2014-2015年湖南省益阳市箴言中学高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2014-2015学年湖南省益阳市箴言中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每题只有一项是符合要求的.）1．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2＜0 D．∀x∈R，x2≤0 2．（5分）圆x2+y2+2y=1的半径为（）A．1 B．C．2 D．43．（5分）双曲线的实轴长为（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=（）A．2 B．5 C．7 D．85．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x6．（5分）“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数y=x﹣sinx，x∈[，π]的最大值是（）A．1 B．2πC．πD．48．（5分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k （k＞0），贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0，0.048）），则存款利率为多少时，银行可获得最大利益（）A．0.012 B．0.024 C．0.032 D．0.0369．（5分）如图所示为y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（）①f（x）在（﹣∞，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．A．①②③B．①③④C．③④D．②③10．（5分）已知椭圆，O为坐标原点．若M为椭圆上一点，且在y轴右侧，N为x轴上一点，∠OMN=90°，则点N横坐标的最小值为（）A．B．C．2 D．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：．12．（5分）抛物线x2+12y=0的焦点到其准线的距离是．13．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．14．（5分）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是．15．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（12分）已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．17．（12分）双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．18．（12分）已知函数f（x）=﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值．（1）求实常数m的值．（2）求函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．19．（13分）已知直线l1为曲线y=x2+x﹣2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．（Ⅰ）求直线l2的方程；（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，x2+lnx＜x3是否恒成立，并说明理由．21．（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值．2014-2015学年湖南省益阳市箴言中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每题只有一项是符合要求的.）1．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2＜0 D．∀x∈R，x2≤0【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为：∃x∈R，x2＜0．故选：A．2．（5分）圆x2+y2+2y=1的半径为（）A．1 B．C．2 D．4【解答】解：圆x2+y2+2y=1化为标准方程为x2+（y+1）2=2，故半径等于，故选：B．3．（5分）双曲线的实轴长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：双曲线中，a2=1，∴a=1，∴2a=2，即双曲线的实轴长2．故选：C．4．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=（）A．2 B．5 C．7 D．8【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a=5，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，∵|PF1|=3，∴|PF2|=7．故选：C．5．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．6．（5分）“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若m=n=0时，方程mx2+ny2=1等价为0=1，无意义，不能表示圆，若方程mx2+ny2=1表示圆，则m=n＞0，∴“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）函数y=x﹣sinx，x∈[，π]的最大值是（）A．1 B．2πC．πD．4【解答】解：∵y=x在[，π]上单调递增，y=﹣sinx在[，π]上单调递增∴y=x﹣sinx在[，π]上单调递增，即最大值为f（π）=π，故答案为π．故选：C．8．（5分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k （k＞0），贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0，0.048）），则存款利率为多少时，银行可获得最大利益（）A．0.012 B．0.024 C．0.032 D．0.036【解答】解：用y表示收益，由设存款量是kx，利率为x，贷款收益为0.048kx 则收益y=0.048kx﹣kx2，x∈（0，0.048），∵y′=0.048k﹣2kx=2k（0.024﹣x）∴当y′＞0，0＜x＜0.024当y′＜0，0.024＜x＜0.048故收益y在x=0.024时取得最大值则为使银行收益最大，应把存款利率定为0.024．故选：B．9．（5分）如图所示为y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（）①f（x）在（﹣∞，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．A．①②③B．①③④C．③④D．②③【解答】解：x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）是增函数，故①错误，②正确，﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，2＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，故③正确，x=2是极大值点，故④错误，故选：D．10．（5分）已知椭圆，O为坐标原点．若M为椭圆上一点，且在y轴右侧，N为x轴上一点，∠OMN=90°，则点N横坐标的最小值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：椭圆，∵点M（a，b）为椭圆上y轴右侧的点，∴a＞0，OM的斜率k=当点M在顶点（2，0）上时，x轴上不存在点N使得∠OMN=90°∴k=不为0，∴MN的斜率k=﹣=﹣，∴MN的直线方程为y﹣b=（﹣）（x﹣a），令y=0：﹣b=（﹣）（x﹣a）解得点N的横坐标x=a+，∵+b2=1，b2=1﹣，∴x=a+=a+﹣=+≥2=．当且仅当，即a=时取得最小值，∴点N的横坐标最小值为．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：若x≤y，则|x|≤|y| ．【解答】解：∵“x＞y”的否定是“x≤y”，“|x|＞|y|”的否定是“|x|≤|y|”；∴命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：“若x≤y，则|x|≤|y|”；故答案为：“若x≤y，则|x|≤|y|”．12．（5分）抛物线x2+12y=0的焦点到其准线的距离是6．【解答】解：抛物线x2=﹣12y的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=6，故答案为613．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．14．（5分）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是m≥．【解答】解：f′（x）=3x2+2x+m．∵f（x）在R上是单调递增函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3x2+2x+m≥0．由△=4﹣4×3m≤0，得m≥．故答案为m≥15．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g （x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（12分）已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：①若命题p为真，则：△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2；②若命题q为真，则：3﹣2a＞1，∴a＜1；∴若p或q为真，p且q为假，则p真q假，或p假q真；∴，或；∴1≤a＜2，或a≤﹣2；∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，2）．17．（12分）双曲线C 与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．【解答】解：设双曲线方程为（a ＞0，b ＞0）（1分） 由椭圆+=1，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），（3分）∴对于双曲线C ：c=2．（4分）又y=x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴= （6分）解得a=1，b=，（9分）∴双曲线C 的方程为．（10分）18．（12分）已知函数f （x ）=﹣4x +m 在区间（﹣∞，+∞）上有极大值．（1）求实常数m 的值． （2）求函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．【解答】解：（1）∵f （x ）=﹣4x +m ，∴f′（x ）=x 2﹣4=（x +2）（x ﹣2），令f′（x ）=0，解得x=﹣2，或x=2，列表讨论，得：∴当x=﹣2时，f （x ）取极大值，∵函数f （x ）=﹣4x +m 在区间（﹣∞，+∞）上有极大值，∴，解得m=4．（2）由m=4，得f（x）=，当x=2时，f（x）取极小值f（2）=﹣．19．（13分）已知直线l1为曲线y=x2+x﹣2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．（Ⅰ）求直线l2的方程；（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．【解答】解：（I）y′=2x+1．直线l1的方程为y=3x﹣3．设直线l2过曲线y=x2+x﹣2上的点B（b，b2+b﹣2），则l2的方程为y﹣（b2+b﹣2）=（2b+1）（x﹣b）因为l1⊥l2，则有k2=2b+1=．所以直线l2的方程为．（II）解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为．l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、．所以所求三角形的面积．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，x2+lnx＜x3是否恒成立，并说明理由．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），由题意得f′（x）=x﹣＞0（x＞0），∴当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，f′（x）=x﹣==，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）设g（x）=x3﹣x2﹣lnx（x＞1）则g′（x）=2x2﹣x﹣．∵当x＞1时，g′（x）=＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数．∴g（x）＞g（1）=＞0．即x3﹣x2﹣lnx＞0，∴x2+lnx＜x3，故当x＞1时，x2+lnx＜x3是恒成21．（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1），…（2分）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1，由e=，解得a2=5，∴椭圆C的标准方程为．…（5分）（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为，∴椭圆C的右焦点F（2，0），…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入方程，并整理，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，…（7分）∴，，…（8分）又，，，，而，，即（x1﹣0，y1﹣y0）=λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2﹣0，y2﹣y0）=λ2（2﹣x2，﹣y2），∴，，…（10分）∴λ1+λ2===﹣10．…（12分）。