第11讲 估算与比较-通分与裂项
苏教版小学数学 五年级下册 《第四单元 第11课时 通分》教学课件PPT
你是怎样改写的，和同学交流。
新知探究
14
把几个分母不同的分数(也叫作异分母分数）分 别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。 相同的分母叫作这几个分数的公分母。
新知探究
14 把 和 改写成分母相同而大小不变的分数。
通分 异分母分数
用分母的最小公 倍数作公分母
和原来大小相等 的同分母分数
课堂作业
1 看图写出分数，再通分，并在图中表示通分的结果。
课堂作业
2 说出每组分数的公分母。
课堂作业
2 说出每组分数的公分母。
课堂作业
3 下面哪组分数的通分是对的？哪组不对？哪组不够简单？
不对
不对
对
分数的意义和性质
第 11 课时 通 分
学习目标
1.初步理解通分和公分母的意义,掌握通分的方法。 2.能正确的把异分母分数化成与它们相等的同分母分数，渗透 转化的数学思想，体验迁移类推的学习方法。 3.在解决问题中培养学生自主探究、合作交流的意识，体会数 学与生活的密切联系。
【重点】理解通分的意义，掌握通分的方法。
2 把下面每组分数通分。
1 3
和
1 12
1 3
和
1 12
的公分母是12。
1 1 4 4 3 3 4 12
课堂练习
2 把下面每组分数通分。
9 11
8 和9
9 8
和
11 9
的公分母是72。
9 99 81 8 89 72 11 11 8 88 9 98 72
课堂小结
把它们改写成分 母是12的分数。
3 33 9 4 43 12 5 52 10 6 62 12
五年级下册第四单元《通分》人教版
第四单元
第11课时 通分（1）
学习目标
观察4组分数各有什么特点？如何比较大小？ 比较每组中两个分数的大小。
1．理解通分的意义。 分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位。
在 中填上“＞” “＜” 或 “＝” 在 中填上“＞” “＜” 或 “＝” 用什么数作公分母？怎样把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数？
在 中填上“＞” “＜” 或 “＝”
5 3 与 ，哪个大，为什么？
＞ 分子相同的分数，分母小的比较大
7
7 7 16 例1 陆地面积约占地球总面积的 ，海洋面积约占地球总面积的 。
在通分的基础上，比较 与 的大小。
比较每组中各组分数的大小。
＜ 11 16
各组分数有什么共同特点？同分母如何比较大小？
分子相同的分数，分母小的比较大
5 8
12 17
＞
12 19
19 94
＜ 19
73
分子相同的分数，分母小的比较大
观察4组分数各有什么特点？如何比 较大小？
例2豆类食品含有较高的蛋白质，经常食用有益于人体健康。
黄豆和蚕豆哪个的蛋白质含量比较高？
2 和 1 这两个分数有什么特点？如何比较
54 它们的大小？
2
1
5
4
用什么数作公分母？怎样把异分母分 数化成和原来分数相等的同分母分数？
导入新知
1.
3 10
分数单位是（
1 10
），它有（ 3 ）个
这样的分数单位。
2.
1 8
与1
6
，哪个大，为什么？
同学们，怎样比较它们的大 小呢?今天,我们来探究一种新 的方法,也可以比较出它们的大 小。
苏教版五年级下册数学 第11课时 通分课件
科 目：数学 适用版本：苏教版 适用范围：【教师教学】
数学
第一页，共十三页。
四 分数的意义和性质 第11课时 通分
第二页，共十三页。
课时目标 1.理解通分的意义，掌握通分的方法，能把分母小于10的两个 分数通分。
2.进一步感受转化的思想，培养观察、分析和归纳等思维 能力。
通分时，一般用原来几个分母的最小公 倍数作公分母。
第六页，共十三页。
先找出 和 的公分母，再把这两个分数通分。
第七页，共十三页。
1
6
和
4 的公分母是( 9
18)。
第八页，共十三页。
小明和小芳看一本 同样的故事书。
第九页，共十三页。
答：小芳看的页数多。
第十页，共十三页。
3、在○里填“ ＞” “ ＜” 或“=”。
＞
＜
＜
Hale Waihona Puke ＜＝＜第十一页，共十三页。
4、把下面的分数填入合适的圈里。
第十二页，共十三页。
课堂小结
1.求出原来几个分母的最小公倍数； 2.把各分数分别化成用这个最小公倍数作 分母的分数。
第十三页，共十三页。
第三页，共十三页。
把 和 改写成分母相同而大小不变的分数。
第四页，共十三页。
3 4
=
34××33=
9
12
5 6
=
56××22=
10 12
因为
9 12
<
10 12
，所以
3 4
<
5 6
第五页，共十三页。
把几个分母不同的分数（也叫作异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分 母分数，叫作通分。相同的分母叫作这几个分数的公分母。
人教版小学五年级数学下册第11课时《通分》教案
人教版小学五年级数学下册第11课时《通分》教案一. 教材分析《通分》是小学五年级数学下册的一课时内容，主要让学生掌握通分的方法和技巧。
在此之前，学生已经学习了分数的基本概念和简单的分数运算，通分是分数运算中的一个重要环节。
通过本节课的学习，让学生理解通分的意义，掌握通分的方法，能够将异分母分数化成同分母分数，为后续的分数四则运算打下基础。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分数的概念和简单运算有一定的了解。
但是，对于通分这一概念和方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对通分意义理解不深、方法掌握不牢固的问题，需要在教学中加以引导和巩固。
三. 教学目标1.让学生理解通分的意义，知道通分是将异分母分数化成同分母分数的过程。
2.让学生掌握通分的方法，能够运用通分法则将异分母分数化成同分母分数。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的分数运算技能。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握通分的方法，能够将异分母分数化成同分母分数。
2.教学难点：让学生理解通分的意义，能够灵活运用通分法则进行分数的通分。
五. 教学方法采用讲授法、实例分析法、小组合作法、练习法等教学方法，通过讲解、示范、练习、讨论等方式，引导学生理解和掌握通分的方法和技巧。
六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、课件等。
2.学具准备：练习本、笔等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾分数的基本概念和简单运算，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师通过讲解和示例，向学生介绍通分的概念和方法。
通分是将异分母分数化成同分母分数的过程，通分的方法有：求最小公倍数法、交叉相乘法等。
操练（10分钟）教师给出一些例子，让学生分组讨论并练习通分。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
巩固（10分钟）教师出一组练习题，让学生独立完成，检查学生对通分的掌握情况。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：通分在实际生活中有哪些应用？让学生联系生活实际，加深对通分意义的理解。
五年级下册数学课件 -第11课时 通分(1) 人教版(共19张PPT)【推荐下载课件】
第4单元
分数的意义和性质
第11课时 通分（1）
一、复习导入
1. 3 分数单位是（
10
位。
），1它有（ 10
2.
1 8
与
1，哪个大，为什么？
6
）个这样的3分数单
怎样比较它们的大小呢?今天,我们来探究一种新的方法,也可 以比较出它们的大小。
二、探究新知
观察地球上的陆地多还是海洋多。
例1 陆地面积约占地球总面积的 ，海洋面3 积约占地球总面积的
8 ＞5
9
6
2 ＞3
5
10
你是怎样比较的，和同学交流下。
1＜3
3
7
5 ＜7
8
10
6.把梨放进相应的筐里。
四、课堂小结 通过这节课的学习，你有什么收获？
同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变 它。顽强的毅力改变可以征服世界上任何一座高峰。望远 镜可以望见远的目标，却不能代替你走半步。伟大的成就， 来自为远大的目标所花费的巨大心思和付诸的最大努力。 我不能说只要坚持就能怎样，但是只要放弃就什么都没有 了。有压力，但不会被压垮；迷茫，但永不绝望。沉湎于 希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。你花时间做什 么事，你就会成为什么样的人！人生没有彩排，每一天都 是现场直播。人生最大的成就是从失败中站起来要做一件 事，成功之前，没有必要告诉其他人。成功之后不用你说， 其他人都会知道的。这就是信息时代所带来的效应。天下 最宝贵的，莫如时日；天下最能奢侈的，莫如浪费时不论 你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。面对 困境，悲观的人因为往往只看到事情消极一面。人生的路， 说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证明某一 时候某一方面的不足或做得不够。如果把才华比作剑，那
小学数学知识归纳数的比较与估算
小学数学知识归纳数的比较与估算小学数学知识归纳：数的比较与估算数的比较和估算是小学数学中非常重要的基础知识。
通过学习数的比较和估算，孩子们能够理解数的大小关系，掌握比较大小的方法，培养快速估算的能力。
本文将从数的比较和数的估算两个方面进行阐述。
一、数的比较在日常生活和学习中，我们经常会遇到需要比较数的大小的情况。
比如：更大、更小、相等、差别多少等。
下面介绍几种比较数的方法：1. 数量比较法数的数量比较法是比较两个数的大小关系，可以根据数的位数和每个位上的数字进行比较。
例如：比较542和486的大小。
首先比较百位上的数字，5大于4，因此542较大；如果百位数字相等，就继续比较十位上的数字；如果十位数字也相等，再比较个位上的数字。
2. 粗略估算法粗略估算法是通过舍去某些数字，将数变为比较简单的数，然后进行比较。
这种方法适用于大数字的比较和估算。
例如：估算426和529的大小。
我们可以将426估算为400，将529估算为500。
此时我们可以看出，500大于400，因此529较大。
二、数的估算数的估算是指通过近似值来估计一个数的大小。
数的估算可以帮助孩子们快速计算，对于日常生活和数学问题的解决非常有帮助。
1. 相关数的估算通过与已知的数进行关联和比较，来估算一个数的大小。
例如：估算在185和262之间的一个数。
我们可以找到与185和262相关的数，如200和250。
通过比较这两个数，我们可以估算出目标数大约在210左右。
2. 取整数估算对于小数，我们可以通过取整数来进行估算。
例如：估算7.8乘以9.2的结果。
我们可以将7.8估算为8，9.2估算为9。
然后我们进行整数的乘法运算得到72。
由于估算时舍去了一些小数，所以得到的结果是一个估计值。
通过数的比较和估算，孩子们可以更好地理解数的大小关系，并能够在日常生活和学习中运用这些方法进行快速计算和解决问题。
数的比较和估算是培养孩子们数学思维和逻辑思维的重要环节。
《分数裂项法总结》课件
随着计算机技术的发展，可以开发更高效的算法和工具来支持分数裂 项法的应用，提高计算效率和精度。
拓展分数裂项法的应用领域
除了数学和物理领域，分数裂项法还可以拓展应用到其他领域，如金 融、经济、生物等，为解决实际问题提供更多有效的工具。
加强教学方法的改进
针对分数裂项法的教学，可以进一步改进教学方法，提高教学效果， 帮助学生更好地掌握这一重要的数学技能。
感谢您的观看
THANKS
02
整数裂项法是将整数拆 分成易于计算的形式， 如将2n拆分成n+n。
03
差商裂项法是将分数的 分子和分母分别拆分成 两个部分，然后进行化 简。
04
分母有理化是将分数的 分母化为有理数的形式 ，以便进行计算。
03 分数裂项法的实例解析
分数裂项法在数学题目中的应用实例
分数裂项法在数学题目中有着广泛的应 用，可以帮助我们简化复杂的分数计算 。例如，我们可以将一个分数拆分成两 个或多个分数的和或差，从而简化计算
提高解题效率。
03
分数裂项法的优点和局限性
分数裂项法的优点在于能够简化复杂问题，提高计算效率和准确性。然
而，该方法也存在一定的局限性，如对于某些特殊形式的分数，可能无
法找到合适的拆分方式。
对分数裂项法的展望和未来发展方向
继续深入研究分数裂项法
未来可以进一步深入研究分数裂项法的理论和应用，探索更多适用于 该方法的数学模型和实际应用场景。
分数裂项法的练习题
练习题1
将分数1/6进行裂项，使其变为两 个分数之和。
练习题2
将分数2/7进行裂项，使其变为三 个分数之和。
练习题3
将分数3/8进行裂项，使其变为四个 分数之和。
小学五年级奥数--估算和裂项解题技巧
小学五年级奥数——估算和裂项技巧一、估算问题估算中常用到缩放法、取整法等技巧。
求近似值或整数部分等，常常需要进行估算，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值，一般偏差范围在上下5%以内。
【应用见例1】二、分数通分化简法1．求出原来几个分数的分母的最简公分母；2．根据分数的基本性质，把原来分数化成以这个最简公分母为分母。
三、裂项运算法1．“裂差”型运算（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里可以把较小的数写在前面，即设a <b ，那么有⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯b a a b b a 1111；（2）对于分母中有3个或4个连续自然数乘积形式的分数，如：()()211+⨯+⨯n n n ，()()()3211+⨯+⨯+⨯n n n n ，可以进行如下裂项运算：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⨯=+⨯+⨯2111121211n n n n n n n ；()()()()()()()()⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯3211211313211n n n n n n n n n n 注：将算式中的项进行拆分，使拆分后的项前后可抵消，这种拆项计算称为裂项法。
裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差的形式。
遇到裂项的计算题时，要仔细观察每项的分子和分母，发现各项分子与分母之间具有的相同关系，找出其共有部分。
裂项的题目无须复杂的计算，一般都是将中间部分消去。
因此，找到相邻两项的相似部分将它们消去，才是最根本的方法。
“裂差”型裂项有一下三大关键特征（1）分子全部相同，最简单的形式为分子都是1，一般复杂的形式可为都是x （x 为任意自然数）的式子，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”。
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
2．“裂和”型运算常见的“裂和”型运算主要有以下两种形式：（1）ab b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+；（2）ab b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222注：（1）裂差型运算的核心环节是“两两抵消”达到简化的目的；（2）裂和型运算的核心环节是“两两抵消”或转化为“分数凑整”来达到简化的目的。
分数裂项PPT课件
4/5。
练习题二及答案
练习题二
计算1/3+1/15+1/35+1/63的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到1/3=1/1-1/3, 1/15=1/3-1/5, 1/35=1/5-1/7, 1/63=1/7-1/9。然后将这些分数相加，得到原式 =1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9=1-1/9=8/9。
裂项的局限性
分数裂项法虽然可以化简一些复杂的分 数，但是其适用范围有限，不能解决所
有数学问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择 合适的数学方法，综合考虑各种方法的
优缺点。
另外，裂项法在处理一些特殊情况时可 能会遇到困难，例如分子中含有未知数
的情况，需要谨慎处理。
05
分数裂项的练习题与答案
练习题一及答案
答案
5/6。
THANKS
感谢观看
其次，要确保分子经过裂项后能 够相互抵消，留下非零常数。
最后，要确保整个等式在裂项后 仍然成立，可以通过代入法进行
验证。
裂项的适用范围
分数裂项法适用于有理函数的计算，特别是有理函数求极限、求积分等 问题。
对于一些难以直接化简的复杂有理函数，分数裂项法可以将其转化为容 易处理的形式，简化计算过程。
需要注意的是，裂项法并不适用于所有函数，特别是无理函数、三角函 数等。
答案
8/9。
练习题三及答案
练习题三
计算(2^2)/(2^2+4^2)+(3^2)/(3^2+4^2)+(4^2)/(4^2+4^2)的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到(2^2)/(2^2+4^2)=2/(2+4), (3^2)/(3^2+4^2)=3/(3+4), (4^2)/(4^2+4^2)=4/(4+4)。然后将这些分数相加，得到 原式=2/(2+4)+3/(3+4)+4/(4+4)=5/6。
小学数学知识点《分数裂项》教师版
本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程.很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了.本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高.分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差.遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的.(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b⨯形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:1(1)(2)n n n ⨯+⨯+,1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的,我们有:1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++知识点拨教学目标分数裂项计算1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征:（1）分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算.（2）分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值.二、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比:裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的.【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ .【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛,小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为:111113355779+++⨯⨯⨯⨯,计算过程就要变为:111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭．【答案】56【巩固】111 (101111125960)+++⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111111((......()101111125960106012=-+-++-=-=例题精讲【答案】112【巩固】2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭ 112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715=【答案】715【例 2】111111212312100++++++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题.此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律.从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯,112(12)212232==+⨯+⨯,……, 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101【例 3】1111133********++++=⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】111111111150(113355799101233599101101++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯ …）【答案】50101【巩固】计算:1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯,初赛,六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12【巩固】2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】台湾,小学数学竞赛,初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭25150150121151********=⨯==【答案】211532【巩固】计算:3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12=【答案】12【例 4】计算:11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】101中学【解析】原式11111282446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯ （） 1111111128224461618=⨯-+-++-⨯ （） 1164218=-⨯（） 4289=【答案】4289【巩固】11111111612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】走美杯,初赛,六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为:11111111612203042567290+++++++1111111123344556677889910112==2105=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-【答案】25【巩固】11111113610152128++++++= 【考点】分数裂项 【难度】6星【题型】计算【关键词】走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111212312341234567=+++++++++++++++++2221233478=++++⨯⨯⨯111111122233478⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1218⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭74=【答案】74【巩固】计算:1111111112612203042567290--------＝ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111(22334910=--+-++- 111(2210=--110=【答案】110【巩固】11111104088154238++++=.【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111111113255881111141417⎛⎫=⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭1115321734⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭【答案】534【例 5】计算:1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】华杯赛,总决赛,二试【解析】原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11110040034132003200512048045⎛⎫=⨯-=⎪⨯⨯⎝⎭【答案】100400312048045【例 6】7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭-⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯71111111461123357913123+⎛⎫=⨯⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭-4631824429=⨯⨯⨯23=36【答案】2336【例 7】计算:11111123420261220420+++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【关键词】小数报,初赛【解析】原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021=+-+-+-++-12021012102121=+-=【答案】2021021【巩固】计算:11111200820092010201120121854108180270++++= .【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯,6年级,1试【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 51005054=【答案】51005054【巩固】计算:1122426153577++++= ____.【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【答案】1011【巩固】计算:1111111315356399143195++++++【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为:232113=-=⨯,2154135=-=⨯,……,21951411315=-=⨯,所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112115⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715=【答案】715【巩固】计算:15111929970198992612203097029900+++++++= ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】四中【解析】原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199122399100⎛⎫=-+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 1111199122399100⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭ 1991100⎛⎫=-- ⎪⎝⎭198100=【答案】198100【例 8】111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112128935144⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭=【答案】35144【巩固】计算:1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111149494949(212991002990019800=⨯-=⨯=⨯⨯【答案】494919800【巩固】计算:1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯＝14(113⨯－12123⨯)＋14(124⨯－12224⨯)＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032【答案】38625340032【巩固】4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】11111111((......()(133535579395959795979799=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11139799=-⨯⨯32009603=【答案】32009603【巩固】999897112323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯ 98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯ 97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...( (123234345991001012334100101)=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111151100()(2422101002101101=⨯⨯---=【答案】5124101【例 9】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】1192160【巩固】333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】11396840【例 10】计算:57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2．相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7114605=-- 2315=也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为23n +,所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+,再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【答案】2315【巩固】计算:5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （）【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】迎春杯,初赛,五年级【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+,734=+,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445*********=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155=所以原式31115565155=⨯=．（法二）上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列,而等差数列的通项公式为a nd +,其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式,再将a 与nd 分开,每一项都变成两个分数,接下来就可以裂项了．571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234345891091011+⨯+⨯+⨯+⨯=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234234345345891089109101191011⨯⨯⨯⨯=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111222223434589109101134459101011⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111112223343445910101134451011⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 1111122231011311⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭11223413112220311422055=-+-=-=,所以原式31115565155=⨯=．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51171117111911223342344528991029101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5175197119171191223223422452291021011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯++-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 51111191223344591021011=⨯++++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51119311231022055=+--=所以原式31115565155=⨯=．（法四）对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式:21(1)(2)n n a n n n +=++（2n =,3, (9)如果将分子21n +分成2n 和1,就是上面的法二;如果将分子分成n 和1n +,就是上面的法一．【答案】651【巩固】计算:3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即:原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式:23154=⨯+,24264=⨯+,25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【答案】75616【例 11】12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800【例 12】123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111121212312312341234567=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯115040=-50395040=【答案】50395040【巩固】计算:23993!4!100!+++= . 【考点】分数裂项 【难度】4星【题型】计算【解析】原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯ 112100!=-【答案】112100!-【例 13】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【答案】12741275【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】2111(12)112=-⨯++,311(12)(123)12123=-+⨯+++++,……,10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++ ,所以原式1112100=-+++ 15049150505050=-=【答案】50495050【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++ （）【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】原式234101(133********=-++++⨯⨯⨯⨯ 1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭ 11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155=【答案】155【例 14】22222211111131517191111131+++++=------. 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】这题是利用平方差公式进行裂项:22()()a b a b a b -=-⨯+,原式111111(((()(()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111(244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯1113()214214=-⨯=【答案】314【巩固】计算:222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(123454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】2111131(1(1)22222-=-⨯+=⨯,2111241(1)(133333-=-⨯+=⨯,……所以,原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】计算:222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯ 2222222111111112233478=-+-+-++- 2118=-6364=【答案】6364【巩固】计算:222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996=【答案】9979971996【巩固】计算:22222222222213243598100213141991++++++++=---- ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】2221310213+=-,2222420318+=-,22235344115+=-,……由于104233=,204288=,34421515=,可见原式222244442222213141991=++++----1111298413243598100⎛⎫=⨯+⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111111111964123243598100⎛⎫=+⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11119621299100⎛⎫=+⨯+-- ⎪⎝⎭199196329900=+-⨯47511984950=【答案】47511984950【巩固】计算:22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-,241-,261-,……,21001-,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭ 222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++ ⎪----⎝⎭ 1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101=【答案】6312101【例 15】5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】56677889910111111113(...(56677889910566791051010+++++-+-+=+-++++=+=⨯⨯⨯⨯⨯【答案】310【巩固】 36579111357612203042++++++【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【关键词】第三届,祖冲之杯,人大附中【解析】原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算:1325791011193457820212435++++++++=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【巩固】123791117253571220283042+++++++【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式12311111121133573445475667=++++++++++++11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭334=【答案】334【巩固】1111120102638272330314151119120123124+++++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111112337434=++++++127=【答案】127【巩固】35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦11111111782334788⎡⎤⎛⎫=+--+--⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1111788288⎛⎫=-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭211110=-=【答案】10【巩固】计算:57911131517191612203042567290-+-+-+-+【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111111111111(()(()()(()(23344556677889910=-+++-+++-+++-+++11312105=-+=【答案】35【巩固】11798175451220153012++++++【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式111111112111453445355646=+++++++++++ 111124523456=⨯+⨯+⨯+⨯3=【答案】3【例 16】22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式1232341918192021919 (21736)2123431819201912020=++++++++++=+⨯+=【答案】193620【巩固】11112007111(......(......)120072200620062200712008120062200520061++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】原式=2008111200711(...(...200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=2008111200711(...(...200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=1200820082008120072007(...(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=1111(2008200720072015028⨯+=【答案】12015028【例 17】计算:11111123459899515299+++++++=⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 11491502550=+-=【答案】4950【例 18】计算:24612335357357911++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 111111133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯【解析】 135134135135=【答案】135134135135【例 19】计算:28341112222221335571719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】3411992222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯【解析】所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【解析】 921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379399。
五年级数学下册苏教版第四单元第11课《通分》说课稿
五年级数学下册苏教版第四单元第11课《通分》说课稿一. 教材分析五年级数学下册苏教版第四单元第11课《通分》是本单元的重要内容。
本节课主要让学生掌握通分的方法，理解通分在分数计算中的重要性。
教材通过例题和练习，让学生在具体的问题中体验和理解通分的过程，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析五年级的学生已经掌握了分数的基本知识，对分数的加减法有了一定的了解。
但是，学生在实际操作中，对于如何找公倍数，如何进行通分，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生理解通分的过程，并通过实际操作，让学生掌握通分的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解通分的概念，掌握通分的方法，并能应用于实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学的乐趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解通分的概念，掌握通分的方法。
2.教学难点：学生能够灵活运用通分的方法，解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用讲授法、引导法、实践法等多种教学方法。
同时，利用多媒体课件，帮助学生直观地理解通分的过程。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将两个分数通分。
2.讲解：讲解通分的概念和方法，让学生理解通分的重要性。
3.实践：让学生分组进行实践，找寻公倍数，进行通分。
4.总结：引导学生总结通分的方法和步骤。
5.练习：让学生进行相关的练习，巩固所学知识。
6.拓展：引导学生思考通分在实际生活中的应用。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的主要内容。
可以设计一个通分的步骤图，让学生一目了然。
八. 说教学评价教学评价可以从学生的课堂表现、练习完成情况、课后反馈等方面进行。
对于学生在课堂上的积极参与、正确理解通分概念和方法的，要给予表扬和鼓励。
对于在练习中出现问题或者没有掌握通分方法的学生，要及时进行指导和帮助。
约分和通分专业知识讲座
25 和 24 35 42
2、比较每组分数大小
11 16
和
9 16
5 6
和
11 12
5 9
和
5 7
9 和13 16 24
4 11
和
1 3
四、想一想
1、 把16g糖放入320g水中，糖是水旳几分之 几？ 糖占糖水旳几分之几？
2、有甲、乙、丙三个射击运动员练习射击，三人各 自射击了30、40、50发子弹，分别打中了靶子 25、36、40次，请问谁旳命中率比较高某些？
7<9
16 16
分数旳分子相同，分母不同，分母大 9 > 9
旳分数值小。
14 15
分子分母都不相同旳,先通分,再比较大小.
通分
把异分母分数分别化成和原来分数相等旳 同分母分数，叫做通分
通分措施：先求出原来几种分母旳最小公倍数做
公分母，然后把各分数分别化成用这个公分母作
分母旳分数。
11 12
=
11× 512×
24旳因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 30旳因数有：1，2，3，5，6，10，15，30 24和30旳公因数有：1，2，3，6
几种数公有旳因数叫做这几种数旳公因数。 公因数中最大旳一种，叫做最大公因数。
用短除法算最大公因数：
2 24 30 3 12 15
45 24和30旳最大公因数= 2×3=6
约分和通分
约分和通分
分数旳基本性质
最大公因数 最简分数
求最大公因数旳措施 约分及措施
最小公倍数 分数比较大小
求最小公倍数旳措施 通分及措施
我懂得：
分数旳基本性质是什么？
分数旳分子和分母同步乘以或者除以 相同旳数（0除外），分数旳大小不 变。
小学奥数讲义 第十一讲-比较与估算综合技巧强化篇
【例1】把下列分数用“＜”号连接起：1017，1219，1523，2033，6091。
【巩固】这里有五个分数： 23，5 8，1523，10 17，12 19，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？【例2】比较444443444445和555554555556的大小。
【巩固】如果A =222221222223，B =333331333334，那么A 和B 中较大的数是 。
比较与估算综合技巧【例3】比较下列几组分数的大小：⑴试比较1111111和111111111的大小；⑵(第六届迎春杯决赛)如果A=111111110222222221，B=444444443888888887，A与B中哪个数较大？【巩固】(第四届希望杯1试)如果a=20052006，b=20062007，那么a，b中较大的数是。
【例4】求数a=10100+10101+10102+…+10110的整数部分。
【巩固】(第六届小数报决赛)A=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，A的整数部分是。
【例5】求下式中S的整数部分：S=11111 919293100 ++++L。
【巩固】求数++++1111110111219L 的整数部分是几？【例6】求下式的整数部分：2.45⨯4.05+2.46⨯4.04+2.47⨯4.03+2.48⨯4.02+2.49⨯4.01。
【巩固】8.01⨯1.24+8.02⨯1.23+8.03⨯1.22的整数部分是多少？〖答案〗【例 1】1017＜2033＜1219＜1523＜6091【巩固】12 19【例 2】444443444445＜555554555556【巩固】A【例 3】⑴1111111＜111111111⑵B 【巩固】b 【例 4】1 【巩固】44 【例 5】9 【巩固】1 【例 6】49 【巩固】29。
人教版五年级数学下册教案：第11课时通分
人教版五年级数学下册教案；第11课时通分第11课时通分课题通分课型新授课备课人执教时间教学目标知识目标使学生理解通分的意义，掌握通分的方法.能力目标能正确地把两个分数通分.情感目标培养学生初步的分析、综合和概括能力.重点理解通分的意义，掌握通分的方法.难点理解通分的意义，掌握通分的方法.教学过程教学预设个性修改目标导学复习激趣→目标导学→自主合作→汇报交流→变式训练创境激疑一、复习引入1．求下面每组中两个数的最小公倍数.12和8 8和9 9和452．根据分数的基本性质将〔〕填上正确的答案.二、探索研究1．教学例3；地球上，陆地面积约占地球，那么，710，而海洋的面积约占地球总面积的310积的总面你知道地球上的陆地多还是海洋多吗？.的大小710和310，比较3出示例〕1〔提问；这两个分数能你会比较它们的大小吗？〔2〕比较下面几组分数的大小.你发现了什么？上面3道题都能很快看出两个分数的大小，那么下面三组分数的大小你会比较吗？说说你是怎么想的？〔3〕分母相同分两个分数怎样比较大小？分子相同的两个分数呢？〔学生总结规律〕2．教学例题5； 教师出示图例.豆类食品含有较高的蛋白质，经常食用有益于人体健，蚕豆的蛋白质含量大25其中黄豆的蛋白质含量大约是.康，黄豆和蚕豆哪个的蛋白质含量比较高？14约是 问题；的大小关系吗？为什么？14和25你能直接比较〕1〔 14和25能很快看出两个分数的大小，3上面例题〕2〔 这组分数有什么特点？ 不容易直接比较大小？14和25什么①为 ②可以用什么方法来比较它们的大小？③能用10、20、30等数来作它们的公分母吗？④课本上为什么选用20作公分母？ 〔3〕全体学生围绕以上思考题进行讨论..的大小14和25通过直观图引导学生比较〕4〔 ；的？板书820是怎样变成25① ；？板书520又是怎样等于14②谁会用“因为……所以……”来说明？板书；因为，所以拓展应用引导学生通过观察、比较、归纳、概括出通分的意义.总结1．什么叫做通分？2．通分的一般方法是什么？关键是什么？作业布置完成做一做板书设计通分例4、比较310和710的大小. 例5、因为，所以教学札记。
第11讲 估算与比较-通分与裂项
求近似值或整数部分等需要进行估算的计算题，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值．与分数和小数比较有关的问题．用通分后再约分，或者裂项后再相消的方法解的长分式计算题．1.除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是多少?【分析与解】对于除法算式，我们将被除数和除数同时扩大或缩小若干倍，所得的商不变，所以可以将被除数和除数的小数点同时向左移动若干位，所得的商不变．因为要求计算小数点后前三位数字，所以只用保留小数点后前四位数字即可．12345678910111213÷3121110198765432l=1234．56789101l1213÷3121．110198765432l≈1235÷3121≈0.3957所以，原除式所得结果的小数点后前三位数字是395．2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：33．3332-3.1415926÷0.618【分析与解】221001000033.3331111.139⎛⎫≈=≈⎪⎝⎭3．1415926÷0.618≈3.14÷0.62≈5.1．所以33.3332-3.1415926÷0.618≈1111．1-5.1=1106．即原式的运算结果的整数部分为1106．3．在111111,,,,,,23499100中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数? 【分析与解】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．有111111,,,,,,23499100依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择． 有1111111111 2.9252345678910+++++++++≈而11111111111 3.015234567891011++++++++++≈所以最少选择11个即可使它们的和大于3.4.数1111110111219++++ 的整数部分是几?【分析与解】 我们可以先算出连10个分数的值111110111219++++ ，然后用所得的结果去除l ，所得的商的整数部分即为所求． 现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出111110111219++++ 的值． 因为111110111219++++ ＜10111110101010++++个分数＝1 即111110111219++++ ＞101111101919191919++++ 个分数＝ 即111110111219++++ 的值在1019～l ，那么它的倒数在l ～1910之间，显然所求的数的整数部分为1．评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求．5．8.01×1.24+8.02 ×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?【分析与解】8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22≈3×8.0×1.2=28.8，与29很接近，所以我们需要进一步的提高近似计算的精度．(8.01，1.24)，(8.02，1.23)，(8.03，1.22)这三组数的和相等，当每组内的两个数越接近它们的积越大，所以8.01×1.24在三组数中乘积最大，8.03×1.22在三组数中乘积最小． 所以8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22<3×8.01×1.24<3×8.00×1.25=30； 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22>3×8.03×1.22=29.3898． 显然8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是29．6．(1)如果111111110=222222221A ，444444443=888888887B ,那么A 与B 中较大的数是哪一个?(2)请把6565226798,,,6575326809这4个数从大到小排列。
五年下册数学教案第11课时《通分》人教新课标
第十一课时通分一、学习目标（一）学习内容《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第73、74页的例4、5。
通分和约分一样，也是分数基本性质的应用，同时通分还是异分母分数加减法运算的基础，教材以分数大小比较为线索，由特殊到一般的分数大小比较，引出通分。
（二）核心能力利用迁移类推的学习方法，把新知转化为旧知，渗透转化思想，提高分析和解决问题的能力。
（三）学习目标1.通过自主探究、小组合作,掌握同分母分数，同分子分数大小比较的方法，并能熟练、快速地比较。
2.在解决实际问题的过程中,利用迁移类推，理解和掌握通分的概念及方法，渗透转化思想，提高分析和解决问题的能力。
3.能运用通分的方法，比较异分母分数的大小，解决简单的实际问题。
（四）学习重点理解通分的意义,掌握通分的方法。
（五）学习难点通分在解决实际问题时的应用。
（六）配套资源实施资源：《通分》名师教学课件二、教学设计（一）课前设计1．课前复习（1）求下面每组中两个数的最小公倍数。
6和8 8和9 9和27（2）根据分数的基本性质填空。
3 4＝9（）＝（）2445＝16（）＝（）15＝24（）（3）比较下列各组分数的大小。
2 7○5714○1556○511（二）课堂设计1.创设情境，引出研究问题出示第73页例3“世界地图”师：这是一幅世界地图，你知道地球上的陆地多还是海洋多？预设：①没有数据无法判断②从图上可以估计，海洋面积比陆地面积大师对学生回答予以鼓励性评价，随机出示相关信息，“陆地面积约占地球面积的310，而海洋面积约占地球总面积的710引导学生比较310和710的大小，并说说自己的理由。
预设：①如果把地球面积平均分成10份，陆地占3份，海洋占7份，海洋面积大。
②310是3 个110，710是7个110，710比310大。
师：根据旧知，我们解决了这个问题，这节课我们继续学习有关分数的知识。
【设计意图：从学生感兴趣的“地球上的陆地多，还是海洋多”这一话题引入，一方面拓宽了学生的视野，凸显了数学的人文价值，另一方面，让学生在具体生活情境中比较两个分数的大小，体会数学知识无处不在，处处有数学，处处用数学。
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求近似值或整数部分等需要进行估算的计算题，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值．与分数和小数比较有关的问题．用通分后再约分，或者裂项后再相消的方法解的长分式计算题．1.除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是多少?【分析与解】对于除法算式，我们将被除数和除数同时扩大或缩小若干倍，所得的商不变，所以可以将被除数和除数的小数点同时向左移动若干位，所得的商不变．因为要求计算小数点后前三位数字，所以只用保留小数点后前四位数字即可．12345678910111213÷3121110198765432l=1234．56789101l1213÷3121．110198765432l≈1235÷3121≈0.3957所以，原除式所得结果的小数点后前三位数字是395．2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：33．3332-3.1415926÷0.618【分析与解】221001000033.3331111.139⎛⎫≈=≈⎪⎝⎭3．1415926÷0.618≈3.14÷0.62≈5.1．所以33.3332-3.1415926÷0.618≈1111．1-5.1=1106．即原式的运算结果的整数部分为1106．3．在111111,,,,,,23499100中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数? 【分析与解】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．有111111,,,,,,23499100依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择． 有1111111111 2.9252345678910+++++++++≈而11111111111 3.015234567891011++++++++++≈所以最少选择11个即可使它们的和大于3.4.数1111110111219++++ 的整数部分是几?【分析与解】 我们可以先算出连10个分数的值111110111219++++ ，然后用所得的结果去除l ，所得的商的整数部分即为所求． 现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出111110111219++++ 的值． 因为111110111219++++ ＜10111110101010++++个分数＝1 即111110111219++++ ＞101111101919191919++++ 个分数＝ 即111110111219++++ 的值在1019～l ，那么它的倒数在l ～1910之间，显然所求的数的整数部分为1．评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求．5．8.01×1.24+8.02 ×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?【分析与解】8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22≈3×8.0×1.2=28.8，与29很接近，所以我们需要进一步的提高近似计算的精度．(8.01，1.24)，(8.02，1.23)，(8.03，1.22)这三组数的和相等，当每组内的两个数越接近它们的积越大，所以8.01×1.24在三组数中乘积最大，8.03×1.22在三组数中乘积最小． 所以8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22<3×8.01×1.24<3×8.00×1.25=30； 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22>3×8.03×1.22=29.3898． 显然8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是29．6．(1)如果111111110=222222221A ，444444443=888888887B ,那么A 与B 中较大的数是哪一个?(2)请把6565226798,,,6575326809这4个数从大到小排列。
【分析与解】 （1）111111111100.522222222221222222221A -－＝＝， 114444444430.5==22888888887888888887B --,有0.50.5>222222221888888887, 11>22A B -－,所以A B <即A 与B 中较大的数是B ．(2)将1与这四个分数依次做差，得1657、153、12680、19,显然有1111<<<2680657539,被减数相同,差小的数反而大,所以2679656528>>>2680657539.7．24807<<319口在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少? 【分析与解】 将不等式中的三个数同时除以80，不等号的方向不改变，有317<<310720口，而3310、7720的倒数分别为3103、7207，而□应该在31072037之间，即在103.33～102.86之间(在计算循环小数时，将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103，所以□内所填的整数为103．8．有8个数，0.51，23,59,0.51,2413,4725是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 【分析与解】2=0.63 ,5=0.59 ,240.510647≈,13=0.5225显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6即241352<051<0.51<<<472593，8个数从小到大排列第4个是0.51，所以有241352<<<0.51<0.51<<<472593 口口．(“口’’表示未知的那2个数). 所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51．9.在下面9个算式中: ①35520+，②36620+,③37720+,④38820+,⑤39920+，⑥3101020+，⑦3111120+，⑧3121220+,⑨3131320+,第几个算式的答数最小，这个答数是多少? 【分析与解】方法一： ①-②=353631-05206205620⎛⎫⎛⎫++=->⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭,即①>②； ②-③=36373106207206720⎛⎫⎛⎫+-+=->⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，即②>③； ③-④=37383107208207820⎛⎫⎛⎫+-+=->⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，即③>④； ④-⑤=38393108209208920⎛⎫⎛⎫+-+=-<⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，即④<⑤； ⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为31101120-⨯，31111220-⨯,31111220-⨯均小于0,所以⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为383182040+=. 方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为320． 因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小．其中第4个算式中38、820最接近，所以第4个算式最小·10.下面的4个算式中，哪个式子的得数最大?①11201719⎛⎫+⨯⎪⎝⎭②11302429⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭，③11403137⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；④11504147⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭．【分析与解】①113120=2+17191719⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭,②111130=22429429⎛⎫+⨯++ ⎪⎝⎭， ③119340=231373137⎛⎫+⨯++⎪⎝⎭, ④119350=241474147⎛⎫+⨯++ ⎪⎝⎭．因为99>315133>3757,所以9393>31375157++,即③>①， 因为99>3136，33>3787,所以9393>31373687++,即③>②，因为99>3141,33>3747,所以9393>31374147++,即③>④．所以4个算式中，③最大．11．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．【分析与解】 方法一：我们将分母为1～9的分数中最接近0.618的分数列出为：112334456,,,,,,,,,123456789将它们化成小数与0.618做差，依次为0.382，0.118，0.049，0.132，0.018，0.049，0.047，0.007，0.049．在计算其中的循环小数时小数点后保留三位数字．又0.007最小，也就是说58最接近0.618． 即在所有分母小于10的真分数中，58最接近0.618．方法二：我们将0.618化为分数有：于是只用比较311719+,11429+,933137+,934147+的大小.①3193=17195157++②1193=4293687++③9393=31373137++ ④9393=41474147++30910.618==1915001309+1=111181191++1=11111118+++1=1111145173++++1=111111128145+++++1=11111111117128++++++从前到后，依次舍弃191309、118191、73118、6573、865、18,而得到近似分数依次为11、12、23、35、58、813．其中，分母小于10的最接近0.618的分数为58． 评注：方法一的思维过程很清晰，但是如果对分母限定的范围比较大，如分母在50以内分数，这样方法一就不适用了． 方法二的计算比较繁琐，但是有很好的适用性．这种方法的过程是先将给出的小数或分数化为繁分数，并使繁分数中所有分子为1，然后再依次将最后部分舍去，最后将其还原为普通分数，在题中给定的分母范围内挑出最紧接的那个分数即可．12．计算：11111111111122339999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析与解】11111111111122339999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111=1112399⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111112399⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦34100=2399⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ 12982399⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1001=299⨯50=9013．计算：111111111357911131517612203042567290++++++++ 【分析与解】 111111111357911131517612203042567290++++++++ 11111111=(1357911131517)612203042567290⎛⎫++++++++++++++++ ⎪⎝⎭(117)911111111=223344556677889910+⨯⎛⎫++++++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111111=812334455667⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111117889910⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=81210⎛⎫+- ⎪⎝⎭2=81514．计算：1111111648244880120168224⎛⎫++++++⨯ ⎪⎝⎭【分析与解】 1111111648244880120168224⎛⎫++++++⨯⎪⎝⎭1111111=64183868108158218288⎛⎫++++++⨯⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 1111111=16483610152128⎛⎫⨯++++++⨯ ⎪⎝⎭2222222=8261220304256⎛⎫⨯++++++⎪⎝⎭2222222=812233445566778⎛⎫⨯++++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 1111111=8212233445566778⎛⎫⨯⨯++++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111111111=1612233445566778⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1=1618⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=1415．计算:234101----1(12)(12)(123)(123)(1234)(129)(12910)-⨯++⨯++++⨯+++++⨯++++【分析与解】方法一:211=1(12)3-⨯+2311-=1(12)(12)(123)6-⨯++⨯++234111(12)(12)(123)(123)(1234)10---=⨯++⨯++++⨯+++发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数为多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少．所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55，所以最终计算结果为155． 方法二：2111(12)12=-⨯++311(12)(123)12123=-+⨯+++++ 411(12)(123)1231234=-+⨯+++++++,1011=(1239)(123910)123912310-++++⨯+++++++++++++ 11111=111212123123123411123912310⎛⎫⎛⎫⎛⎫--------⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪+++++++⎝⎭原式1=12310++++1=55方法三：先找出通项的规律为[][]12(1)12nn n +++-⨯++有[][]12(1)12n n n +++-⨯++ (1)(1)22nn n n n =-⨯⨯+⨯4(1)(1)n n n =-⨯⨯+而4112(1)(1)(1)(1)n n n nn n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+⎣⎦,以下省略．。