2015年中考数学考点专项四：空间与图形 等腰三角形
等腰三角形的性质和判定的综合题目
-鼓励学生在课后继续思考、探索联系观点的内涵，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本章节的学习内容，培养学生的理论联系实际能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合本节课所学的联系观点，选取一个生活中的实例，分析其中包含的联系特征及其影养学生合作、探究的学习能力，提高学生在案例分析中运用联系观点分析问题的能力。
-引导学生运用比较法、分析法等学习方法，深入挖掘联系现象背后的本质规律。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对联系观点的认同，使学生认识到联系是事物发展的内在规律，树立正确的价值观。
-增强学生的社会责任感，培养学生关注社会、关注生活的态度。
3.强化实践环节，引导学生关注现实生活中的联系现象，提高学生理论联系实际的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解联系的普遍性、多样性、条件性等特征，并能运用联系的观点分析实际问题。
-掌握联系的方法论，学会从联系的角度认识问题、分析问题，提高解决问题的能力。
2.过程与方法方面的重难点：
5.观察日记：要求学生观察身边的事物和现象，运用联系观点进行分析，记录在日记中。持续一周，每天至少记录一个实例，并写出自己的思考。
6.课后实践：鼓励学生参加社会实践活动，将所学联系观点运用到实际中，如参与环保活动、社区服务等。要求学生撰写实践报告，不少于1000字，内容需包括实践过程、联系观点的应用及收获。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以现实生活中的实例导入新课，如“互联网的发展与人们生活的联系”、“环境保护与经济发展的联系”等，引发学生对联系概念的思考。
考点15 等腰三角形【无答案】
考点15 等腰三角形等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。
而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。
一、等腰三角形的性质和判定二、角平分线的性质定理与判定定理三、线段垂直平分线的性质定理与判定定理考向一：等腰三角形的性质和判定1．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的大小是（）A．25°B．20°C．25°或65°D．20°或70°3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A．12B．8C．15D．134．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（）A．75°B．80°C．85°D．84°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结（填论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF，其中正确的有．序号）6．等腰△ABC中，AB＝AC，点E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，则∠DEB＝°．7．如图所示，在坐标平面中，A（0，4），C为x轴负半轴上一点，CO＝3，AC＝5，若点P为y轴上一动点，以PC为腰作等腰三角形△PCQ，已知∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），连接OQ，则OQ的最小值为．8．如图，已知点P是射线MN上一动点，∠AMN＝35°，当∠A为时，△AMP是等腰三角形．9．在如图所示的3×3方格中，以AB为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有个．10．如图所示，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s 的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s时，△POQ是等腰三角形．11．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（）条．A．1B．2C．3D．412．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个13．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝．14．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形；（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度数．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF．求证：（1）△ADF是等腰三角形．（2）DF＝2EF．考向二：角平分线的性质与判定一．角平分线的性质定理与判定定理性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。
本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。
以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。
1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。
(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。
(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。
3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。
(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。
4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。
因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。
相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
2015年中考数学考点专项四：空间与图形 尺规作图
知识点:尺规作图－角
பைடு நூலகம்专项四
空间与图形
2015年考点：尺规作图
【难易度】
□已掌握
知识点:尺规作图－已知直线的垂线
专项四
空间与图形
2015年考点：尺规作图
【难易度】
□已掌握
知识点:尺规作图－与圆有关
专项四
空间与图形
2015年考点：尺规作图
【难易度】
□已掌握
知识点:尺规作图－垂直平分线
专项四
空间与图形
2015年考点：尺规作图
【难易度】
□已掌握
知识点:尺规作图－线段
专项四
空间与图形
2015年考点：尺规作图
【难易度】
□已掌握
知识点:吃规作图－角平分线
专项四
空间与图形
2015年考点：尺规作图
【难易度】
□已掌握
知识点:尺规作图－与三角形有关
专项四
空间与图形
2015年考点：尺规作图
【难易度】
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
2015年中考数学考点专项四：空间与图形 命题与证明
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:基本事实
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:反例
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:真命题、假命题
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:证明
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:圆命题、逆命题、互逆命题
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:推理
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:反证法
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:定理
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:定义
专项四
空间与图形
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:命题
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:逆定理、互逆定理
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
【难易度】
□已掌握
知识点:观察
专项四
空间与图形
2015年考点：命题与证明
等腰三角形性质
等腰三角形性质一、等腰三角形性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一）。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7、一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8、等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9、等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
二、等腰三角形定义至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
三、等腰三角形判定方法定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
《等腰三角形的判定》轴对称
判定定理法
判定定理
等腰三角形的判定定理为“在一个三 角形中，如果有两个角相等，则这两 个角所对的边也相等”。
判定方法
通过比较三角形的两个角的大小，如 果两个角相等，则该三角形是等腰三 角形。
03
等腰三角形与轴对称的应用
几何图形中的应用
等腰三角形的性质
等腰三角形具有对称性，其两条等腰边关于底边所在的直线对称 。
综合练习题
组合题
将等腰三角形和轴对称图形的知识进行 组合，设计一些综合性的题目。例如， 让学生判断一个图形是否既是等腰三角 形又是轴对称图形，或者让学生求一个 轴对称图形的对称轴和对称点等。
VS
拓展题
将等腰三角形和轴对称图形的知识进行拓 展，设计一些拓展性的题目。例如，让学 生研究一些特殊的等腰三角形和轴对称图 形，如正三角形、正方形等。
等腰三角形两腰相等，两个底角 相等，并且底边上的中点到两腰 的距离相等。此外，等腰三角形 有一个对称轴，即底边的中线。
分类与特点
等腰三角形的分类
根据顶角和底角的不同，等腰三角形可以分为锐角等腰三角 形、直角等腰三角形和钝角等腰三角形。锐角等腰三角形是 最常见的类型。
等腰三角形的特点
等腰三角形具有稳定性，因为它的两边长度相等，所以它不 容易变形。此外，等腰三角形在几何学中有着广泛的应用， 如建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域。
3
代数式与等腰三角形的关系
等腰三角形的代数式表示与代数式的对称性有密 切关系。
实际生活中的应用
建筑学中的应用
工程学中的应用
等腰三角形在建筑学中具有广泛应用 ，如金字塔、埃菲尔铁塔等建筑物的 设计都利用了等腰三角形的性质。
在工程学中，可以利用等腰三角形的 性质进行测量、计算等工作，提高工 作效率和精度。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
1等腰三角形性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一）。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7、一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8、等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9、等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
2等腰三角形定义至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
3等腰三角形判定方法定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
等腰三角形专题
等腰三角形专题关键信息项1、等腰三角形的定义及性质定义：至少有两边相等的三角形叫等腰三角形性质 1：等腰三角形的两腰相等性质 2：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质 3：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）2、等腰三角形的判定定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等3、等腰三角形的周长和面积计算周长：等腰三角形的周长＝腰长×2 ＋底边长度面积：等腰三角形的面积＝底×高÷24、等腰三角形的分类一般等腰三角形等边三角形（特殊的等腰三角形，三边相等，三个角都为 60°）11 等腰三角形的定义和性质详细阐述111 等腰三角形的定义是至少有两边相等的三角形。
这意味着只要一个三角形存在两条边长度相等，就可以被认定为等腰三角形。
在几何图形中，通过观察边的长度关系可以快速判断一个三角形是否为等腰三角形。
112 等腰三角形的性质之一是两腰相等。
这是等腰三角形最基本的特征，也是其名称的由来。
当已知一个等腰三角形的腰长时，可以通过这一性质迅速得出另一条腰的长度。
113 等腰三角形的两个底角相等，这被简称为“等边对等角”。
这一性质在解决与角度相关的问题时非常有用。
例如，已知等腰三角形的顶角角度，可以通过这一性质计算出底角的角度。
114 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称为“三线合一”。
这一性质是等腰三角形的一个重要特征，在证明和计算中经常被运用。
通过已知其中一条线的性质，可以推导出其他两条线的相关结论。
12 等腰三角形的判定方法深入分析121 定义判定是最直接的方法，即当一个三角形有两条边相等时，就可以判定为等腰三角形。
这是基于等腰三角形的定义得出的判定规则。
122 等角对等边的判定方法则是从角度的角度来判断。
如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边也相等，从而可以判定该三角形为等腰三角形。
(完整版)等腰三角形知识点(最新整理)
等腰三角形知识学习要点：掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握等腰三角形的性质和判定定理，并探索等边三角形的性质和判定定理。
结合实例体会反证法的含义。
中考热点：全等三角形和等腰三角形是中考必考的内容之一，在考试中或单独考查基本知识或综合考查逻辑推理，常把全等三角形、特殊三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质综合起来进行命题，题型多为证明题或解答题。
知识点：1、全等三角形的判定及性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等．证题思路：2例1、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ．②∠FAB ＝∠EAB ，③EF ＝BC ，④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，FD ⊥AO 于D ，FE ⊥BO 于E ，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF ；③DO=EO ；④∠OFD=∠OFE 。
其中能够证明△DOF ≌△EOF 的条件的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS3、如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是．4、（2016泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）A．44°B．66°C．88°D．92°之间有怎样的数量关系?并给出证明。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.你还记得哪些关于等腰三角形的知识点呢?以下是小编为大家整理的等腰三角形知识点总结，希望大家有所收获哦!数学等腰三角形知识点总结(一)等腰三角形的轴对称*:(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一)等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若ab=ac①作ad⊥bc于d，必有结论:∠1=∠2，bd=dc②若bd=dc，连结ad，必有结论：∠1=∠2，ad⊥bc③作ad平分∠bac必有结论：ad⊥bc，bd=dc作辅助线时，一定要作满足其中一个*质的辅助线，然后*出其它两个*质，不能这样作：作ad⊥bc，使∠1=∠2.例1.一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量a，b之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点a出发，沿着与直线ab成60°角的ac方向前进至c，在c处测得c=30°.量出ac的长，它就是河宽(即a，b之间的距离).这个方法正确吗?请说明理由.解：小聪的测量方法正确.理由如下：∵∠dac=∠b+∠c(三角形的外角的*质)∴∠abc=∠dac-∠c=60°-30°=30°∴∠abc=∠c∴ab=ac(在一个三角形中，等角对等边.)60°bac例2：上午10时，一条船从a处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达b处，从a、b望灯塔c，测得∠nac=40°，∠nbc=80°求从b处到灯塔c的距离解：∵∠nbc=∠a+∠c∴∠c=80°-40°=40°∴ba=bc(等角对等边)∵ab=20(12-10)=40∴bc=40答：b处到达灯塔c40海里abn80°40°c1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是()(a)14(b)15(c)16(d)14或162、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________判断下列语句是否正确。
2015年中考数学考点专项四：空间与图形 全等三角形
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知识点:全等三角形的性质与判定
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知识点:直角三角形全等判定HL定理
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平面几何中的等腰三角形的性质及其判定
平面几何中的等腰三角形的性质及其判定在平面几何中，等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
它具有一些特殊的性质，也可以通过一些判定方法进行确定。
本文将详细介绍等腰三角形的性质以及判定方法。
一、等腰三角形的性质1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（指两边相等的两个角）的度数是相等的。
假设等腰三角形的两边分别为AB和AC，且AB=AC，则∠B=∠C。
2. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（指与两边不相等的那个角）可以平分底角。
同样假设等腰三角形的两边为AB和AC，且AB=AC，则∠A可平分∠B和∠C。
3. 等边三角形是等腰三角形：等边三角形是指三个边都相等的三角形。
由于等边三角形的特殊性质，它也是等腰三角形。
二、等腰三角形的判定方法1. 边长判定：当三角形的两边相等时，可以判断该三角形为等腰三角形。
假设三角形的两边分别为AB和AC，若AB=AC，则可判定为等腰三角形。
2. 角度判定：当三角形的两个底角相等时，可以判断该三角形为等腰三角形。
假设三角形的两个底角分别为∠B和∠C，若∠B=∠C，则可判定为等腰三角形。
3. 对称性判定：当三角形的一个角等于其对顶边对应的两个角之和时，可以判断该三角形为等腰三角形。
假设三角形的一个角为∠A，其对顶边为BC，且∠A=∠B+∠C，则可判定为等腰三角形。
三、等腰三角形的应用举例1. 建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形常常用于设计三角屋顶、锥形结构等。
等腰三角形的特殊性质可以让建筑更加美观稳定。
2. 园艺设计：在园艺设计中，等腰三角形的对称性常常用于安排花坛、花架等。
通过合理利用等腰三角形的性质，可以使整个园艺布局更加协调。
3. 图形识别：在图形识别中，等腰三角形可以作为一种特征被用于辨别和识别不同的形状。
通过对图像中的角度和边长进行计算和比对，可以确定是否存在等腰三角形。
总结：等腰三角形在平面几何中具有独特的性质和判定方法。
它的性质包括两底角相等、顶角平分底角以及等边三角形是等腰三角形。
八下数学等腰三角形笔记
八下数学等腰三角形笔记
以下是关于等腰三角形的数学笔记，供您参考：
1. 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰之间的角叫做顶角，底边与腰之间的角叫做底角。
2. 等腰三角形的性质：
两边相等：等腰三角形的两腰相等。
角平分线、中线和高线重合：等腰三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线重合。
底角相等：等腰三角形的两个底角相等。
3. 等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
4. 等腰三角形的应用：等腰三角形在几何学和实际生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、艺术等领域。
在等腰三角形中，可以利用其性质进行计算、证明和构造图形。
5. 等腰三角形的分类：根据底边和腰的长度不同，等腰三角形可以分为不同的类型，如等边三角形、等腰直角三角形、等腰钝角三角形等。
不同类型的
等腰三角形具有不同的性质和特点，在应用中需要根据具体情况选择合适的类型。
以上是关于等腰三角形的数学笔记，希望对您有所帮助。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质在数学的世界里，三角形是一个非常重要的图形，而等腰三角形则是其中具有特殊性质的一类。
今天，咱们就来好好聊聊等腰三角形到底都有哪些有趣的性质。
等腰三角形，顾名思义，就是至少有两边相等的三角形。
相等的这两条边被称为腰，另一边则称为底边。
两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
先来说说等腰三角形的两个底角相等这个性质。
这可是等腰三角形最基本也是最重要的性质之一。
咱们可以通过作顶角的平分线，或者作底边的高，又或者作底边的中线来证明这一性质。
想象一下，把等腰三角形沿着对称轴对折，是不是两边能够完全重合？这就直观地说明了两个底角是相等的。
再看看等腰三角形“三线合一”的性质。
这“三线”指的是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高。
也就是说，在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高，这三条线是重合的。
比如说，如果已知一条线段是等腰三角形顶角的平分线，那么它同时也是底边上的中线和高；同样，如果知道某条线段是底边上的中线，那它也是顶角平分线和底边上的高；要是知道某条线段是底边上的高，那它也是顶角平分线和底边上的中线。
这个性质在解决等腰三角形的相关问题时，非常有用。
等腰三角形的对称轴也很有特点。
它的对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。
因为等腰三角形沿着这条直线对折，两边能够完全重合。
接下来咱们从周长和面积的角度来看看等腰三角形。
如果知道了等腰三角形的腰长和底边长，就能很容易地算出它的周长，就是把三条边的长度相加。
而求面积呢，通常可以用底乘以高再除以2 这个公式。
不过，要先求出底边上的高，根据勾股定理就能算出来。
在实际生活中，等腰三角形的应用也不少。
比如一些建筑的屋顶会设计成等腰三角形的形状，这样既美观又稳定。
还有一些道路标志、家具设计等等，也都能看到等腰三角形的身影。
咱们再深入探讨一下等腰三角形的一些拓展性质。
如果一个等腰三角形的顶角是直角，那么它就是等腰直角三角形，两个底角都是45 度。
中考数学知识考点：等腰三角形
中考数学知识考点：等腰三角形中考数学知识考点：等腰三角形◆识记巩固1.等腰三角形的性质定理及推论：____________________________.2.等腰三角形的判定定理及推论：____________________________.识记巩固参考答案:1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边(三线合一);等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60.2.如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.◆考点聚焦1.等腰三角形的判定与性质.2.等边三角形的判定与性质.3.运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题.◆备考后法1.运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论.2.要正确辨析等腰三角形的判定与性质.3.能熟练运用等腰三角形、方程(组)、函数等知识综合解决实际问题.要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
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