非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义

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专题16 定积分与微积分基本定理高考复习资料(解析版)

f(x)
错误!f(x)dx 的几何意义
f(x)≥0
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)＜0
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴下方的曲边梯 f(x)在[a，b]上有正有负
π
| 【解析】(1)错误!(cos x＋1)dx＝(sin x＋x) ＝π. 0
(2)【解析】 S a 0
xdx
2
x
3 2
3
a 0
2
a
3 2
3
a ，解得 a
9 4
．
【解法小结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
2
＝4，
03
0
2
| c＝错误!sin xdx＝(－cos x) ＝1－cos 2<2，则 c<a<b. 0
5.(2019
届江西九江高三第一次十校联考)M=
1 0
1- 2dx,T= 0 sin 2xdx,则 T 的值为(
)
A.1
B.-1
2
2
【答案】 A
C.-1
D.1
【解析】先求出 M= ，
0 sin 2
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.
考点二定积分的几何意义
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.

定积分与微积分基本定理复习课件

例2
【答案】 A
【规律小结】求由不同曲线围成的图形的面积时，若被积函数的原函数难以找到，但被积函数具有明显的几何意义，可利用几何法求其面积．
跟踪训练
考点3 定积分在物理中的应用例3 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋
3(m/s)运动．求：
(1)在t＝4 s的位置；
(2)在t＝4 s内运动的路程．
方法感悟
1.被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分． 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是积分变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限． 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．
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定积分与微积分基本定理复习课件
2020年4月23日星期四
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考纲展示 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.
备考指南本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积．高考中，多以选择题或填空题的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法，难度较小.
易错警示例
名师讲坛精彩呈现
【常见错误】解答本题易出现两点错误ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一是不理解定积分的几何意义写错图形面积与定积分间的关系，二是积分上、下限确定出错．
【答案】 C
【防范措施】使用定积分的几何意义求定积分和使用定积分的方法求曲边图形的面积是有区别的．使用定积分的几何意义计算定积分，定积分的值是“面积的代数和”，即面积是带有符号的，当函数图象在x轴下方时，这个值是负值，只有函数图象在x轴上方时，定积分的值才是正值，因此在使用定积分的几何意义求定积分时一定要注意该点．

定积分的概念与微积分基本定理知识导学

定积分的概念与微积分基本定理【要点梳理】要点一：定积分的引入定积分的概念一般地，给定一个在区间[]a b ，上的函数=()y f x ，如图所示.将[]a b ，区间平分成n 份，分点为：0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L则每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n =L ξ，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ. 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，定积分的相关名称：⎰——叫做积分号， ()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，x ——叫做积分变量， a ——叫做积分下限， b ——叫做积分上限， [a ，b]——叫做积分区间. 要点诠释：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b bbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰L （称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)xdx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同.用定义求定积分的一般方法：（1）分割：n 等分区间[],a b ；（2）近似代替：取点[]1,i i i x x -∈ξ；（3）求和：1()ni i b af n =-∑ξ；（4）取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ. 要点二：定积分的几何意义定积分()baf x dx ⎰的几何意义：从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号. 要点诠释：（1）当()0f x ≥时，积分()d baf x x ⎰在几何上表示由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；特别地：当a=b 时，有()d 0baf x x =⎰，如图（a ）.（2）当()0f x ≤时，由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数.所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）.（3）当()f x 在区间[a ，b]上有正有负时，积分()d baf x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）.在如右图所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰.要点三：微积分基本定理微积分基本定理：一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数.为了方便，我们常把()()F b F a -记作()ba F x ，即()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰.要点诠释：（1）根据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便.（2）设()f x 是定义在区间I 上的一个函数，如果存在函数()F x ，在区间I 上的任何一点x 处都有'()()F x f x =，那么()F x 叫做函数()f x 在区间I 上的一个原函数.根据定义，求函数()f x 的原函数，就是要求一个函数()F x ，使它的导数'()F x 等于()f x .由于[()]''()()F x c F x f x +==，所以()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数.（3）利用微积分基本定理求定积分()d baf x x ⎰的关键是找出使'()()F x f x =的函数()F x .通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出()F x .要点四：定积分的计算1. 求定积分的一般步骤是：（1）找出被积函数中的基本初等函数，将被积函数表示为基本初等函数的和或差的形式；（2）利用定积分的性质，将问题转化为求若干基本初等函数的定积分；（3）分别用求导公式找到各个基本初等函数的原函数；（4）利用牛顿―莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值. 2. 定积分的运算性质①有限个函数代数和（或差）的定积分等于各个函数定积分的代数和（或差），即1212[()()()d ]()d ()d ()d bb b bn n aaaaf x f x f x x f x x f x x f x x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L .②常数因子可提到积分符号前面，即()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号.即()d ()d baabf x x f x x =-⎰⎰.④定积分的可加性，即对任意的c ，有()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.3. 定积分的计算技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求积分.（2）求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 要点诠释：① 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.因此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.② 把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误. ③ 由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数. 【典型例题】类型一：定积分的几何意义例1．用定积分的几何意义求：（1）1(32)d x x +⎰；（2）322sin d x x ππ⎰；（3）2204x dx -⎰.【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间. 【解析】（1）如下图：阴影部分面积为(25)1722+⨯=，从而107(32)d 2x x +=⎰.（2）如下图：由于A 的面积等于B 的面积，从而322sin d 0x x ππ=⎰.（3）设24y x =-，则224x y +=(0,02)y x ≥≤≤，表示半径为2的41个圆，由定积分的概念可知，204x dx -⎰表示如图所示的以2为半径的41圆的面积, 所以201444x dx ππ-=⨯=⎰【总结升华】（1）利用定积分的几何意义正确画出图形求定积分. （2）()d [()0]baf x x f x >⎰表示曲边梯形的面积，而上半圆可看做特殊曲边梯形（有两边缩为点），这里面积易求，从而得出定积分的值. 举一反三：【变式1】试用定积分的几何意义求31(21)d x x --⎰.【答案】如图所示：计算可得A 的面积为5525224⨯=，B 的面积为339224⨯=，从而31259(21)d 444x x --=-=⎰.【变式2】利用定积分的几何定义求定积分：（1）⎰-adx x a 022；（2）2016x dx -⎰.【答案】（1）设22x a y -=，则222a y x =+)0,0(a x y ≤≤≥表示41个圆，由定积分的概念可知，所求积分就是41圆的面积,所以⎰-adx x a 02242a π=（2）设216y x -2216x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形，其面积2233S S S π∆=+=+扇形, 故20216233x dx π-=+⎰类型二：利用微积分基本定理求定积分【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题1】例2.计算下列定积分：（1）211dx x⎰；（2）312xdx ⎰.【思路点拨】根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解.【解析】（1）因为'1(ln )x x=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰.（2）323112|817xdx x ==-=⎰.【总结升华】为使解题步骤清晰，通常都是把求原函数和计算原函数值的差用一串等式表示出来.解题格式如下：()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰举一反三：【变式】计算下列定积分（1）11dx ⎰；（2）1xdx ⎰；（3）130x dx ⎰；（4）131x dx -⎰.【答案】（1）11001d 101x x ==-=⎰；（2）11222001111d 102222x x x ==⋅-⋅=⎰；（3）130x dx⎰144401*********x ==⋅-⋅=；（4）131x dx -⎰144411111(1)0444x -==⋅-⋅-=. 【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题2】例3．求下列定积分：（1）221(1)d x x x ++⎰；（2）0(sin cos )d x x x π+⎰；（3）2211()d x x x x-+⎰；（4）(cos e )d x x x π--+⎰.【解析】（1）223222222221111111129(1)d d d 1d 326x x x x x x x x x x x ++=++=++=⎰⎰⎰⎰.（2）0000(sin cos )d sin d cos d (cos )sin 2x x x x x x x x x πππππ+=+=-+=⎰⎰⎰.（3）22232222222111111111375()d d d d ln ln 2ln 223236x x x x x x x x x x x x x -+=-+=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰.（4）00001(cos e )d cos d e d sin e1e xxx x x x x x x ππππππ------=+=+=-⎰⎰⎰. 【总结升华】（1）求函数()f x 在某个区间上的定积分，关键是求出函数()f x 的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.（2）求复杂函数定积分要依据定积分的性质. 举一反三：【变式1】计算下列定积分的值：（1）22(31)x x dx -+⎰，（2）dx x x ⎰+20)sin (π，（3）180(8)x x dx -⎰【答案】（1）2223200(31)()82x x x dx x x -+=-+=⎰.（2）222201(sin )(cos )128x x dx x x +=-=+⎰πππ.（3）91801871(8)()0ln893ln 29x xx x dx -=-=-⎰.【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题2】【变式2】计算：（1）120⎰；（2）121x e dx --⎰.【答案】（1）1201==⎰；（2）11222211111222xx e dx ee e -----=-=-⎰. 【变式3】计算下列定积分：（1）20(1)x x dx +⎰；（2）2211()xe dx x+⎰；（3）20sin xdx ⎰π.【答案】（1）2(1)x x x x +=+Q 且32211(),()32x x x x ''==，∴22222232220003211(1)()||321114(20)(20).323x x dx x x dx x dx xdx x x +=+=+=+=⨯-+⨯-=⎰⎰⎰⎰（2）1(ln )x x '=，又222()(2)2x x xe e x e ''=⋅=，得221()2x x e e '= 所以2222222211111111()|ln |2x x x e dx e dx dx e x x x +=+=+⎰⎰⎰ 42421111ln 2ln1ln 2.2222e e e e =-+-=-+ （3）由(sin 2)cos 2(2)2cos 2x x x x ''=⋅=，得1cos 2(sin 2)2x x '=所以200001111sin (cos 2)cos 22222xdx x dx dx xdx ππππ=-=-⎰⎰⎰⎰00111111|(sin 2)|(0)(sin 2sin 0).22222222x x x ππππ=-=---= 类型三：几类特殊被积函数求定积分问题例4．求值：（1）若2, 0()cos 1, 0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求11()d f x x -⎰；（2）计算x 的值.【思路点拨】对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质()baf x dx ⎰＝()c af x dx ⎰＋()bcf x dx ⎰进行化简. 【解析】（1）0111230110112()d d (cos 1)d (sin )sin133f x x x x x x xx x ---=+-=+-=-+⎰⎰⎰. （2）xx =20|sin -cos |d x x x π=⎰4204|sin cos |d |sin cos |d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰4204cos sin d (sin cos )d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰2404(sin cos )(cos sin )1)x x x x πππ=+-+=. 【总结升华】（1）对于分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和，要注意各段定积分的上、下限. （2）计算|()|d baf x x ⎰时，需要去掉绝对值符号，这时要讨论()f x 的正负，转化为分段函数求定积分问题.举一反三：【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题3】【变式1】求定积分：（1）20()f x dx ⎰，其中2,01()5,12x x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩（2）31x dx -⎰.【答案】（1）212122101()d 2d 5d 56f x x x x x x x =+=+=⎰⎰⎰（2）31x dx -⎰＝11x dx -⎰＋311x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋31(1)x dx -⎰＝21230111()|()|22x x x x -+- ＝15222+=. 【变式2】计算下列定积分：（1）20|sin |x dx π⎰；（2）dx x |1|22⎰-.【答案】（1）(cos )sin x x '-=Q ，∴220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx=+⎰⎰⎰ππππ2020sin sin cos |cos |(cos cos 0)(cos 2cos )4.xdx xdxx x =-=-+=--+-=⎰⎰πππππππππ（2）∵0≤x ≤2，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-=-)10(1)21(1|1|222x x x x x∴⎰⎰⎰-+-=-2121222)1()1(|1|dxx dx x dx x2131033131⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131********2=.类型四：函数性质在定积分计算中的应用例5.求定积分：11(cos x x dx -⎰.【思路点拨】考虑利用被积式函数的奇偶性求积分. 【解析】∵cos y x x =是奇函数，∴11cos 0x xdx -=⎰，∵y∴211302x dx -=⎰⎰，∴25113310136(cos 022055x x dx x dx x -=+=⨯=⎰⎰.【总结升华】函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：（1）若()f x 是偶函数，则()2()aaa f x dx f x dx -=⎰⎰；（2）若()f x 是奇函数，则()0aaf x dx -=⎰.举一反三：【变式1】求333(sin )x x dx -+⎰的值.【答案】∵()f x 是奇函数，∴333(sin )0x x dx -+=⎰.【变式2】设()f x 是偶函数，若2()2f x dx =⎰，则22()f x dx -=⎰ ；【答案】∵()f x 是偶函数，∴222()2()224f x dx f x dx -==⨯=⎰⎰.【变式3】求定积分：2222cos 2x dx ππ-⎰.【答案】∵22cos cos 12xy x ==+是偶函数， ∴222222cos (cos 1)2xdx x dx--=+⎰⎰ππππ2022(cos 1)2(sin )2.x dxx x =+=+=+⎰πππ。

第019讲总复习：定积分和微积分基本定理知识梳理

定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分，利用定积分求面积。

【知识络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅，作和式11()()n nn i i i i b aI f x f nξξ==-=∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作()baf x dx ⎰，即()baf x dx ⎰＝1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质（1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数），（2）[]1212()()()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰，（3）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中b c a <<），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()0bb f x dx -=⎰；若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则0()2()bbbf x dx f x dx -=⎰⎰.定积分的概念定积分的性质微积分基本定理定积分的几何意义及应用要点三、微积分基本定理如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则()()()baf x dx F b F a =-⎰,其中()F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()baF x .因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分⎰badx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰badx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正，在x 轴下方的面积积分时，取负.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bbaaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰；2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰；3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()bb baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分例1. 运用微积分定理求定积分（1）⎰-π)cos (sin dx x x ；（2）dx xx x ⎰+-212)1(；（3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ；（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x， ∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰.（3）∵(sin )cos '+=+xxx e x e ，∴01(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰；【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。

定积分和微积分基本定理优质辅导讲义

b
v(t)dt ；
a
若 v(t) <0，则相应的时间段[a，b]上的路程为 s
b
v(t)dt
a
二、基本性质
性质 1 b1dx b a . a
性质 2
b kf (x)dx k
b
f (x)dx
(其中k是不为0的常数) （定积分的线性性质）.
a
a
性质 3
b
[
a
f1(x)
f2 (x)]dx
b a
f1(x)dx
b
a f2 (x)dx （定积分的线性性质）.
性质 4 b f (x)dx c f (x)dx b f (x)dx (其中a c b) （定积分对积分区间的可加性）
a
a
c
推广 1
b
[
a
f1(x)
f2(x)
fm (x)]dx
b a
f1(x)dx
b a
f2 (x)dx
2x A. -2 ln 2 B. 2 ln 2 C. -ln2
D. ln 2
变式 2 1(ex 2x)dx 0
A.1 B e1 . C. e D. e+1
变式 3
设函数 f x ax2 c a 0 ，若
1 f x dx
0
f x0
0 x0 1 ，则 x0 的值为
．
变式 4
i i 1,2,,n ，作和式：Sn n f (i )x i1
n i 1
ba n
f (i ) ，当 Dx
无限接近于 0（亦即 n ）时，
上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区间[a, b] 上的定积分．记为：

定积分与微积分基本定理讲义

定积分与微积分基本定理讲义一、知识梳理1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃb a f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a nf (ξi )．在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．注意：1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( )题组二：教材改编2．ʃe ＋121x －1d x ＝________.3.ʃ0－11－x 2d x ＝________. 4．[汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m. 题组三：易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．46．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________．三、典型例题题型一：定积分的计算1．定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.2．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋23．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56 D ．不存在思维升华：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二：定积分的几何意义命题点1：利用定积分的几何意义计算定积分典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 命题点2：求平面图形的面积典例由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．思维升华：(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________． (2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．题型三：定积分在物理中的应用典例一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m.思维升华：定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .跟踪训练一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J答案 C 四、反馈练习1．π220sin d 2x x 等于( ) A ．0 B.π4－12C.π4－14D.π2－1 2．ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．πB.π2 C ．π＋1 D ．π－13.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( ) A.43B.54C.65D.76 6．设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝17．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．28．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 9．π20π2sin()d 4x x +=⎰ ________. 10．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________． 11．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.12.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13B.310C.14D.1514．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 115．ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______. 16．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________.。

(复习指导)3.3 定积分与微积分基本定理含解析

3.3 定积分与微积分基本定理必备知识预案自诊知识梳理1.定积分的定义如果函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n ),作和式∑i=1nf (ξi )Δx=∑i=1n b -a nf (ξi ),当n →+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作∫baf (x )d x.2.定积分的几何意义(1)当函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续且恒有f (x )≥0时,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是由直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0和曲线y=f (x )所围成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.图①图②(2)一般情况下,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y=f (x )以及直线x=a ,x=b之间的曲边梯形(图②中阴影部分)面积的代数和,其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3.定积分的性质(1)∫ba kf (x )d x= (k 为常数); (2)∫ba [f (x )±g (x )]d x= ;(3)∫baf (x )d x= (其中a<c<b ).4.微积分基本定理一般地,如果f (x )是图像在区间[a ,b ]上连续的函数,并且F'(x )=f (x ),那么∫baf (x )d x= .这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫作f(x)的一个原函数.为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)d x=F(x)|a b=F(b)-F(a).5.定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=∫ba v(t)d t.(2)变力做功:某物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=∫baF(x)d x.1.定积分与曲边梯形的面积的关系:设图中阴影部分的面积为S,则(1)如图(1),S=∫baf(x)d x;(2)如图(2),S=-∫baf(x)d x;(3)如图(3),S=∫ca f(x)d x-∫bcf(x)d x;(4)如图(4),S=∫ba[f(x)-g(x)]d x.2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有:(1)若f(x)是偶函数,∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;(2)若f(x)是奇函数,则∫a-af(x)d x=0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续,则∫ba f(x)d x=∫b a f(t)d t.()(2)若f(x)是图像连续的偶函数,则∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;若f(x)是图像连续的奇函数,则∫a-af(x)d x=0.()(3)在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba|f(x)|d x.() (4)若∫baf(x)d x<0,则由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(5)已知质点移动的速度v=10t,则质点从t=0到t=t0所经过的路程是∫t010t d t=5t02.()2.已知函数f(x)={√x,1<x≤4,x|x|,-1≤x≤1,则∫4-1f(x)d x=()A.14B.143C.7D.2123.汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是()A.5 mB.112mC.6 mD.132m4.(2020湖南师大附中测试)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.45.(2020江西南昌模拟)设a>0,若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成的封闭图形的面积为a2,则a=.关键能力学案突破考点定积分的计算【例1】计算下列定积分.(1)∫1(-x2+2x)d x;(2)∫π(sin x-cos x)d x;(3)∫21(e2x+1x)d x;(4)∫π2√1-sin2x d x.?解题心得计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.对点训练1(1)∫3-1(3x2-2x+1)d x;(2)∫21(x-1x)d x;(3)∫π-π(x3cos x)d x;(4)∫2|1-x|d x.考点利用定积分的几何意义求定积分【例2】已知函数f(x)={-x+2,x≤2,√1-(x-3)2,2<x≤4,则定积分∫412f(x)d x的值为()A.9+4π8B.1+4π4C.1+π2D.3+2π4?解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.对点训练2(2020四川成都一中测试)∫1-1(√1-x2+sin x)d x=()A.π4B.π2C.πD.π2+2考点定积分的应用(多考向探究)考向1求曲线围成的平面图形的面积【例3】(1)如图所示,曲线y=x2-1,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为() A.∫2|x2-1|d xB.∫21(1-x2)d x+∫1(x2-1)d xC.∫2(x2-1)d xD.∫21(x2-1)d x+∫1(1-x2)d x(2)(2020云南昆明一中测试)如图是函数y=cos2x-5π6在一个周期内的图像,则阴影部分的面积是()A.34B.5 4C.3 2D.32−√34?2已知曲线围成的面积求参数【例4】(2020安徽合肥摸底)由曲线f(x)=√x与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为83,则m的值为()B.3C.1D.8?3定积分在概率中的应用【例5】(2020山西太原联考)如图,在矩形ABCD中的曲线是y=sin x,y=cos x的一部分,点A(0,0),B(π2,0),D(0,1),在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.4π(√3-1) B.4π(√2-1) √3-1)π D.4(√2-1)π?4定积分在物理中的应用【例6】(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t 的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln 113C.4+25ln 5D.4+50ln 2(2)一物体在力F (x )={5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F (x )做的功为 J .?解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.3.与概率相交汇问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.4.利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练3(1)如图,由两条曲线y=-x 2,y=-14x 2及直线y=-1所围成的平面图形的面积为 .(2)已知t>1,若∫t1(2x+1)d x=t 2,则t= .(3)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y=x 3(x>0)和曲线y=√x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.512B.16C.14D.13(4)汽车以36 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-2 m/s 2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是 m .(5)设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10,已知F (x )=x 2+1,且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为 J(x 的单位:m;力的单位:N).1.求定积分的方法:(1)利用定义求定积分,可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分的步骤如下: ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x );②计算F (b )-F (a ).(3)利用定积分的几何意义求定积分. 2.定积分∫baf (x )d x 的几何意义是x 轴、曲线f (x )以及直线x=a ,x=b 围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间[a ,b ]上连续的曲线y=f (x )和直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba |f (x )|d x.1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.3.3 定积分与微积分基本定理必备知识·预案自诊知识梳理3.(1)k ∫ba f (x )d x(2)∫ba f (x )d x ±∫ba g (x )d x (3)∫c af (x )d x+∫bcf (x )d x4.F (b )-F (a ) F (x )|ab 考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.B 函数f (x )={√x ,1<x ≤4,x |x |,-1≤x ≤1,则∫4-1f (x )d x=∫1-1x|x|d x+∫41√x d x=0+23x 3214=143.故选B .3.D S=∫21(3t+2)d t=(32t 2+2t) 12=92+2=132.故选D .4.D 由{y =4x ,y =x 3,得x=0或x=2或x=-2(舍),∴S=∫2(4x-x 3)d x=2x 2-14x 402=4.5.49 封闭图形如图阴影部分所示,则∫a√x d x=23x 32 0a =23a 32=a 2,解得a=49.关键能力·学案突破例1解(1)∫1(-x 2+2x )d x=∫1(-x 2)d x+∫12x d x=(-13x 3) 01+(x 2) 01=-13+1=23. (2)∫π0(sinx-cosx )dx=∫π0sinxd x-∫πcos x d x=(-cos x ) π0-sin x π0=2.(3)∫21(e 2x +1x )dx=∫21e 2x dx+∫211x x=12e d 2x12ln x 12=12e+4-12e 2+ln2ln1=e-4-12e 122+ln2. (4)∫π2√1-sin2x dx=∫π2|sinx-cos x|d x=∫π4(cos x-sin x )d x+∫π2π4(sin x-cos x )d x=(sinx+cos x ) 0π4+(-cos x-sin x ) π4π2=√2-1+(-1+√2)=2√2-2.对点训练1解(1)∫3-1(3x 2-2x+1)d x=(x 3-x 2+x )|-13=24. (2)∫21(x -1x )d x=12x 2-ln x 12=32-ln2.(3)因为y=x 3cos x 为奇函数, 所以∫π-π(x 3cos x )d x=0.(4)∫2|1-x|dx=∫1(1-x)dx+∫21(x-1)d x=(x -12x 2) 01+12x 2-x 12=(1-12)-0+12×22-2-12×12-1=1.例2A 因为f (x )={-x +2,x ≤2,√1-(x -3)2,2<x ≤4,所以∫412f (x )dx=∫212(-x+2)dx+∫42√1-(x -3)2d x ,∫212(-x+2)d x=-12x 2+2x122=98. ∫42√1-(x -3)2d x 的几何意义为以(3,0)为圆心,以r=1为半径的圆在x 轴上方的部分,因而S=12×π×12=π2, 所以∫412f (x )d x=98+π2=9+4π8.故选A .对点训练2B ∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=∫1-1√1-x 2d x+∫1-1sin x d x ,∵y=sin x 为奇函数,∴∫1-1sin x d x=0. 又∫1-1√1-x 2d x 表示以坐标原点为圆心,以1为半径的圆的上半圆的面积,∴∫1-1√1-x 2d x=π2. ∴∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=π2.例3(1)A (2)B (1)由曲线y=x 2-1,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积为S=∫1(1-x 2)d x+∫21(x 2-1)d x.根据对称性,它和函数y=|x 2-1|,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积相等,如图所示,即S=∫2|x 2-1|d x.(2)阴影部分的面积为S=-∫π6cos 2x-5π6d x+∫2π3π6cos 2x-5π6d x =-12sin 2x-5π60π6+12sin 2x-5π6π62π3= -12sin -π2-12sin -5π6+12sin π2−12sin -π2=14+1=54.故选B .例4A 由题知曲线f (x )=√x 与直线y=m 的交点为(m 2,m ),则∫m 20(m-√x )d x=mx-23x 320m 2=m 3-23m 3=83,解得m=2.例5BS 阴影=2∫π4(cos x-sin x )d x=2[sin x+cos x ] 0π4=2(√2-1),S ABCD =π2×1=π2,由测度比是面积比可得,此点取自阴影部分的概率是P=S 阴影SABCD=2(√2-1)π2=4π(√2-1).故选B .例6(1)C (2)36 (1)由v (t )=7-3t+251+t =0,可得t=4,t=-83(舍去),因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间行驶的距离为∫40v (t )d t=∫47-3t+251+t d t=7t-32t 2+25ln(1+t )04=4+25ln5(m).(2)由题意知,力F (x )所做的功为W=∫42F (x )d x=∫425d x+∫42(3x+4)d x=5×2+32x 2+4x 24=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J).对点训练3(1)43 (2)2 (3)A (4)25(5)342 (1)由{y =-x 2,y =-1得交点A (-1,-1),B (1,-1).由{y =-14x 2,y =-1得交点C (-2,-1),D (2,-1).所以所求面积S=2∫2(-14x 2+1)−∫1(-x 2+1)=43.(2)∫t1(2x+1)d x=(x 2+x ) 1t =t 2+t-2,从而得方程t 2+t-2=t 2,解得t=2.(3)此题为关于面积的几何概型,边长为1的正方形AOBC 的面积为1,叶形图(阴影部分)的面积S (A )=∫1(√x -x 3)d x=(23x 32-14x 4) 01=512. 所以所求概率P (A )=512.故选A .(4)t=0时,v 0=36km/h=10m/s ,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v 0+at=10-2t ,由v (t )=0得t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为∫5v(t)dt=∫5(10-2t )d t=(10t-t 2)05=25(m).(5)变力F (x )=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=∫101F (x )d x=∫101(x 2+1)d x=(13x 3+x) 110=342(J).。

高考数学一轮复习讲义2.13讲定积分与微积分基本定理

第13讲定积分与微积分基本定理[最新考纲]1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.知识梳理1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )．(2)定积分的几何意义①当f (x )≥0时，定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．(图1)②当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，如图2所示，则定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示介于x轴．曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分曲边梯形面积的代数和，即⎠⎛a b f (x )d x ＝A 1＋A 3－A 2. 2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a b f (x )d x＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．辨析感悟1．关于定积分概念的理解(1)定积分概念中对区间[a ，b ]的分割具有任意性．(√)(2)当n →＋∞时，和式∑i ＝1nf (ξi )·Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )无限趋近于某一确定的常数．(√)(3)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .(√)2．定积分的几何意义与物理意义(4)在区间[a ，b ]上的连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab |f (x )|d x .(√)(5)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．(×)(6)(教材习题改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是s ＝＝5t 20.(√)3．定积分的性质及微积分基本定理 (7)若f (x )是连续的偶函数，则＝2⎠⎛0af (x )d x .(√)(8)若f (x )是连续的奇函数，则＝0.(√)(9)(2013·湖南卷改编)如果⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T ＝3.(√)[感悟·提升]1．一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如(2)、(3)．2．一个定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算，如(9)中，可确定一个原函数F (x )＝13x 3，进而求T .3．两点提醒一是重视定积分性质在求值中的应用，如(7)、(8)．二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负，如(4).学生用书第46页考点一定积分的计算【例1】 (1)若＝2，则实数a 等于( )．A ．－1B ．1 C. 3D ．－ 3(2)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．(3)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，则的值为________．解析 (1)∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1， ∴a ＋1＝2.∴a ＝1.(2)由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.答案 (1)B (2)94π (3)π规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则＝0.【训练1】 (1)定积分＝________. (2)(2014·广东六校模拟)＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ′＝x 2＋sin x ，∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ⎪⎪⎪1－1＝23.(2)由定积分的几何意义知，是由曲线y ＝1－x 2，直线x ＝－1，x＝0，y ＝0围成的封闭图形的面积，故＝π·124＝π4.答案 (1)23 (2)π4考点二利用定积分求平面图形的面积【例2】 (1)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．A.2π5B.43C.32D.π2(2)曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________. 审题路线 (1)先求二次函数f (x )的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积．解析 (1)设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2.答案 (1)B (2)2规律方法利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．【训练2】 (1)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.(2)曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为________．解析 (1)S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 23 ⎪⎪⎪a 0＝23a 23＝a 2，∴a ＝49.(2)由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2236132 ⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31＝23＋16＋43 ＝136.答案 (1)49 (2)136考点三定积分在物理中的应用【例3】 (2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )． A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 答案 C学生用书第47页规律方法 (1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误．【训练3】设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解析由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342.答案 3421．求定积分常用的方法 (1)利用微积分基本定理．(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积． 2．定积分计算应注意的问题+(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．(3)面积非负，而定积分的结果可以为负．利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论．易错辨析4——对定积分的几何意义理解不到位致误【典例】 (2011·课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )． A.103 B ．4 C.163D ．6[错解] 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，∴y ＝x 与直线y ＝x －2的交点为(4,2)，于是，围成图形的面积是 S ＝⎠⎛04[x －(x －2)]d x －⎠⎛24(x －2)d x＝⎪⎪⎪4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪40－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪42＝163－2＝103. [答案] A[错因] (1)不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示．(2)求错原函数，导致计算错误．[正解] 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x＝ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 22132223⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案] C[防范措施] (1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．【自主体验】曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为________．解析作出曲线y ＝1x ，直线y ＝x 和x ＝2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝1x ，y ＝x得交点(1,1)．因此y ＝1x 与y ＝x 及x ＝2所围成的图形的面积为S ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝12x 2⎪⎪⎪21－ln x ⎪⎪⎪21＝32－(ln 2－ln 1)＝32－ln 2. 答案 32－ln 2基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题 1.⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析 ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2)⎪⎪⎪1＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e. 答案 C2．(2014·济南质检)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32D. 3解析由题意知S ＝＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3.答案 D3．(2014·广州模拟)设f (x )＝⎠⎛0x sin t d t ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值等于( )．A ．－1B ．1C ．－cos 1D ．1－cos 1 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝＝1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f (1)＝⎠⎛01sin t d t ＝(－cos t )⎪⎪⎪10＝1－cos 1. 答案 D4.如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14，所围成的图形(阴影部分)的面积为 ( )．A.23B.13C.12D.14解析由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪ 120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14. 答案 D5．一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )．A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析力F (x )所做的功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝20＋26＝46(J)．答案 B 二、填空题6．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围是________．解析 ∵⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝32k ＋1，∴2≤32k ＋1≤4，∴23≤k ≤2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，27.如图所示，是一个质点做直线运动的v －t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________ m.解析由题图易知 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧34t ，0≤t ≤4，9－32t ，4<t ≤6.∴s ＝⎠⎛06v (t )d t ＝⎠⎛0434t d t ＋⎠⎛46⎝⎛⎭⎪⎫9－32t d t ＝38t 2⎪⎪⎪ 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9t －34t 2⎪⎪⎪64＝6＋3＝9.答案 98．(2013·江西卷改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，∵e 2－e ＝e(e －1)>e>73>ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 S 2＜S 1＜S 3 三、解答题9．已知f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，试求⎠⎛03f (x )d x 的值．解∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3.∴⎠⎛3f(x)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫13x3－4x2＋3x⎪⎪⎪3＝－18.10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．解作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y＝x2，y＝x，得交点(1,1)，解方程组⎩⎨⎧y＝x2，y＝3x，得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为S＝⎠⎛1(3x－x)d x＋⎠⎛13(3x－x2)d x＝⎠⎛12x d x＋⎠⎛13(3x－x2)d x＝x2⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫32x2－13x3⎪⎪⎪31＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A2．(2014·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.12 B.16 C.14D.13解析依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x－x 2)d x ＝＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13.答案 D 二、填空题3．(2014·广州调研)若f (x )＝则f (2 014)＝________.解析当x >0时，f (x )＝f (x －4)，则f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (2 014)＝f (2)＝f (－2)，又∵＝13，∴f (2 014)＝f (－2)＝2－2＋13＝712. 答案 712 三、解答题4.如图所示，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S . 解 (1)由f (x )＝4x －8，∴f ′(x )＝1x －2. 又点A (6,4)为切点，∴f ′(6)＝12，因此切线方程为y －4＝12(x －6)，即x －2y ＋2＝0. (2)令f (x )＝0，则x ＝2，即点C (2,0)．在x －2y ＋2＝0中，令y ＝0，则x ＝－2，∴点B (－2,0)．故S ＝⎠⎛6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1d x －⎠⎛264x －8d x能力提升练——导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·襄阳调研)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )．C ．60°D ．120°解析由y ′＝3x 2－2得y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°. 答案 B2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析设g (x )＝f (x )－2x －4，由已知g ′(x )＝f ′(x )－2>0，则g (x )在(－∞，＋∞)上递增，又g (－1)＝f (－1)－2＝0，由g (x )＝f (x )－2x －4>0，知x >－1. 答案 B3．定积分⎠⎛01(e x ＋2x )d x 的值为( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪10＝e.答案 C4．已知函数f (x )＝2ln x －xf ′(1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是 ( )． A ．x －y ＋2＝0 B ．x ＋y ＋2＝0 C ．x ＋y －2＝0 D ．x －y －2＝0解析易知f ′(x )＝2x －f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2－f ′(1)，∴f ′(1)＝1，因此f (x )＝2ln x －x ，∴f (1)＝－1，∴所求的切线方程为y ＋1＝1·(x －1)，即x －y －2＝0. 答案 D5．(2014·济南质检)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．C ．6D ．9解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，且a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9. 答案 D6．(2014·青岛模拟)幂指函数y ＝f (x )g (x )在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，两边求导数得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x ).运用此法可以探求得知的一个单调递增区间为 ( )．A ．(0，e)B ．(2,3)C ．(e,4)D ．(3,8)解析将函数两边求对数得ln y ＝1x ln x ，两边求导数得y ′y ＝－1x 2ln x ＋1x ·1x＝1x 2(1－ln x )，所以y ′＝y ·1x 2(1－ln x )＝．令y ′>0，即1－lnx >0，∴0<x <e. 答案 A7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析设h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x . 由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点． ∴c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa ＝1，D 中图象一定不满足条件．答案 D8．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2，∴t 3＋t －5t 2＝5，(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5. 答案 C9．(2014·广州模拟)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是 ( )．A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )解析由f′(x)＝e x＋1>0，知f(x)在R上是增函数，∵f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0.∴函数f(x)的零点a∈(0,1)．由g′(x)＝1x＋1>0(x>0)，得g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝ln 1＋1－2<0，g(2)＝ln 2>0，∴函数g(x)的零点b∈(1,2)，从而0<a<1<b<2，故f(a)<f(1)<f(b)．答案 A10．(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，则x>0时，f(x) ()．A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值解析由条件，得f′(x)＝e xx3－2f(x)x＝e x－2x2f(x)x3.令g(x)＝e x－2x2f(x)，则g′(x)＝e x－2x2f′(x)－4xf(x)＝e x－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝e x－2e xx ＝e x⎝⎛⎭⎪⎫1－2x，令g′(x)＝0，得x＝2.当x>2时，g′(x)>0；当0<x<2时，g′(x)<0. ∴g(x)在x＝2处有最小值g(2)＝e2－8f(2)＝0.从而g(x)≥0，f′(x)＝g(x)x3>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极大(小)值．答案 D二、填空题11．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．解析依题意得，f′(x)＝2ax＋1x＝0(x>0)有实根，所以a＝－12x2<0.答案(－∞，0)12．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为________．解析由题意得切点坐标为(－1，－1)，切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3x2|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1.故切线l的方程为y－(－1)＝－[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.∴点P(3,2)到直线l的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.答案72 213．不等式x2－2x<0表示的平面区域与抛物线y2＝4x围成的封闭区域的面积为_______．解析由x2－2x<0，得0<x<2，又y2＝4x，得y＝±2x，∴所求面积S＝2⎠⎛22x d x＝＝162 3.答案163 214．设函数f(x)＝e2x2＋1x，g(x)＝e2xe x，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g(x1)k≤f(x2)k＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．解析因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g (x 1)maxf (x 2)min .因为g (x )＝e 2xe x ＝x e 2－x ，所以g ′(x )＝(x e 2－x )′＝e 2－x ＋x e 2－x ·(－1)＝e 2－x (1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e. 又f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e(x >0)．当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e. 所以g (x 1)max f (x 2)min ＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12，又k >0，所以k ≥1. 答案 [1，＋∞) 三、解答题15．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 16．设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解 (1)f ′(x )＝a e x －1a e x ，令f ′(x )>0，得x >－ln a ，令f ′(x )<0，得x <－ln a .所以f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b .②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a ＋b .(2)依题意f (2)＝3，f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或－12(舍去)，因此a ＝2e 2.代入f (2)＝3，得2＋12＋b ＝3，即b ＝12. 故a ＝2e 2，且b ＝12.17．(2014·南平质检)已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m 为实数)． (1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，f ⎝⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程； (2)求函数g (x )的单调递减区间；(3)若m ＝1，证明：当x ＞0时，f (x )＜g (x )＋x 36.解 (1)由题意得所求切线的斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4＝22.切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，则切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4即x－2y＋1－π4＝0.(2)g′(x)＝m－12x 2.①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－2m或x＞2m，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－2m)，(2m，＋∞)．(3)当m＝1时，g(x)＝x－x3 6.令h(x)＝g(x)－f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cos x≥0，则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．故当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋x3 6.18．已知函数f(x)＝ax＋x ln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k<f(x)x－1对任意x>1恒成立，求k的最大值．解(1)因为f(x)＝ax＋x ln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1.因为函数f(x)＝ax＋x ln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋x ln x，又k<f(x)x－1＝x＋x ln xx－1对任意x>1恒成立，令g(x)＝x＋x ln xx－1，则g′(x)＝x－ln x－2(x－1)2，令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)．当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0；当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)，故整数k 的最大值是3.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

专题定积分与微积分基本定理知识点

考点 1 3 定积分与微积分基本定理一、定积分1.曲边梯形的面积(1) 曲边梯形：由直线x=a 、x=b(a 和)、y=0和曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①).(2) 求曲边梯形面积的方法与步骤：① 分割：把区间［a , b ］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②);② 近似代替：对每个小曲边梯形以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②);③ 求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④ 取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积.2 .求变速直线运动的路程3 .定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续，用分点 a=X o vx i v ・・y x i?i <X i V-y x n =b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，在 n n b a 每个小区间［X i?1,x ］上任取一点&(i=1,2,…n)，作和式f( J Xf( i )；当n ^x 时，上述和式i 1i 1nb无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间［a,b ］上的定积分，记作f(x)dx ，即a⑵在:f(x)dx 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b ］叫做f (x) dx = limnf ( i ).积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式.4．定积分的性质定积分的性质( 3)称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形 ABCD 的面积等于曲边梯形 AEFD 与曲边梯形 EBCF 的面积的和.5. 定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正时，定积分bf(x)dx 的几何意义是由a直线x=a , x=b(a 电,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分 ).(2) 一般情况下，定积分 b f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、曲线f(x)以及a直线 x=a ， x=b 之间的曲边梯形面积的代数和 (图②中阴影部分所示 )，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.6. 定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论) 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S,则 ( 1 ) S f x dx ；( 2) S f x dx ；aa1)2) 3)bb kf x dx k faa ba [ f (x) g(x)]dxbax dx (k 为常数)；bb f (x)dx g(x)dx ；aaf (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx (其中 a<C<b).注】b b bf x dxg x dx [ f x g x ]dx .aaa二、微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间［a,b ］上的连续函数，且F ’x)=f(x),那么a f (x)dx=F(b)?F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.为了方便，我们常把F(b)?F(a) 记作 F (X )|：，即 b f(x)dx =F(x)|a =F(b)?F(a).学科*网a【注】常见的原函数与被积函数的关系0).n1. cosxdx(3) Sc b f x dx f x dx ； (4) S a c(1)(2)(3)(4)(5)(6)bbCdx Cx|a (C 为常数)；ab1仆n 」1n 1 .b z八x dxx |a (n 1);an 1bbsin xdxcosx|a ；a bbcosxdx sin x |a ; ab1.dxaxIn X |： (b a 0)； e x I ：；(7)b a xdxax a|b (|a(aln a0,a 1)；(8)2 .若n4sin x acosx dx二，则实数2a 等于3 •直线y 4x 与曲线y x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为B • 4.2C • 2D . 4a b1 22xdx 3 4 •定义ad be ，女口1 42 32，那么1c d3 41 2A • 6B • 326 • （ 2015年高考湖南卷）°（X 1）dx曲线yx 2与直线yx 所围成的封闭图形的面积为•如图，点A 的坐标为（1,0）,点C 的坐标为（2,4）,函数f （x ）=x 2若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于•C •-2log 23 , blog 1 2, c 32 D •1 0，则 ix 5 •设实数ansin xcA • ba cB •b c a C • a b cD•a c b7 • （ 2015年高考天津卷）8 • （ 2015年高考福建卷）3。

一轮复习--定积分与微积分基本定理PPT课件

0
5
所以5
－5
(3x3＋4sin
x)dx＝0－5
(3x3＋4sin
x)dx
＋
0
(3x3
＋
4sin x)dx＝0.
[方法技巧] 1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分． 2．两个常用结论设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2af(x)dx；
图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由yy＝＝x－x，2 得交点A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
＝
4
0
x－x＋2dx
＝
2 3x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝23×8－12×16＋2×4＝136.
[答案] C
[方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤
3.在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
图 4－5－4
解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即
t
S1＝t·t2－ 0
x2dx＝23t3.
当 t＝12时，S 最小，
∴最小值为 S12＝14.
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx

一轮复习优质课件定积分与微积分基本定理

b－a (ξi)· . n
(3)定积分 f(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间 [a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．
b a
基础归纳
2．定积分的几何意义
当 f(x)≥0 时，定积分 f(x)dx 的几何意义：表示由 a
b
直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．当 y<0 时，即曲边梯形在 x 轴的下方时 f(x)dx 在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数．
b
f(x)dx＝
a
c
b a
f(x)dx(其中 a<c<b)
你能从定积分的几何意义解释性质③吗？
基础归纳
4．微积分基本定理一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且
b F ′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝ F(b)－F(a)．这个结论叫
a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了
变式训练：
(本题满分10分)物体A以初速度为2(速度v的单位：m/s)、加速度为a(t)＝6t(t的单位：s)在一直线上运动．在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方 5 m处以v＝10t＋1(t的单位：s，v的单位： m/s)的速度运动． (1)求物体A的速度； (2)两物体何时相遇？相遇地与物体A 的出发地的距离是多少？
i＝ 1 i＝ 1 n n
b－a f(ζi)，当 n→∞时，此和式无限接 n
近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分
基础归纳
记作
b a
f(x)dx，即
b a
f(x)dx＝lim