空间向量知识点归纳(期末复习).doc

空间向量期末复习

知识要点:

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

运算律：⑴加法交换律：a + h =b +ci

⑵加法结合律：（N + T） + E = N + 0 + e）

⑶数乘分配律：= +

3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，&平行于5 ,记作allb o

当我们说向量N、T共线（或a//b）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量万、b（方工6）, allb存在实数2,使a=kb o

4.共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量方,5不共线，"与向量刁,5共面的条件是存在实数

x^y\^p = xa-\-yb。

5.空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z ,使0 = xN + y5 + zC。

若三向量万不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O ,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x, y, z ,使OP = xOA + yOB + zOC。

6.空间向量的数量积。

（1）空I'可向量的夹角及其表示：已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A = a,0B = b ,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OM a9b＞＜7T, 显然有＜丽＞=＜歸＞；若＜云伍＞=仝,则称万与5互相垂直，记作：N丄方。

（2）向量的模：设0A = a，则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模，记作：\a\o

（3）向量的数量积：已知向量丽,贝ij|5|-|6|-cos＜5^＞叫做乳方的数量积，记

作a-b ,即方・5 = \a\-\h\-coso

(4)空间向量数量积的性质：

① 3-e =| 5 | cos < a,e > o②万丄h <^=> a -h = 0 o③ \a^= a • a o

(5)空间向量数量积运算律：

©(25)-b = 2(3-b) = a-(Ab)o②a b =b -a (交换律)。

@a-(b+c) = a-b + a-c (分配律)。

7.空I'可向量的坐标运算：

(1).向量的直角坐标运算

设a = (a^a29a3)f b =(b x,b2,b3)则

(1) a +b =(勺 +勺卫2 +〃2，。3 +伏);

(3)入万=(加]，加2,加3)(入WR)；

• , • , •

(2)•设A(x p y p Zj) , B(x2,y2,z2),则AB = OB-OA= (x2-x{,y2-y},z2-z}).

丄丄

(3).设a = (X],必，Z]), b = (x2,y2,z2),贝】J

7 ——9 ? 2

_ = a • a =石 + 片 + Zj

丄丄丄ii i 丄丄丄丄

aPb a = ^b(b HO)； d 丄boa・b = 0o x}x2 + y}y2 + z,z2= 0 •⑷.夹角公式设云=(坷“吗),方=(4,2厶)，则cos = /砒+警+小

+ Q；+ ci； Jb； + b； + b；

(5).异面直线所成角

丨兀內

+

儿儿

+

么乓!

J*/ + J/, + 可2 •&： +旳？ + Z?2

(6).直线和平面所成的角的求法

如图所示，设直线/的方向向量为0，平面G的法向量为弘直线/与平面G所成的角

(1)如图①，AB, CQ是二面角a・1中的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0

=〈乔，CD).

(2)如图②③，Hz，心分别是二面角a-l-fi的两个半平面a, ”的法向量，则二面角的大小&= 51，刃2〉或兀—51，兀2〉・

(2) a —b = (a】-b^a2 -b2,a3-b3)；

—e

(4) a 9 b = a A b} + a2b2 + a3b3；

则有sin 0 = |cos 〃| =

I心I

i«ikr

cos&=| cos 仏b

1 1

两向暈0与證的夹角为0,

COS&] = COS < /?!n

2> =

练习题：

1-己知a=(—3,2,5), b=(l, x,•1)且a・b=2,则x的值是(

2. 已知 a = (2,4,5), b=(3, x, y),若 a 〃b,贝9(

) A. x=6,尹=15

B. x=3, y = 2

C. x=3,y=15

D.兀=6, y= 2 3.

已知空间三点/(0,2,3), 5(-2,1,6), C(l, -1,5).若阀=羽,且a 分别与乔，花垂 直，则向量。为()

A.

(1,1,1) B.

(-1, -1, -1) C.

(1,1,1)或(一1, —1, — 1) D. (1, —1,1)或(-1,1, -1)

4. 若 a=(2, 一3,5), *=(-3,1, 一4),贝也一2切= _____________ .

5. 如图所示，

已知正四面体ABCD 4E=*B, CF=^CD,则直线DE 和3F 所成角的余弦值为

4.A/258 解析 Va-2ft=(8, -5,13), ・•・ \a~2b\ =^82 + (-5)2+ 132 =^258.

5 土

亠13

解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点/在底面BCQ 内的射影为△BCQ 的垂心，所 以有BC 丄D4, ABLCD.设正四面体的棱长为4,

则亦赤=(貶+拆)•(茹+屁)

= O+BGAE+CF-DA+O

=4XlXcos 120°+lX4Xcos 120。=一4,

BF= DE=y^^+12-2 X 4 X 1 X cos 60° =匹,

所以异面直线DE 与3F

的夹角0的余弦值为:

cos 0= 6. 如图所示，在平行六面体 ABCD-A }B\C\D X 屮，设 AA } =a, AB =b, AD=c, M, N, P 分别是AA ]f BC, GD 的中点，试用a, d c 表示以下各向量：

⑴乔；

(2)4^；

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

_4_

=1? A