2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(二)数学(理)试题

雅礼中学2019届高三月考试卷（二）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是合题目要求的
1．已知集合{}{
}2
20,lg(1)A x x x B x y x =-<==-，则A UB ＝
A ．(0,)+∞
B ．(1,2)
C ．(2, +∞)
D ．（-∞，0） 2．设x ，y 是两个实数，则“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成 立的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件 3．已知直线m ，n 和平面a ，B 满足m ⊥n ，m ⊥α，a ⊥β，则
A ．n ⊥β
B ．n ∥α
C ．n ∥β或n β⊂
D ．n ∥α或n α⊂
4．△ABC 中，点D 在AB 上，满足2AD DB = ．若,CB a CA b ==
，则CD =
A ．1233a b +
B ．2133a b +
C ．3455a b +
D ．4355
a b +
5．设lg a e =，2
(lg )b e =，c =
A ． a >b >c
B ．a >c >b
C ． c >a >b
D ． c >b >a
6，现有四个函数：①sin y x x =，②cos y x x =，③cos y x x =，④2x y x =⋅的 图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图象对应的序号排列正确的组是
A ．①③②④
B ．②①③④
C ．③①④②
D ．①④②③ 7．数列{}n a 满足：a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝－2，a n ＋2＝a n+1－a n （n N ∈
），则数列
{}n a 的前2019项的和为
A ．1
B ．—2
C ．-1514
D ．-1516
8．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3有公共点，则b 的取值范围是
A ．[1,1-+
B ．[1-+
C ．[1-
D ．[1- 9．若sin ,(0,),()cos ,x x a
a f x x x a
π>⎧∈=⎨
≤⎩的图像关于点（a ，0）对称，则f (2a )=
A ．1-
B ．12-
C ．0
D ．2
- 10．已知圆O 的半径为2，A ，B 是四上两点且∠AOB 23
π
=
，MN 是一条直径点C 在圆内且满足(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<
，则CM CN ⋅ 的最小值为
A ．-3
B ．
C ．0
D ．2 11．正三棱锥S －ABC 的外接球半径为2，底边长AB ＝3，则此棱锥的体积为
A ．
4 B ．4或4
C ．4
D ．4或4 12．已知函数(),()ln(2)4x a
a x f x x e
g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在
实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为
A ．ln 21--
B ．ln 21-
C ．ln 2-
D ． l n 2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知实数x ，y ，z 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
，则z ＝x ＋2y 的最小值为___________。

14．三棱锥S －ABC 及其三视图中的正视图和側视图如图所示，则棱SB 的长为_____。

15．等差数列{}n a 的公差d ≠0，a 1是a 2，a 5的等比中项，已知数列a 2，a 4，1k a ，2k a ，……，
n k a ，……为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为T n ，则2T n ＋9=_______
16．三次函数32()f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足f (－1)＝f (2)＜0，f (1)＝f (4)＞0，则
111
a b c
++的取值范围是________________。

三、解答题：共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60分 17．（本小题满分12分） 如图所示，扇形AOB 中，圆心角∠AOB ＝
4
π
，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．
（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；
（2）若∠COP ＝θ，求△OOP 面积的最大值及此时θ的值 18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥S 一ABC 中，SA ＝AB ＝AC ＝BC
，O 为BC 的中点
（1）求证：SO ⊥平面ABC
（2）在线段AB 上是否存在一点E ，使二面角B —SC －E
的平面角的余弦值为
19．（本小題满分12分）
已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A 1
2
），且点F 0）为其右焦点。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足22
5
OB OD = ，且原点到直线l 的距
l 的方程；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20，25），需求量为350瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的類率代替最高气温位于该区间的概率 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为多少？ 21．（本小题满分12分） 已知函数2()(1)ln 63a
f x x a x a x
=
++---在其定义域内存在单调递减区间． （1）求f (x )的单调递减区间；
（2）设函数322[46(1)12512],1
()(),1x x a x x a e x g x ef x x ⎧-++--+≤=⎨>⎩
，（e 是自然对数的底
数）．是否存在实数a ，使g (x )在［a ，－a ］上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不
存在，请说明理由。

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．（本小題满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y ϕ
ϕ
=+⎧⎨
=⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4sin ρθ= （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C 3的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，
点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于极点O ，且AB =，求实数α的值 23．（本小題满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知2
()f x x a x b =+-
（1）当a ＝—1，b ＝2时，解不等式f (x )≥0；
（2）若存在a ，b 的值，使不等式(1)(3)2(2)f f f +--≤m 成立，求实数m 的最小值．。