初中数学第一轮总复习：第13讲 二次函数

2
(a≠0) 的二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标 a ＞ 0 向上 x=0 (0,0) a ＜ 0 向下
形如y （二）形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数 二次函数 开口方向 a ＞ 0 向上 a＜0 对称轴 顶点坐标
y = ax 2+k
X=0
（0，k） ， ）
形如y (x（三）形如y = a (x-h) 二次函数 y = a（x-h) 2 （
2011年3月17日 年 月 日
二次函数课标要求
① 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表 达式，并体会二次函数的意义。 达式，并体会二次函数的意义。 会用描点法画出二次函数的图象， ② 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上 认识二次函数的性质。 认识二次函数的性质。 会根据公式确定图象的顶点、 ③ 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称 公式不要求记忆和推导）， ），并能解决 轴（公式不要求记忆和推导），并能解决 简单的实际 问题。 问题。 ④ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似 解。
3.抛物线与 轴交点个数的判定 抛物线与x轴交点个数的判定 抛物线与 轴交点个数的判定. (1) b2 - 4ac＞0 2个交点 个交点. ＞ 个交点 (2) b2 - 4ac=0 1个交点 个交点. 个交点 (3) b2 - 4ac＜0 0个. ＜ 个
二次函数的图象和性质
形如y （一）形如y = ax 二次函数 y = ax 2
a>0
开口方向 顶点 对称轴 增减性 最 值
ymin
b 4ac − b 2 − , ) y随x的增大而增大 随 (的增大而增大 2a 4a b x<− b 时 当 x = −2a
a<0
向下 − b 当 x > 2a 时 b x的增大而减少 4的增大而减少 ac − b 2 y随 (− 随, )
2a
向上 b 当 x > − 2a 时
2、另一个交点坐标为(1，0) 、另一个交点坐标为 ， 3、当m＞-1且m≠3时，抛物线的顶点在第四象限 、 ＞ 且 时
方法小结
1.会利用a、b、c的值判断二次函数的大致位置情况； 1.会利用a 的值判断二次函数的大致位置情况； 会利用 反之，若已知二次函数的大致位置， 反之，若已知二次函数的大致位置，也可以判断出一 些特殊关系式或字母的取值范围等， 些特殊关系式或字母的取值范围等，此类问题既要细 心处理，又要灵活运用数形结合思想，易出错. 心处理，又要灵活运用数形结合思想，易出错.
3.(2003年·南通市 已知反比例函数 年 南通市 已知反比例函数y=k/xkx的图像如图 南通市)已知反比例函数 的图像如图3的图像如图 4-3所示，则二次函数 所示， 的图像大致为( 所示 则二次函数y=2kx2-x+k2的图像大致为 B)
4.(2003年·山西省 二次函数 年 山西省 二次函数y=x2+bx+c的图像如图 山西省)二次函数 的图像如图3-4-4 的图像如图 所示，则函数值y＜ 时 对应的x取值范围是 ＜ ＜ 所示，则函数值 ＜0时，对应的 取值范围是 -3＜x＜1 .
y随x的增大而减少 随 的增大而减少 当
x=− b 2a
2a
x=−
4a b b 当 x < − 2a
时
y随x的增大而增大 随 的增大而增大
b 当 x=−
ymax
2a
时
2
时
4ac − b = 4a
4ac − b 2 = 4a
2a
课前热身
1.(2003年·北京海淀区)如图3-4-1所示，二次函数 y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的是 D ) 的图像如图所示， 的图像如图所示 则下列结论正确的是( A.a＞0，b＜0，c＞0 B.a＜0，b＜0，c＞0 ＞ ， ＜ ， ＞ ＜ ， ＜ ， ＞ C.a＜0，b＞0，c＜0 D.a＜0，b＞0,c＞0 ＜ ， ＞ ， ＜ ＜ ， ＞ ＞
a ≺ 0, 开口向下
(2)a与b决定对称轴位置 与 决定对称轴位置 (3)c决定抛物线与 轴交点位置 决定抛物线与y轴交点位置 决定抛物线与
c ≻ 0, 交点在y轴交点位置 c = 0, 交点在原点 c ≺ 0, 交点在y轴的负半轴上
c ≻ 0, 交点在 y轴的正半轴上 c = 0, 交点在原点 c ≺ 0, 交点在 y轴的负半轴上
为任何实数， 【例2】 无论 为任何实数，二次函数 】 无论m为任何实数 二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点( 的图像总是过点 B ) A.(1，3) B.(1，0) ， ， C.(-1，3) D.(-1，0) ， ， 3】 (1)(2002年·呼和浩特市 二次函数y=ax 呼和浩特市)二次函数 【例3】 (1)(2002年·呼和浩特市)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图3-4-7所示，则点 所示， 的图像如图 所示 则点M(b/c，a)在( D ) ， 在 A.第一象限 第一象限 Ｂ.第二象限 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 第三象限 第四象限
2.会利用方程根的性质，一元二次方程根的判别式， 2.会利用方程根的性质，一元二次方程根的判别式， 会利用方程根的性质 判定抛物线与x轴交点的情况；反之， 判定抛物线与x轴交点的情况；反之，可以求某些字 母的取值范围. 母的取值范围.
课时训练
1.已知：抛物线 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图像如图 的图像如图3-4-9所示，则x 所示， 已知 的图像如图 所示 的方程ax 的根的情况是( 的方程 2+bx+c-3=0的根的情况是 C) 的根的情况是 A.有两个不相等的正实根 有两个不相等的正实根 B.有两个异号实数根 有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 有两个相等的实数根 D.没有实数根 D.没有实数根
(2)若抛物线 若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取 轴有两个交点， 若抛物线 与 轴有两个交点 的取 值范围是( 值范围是 D ) A.a＞0 ＞ C.a＞ 9/4 ＞ B.a＞-4/9 ＞ D.a＜9/4且a≠0 ＜ 且
所示， 【例4】 如图 】 如图3-4-8所示，函数 所示 函数y=x2+(m+1)x+(m-1)(m 是常数)的图像可能是 的图像可能是( 是常数 的图像可能是 B)
2.已知二次函数 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图 的图像如图3-4-10所示 ， 所示， 已知二次函数 的图像如图 所示 那么下列判断不正确的有( 那么下列判断不正确的有 D ) A.abc＞0 B. b2-4ac＞0 ＞ ＞ C.2a+b＞0 D.4a-2b+c＜0 ＞ ＜
3. 如图 如图3-4-11所示，函数 所示， 所示 函数y=kx2+k与y=k/2(k≠0)在同一坐 与 在同一坐 标系中的图像可能是下图中的( 标系中的图像可能是下图中的 )D
2
( a≠0 ) 的二次函数 对称轴 顶点坐标
开口方向 a ＞ 0 向上 a＜0 ＜
2
x=h
（h，0） ， ）
形如y (x(四) 形如y = a (x-h) 二次函数 y = a（x-h)
2+k
+k
(a ≠0) 的二次函数 对称轴 顶点坐标
开口方向 a ＞ 0 向上 a＜0
x=h
（h，k）
二次函数y=ax +bx+c(a≠0) (a≠0)的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数
4.如图 如图3-4-12所示 ， 函数 所示， 如图 所示 函数y=ax2 与 y=ax+a(a＜0＝ 在同一 ＜ ＝ 直角坐标系中的图像大致是( 直角坐标系中的图像大致是 B )
5.如图 如图3-4-13所示， 二次函数 所示， 的图像交x轴于 如图 所示 二次函数y=x2-4x+3积为 C ) 两点， 轴于点C， 的面积为( 、 两点 轴于点 的面积为 A.6 B.4 C.3 D.1
5.(2003年·哈尔滨 如图 年 哈尔滨 如图3-4-5所示， 哈尔滨)如图 所示， 所示 下列各图是在同一直角坐标系内， 下列各图是在同一直角坐标系内， 二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数 与一次函数y=ax+c的大致图 二次函数 与一次函数 的大致图 有且只有一个是正确的，正确的是( 像，有且只有一个是正确的，正确的是 D )
【例5】 已知：二次函数 】 已知：二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证 ： 不论 为何值时 ， 函数的图像与 轴总有交点 求证： 为何值时， 求证 不论m为何值时 函数的图像与x轴总有交点 并指出m为何值时 只有一个交点； 为何值时， ，并指出 为何值时，只有一个交点； (2)当m为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数图 为何值时， 当 为何值时 函数图像过原点， 像与x轴的另一个交点 轴的另一个交点； 像与 轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限，求m的取值范围 若函数图像的顶点在第四象限， 的取值范围. 若函数图像的顶点在第四象限 的取值范围
典型例题解析
的图像如图3-4-6所 【例1】 已知二次函数 】 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图 的图像如图 所 下列结论① 示 ， 下列结论 ① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④ ＜ ， ＞ ； ＞ ； b=2a中正确个数为 A ) 中正确个数为( 中正确个数为 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 个 个 个 个
2.(2003年 ·天津市 已知 ： 右图 年 天津市 已知： 右图3-4-2所示 ， 为二次函数 天津市)已知 所示， 所示 y=ax2+bx+c的图像 ， 则一次函数 的图像， 的图像 则一次函数y=ax+bc的图像不经过 的图像不经过 (B ) A.第一象限 B.第二象限 第一象限 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 第三象限 第四象限