6等差数列的概念和通项公式导学案
等差数列的概念及通项公式教案
等差数列的概念及通项公式一、教学目标： _ _ __ _ _ _ _二、教学重点： _ _ _三、教学难点： _ _ _四、教学设计：1、等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．符号表示：2、等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a1＋(n－1)d.3、等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n}中，已知a1，d，a m，a n(m≠n)，则d＝a n－a1n－1＝a n－a mn－m，从而有a n＝a m＋(n－m)d.4、等差数列与一次函数等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d=d n+( a1-d)，（1）当d＝0时，a n是关于n的常函数；（2）当d≠0时，a n是关于n的一次函数，一次项系数为d；类型一等差数列的判定与证明例1、判断下列函数是否为等差数列：(1) 1，1，2, 3, 4, 5 (2) 1, 2, 4, 7, 11；(3) 4, 7, 10, 13, 16； (4) 7, 4, 1，-2，-5；(5) 1, 1, 1, 1, 1；跟踪训练1：判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n }中，a n ＝3n ＋2；(2)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋n .类型二 等差数列的通项公式例2 等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，项数为n（1） 已知a 1＝3，d ＝2，n=6，,求a n ；（2）已知a 1＝1，d ＝2，a n ＝15，求n ；（3）已知a 1＝54，n=6，a n ＝15，求d ；（4）已知d=-2,n=12, a n ＝-8,求a 1例3 在等差数列{a n }中（1）已知37131,75,a a a d==求和（2）已知391210,,28,a a a ==求跟踪训练：（1）已知164912,7,a a a a +==求（2）已知3696,3,a a a ==求五、课堂小结： _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ 六、教学反思： _ _ _ _ _ _ _。
等差数列的定义与通项公式教案
等差数列的定义与通项公式教案第一章：等差数列的概念引入1.1 等差数列的定义1.1.1 引导学生回顾自然数的排列，引入等差数列的概念。
1.1.2 通过具体例子，让学生理解等差数列的含义。
1.1.3 引导学生总结等差数列的特点。
1.2 等差数列的表示方法1.2.1 介绍等差数列的表示方法，引导学生理解首项、末项、公差等概念。
1.2.2 通过示例，让学生学会用符号表示等差数列。
1.2.3 让学生尝试自己表示一些等差数列，并判断其是否正确。
第二章：等差数列的性质2.1 等差数列的通项公式2.1.1 引导学生探究等差数列的通项公式。
2.1.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的通项公式。
2.1.3 让学生运用通项公式计算等差数列的特定项。
2.2 等差数列的求和公式2.2.1 引导学生探究等差数列的求和公式。
2.2.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的求和公式。
2.2.3 让学生运用求和公式计算等差数列的前n项和。
第三章：等差数列的通项公式的应用3.1 求等差数列的特定项3.1.1 让学生运用通项公式求解等差数列的特定项。
3.1.2 提供一些练习题，让学生巩固求特定项的方法。
3.2 求等差数列的前n项和3.2.1 让学生运用求和公式求解等差数列的前n项和。
3.2.2 提供一些练习题，让学生巩固求前n项和的方法。
第四章：等差数列的综合应用4.1 等差数列与函数的关系4.1.1 引导学生理解等差数列与函数的关系。
4.1.2 提供一些示例，让学生学会如何将等差数列问题转化为函数问题。
4.2 等差数列在实际问题中的应用4.2.1 提供一些实际问题，让学生运用等差数列的知识解决问题。
4.2.2 引导学生思考等差数列在其他领域的应用，如数学建模、数据处理等。
第五章：总结与拓展5.1 等差数列的定义与通项公式的总结5.1.1 与学生一起总结等差数列的定义与通项公式的关键点。
5.1.2 鼓励学生提出疑问，解答学生的疑惑。
等差数列教学设计
等差数列教学设计等差数列教学设计（精选5篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常要开展教学设计的准备工作，借助教学设计可以让教学工作更加有效地进行。
一份好的教学设计是什么样子的呢？以下是店铺帮大家整理的等差数列教学设计（精选5篇），欢迎大家分享。
等差数列教学设计1教学目标：1.知识与技能目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握并会用等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
2.过程与方法目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力;在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。
3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知的精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
教学重点：等差数列的概念及通项公式。
教学难点：(1)理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
(2)等差数列的通项公式的推导过程及应用。
教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.回忆上一节课学习数列的定义，请举出一个具体的例子。
表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。
我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。
2.由生活中具体的数列实例引入(1).国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗?(2)某剧场前10排的座位数分别是：48、46、44、42、40、38、36、34、32、30引导学生观察：数列①、②有何规律?引导学生发现这些数字相邻两个数字的差总是一个常数，数列①先左到右相差0.2，数列②从左到右相差-2。
二.新课探究，推导公式1.等差数列的概念如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
强调以下几点：① “从第二项起”满足条件;②公差d一定是由后项减前项所得;③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” );所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为0.20，-2。
等差数列的概念及通项公式-PPT
解：取数列中的任意相邻两项an1与an , n N . an pn q, an1 p(n 1) q, n N .
an1 an p(n 1) q pn q p,n N . 它是一个与n无关的常数。所以{an }是等差数列。
8
7 6
a 4, n N . n
5
y பைடு நூலகம்4, x R.
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的图象为相应直线上的点。
1.等差数列的通项公式是什么类型的函数？其图像什么样？
从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d≠0 时) 或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点
22 1，23， 2
23 1，24， 2
24 1，25， 2
25 1，26 2
观察：以上数列有什么共同特点？
对于每个数列而言,从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
一、等差数列的概念
一般地说，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d n∈N*
通 项 公
∵{an}是等差数列，则有
a2 a1 d
累加法
式
a3 a2 d
的 证
a4 a3 d
当n=1时,上式两边 都等于a1
明
…
an an1 d
等差数列的概念导学案
课题：6.2.1 等差数列的概念【学习目标】1、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念.2、逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.学习重点：等差数列的概念及其通项公式.学习难点：等差数列通项公式的推导和灵活运用.【预习案】【使用说明和学法指导】1.认真阅读教材P9-12，对照学习目标，有困难或疑问请用红笔标注，并完成预习案；2.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.一、相关知识：数列的通项公式：二、教材助读：1、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的差等于________,那么这个数列就叫做等差数列，这个________叫做等差数列的公差，公差通常用字母_____表示.2、公差为0的数列叫做 .3、等差数列的通项公式： .4、若三个数b A a ，，组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ，即=A 2 或=A .三、预习自测：1、判断下列数列是否为等差数列：（1）4，7，10，13，16 （2）-3，-2，-1，1，2（3）0， 0， 0 ，0，…，0 （4）a-d ，a ，a+d2、求下列各组数的等差中项：（1）732与-136； （2）249 与42.3、求等差数列10，8 ，6，…的第二十项；4、100是不是等差数列2, 9, 16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.5、在等差数列{}n a 中，d a a ，求公差，271261==.【我的疑惑】一、质疑探究探究点一：等差数列的概念，怎样判断数列是否为等差数列.例1．（等差数列概念）给出下列命题：①1，2，3，4，5是等差数列；②1，1，2，3，4，5是等差数列； ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ④数列3,2,1,---a a a a 是公差为1-a 的等差数列； ⑤数列{}12+n 是等差数列； ⑥若c b b a -=-，则c b a ,,成等差数列；⑦若()*1N n n a a n n ∈=--，则数列{}n a 成等差数列； ⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列； ⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。
等差数列的概念与通项公式
∴an＝数列吗？ (1)3,2,1，－1； (2)0,0,1,2,3； (3)1,2,5,8,11,14……解法一：设{an}的首项为 a1，公差为 d，
则 a8＝a5＋3d，即 5＝11＋3d，∴d＝－2. ∵a5＝a1＋(5－1)d，∴11＝a1＋4×(－2)， ∴a1＝19. ∴an＝19＋(n－1)(－2)． 即 an＝成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差 a＋b 中项．即 A＝ 2 . 容易看出，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷 等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项．
a1＋(n－1)d 3．等差数列的通项公式：an＝_∵a，b，c 成等差数列，
∴可设 a＝b－d，c＝b＋d， 1 1 1 假设 ， ， 成等差数列， a b c 2 1 1 2 1 1 则b＝a＋c，即b＝ ＋ ， b－d b＋d 2 2b ∴b＝ 2 2，∴d＝0，这与 a>b>c>0 矛盾， b －d 1 1 1 ∴a，b，c不能组成等差数列．
第二章
第 1 课时法警示探究 课堂巩固训练
思路方法技巧 ，掌握等差数列的通项公式．会 用公式解决一些简单问题，体会等差数列与一次函数之间的关 系． 2．体会归纳法思想．
义验证 an＋1－an＝(1)设 a>b>c>0，且 a，b，c 成等差数列，求证： ， ， 不 a b c 能组成等差数列． (2)已知{an}、{bn}是项数相同的两个等差数列，那么 {pan ＋qbn}(其中 p，q 是常数)是不是等差数列？
已知数列的通项公式为 an＝6n－1，问这个数列
是等差数列吗？若是等差数列＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，
∴{an}是等差数列，其首项 a1＝6×1－1＝5，公差为 6. [点评] 判断一个数列{an}是否为等差数列，只要依据定
等差数列的概念与通项公式学案
2.2.1等差数列的概念与通项公式预习案（限时20分钟）学习目标：1.通过实例，理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．2．掌握等差数列的通项公式及变形公式.学习重点：理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．学习难点：等差数列通项公式的应用.预习指导：请根据任务提纲认真预习课本❖ 任务一：什么是等差数列？如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母________表示．❖ 任务二：什么是等差中项？如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么________叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是_____________． ❖ 任务三：等差数列的通项公式以1a 为首项，d 为公差的等差数列{}n a 的通项公式为n a ＝_____________.特别注意：(1)公式中有四个量，即n a ，1a ，n ，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量．(2)等差数列的通项公式可推广为()n m a a n m d =+-(n ≥m ，m ，n ∈N*)．由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项．预习检测1．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是它的( )A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第15项2．若数列{}n a 的通项公式为n a ＝－n ＋5，则此数列是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．454．(2016年辽宁大连双基测试)在等差数列{}n a 中，1548,7a a a +==，则5a ＝________.5. 判断下列数列是否为等差数列：(1)在数列{}n a 中32n a n =+；(2)在数列{}n a 中2n a n n =+.预习探究已知数列{}n a 通项公式31n a n =+，函数()()31f x x x R =+∈，请你从“数”与“形”两个方面探究数列通项 公式n a 与函数()f x 的区别与联系。
4.2 等差数列导学案
4.2等差数列第一课时等差数列的概念与简单表示法[学习目标] 1.理解等差数列的概念．(难点) 2.掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点) 3.掌握等差数列的判定方法．(重点)一、等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．二、等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．它们之间的关系式是.三、等差数列的通项公式以a1为首项，以d为公差的等差数列{a n}的通项公式.1．判断：(由期中期末考试题摘编)(1)当公差d＝0时，数列不是等差数列．( )(2)若数列的每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列是等差数列．( )(3)等差数列的定义用符号语言表示，即a n＝a n－1＋d.( )(4)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．( )2．已知等差数列{a n}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝()A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－63．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为()A．1B．6 C．－6D．－34．已知数列{a n}，a n＝2－3n，则数列的公差d＝________.预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A．是公差为2的递增等差数列B．是公差为5的递增等差数列C．是首项为7的递减等差数列D．是公差为2的递减等差数列(2)判断下列数列是否是等差数列，并给出证明．①a n＝4－2n；②a n＝n2＋n.1．给出了数列的通项公式，要判断是否为等差数列可以用定义法，也可以直接看通项公式是否为a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)的形式，若符合此形式则为等差数列，否则不是．2．定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列为等差数列，可用a n＋1－a n＝d(常数)或它的等价命题，但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出反例.(1)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公式差d ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．1．在等差数列中，若已知a m ＝a ，a n ＝b ，一般列出关于a 1，d 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝a ，a 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1，d ，从而确定该数列的通项公式．2．通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中有四个量a 1，d ，n ，a n ，求解过程中反映了“知三求一”的方程思想．在(1)中将条件改为“a 1＝2，a 5＝10，a n ＝32”，求n 的值．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【思路探究】 根据已知条件可设出这三个数，结合等差中项，建立方程组求解．等差中项的应用策略1．求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y2.2．证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列．1．若x 是a ，b 的等差中项，x 2是a 2，－b 2的等差中项，则a 与b 的关系为( ) A ．a ＝b ＝0 B ．a ＝－bC ．a ＝3bD ．a ＝－b 或a ＝3b2．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________．忽视数列中的隐含条件致误已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325D.875<d ≤325【易错分析】 失分点一：只考虑a 10>1而未考虑a 9的范围忽视隐含条件致误． 失分点二：考虑a 9的范围不全面，错认为a 9<1考虑不全致误．【防范措施】 认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件，并把隐含条件准确地表达出来，如本例中“从第10项开始比1大”隐含条件的挖掘与表达．——[类题尝试]—————————————————首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围为( ) A ．d >83 B ．d <3 C.83≤d <3D.83<d ≤3第二课时 等差数列的性质[学习目标] 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点) 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)一、子数列的性质从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． 二、等差数列通项公式的推广 等差数列通项公式的变形公式： a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m. 三、“下标和”性质(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝2t ，则a m ＋a n ＝2a t .(3)数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝….1．判断：(由期中期末考试题摘编) (1)在等差数列{a n }中，a 10＝a 3＋7d ( )(2)若数列{a n }为等差数列，则数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…也成等差数列．( ) (3)等差数列{a n }去掉前n 项后余下的项仍组成等差数列．( ) (4)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.( ) 2．若一个等差数列{a n }中，a 2＝3，a 7＝6，则其公差为( ) A.35 B.53 C ．－35 D ．－533．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2＝( ) A ．3 B ．－3 C.32D ．－324．在等差数列{a n }中，公差d ＝2，a 1＋a 3＋a 5＝30，则a 2＋a 4＋a 6＝________.预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)若数列{a n }的公差为2，则数列{3a n －2}的公差为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( ) A ．－9 B ．－8 C ．－7D ．－4(3)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么由a n ＋b n 所组成的数列的第37项的值为( )A ．0B ．37C ．100D ．－371．关于等差数列中“子数列”性质的应用问题．若已知a m ，a n ，求a p 中，①可以直接利用等差数列的通项公式列方程组，求出首项a 1和公差d 后再求a p ；②也可以利用等差数列通项公式的推广公式求解．即d ＝a n －a mn －m ＝a p －a mp －m直接求解；③若m ，n ，p 有一定规律，可以构造新的等差数列求解．2．等差数列的公差本质上是相应直线的斜率．所以类比直线的斜率公式可得出d＝a n－a m n－m.在公差为d的等差数列{a n}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.【思路探究】解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．1．利用等差数列性质解题是处理等差数列问题的技巧方法，利用好性质可以使计算过程大大简化．2．在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算；二是利用性质运算，运用等差数列的性质，往往会有事半功倍的效果．3．若{a n}是公差为d的等差数列，其具有其他性质如下：(1){c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；(2){ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；(3){a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)a m＋n－a n＝a m＋k－a k＝md(m，n，k∈N*)．(5)下标成等差数列，则数列a m，a m＋k，a m＋2k，a m＋3k…成等差数列，公差为kd(m，k∈N*)．(6)若{b n}为等差数列，则{a n±b n}，{ka n＋b n}(k，b为非零常数)也为等差数列．(7){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列．(8)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列．(9)若{k n}是等差数列，则{akn}也是等差数列．在(2)中已知条件不变，添加条件“a4>a2”求a5的值．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．【思路探究】(1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？(2)等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式．利用等差数列的性质简化运算过程等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.2.3等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和[学习目标] 1.了解等差数列前n项公式的推导过程．(难点) 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点)等差数列的前n项和公式(1)一般地，称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.(2)1．判断：(由期中期末考试题摘编)(1)a n＝S n－S n－1成立的条件是n∈N*.( )(2)在等差数列中涉及到a1，d，n，a n，S n五个量，利用方程思想可以“知三求二”．( )(3)在等差数列{a n}中，若a1＝3，d＝2，则S10＝120.( )(4)在等差数列{a n}中，若a1＝2，a9＝10，则S9＝45.( )2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．633．在等差数列{a n}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是()A．12 B．24 C．36 D．484．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于________．预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a 12； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ； (3)S 5＝24，求a 2＋a 4.等差数列中1．已知首项、末项与项数求前n 项和时一般用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，由于a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…，故解决本类问题常用到等差数列的“下标和”性质．2．等差数列前n 项和公式的运算方法与技巧已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n －2.1．已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1(如本题(1))； 如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2(如本题(2))． 2．由S n 求a n 的方法不是等差数列所特有的，它适合于任何数列．若将(2)中的条件改为“S n ＝14(a n ＋1)2”求{a n }的通项公式．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？【思路探究】 因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式a n，或是求前n项和S n，还是求项数n.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为__________________米．裂项法求数列的和已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n.(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.1．若数列{a n}是等差数列，公差为d，则和式T n＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1a n－1a n可用裂项法求和2．常用到的裂项公式有如下形式：(1)1n(n＋k)＝1k⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋k；(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)．——[类题尝试]—————————————————等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1na n，求数列{b n}的前n项和S n.第二课时等差数列前n项和的综合应用[学习目标] 1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 2.会求等差数列前n项和的最值．(重点、易错点) 3.能用裂项相消法求和．(难点)一、等差数列前n项和的性质等差数列{a n}中，其前n项和为S n，则{a n}中连续的n项和构成的数列S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．二、等差数列前n项和S n的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最小值．(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最大值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{S n}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{S n}的最大值．1．判断：(由期中期末考试题摘编)(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．( )(2)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．( ) (4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( ) 2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 3．等差数列{a n }中，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，前15项的和S 15＝90，则a 8等于( )A ．6 B.454 C ．12 D.252(2)在等差数列{a n }中，S 3＝30，S 6＝100，则S 9＝____. (3)设S n 为等差数列的前n 项和，若S m ＝40，S 3m ＝345，求S 2m .巧妙应用等差数列的前n 项和S n 的性质 1．项数(下标)的“等和”性质：S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a m ＋a n －m ＋1)2. 2．等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． 3．等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. 4．“片断和”性质：等差数列{a n }中，公差为d ，前k 项的和为S k ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，S mk －S (m －1)k ，…构成公差为k 2d 的等差数列.等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，请问数列前多少项和最大？【思路探究】 解答本题可用多种方法，根据S 17＝S 9找出a 1与d 的关系，转化为S n 的二次函数求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点，再求解．1．等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：(1)若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． (2)若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． 2．求等差数列前n 项和S n 最值的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)运用二次函数图象的对称性求最值．若把条件变为：“a 1<0，S 9＝S 12”，该数列前多少项和最小？已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .【思路探究】 由S n ＝－32n 2＋2052n ，知S n 是n 的缺常数项的二次式，所以数列{a n }为等差数列，可求出通项a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .1．对绝对值数列{|a n |}出题时常常针对其前n 项和，一般有两个方面：一是已知a n ；二是已知数列{a n }的前n 项和S n .2．对于这类数列的求和问题，一是要弄清{a n }中哪些项为正，哪些项为负；二是要将绝对值和的问题转化为等差数列的求和问题．特别注意用分段函数的形式表示结果．在等差数列中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)该数列第几项开始为负； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．不能正确应用等差数列的前n 项和公式致误(12分)有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －1n ＋7，求a 7b 7.【易错分析】 失分点一：不能正确应用等差中项的结论转化出2a 7＝a 1＋a 13致误． 失分点二：没有注意到等差数列的前n 项和是关于n 的二次式而出现错误． 【防范措施】 等差数列前n 项和S n 的代数形式．等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数．对于此类问题有如下结论：a m b m＝S 2m －1T 2m －1(m ∈N *)．如本例中即应用了项与前n 项和的关系的应用．。
等差数列的概念及通项公式教学设计方案
教学重点和难点：
重点：①等差数列的概念； ②等差数列的通项公式。
难点：①等差数列通项公式的推导；
②用数学思想解决实际问题
三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方法的掌握情况，如何设计预习）
小组讨论．
学生同桌之间合作探究．
学生分析解题思路．
教师出示答案，订正
（设计意图：通过练习，加深对概念的理解）
课后作业 运用巩固
必做题：课本P40习题2.2 A组第1题
选做题：习题2.2 B组第2题
设想意图：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的需求
六、教学板书（本节课的教学学板书）
2.2等差数列
二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，并具体化为本节课的具体要求，明晰（学生懂）、具体、可操作、可以依据练习测试题）重点及难点（说明本课题的重难点）
知识与技能：理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式及应用；了解等差数列通项公式的推导过程。
过程与方法：在学习过程中，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程的设计的各流程，设计教与学的方式的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）
教师活动
预设学生活动
设计意图
创设情境 引入课题多媒体展示
由高斯的求解“1+……+100”，探索1、2、……、100这些数
高斯计算的数列：
1，2，3，4，…，100
小组讨论
（教学设想：,创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力。使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的。学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化。）
等差数列的定义与通项公式(张好科)
（七）板书设计
等差数列
1、定义
an+1-an=d (d是常数，n∈N+)
2、通项公式
an=a1+(n-1)d
例 1 、2、3
题组练习1、2、3、4
域领用应
设计意图：展现过程，突出重点。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
本节课抓住等差数列与实际问题的相关联系,把上课 的着眼点放在如何引导学生探究知识，获得知识上，以 学生的自主探索，合作交流为主线，让学生经历数学知 识的形成、应用过程，加深对所学知识的理解，让“抬 头教学”落到了实处。本节课是一个用眼观察，动脑思 考，寻找规律，动手推导，公式应用，共同提高的动态 生成过程。教师是知识学习的策划者，组织者，学生是 学习的主人，由于学生的层次不一，老师要全程关注学 生的学习动态，进行分层施教，教师在观察学生自主探 究、合作交流中的表现时，给予指导，肯定和鼓励，通 过课堂设问和练习及时反馈学生学习情况，及时进行补 偿性教学。学生在小组活动中实现自我评价和他人评价。 对于生成过程中可能出现的突发事件，做到因势利导， 随机应变，适时调节教学环节，激活课堂气氛，提高课 堂效益，让课堂教学达到最佳状态。
三种方法：迭加法 迭代法 不完全归纳法
设计意图：小结在教师的引导下由学生完成，教师鼓励学 生积极回答,以此培养学生的口头表达能力和归纳概括能力。 从知识，思想，方法层面进行小结。让学生在明确本节课 重难点的同时，强化本节课所学内容。
课后作业：（1）课本练习题A组第1、2题
（2）选做题B组3、4
（3）寻找生活中等差数列的实例 .
公差 d=0
设计意图：
主要是让学生通过例子直观感受等差数列的定义，检测 学生对等差数列概念的理解
数学学案(新教材人教A版)第六章62等差数列
等差数列 考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为 ．(2)等差中项由三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A ＝ .2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ .(2)前n 项和公式：S n ＝ 或S n ＝ .3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则 .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列． 常用结论1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．这里公差d ＝2A .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(3)在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋q.()(4)若无穷等差数列{a n}的公差d>0，则其前n项和S n不存在最大值．()教材改编题1．在等差数列{a n}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于()A．－2 B．－1 C．1 D．22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于() A．12 B．8 C．20 D．163．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝10，S4＝28，则S n的最大值为________．题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a n}中，a25＝a3a6，若该数列的前n项和S n ＝0，则n等于()A．10 B．11 C．12 D．13(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3 699块B．3 474块C．3 402块D．3 339块听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，a n，S n，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)( )A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是等差数列，且a 1＝1，a 3＝－13，那么a 2 024＝________. 题型二 等差数列的判定与证明例2 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 判断数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n 项和公式法．跟踪训练2 已知数列{a n }的各项都是正数，n ∈N *.(1)若{a n }是等差数列，公差为d ，且b n 是a n 和a n ＋1的等比中项，设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)若a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 题型三 等差数列的性质命题点1 等差数列项的性质例3 (1)已知在等差数列{a n }中，若a 8＝8且log 2(1211222a a a⋅⋅⋅…)＝22，则S 13等于( )A ．40B ．65C ．80D ．40＋log 25(2)已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝2，b 1＝－3，a 7－b 7＝17，则a 2 024－b 2 024的值为________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2相结合． 跟踪训练3 (1)若等差数列{a n }的前15项和S 15＝30，则2a 5－a 6－a 10＋a 14等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{a n }满足a 8a 5＝－2，则下列结论一定成立的是( ) A.a 9a 4＝－1 B.a 8a 3＝－1 C.a 9a 3＝－1 D.a 10a 4＝－1 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为( ) A.2945 B.1329 C.919 D.1930(2)已知等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n ＋1的值为( )A ．30B ．29C ．28D ．27听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 等差数列前n 项和的常用的性质是：在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，且有S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 5＝30，a m ＝40，则m 等于( )A ．6B ．10C ．20D ．40(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( ) A ．2 023B ．－2 023C ．4 046D ．－4 046。
等差数列的定义与通项公式教案
等差数列的定义与通项公式教案一、教学目标：1. 了解等差数列的定义，掌握等差数列的性质。
2. 掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的求和公式5. 应用举例三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的定义、性质、通项公式及应用。
2. 教学难点：等差数列通项公式的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解等差数列的定义、性质、通项公式及应用。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解和掌握等差数列的性质和通项公式。
3. 运用练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
五、教学过程：1. 引入：通过列举一些实际问题，引导学生思考等差数列的定义和性质。
2. 等差数列的定义：讲解等差数列的定义，引导学生理解等差数列的特点。
3. 等差数列的性质：讲解等差数列的性质，如相邻两项的差是常数等。
4. 等差数列的通项公式：推导等差数列的通项公式，并解释其含义。
5. 等差数列的求和公式：讲解等差数列的求和公式，并给出应用实例。
6. 练习题：布置一些有关等差数列的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调等差数列的定义、性质和通项公式的重点。
8. 作业：布置一些有关等差数列的应用题，让学生进一步理解和掌握所学知识。
六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了等差数列的定义、性质和通项公式。
针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课做好准备。
七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对等差数列的定义、性质和通项公式的掌握程度。
对学生的学习情况进行全面评价，鼓励优秀学生，帮助后进生。
八、课时安排：2课时九、教学资源：教材、教案、PPT、练习题等。
十、教学拓展：1. 等差数列在实际应用中的例子：如人口增长、工资增长等。
等差数列概念说课稿
课题§6.等差数列的概念说课稿之樊仲川亿创作尊敬的各位领导各位老师大家上午好！今天我说课内容是选自人教版数学（基础模块）下册第六章第二节《等差数列的概念》，本节是第一课时。
下面我将从说教材、说学生、说教法与学法、说教学过程设计等方面来对本节课进行说明。
一、教材分析等差数列是数列这一章的重要内容之一，它在实际生活中有广泛的应用。
本节内容是学生在学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入学习和拓展。
同时等差数列的学习也为今后继续学习等比数列提供了学习对比的依据。
所以，本节课在知识结构上起着承上启下的作用。
2、教学目标根据教学大纲与学生的实际情况我制定如下教学目标：【知识目标】a.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。
b. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题。
【能力目标】通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力；提高学生分析问题解决问题的能力。
【情感目标】a．让学生体验从特殊到一般的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
b. 让学生养成细心观察、认真分析问题的良好的思维习惯。
【教学重点】等差数列的概念和通项公式。
【教学难点】等差数列的通项公式推导过程及灵活应用。
二、学情分析中职学生数学基础比较单薄，但作为高中生他们自己具备一定的观察，思考，分析能力。
前面已对数列的知识有了初步的接触与认识，对数学公式运用已具备一定的技能，针对学生的这些情况我在教学中从学生的生活经验和已有的知识布景出发，充分调动学生的积极性，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。
三、教法与学法【教法分析】本节课我采取启发式、小组探究法以及讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，在教师的启发引导下，使学生主动介入数学实践活动，让学生去分析、探索，得到结论。
从而使学生既获得知识又发展智能。
通过讲练结合法可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
【学法分析】在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去观察分析，探索新知。
数学等差数列教案
数学等差数列教案数学等差数列教案1一、等差数列1、定义注：“从第二项起”及“同一常数”用红色粉笔标注二、等差数列的通项公式（一）例题与练习通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。
由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
（二）新课探究1、由引入自然的给出等差数列的概念：如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
强调：① “从第二项起”满足条件； f②公差d一定是由后项减前项所得；③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：an+1—an=d （n≥1） ;h4z+0"6vG同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1。
9 ，8，7，6，5，4，√ d=—12。
0。
70，0。
71，0。
72，0。
73，0。
74√ d=0。
013。
0，0，0，0，0，0，√ d=04。
1，2，3，2，3，4，×5。
1，0，1，0，1，×其中第一个数列公差<0，>0，第三个数列公差=0由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是02、第二个重点部分为等差数列的通项公式在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。
给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。
通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。
整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：a2 — a1 =d 即： a2 =a1 +da3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2da4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d猜想： a40 = a1 +39d进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+（n—1）d此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——————迭加法：a2 – a1 =da3 – a2 =da4 – a3 =dan+1 – an=d将这（n—1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 an– a1= （n—1） d 即 an= a1+（n—1） d （1）当n=1时，（1）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。
等差数列及其通项公式教学设计
等差数列及其通项公式教学设计（一）【内容分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时．在上节学习数列的概念之后，转入特殊数列的学习，起着承前启后的作用．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．【教学目标】 1．知识与能力：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式．了解等差数列的通项公式与一次函数的关系。
2．过程与方法：通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．【教学重点】①等差数列的概念；②等差数列的通项公式的推导过程及应用．【教学难点】①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．【设计思路】本节采用启发式和探究式的教学方法。
从创设情境引导学生首先从三个现实问题概括出数组特点，通过观察归纳抽象出等差数列的概念；学生自主探究推导出等差数列的通项公式；借助例题进行巩固，小组合作总结反思。
【教学过程】一、创设情景，提出问题师：课本第36页的四个例题及第38页的例1，提出以上五个问题中的数蕴涵着5列数．通过实例创设等差数列的模型。
①0，5，10，15，20，25，…．②18，15．5，13，10．5，8，5．5．③10072，10144，10216，10288，10360.例1教师：把每列数记做数列的第一项，第二项，……。
观察后项与前项的差有什么规律？学生：然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．设计意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．二、观察归纳，引出概念教师：投出三个思考题思考1上述数列有什么共同特点？思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？学生：分组讨论，每小组找代表发言。
2022数学第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案文含解析新人教A版
6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1.等差数列（1)定义:一般地，如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示.数学语言表示为a n+1—a n =d (n ∈N ＊），d 为常数。
（2）等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做a ，b 的 。
(3)等差数列{a n ｝的通项公式：a n = ，可推广为a n =a m +（n —m ）d.(4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d.2。
等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)a n =a 1+（n —1)d 可化为a n =dn+a 1-d 的形式。
当d ≠0时,a n是关于n 的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.（2）数列｛a n ｝是等差数列，且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数)。
1.已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n项和.（1）在等差数列｛a n}中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N*).特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n(m,n,p∈N＊）.（2）a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m ∈N＊).（3)S n,S2n-S n,S3n—S2n，…也成等差数列，公差为n2d。
（4)若{a n},{b n｝是等差数列,则｛pa n+qb n}也是等差数列.(5）若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n）=n（a n+a n+1)；S偶-S奇=nd；S奇S偶=a na n+1。
（6)若项数为奇数2n—1,则S2n—1=（2n—1）a n；S奇—S偶=a n;S奇S偶=nn-1。
高三数学复习等差数列的概念及通项公式(教案)
高三数学复习：等差数列的概念及通项公式(教案)一、教学目标：1.知识目标： 理解等差数列的定义和通项公式的推导方法；掌握公式的运用。
2.能力目标：利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法运用等差数列的通项公式，培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；通过从函数观点和数形结合去认识等差数列，培养学生分析问题，解决问题的能力。
3.情感目标：（数学文化价值）：公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
二、课前预习：1.等差数列的概念：（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
一次函数（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；推倒方法：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝d a 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n －a n －1＝d说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
（3）等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=或A -a =b- A 归纳与拓展一：１．理解等差数列的定义及通项公式要抓住关键词和关键量；２．运用递推关系推导等差数列的通项公式的方法是累加法，等比数列是累乘法；累加法和累乘法是讨论递推关系的基本方法；３．数列中的三项问题，注意中项的运用．三、例题精析：1．（课本P38习题4改编）（1）在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.（2）试问154是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由. 思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a 1和d ，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a 25.解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可得：⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10a 1＋14d ＝25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32 .∴这个数列的通项公式为：a n ＝4＋32 ×(n －1)，即：a n ＝32 n ＋52 .∴a 25＝32 ×25＋52＝40.思路二：若注意到已知项为a 5与a 15，所求项为a 25，则可直接利用关系式a n ＝a m ＋(n －m )d .这样可简化运算.解法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d , ∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40.思路三：若注意到在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a 25的值.解法三：在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25成等差数列 ∴2a 15＝a 5＋a 25，即a 25＝2a 15－a 5, ∴a 25＝2×25－10＝40.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点 由于P （15，33），Q （45，153），R （n ，217）在同一条直线上.故有153－3345－15 ＝217－153n －45 ，解得n ＝61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.归纳与拓展二： １．“知三求一”方法：数列角度：（１）数列通项基本量代入 （２）数列性质 （３）等差中项 函数观点：一次函数 数形结合：（１）直线方程 （２）斜率公式 （３）向量共线推广：类似方法可讨论等差和等比数列中“知三求二”问题２．在熟练应用基本公式的同时,还要会用变通的公式,如在等差数列中：（１）()n m a a n m d =+-（２）若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ .2. 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，中间两级的宽度分别为 ， 。
等差数列的概念及通项公式
等差数列的概念及通项公式预习、导学案【学习目标】1．准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等差数列的相关问题.2．通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力.3．激情参与、惜时高效，利用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值.【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用.【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑难问题”处.Ⅰ.相关知识1.数列有几种表示方法？2.数列的项与项数有什么关系？3函数与数列之间有什么关系？Ⅱ.教材助读1.一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 表示。
2. 由三个数a 、A 、b 组成的 数列可以看成最简单的等差数列。
这时A 叫做a 与b 的等差数列即3.如果数列{n a } 是公差为d 的等差数列，则+=12a a ，+=13a a ， +=14a a +=15a a +=1a a ,......,n4．通项公式为n a =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗？【预习自测】1. 等差数列d a 2-，a ,d a 2+…….的通项公式是2.已知数列{n a } 的通项公式为n a n 23-=，则它的公差为3．已知231+=a ，231-=b ，则a 与b 的等差中项为4.在等差数列{n a }中，已知,28,1093==a a 则=12a【我的疑难问题】探究、教学案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点一：等差数列的概念和通项公式问题1：等差数列概念的理解（1）如何用数学符号来描述等差数列？（2）若把等差数列概念中的“同一个”去掉，则这个数列_______等差数列.（填“是”或“不是”）（3）设d 为等差数列{a n }的公差，则当d ＞0时，{a n }为______数列；当d ＜0时，{a n }为______数列；当d =0时，{a n }为_____数列.探究二：如何推导等差数列{a n }的通项公式？探究三：等差中项的理解在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的___________；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2a n+1= ___________ ，那么这个数列是___________.【归纳总结】1.等差数列的概念是 的主要依据.2.推导通项公式时不要忘记检验 的情况（特别是叠加法）.3.通项公式的说明：（1）在a n =a 1+(n -1)d 中，已知 就可以求出 （方程思想）.（2）求通项公式时要学会运用“基本量法”，即 探究点1：等差数列的判断方法（重点）【例1】 判断数列{ a n }是否为等差数列：（1）a n =3n -1； （2）a n =(-1)n ；（3）a n =an+b (a ,b 为常数).【规律方法总结】判断数列{a n}是等差数列的方法：（1）定义法：；（2）等差中项：(n≥2,n∈N*)；（3）作差法探究点2：求解通项公式（重难点）【例2】在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12=31，求：（1）首项a1与公差d；（2）通项公式a n.【规律方法总结】在应用等差数列的通项公式解题时,对这四个量,知道其中量就可以求余下的量.【拓展提升】1 已知等差数列{a n}的公差不为零，a1，a2是方程x2-a3x+a4=0的根，求数列{a n}的通项公式.2在等差数列{a n}中,a1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n的和,(1)70≤n≤200;(2)n能被7整除.探究点3：等差数列实际应用（重难点）【例3】梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.与检测【规律方法总结】（1）在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可通过解决；若这组数均匀地递增或递减，则可通过解决.（2）用数列解决实际问题时，一定要分清等关键词.训练、检测案一、基础巩固1．等差数列{a n }：—3，—7，—11，……….的通项公式为2．已知等差数列{a n }的首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有3. 已知等差数列{a n }中，a 10=10，a 12=16，则这个数列的首项是4．等差数列{a n }中，已知31a 1=，4a a 52=+，33=n a ，则n 等于 5．已知数列a ，--15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c 的值是6．等差数列{a n }中，60a 1=，31a ++=n n a 。
等差数列 导学案
等差数列学习目标: 1.掌握等差数列的概念和通项公式.2.能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.重点：理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式.难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法.一、新课探究.29,22,15,8,1 ①,...46,44,42,40,38 ② ,...23,5.23,24,5.24,25 ③学生活动：观察以上三组①②③数列各自的特点，它们有什么共同特征？(小组活动)（一）等差数列的定义1.等差数列的定义：____________________________________________________________________________________________________________________________________ 数学语言符号：__________________________________例1.已知数列}{n a 的通项公式为q pn a n +=，其中q p ,为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？练一练：下列数列是否是等差数列？如果是，写出首项和公差，如果不是，说明理由.,1)(...,135,,97,9,)2(...6-,，,3,3-68(...3)--，，4，0，-2,(...4),3,3,3,3,315,(...5)1210,6,8,,-)63(，，，-，，915...-12--62.等差中顶观察如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：(52,1-1___,()4,___,2)___,,0((0)4___,,12-)3等差中项定义___________________________________________________________ _____________________________________________________________________学生观看①②③三组数列，师生共同概括等差数列的性质：___________________________________________________________（二）等差数列的通项公式如果等差数列}{n a 首项是1a ，公差是d ，那么这个等差数列432,,a a a 如何表示？n a 呢？ (学生活动，小组讨论推导等差数列的通项公式)2.例 .20,...2,5,8)1(项的第求等差数列项？的项？如果是，是第几，，是不是等差数列...13-9-5-401-)2( 分析:)1(中为了求第20项，你需要知道什么？已知的数列说明已知了那些量 )2(怎样才能判断401-是不是数列中的项？方法规律总结：求等差数列通项公式的关键步骤：二、课堂检测.,19,10)1(174d a a a 与求若等差数列中==.,3,9)2(1293a a a 求已知等差数列中==中的项？是不是等差数列......16,9,2100)3(注: 解题步骤的规范性与准确性.三、本课小结：拓展练习：=a a a a a n ，则，，的前三项依次为等差数列1-10-5-3-6-}{.1_____1.A 1-.B 2-.C2.D级，中间还有，最低一级宽级高如图：一张梯子最高一10,11033.2cm cm .d ，求公差各级的宽度成等差数列。
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2.2等差数列的概念和通项公式
【使用说明及学法指导】
1.结合问题导学自学课本，用红色笔勾画出疑惑点；独立思考完成合作探究，并总结规律方法。
2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑。
【重点难点】
1.深刻理解等差数列中“等差”的含义、理解“等差中项”
2.理解用“叠加法”证明等差数列通项公式的方法 【学习目标】
1.明确等差数列的定义，初步掌握等差数列的通项公式。
2.会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题.
3.培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识. 一、问题导学：
1．等差数列的概念
定义：一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母______表示. 2. .怎样推导等差数列的通项公式？ 3.等差数列的通项公式：若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则通项公式为________________ 注：（1）一个等差数列总可以由首项和公差来唯一确定。
（2）在a n ,a 1,d ,n 中“知三求一”。
4．等差中项：如果b A a ,,这三个数成等差数列，那么我们把A 叫做a 和b 的等差中项，且
=A ____________________
二、探究、合作、展示：
例1、判断下列数列是否是等差数列
（1）1，1，1，1，1， （2）4，7，10，13，16 （3）5，3，1，-1，-3 （4）-3，-2，-1，1，2，3
例2、求出下列等差数列的未知项
（1）3，a ，5 （2）3，b ，c ，—9
例3. (1)求等差数列8，5，2…的第20项.
(2) －401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?
变式训练：
(1)求等差数列3，7，11…的第4项.和第10项 (2) -20是不是等差数列0，2
7
-，－7…的项?如果是，是第几项?如果不是说明理由
例4：等差数列{a n }中，若9,3461,7,9a a a a a 求==+
变式训练：在等差数列{a n }中,
n a n d a 求已知,10,3,2)1(1=== n d a a n 求已知,2,21,3)2(1=== d a a 求已知,27,12)3(61==
1
7,8,31
)4(a a d 求已知=-=
例5：已知数列的通项公式为16-=n a n ,问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项和公差分别是多少？
延伸：已知数列的通项公式为q pn a n +=,其中p,q 为常数，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项和公差分别是多少？
【思考】
在等差数列中，
若m+n=p+q(m,n,p ,q∈N *
),则a m + a n = a p + a q 一定成立吗？反之也成立吗？
若m+n=2p (m,n,p∈N
*
),则a m + a n =2 a p 一定成立吗？
【当堂检测】
1、等差数列{a n }中, a 1＋a 4＋a 7＝39,a 2＋a 5＋a 8＝33, 则a 3＋a 6＋a 9＝________.
2、等差数列{a n }, a 1－a 5＋a 9－a 13＋a 17＝10, 求a 3＋a 15 =__________
3、在等差数列{a n }中， 若a 5＝a , a 10＝b , 求a 15=______________
4、在等差数列{a n }中，a 2+a 3＋a 10+a 11＝48, 求a 6＋a 7=___________
【拓展提高】
1、在数列{}n a 中，若,122,211=--=+n n a a a 则_________51=a
2、等差数列{a n }的前三项分别是a-1, a+1, a+3,则它的通项公式是_____________.
3、 在1和100之间插入8个数，使它们与这两个数组成等差数列，则这个数列的公差是____________
4、三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数.
5、已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.
6、在—1与7之间顺次插入三个数a,b,c 使这五个数成等差数列，求此数列
7、{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15, a 1a 2a 3=80，求a 11+a 12+a 13的值
8、一个等差数列首项为25
1
，公差d>0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范围
9、{}()
50*113
111,1a N n a a a a n n n ，求中，已知在数列
∈+==+
课堂小结：。