2016-2017年山西省晋城市陵川一中高一下学期期末数学试卷及答案
2016-2017学年山西省晋中市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
山西省晋中市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x||x|≤2}，则集合A∩B=（）A．（﹣4，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，﹣1）D．[﹣2，4）2．（5分）下列不等式中，与不等式的解集相同的是（）A．（x+4）（x2﹣2x+2）＞3 B．x+4＞3（x2﹣2x+2）C． D．3．（5分）现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，a3a5=45，S7=49，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a值为（）A．511 B．1023 C．2047 D．40956．（5分）在△ABC中，若AB=4，AC=6，D为边BC的中点，O为△ABC的外心，则=（）A．13 B．24 C．26 D．527．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（2017）+f（2016）=（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）函数的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．99．（5分）若b＞a＞0，则的最小值为（）A．B．3 C． D．210．（5分）已知函数f（x）=cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g （x）的图象，若使|f（x1）﹣g（x2）|=2成立x1，x2的满足，则φ的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+（﹣1）n a n=n+2（n∈N*），则S20=（）A．130 B．135 C．260 D．27012．（5分）在平面四边形ABCD中，若AB=3，AC=4，cos∠CAB=，AD=4sin∠ACD，则BD的最大值为（）A． B．4 C． D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知角α的终边在直线y=3x上，则sin2α+sin2α=．14．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S n=尺．15．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b，当x∈[0，3]时，|f（x）|≤1恒成立，则2a+b的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xoy中，角θ满足，设点B是角θ终边上的一个动点，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）已知向量，函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若，且α为第一象限角，求cosα的值．18．（12分）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（a，b+c），．（1）求角A；（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围．19．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）（n∈N*）都在函数f（x）=的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）为了测量山顶M的海拔高度，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M在同一个铅垂面内（如图）．能够测量的数据有俯角、飞机的高度和A，B两点间的距离．请你设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算山顶M海拔高度的步骤．21．（12分）设函数f（x）=，a为常数，且a∈（0，1）．（1）若x0满足f（x0）=x0，则称x0为f（x）的一阶周期点，证明函数f（x）有且只有两个一阶周期点；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，当a=时，求函数f（x）的二阶周期点．22．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，且b2=，证明：b1+b2+…+b n＞．【参考答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．B【解析】集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，则集合A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选B．2．B【解析】∵x2﹣2x+2＞0，∴由不等式，得：x+4＞3（x2﹣2x+2），故选B．3．C【解析】现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，∴这10个数分别为2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，128，﹣256，512，﹣1024，∴从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率：p=．故选C．4．D（1）设{a n}的公差为d，则由题意递增等差数列{a n}的前n项和为S n，a3a5=45，S7=49，【解析】知a4=7，（7﹣d）（7+d）=45，即﹣d2=﹣4解得d=2，∴a n=7+（n﹣4）×2=2n﹣1．（2）∵==（），∴数列的前n项和为：==．故选D．5．C【解析】模拟程序的运行，可得a=1，n=1执行循环体，a=3，n=2不满足条件n＞10，执行循环体，a=7，n=3不满足条件n＞10，执行循环体，a=15，n=4不满足条件n＞10，执行循环体，a=31，n=5不满足条件n＞10，执行循环体，a=63，n=6不满足条件n＞10，执行循环体，a=127，n=7不满足条件n＞10，执行循环体，a=255，n=8不满足条件n＞10，执行循环体，a=511，n=9不满足条件n＞10，执行循环体，a=1023，n=10 不满足条件n＞10，执行循环体，a=2047，n=11 满足条件n＞10，退出循环，输出a的值为2047．故选C．6．A【解析】如图，∵D为边BC的中点，∴，又O为△ABC的外心，且AB=4，AC=6，∴==．故选A．7．C【解析】∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又∵f（1+x）=f（1﹣x），可得f（x+1）=﹣f（x﹣1），即为f（x+2）=﹣f（x），即有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，∴f（2017）=f（504×4+1）=f（1），由当0＜x≤1时，f（x）=2x，可得f（1）=2，由f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，则f（2017）+f（2016）=f（1）+f（0）=2．故选C．8．B【解析】函数=2cos x（1﹣2sin2）﹣1﹣|lg（x+1）|=2cos2x﹣1﹣|lg（x+1）|=cos2x﹣|lg（x+1）|．函数的零点，就是cos2x﹣|lg（x+1）|=0的根．即：y=cos2x，与y=|lg（x+1）|解得的个数．如图：lg|3π+1|＞lg10=1，两个函数的图象的交点有6个．故选B．9．C【解析】b＞a＞0，可得：，则=，令t=＞1，上式化为：=t﹣1+≥2=2，当且仅当t=1+时取等号．表达式的最小值为：2．故选C．10．C【解析】函数f（x）=cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）=cos2（x+φ）=cos（2x+2φ），由|f（x1）﹣g（x2）|=2，得|cos2x1﹣cos（2x2+2φ）|=2，则必有cos2x1=1且cos（2x2+2φ）=﹣1，或cos2x1=﹣1，cos（2x2+2φ）=1，根据对称性不妨设cos2x1=1且cos（2x2+2φ）=﹣1，则2x1=2k1π，2x2+2φ=2k2π+π，即x1=k1π，x2=﹣φ+k2π，则x1﹣x2=（k1﹣k2）π+φ﹣，∵0＜φ＜，，∴|x1﹣x2|=|（k1﹣k2）π+φ﹣|=|（k2﹣k1）π+﹣φ|，则当k1=k2时，﹣φ=，即φ=，故选C．11．A【解析】∵a n+1+（﹣1）n a n=n+2，∴a2﹣a1=3，a3+a2=4，a4﹣a3=5．可得a3+a1=1，a2+a4=9，同理可得：a5+a7=a3+a1=1=a9+a11=a13+a15=a17+a19．a6+a8=17，a10+a12=25，a14+a16=33，a18+a20=41．∴{a n}的前20项和=（a1+a3）+…+（a17+a19）+（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a18+a20）=5+9+17+25+33+41=130．故选A．12．D【解析】设AC中点为O，连结OB，则AO=AC=2，在△ABO中，由余弦定理得OB==3，∵AD=4sin∠ACD=AC sin∠ACD，∴AD⊥CD，∴D位于以AC为直径的圆O上，∴OD=AC=2，∴当OBD三点共线时，BD取得最大值OB+OD=5．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解析】∵角α的终边在直线y=3x上，∴tanα=3，则sin2α+sin2α====，故答案为．14．【解析】由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴Sn=2n﹣1+2﹣=，故答案为．15．1【解析】f（x）=ax2﹣2ax+b=a（x﹣1）2+b﹣a，则函数的对称轴为x=1，最值为b﹣a，当a＞0时，函数f（x）图象开口向上，当x=1时，f（x）取最小值b﹣a，当x=3时取最大值3a+b，由|f（x）|≤1恒成立，即﹣1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，可得﹣1≤b﹣a，且3a+b≤1，且a＞0，作出点（a，b）满足的不等式组的可行域，如上图．则z=2a+b过点（0，1）时，取得最大值1；当a＜0时，函数f（x）图象开口向下，当x=1时，f（x）取最大值b﹣a，当x=3时取最小值3a+b，由|f（x）|≤1恒成立，即﹣1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，可得﹣1≤3a+b，且﹣a+b≤1，且a＜0，作出点（a，b）满足的不等式组的可行域，如下图．则z=2a+b过点（0，1）时，取得最大值1．故答案为1．16．【解析】方法1：sinθ=2sin cos=﹣，cosθ=cos2﹣sin2=，设OB=a，则B（a，﹣a），∴=（12﹣，5+），∴||===，∴当a=时，||取得最小值=．方法2：由方法1可知B点在射线3x+4y=0（x＞0），∴的最小值为A到射线3x+4y=0（x＞0）的距离d==．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．解：（1）向量，函数．====由得所以函数f（x）的单调减区间为．（2）由=，得由α是第一象限角，得，所以所以所以=．18．解：（1）由，得由正弦定理得因为B=π﹣A﹣C所以所以由于sin C≠0，所以由，得，故（2）由，得，所以=由△ABC为锐角三角形，所以，得，所以，，故6＜bc≤9，…（11分）又，所以，△ABC面积的取值范围为．19．解：（1）由题可得当n≥2时，所以所以所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0因为a n＞0所以a n﹣a n﹣1=2…（4分）当n=1时，，所以因为a1＞0，所以a1=5所以数列{a n}是以5为首项，2为公差的等差数列．所以a n=5+2（n﹣1）=2n+3（2）由（1）可得所以==6﹣（2n+2）•3n+1所以20．解：（1）需测量的数据有：A，B点到M点的俯角α，β，飞机的高度h，A，B两点的距离a．（2）过点M作AB的垂线，垂足为N，第一步，在△ABM中，计算AM．由正弦定理得，第二步，在△AMN中，计算MN．由锐角三角函数定义得MN=AM sinα第三步，计算山顶M海拔高度：h﹣MN．21．（1）证明：由题可得，当0≤x≤a时，，因为a∈（0，1），所以x=0；当a＜x≤1时，，因为a∈（0，1），所以x=，所以函数f（x）有且只有两个一阶周期点．（2）解：当时，所以当时，由4x=x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是f（x）的二阶周期点；当时，由2﹣4x=x，解得，因为，故是f（x）的二阶周期点；当时，由4x﹣2=x，解得，因为，故不是f（x）的二阶周期点；当时，由4﹣4x=x，解得，因为，故是f（x）的二阶周期点；综上，当时，函数f（x）的二阶周期点为x1=，x2=．22．解：（1）由已知，S n+1=qS n+1，S n+2=qS n+1+1，两式相减，得到a n+2=qa n+1（n≥1）．又由S2=qS1+1，得到a2=qa1．故a n+1=qa n对所有n≥1都成立．所以数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，从而．由2a2，a3，a2+2成等差数列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2．则（2q+1）（q﹣2）=0．由已知，q＞0，故q=2．所以．（2）由（1）知，a n=q n﹣1．b n=．由，q＞0解得q=．因为1+q2（n﹣1）＞q2（n﹣1）所以于是b1+b2+…+b n＞1+q+q2+…+q n﹣1===故b1+b2+…+b n＞．。
山西省高一下学期期末数学试卷(文科)Word版含答案
2015-2016学年五校联考高一（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数是（）A．1 B．2 C．无数个D．不存在2．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=（）A．1024 B．1023 C．2048 D．20473．若0＜a＜1，则不等式（x﹣a）（x﹣）＞0的解集是（）A．{x|a＜x＜}B．{x|＜x＜a}C．{x|x＜a或x＞}D．{x|x＜或x＞a}4．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）5．在数列{a n}中，a n=﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（）A．102 B． C． D．1086．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC 的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．设a=cos6°﹣sin6°，b=2sin13°cos13°，c=，则有（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b8．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量，，若，则角C的大小为（）A．B．C．D．9．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b10．数列{a n}中，若S n=3n+m﹣5，数列{a n}是等比数列，则m=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．411．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥|cosx|”发生的概率为（）A．B．C．D．112．设函数f（x）的定义域为R，周期为2，f（x）=，若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，]B．[0，）C．（0，]D．（0，]二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=sin2（2x﹣）的最小正周期是______．14．设a＞﹣38，P=﹣，Q=﹣，则P与Q的大小关系为______．15．数列{a n}中，a1=1，对于所有n≥2，n∈N，都有，则a3+a5=______．16．给出下列结论：①2ab是a2+b2的最小值；②设a＞0，b＞0，2的最大值是a+b；③+的最小值是2；④若x＞0，则cosx+≥2=2；⑤若a＞b＞0，＞＞．其中正确结论的编号是______．（写出所有正确的编号）三．解答题：（本大题共6小题，共70分）17．已知，求的取值范围．18．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：分组频数频率60～70 a 0.1670～80 1080～90 18 0.3690～100 b合计50（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；（2）求频率分布表格中a，b的值，并估计800学生的平均成绩；（3）若成绩在85～95分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？19．（文科）已知{a n}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）令C n=nb n（n∈N+），求{c n}的前n项和T n．20．在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=．①求的值．②若，求△ABC的面积S的最大值．21．已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．22．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（log3x+m），x∈[，3]的最小值为3，求实数m的值．四.附加题：（本题每题5分，共15分）23．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，则x+y的最小值为______．24．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为______．25．已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若关于x的方程f（x）﹣a=x至少有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．2015-2016学年山西省忻州一中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数是（）A．1 B．2 C．无数个D．不存在【考点】正弦定理．【分析】由已知，利用正弦定理可求sinB=＞1，从而可得满足此条件的三角形不存在．【解答】解：∵a=4，b=5，A=45°，∴由正弦定理可得：sinB===＞1，不成立．故选：D．2．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=（）A．1024 B．1023 C．2048 D．2047【考点】数列递推式．【分析】由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1∴a10=210﹣1=1023．故选B．3．若0＜a＜1，则不等式（x﹣a）（x﹣）＞0的解集是（）A．{x|a＜x＜}B．{x|＜x＜a}C．{x|x＜a或x＞}D．{x|x＜或x＞a}【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先根据a的范围求出a与的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集．【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＜，而是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外∴的解集为{x|}故选C．4．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C5．在数列{a n}中，a n=﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（）A．102 B． C． D．108【考点】数列的函数特性．【分析】结合抛物线的性质判断函数的对称轴，结合抛物线的性质进行求解即可．【解答】解：a n=﹣2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n=﹣==7，∵n是整数，∴当n=7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7=﹣2×72+29×7+3=108，故选：D6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC 的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B•sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．7．设a=cos6°﹣sin6°，b=2sin13°cos13°，c=，则有（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】化简可得a=sin24°，b=sin26°，c=sin25°，由三角函数的单调性可得．【解答】解：化简可得a=cos6°﹣sin6°=sin（30°﹣6°）=sin24°；b=2sin13°cos13°=sin26°；c===sin25°，由三角函数的单调性可知a＜c＜b故选：D8．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量，，若，则角C的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；平行向量与共线向量．【分析】因为，根据向量平行定理可得（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a），展开即得b2+a2﹣c2=ab，又根据余弦定理可得角C的值．【解答】解：∵∴（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a）∴b2+a2﹣c2=ab2cosC=1∴C=故选B．9．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】奇函数．【分析】首先利用奇函数的性质与函数的周期性把f（x）的自变量转化到区间（0，1）内，然后由对数函数f（x）=lgx的单调性解决问题．【解答】解：已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．则=﹣lg＞0，=﹣lg＞0，=lg＜0，又lg＞lg∴0＜﹣lg＜﹣lg∴c＜a＜b，故选D．10．数列{a n}中，若S n=3n+m﹣5，数列{a n}是等比数列，则m=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．4【考点】等比数列的通项公式．【分析】由S n=3n+m﹣5，可得a1=S1=m﹣2，a1+a2=4+m，a1+a2+a3=22+m，联立解出，再利用等比数列的性质即可得出．【解答】解：∵S n=3n+m﹣5，∴a1=S1=m﹣2，a1+a2=4+m，a1+a2+a3=22+m，联立解得：a1=m﹣2，a2=6，a3=18．∵数列{a n}是等比数列，∴62=18（m﹣2），解得m=4．故选：D．11．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥|cosx|”发生的概率为（）A．B．C．D．1【考点】几何概型．【分析】先化简不等式，确定满足sinx≥|cosx|在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．【解答】解：∵sinx≥|cosx|，x∈[0，π]，∴≤x≤，长度为∵区间[0，π]的长度为π，∴事件“sinx≥|cosx|”发生的概率为=故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，周期为2，f（x）=，若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，]B．[0，）C．（0，]D．（0，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0得f（x）=mx+m，设g（x）=mx+m=m（x+1），则g（x）过定点（﹣1，0），作出函数f（x）和g（x）的图象如图：若g（x）=f（x）﹣mx﹣m有四个不同零点，则等价为f（x）与g（x）有四个不同的交点，由图象可知当g（x）过点（3，1）时，满足条件，可得1=3m+m，则m=，∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，]故选：D二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=sin2（2x﹣）的最小正周期是．【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简，进而通过三角函数的性质求得周期．【解答】解：f（x）=sin2（2x﹣）=根据三角函数的性质知T==故答案为：14．设a＞﹣38，P=﹣，Q=﹣，则P与Q的大小关系为P＜Q．【考点】方根与根式及根式的化简运算．【分析】利用分子有理化、根式的运算性质即可得出．【解答】解：∵a＞﹣38，∴＞，又P=﹣=，Q=﹣=，则P＜Q．故答案为：P＜Q．15．数列{a n}中，a1=1，对于所有n≥2，n∈N，都有，则a3+a5=．【考点】数列递推式．【分析】利用已知：数列{a n}中，a1=1，对于所有n≥2，n∈N，都有，可得．因此．即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，对于所有n≥2，n∈N，都有，∴．∴．∴=，，∴a3+a5==．故答案为．16．给出下列结论：①2ab是a2+b2的最小值；②设a＞0，b＞0，2的最大值是a+b；③+的最小值是2；④若x＞0，则cosx+≥2=2；⑤若a＞b＞0，＞＞．其中正确结论的编号是⑤．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据均值定理等号成立的条件可判断①②③，根据均值定理要求为正值可判断④，根据均值定理可证明⑤．【解答】解：①中当a=b时才有最小值2ab，故错误；②中当a=b时才有最大值，故错误；③中=时，x无解，故最小值是不是2，故错误；④中需cosx为正值时成立，故错误；⑤根据均值不等式可得不等式成立，故正确．故答案为⑤．三．解答题：（本大题共6小题，共70分）17．已知，求的取值范围．【考点】对数的运算性质．【分析】由已知可得，令，解得，，可得：=，即可得出．【解答】解：由已知可得，（*）令，解得，因此可得：由（*）可知：1≤a≤2，2≤b≤3，由此可得，即的取值范围是．18．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：分组频数频率60～70 a 0.1670～80 1080～90 18 0.3690～100 b合计50（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；（2）求频率分布表格中a，b的值，并估计800学生的平均成绩；（3）若成绩在85～95分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？【考点】系统抽样方法．【分析】（1）计算出样本间隔为16，即可（2）根据频数和频率的关系进行求解，（3）求出成绩在85～95分的学生的人数和样本比例，进行估计即可．【解答】解：（1）样本间隔为800÷50=16，则第二组第一位学生的编号为016．（2）a=50×0.16=8；90～100的频数为50﹣8﹣10﹣18=14，则b==0.28，70～80的频率=0.2，则平均成绩约为8×0.16+10×0.2+18×0.36+14×0.28=82.6（3）在被抽到的学生中获二等奖的人数9+7=16（人），占样本的比例是=0.32，即获二等奖的概率为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256（人）．答：获二等奖的大约有256人．19．（文科）已知{a n}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）令C n=nb n（n∈N+），求{c n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（Ⅰ）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②结合d＞0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求a n，b n（Ⅱ）由（I）可得，b n=2n﹣1，c n=n•2n﹣1，考虑利用错位相减求解数列的和即可【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②可得，（3d+7）（d﹣3）=0∵{a n}是单调递增的等差数列，d＞0．则d=3，q=2，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n，b n=2n﹣1…（Ⅱ）b n=2n﹣1，c n=n•2n﹣1，∴T n=c1+c2+…+c n T n=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣12T n=1•21+2•22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n…两式相减可得，﹣T n=1•20+1•21+1•22+…+1•2n﹣1﹣n•2n∴﹣T n==2n﹣1﹣n•2n∴T n=（n﹣1）•2n+1…20．在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=．①求的值．②若，求△ABC的面积S的最大值．【考点】解三角形．【分析】①根据=﹣，利用诱导公式cos（﹣α）=sinα化简所求式子的第一项，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值；②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的面积公式S=bcsinA表示出三角形的面积，把sinA的值代入得到关于bc的关系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值．【解答】解：①∵cosA=，∴==；②，∴，，∴，，∴，．21．已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）设出向量=（x，y），由向量与向量的夹角为及=﹣2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围．【解答】解：（1）设=（x，y），则2x+2y=﹣2①又②联立解得，∴；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，∴，∵，∴．∴，∴=，∵，∴，∴．22．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（log3x+m），x∈[，3]的最小值为3，求实数m的值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）设出f（x）解析式，表示出f（x+1），代入已知等式确定出a，b，c的值，即可求出f（x）解析式；（2）令t=log3x+m，得到f（t）关于t的二次函数，由x∈[，3]的最小值为3，利用二次函数性质确定出m的值即可．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，∵f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，∴a=1，b=﹣2，c=3，则f（x）=x2﹣2x+3；（2）令t=log3x+m，则t∈[m﹣1，m+1]，则y=f（log3x+m）=f（t）=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，当1≤m﹣1⇔m≥2时，则f（m﹣1）=3⇒m=3，当1≥m+1⇔m≤0时，则f（m+1）=3⇒m=﹣1，当m﹣1＜1＜m+1⇔0＜m＜2时，f（1）=3不成立，综上，m=﹣1或m=3．四.附加题：（本题每题5分，共15分）23．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，则x+y的最小值为18．【考点】基本不等式．【分析】首先分析题目已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求x+y的最小值．等式2x+8y﹣xy=0变形为+=1，则x+y=（x+y）（+）根据基本不等式即可得到答案．【解答】解：已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0．2x+8y=xy即： +=1．利用基本不等式：则x+y=（x+y）（+）=+10≥8+10=18，当且仅当x=2y时成立．则x+y的最小值为18．故答案为18．24．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16可得数列{b n}是以16为公差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求【解答】解：∵，∴令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=b n+16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=183025．已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若关于x的方程f（x）﹣a=x至少有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是[﹣1，﹣]．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】若关于x的方程f（x）﹣a=x至少有三个不相等的实数根，则函数g（x）=f（x）﹣x的图象与直线y=a至少有三个交点，数形结合，可得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x=|x2﹣4x+3|﹣x=，其图象如下图所示：当x=﹣1时，函数取极小值﹣1，当x=时，函数取极大值﹣，当x=﹣3时，函数取极小值﹣3，若关于x的方程f（x）﹣a=x至少有三个不相等的实数根，则函数g（x）的图象与直线y=a至少有三个交点，故a∈[﹣1，﹣]，故答案为：[﹣1，﹣]2016年9月24日。
2016-2017年山西省晋中市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年山西省晋中市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x||x|≤2}，则集合A∩B＝（）A．（﹣4，2]B．（﹣1，2]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣2，4）2．（5分）下列不等式中，与不等式的解集相同的是（）A．（x+4）（x2﹣2x+2）＞3B．x+4＞3（x2﹣2x+2）C．D．3．（5分）现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，a3a5＝45，S7＝49，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a值为（）A．511B．1023C．2047D．40956．（5分）在△ABC中，若AB＝4，AC＝6，D为边BC的中点，O为△ABC的外心，则＝（）A．13B．24C．26D．527．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝2x，则f（2017）+f（2016）＝（）A．0B．1C．2D．38．（5分）函数的零点个数为（）A．5B．6C．7D．99．（5分）若b＞a＞0，则的最小值为（）A．B．3C．D．210．（5分）已知函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g （x）的图象，若使|f（x1）﹣g（x2）|＝2成立x1，x2的满足，则φ的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+（﹣1）n a n＝n+2（n∈N*），则S20＝（）A．130B．135C．260D．27012．（5分）在平面四边形ABCD中，若AB＝3，AC＝4，cos∠CAB＝，AD＝4sin∠ACD，则BD的最大值为（）A．B．4C．D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知角α的终边在直线y＝3x上，则sin2α+sin2α＝．14．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S n＝尺．15．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+b，当x∈[0，3]时，|f（x）|≤1恒成立，则2a+b的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xoy中，角θ满足，设点B是角θ终边上的一个动点，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知向量，函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若，且α为第一象限角，求cosα的值．18．（12分）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，．（1）求角A；（2）若a＝3，求△ABC面积的取值范围．19．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）（n∈N*）都在函数f（x）＝的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）为了测量山顶M的海拔高度，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M在同一个铅垂面内（如图）．能够测量的数据有俯角、飞机的高度和A，B两点间的距离．请你设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算山顶M海拔高度的步骤．21．（12分）设函数f（x）＝，a为常数，且a∈（0，1）．（1）若x0满足f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的一阶周期点，证明函数f（x）有且只有两个一阶周期点；（2）若x0满足f（f（x0））＝x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，当a＝时，求函数f（x）的二阶周期点．22．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1＝qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝，且b2＝，证明：b1+b2+…+b n＞．2016-2017学年山西省晋中市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x||x|≤2}，则集合A∩B＝（）A．（﹣4，2]B．（﹣1，2]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣2，4）【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，则集合A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．（5分）下列不等式中，与不等式的解集相同的是（）A．（x+4）（x2﹣2x+2）＞3B．x+4＞3（x2﹣2x+2）C．D．【解答】解：∵x2﹣2x+2＞0，∴由不等式，得：x+4＞3（x2﹣2x+2），故选：B．3．（5分）现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，∴这10个数分别为2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，128，﹣256，512，﹣1024，∴从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率：p＝．故选：C．4．（5分）已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，a3a5＝45，S7＝49，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则由题意递增等差数列{a n}的前n项和为S n，a3a5＝45，S7＝49，知a4＝7，（7﹣d）（7+d）＝45，即﹣d2＝﹣4解得d＝2，∴a n＝7+（n﹣4）×2＝2n﹣1．（2）∵＝＝（），∴数列的前n项和为：＝＝．故选：D．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a值为（）A．511B．1023C．2047D．4095【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1，n＝1执行循环体，a＝3，n＝2不满足条件n＞10，执行循环体，a＝7，n＝3不满足条件n＞10，执行循环体，a＝15，n＝4不满足条件n＞10，执行循环体，a＝31，n＝5不满足条件n＞10，执行循环体，a＝63，n＝6不满足条件n＞10，执行循环体，a＝127，n＝7不满足条件n＞10，执行循环体，a＝255，n＝8不满足条件n＞10，执行循环体，a＝511，n＝9不满足条件n＞10，执行循环体，a＝1023，n＝10不满足条件n＞10，执行循环体，a＝2047，n＝11满足条件n＞10，退出循环，输出a的值为2047．故选：C．6．（5分）在△ABC中，若AB＝4，AC＝6，D为边BC的中点，O为△ABC的外心，则＝（）A．13B．24C．26D．52【解答】解：如图，∵D为边BC的中点，∴，又O为△ABC的外心，且AB＝4，AC＝6，∴＝＝．故选：A．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝2x，则f（2017）+f（2016）＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又∵f（1+x）＝f（1﹣x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），即为f（x+2）＝﹣f（x），即有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，∴f（2017）＝f（504×4+1）＝f（1），由当0＜x≤1时，f（x）＝2x，可得f（1）＝2，由f（2016）＝f（504×4）＝f（0）＝0，则f（2017）+f（2016）＝f（1）+f（0）＝2．故选：C．8．（5分）函数的零点个数为（）A．5B．6C．7D．9【解答】解：函数＝2cos x（1﹣2sin2）﹣1﹣|lg（x+1）|＝2cos2x﹣1﹣|lg（x+1）|＝cos2x﹣|lg（x+1）|．函数的零点，就是cos2x﹣|lg（x+1）|＝0的根．即：y＝cos2x，与y＝|lg（x+1）|解得的个数．如图：lg|3π+1|＞lg10＝1，两个函数的图象的交点有6个．故选：B．9．（5分）若b＞a＞0，则的最小值为（）A．B．3C．D．2【解答】解：b＞a＞0，可得：，则＝，令t＝＞1，上式化为：＝t﹣1+≥2＝2，当且仅当t＝1+时取等号．表达式的最小值为：2．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g （x）的图象，若使|f（x1）﹣g（x2）|＝2成立x1，x2的满足，则φ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos2（x+φ）＝cos（2x+2φ），由|f（x1）﹣g（x2）|＝2，得|cos2x1﹣cos（2x2+2φ）|＝2，则必有cos2x1＝1且cos（2x2+2φ）＝﹣1，或cos2x1＝﹣1，cos（2x2+2φ）＝1，根据对称性不妨设cos2x1＝1且cos（2x2+2φ）＝﹣1，则2x1＝2k1π，2x2+2φ＝2k2π+π，即x1＝k1π，x2＝﹣φ+k2π，则x1﹣x2＝（k1﹣k2）π+φ﹣，∵0＜φ＜，，∴|x1﹣x2|＝|（k1﹣k2）π+φ﹣|＝|（k2﹣k1）π+﹣φ|，则当k1＝k2时，﹣φ＝，即φ＝，故选：C．11．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+（﹣1）n a n＝n+2（n∈N*），则S20＝（）A．130B．135C．260D．270【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n＝n+2，∴a2﹣a1＝3，a3+a2＝4，a4﹣a3＝5．可得a3+a1＝1，a2+a4＝9，同理可得：a5+a7＝a3+a1＝1＝a9+a11＝a13+a15＝a17+a19．a6+a8＝17，a10+a12＝25，a14+a16＝33，a18+a20＝41．∴{a n}的前20项和＝（a1+a3）+…+（a17+a19）+（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a18+a20）＝5+9+17+25+33+41＝130．故选：A．12．（5分）在平面四边形ABCD中，若AB＝3，AC＝4，cos∠CAB＝，AD＝4sin∠ACD，则BD的最大值为（）A．B．4C．D．5【解答】解：设AC中点为O，连结OB，则AO＝AC＝2，在△ABO中，由余弦定理得OB＝＝3，∵AD＝4sin∠ACD＝AC sin∠ACD，∴AD⊥CD，∴D位于以AC为直径的圆O上，∴OD＝AC＝2，∴当OBD三点共线时，BD取得最大值OB+OD＝5．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知角α的终边在直线y＝3x上，则sin2α+sin2α＝．【解答】解：∵角α的终边在直线y＝3x上，∴tanα＝3，则sin2α+sin2α＝＝＝＝，故答案为：．14．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S n＝尺．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为＝2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离＝2﹣，∴Sn＝2n﹣1+2﹣＝，故答案为：＝．15．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+b，当x∈[0，3]时，|f（x）|≤1恒成立，则2a+b的最大值为1．【解答】解：f（x）＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，则函数的对称轴为x＝1，最值为b﹣a，当a＞0时，函数f（x）图象开口向上，当x＝1时，f（x）取最小值b﹣a，当x＝3时取最大值3a+b，由|f（x）|≤1恒成立，即﹣1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，可得﹣1≤b﹣a，且3a+b≤1，且a＞0，作出点（a，b）满足的不等式组的可行域，如上图．则z＝2a+b过点（0，1）时，取得最大值1；当a＜0时，函数f（x）图象开口向下，当x＝1时，f（x）取最大值b﹣a，当x＝3时取最小值3a+b，由|f（x）|≤1恒成立，即﹣1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，可得﹣1≤3a+b，且﹣a+b≤1，且a＜0，作出点（a，b）满足的不等式组的可行域，如下图．则z＝2a+b过点（0，1）时，取得最大值1．故答案为：1．16．（5分）在平面直角坐标系xoy中，角θ满足，设点B是角θ终边上的一个动点，则的最小值为．【解答】解：方法1：sinθ＝2sin cos＝﹣，cosθ＝cos2﹣sin2＝，设OB＝a，则B（a，﹣a），∴＝（12﹣，5+），∴||＝＝＝，∴当a＝时，||取得最小值＝．方法2：由方法1可知B点在射线3x+4y＝0（x＞0），∴的最小值为A到射线3x+4y＝0（x＞0）的距离d＝＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知向量，函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若，且α为第一象限角，求cosα的值．【解答】解：（1）向量，函数．＝＝＝＝…（3分）由…（4分）得所以函数f（x）的单调减区间为．…（5分）（2）由＝，得…（6分）由α是第一象限角，得，所以所以…（8分）所以＝．…（10分）18．（12分）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，．（1）求角A；（2）若a＝3，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：（1）由，得…（1分）由正弦定理得…（2分）因为B＝π﹣A﹣C所以所以由于sin C≠0，所以…（4分）由，得，故…（6分）（2）由，得，…（7分）所以＝…（9分）由△ABC为锐角三角形，所以，得，所以，，故6＜bc≤9，…（11分）又，所以，△ABC面积的取值范围为．…（12分）19．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）（n∈N*）都在函数f（x）＝的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题可得当n≥2时，所以…（2分）所以所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0因为a n＞0所以a n﹣a n﹣1＝2…（4分）当n＝1时，，所以因为a1＞0，所以a1＝5…（5分）所以数列{a n}是以5为首项，2为公差的等差数列．所以a n＝5+2（n﹣1）＝2n+3…（6分）（2）由（1）可得…（7分）…（8分）所以＝…（10分）＝6﹣（2n+2）•3n+1…（11分）所以…（12分）20．（12分）为了测量山顶M的海拔高度，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M在同一个铅垂面内（如图）．能够测量的数据有俯角、飞机的高度和A，B两点间的距离．请你设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算山顶M海拔高度的步骤．【解答】解：（1）需测量的数据有：A，B点到M点的俯角α，β，飞机的高度h，A，B两点的距离a．…（4分）（2）过点M作AB的垂线，垂足为N，第一步，在△ABM中，计算AM．由正弦定理得，…（8分）第二步，在△AMN中，计算MN．由锐角三角函数定义得MN＝AM sinα…（10分）第三步，计算山顶M海拔高度：h﹣MN．…（12分）21．（12分）设函数f（x）＝，a为常数，且a∈（0，1）．（1）若x0满足f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的一阶周期点，证明函数f（x）有且只有两个一阶周期点；（2）若x0满足f（f（x0））＝x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，当a＝时，求函数f（x）的二阶周期点．【解答】（1）证明：由题可得，当0≤x≤a时，，因为a∈（0，1），所以x＝0；…（2分）当a＜x≤1时，，因为a∈（0，1），所以x＝，所以函数f（x）有且只有两个一阶周期点．…（4分）（2）解：当时，所以…（7分）当时，由4x＝x，解得x＝0，因为f（0）＝0，故x＝0不是f（x）的二阶周期点；…（8分）当时，由2﹣4x＝x，解得，因为，故是f（x）的二阶周期点；…（9分）当时，由4x﹣2＝x，解得，因为，故不是f（x）的二阶周期点；…（10分）当时，由4﹣4x＝x，解得，因为，故是f（x）的二阶周期点；…（11分）综上，当时，函数f（x）的二阶周期点为x1＝，x2＝．…（12分）22．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1＝qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝，且b2＝，证明：b1+b2+…+b n＞．【解答】解：（1）由已知，S n+1＝qS n+1，S n+2＝qS n+1+1，两式相减，得到a n+2＝qa n+1（n≥1）．又由S2＝qS1+1，得到a2＝qa1．故a n+1＝qa n对所有n≥1都成立．所以数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，从而．…（3分）由2a2，a3，a2+2成等差数列，可得2a3＝3a2+2，即2q2＝3q+2．则（2q+1）（q﹣2）＝0．由已知，q＞0，故q＝2．…（5分）所以．…（6分）（2）由（1）知，a n＝q n﹣1．b n＝．…（7分）由，q＞0解得q＝．…（8分）因为1+q2（n﹣1）＞q2（n﹣1）所以…（10分）于是b1+b2+…+b n＞1+q+q2+…+q n﹣1＝＝＝故b1+b2+…+b n＞．…（12分）。
山西省陵川第一中学校等四校高一数学下学期期末考试试题(扫描版,无答案)(2021年整理)
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高一数学下学期期末考试试题(5)word版本
2016～2017学年度第二学期期末考试高一数学试题一、 选择题：（每小题3分，共36分）1、在ABC ∆中，C B A 、、三个内角成等差数列，则角等于) (︒30.A ︒60.B ︒90.C 不能确定2、对于任意实数,d c b a 、、、以下四个命题中的真命题是) (bc ac c b a A >≠>则若,0,.bd ac d c b a B >>>>则若,,0. ba b a C 11,.<>则若b a bc ac D >>则若,.223、在等差数列{}n a 中，若102a a ，是方程08122=-+x x 若的两个根，那么的值为) (.12.-A 6.-B 12.C 6.D4、已知在ABC ∆中，,75,60,8︒=︒==C B a 则等于) (.24.A 34.B 64.C 332.D5、在等比数列{a n }中，=1，=4，则101112a a a ++的值是) (81.A 64.B 32.C 27.D6、在ABC ∆中，C B A ，，所对的边长分别为,,,c b a 且满足,53cos =A ，3=⋅AC AB 则ABC ∆的面积为) (.2.A 23.B 3.C 5.D 7、在ABC ∆中，C B A ，，所对的边长分别为,,,c b a 且,sin 2cos sin C BA= 则ABC ∆的形状为) (.等边三角形 直角三角形 等腰三角形 等腰直角三角形8、对任意实数，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 恒成立，则实数的取值范围是) (.(]2,2.-A []2,2.-B [)+∞--∞,2)2,.( C ),2()2,.(+∞--∞ D9、已知向量),,4(),2,1(y x =-=若⊥则yx 39+的最小值为) (.2.A 32.B 6.C 9.D10、数列 ,2221,,221,211122-+++++++n ，的前项和为) (. 12.--n A n 22.1--+n B n n C 2.n D n -+12.11、某观察站与两灯塔、的距离分别为米和3千米，测得灯塔 在观察站的正西方向，灯塔在观察站西偏南，若两灯塔、之间的距离恰好为 千米，则的值为) (3.A 3.B 32.C 323.或D12、用铁丝制作一个面积为1 m 2的直角三角形铁框，铁丝的长度最少是) (m A 2.5.m B 5.m C 8.4.m D 6.4.二、填空题：（每小题4分，共16分） 13、不等式21≥-xx 的解集是.______________ 14、若ABC ∆是钝角三角形，,43x c b a ===，，则的取值范围是.______________15、若数列{}n a 满足)(23,211++∈+==N n a a a n n ,则{}n a 的通项公式是.__________ 16、若正数b a ,满足,3++=b a ab 则的取值范围是.______________三、解答题：（17题8分，18、19、20、21题各10分）17、设不等式0342<+-x x 的解集为,不等式062>-+x x 的解集为.求;B A若不等式02<++b ax x 的解集为B A ，求b a ,的值.18、求下列函数的最值： 已知,0>x 求xx y 42--=的最大值； 已知,210<<x 求)21(21x x y -=的最大值. 19、已知等差数列{}n a 满足：,26,7753=+=a a a {}n a 的前项和为 求及令),(112+∈-=N n a b n n 求数列{}n b 的前项和 20、在ABC ∆中，C B A ，，所对的边长分别为,,,c b a 且满足),cos cos (3cos 2C a A c A b +=求的大小；若,32,2==c a 且,c b >求ABC ∆的面积.21、在公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知,,12211b a b a ===,36b a =求通项和求数列{}n n b a ⋅的前项和2016～2017学年度第二学期期末考试高一数学试题(答案)二、 选择题：（每小题3分，共36分）BDBCD AAACB DC二、填空题：（每小题4分，共16分）;)0,1[13-、;)7,1()7,5(14 、;1315-=n n a 、.),9[16+∞、三、解答题：（17题8分，18、19、20、21题各10分） 17、解析：{}{}{}.6565)2(;32)1(23,31⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==-<<=>-<=<<=b a b a x x B A x x x B x x A 或18、解析：.22,0,42422)4(2)1(-=>=-=⋅-≤+-=取得最大值时解得又当且仅当y x x xx x x x x y .16141,212,1612)21(241)21(241)2(2取得最大值时，解得当且仅当y x x x x x x x y =-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-⋅⋅=19、解析：{}.)1(4)111(41)111()3121()211(4111141)1(141)22(211)12(111)2(.22)1(122)1(3)1(,23137,1326)1(22211163675+=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=+⋅=+=-+=-=+=-+=+=⨯-+=-+=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧====+n nn n n T n n n n n n n a b n n dn n na S n n d n a a d a a a a a a d a n n n n n n 则得，由的公差为设数列20、解析：（1）由正弦定理得.323222121,2,3,0,,2322132sin sin ,sin sin )2(sin 3)sin(3)cos sin sin (cos 3cos sin 2=⨯⨯==∴=--==∴<<>=⨯====+=+=ac S C A B C C c b a Ac C C c A a BC A C A C A A B ABC ∆ππππ 得由正弦定理21、解析：（1）由已知得.14)1(34)33(4)23(344)23(41)41(4314)23()444(3134)23(4)53(47444144)23(4)53(4744414)23()2(.4,23435111121132112210112+⋅-=∴-⋅-=⋅---=⋅----⨯+=⋅--++++=--⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=⋅-=⋅=-=∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-------nn n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n S S n n n n S n n S n n S n b a b n a q d qd q d ②得①②①。
陵川县高一数学下学期期中试题(扫描版)(2021年整理)
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XXX2016-2017学年高一下学期期末考试 数学试卷(word版含答案)
XXX2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷(word版含答案)XXX2016-2017学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：_______第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知a>b，则下列不等式一定成立的是A。
a^2.b^2B。
ac。
bcC。
|a|。
|b|D。
2a。
2b2.如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是n^2+2n。
n^2+3n+2A。
2n+1B。
3nC。
(n+1)(n+2)D。
2^(n-1)3.在△ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若acosA=bcosB，则△XXX的形状一定是A。
等腰三角形B。
直角三角形C。
等腰直角三角形D。
等腰三角形或直角三角形4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2，a5是方程2x^2-3x-2=0的两个根，则S6=99A。
5B。
-5C。
22D。
-225.满足a=4，b=3和A=45°的△ABC的个数为A。
0个B。
1个C。
2个D。
不确定6.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，不等式f(x)1}，则函数y=f(-x)的图像可以为A。
奇函数B。
偶函数C。
非奇非偶函数D。
无法确定7.设集合A={x|ax^2-ax+1<0}，若A=∅，则实数a取值的集合是A。
{a|0<a<4}B。
{a|≤a<4}C。
{a|0<a≤4}D。
{a|≤a≤4}8.若数列{an}满足a1=1，log2(an+1)=log2(an)+1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则Sn=A。
2-2^(n+1)B。
2^(n+1)-1C。
2^n-1D。
2-2^n+19.已知钝角△ABC的面积是，AB=1，BC=2，则AC=A。
1B。
5C。
1或5D。
无法确定10.已知数列{an}的前n项和为Sn=aq^n(aq≠1，q≠0)，则{an}为A。
山西省陵川第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题含答案
高一数学试题第Ⅰ卷(36分)一、选择题（本题包括12个小题,每小题3分，共36分) 在每小题给出的四个选项中,只有一项．．．．是符合题目要求的．1．不等式20x>的解集为（ ）A ．{}|0x x >B ．{}|0x x <C ．{}|0x x ≠D ．{}|x x R ∈ 2．函数1(0)4y x x x=+>取得最小值时，x 的值为（ ) A ．12-B ．12C ．1D ．23．若0,0a b c d <<<<,则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac bd > B ．ac db < C ．b d ac< D ．b d ac>4．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c，若1,120a b B ==,则c =（ ） ABC ． 2D ．35．若实数,x y 满足22022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．4 6．已知等差数列{}na 中，若261,5aa =-=-，则7S =（ ）A ．-21B ．—17C ．—15D ．—127．函数2(1)1x y x x =<-的最大值为（)A ．-1B ．0C ． 1D ．28．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半,六朝才得到其关，要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为（ ） A ．3里 B ．6里 C ． 12里 D ．24里 9．若实数,a b 满足2211ab ab+=，则ab 的最小值为（ ）A ．1 B．C ． 2D ．410．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,cos 1cos b a B A ==-，则ABC ∆的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ． 等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形11．不等式2102y x y x x y k≤⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩表示的区域面积大于等于32，则实数k 的取值范围为( ）A ．1k ≥B ．2k ≥C ． 3k ≥D ．4k ≥12．已知数列{}na 满足111222n n n a a a -+++=，2,n n N *≥∈，121,2a a ==，则16a =（）A ．4B ．5C ． 6D ．8第Ⅱ卷（64分）二、填空题（本题包括4个小题，每小题3分，共12分) 13．已知数列{}na 的通项公式为11nan =-,当其前n 项和n S 取最小值时，n等于 ． 14．若方程210axbx ++=的两根分别为12和1，则不等式20xbx a ++<的解集为 ．15．已知等差数列{}na 中，10900a=，则12m a a a +++=122017(2017)m a a a m -+++<．若等比数列{}nb 中，10101b=，类比上述等差数列的结论，试写出等比数列的结论为 ．16．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg 要用煤9吨,电力4kW h ，工时3个；制造乙产品1kg 要用煤4吨,电力5kW h ，工时10个．又知制成甲产品1kg 可获得7万元，制成乙产品1kg 可获利12万元．现在此工厂有煤360吨，电力200kW h ，工时300个,在这种条件下获得最大经济效益为 万元． 三、解答题 （本包括6个小题，共52分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．若123,,,,n a a a a 均为正数，则有二元均值不等式：12a a +≥12aa =时取等号；三元均值不等式:123a aa ++≥123a a a ==时取等号；四元均值不等式：1234a aa a +++≥当且仅当1234aa a a ===时取等号．（Ⅰ）猜想n 元均值不等式；（Ⅱ)若,,x y z 均为正数,且6x y z ++=,求xyz 的最大值． 18．在等差数列{}na 中，22343,21aa a a ==+．（Ⅰ）求{}na 的通项公式;（Ⅱ）求数列{}na 的前n 项和nS ．19．如图,我军军舰位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距6海里，海盗船以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方逃跑,若我军军舰从B 处出发沿北偏东α的方向以14海里/小时的速度追赶海盗船．（Ⅰ）求我军军舰追上海盗船的时间； （Ⅱ）求cos α的值．20．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos cos 2()102CA B ++-=． (Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若2,4c ab ==，求ABC ∆的周长． 21．在数列{}na 中，12a=，121122(1)n n a a a n a n n ++++=+． （Ⅰ）求数列{}na 的通项公式； (Ⅱ）若112nn ba +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：38n S <．22．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且(1)1f =，对于任意1212,()x x R x x ∈≠，都有1212()()0f x f x x x ->-．（Ⅰ）解关于x 的不等式22(3)(2)0f x ax f a -+<；（Ⅱ）若2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: CBACD 6—10： ABDBA 11、12：CB 二、填空题13．10或11 14．{}|12x x << 15．12122019(2019)n n bbb bb b n -=< 16．428三、解答题 17．（Ⅰ）123123n n na aa a n a a a a ++++≥，当且仅当123n aa a a ====时取等号．（Ⅱ）33()283x y z xyz ++≤==，当且仅当2x y z ===时，xyz 取得最大值8．18．解:（Ⅰ）设等差数列{}na 的公差为d ，则11133(2)2(3)1a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩ 解得11,2ad ==，∴21n a n =-．（Ⅱ）2(121)2nn nSn +-==．19．解：（Ⅰ）设我军军舰追上海盗船的时间为t 小时，依题意知，120,6,10,14,BAC AB AC t BC t BCA α∠====∠=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，22361002610cos120196t t t +-⨯⨯⨯=．解得1t =．故我军军舰追上海盗船的时间为1小时．(Ⅱ）在ABC ∆中，因为6AB =，120BAC ∠=︒，14BC =，BCA α∠=， 由正弦定理，得sin sin120AB BCα=︒， 即sin120sin AB BCα︒=621414==，13cos 14α=． 20．解：（Ⅰ）由已知得22coscos 2102CC +-=， 222cos 12sin 102C C +--=，222cos 4sin cos 0222C C C-=，∵0C π<<，∴022C π<<,cos 02C ≠,sin 02C >，∴1sin 22C =，∴3C π=．（Ⅱ）∵2222cos c a b ab C =+-,∴224ab ab +-=，又4ab =∴2a b ==，∴ABC ∆为等边三角形． 故三角形的周长为6a b c ++=． 21．解：（Ⅰ）由121122(1)n n a aa n a n n ++++=+，得11211212n n a a a n a n n--+++=-，2n ≥．两式相减得112(1)2nn n an n a a nn n+-=-+,2n ≥．1(1)1n n n a na n n ++=+，2n ≥． ∴122(1)n na a n n +=+,2n ≥． 又212221aa =，所以数列2{}n a n为常数数列，22n an=，所以22n a n =．（Ⅱ)由（Ⅰ）得，212(1)2n b n ==+-11111()2(2)42n n n n ⨯=-++，∴111111(1432435nS=-+-+-+1111)112n n n n +-+--++ 11113(1)42128n n =+--<++． 22．解：（Ⅰ)原不等式变形为222(3)(2)(2)f x ax f a f a -<-=-，由题可知函数()f x 在R 上为单调递增函数，∴2232xax a -<-．22320x ax a -+<．即()(2)0x a x a --<．当0a >时，不等式的解为{}2x a x a <<； 当0a =时，不等式无解；当0a <时，不等式的解为{}2x a x a <<． (Ⅱ)∵()f x 为[1,1]-上的增函数，所以max()(1)1f x f ==，依题意，对于任意[1,1]a ∈-，不等式221(1)1m am f -+≥=，即220am m-≤恒成立．设2()2g a am m =-,该函数的图像是关于a 在[1,1]-上的线段，于是有00m =⎧⎨≤⎩或20(1)20m g m m >⎧⎨=-≤⎩或20(1)20m g m m <⎧⎨-=--≤⎩解得0m≤-．m=或2m≥或2∴m的取值范围是{}或或．≤-=≥m m m m|2,0,2。
2016-2017学年山西省晋城市陵川一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年山西省晋城市陵川一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）集合A＝{x|2x2﹣3x≤0，x∈Z}，B＝{x|1≤2x＜32，x∈Z}，集合C满足A⊆C⊊B，则C的个数为（）A．3B．4C．7D．82．（5分）设函数，则的定义域为（）A．B．[2，4]C．[1，+∞）D．[，2]3．（5分）下列命题中，真命题的个数是（）①函数y＝sin x，其导函数是偶函数；②“若x＝y，则x2＝y2”的逆否命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的必要不充分条件；④命题p：“p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0，则命题p的否定是：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”A．1B．2C．3D．44．（5分）设a＝20.3，b＝0.32，c＝log x（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a5．（5分）设实数集R上定义的函数y＝f（x），对任意的x∈R都有f（x）+f（﹣x）＝1，则这个函数的图象关于（）A．原点对称B．y轴对称C．点（0，）对称D．点（0，1）对称6．（5分）已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0，且当x≤0时，f（x）＝+k（k 为常数），则f（ln5）的值为（）A．4B．﹣4C．6D．﹣67．（5分）函数f（x）＝x2﹣bx+c满足f（1+x）＝f（1﹣x）且f（0）＝3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）A．f（b x）≤f（c x）B．f（b x）≥f（c x）C．f（b x）＞f（c x）D．大小关系随x的不同而不同8．（5分）已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]D．{﹣1}9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）+的零点是（）A．2n（n∈Z）B．2n﹣1（n∈Z）C．4n+1（n∈Z）D．4n﹣1（n∈Z）10．（5分）定义在R上的函数g（x）＝e x+e﹣x+|x|，则满足g（2x﹣1）＜g（3）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，2）D．（2，+∞）11．（5分）已知f（x）＝32x﹣（k+1）3x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2﹣1）C．（﹣1，2﹣1）D．（﹣2﹣1，2﹣1）12．（5分）设f（x）＝，g（x）＝ax+5﹣2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）＝f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（0，]C．[，4]D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知奇函数f（x）＝，则f（﹣2）的值为．14．（5分）二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意的x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，若f（1﹣2x2）＜f（1+2x﹣x2），则x的取值范围为．15．（5分）若函数f（x）满足∀a、b∈R，都有，且f（1）＝1，f（4）＝7，则f（2017）＝．16．（5分）给出如下命题：①已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X＜a）＝0.32，则P（X＞4﹣a）＝0.68②若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和为8，则动点P的轨迹为线段；③设x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的必要不充分条件；④若实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线+y2＝1的离心率为；其中所有正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）命题p：方程+＝1表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：直线y＝x+m 与抛物线y2＝4x有公共点．若“p∨q”为真，求实数m的取值范围．18．（12分）设函数y＝lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为A，函数y＝，x∈（0，m）的值域为B．（1）当m＝2时，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝log a（f（x）﹣ax+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，求实数a的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．21．（12分）设函数f（x）＝log a（x+1）（a＞0，a≠1）（1）当a＞1时，证明：∀x1，x2∈（﹣1，+∞），x1≠x2，有f（）；（2）若曲线y＝f（x）有经过点（0，1）的切线，求a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x（1）试求函数F（x）＝f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年山西省晋城市陵川一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．【解答】解：根据题意，A＝{x|2x2﹣3x≤0，x∈Z}＝{0，1}，B＝{x|1≤2x＜32，x∈Z}＝{0，1，2，3，4}，若集合C满足A⊆C⊊B，则C可能的情况为{0，1}、{0，1，2}、{0，1，3}、{0，1，4}、{0，1，2，3}、{0，1，2，4}、{0，1，3，4}，共7个；故选：C．2．【解答】解：∵函数的定义域为：[1，+∞）．∴，解得2≤x≤4．∴的定义域为：[2，4]．故选：B．3．【解答】解：①函数y＝sin x，其导函数是y＝cos x为偶函数，故①正确；②“若x＝y，则x2＝y2”为真命题，由等价性可其逆否命题也为真命题，故②正确；③“x2﹣x﹣2≥0”等价为“x≥2或x≤﹣1”，则“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充分不必要条件，故③错；④命题p：“p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0，则命题p的否定是：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”，故④正确．其中真命题的个数为3．故选：C．4．【解答】解：∵a＝20.3＜21＝2且a＝20.3＞20＝1，∴1＜a＜2，又∵b＝0.32＜0.30＝1，∵x＞1，∴c＝log x（x2+0.3）＞log x x2＝2，∴c＞a＞b．故选：B．5．【解答】解：设函数g（x）＝f（x）﹣∵f（x）+f（﹣x）＝1，∴g（﹣x）＝﹣g（x）∴函数g（x）＝f（x）﹣为奇函数，图象关于原点对称∵函数g（x）＝f（x）﹣，∴f（x）＝g（x）+∴函数y＝f（x）的图象是由g（x）的图象向上平移个单位得到∴函数y＝f（x）的图象关于对称故选：C．6．【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0，故f（﹣x）＝﹣f（x），故f（0）＝0∵x≤0时，f（x）＝+k，∴f（0）＝1+k＝0，k＝﹣1，即x≤0时，f（x）＝﹣1，则f（﹣ln5）＝4＝﹣f（ln5），故f（ln5）＝﹣4，故选：B．7．【解答】解：∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．又f（0）＝3，∴c＝3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选：A．8．【解答】解：函数f（x）＝的值域为R，由y＝log2x是增函数，∴y＝（2﹣a）x+3a也是增函数，故得2﹣a＞0，解得：a＜2，∵函数f（x）的值域为R，（2﹣a）×1+3a≥log21，解得：a≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，2）．故选：B．9．【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数的周期为4，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴当﹣1≤x≤0时，当0≤﹣x≤1，则f（﹣x）＝﹣x＝﹣f（x），则f（x）＝x，﹣1≤x≤0，即f（x）＝x，﹣1≤x≤1，若﹣3≤x≤﹣1，则﹣1≤x+2≤1，∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+2）＝﹣（x+2），﹣3≤x≤﹣1，由g（x）＝f（x）+＝0得f（x）＝﹣，则一个周期[﹣3，1]内，若﹣1≤x≤1，则由f（x）＝x＝得x＝﹣1，若﹣3≤x≤﹣1，则由f（x）＝﹣（x+2）＝得x＝﹣1，综上在一个周期内函数的零点为﹣1，∵函数的周期是4n，∴函数的零点为x＝4n﹣1，（n∈Z），故选：D．10．【解答】解：∵函数f（﹣x）＝e x+e﹣x+|x|＝f（x），根据当x＞0时，它的导数f′（x）＝e x﹣e﹣x+1＞0，∴函数在（0，+∞）上是增函数．再根据函数f（x）为偶函数，它的图象关于y轴对称，可得该函数在（﹣∞，0）上是减函数，∴由g（2x﹣1）＜g（3），可得|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，故选：C．11．【解答】解：令3x＝t（t＞0），则g（t）＝t2﹣（k+1）t+2，若x∈R时，f（x）恒为正值，则g（t）＝t2﹣（k+1）t+2＞0对t＞0恒成立．∴①或②解①得：﹣1＜k＜﹣1+；解②得：k≤﹣1．综上，实数k的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．故选：B．12．【解答】解：∵f（x）＝，当x＝0时，f（x）＝0，当x≠0时，f（x）＝，由0＜x≤1，∴0＜f（x）≤1．故0≤f（x）≤1又因为g（x）＝ax+5﹣2a（a＞0），且g（0）＝5﹣2a，g（1）＝5﹣a．故5﹣2a≤g（x）≤5﹣a．所以须满足，∴≤a≤4，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：因为奇函数f（x）的定义域为R，所以f（0）＝0，即30﹣a＝0，解得a＝1，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣f（x），即3﹣x﹣1＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣3﹣x+1，即g（x）＝﹣3﹣x+1，所以f（﹣2）＝g（﹣2）＝﹣32+1＝﹣8．故答案为：﹣8．14．【解答】解：由f（x）＝f（4﹣x）知，二次函数f（x）的对称轴为x＝2；∵二次项系数为正数，∴二次函数图象的点与对称轴x＝2的距离越大时，对应的函数值越大；∴由f（1﹣2x2）＜f（1+2x﹣x2）得|1﹣2x2﹣2|＜|1+2x﹣x2﹣2|；即2x2+1＜（x﹣1）2；解得﹣2＜x＜0；∴实数x的取值范围是（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．15．【解答】解：∵3f（）＝f（a）+2f（b），令a＝1，b＝4，∴3f（3）＝f（1）+2f（4）＝1+14，解得f（3）＝5，令a＝4，b＝1，∴3f（2）＝f（4）+2f（1）＝7+2，解得f（2）＝3，由f（1）＝1，f（2）＝3，f（3）＝5，f（4）＝7，可以猜想f（n）＝2n﹣1∴f（2017）＝4034﹣1＝4033故答案为：403316．【解答】解：①已知随机变量X～N（2，σ2），曲线关于直线x＝2对称，若P（X＜a）＝0.32，则P（X＞4﹣a）＝0.32．故①错；②∵|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹为线段F1F2，故②正确；③x2﹣3x＞0⇔x＞3或x＜0．由x＞4可得x2﹣3x＞0成立，所以“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，故③错；④实数1，m，9成等比数列可得m＝±3，所以圆锥曲线可能为椭圆或双曲线，则离心率可能为或2，故④错．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．【解答】解：若命题p为真，则，解得：﹣1＜m＜1…（2分）若命题q真，则方程y2﹣4y+4m＝0有解，即△＝16﹣16m≥0，解得：m≤1…（4分）若“p∨q”为真，则p真或q真，…（6分）所以﹣1＜m＜1 或m≤1…（8分）即m≤1…（10分）18．【解答】解：（1）由﹣x2+4x﹣3＞0，解得：1＜x＜3，∴A＝（1，3），又函数y＝在区间（0，m）上单调递减，∴y∈（，2），即B＝（，2），当m＝2时，B＝（，2），∴A∩B＝（1，2）；（2）首先要求m＞0，而“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊊A，即（，2）⊊（1，3），从而≥1，解得：0＜m≤1．19．【解答】解：（1）由条件幂函数f（x）＝在（0，+∞）上为增函数，得到﹣2m2+m+3＞0，解得：﹣1＜m＜…（2分）又因为m∈Z，所以m＝0或1；又因为是偶函数当m＝0时，f（x）＝x3，f（x）为奇函数，不满足；当m＝1时，f（x）＝x2，f（x）为偶函数，满足；所以f（x）＝x2…（4分）（2）由题意a＞1，且x2﹣ax+2＞1在区间（1，+∞）上恒成立．即h（x）＝x2﹣ax+2＝+2﹣＞1恒成立，其中x∈（1，+∞）…（6分）当1＜a≤2时，≤1，所以h（x）在区间（1，+∞）单调递增，所以，h（x）＞3﹣a，∴3﹣a＞1即1＜a≤2适合题意．…（8分）当a＞2时＞1，g（x）＝x2﹣ax+2＝+2﹣≥2﹣，∴2﹣＞1，∴a2＜4与a＞2矛盾，不合题意．综上可知：1＜a≤2…（10分）20．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即又由f（1）＝﹣f（﹣1）知．所以a＝2，b＝1．经检验a＝2，b＝1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）＝f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．21．【解答】解：（1）a＞1时，函数f（x）是增函数，∴f＝，＝，只需+1＞即可，两边平方得：＞（x1+1）（x2+1），∴+﹣2x1x2＞0，而x1≠x2，∴＞0，故有f（）成立；（2）f′（x）＝，若曲线y＝f（x）有经过点（0，1）的切线，则f′（0）＝＞0有意义，即lna＞0，∴a＞1．22．【解答】解：（1）∵x∈（﹣∞，0]，F（x）＝f（x）+af（2x）＝2x+a•4x，令2x＝t，（0＜t≤1），即有F（x）＝at2+t，当a＝0时，F（x）有最大值为1；当a≠0时，对称轴为t＝﹣，讨论对称轴和区间的关系，若﹣＞1，即﹣＜a＜0，F（x）max＝F（1）＝a+1；若0＜﹣≤1，即a≤﹣，F（x）max＝F（﹣）＝﹣；若﹣＜0，即a＞0，F（x）max＝F（1）＝a+1．综上可得，F（x）max＝．（2）令2x＝t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1，或t2﹣at＜﹣1．即存在t∈（0，1）使得，∴a＜0，或a＞2；（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立，∴．设m（x）＝令，∴．所以，当t＝1时，m（x）max＝1，∴a≥1．。
山西省晋中市2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2017年度晋中高一第二学期期中考试数学试题
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求•
1•若角6 0 0、的终边上有一点 _4, a ，则a 的值是
B.
一4.3 C. _4、、3 D.0 2•如图所示，已知 AB = 2BC,OA 二a,OB = b,OC =c ，则下列等式中成立的是 3. A. c = — b - —a B 2 2 i C. c = 2 a - b D. sin 4 7 - sin 17
： co s3 0' co si 7 c = 2b —a 3 r c = — a 2 3 1 的值是 A. B. 1 C.- 2 4.要得到函数 y =cos2x —1 的图象, A.向右平移 二个单位，在向上平移 4 C.向右平移 二个单位，在向上平移 2 5.函数y A. -3 6.设 a ， A. 0 3 D.—— 2 只需要将函数 y =sin 2x 的图象 1个单位B.向左平移一个单位，在向下平移 1个单位
4
1个单位 D.向左平移一个单位，在向下平移 1个单位 4 --3 sin x 4 co s x 的最小值为 B. -4 C. -5 D. -7 是两个不共线向量，且向量 a •，b 与「b 2 a 共线，则，门 1 B. 2
C. -2
D. 7.下列函数的最小正周期为 的是 2 A. y =cos x
B. 8.已知向量a, b 的夹角为12 0、 影为 x sin - 2 ，且a x
C. y = sin x
D. y = ta n — 2 =2, b =3，则向量2a - 3b 在向量2a - b 方向上的投。
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2016-2017学年山西省晋城市陵川一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）不等式x2＞0的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x≠0}D．{x|x∈R}2．（5分）函数取得最小值时，x的值为（）A．B．C．1 D．23．（5分）若a＜b＜0，c＜d＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．D．4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=1，b=2，A=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．5．（5分）若实数x，y满足，则z=x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知等差数列{a n}中，若a2=﹣1，a6=5，则S7=（）A．14 B．﹣17 C．﹣15 D．﹣127．（5分）函数的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第4天走的路程为（）A．3里 B．6里 C．12里D．24里9．（5分）若实数a，b满足，则ab的最小值为（）A．1 B．C．2 D．410．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA=csinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不确定11．（5分）不等式表示的区域面积大于或等于，则实数k的取值范围是（）A．k≥1 B．k≥2 C．k≥3 D．k≥412．（5分）已知数列{a n}满足，且a1=1，a2=2，则a16=（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n﹣11，当其前n项和S n取得最小值时，n等于．14．（5分）若方程ax2+bx+1=0的两个根分别为和1，则不等式x2+bx+a＜0的解集为．15．（5分）已知等差数列{a n}中，a1009=0，则a1+a2+…+a m=a1+a2+…+a2017﹣m（m＜2017）．若等比数列{b n}中，若b1010=1，类比上述等差数列的结论，试写出等比数列的结论为．16．（5分）某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw•h，工时3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw•h，工时10个．又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂有煤360吨，电力200kw•h，工时300个，在这些条件下，获得最大经济效益为万元．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）若a1，a2，a3，…，a n均为正数，则有二元均值不等式：，当且仅当a 1=a2时取等号；三元均值不等式：，当且仅当a 1=a2=a3时取等号；四元均值不等式：，当且仅当a 1=a2=a3=a4时取等号．（1）猜想n元均值不等式；（2）若x，y，z均为正数，且x+y+z=6，求xyz的最大值．18．（12分）在等差数列{a n}中，a2=3，a2a3=2a4+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）如图，我军军舰位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A 相距6海里，海盗船以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向逃跑，若我军军舰从B处出发沿北偏东α的方向以14海里/小时的速度追赶海盗船．（1）求我军军舰追上海盗船的时间；（2）求cosα的值．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求C；（2）若c=2，ab=4，求△ABC的周长．21．（12分）在{a n}中，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为S n，证明：．22．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，对于任意的x1，x2∈R（x1≠x2），都有．（1）解关于x的不等式f（x2﹣3ax）+f（2a2）＜0；（2）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山西省晋城市陵川一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）不等式x2＞0的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x≠0}D．{x|x∈R}【解答】解：因为x2≥0，当且仅当x=0时“=”成立；所以不等式x2＞0的解集为{x|x≠0}．故选：C．2．（5分）函数取得最小值时，x的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2=1，当且仅当x=时取等号，此时x=，故选：B．3．（5分）若a＜b＜0，c＜d＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．D．【解答】解：∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故选：A．4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=1，b=2，A=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵c=1，b=2，A=120°，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2•b•c•cosA=4+1+2=7故a=故选：D．5．（5分）若实数x，y满足，则z=x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，2），此时z max=2+2=4．故选：D．6．（5分）已知等差数列{a n}中，若a2=﹣1，a6=5，则S7=（）A．14 B．﹣17 C．﹣15 D．﹣12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=﹣1，a6=5，∴S7====14．故选：A．7．（5分）函数的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：==（x+1）+=（x﹣1）++2≤﹣2+2=0，当且仅当x=0时“=”成立，故选：B．8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第4天走的路程为（）A．3里 B．6里 C．12里D．24里【解答】解：设第一天走a1里，则{a n}是以a1为首项，以为公比的等比数列，由题意得：=378，解得a1=192（里），∴=192×=24（里）．故选：D．9．（5分）若实数a，b满足，则ab的最小值为（）A．1 B．C．2 D．4【解答】解：∵，∴a3b3=a2+b2≥2ab，∴ab（a2b2﹣2）≥0，∴ab≥，当且仅当a=b时“=”成立，故选：B．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA=csinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不确定【解答】解：由acosB+bcosA=csinA，结合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=sinCsinA，∴sin（B+A）=sinCsinA，可得：sinC=sinCsinA，在△ABC中，∵sinC≠0，∴sinA=1，又0＜A＜π，∴∠A=，则△ABC的形状为直角三角形．故选：A．11．（5分）不等式表示的区域面积大于或等于，则实数k的取值范围是（）A．k≥1 B．k≥2 C．k≥3 D．k≥4【解答】解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示；由，解得A（，），由，解得点B（，）；所以阴影部分面积为S=S△OAC﹣S△OBC=•k•﹣•k•=﹣=，令≥，解得k≥3或k≤﹣3（不合题意，舍去）；所以实数k的取值范围是k≥3．故选：C．12．（5分）已知数列{a n}满足，且a1=1，a2=2，则a16=（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：∵数列{a n}满足，且a1=1，a2=2，∴=8，∴，∴a3=log26，，∴，∴a4=log28=3．∵a1=1=log22，a2=2=log24，a3=log26，a4=log28=3，由此猜想a n=log2（2n），∴a16=log232=5．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n﹣11，当其前n项和S n取得最小值时，n等于10或11．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n﹣11，∴由a n=n﹣11≥0，得n≥11，a10=10﹣11=﹣1，a11=11﹣11=0，a12=12﹣11=1，∴当其前n项和S n取得最小值时，n=11或n=10．故答案为：10或11．14．（5分）若方程ax2+bx+1=0的两个根分别为和1，则不等式x2+bx+a＜0的解集为（1，2）．【解答】解：方程ax2+bx+1=0的两个根分别为和1，由根与系数的关系知，，解得a=2，b=﹣3；∴不等式x2+bx+a＜0可化为：x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2，∴不等式的解集为的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．15．（5分）已知等差数列{a n}中，a1009=0，则a1+a2+…+a m=a1+a2+…+a2017﹣m（m＜2017）．若等比数列{b n}中，若b1010=1，类比上述等差数列的结论，试写出等比数列的结论为b1b2…b n=b1b2…b2019﹣n（n＜2019，n∈N*）成立．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a8=0，则有等式a1+a2+…+a m=a1+a2+…+a2017﹣m成立（m＜2017，n∈N*），故相应的在等比数列{b n}中，若b1010=1，则有等式b1b2…b n=b1b2…b2019﹣n（n＜2019，n∈N*）成立．故答案为：b1b2…b n=b1b2…b2019﹣n（n＜2019，n∈N*）成立．16．（5分）某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw•h，工时3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw•h，工时10个．又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂有煤360吨，电力200kw•h，工时300个，在这些条件下，获得最大经济效益为428万元．【解答】解：设工厂应生产A产品xkg，B产品ykg，利润z万元，则由题意得，且利润函数为z=7x+12y，作出不等式组表示的平面区域如图所示；由z=7x+12y，变为y=﹣x+，可知直线l经过M点时，z取得最大值由，可得x=20，y=24，∴M（20，24）∴z max=7×20+12×24=428即工厂生产甲产品20kg，乙产品24kg时，获得经济效益最大，为428万元．故答案为：428．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）若a1，a2，a3，…，a n均为正数，则有二元均值不等式：，当且仅当a 1=a2时取等号；三元均值不等式：，当且仅当a 1=a2=a3时取等号；四元均值不等式：，当且仅当a 1=a2=a3=a4时取等号．（1）猜想n元均值不等式；（2）若x，y，z均为正数，且x+y+z=6，求xyz的最大值．【解答】解：（1）a1，a2，a3，…，a n均为正数，猜想n元均值不等式：a1+a2+…+a n ≥n，当且仅当a=a2=a3=…=a n时取等号．（2）x，y，z均为正数，且x+y+z=6，则6≥，化为：xyz≤8，当且仅当x=y=z=2时取等号．∴xyz的最大值为8．18．（12分）在等差数列{a n}中，a2=3，a2a3=2a4+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵在等差数列{a n}中，a2=3，a2a3=2a4+1．∴，解得a1=1，d=2，∴{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2）∵a1=1，d=2，a n=2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=．19．（12分）如图，我军军舰位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A 相距6海里，海盗船以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向逃跑，若我军军舰从B处出发沿北偏东α的方向以14海里/小时的速度追赶海盗船．（1）求我军军舰追上海盗船的时间；（2）求cosα的值．【解答】解：（1）设我军军舰t小时追上海盗船，则AC=10t，BC=14t，∠BAC=120°，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°，∴196t2=36+100t2+60t，解得t=1．∴我军军舰追上海盗船的时间为1小时．（2）在△ABC中，AB=6，AC=14，∠BCA=α，由正弦定理得：=，∴sinα==，∴cosα=．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求C；（2）若c=2，ab=4，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，∴，∴，∴=0，∵0＜C＜π，∴0＜，cos≠0，sin＞0，∴sin=，∴C=．（2）∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+b2﹣ab=4，又ab=4，∴a=b=2，∴△ABC是等边三角形，故△ABC的周长为a+b+c=6．21．（12分）在{a n}中，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为S n，证明：．【解答】（1）解：在{a n}中，．n≥2时，+…+=a n，相减可得：=﹣a n，化为：=，又==2．∴=2，即a n=2n2．（2）证明：===，∴数列{b n}的前n项和为S n=++…++=．∴．22．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，对于任意的x1，x2∈R（x1≠x2），都有．（1）解关于x的不等式f（x2﹣3ax）+f（2a2）＜0；（2）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，x1≠x2，总有．所以函数f（x）在[﹣1，1]上是递增的奇函数，不等式f（x2﹣3ax）+f（2a2）＜0变形为不等式f（x2﹣3ax）＜﹣f（2a2）=f（﹣2a2）∴x2﹣3ax+2a2＜0⇒（x﹣2a）（x﹣a）＜0①当a＞0时，不等式解集为：{x|a＜x＜2a}；②当a=0时，不等式解集为：∅；③当a＜0时，不等式解集为：{x|2a＜x＜a}；（2）所以函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（x）max=f（1）=1．所以问题转化为t2﹣2αt﹣1≥f（x）max=f（1）=1对任意的α∈[﹣1，1]恒成立．令g（α）=m2﹣2αm+1，α∈[﹣1，1]．只需解得：m=0，或≥2或m≤﹣2∴实数m的取值范围为：{m|m=0，或≥2或m≤﹣2}。