方程的跟与零点定理(精选)
方程的根与零点定理
解决不等式问题
利用零点定理，我们可以找到满足不等式条件的$x$ 的取值范围。
求解函数的极值
通过寻找函数零点，我们可以确定函数的极值点。
零点定理与方程根的关系
零点定理是求解方程根的一种重要工具，通过寻找函数零点，我们可以找到方程的近似解。
对未来学习的思考与展望
深入学习数学分析
我希望能够深入学习数学分析， 掌握更多的定理和证明方法，提
高自己的数学素养。
拓展应用领域
我希望能够将所学的数学知识应用 到更多的领域中，如物理学、工程 学等，为实际问题提供解决方案。
持续思考与创新
在学习过程中，我会不断思考和创 新，探索更多的数学奥秘和应用前 景。
个，因此需要全面考虑各种情况。
05 总结与思考
本章重点回顾
方程的根的概念
01
方程的根是指使方程成立的未知数的值。
零点定理的应用
02
零点定理是数学分析中的一个基本定理，它指出如果连续函数
在区间两端取值异号，则在该区间内至少存在一个零点。
方程的根与零点定理的关系
03
通过零点定理，我们可以找到方程的根所在的区间，从而逼近
03 零点定理
定义与性质
定义
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) cdot f(b) < 0$，则称$f(x)$ 在区间$(a, b)$内至少有一个零点。
性质
零点定理表明，如果函数在区间的两 端取值异号，则函数在该区间内至少 存在一个零点。
零点定理的应用
确定方程的根
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课件9： 3.1.1 方程的根与函数的零点
确定函数零点、方程根所在区间，可以利用函数零点存在性定理， 转化为区间两端点函数值是否相反．
【学以致用】
2．试判断方程 x3＝2x 在区间[1,2]内是否有实数根．
解：令 f(x)＝x3－2x，因为函数 f(x)＝x3－2x 的图象在区间[1,2]上是连 续曲线，并且 f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝8－4＝4>0，所以 f(1)·f(2)<0， 所以函数 f(x)＝x3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程 x3＝2x 在区间[1,2]内至少有一个实数根．
a≠0， (2)方程有两正根，所以 a≠0，由根与系数关系得：xx11＋·x2x>20>，0，
Δ>0，
a≠0， ∴2a(－aa＋a1>10)，>0，
a>－13，
解得 a>1. ∴方程有两正根时 a 的取值范围是(1，＋∞). (3)因方程有一正一负根，所以由根与系数关系得：x1·x2＝a－a 1<0， 又 Δ＝12a＋4>0，解得 0<a<1.
【学以致用】
3．已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x>0 时，f(x)＝lnx，那么函数
y＝f(x)的零点个数为( )
A．一定是 2
B．一定是 3
C．可能是 2 也可能是 3
D．可能是 0
解析：x>0 时，f(x)＝lnx，根据对数函数的性质知 f(x)在(0，＋∞)上有一个
零点，因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以在(－∞，0)上也有一个零点，
3.1.1 方程的根与函数的零点
考纲定位
重难突破
1.了解函数零点的概念，领会方程的根 与函数零点之间的关系． 2.掌握函数零点存在性定理． 3.结合图象，求解零点.
方程的根与函数的零点
函数 y =f (x) 有零点
3、零点存在性定理
如果函数y f ( x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有f (a) f (b) 0, 那么,函数y f ( x)在 区间(a, b)内有零点,即存在c (a, b),使得f (c) 0, 这个 c也就是方程f ( x) 0的根.
3.1.1 方程的根与函数的零点
第1课时
中外历史上的方程求解
《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数 三次方程的求根方法。
19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一 般方程没有根式解。
一、基上础述知方识程讲的解不相等的根的个数和对应的函数图象与
x 轴交点的个数0相同。 0
0
方程方程xf2(x)=20x的 3实数0根就x2是相2x应函1 数0图象x与2 x2轴x的交3 点0
y A、
B、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
C、 y
D、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
例3、已知f ( x) x2 7 x 12，求该函数的零点个数. 解：令f ( x) 0得 即 x2 7 x 12 ( x 3)( x 4) 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根：3, 4； 函数有两个零点，分别是3, 4. 法2： (7)2 4 12 1 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根；
零点不是
点，是数
5 4 O
45 x
三、基础知识讲解
函数 y = x2- 2x - 3
图象
区间 (a,b)
y
(-2 , 0)
(0 , 2)
方程的根与函数的零点(最终版)
10
8
6
函数图象
方程的根
7
x2 2x 36 0
5
f
(x)
x2
4
2x
3
3
2
1
4
-3
2
-1
1
2
1
2
8
6
3 -3
4 -4
y5
x1 3
x2 1
2x 1 0
f ( x) 5 2x 1
4
3
2
4
6
1
8
10
4
2 15
0
1
2
3
4
2 10
4
x0
函数图象与x轴 的交点坐标
(-3, 0) (1, 0)
(0, 0)
例二、已知函数 y f (x) 是R上的连续函数，观
察下表，判断函数在哪些区间内一定存在零点， 并简述理由。
x123456789
f(x) 0.2 0.4 -0.4 -0.3 1 6 8 -3 -1
例三、试判断函数 f (x) ex x 4是否有零点， 若有，有几个？
解：因为 f (1) e 3 0 且 f (2) e2 2 0 所以函数在区间(1, 2) 存在零点；
零点：对于函数 y f (x)，我们把使 f (x)=0的 实数x叫做函数 y f (x)的零点。
代数方面：零点就是方程 f (x)=0 的实根 图形方面：零点就是函数 y f (x) 的图象
与x轴交点的横坐标
判断方程 f (x) 0 是否有实根 判断函数 y f (x) 的图象与x轴是否有交点
判断函数 y f (x) 是否有零点
1
f (x) x2 x 6
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点1. 引言在数学中，方程的根和函数的零点是非常重要的概念。
它们在代数、微积分、几何等多个领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍方程的根和函数的零点的概念及其在数学中的应用。
2. 方程的根2.1 什么是方程的根？方程是通过等号连接的两个算式，其中包含一个或多个未知数。
方程的根指的是能够使方程等式成立的未知数的取值。
比如，对于一元二次方程ax2+bx+c=0来说，方程的根就是使等式成立的x的值。
2.2 方程的根的分类根据方程的次数和复数域中的性质，方程的根可以分为以下分类：•一元一次方程：ax+b=0，其中a eq0。
该方程的根为$x=-\\frac{b}{a}$。
•一元二次方程：ax2+bx+c=0，其中a eq0。
该方程的根可以通过求解二次方程的判别式来得到：–当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
–当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根。
–当b2−4ac<0时，方程有两个共轭复根。
•一元三次方程、一元四次方程以及更高次的方程，求解根的方法相对复杂。
2.3 方程根的性质方程根的性质是研究方程的重要内容之一。
以下是一些常见的方程根的性质：•一元一次方程的根：即线性方程ax+b=0的根，其中a和b为常数。
该方程的根为 $x=-\\frac{b}{a}$。
由此可见，一元一次方程的根只有一个，且是唯一的。
•一元二次方程的根：即二次方程ax2+bx+c=0的根，其中a、b和c为常数。
根据判别式b2−4ac的值，可以分为实数根和复数根。
当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
3. 函数的零点3.1 什么是函数的零点？函数是自变量和因变量之间的关系，函数的零点即函数取值为零的点。
对于实数域上的函数f(x)，其零点即满足f(x)=0的x的值。
3.2 函数的零点与方程的根的联系函数的零点与方程的根有很密切的联系。
函数与方程中的根与零点的概念与计算
函数与方程中的根与零点的概念与计算根据数学的定义，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
方程则是描述了两个表达式之间相等的关系。
在函数和方程的应用中，我们经常会遇到根与零点的概念。
本文将详细介绍根与零点的含义以及它们在函数与方程中的计算方法。
一、根与零点的概念1. 根的定义在函数中，根是指使得函数的值等于零的输入值。
简而言之，根是函数的解，它使得函数的取值为零。
2. 零点的定义在方程中，零点是指使得方程两边相等的解。
换句话说，零点是使得方程取值为零的横坐标值。
在函数与方程中，根与零点可以说是同义词，它们描述了使得函数值或方程两边等式成立的输入值。
二、根与零点的计算方法1. 函数中的根与零点计算对于函数而言，计算根或零点的方法取决于函数的形式。
下面以一次函数和二次函数为例，介绍它们的计算方法。
（1）一次函数的根与零点计算一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是已知常数。
要计算一次函数的根，令 f(x) = 0，然后解方程 ax + b = 0，可以得到 x 的值。
这个 x 就是一次函数的根或零点。
（2）二次函数的根与零点计算二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是已知常数。
要计算二次函数的根，可以使用求根公式或配方法。
- 求根公式：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，根的计算公式为 x= (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
将方程 f(x) = 0 代入公式中，可以得到二次函数的根。
- 配方法：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
然后再通过提取平方根的方式得到根。
2. 方程中的根与零点计算方程中的根与零点计算依然是解方程。
根据方程的形式，选择适当的方法进行计算。
例如，对于线性方程 ax + b = 0，可以直接通过移项和除以系数 a 得到根。
二次函数的零点与方程的根
二次函数的零点与方程的根二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式为：$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，且$a$、$b$、$c$为实数。
在数学中，我们通常会关注二次函数的零点和方程的根，它们是一起出现的重要概念。
本文将介绍二次函数的零点以及与之对应的方程的根，并探讨二者之间的关系。
一、二次函数的零点二次函数的零点指的是函数在坐标系中与$x$轴的交点，即函数的值为零的点。
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，我们可以通过求解函数等于零的方程来找到它的零点。
即：$ax^2 + bx + c = 0$例如，对于二次函数$y = 2x^2 - 3x - 5$，我们将其等于零得到$2x^2 - 3x - 5 = 0$，然后通过求解这个方程来确定函数的零点。
二、方程的根方程的根是指方程的解，即使得方程等式成立的数值。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，它对应的方程为$ax^2 + bx + c = 0$。
这个方程的根可以通过求解来得到。
求解二次方程可以使用多种方法，其中一种常用的方法是使用求根公式，也称为二次公式。
二次公式为：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$根据上述公式，可以计算出二次方程的根。
需要注意的是，方程的根可能有两个不同的解，也可能只有一个重根，甚至可能没有实根。
三、二次函数的零点与方程的根的关系二次函数的零点与方程的根是密切相关的。
事实上，对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，它的零点就是对应的二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
具体来说，如果二次函数的零点为$x_1$和$x_2$，那么对应的二次方程的根就是$x_1$和$x_2$。
反之亦然，如果二次方程的根为$x_1$和$x_2$，那么对应的二次函数的零点就是$x_1$和$x_2$。
方程的根及函数零点
方程的根与函数的零点函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二次函数的零点：二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．③ （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）．③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。
方程的根与函数的零点
即12a 2 0
a 1
小结
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点的求法
代数法
图像法
函数零点存在性原理
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
y
0a
bx
思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
y
bbb bb
b
0 a b b bb bb x
例 2：若方程2ax2 x 1 0在0,1内
恰有一解，则a的取值范围（ ）
A．a 1 B．a 1 C．1 a 1 D．0 a 1
典错：令 f (x) 2ax2 x 1在0,1内恰有一解，则 f (0) f (1) 0。
y
函数 y f (x) x1 0
方程
x
2 x f (x) 0
一元二次方程与相应二次函数图像的关系
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
方程的根与零点的关系
2．函数变号零点的性质． 对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续 不间断的，则有： ①当它通过变号零点时，函数值变号．如函 数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时， 函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值 由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值 又由负变正． ②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同 号．
3．方程的根与函数的零点的作用 一方面，函数是否有零点是研究函数性质和 精确地画出函数图象的重要一步．例如，求 出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就 能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略 地画出函数的简图． 另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x) ＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起 来，利用函数的性质找出零点或所在范围， 从而求出方程的根或根的近似值．
[例 6]
1 函数 f(x)＝x＋ 的零点个数为( x B．1 个 D．至多 1 个
)
A．0 个 C．至少 1 个
[错解] ∵f(1)＝2>0，f(－1)＝－2<0， ∴f(x)至少有一个零点，故选C. [辨析] 解决函数问题必须注意函数的定义 域，本题中，函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0， ＋∞)，∴f(x)的图象不是连续不断的．在定义 域上不能用勘根定理．因为此定理的前提条 件是函数图象连续不断． [正解] 易知函数定义域为{x∈R|x≠0}，当 x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0，∴函数无 零点，故选A.
(1) 对 于 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ mx ＋ n ， 若 f(a)>0 ， f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内 ( ) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D．至多有一 个零点 (2)若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶 函数，且在(0，＋∞)上为减函数，f(2)＝0， 则函数f(x)的零点有 ( ) A．一个 B．两个
方程的根与函数的零点 课件
如y＝图|lo所ga示x|(．0<a<1)的图象如图所示．
由图可知，两函数的图象有两个交点，
由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数 所以函数
yy＝＝22xx||llooggaaxx||－－11
有两个零点． 有两个零点．
[解] 由 f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中分别画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图象，如图所示．
已知 0<a<1，则函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
思路探究：
构造函数fx＝a|x|0<a<1 与gx＝|logax|0<a<1
→
画出fx与 gx的图象
→
观察图象得 零点的个数
B [函数 y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方 程 a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数 f(x) ＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点 的个数． 画出函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的 图象，如图所示，观察可得函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象 的交点的个数为 2，从而函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为 2.]
判断函数零点所在的区间
(1)函数 f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4)
B．(2，e)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方程的的零点根与函数
表格法是用表格的形式来表示 函数，通过输入值和对应的输 出值来展示函数的对应关系。
图象法是用图象来表示函数， 通过绘制函数的图像来直观地
展示函数的对应关系。
函数的性质
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。
奇偶性是指函数图像关于原点对称还是关于y轴对称；单调性是指函数在某个区 间内是递增还是递减；周期性是指函数图像是否具有周期性；对称性是指函数图 像是否具有对称性。
03
函数与零点、根的关系
函数零点的求法
定义法
根据函数零点的定义，如果 $f(x)=0$的解为$x=a$，则称$a$
为函数$f(x)$的零点。
图像法
通过观察函数的图像，找到与$x$ 轴交点的横坐标即为函数的零点。
迭代法
通过不断迭代函数，找到满足 $f(x)=0$的解。
函数根的求法
01
02
03
代数法
解决实际问题
在解决一些实际问题时， 可以通过寻找函数的零点 或根来找到问题的解。
数学建模
在数学建模中，函数的零 点或根可以作为模型中的 参数或变量，用于描述和 解决实际问题。
04
方程的零点、根与函数的实例 分析
一元二次方程的零点与根
01
一元二次方程的零点
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的零点是 $x_1, x_2$，其中 $x_1,
未来研究方向
深入理论研究
01
随着数学和其他学科的发展，需要进一步深入研究和探索零点、
根与函数的理论基础和应用范围。
跨学科研究
02
加强与其他学科的交叉研究，探索这些概念在不同领域的应用
方程的根与函数的零点
2、三个等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图 象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
3、函数y=f(x)的零点存在性的判定。
函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
[2,4]
f(2)<0 f(4)>0
函数在区间（2,4）内有零点 x＝3 是 x2－2x－3＝0的另一个根
函数零点的判定定理
①
y
.
a
0
.
b
x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，
②
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点， 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0， 这个c也就是方程f(x)=0的根。 注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指 定区间内存在零点。
变式：求函数f(x)=lnx+x-3的零点的个数。 解： f (1) 2, f (e) e 2 0
f (1) f (e) 0, 且f ( x)在[1，e]上连续 f ( x)在(1，e)上存在零点 即函数f ( x)存在零点, 又函数f ( x)在(0,)是增函数 函数f ( x)存在唯一的零点
a
b
这是零点存在的一种判定方法
函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条 曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0， 这个c也就是方程f(x)=0的根。
高中数学公式大全函数与方程的根与零点的计算公式
高中数学公式大全函数与方程的根与零点的计算公式高中数学公式大全：函数与方程的根与零点的计算公式一、函数的根与零点的定义在高中数学中，我们学习了函数的概念。
函数是数学中的基本概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
函数的根与零点指的是函数取零的数值。
具体来说，当函数的取值为0时，我们称对应的自变量为函数的根或零点。
函数的根或零点在数学中具有重要意义，它们可以用于解方程、求函数的性质、构造函数图像等。
下面将介绍一些常用的函数与方程的根与零点的计算公式。
二、一次函数的根与零点的计算一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
一次函数的根与零点可以通过求解方程ax+b=0来得到。
根据一次方程ax+b=0的解法，我们可以得到一次函数的根与零点的计算公式如下：根/零点 = -b/a三、二次函数的根与零点的计算二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的根与零点可以通过求解方程ax²+bx+c=0来得到。
根据二次方程ax²+bx+c=0的解法，我们可以得到二次函数的根与零点的计算公式如下：根/零点 = (-b ±√(b²-4ac))/(2a)其中，±表示取正负两个值。
四、三次及以上次数函数的根与零点的计算对于三次及以上次数的函数，由于其通式比较复杂，我们通常使用计算工具或数值近似方法来求解根与零点。
常见的数值近似方法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。
这些方法可以较为准确地计算函数的零点，但需要借助计算机软件或计算器来实现。
五、其他常见函数的根与零点的计算除了一次函数和二次函数之外，我们还常见到其他类型的函数，如指数函数、对数函数、三角函数等。
不同类型的函数具有不同的计算根与零点的方法。
对于指数函数y=a^x和对数函数y=logₐx，我们可以通过观察底数a 的取值范围和指数x的取值范围来判断函数的根与零点。
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．比如，由于方程f (x )＝lg x ＝0的解是x ＝1，所以函数f (x )＝lg x 的零点是1．注意 函数的零点不是点 我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y ＝f (x )与x 轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f (x )＝x ＋1，当f (x )＝x ＋1＝0时仅有一个实根x ＝－1，因此函数f (x )＝x ＋1有一个零点－1，由此可见函数f (x )＝x ＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f (x )＝x 2－1的零点是( ) A ．(±1,0) B ．(1,0) C ．0 D ．±1解析：解方程f (x )＝x 2－1＝0，得x ＝±1，因此函数f (x )＝x 2－1的零点是±1．答案：D2【例2】若abc A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2解析：∵b 2＝ac ，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4b 2＝－3b 2．又∵abc ≠0，∴b ≠0．因此Δ＜0．故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f (x )＝0有实根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数f (x )有零点．【例3－1】若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，求a ，b 的值．解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点就是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，故方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a ，b 的值．解：由题意，得方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4),2(4),a b +-=-⎧⎨⨯-=⎩即(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联系密切，下面以a ＞0为例列表说明．因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D 点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程F (x )＝0即方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F (x )的零点问题转化为函数f (x )与g (x )图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x 2＋7x ＋6；(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)；(3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝24122x x x +--．解析：分别解方程f (x )＝0得函数的零点．解：(1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6． (2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26．故函数的零点是log 26． (4)解方程f (x )＝24122x x x +--＝0，得x ＝－6．故函数的零点为－6．辨误区 忽略验根出现错误 本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f (x )＝ln x －11x -的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：在同一坐标系中画出函数y ＝ln x 与11y x =-的图象如图所示，因为函数y ＝ln x 与11y x =-的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －11x -的零点个数为2．答案：C ,5．判断零点所在的区间零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点（至少一个），即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1) 当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在区间[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 解：【例5－2】函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )（提示先做图） A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0．∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布（正负分布）所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2 ①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔c a ＜0． ④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0． (2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程的根的k 分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意． (2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]． 点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时，(1)方程有一根；(2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根． (2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩ 解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．知识应用考点一 函数零点的求法1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）A、1-+、1- C、1-、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、33. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)4. 求证方程231x xx -=+在(0,1)内必有一个实数根.5．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( )A ．0B ．1C ．2D ．36 已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．7. 若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是___________8.函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．A.0个B.1个C.2个D.3个考点二 零点存在性定理1.xA.(－1,0) B ．(0,1)2．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)3. 设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4. 若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．考点三 一元二次方程根的分布1.已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，(1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.2. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.3. 已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．4. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.。
《方程的根与函数的零点》 知识清单
《方程的根与函数的零点》知识清单一、方程的根方程是指含有未知数的等式，而方程的根就是使方程成立的未知数的值。
比如，对于方程 x ＋ 2 ＝ 5 ，当 x ＝ 3 时，等式成立，所以 x ＝ 3 就是这个方程的根。
再比如，二次方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0 ，通过求解可以得到 x ＝ 2 或 x ＝ 3 ，这两个值就是该方程的根。
方程的根可能是一个、多个，甚至在某些情况下可能没有实数根。
二、函数的概念函数可以理解为一种对应关系。
假设有两个非空数集 A 和 B ，对于集合 A 中的任意一个数 x ，按照某种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，那么就称 f 是从集合 A 到集合 B 的一个函数。
比如，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 ，对于任意给定的 x 值，都能通过这个式子计算出唯一的 y 值。
函数通常用 y ＝ f(x) 来表示，其中 x 称为自变量， y 称为因变量。
三、函数的零点函数的零点就是函数图象与 x 轴交点的横坐标。
也就是说，使得函数 y ＝ f(x) 的值为 0 的 x 的值，就是函数的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1 ，当 f(x) ＝ 0 时， x ＝ 1 ，所以 x ＝ 1就是函数 f(x) 的零点。
函数的零点不是一个点，而是一个数值。
四、方程的根与函数的零点的关系方程 f(x) ＝ 0 的根就是函数 y ＝ f(x) 的零点。
如果函数 y ＝ f(x) 的图象是连续不断的，并且在区间（a, b) 内有f(a)·f(b) ＜ 0 ，那么在区间（a, b) 内至少存在一个零点，即存在 c ∈（a, b) ，使得 f(c) ＝ 0 。
这就是零点存在定理。
例如，函数 f(x) ＝ x² 2x 3 ，令 f(x) ＝ 0 ，即 x² 2x 3 ＝ 0 ，解得x ＝－1 或 x ＝ 3 。
这两个值就是方程的根，同时也是函数的零点。
《方程的根与函数的零点》 知识清单
《方程的根与函数的零点》知识清单一、方程的根方程是数学中一个非常重要的概念，简单来说，方程就是含有未知数的等式。
而方程的根，就是使方程成立的未知数的值。
例如，对于方程 2x 5 ＝ 0 ，通过移项可以得到 2x ＝ 5 ，进而解得x ＝ 25 ，这里的 25 就是这个方程的根。
方程的根可能有一个、多个，甚至可能没有根。
比如方程 x²＋ 1 ＝0 ，在实数范围内就没有根。
二、函数函数是数学中的另一个核心概念。
可以理解为一种对应关系，给定一个自变量的值，通过函数的规则就能确定唯一的因变量的值。
例如，函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1 ，当 x ＝ 1 时，f(1) ＝ 2×1 ＋ 1 ＝ 3 。
函数通常用图像来表示，图像能够直观地展现函数的性质。
三、函数的零点函数的零点，就是使得函数值为 0 的自变量的值。
比如对于函数 f(x) ＝ x 1 ，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0 ，解得 x ＝1 ，那么 1 就是函数 f(x) 的零点。
函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标。
四、方程的根与函数的零点的关系方程的根和函数的零点有着密切的联系。
如果函数 y ＝ f(x) ，令 f(x) ＝ 0 所得到的方程 f(x) ＝ 0 的实数根 x ，就是函数 y ＝ f(x) 的零点。
反过来，函数 y ＝ f(x) 的零点就是方程 f(x) ＝ 0 的实数根。
例如，对于方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，因式分解得到（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。
而对于函数 f(x) ＝ x² 2x 3 ，其零点就是 3 和－1 。
五、函数零点存在性定理如果函数 y ＝ f(x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b) ＜ 0 ，那么函数 y ＝ f(x) 在区间（a, b) 内有零点。
也就是说，如果函数在一个区间的两端点处函数值的乘积小于 0 ，那么在这个区间内一定存在函数的零点。
高一数学必修一中的函数零点与方程根的关系
高一数学必修一中的函数零点与方程根的关系在我们高一数学必修一的学习中，函数零点与方程根的关系是一个非常重要的知识点。
它不仅是数学理论的重要组成部分，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探讨一下这个有趣且实用的内容。
首先，我们要明确什么是函数的零点。
函数的零点，就是使得函数值等于零的自变量的值。
简单来说，如果函数\（f(x)＼）在\（x=a\）处的函数值\（f(a)＝0\），那么\（x=a\）就被称为函数\（f(x)＼）的零点。
而方程的根呢？对于方程\（f(x)＝0\），其实根就是能使这个方程成立的未知数的值。
那么函数零点和方程根之间到底有什么关系呢？其实，它们的关系非常紧密。
从直观上来看，如果函数\（y=f(x)＼）存在零点，那么这个零点对应的横坐标\（x\）就是方程\（f(x)＝0\）的根；反过来，如果方程\（f(x)＝0\）有根，那么这个根就是函数\（y=f(x)＼）的零点。
为了更深入地理解这种关系，我们来看一个具体的例子。
假设函数\（f(x)＝x^2 2x 3\），令\（f(x)＝0\），即\（x^2 2x 3 ＝ 0\），通过因式分解得到\（（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0\），解得\（x ＝ 3\）或\（x ＝－1\）。
这两个值就是方程\（x^2 2x 3 ＝ 0\）的根，同时也是函数\（f(x)＝x^2 2x 3\）的零点。
我们再从图像的角度来理解。
函数\（y=f(x)＼）的图像与\（x\）轴的交点的横坐标就是函数的零点。
如果函数的图像与\（x\）轴有交点，那么对应的方程就有根；如果函数的图像与\（x\）轴没有交点，那么对应的方程就没有实数根。
比如说，对于函数\（f(x)＝x^2 ＋ 1\），由于\（x^2\geqslant 0\），所以\（x^2 ＋ 1\geqslant 1\），函数值永远大于零，其图像在\（x\）轴上方，与\（x\）轴没有交点，所以方程\（x^2 ＋1 ＝0\）没有实数根。
方程的根与零点定理
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