD θ⋅===⋅ 直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为．20．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1，(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；(2)求三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值；(3)若BC ，点E 在线段PB 上，求CE +OE 的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）由题意可证AC ⊥DO ，又PO ⊥AC ，即可证明AC ⊥平面PDO .（2）当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又AB ＝2，即可求△ABC 面积的最大值，又三棱锥P ﹣ABC 的高PO ＝1，即可求得三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.（3）可求，即有PB ＝PC ＝BC ，由OP ＝OB ， ，可证E 为PBPB PC ===C P C B ''=中点，从而可求，从而得解.OC OE EC ='+'【详解】（1）在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，所以AC ⊥DO ，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC ，因为DO ∩PO ＝O ，平面，所以AC ⊥平面PDO .,DO PO ⊂PDO （2）因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为，又因为三棱锥P ﹣ABC 的高PO ＝1，12112⨯⨯=故三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为：.111133⨯⨯=（3）在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB =同理PC PB ＝PC ＝BC ，在三棱锥P ﹣ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面，BC P '使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，共线时，CE +OE 取得最小值，C '又因为OP ＝OB ，，所以垂直平分PB ，即E 为PB 中点.C P C B ''=OC '从而＝OE +亦即CE +OE OC 'EC '21．如图在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，△DBC 为直角三角形，其中D 为直角顶点，．E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、AC 、CD 、DB 上的动点，且四边形EFGH 60DCB ∠=︒为平行四边形．(1)求证：BC ∥平面EFGH(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的A BC D --平面区域的面积；(3)设（），且△ACD 是以CD 为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGHAEAB λ=()0,1λ∈λ的体积恰好为?14【答案】(1)证明见解析(3)12【分析】（1）利用线面平行的性质和判定定理可证明；（2）找到在平面BCD 上的投影轨迹，即A 可求出面积；（3），用分别表示四棱锥、四面体A EFGH ADEFGH V V -=多面体A DGH V -+λA EFGH -与四面体的体积比，求解可得结果.A DGH -A BCD -λ【详解】（1）证明:四边形EFGH 为平行四边形，.//EF GH ∴而面面BCD ，面BCD .GH Ì,BCD EF ⊂///EF ∴而面ABC ，面面，.EF ⊂ABC ⋂BCD BC =//EF BC ∴而面面EFGHEF ⊂,EFGH BC ⊂面EFGH .//BC ∴（2）,AB AC =在平面BCD 上的投影满足，即在平面BCD 上的投影在线段BC 的中垂线上.A ∴AB AC =A 如图所示，将补成边长为2的正三角形，Rt BCD BCM当二面角为角时，即点在平面BCD 上，此时为，A BC D --0︒A A M 当二面角为角时，此时为BC 中点，A BC D --90︒A N 故DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域为，DMN而14DMN MBC S S ==故线段DA 在平面BCD （3），且为等腰三角形，.2,1AC CD == ACD 2AD ∴=取BC 中点，由题意得:，O ,OA BC OA ⊥=12BC OD ==满足，根据勾股定理可知222OA OD AD +=OA OD⊥平面OA ∴⊥1111.3322A BCD BCD BCD V S OA CD BD OA -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= 而多面体ADEFGH 的体积恰好为，即多面体ADEFGH 的体积恰为四面体ABCD 体积的一半.14连接AH 、AG ，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，F ABD F h C ABD C h A-EFH A-EFH 22A EFGH A BCD A BCD C ABDV V V V V V ----==12313F AEH ABD C h S h S ⨯⨯=⨯⨯⨯ 22=2(1)S AEH AF S ABD ACλλ⋅=-⋅ 22(1)A EFGH A BCD V V λλ--∴=-⋅⋅设点到平面的距离为，A BCD A h A DGHA BCD V V --1313A A DGH BCD h h S S ⋅=⋅⋅⋅ 2DGH DBC S S λ== .2A DGH A BCD V V λ--∴=⋅A EFGH ADEFGH V V -∴=多面体2(32)A DGH A BCDV V λλ--+=-⋅12A BCD V -=，整理得21(32)2λλ∴-=，()2122102λλλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭解得舍去).12λλ⎛== ⎝。
2018-2019学年上海市控江中学高二上学期期中质量调研数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市控江中学高二上学期期中质量调研数学试题一、单选题1．直线220x y ++=与直线210x y -+=的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直C.相交但不垂直D.重合【答案】B【解析】利用两直线中x 的系数积与y 的系数积之和为0，即可得到两直线垂直． 【详解】由题意，直线220x y ++=与直线210x y -+=中，可得12210⨯+⨯-=（），所以直线220x y ++=与直线210x y -+=的位置关系是垂直． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．2．已知向量,,a b c ，若1a b ⋅=且a 与c 不平行，则下列结论不正确的是（ ） A.1b a ⋅= B.()()a b c a b c ⋅=⋅ C.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅D.()()a b a b λλ⋅=⋅ 【答案】B【解析】根据向量的数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律，即可求解． 【详解】由题意，对于A 中，根据向量的数量积的运算，可得1b a a b ⋅=⋅=，所以A 正确； 对于C 中，根据向量的运算性质，可得()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，所以C 正确； 对于D 中，根据向量的运算律，可得()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅，所以D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的运算律及其应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算法则是解答的关键，属于基础题目．3．如图已知(4,0),(0,4),(0,0)A B O ，若光线L 从点(2,0)P 射出，直线AB 反射后到直线OB 上，再经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为（ ）A.2y x =-B.24y x =-C.1233y x =- D.36y x =-【答案】D【解析】由点P 关于y 轴的对称点1(2,0)P -，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点2(,)a b P 列方程组求出4a =，2b =，从而求出直线:320MN x y -+=，联立32040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得M 点坐标，由此能求出光线L 所在的直线方程． 【详解】由题意知，过点40A （,）和点(0,4)B 的直线为40x y +-=，且点20P （，）， 设光线分别射在AB 、OB 上的M 、N 处， 由于光线从点P 经两次反射后又回到P 点，根据反射规律，则,PMA BMN PNO BNM ∠=∠∠=∠作出点P 关于OB 的对称点1P ，作出点P 关于AB 的对称点2P ，则21P MA PMA BMN PNO PNO BNM ∠=∠=∠∠=∠=∠， 所以12P N M P ，，，共线，因为245P AB PAB ∠=∠=︒，所以2P A OA ⊥，点P 关于y 轴的对称点120P -（，） 设点P 关于直线40AB x y +-=：的对称点2P a b（，）(1)12204022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-∴⎨++⎪+-=⎪⎩，解得4,2a b == ∴直线2:242y MN x =++，即320x y -+= 联立32040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得53,22x y ==∴直线32 :5222yPM x =--，即光线L 所在的直线方程为36y x =- 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 4．若数列{}n a 满足112a =且1n a +=，则2018a 为（ ）A.63B.15+ C.0D.1【答案】A【解析】设n n a tan θ=，而2tan12π=，可得1tan tan 12n n πθθ+⎛⎫=+⎪⎝⎭，得到12n n a a +=，再由周期性，即可求解．【详解】设n n a tan θ=，而1sin 62tan121cos6πππ====+，所以1tan tan12tan 121tan tan 12n n n na πθπθπθ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，即1tan tan 12n n πθθ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1211tan tan 12tan 1212n n n n n n a tan a ππθθθπθ++⎛⎫⎛⎫=+=+⨯=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2018121682263a a a ⨯+====．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题5．写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．【答案】()21，【解析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案． 【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为：21（，） 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．6．二元一次方程120x y x y +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______．【答案】111210⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据二元一次方程组，求得增广矩阵，即可得到答案． 【详解】由题意，二元一次方程120x y x y +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵111210⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：111210⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题． 7．若(1,1),(2,1)a b =-=-，则⋅=a b ______．【答案】3【解析】直接利用向量的数量积的运算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，向量(1,1),(2,1)a b =-=-，根据向量的数量积的运算公式，可得则213a b ⋅=+=． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．8．行列式123456789中，6的代数余子式的值是______． 【答案】6【解析】根据代数余子式的定义得到6的代数余子式2312A 78=，利用行列式的展开，即可求得答案． 【详解】由题意，可得6的代数余子式2312(1827)678A =-=-⨯-⨯=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题． 9．若向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则x =______．【答案】0或-3【解析】根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案． 【详解】由题意，向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-． 故答案为：0或3-． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．若直线l 的一个方向向量(1,3)d =，则l 与直线10x y -+=的夹角为______． 【答案】15°【解析】先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角，得到答案． 【详解】由题意，直线l 的一个方向向量(1,3)d =，可得直线l 的斜率为1= 所以直线l 的倾斜角为60°．又直线10x y -+=的斜率为1，故直线10x y -+=的倾斜角为45°， 所以l 与直线10x y -+=的夹角为604515︒-︒=︒． 故答案为：15°． 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的应用，其中解答中熟练应用直线的倾斜角和斜率的关系，求得两直线的倾斜角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．已知数列{}n a 是以1首项的等比数列，其各项和2S =，则{}n a 的公比q =______． 【答案】12【解析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为2，列出方程，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，因为2S =，可得，12,||11a q q =<-且0q ≠，即12(1)q =-，解得12q =． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的前n 项和，而无穷等比数列的各项和，即当1q <且0q ≠时前n 项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n 项和的极限存在则可得1q <且0q ≠，这也是考生常会漏掉的知识点．12．已知12(1,1),(2,3)P P =-=，若P 在12PP 的长线上，且122||2||PP P P =，则点P 的坐标为______． 【答案】7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式，即可求出结果． 【详解】由题意，因为点P 在12PP 的延长线上，且122||2||PP P P =， 所以213PP PP =-，可得3λ=-， 又由121123P P =-=（，）、（，）， 设P x y （，），可得121(3)271132x x x λλ+-+-⨯===+-，121(3)34113y y y λλ++-⨯===+-所以点P 的坐标为7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用，以及向量的共线条件的应用，着重考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．． 13．已知向量||3,||2==a b ，且(2)()5a b a b -⋅+=，则a 在a b +投影为______．【答案】【解析】由向量的数量积的运算公式，求得4a b ⋅=-，进而求得||5a b +=，再利用投影的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得22(2)()25a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=， 可得4a b ⋅=-，所以222||()25a b a b a a b b +=+=+⋅+=，又由()||5a ab a b ⋅+==+a 在a b +【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的投影的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．若直线l 经过点(2,1)M -，且以(0,3),(1,4)A B --为端点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是______．【答案】[][0arctan3tan 2arc ππ⋃-，，） 【解析】利用斜率公式，结合图象和反三角函数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据斜率公式，可得3141230(2)12MA MB k k ---==-==---+，，∵直线l 与0314A B --（，）、（，）为端点的线段相交， ∴直线l 的斜率k 满足23k -≤≤∴直线l 的倾斜角的取值范围是[][0arctan3tan 2rac ππ⋃-，，）故答案为：[][0arctan3tan 2arc ππ⋃-，，）．【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中分别求得直线,MA MB 的斜率，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理能力与计算能力，属于基础题．15．如图，在OAB 中,OA a OB b ==，若点M 分AB 所成的比为2:1，若点N 分OA 所成的比为3:1，OM 和BN 交于点P ，则OP 可用,a b 表示为______．【答案】33105a b + 【解析】运用平面向量基本定理和三点共线，分别求得OP ，即可求得,λμ的值，得到答案． 【详解】根据题意得，O ，P ，M 三点共线， 所以112()333OP OM OB BM OB BA OA OB λλλλλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭……① 又B ，P ，N 三点共线，所以33()44BP BN ON OB OA OB OA OB μμμμμ⎛⎫==-=-=-⎪⎝⎭ 则3(1)4OP OA OB μμ=+-……..② 由①②得132,1343λμλμ==-，所以29,510μλ==， 所以33105OP a b =+． 故答案为：33105a b + 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及三点共线的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，合理求得向量OP 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．平面向量满足，则的最小值为______．【答案】 【解析】因为，即，所以，则，又，联立两个等式可得，因为，所以，即，故，应填答案。
上海市控江中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(教师版)
控江2023学年第二学期高二年级数学期中一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知，则________.【解析】【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案.【详解】因为，所以2. 抛物线的焦点到准线的距离为______.【答案】1.【解析】【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.3. 椭圆离心率为________.【答案】##0.5【解析】【分析】求出椭圆参数，利用离心率的定义直接计算即可.【详解】椭圆的方程为，则故答案为：.的()0,1,2AB = AB =()0,1,2AB = AB == 22y x =1p =22y x =1p =2211612x y +=122211612x y +=4,2,a b c ====21.42c e a ∴===124. 双曲线的渐近线斜率的绝对值是________.【答案】##0.5【解析】【分析】由双曲线的标准方程即可求得双曲线的渐近线方程，则双曲线渐近线斜率的绝对值可得.【详解】由双曲线方程为，可得双曲线的渐近线方程为，则双曲线渐近线斜率的绝对值为，故答案为：.5. 已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱,根据圆柱的体积公式,即可得到答案.【详解】由题意可知: 正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱其底面半径 高根据柱体体积公式:故答案为.【点睛】本题考查了圆柱的体积计算,考查了计算能力,属于基础题.6. 设椭圆上一点M 到左焦点的距离为3，记N 为的中点，O 为坐标原点，则______.【答案】【解析】【分析】由题意可推出，，进而利用椭圆的定义求出即可.【详解】由已知可得，，.因为N 为的中点，是的中点，所以是的中位线，所以，，2214x y -=122214x y -=12y x =±1212π1r =1h =V Sh π==π2212516x y +=1F 1MF ON =72212ON MF =2MF 5a =13MF =1MF O 12F F ON 12F F M △212ON MF =根据椭圆的定义，可得，故答案为：.7. 已知点在椭圆上运动，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由椭圆方程进行代换得，再结合三角函数的知识即可求得答案.【详解】椭圆上的点可设为，即，所以，故答案为：.8.已知抛物线的焦点是F ，点A ，若抛物线上存在一点M 使得最小，则M 点的横坐标为______.【答案】##0.5【解析】【分析】求出抛物线的焦点及准线，利用抛物线定义结合几何图形推理作答.【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A 作于点N ，交抛物线于M ，连MF ，如图，12210MF MF a +==72(),P s t 22143x y +=12s t +[]22-,2cos ,s t θθ==22143x y +=(2cos )θθ2cos ,s t θθ==[]1πcos 2sin()2,226s t θθθ+=+=+∈-[]22-,28y x =(3,2)||+MA MF 1228y x =(2,0)F :2l x =-(3,2)A AN l ⊥在抛物线上取点，过作于，连接，有，则有，当且仅当点与M重合时取等号，因此，此时点M 的纵坐标为2，则其横坐标，所以M 点横坐标为.故答案为：9. 过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________.【答案】或【解析】【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l 截圆所得弦长为，满足题意，设直线l 的方程为，即.由垂径定理，得圆心到直线l 的距离，，化简得，解得，即直线l 的方程为.故答案为：或.的M 'M 'M N l ''⊥N ',,M F M A AN '''||||,||||MF MN M F M N '''==||||||||||||||||||||M A M F M A M N AN AN MA MN MA MF ''''''+=+≥≥=+=+M 'min(||)3(2)5MA MF +=--=22182M x ==1212()1,3A -l 224x y +=l =1x -4350x y +-==1x -=3(1)y k x -=+30kx y k -++=1d ==122691k k k ++=+43k =-4350x y +-==1x -4350x y +-=10. 已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解.【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，，则，两式相减得，由条件可知，，即，所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为，由题意可知，中点应在抛物线内，即，得.故答案为：11. 已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为________.【答案】【解析】【分析】首先去绝对值符号画出曲线C 的图象，再分析可得的图象是的图象分别向上和向下平移k 个单位得到的，通过数形结合的方式即可求得答案.【详解】曲线C ：，曲线，当时，曲线可作图如下：R m ∈24y x =y x m =+m (),3-∞-y x m =+()11,A x y ()22,B x y 21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()()()1212124y y y y x x +-=-12121y y x x -=--124y y +=-AB 2-2m --()2,2m ---AB ()()2242m -<⨯--3m <-(),3-∞-0k ≥:k C y x k -=2:C y x =k a k k a {}3,4,6,8:,0k C y x k k -=≥y x =2,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩:,0k C y x k k -=≥0k =:k C y x =，此时交点个数为3，即；当时，若，则曲线，相当于将向上平移了k 个单位；若，则曲线，相当于将向下平移了k 个单位；因此曲线是的图象分别向上和向下平移k 个单位得到的，当k 在增大的过程中，图象变化如下：如下图所示：，此时；如下图所示：，3k a =0k ≠y x ≥:,0k C y x k k =+>y x =y x <:,0k C y x k k =->y x =:,0k C y x k k -=>y x =8=k a此时；如下图所示：，此时；故答案为：.12. 在一个阳光明媚周末，市射击俱乐部举办了一场盛大的射击比赛，来自各地的射击爱好者纷纷报名参加，甲乙作为一个组合报名参加了射击小组赛.该项比赛规则为：每个小组2人，每人每轮依次射击一次，共有2轮.若两人合计射中靶心次数不少于3次，则称这组为“神枪手组合”.已知甲、乙射中靶心的概率分别为和，若，那么甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的最大可能性为________（假设所有选手每次射击都互相独立）.【答案】【解析】【分析】先表示出甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的概率，转化为关于的二次函数，结合均值不等式和二次函数求最值得到概率的最大值.【详解】甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号有两种情况，分别为四枪全射中靶心和三枪射中靶心，四枪射中靶心的概率为，三枪射中靶心的概率为，所以甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的概率，由知设，则，在时取得最大值，的6k a =4k a ={}3,4,6,81P 2P 1275PP +=497512x PP =2212P P ()()211212222112C 1C 1P P P P P P ⨯-+-⨯()()()()22112221222211212121212121214C 1C 122335P P P P P P P P P PP P P PP PP PP =⨯-+-⨯+=+-=-+1275P P +=()212124904100P P PP +<≤=12490,100PP x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦21435P x x =-+715x =P，故答案为：.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第13-14题各4分，第15-16题各5分13. 直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（ ）A. 相交 B. 平行C. 异面D. 以上都有可能【答案】D 【解析】【分析】借助长方体模型可判断直线与直线的位置关系.【详解】如下图所示：在长方体中，将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线相交；将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线平行；将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线异面.综上所述，直线与直线相交、平行或异面.故选：D.14. 已知点的，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上“是”点在曲线上“的A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】max 77147493151551575P =-⨯⨯+⨯=4975a b c b a c a c 1111ABCD A B C D -a b c AB AD 1AA a c a b c AB 1AA 11A B a c a b c AB 1AA 11A D a c a c (),P a b 1C y =2C 221x y +=(),P a b 1C (),P a b 2C根据充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上，可以推出点在曲线上；当点在曲线上时，有在曲线上不一定能推出点在曲线上，所以“点在曲线上“是”点在曲线上“的充分非必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了点与曲线的关系，属于基础题.15. 圆上到直线的距离为1的点有（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个【答案】B 【解析】【分析】先求圆心到直线的距离，结合圆的性质分析判断.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径可知圆心到直线的距离且，所以圆上到直线的距离为1的点有2个.故选：B.16. 已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）A.B.C. D.(),P a b 1C 221b a b ⇒+==(),P a b 1C (),P a b 2C (),P a b 2C 221a b b +=⇒=(),P a b 2C (),P a b 1C (),P a b 1C (),P a b 2C 222x y +=10x y ++=222x y +=()0,0r =()0,010x y ++=d ==01<<222x y +=10x y ++=22Γ:13x y -=:1l x =,A B ΓP Γ,A B ,AP BP l ,M N ,PMN PAB 12,S S 12S S 1429316425【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值.【详解】如图：因为为双曲线上异于的两点，，即.根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，()令 ，得.用代替，得直线：，令得，所以设，的外接圆半径分别为，，则，，所以，当且仅当此时两个三角形外接圆得面积比：.13PA PB k k ⋅=PA k k MN ,PMN PAB 12,r r ABMN 21122S r S r ⎛⎫= ⎪⎝⎭(),P x y 2213x y -=,A B 13=13PA PB k k ⋅=P PA (y k x =0k <<1x =)()1,1M k +13k k PB (13y x k =1x =N ⎛ ⎝)1MN k =++PMN PAB 1r 2r 12sin MN r APB=∠22sin AB r APB=∠12MN r r AB==≥=k =2112229S r S r ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：B三、简答题（本大题满分78分）本大题共有5题17. 如图，在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上，且.记，，.（1）用表示、；（2）求直线与直线所成角的大小.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；（2）借助空间向量夹角公式计算即可得.【小问1详解】，；【小问2详解】111ABC A B C -E 11A B 11113A E A B = 1AA a = AB b = AC c = ,,a b c BC AE BC AE BC c b =- 13AE a b =+b B Ac B C AC =-=- 1111133AE AA A E AA AB a b =+=+=+cos ,A E AE AE BC BC BC ⋅===设直线与直线所成角的大小为，则，即.18. 冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从过50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试（满分100分），所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（1）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（2）分别求出样本数据中男生成绩的平均数和方差，女生成绩的平均数和方差，并根据所得数据对比男生与女生在这次测验中的表现.（结果精确到0.1）【答案】（1）5万人 （2），；，，女生平均成绩更高，也更稳定【解析】【分析】（1）根据分层抽样中的比例关系直接计算得到答案.（2）先利用平均数和方差公式计算男生和女生的平均数和方差，然后利用统计知识判断即可.小问1详解】样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.【小问2详解】样本数据中男生成绩的平均数，方差；女生成绩的平均数.【===BC AE θcos cos ,E B A C θ== θ=x 21σy 22σ65x =21132.5σ=69.7y ≈22119.9σ≈802250520⨯=4653686360747185658x +++++++==21σ()()()()22222222119123259620132.58⎡⎤=-+-++-+-+++=⎣⎦y 47575965667173757678818883669.71212+++++++++++==≈.因为，，所以女生平均成绩更高，也更稳定.19. 已知，直线与双曲线相交于不同的点.（1）若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围；（2）若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直线与双曲线方程联立，消元得到一个元二次方程，由题意得到不等式组，解这个不等式组即可求出实数的取值范围；（2）利用圆的性质.利用平面向量的数量积，结合（1）中的一元二次方程，可以求出实数的值.【小问1详解】直线与双曲线方程联立得：，因为直线与双曲线相交于不同的两点分别在双曲线的左、右两支上，所以有：，因此实数的取值范围为；【小问2详解】设，因为线段为直径的圆经过坐标原点，所以有，即，由（1）可知：，则，22σ=()()()()()222222222222122.712.710.7 4.7 3.7 1.3 3.3 5.3 6.38.311.318.312⎡⎤-+-+-+-+-+++++++⎣⎦119.9≈x y <2212σσ>R k ∈1y kx =+2241x y -=,A B ,A B k AB k ()2,2-k =k k 22221(4)22041y kx k x kx x y =+⎧⇒---=⎨-=⎩1y kx =+2241x y -=,A B ()222240Δ(2)4(2)4022204k k k k k ⎧⎪-≠⎪⎪=--⨯-⋅->⇒-<<⎨⎪-⎪<⎪-⎩k ()2,2k ∈-1122(,),(,)A x y B x y AB 0OA OB ⋅= 12120x x y y +=12122222,44k x x x x k k --+=-=--21212121212120(1)(1)0(1)()10x x y y x x kx kx x x k k x x +=⇒+++=⇒++++=即.20. 已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且.（1）如图1，若点在棱的中点处，求证：平面；（2）如图2，若，求三棱锥的体积；（3）如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值.【答案】（1）证明见解析（2 （3【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案.（3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q ，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案．【小问1详解】由于E 是的中点，结合正四面体的性质可得,又因为，所以平面；【小问2详解】222222(1)()10244k k k k k k k--++-+=⇒=⇒=--A BCD -E CD F AE BF AE ⊥E CD CD ⊥ABE 2DE EC =B CEF -E CD CF EF 514EF AE =F BCE V -A BCD V -514AB O CD M AM AM N 2AN NM =AN OQ OQ ⊥ACD F O AB Q CD ,AE CD BE CD ⊥⊥AE BE E =I CD ⊥ABE因为，所以，在三角形ACE 中，由余弦定理可得，同理在三角形ABE 中，E 到AB所以由等面积法可得，代入数据得，所以因为，所以F 到底面BCD 的距离为A 到底面BCD的距离的，三角形BCE 的面积是三角形BCD 面积的，所以，如图，取CD 中点记为H ，AG 为棱锥的高，，所以，则，所以.【小问3详解】2DEEC =22DE EC ==AE ==BE==BF AE ⋅=BF =EF =514EF AE ==5141315531442F BCE A BCD V V --=⨯=AH ==BG ==AG ==°1133sin 6032A BCD V -⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭554242F BCE A BCD V V --===∵，∴点在以为直径的球面上，取的中点为，∵点在中，由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，∴点的轨迹为一段圆弧，取的中点为，连接，在上取一点，使得，在等边中，易得点为的中心，∴在正四面体中，易得平面，取的中点为，连接，则，则平面，由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直，∴点轨迹是以点为圆心的一段圆弧，在中，，，∴，则，∴，∴，∴圆的半径而，∴的BF AE ⊥F AB AB O F ACD F CD M AM AM N 2AN NM =ACD N ACD A BCD -BN ⊥ACD AN Q OQ //OQ BN OQ ⊥ACD F Q ACD 3AC =32CM =AM =AN =BN =OQ =Q r =CQ =CF CQ r ≥-=故．21. 已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的两点.（1）当且的斜率为1时，求；（2）当时，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得对于任意的直线、都不是直角三角形.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.【答案】（1（2） （3），理由见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用与椭圆联立得两点坐标，再求的值，即可求解；（2）设出直线方程，与椭圆联立列韦达定理，坐标化，代入，，，得到关于的式子，即可求解.（3）设直线的方程为，联立方程组得到，结合不成立，得出方程无解，进而求得实数的取值范围.【小问1详解】解：由椭圆，可得，则，所以，当时，直线，联立方程组，解得，，则【小问2详解】解：当斜率为时，由，，可得，CF R m ∈22Γ:12x y +=F (),0M m l Γ,A B 0m =l AB 1m =-⋅ FA FB ()1m m ≠l ABF △m 71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()40,1(1,)3l ,A B AB l Γ121212()FA FB x x x x y y ⋅=-++ 12x x 12x x +12y y t AB x ky m =+1212,y y y y +0FA FB ⋅= 22340k m m -+-=m 22Γ:12x y +=222,1a b ==1c ==(1,0)F 0m =:l y x =2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A B ⎛ ⎝AB =l 0()A )B 1 FA FB ⋅=-当斜率不存在时，由，可得，当斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，设，则，且，由，则，令，可得且，则，综上可得，的取值范围为.【小问3详解】解：设直线的方程为联立方程组，整理得，设，则，且，设，因为，，l ,1,A B ⎛⎛-- ⎝⎝72FA FB ⋅=l (1)y k x =+22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(21)4220k x k x k +++-=()()1122,,,A x y B x y 2222(4)4(21)(22)0k k k ∆=-+->22121222422,2121k k x x x x k k -+=-=++1122,(1,)(1,)FA F x y x y B =-=- 1212121212121()()111)()(FA FB x x x x y y x x x k x k x x ⋅=-++-+=++⋅+++ 1122222(1)((1)1)x k x k k x x =+-++++22222222222471(1)(1)1212121k k k k k k k k k --=⋅-+⋅-+=++++221t k =+212t k -=1t ≥22797179722[1,)21222t k k t t --==-∈-+⋅ FA FB 71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦AB x ky m=+2212x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(2)220k y kmy m +++-=()()1122,,,A x y B x y 222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+->212122222,22km m y y y y k k -+=-=++()()()11221212121,·1,1T FA FB x y x y x x y y x x =⋅=--=+-++ 1212()2x x k y y m +=++22121212()x x k y y mk y y m =+++所以，要使得都不是直角三角形，只需不成立，即方程无解，即无解，所以，解得，又因为，所以实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.221212(1)(1)()(1)T k y y k m y y m=++-++-222222222234(1)(1)(1)222m km k m mk k m mk k k--+-=+--⋅+-=+++ABF△0FA FB⋅=22340k m m-+-=2234k m m=-2340-<m m43m<<1m≠m()40,1(1,3⋃。
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控江中学高二期中数学试卷
2019.04
一. 填空题
1. 复数1i -的虚部是
2. 两条异面直线所成角的取值范围是
3. 若直线a 、b 与平面α所成的角相等，则直线a 、b 的位置关系是 （填“平行、相交、异面”中的一个或几个）
4.
计算：2021
=
5. 已知复数134i z =+，2i z t =+，且12z z ⋅是实数，则实数t =
6. 如果实数x 、y 满足102010x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数4z x y =+的最大值为
7. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则点1A 到平面
ADE 的距离为
8. 正方形ABCD 在平面M 的同一侧，若A 、B 、C 三点到平面M 的距离分别是2、3、4，则直线BD 与平面M 的位置关系是
9. 如图，Rt △ABC 的直角顶点A 在平面α内，BC ∥α
，BC =，AB 、AC 与α分别成30°、45°角，则BC 与平面α的距离是 10. 已知12,z z C ∈，下列命题：
（1）若22
12
0z z +=，则120z z ==；（2）若||1z <，则11z -<<； （3）若12z z >，则120z z ->；（4）若0z z +=，则z 是纯虚数； 其中真命题的序号是
11. 下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）
12. 已知复数1z 、2z 满足1||1z ≤，21Re 1z -≤≤，1Im 1-≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积是
二. 选择题
13. 已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交
C. m 与n 平行
D. m 与n 异面、相交、平行均有可能
14. 若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） A. 若m ∥α，n α⊄，则m ∥n B. 若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥ C. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D. 若m α
β=，m n ⊥，则n α⊥
15. 已知集合{||5i ||5i |8,}A z z z z C =+--=∈与{|||4,}B z z z C ==∈，则集合A B 中
的元素个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边 三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方 形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方 形ABCD 内的轨迹是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题
17. 已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=. （1）若2m =，求此方程的解；
（2）若方程的一个根α满足||2α=，求实数m 的值.
18. 已知三种食品P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示，现将x 公斤的食品P 、y 公斤的食品Q 、z 公斤的食品R 混合，制成10公斤的混合物，如果这10公斤的混合物中至少含320单位的维生素A 与640单位的维生素B .
（1）当1x =，2y =时，求10公斤混合物中维生素A 的总含量； （2）当x 、y 、z 为何值时，混合物的成本最小？
19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，2AD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.
（1）求直线FB 与平面ABCD 所成的角的余弦值； （2）求二面角F AE D --的大小（用反三角函数表示）.
20. 已知虚数z 使得4
m z z
=+是实数. （1）求||z 的值； （2）求m 的取值范围；
（3）若(2)(1i)z ++是纯虚数，求z 的值.
21. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱AB 、AD 的中点. （1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小；
（2）连接AC ，与EF 交于点M ，点N 在线段1A C 上移动，求证：MN 与EF 保持垂直； （3）已知点G 是直线1A E 上一点，过直线11B D 和点G 的平面交平面1A EF 于直线GH ，试根据点G 的不同位置，判断直线11B D 与直线DH 的位置关系，并证明你的结论.
参考答案
一. 填空题
1. 1-
2. (0,]2
π
3. 平行、相交、异面
4.
1i 2
5.
34 6. 7
2
7. 8. 平行
9. 2 10. （3） 11. ①④⑤ 12. 12π+
二. 选择题
13. D 14. B 15. A 16. B
三. 解答题
17.（1）1i x =±；（2）{0,8,4}m =-. 18.（1）310；（2）2x =，5y =，3z =.
19.（1（2）20.（1）||2z =；（2）(4,4)-；（3）2i z =. 21.（1）
3
π
；（2）证明略；（3）异面、相交.。