2016志鸿优化设计中考数学总复习基础讲练：(第1讲)实数

第1讲 实数熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.现，的运算主要是由二次根式、考点一 实数的分类 1．按实数的定义分类2．按正负分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧正实数⎩⎨⎧ 正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零(既不是正数也不是负数)负实数⎩⎨⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 负整数负分数负无理数考点二 实数的有关概念 1．数轴实数与数轴上的点是一一对应的． 2．相反数(1)实数a 的相反数是－a ，零的相反数是零； (2)a 与b 互为相反数a ＋b ＝0. 3．倒数(1)实数a 的倒数是1a(a ≠0)；(2)a 与b 互为倒数ab ＝1.4．绝对值(1)数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a 的绝对值，记作|a |. (2)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a >0)，0(a ＝0)，－a (a <0).考点三 平方根、算术平方根、立方根1．平方根(1)定义：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根(也叫二次方根)，数a 的平方根记作±a (a ≥0)．(2)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．算术平方根(1)如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作a .零的算术平方根是零，即0＝0.(2)算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)． (3)(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |.(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)；a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)．3．立方根(1)定义：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根(也叫三次方根)，数a 的立方根记作3a .(2)任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同． 考点四 科学记数法、近似数、有效数字 1．科学记数法把一个数N 表示成a ×10n (1≤a ＜10，n 是整数)的形式叫科学记数法．当N ≥1时，n 等于原数N 的整数位数减1；当N ＜1时，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．2．近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．考点五 非负数的性质1．常见的三种非负数：|a |≥0，a 2≥0，a ≥0(a ≥0)． 2．非负数的性质：(1)非负数有最小值是零；(2)任意几个非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 考点六 实数的运算1．基本运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方．2．基本法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方的符号法则．3．运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．4．运算顺序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．5．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a 0＝1(a ≠0)；(2)负整数指数幂的意义为：a －p ＝1ap (a ≠0，p 为整数)．考点七 实数的大小比较1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．3．取差比较法(1)a －b ＞0a ＞b ；(2)a －b ＝0a ＝b ；(3)a －b ＜0a ＜B ．4．倒数比较法 若1a ＞1b，a ＞0，b ＞0，则a ＜B ． 5．平方法：因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．1．在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2 2．－2的倒数是( )．A ．－12B ．12 C ．－2D ．2 3．|－3|的相反数是( )．A ．3B ．－3C ．13D ．－134．下列运算正确的是( )． A ．－|－3|＝3B ．⎝⎛⎭⎫13－1＝－3C ．9＝±3D ．3－27＝－35．第26届深圳大运会将在2011年8月12日拉开帷幕，据悉，来自海内外各种渠道的赛会志愿者报名人数为85 000人，远远超过需要的2.2万人．报名人数用科学记数法表示为__________．6．已知一粒大米的质量约为0.000 021千克，这个数用科学记数法表示为( )．A ．0.21×10－4B ．2.1×10－4C ．2.1×10－5D ．21×10－67．若x ，y 为实数，且|x ＋2|＋y －2＝0，则⎝⎛⎭⎫x y 2 011的值为( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 8．计算下列各题：(1)(52－1)0＋⎝⎛⎭⎫12－1＋33×3－|－2|－tan 60°. (2)－22×5－(－2)3÷4＋(－3)2＋8sin 45°.9．如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是( )．A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．a －b ＞0D ．|a |－|b |＞0一、实数的分类【例1】 下列各数：π2，0，9，0.23·，cos 60°，227，0.300 03…，1－2中无理数个数为( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：π2中π是无理数，所以π2是无理数；0是有理数；9＝3是有理数；0.23·是无限循环小数，属于有理数；cos 60°＝12，是有理数；227是有理数；0.300 03…是无理数；1－2中2是无理数，所以1－2是无理数． 答案：B有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】 (1)－15的倒数是__________；(2)(－3)2的相反数是( )． A ．6 B ．－6 C ．9 D ．－9(3)实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |＋(b －a )2＝__________.解析：(1)－15的倒数为1－15＝－5；(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D ；(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识，由图可知：a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |， ∴a ＋b ＜0，b －a ＞0，原式＝－a －b ＋b －a ＝－2A ． 答案：(1)－5 (2)D (3)－2a相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.三、平方根、算术平方根与立方根【例3】 (1)(－1.44)2的算术平方根为________；81的平方根为________；0.04＝________；(2)(－2)－3的立方根是________；立方等于－216的数是________；(3125)3＝________. 解析：(1)(－1.44)2的算术平方根，即(－1.44)2＝|－1.44|＝1.44；81＝9,9的平方根是±3；0.04＝0.2；(2)∵(－2)－3＝1(－2)3，∴(－2)－3的立方根是13(－2)3＝－12；∵(－6)3＝－216，∴3－216＝－6； (3125)3＝(353)3＝53＝125.答案：(1)1.44 ±3 0.2 (2)－12－6 1251．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a 中的a ≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0.2．立方根中，(3a )3＝a ，3a 3＝A ． 四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】 第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开．奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”“东荷西柳”布局．建筑面积约为359 800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是(保留三个有效数字)( )．A ．35.9×105平方米B ．3.60×105平方米C ．3.59×105平方米D ．35.9×104平方米解析：359 800＝3.598 00×105，要保留3个有效数字，需对从左边起第四个数字8进行四舍五入，所以3.598 00×105≈3.60×105.答案：B1．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑；2．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a )的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．五、非负数性质的应用【例5】 若实数x ，y 满足x －2＋(3－y )2＝0，则代数式xy －x 2的值为__________． 解析：因为x －2≥0，(3－y )2≥0， 而x －2＋(3－y )2＝0，所以x －2＝0,3－y ＝0，解得x ＝2，y ＝3， 则xy －x 2＝2×3－22＝2. 答案：2常见的非负数的形式有三种：|a |a ≥0)，a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.六、实数的运算【例6】 计算：(1)4cos 30°sin 60°＋(－2)－1－( 2 009－2 008)0；(2)⎝⎛⎭⎫13－1－|－2＋3tan 45°|＋(2－1.41)0. 解：(1)原式＝4×32×32－12－1＝3－12－1＝32.(2)原式＝3－|－2＋3|＋1＝3－(2－3)＋1＝2＋ 3.提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．七、实数的大小比较【例7】 比较2.5，－3，7的大小，正确的是( )．A ．－3＜2.5＜7B ．2.5＜－3＜7C ．－3＜7＜2.5D ．7＜2.5＜－3 解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和7的大小即可，由2.52＜(7)2，得2.5＜7，所以－3＜2.5＜7. 答案：A实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任何两数的大小，而“商值比较法”只适用于比较两个正数大小，还有“平方法”“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．1．(2012江苏南京)下列四个数中，是负数的是( )． A ．|－2| B ．(－2)2 C ．－ 2 D ．(－2)22．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )．A ．6.011×109B ．60.11×109C ．6.011×1010D ．0.601 1×1011 3．(2012山东烟台)4的值是( )．A ．4B ．2C ．－2D ．±24．(2011安徽)设a ＝19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )． A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5 5．(2011山东济宁)下列各式计算正确的是( )． A ．2＋3＝ 5 B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝2 2D ．12－102＝6－ 56．(2011四川达州)若a 2－3a ＋1＋b 2＋2b ＋1＝0，则a 2＋1a 2－|b |＝__________.1．若|a |＝3，则a 的值是( )．A ．－3B ．3C ．13D ．±32．下列各组数中，互为相反数的是( )．A ．|－5|与－15B ．－5与5C ．|－5|与15D ．|－5|与－(－5)23．在－3，－3，－1,0这四个实数中，最大的是( )． A ．－3 B ．－ 3 C ．－1 D ．04．如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3，若点A 关于点B 的对称点为C ，则点C 所表示的实数是( )．A ．23－1B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．23＋15.3的倒数是________，－12的零次幂是________，|3.142－π|＝________，(－2)2的平方根是________．6．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．7．定义a *b ＝a 2－b ，则(1]．8．如果某个数的平方根是a ＋3和2a －15，那么这个数等于__________． 9．若实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |－|a －b |－|－b |.参考答案基础自主导学自主测试1．B 2.A 3.B 4.D 5.8.5×104 6．C 7.B 8．解：(1)原式＝1＋2＋3－2－3＝1.(2)原式＝－20＋2＋3＋22×22＝－13.9．C 由数轴可知：a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，故选C.知能优化训练中考回顾1．C 2.C 3.B 4.C 5.C 6.6 模拟预测1．D 2.D 3.D 4.A 5.331 3.142－π ±2 6.7 7.－2 8．499．解：如题图，a＜0，b＜0，|a|＞|b|，∴a＋b＜0，a－b＜0，－b＞0.∴|a＋b|－|a－b|－|－b|＝－(a＋b)－[－(a－b)]－(－b)＝－b.。