2021年中考数学二轮复习重难题型突破类型3--利润最值问题
初中数学中考经典题型汇总—二次函数经典利润问题
决胜中考经典专题分析二次函数应用题——经典利润应用题（1）了解什么是利润，利润率，售价，折扣数，商品的销售量，商品总销售额等（2）牢记进价，售价，利润，利润率，折扣数，商品销售量和总销售额之间存在的关系（3）分析利润问题中的已知数和未知数的相等关系，并列出我们所学的方程（4）背诵并了解有关的公式商品利润=售价－进价商品售价=标价×折扣销售总额=售价×销售数量总利润=（售价－成本）×销售数量商品利润率=商品利润商品进价=售价－进价商品进价×100％（5）如何将实际问题转化为数学问题（6）掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值（7）二次函数的一般式为：y=ax2＋b x＋c（a≠0）化为顶点式为y=a（x＋b2a）2＋4ac－b24a如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大或者最小值典例1:某商品的进价为1000元，售价为1500元，求商品的利润和利润率？【答案】由题意得因为进价为1200元，售价为1600元则有；利润=售价－进价=1600－1200=400元利润率【答案】由题意得商品售价－商品成本商品成本=1500－10001000=50％【精准解析】本道题主要考查进价，售价和利润，利润率之间的关系，所以要求学生们要熟练公式即可典例2：某潮流商品店上衣进价为60元，当售价为100元，每星期可卖出400件．经过调研，该上衣每降价2元，每星期可多卖出20件，上衣如何定价商店才能取得最大利润呢？【答案】由题意得，设降价x元，商店取得最大利润w则有：W最大=（100－60－x）（400＋20x）=（40－x）（400＋20x）=－20x2＋400x＋16000因此，当x=10，w最大=18000【精准解析】本道题主要考查总利润最大问题，所以我们需要把实际问题转化为数学问题，列出二元一次方程即可．典例3：皮衣专卖店销售一种皮衣，因销售有一定的困难，店老板核算了一下：如果按销售价打八折出售，每件可盈利80元，如果打六折出售，每件就要亏损40元．这种皮衣的进价是多少元？【答案】由题意得，设销售价为x元，则有：0.8x－80=0.6＋40解得x=600因此进价为：0.8x－80=0.8×600－80=400元【精准解析】本道题主要考查如何寻找方程的等量关系，很明显，同一件毛衣，他们的成本一样，因此我们构成成本的等量关系解方程即可典例4：文具店购进一批钢笔，进价是每支16元，售价是每支18元．现在商店还有40支笔，这时已经收回了全部成本，并且盈利200元．求这批钢笔共有多少支？【答案】由题意得，设这批钢笔为x支，则有：16x＋200=（x－40）×18解得x=460【精准解析】本道题需要我们找到方程直接的等量关系，我们可以直接列出总销售额的等量关系，解出这批钢笔的数量x即可.典例5：某超市要批发一批水果，平均每天可售出20箱，每箱盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不得低于26元每箱．经调查发现，如果每箱降价1元，商场平均每天可多售出2箱．（1）若超市平均每天要盈利1200元，每箱水果应降价多少元？（2）每箱水果降低多少元时，超市平均每天盈利最多？【答案】（1）由题意得，设每箱水果应该降价x元，则有：（40－x）（20＋2x）=1200整理得x2－30x＋200=0解得x1=10，x2=20（舍去）因此每箱水果降价10元，超市平均每天要盈利1200元（2）由上面得，可设W为最大盈利则有W最大=（40－x）（20＋2x）整理得W最大=－2x2＋60x＋800=－2（x2＋30x）＋800=－2（x－15）2＋1310因此，当x=15时，总利润取得最大w=1310【精准解析】这道题主要考查二元一次方程最大值问题，需要我们把实际问题转化为数学问题，关键要找出他们之间的等量关系．典例6某品牌不同的玩具均按照相同的折数打折销售，如果原价400元的文具，打折后售价为360，那么原价是76元的文具，打折后售价为（）元A．74B．68.4C．76.8D．56【答案】B由题意得，设商品按x折出售则有400×0.1x=360解得x=9因此打折后的售价为：76×0.9=68.4【精准解析】由原价的400元，打折后售价为360,元，即得他们的折扣数为9折，然后已知原价为76，所以把9折代入即可．典例7，服装店销售某款服装，一件服装的标价为400元，若按标价的7折销售，仍可获利40元，如果需要进货这款衣服50件，需要多少资金呢【答案】由题意得解：设这款衣服的进价为x400×70％=x＋40解得x=24050×240=12000元答：进货这款衣服50件，需要12000元【精准解析】首先我们需要找出售价，利润，和成本直接的等量关系，先求出成本，在联系数量即可求出总资金．典例8某地区的商场以200元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快就可以售完，商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高50元，进货量少了20台．（1）这两次各购进电风扇多少台（2）商场以350/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？【答案】由题意得设第一次购进x台，则第二次购进x－20台200x=（200＋50）（x－20）解得x=100因此第一次购进100台，第二次购进80台（2）第一次获利为（350－250）×100=10000第二次获利为（350－250）×80=8000所以总获利为：10000＋8000=18000典例9某地区旅游度假村接待旅游住宿需要，开设来了100张床位的旅馆，当每张的床位的收费为10元，床位可以每天全部出租完，若每张床位提高2元，则相对减少10张床位租出，如果每张床每天以2元为单位提高租出，为了使得租金最大化，那么每天最合适的收费为多少元呢，租金最高为多少钱？【答案】由题意得设每张提高x元，则租金为y元则有：y=（100－10×x2）（10＋x）=－5x 2＋50x＋1000=－5（x－5）2＋1125所以，当x=5时租金取得最大但是租金是以2元为单位提高租金的，x=5时奇数，所以不符合条件．只能选4或者6，他们两个的租金数是一样的，最终的目的是最小成本取得最大利益，所以x=6Y 最大=（100－5×6）（10＋6）=1120元【精准解析】这道题也是考查二次函数的最值问题，需要根据他们的等量关系“每天收入=每张床位×每张费用”即可求出租金y 和x 之间的函数关系．典例10某商品每件成本是10元，试销阶段每件产品的销售价x 与产品的日销售量y 之间的关系如下图：X（元）152030……..Y（件）252010若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出销售量y 与销售价x 的函数关系式（2）要想使得每日的销售利润取得最大，每件产品的销售价应该定为多少钱，此时的每日销售利润是多少钱？（3）【答案】由题意得，设销售量y 与销售价x 的函数关系式为：y=k x＋b则有25151030k b k b =⎨=⎧⎩＋＋，解得k=－1，b=40因此销售量y 与销售价x 的函数关系式为：y=－x＋40第二问：由（1）得，设最大利润w则有w=（x－10）（－x＋40）整理得：w=－x2＋50x－400=－（x－25）2＋225当x=25时销售利润取得最大为w=225【精准解析】这道题也是考查二次函数的最值问题，根据总利润=销售数量×（售价－成本）列出他们存在的二次函数关系即可.。
2021年中考数学专项训练--二元一次方程分式方程应用题---不等式类利润最大问题(含解析)
二元一次方程分式方程应用题---不等式类利润最大问题一、解答题（共18题；共175分）1.某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知：两种笔记本的进价之和为10元，甲种笔记本每本获利2元，乙种笔记本每本获利1元，小玲同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元.（1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？（2）该文具店购入这两种笔记本共60本，花费不超过296元，则购买甲种笔记本多少本时文具店获利最大？2.茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具.若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元；若购进种茶具3套和种茶具4套则需要600元.（1）、两种茶具每套进价分别为多少元？（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则最多可购进种茶具多少套？（3）若销售一套种茶具，可获利30元，销售一套种茶具可获利20元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？3.郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？4.深圳某居民小区计划对小区内的绿化进行升级改造，计划种植A，B两种观赏盆栽植物700盆．其中A种盆栽每盆16元，B种盆栽每盆20元．相关资料表明：A，B两种盆栽的成活率分别为93%和98%．（1）若购买这两种盆栽共用11600元，则A，B两种盆栽各购买了多少盆？（2）要使这批盆栽的成活率不低于95%，则A种盆栽最多可购买多少盆？（3）在（2）的条件下，应如何选购A，B两种盆栽，使购买盆栽的费用最低，此时最低费用为多少？5.某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？6.某学校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．7.为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动，某工程队承担了一段长1500米的道路绿化工程，施工时有两种绿化方案：甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元；乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元.现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍.（1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元？（2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？8.深圳市某校对初三综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100 分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80 分时，该生综合评价为A 等．（1）小明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185 分，而综合评价得分为91 分，则小明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？（2）某同学测试成绩为70 分，他的综合评价得分有可能达到A 等吗？为什么？（3）如果一个同学综合评价要达到A 等，他的测试成绩至少要多少分？9.某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元；购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元.请解答下列问题：（1）求A，B两种机器人每个的进价；（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种种机器人的总个数不少于28个，且该公司购买的A、B两种种机器人的总费用不超过106万元，那么该公司有哪几种购买方案？10.为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B钟纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？11.某商场销售甲，乙两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（毛利润=（售价进价）×销售量）（1）该商场计划购进甲，乙两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种教学设备的购进数量，增加乙种教学设备的购进数量，已知乙种教学设备增加的数量是甲种教学设备减少数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问甲种教学设备购进数量至多减少多少套？12.为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？13.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．14.植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元．（1）求购进A、B两种树苗的单价；（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？15.已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和1个篮球共需180元．（1）求每个足球和每个篮球的售价；（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？16.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工.（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？17.惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售，由于深受顾客喜爱，很快脱销，惠好商场又用50000元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了10元．（Ⅰ）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？（Ⅱ）惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？18.某修理厂需要购进甲、乙两种配件，经调查，每个甲种配件的价格比每个乙种配件的价格少0.4万元，且用16万元购买的甲种配件的数量与用24万元购买的乙种配件的数量相同.（1）求每个甲种配件、每个乙种配件的价格分别为多少万元；（2）现投入资金80万元，根据维修需要预测，甲种配件要比乙种配件至少要多22件,问乙种配件最多可购买多少件.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：设甲种笔记本的进价为m元，乙种笔记本的进价为n元..由题意得，解得，答：甲种笔记本的进价是6元/本，乙种笔记本的进价是4元/本.（2）解：设购入甲种笔记本x本，则购入乙种笔记本(60﹣x)本，根据题意得6x+4(60﹣x)≤296，解得n≤28，设利润为y元，则y＝2x+(60﹣x)，即y＝x+60，∵k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝28时文具店获利最大.答：购入甲种笔记本最多28本，此时获利最大.【解析】【分析】(1)设甲种笔记本的进价为m元，乙种笔记本的进价为n元.根据王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元，列出方程组即可解决问题；(2)设购入甲种笔记本x本，根据购入这两种笔记本共60本，花费不超过296元，列出不等式求出x的取值范围；设利润为y元，根据题意得出y与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可.2.【答案】（1）解：设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，解之得：.∴种茶具每套进价为100元，种茶具每套进价为75元.（2）解：设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，，，，，∴最多可购进种茶具30套.（3）解：设总利润为元，则.∵，随的增大而增大，又∵，∴当时最大（元），∴当购进种茶具30套时，种茶具的数量：（套），∴再次购进种茶具30套，种茶具50套可使利润最大，最大利润为1900元.【解析】【分析】（1）设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可.（2）设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，列出不等式，即可求解.（3）设总利润为元，则.根据一次函数的性质即可求解.3.【答案】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：，答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤ ，∵a为整数，∴a≤41，答：A种奖品最多购买41件．【解析】【分析】（1）根据两种情况下购买的总价列出二元一次方程组并求解；（2）设出A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件。
函数的实际应用-- 利润最值问题(专题训练)(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
函数的实际应用-中考数学重难点题型专题汇总利润最值问题（专题训练）1.某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(1)求y 关于x 的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．【答案】(1)()y 309601032x x =-+≤≤(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元【分析】（1）设()0y kx b k =+≠，把20x =，360y =和30x =，60y =代入求出k 、b 的值，从而得出答案；（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．(1)解：设()0y kx b k =+≠，把20x =，360y =和30x =，60y =代入可得203603060k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得30960k b =-⎧⎨=⎩，则()y 309601032x x =-+≤≤；(2)解：每月获得利润()()3096010P x x =-+-()()303210x x =-+-()23042320x x =-+-()230213630x =--+．∵300-<，∴当21x =时，P 有最大值，最大值为3630．答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．2.某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M 元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x 的值，从而得到答案．【详解】（1）由题意列方程得：（x ＋40-30）（300-10x ）＝3360解得：x 1＝2，x 2＝18∵要尽可能减少库存，∴x 2＝18不合题意，故舍去∴T 恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝()210104000x --+∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．3.某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝24－x ，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w （万元）与售价x 之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？【答案】(1)232252w x x =-+-(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元．【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；（2）①把4w =代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．(1)解：由题意得：()860w x y =--()()82460x x =---232252,x x =-+-(2)①由（1）得：当4w =时，则2322524,x x -+-=即2322560,x x -+=解得：1216,x x ==即第一年的售价为每件16元，② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，16,2413x x ì£ï\í-£ïî解得：1116,x ＃ 其他成本下降2元/件，∴()()2624430148,w x x x x =---=-+- 对称轴为()3015,21x =-=´-10,a =-<∴当15x =时，利润最高，为77万元，而1116,x ＃当11x =时，513461w =´-=（万元）当16x =时，108476w =´-=（万元）6177,w \＃所以第二年的最低利润为61万元．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．4.某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：时间（天）x 销量（斤）120﹣x 储藏和损耗费用（元）3x 2﹣64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）10%；（2）y ＝﹣3x 2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元【解析】【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．【详解】解：（1）设该水果每次降价的百分率为x ，10（1﹣x ）2＝8.1，解得，x 1＝0.1，x 2＝1.9（舍去），答：该水果每次降价的百分率是10%；（2）由题意可得，y ＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x ）﹣（3x 2﹣64x+400）＝﹣3x 2+60x+80＝﹣3（x ﹣10）2+380，∵1≤x ＜10，∴当x ＝9时，y 取得最大值，此时y ＝377，由上可得，y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式是y ＝﹣3x 2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．5.国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：水果单价甲乙进价（元/千克）x 4x +售价（元/千克）2025已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．（1）求x 的值；（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；（2）设购进甲种水果m 千克，则乙种水果100-m 千克，利润为y ，列出y 关于m 的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m 的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）由题意可知：120015004x x =+，解得：x=16，经检验：x=16是原方程的解；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，由题意可知：y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，∴m≥3（100-m），解得：m≥75，即75≤m＜100，在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小，∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元，∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．6.某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A 的数量不低于B 的数量，则A 为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A 为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元【分析】（1）设乙食材每千克进价为a 元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；②设A 为m 包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m 的函数关系式，再根据A 的数量不低于B 的数量，可以得到m 的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为a 元，则甲食材每千克进价为2a 元，由题意得802012a a-=，解得20a =．经检验，20a =是所列方程的根，且符合题意．∴240a =（元）．答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克．由题意得()402018000501042x y x y x y +=⎧⎨+=+⎩，解得400100x y =⎧⎨=⎩答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．②设A 为m 包，则B 为()500200040.25m m -=-包．记总利润为W 元，则()45122000418000200034000W m m m =+---=-+．A 的数量不低于B 的数量，∴20004m m ≥-，400m ≥．30k =-<，∴W 随m 的增大而减小。
2024年中考数学二轮复习题型突破课件：题型二+最值问题
第19题图
A.
B.
C. －
D. －2
D ）
20.（2023·黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的
中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C、点B旋转后的对应点分别
BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ.若AB＝4，MP＝1，
则MQ的最小值为 2 －1 .
第23题图
24.（2023·辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E
是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B'，连接DB'并延长交BC于
是点D、点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是
4＋ .
第20题图
21.[新动向·一题多空]（2023·随州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是
边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交
线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 10 ；DP的最大值为 2 .
类型二
利用“轴对称性质”求最值
6.（2023·通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，
点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（
A. ＋
C.2
＋
B. ＋
D.2
＋
第6题图
A
）
7.（2022·贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的
中考数学第二部分重难题型突破题型二情景应用题试题
题型二情景应用题类型一购买分配类问题针对演练1. (2012邵阳)2012年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划——“蛋奶工程”．该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括1盒牛奶、1包饼干和1个鸡蛋，已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，1个鸡蛋的质量为60克．(1)1个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？(2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？第1题图2. (2016绥化)某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．(1)求A、B两种商品的进价分别是多少元？(2)若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？3. (2015佛山)某景点的门票价格如表：购票人数/人1～50 51～100 100以上每人门票价/元12 10 8某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票比较，两个班各节约了多少钱？4. (2016贵阳)为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．(1)求足球和篮球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？5. (2016凉山州)为了更好的保护美丽如画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A 、B 两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A 型污水处理设备12万元，每台B 型污水处理设备10万元．已知1台A 型污水处理设备和2台B 型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A 型污水处理设备和3台B 型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．(1)求A 、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨；(2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？6. 某文化用品商店用1000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的54倍，所购数量比第一批多100套.(1)求第一批套尺购进时单价是多少？(2)若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？7. (2016长沙模拟)某商店购进A 、B 两种商品，B 商品每件的进价比A 商品每件的进价多1元，若50元购进A 商品的件数与60元购进B 商品的件数相同．(1)求A、B商品每件的进价分别是多少元？(2)若该商店购进A、B两种商品共140件，都标价10元出售，售出一部分后降价促销，以标价的8折售完剩余的商品，已知以10元售出的商品件数比购进A商品的件数少20件，若该商店此次购进A、B商品降价前后到销售完共获利不少于360元，求至少购进A商品多少件？8. (2016广安)某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售(每辆汽车按规定满载，并且只装一种水果)．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．甲乙丙每辆汽车能装的数量(吨) 4 2 3每吨水果可获利润(千元) 5 7 4(1)用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(2)水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售(每种水果不少于一车)，设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(结果用m表示)(3)在(2)问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？9. (2016德阳)某单位需采购一批商品，经考察购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需资金375元．(1)求甲、乙商品每件各多少元？(2)本次计划采购甲、乙两种商品共30件，计划资金不超过460元：①最多可采购甲商品多少件？②若要求购买乙商品数量不超过甲商品数量的45，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．10. (2016孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A ，B 两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买A 种树木2棵，B 种树木5棵，共需600元；购买A 种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元．(1)求A 种，B 种树木每棵各多少元？(2)因布局需要，购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．类型二 工程、行程问题针对演练1. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？2. (2017原创)某市进入汛期，部分路面积水比较严重，为了改善这一情况，市政公司决定将一段路的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工，如果甲、乙两工程队合作，需12天完成，如果甲工程队单独完成需20天．(1)乙工程队单独完成需几天？(2)如果甲工程队每施工一天需费用2万元，乙工程队每施工一天需费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，那么乙工程队至少要施工多少天？3. (2016邵阳模拟)某社区计划对面积为1800 m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积；(2)当甲、乙两个工程队完成绿化任务时，甲工程队施工了10天，求乙工程队施工的天数．4. (2016襄阳)“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？5. (2016衡阳模拟)小强家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有21分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸爸骑电瓶车送他去学校，已知小强爸爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用20分钟，且小强爸爸骑电瓶车的平均速度是小强步行速度的5倍，小强到家取课本与小强爸爸启动电瓶车等共用4分钟．(1)求小强步行的平均速度与小强爸爸的骑车速度； (2)请你判断小强上学是否会迟到，并说明理由．6. 初夏五月，小明和同学们相约去森林公园游玩，从公园入口处到景点只有一条长15 km的观光道路，小明先从入口处出发匀速步行前往景点， h后，迟到的另3位同学在入口处搭乘小型观光车(限载客3人)匀速驶往景点，结果反而比小明早到45 min，已知小型观光车的速度是小明步行速度的4倍．(1)分别求出小型观光车和小明步行的速度．(2)当迟到的这3位同学到达公园入口时，小明离景点还有多少km?7. (2016永州模拟)某工厂生产一批产品，甲车间单独完成需要40天，如果乙车间先做10天，甲乙两车间再一起合作20天恰好生产完这批产品．(1)乙车间单独生产这批产品需要多少天？(2)如果甲车间的生产费用为每天6500元，乙车间的生产费用为每天4500元，有以下三种方案可供选择：方案一：由甲车间单独生产这批产品；方案二：由乙车间单独生产这批产品；方案三：甲乙车间同时合作生产这批产品．如从节约生产费用的角度考虑，工厂应选择哪个方案？请说明理由．8. 某高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为1000万元，若工程指挥部决定由甲、乙两队合作完成此项工程，在甲、乙两队工作效率不变的情况下，问拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？类型三 增长率问题针对演练1. (2016毕节)为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入.2014年该县投入教育经费6000万元，2016年投入教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县将投入教育经费多少万元．2. 某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院“新国五条”出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？类型四函数图象问题针对演练1. (2016新疆)暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发小时时离目的地多远？第1题图2. (2016大庆)由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少．已知原有蓄水量y1(万 m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示．针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y1(万 m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万 m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万 m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．第2题图3. (2016岳阳模拟)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x 小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示．(1)根据图象，求出y1、y2关于x的函数关系式；(2)问两车同时出发后经过多少时间相遇，相遇时两车离甲地多少千米？第3题图4. (2016厦门)如图是药品研究所测得的某种新药在成人用药后，血液中药物浓度y(微克/毫升)随用药后的时间x(小时)变化的图象(图象由线段OA与部分双曲线AB组成)，并测得当y≥a时，该药物才具有疗效，若成人用药后4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍然具有疗效，则成人用药后，血液中的药物浓度至少需要多长时间达到最大？第4题图5. 某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始相向修路，施工期间，甲队改变了一次修路速度，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到公路修通，甲、乙两队各自所修公路的长度y(米)与修路时间x(天)之间的函数图象如图所示．(1)求甲队前8天所修公路的长度；(2)求甲队改变修路速度后y与x之间的函数关系式；(3)求这条公路的总长度．第5题图类型五 利润最值问题针对演练1. (2016钦州)某水果商行计划购进A 、B 两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：类型 价格进价(元/箱)售价(元/箱)A 60 70 B4055(1)若该商行进货款为1万元，则两种水果各购进多少箱？(2)若商行规定A 种水果进货箱数不低于B 种水果进货箱数的13，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？2. (2016邵阳模拟)某商场试销一款成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%.经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45.(1)求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．3. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y (箱)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w (元)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？4. (2016黄冈)东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p (元/kg)与时间t (天)之间的函数关系式为p ＝130(124,)4148(2548,)2-⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩t t t t t t 为整数为整数≤≤≤≤，且其日销售量y (kg)与时间t (天)的关系如下表：时间t (天) 1 3 6 10 20 40 … 日销售量y (kg)1181141081008040…(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？ (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1 kg 水果就捐赠n 元利润(n ＜9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．答案类型一 购买分配类问题1. 解：(1)60×15%＝9(克)．答：1个鸡蛋中含蛋白质的质量为9克；(2)设每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为x 克和y 克，根据题意，得300605%12.5%3008%9+=-⎧⎨+=⨯-⎩x y x y ，解得200,40=⎧⎨=⎩x y 答：牛奶和饼干的质量分别为200克和40克．2. 解：(1)设A 种商品的进价为x 元，B 种商品的进价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋15y ＝380 15x ＋10y ＝280，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16 y ＝4， 答：A 种商品的进价为16元，B 种商品的进价为4元；(2)设购进A 种商品a 件，则购进B 种商品(100－a )件，根据题意，得 16a ＋4(100－a )≤900， 解得a ≤4123.∵a 取正整数，∴a 的最大正整数解为41， 答：最多能购进A 种商品41件．3. 解：(1)设七年级(1)班有x 人、七年级(2)班有y 人，当两班人数总和少于100人时，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝111810（x ＋y ）＝816， 解得错误!(不符合题意，舍去)；当两班人数总和多于100人时，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋10y ＝1118 8(x ＋y )＝816，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝49 y ＝53. 答：七年级(1)班有49人，七年级(2)班有53人．(2)七年级(1)班节约：(12－8)×49＝196元； 七年级(2)班节约：(10－8)×53＝106元．答：七年级(1)班节约196元，七年级(2)班节约106元．4. 解：(1)设购买足球和篮球的单价分别为x 元和y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝159 x ＝2y －9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103 y ＝56. 答：足球的单价是103元，篮球的单价是56元；(2)设学校购买足球z 个，则购买篮球(20－z )个，根据题意，得103z ＋56(20－z )≤1550， 解得z ≤.答：学校最多可以购买9个足球．5. 解：(1)设每台A 型污水处理设备每周可以处理污水x 吨，每台B 型污水处理设备每周可以处理污水y 吨，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝640 2x ＋3y ＝1080， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝240 y ＝200，答：每台A 型污水处理设备每周可以处理污水240吨，每台B 型污水处理设备每周可以处理污水200吨；(2)设购买A 型污水处理设备a 台，则购买B 型污水处理设备(20－a )台，根据题意，得 12a ＋10(20－a )≤230， 解得a ≤15.又∵240a ＋200(20－a )≥4500，解得a ≥， ∴≤a ≤15，由于a 是正整数，因此a 只有3个正整数解，分别是13，14，15. 所以共有如下三种购买方案： 方案一：购A 型13台，B 型7台； 方案二：购A 型14台，B 型6台； 方案三：购A 型15台，B 型5台．方案一的费用：12×13＋10×7＝226(万元)；方案二的费用：12×14＋10×6＝228(万元)； 方案三的费用：12×15＋10×5＝230(万元)．所以购买A 型污水处理设备13台，B 型污水处理设备7台时，所需费用最低，最低费用是226万元．6. 解：(1)设第一批套尺购进时单价是x 元，则第二批套尺购进时单价是54x 元．根据题意得150054x －1000x ＝100， 即1200x －1000x＝100，解得x ＝2.经检验，x ＝2是所列方程的解，且符合题意． 答：第一批套尺购进时的单价是2元；(2)(10002＋150054×2)×4－(1000＋1500)＝1900(元)．答：商店可以盈利1900元．7. 解：(1)设购进A 商品每件进价x 元，则B 商品每件进价(x ＋1)元，根据题意，得 50x＝60x ＋1， 解得x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解，且符合题意． ∴x ＋1＝5＋1＝6.答：A 商品每件进价是5元，B 商品每件进价是6元； (2)设购进A 商品a 件，根据题意，得(a －20)×10＋(140－a ＋20)××10－5a －6(140－a )≥360， 解得a ≥40.答：至少购进A 商品40件．8. 解：(1)设装运乙、丙水果的汽车分别为x 辆、y 辆，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝8 2x ＋3y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2 y ＝6. 答：装运乙水果的汽车有2辆，装运丙水果的汽车有6辆； (2)设装运乙、丙两种水果的汽车分别为a 辆、b 辆，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋a ＋b ＝20 4m ＋2a ＋3b ＝72，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝m －12 b ＝32－2m .答：装运乙、丙两种水果的汽车分别为(m －12)辆、(32－2m )辆； (3)设获得的总利润为W 千元，则W ＝4×5m ＋2×7(m －12)＋3×4(32－2m )＝10m ＋216.∵⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥1 m －12≥1， 32－2m ≥1 ∴13≤m ≤， ∵m 为正整数， ∴m ＝13，14，15.在W ＝10m ＋216中，W 随m 的增大而增大， ∴当m ＝15时，W 最大＝366千元． ∴m －12＝3，32－2m ＝2.答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆时利润最大，最大利润为366千元．9. 解：(1)设甲商品每件x 元，乙商品每件y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ＋15y ＝350 15x ＋10y ＝375， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝17 y ＝12，答：甲商品每件17元，乙商品每件12元； (2)设采购甲商品a 件，则采购乙商品(30－a )件． ①根据题意，得17a ＋12(30－a )≤460， 解得a ≤20，答：甲商品最多采购20件； ②根据题意，得30－a ≤45a ，解得a ≥503，又∵503≤a ≤20，∴a ＝17，18，19，20.即甲，乙商品的采购方案有：甲17件，乙13件；甲18件，乙12件；甲19件，乙11件；甲20件，乙10件，设采购资金为w ，则w ＝17a ＋12(30－a )＝5a ＋360， ∵w 随a 增大而增大，∴当a ＝17时，采购资金最少， 最少资金为5×17＋360＝445(元)． 答：该单位购买这批商品最少要用445元．10. 解：(1)设A 种，B 种树木每棵分别为a 元，b 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋5b ＝600 3a ＋b ＝380，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝100b ＝80.答：A 种，B 种树木每棵分别为100元，80元；(2)设购买A 种树木为x 棵，则购买B 种树木为(100－x )棵， 则x ≥3(100－x ) ， ∴x ≥75.设实际付款总金额为y 元，则y ＝[100x ＋80(100－x )]，即y ＝18x ＋7200， ∵18>0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝75时，y 最小．即当x ＝75，y 最小＝18×75＋7200＝8550(元)．∴当购买A 种树木75棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8550元．类型二 工程、行程问题1. 解：设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工件产品，根据题意，得 1200x－错误!＝10，解得x ＝40，经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意． ∴＝60.答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品． 2. 解：(1)设乙工程队单独完成需x 天，由题意，得 12(1x ＋120)＝1， 解得x ＝30，经检验，x ＝30是原方程的解，且符合题意． 答：乙工程队单独完成需30天；(2)设甲工程队需要施工a 天，乙工程队需要施工b 天，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 20＋b 30＝1 2a ＋b ≤35， 解得b ≥15，答：乙工程队至少要施工15天．3. 解：(1)设乙工程队每天能完成的绿化面积是x m 2，则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x m 2.根据题意，得400x －4002x ＝4， 解得x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意， 则甲工程队每天能完成的绿化面积是50×2＝100 m 2.答：甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是100 m 2、50 m 2； (2)(1800－100×10)÷50＝16(天)． 答：乙工程队施工16天．4. 解：(1)由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为30÷13＝90(天)．设乙队单独施工，需要x 天才能完成该项工程，则 30＋1590＋15x ＝1， 解得x ＝30，经检验，x ＝30是原方程的解，且符合题意． 答：乙队单独施工需要30天才能完成该项工程； (2)设乙队施工y 天才能完成该项工程，则1－y 30≤3690， 解得y ≥18.答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．5. 解：(1)设小强步行的平均速度为x 米/分钟，则小强爸爸骑电瓶车的平均速度为5x 米/分钟，由题意，得2000x －20005x ＝20， 解得x ＝80，经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意， 则5x ＝5×80＝400.答：小强步行的平均速度为80 米/分钟，小强爸爸骑电瓶车的平均速度为400 米/分钟； (2)会迟到．理由如下：由(1)得，小强走回家需要的时间为20002×80＝(分钟)，小强爸爸骑车到学校的时间为2000400＝5(分钟)，∵小强回家取完课本再到学校所用的时间为＋5＋4＝>21， ∴小强上学会迟到．6. 解：(1)设小刚步行的速度为x km/h ，则小型观光车的速度为4x km/h.由题意，得 15x ＝＋154x ＋4560， 解得x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的根，且符合题意． 则4x ＝4×5＝20，答：小型观光车的速度为20 km/h ，小明步行的速度为5 km/h ； (2)∵这3位同学迟到了 h ，∴小明离景点的距离为15－5×＝ km,答：当迟到的这3位同学到达公园入口时，小明离景点还有 km. 7. 解：(1)设乙车间单独生产这批产品需要x 天，则 10x ＋20(140＋1x)＝1，解得x ＝60， 经检验，x ＝60是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙车间单独生产这批产品需要60天；(2)从节约生产费用的角度考虑，工厂应选择方案一，理由如下： 方案一：6500×40＝260000(元)， 方案二：4500×60＝270000(元)．方案三：设甲乙同时合作生产这批产品需要x 天，则 (140＋160) x ＝1，解得x ＝24， (6500＋4500)×24＝264000(元)．综上，方案一费用最低，故从节约生产费用的角度考虑，工厂应选择方案一． 8. 解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23 x 天．根据题意，得202x 3＋60×(12x 3＋1x )＝1， 解得x ＝180，经检验，x ＝180是原方程的根，且符合题意． ∴23 x ＝23×180＝120， 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要120天、180天； (2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，根据题意，得y (1120＋1180)＝1， 解得y ＝72，则需要施工费用72×＋＝1008(万元)． ∵1008>1000，∴拟安排预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．类型三增长率问题1. 解：(1)设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，得6000(1＋x)2＝8640，解得x1＝－(舍去)，x2＝＝20%.答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%；(2)2017年该县将投入教育经费为8640×(1＋＝10368(万元)．答：2017年该县将投入教育经费10368万元．2. 解：(1)设平均每次下调的百分率为x，依题意，得4000(1－x)2＝3240，解得x＝＝10%或x＝(不合题意，舍去)．答：平均每次下调的百分率为10%；(2)方案①：实际花费＝100×3240×98%＝317520(元)，方案②：实际花费＝100×3240－100×80＝316000(元)．∵317520>316000，∴方案②更优惠．类型四函数图象问题1. 解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4 h；(2)设AB 段对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． ∵A (1，80)，B (3，320)在AB 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝80 3k ＋b ＝320，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝120 b ＝－40， ∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)； (3)当x ＝时，y ＝120×－40＝260， 380－260＝120(km)．答：小刚一家出发小时时离目的地还有120 km. 2. 解：(1)设y 1与x 的函数关系式为y 1＝kx ＋b (k ≠0)， ∵函数y 1＝kx ＋b 的图象经过点(0，1200)和(60，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1200 60k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－20 b ＝1200， ∴y 1与x 的函数关系式为y 1＝－20x ＋1200， 当x ＝20时，y 1＝－400＋1200＝800， 即当x ＝20时的水库总蓄水量为800万m 3； (2)设y 2与x 的函数关系式为y 2＝mx ＋n (m ≠0)． ∵函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点(20，0)和(60，1000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 20m ＋n ＝0 60m ＋n ＝1000，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝25 n ＝－500， ∴y 2与x 的函数关系式为y 2＝25x －500， ∴总蓄水量y 与x 的函数关系式为 ①当0≤x ≤20时，y ＝y 1＝－20x ＋1200;②当20<x ≤60时，y ＝y 1＋y 2＝－20x ＋1200＋25x －500＝5x ＋700.综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －20x ＋1200（0≤x ≤20） 5x ＋700（20<x ≤60）.发生严重干旱时x 的取值范围是15≤x ≤40. 【解法提示】当0≤x ≤20时， 令y ≤900，则－20x ＋1200≤900， 解得x ≥15， ∴15≤x ≤20；当20＜x ≤60时，令y ≤900，则5x ＋700≤900， 解得x ≤40， ∴20＜x ≤40，∴发生严重干旱时x 的取值范围是15≤x ≤40. 3. 解：(1)设y 1＝k 1x (k 1≠0)， ∵函数图象经过点(10，600)， ∴10k 1＝600， 解得k 1＝60，∴y 1＝60x (0≤x ≤10)， 设y 2＝kx ＋b (k ≠0)，∵函数图象经过点(0，600)，(6，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝600 6k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－100 b ＝600， ∴y 2＝－100x ＋600(0≤x ≤6)；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝60x y ＝－100x ＋600，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝154 y ＝225， 故相遇时两车离甲地的距离是225千米．4. 解：如解图，设直线OA 的解析式为y ＝mx (m >0)，双曲线AB 的解析式为y ＝k x(k >0)， 把点C (4，a )代入y ＝mx 中，得a ＝4m ， ∴m ＝a4， ∴直线OA 的解析式为y ＝a4 x .∴y D ＝y C ＝a ，将y D ＝a 代入y ＝k x ，得x D ＝k a， 第4题解图 ∵用药后9小时药物仍然具有疗效， ∴x D ＝k a≥9， ∴k ≥9a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝a 4x y ＝kx，解得x 2＝4k a ，∴x 2A＝4k a ≥36，∴x A ≥6，∴药物浓度至少需要6小时才能达到最大．5. 解：(1)由图象可知前8天甲、乙两队修的公路一样长， 乙队前8天所修公路的长度为84012×8＝560米．答：甲队前8天所修公路的长度为560米；(2)设甲队改变修路速度后y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ， 将点(4，360)，(8，560)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 360＝4k ＋b 560＝8k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝50 b ＝160， 故甲队改变修路速度后y 与x 之间的函数关系式为y ＝50x ＋160(4≤x ≤16)； (3)当x ＝16时，y ＝50×16＋160＝960， 由图象可知乙队共修了840米， 960＋840＝1800(米)．答：这条公路的总长度为1800米．类型五 利润最值问题1. 解：(1)设A 种水果购进x 箱，B 种水果购进y 箱，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝200 60x ＋40y ＝10000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝100 y ＝100.。
2022年高考数学基础题型+重难题型突破类型三范围、最值问题(解析版)
类型三范围、最值问题一、巧设直线方程，简化目标形式求最值【典例1】已知椭圆：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），的短轴长为32，离心率为21.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设0为坐标原点，过右焦点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在轴上），若元=+B ，求四边形AOBE 的面积S 的最大值。
解析：（1）由26=2/3，可知b=/3。
又点评：经过一点（xoy ）的直线方程一般设为y-y 。
=k （x-xo ）（要考虑斜率是否存在的问题），也可设为x=l （y-yo ）+xo （除去与轴平行的直线），选择哪种类型要先分析问题，把条件和目标联系起来，如消元后需要留下纵坐标y ，则设第二种类型较好。
引入合适的参数是简化计算的重要诀窍。
解题时，要从分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构的特征出发，注意从整体结构入手确定参数（参变量）。
本题利用平行四边形的性质将四边形的面积转化为三角形的面积求解。
同学们还要学会巧设直线方程，使用韦达定理，利用基本不等式、函数的单调性求解函数最值。
二、抓住曲线定义，列出弦长式子求最值【典例2】如图2，已知抛物线的标准方程为y=2pxc （p 》0），其中0为坐标原点，抛物线的焦点坐标为F （1，0），A 为抛物线上任意一点（原点除外），直线AB 过焦点F 交抛物线于B 点，直线AC 过点M （3，0）交抛物线于C 点，连接CF 并延长交抛物线于D 点。
（1）若弦|AB|的长度为8，求△OAB 的面积;（2）求|AB|、|CD|的最小值。
解析：（1）因为焦点坐标为（1，0），所以2p=4，所以抛物线的标准方程为y=4x 。
设直线AB 的方程为x=ty+1（t 为斜率的倒数），A （x ，y ），B （xz ，y2）。
（2）因为点A 在抛物线上，所以可设A （a ，2a ），由第（1）问可知A ，B 两点的纵坐點评：解析几何的本质特征就是用代数方法研究几何问题。
(word完整版)初中利润问题解题技巧
利润问题是公务员考试行测科目数学运算部分的常考题型之一。
利润问题也是人们在经济生活中遇到的问题，它主要考查进价、售价、利润之间的关系。
中公教育专家提醒各位考生，在复习的过程中，应重点掌握利润问题涉及的几种题型及解题方法。
利润问题概念及相关公式一、简单的利润问题利润问题本身是从商业活动中抽象出来的，几乎所有的题目都与进价、售价、利润相关，尤其是那些最简单的利润问题。
例题：一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为：A.12%B.13%C.14%D.15%中公中公解析：此题答案为C。
为避免出现分数，这里遇到百分数，则设特值时可设为100，因此设上月的进价为100，则这个月的进价为100×(1-5%)=95。
设上个月的利润率为x，则这个月的利润率为x+6%。
根据售价相同可知：100(1+x)=95(1+x+6%)，解得x=14%。
二、打折问题商家定完价格以后，往往不是按照最初的定价进行出售，一般都会通过打折这一方式，降低实际的售价，从而吸引更多的顾客来购买商品。
例题：某商店花10000元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价，结果只销售了商品总量的30%。
为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元。
问商店是按定价打几折销售的?A.四八折B.六折C.七五折D.九折中公解析：此题答案为B。
方法一，商品的总定价为(1+25%)×10000=12500元，销售30%后，得到12500×30%=3750元。
由于整体亏本1000元，说明剩下70%的销售额为10000-1000-3750=5250元，然而剩下70%商品的原定价为12500-3750=8750元，5250÷8750=0.6，即打了六折，选B。
三、价格与销量反向变化问题价格上涨，销量就会降低;价格下跌，销量就会增加。
2021中考利润问题典型题目与解答
2021中考利润问题典型题目与解答2021中考利润问题典型题目与解答2021中考利润问题典型题目与解答1、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x。
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：解：（1）由题意得：y=（x-20）（140-2x）=-2x2+180x-2800．（2）y=-2x2+180x-2800=-2（x2-90x）-2800=-2（x-45）2+1250．当x=45时，y最大=1250．∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元．2、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55； x=75时，y=45．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．解：（1）60≤x≤60（1+40%），∴60≤x≤84，题得：解之得：k=-1，b=120，∴一次函数的解析式为y=-x+120（60≤x≤84）．（2）销售额：xy=x（-x+120）元；成本：60y=60（-x+120）．∴W=xy-60y=x（-x+120）-60（-x+120），=（x-60）（-x+120），=-x2+180x-7200，=-（x-90）2+900，∴W=-（x-90）2+900，（60≤x≤84），当x=84时，W取得最大值，最大值是：-（84-90）2+900=864（元）．即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元．即：该商场获利不低于500元，销售单价x的范围为 703、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设降价价格为x元：（1）设平均每天销售量为y件，请写出y与x的函数关系式.（2）设平均每天获利为Q元，请写出Q与x的函数关系式.（3）若想商场的盈利最多，则每件衬衫应降价多少元?（4）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利在1200元以上?解（1）设每件降低x元，获得的总利润为y元则y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800；（2）∵当y=1200元时，即-2x2+60x+800=1200，∴x1=10，x2=20，∵需尽快减少库存，∴每件应降低20元时，商场每天盈利1200元．4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）由题意得：y=90-3（x-50）化简得：y=-3x+240；（3分）（2）由题意得：w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；（3分）（3）w=-3x2+360x-9600∵a＜0∴抛物线开口向下．当时，w有最大值．又x＜60，w随x的增大而增大．∴当x=55元时，w的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．5、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？解(1)：假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元；则平均每天就能多售出(4×x/50)台，实际平均每天售出[8+(4×x/50)]台，每台冰箱的利润为(2400-2000-x)元；根据题意，有：y=[8+(4×x/50)](2400-2000-x)=(8+0.08x)(400-x)=3200-8x+32x-0.08x²=-0.08x²+24x+3200y=-0.08x²+24x+3200(2)：商场要想这种冰箱销售价中每天盈利4800元，y=4800，则有方程：-0.08x²+24x+3200=4800 0.08x²-24x+1600=0 x²-300x+20000=0(x-100)(x-200)=0 x-100=0或x-200=0 x1=100 x2=200又要使百姓得到实惠，那么降价应该多一些所以符合题意的解是x=200，每台冰箱应该降价200元。
2021年中考数学专项训练---利润问题(含解析)
2021年中考数学专项训练---利润问题(含解析)2021年中考数学专项训练-利润问题（含解析）一、解答题（共5题；共25分）1.（2021九上·沙依巴克期末）某百货商店销售某品牌童装，平均每天可售出20件，每件盈利40元。
经市场调查发现，在进货不变的情况下，每件童装每降价1元，日销售量将增加2件。
求当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最大，最大利润是多少？2.（2021九上·原州期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查发现：每件涨价1元，每星期要少卖出10件。
已知商品的进价为每件40元，如何涨价才能使利润最大，最大利润是多少？3.（2020九上·槐荫期末）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元。
调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元。
设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元。
写出求y 与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大，最大的月利润是多少？4.（2021九上·铁西期末）某超市购进一种商品，进货单价为每件10元。
在销售过程中超市按相关规定，销售单价不低于1元且不高于19元。
如果该商品的销售单价x（单位：元/件）与日销售量y（单位：件）满足一次函数关系，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？5.（2021九上·本溪期末）某商品在商场的售价为每件60元，每星期可卖出300件。
甲、乙两位网红主播在直播间为商场售货。
甲主播每件商品每涨价1元，每星期少卖出10件；改为乙时，每降价1元，每星期可多卖出18件。
已知商品的进价为每件40元，通过计算你认为甲、乙每星期谁能使利润最大？二、综合题（共16题；共210分）6.（2021九上·台州期末）网络销售已经成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价30元的商品，为减少库存，未来30天，这种商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降1元。
2025年中考数学二轮复习专题：利润问题应用题训练
2025年中考数学二轮复习专题：利润问题应用题训练例1.某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2000元．（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有4%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于3780元，则该水果每千克售价至少为多少元？例2. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【变式练习1】某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a 件（a ≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w 元，求w 与a 之间的函数关系式，并求出w 的最小值．例3.小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x （元），日销量为y （件），日销售利润为w （元）． （1）求y 与x 的函数关系式．（2）求日销售利润w （元）与销售单价x （元）的函数关系式，当x 为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．商品甲乙进价（元/件） 120 60 售价（元/件）200100【变式练习2】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【拓展提升】善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？（限时训练第4题（1）、（2），第（3）问课堂上做）销售利润问题限时训练班级：______ 学号：____ 姓名：__________1、某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2000元．（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有4%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于3780元，则该水果每千克售价至少为多少元？2、某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．3、小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．（1）求y与x的函数关系式．（2）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．4、善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；【变式练习1】某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a 件（a ≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w 元，求w 与a 之间的函数关系式，并求出w 的最小值．（限时训练第2题）【变式练习2】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？商品 甲 乙 进价（元/件） 120 60 售价（元/件）200100。
2021年中考二轮复习数学利润最值问题 拉分题训练课件
解：(1)y与x之间的函数表达式是y＝－20x＋2600； (2)(x－50)(－20x＋2600)＝24000，解得，x1＝70，x2＝110， ∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元； (3)由题意可得，w＝(x－50)(－20x＋2600)＝－20(x－90)2＋32000， ∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价， ∴x≥50，(x－50)÷50≤30%，解得，50≤x≤65， ∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500. 答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
2．(锦州模拟)某公司购进一批受环境影响较大的商品，需要在特定的环境 中才能保存．已知该商品成本y (元/件)与保存的时间第x (天)之间的关系满足y ＝x2－4x＋100，该商品售价p (元/件)与保存时间第x (天)之间满足一次函数关 系，其对应数据如下表：
(1)求商品的售价p (元/件)与保存时间第x (天)之间的函数关系式； (2)求保存第几天时，该商品不赚也不亏； x(天) … 5 7 … (3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出， p (元/件) … 248 264 … 每件商品能获得最大利润，此时每件商品的售价是多少？
利润最值问题
【例1】(2020·丹东24题8分)某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货 价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与 每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围) (2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实 惠，该如何给这种衬衫定价？ (3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬 衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是 多少？
2020年中考数学二轮复习题型突破3利润最值问题
类型三 利润最值问题例1、不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_____(填“有解”或“无解”) 【答案】：有解【解析】：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m 例2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是______． 【答案】：4.5米【解析】：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）例3、在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面___m ． 【答案】：7米【解析】：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．例4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_______米．【答案】：36例5、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价__元，最大利润为__________元． 【答案】：5元,625元【解析】：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．例6、如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．【答案】：24.5米【解析】：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)例7、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 【答案】：65元【解析】：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．例8、某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 【答案】：5元【解析】：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．例9、某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 【答案】：55人【解析】：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额． 例10、 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【答案】：（1）40+-=x y ．（2）25元，225元 【解析】：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元 y x w )10(-=)40)(10(+--=x x 400502-+-=x x 225)25(2+--=x 当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．例11、超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元)(30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．【答案】：（1）100020+-=x y )5030(≤≤x ．（2）4500（3）31≤x ≤34或36≤x≤39．【解析】：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ．⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值． 当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x ，16)35(12≤-≤x∴31≤x ≤34或36≤x≤39．例12、某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克） … 25 242322…销售量y （千克）… 2000 2500 3000 3500 …（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？ 【答案】：（1）y=-500x+14500．（2）21元，32000元 【解析】：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，•∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上， ∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x -13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．例13、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？【答案】：（1）p=30+x,（2）Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.（3）25天【解析】：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.(3)设总利润为W元则：W=Q－1000×30－400x=－10x2+500x=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．例14、政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?【答案】：（1）160012022-+-=x x y （2）30,200（3）25元 【解析】：)802)(20()20(+--=-=x x w x y )40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．例15、研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？【答案】：（1）．（2）15【解析】：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。
中考数学二轮复习重难题型突破类型三新解题方法型
中考数学二轮复习重难题型突破类型三新解题方法型中考数学二轮复习重难题型突破类型三新解题方法型类型三新解题方法型例1、求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数解：91－56＝3556－35＝2121－1 4＝714 －7＝7所以，91与56的最大公约数是7.请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数．[解答]解：(1)108－45＝6345－18＝2727－18＝918－9＝9所以，108与45的最大公约数是9；(2)①先求104与78的最大公约数，104－78＝2678－26＝52所以，104与78的最大公约数是26；②再求26与143的最大公约数，143－26＝117117－26＝9191－26＝6565－26＝3939－26＝13所以，26与143的最大公约数是13.综上所述，78、104、143 的最大公约数是13.例2、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．探究：求不等式|x－1|(1)探究|x－1|的几何意义[解答]如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x－1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x－1|，可记为A′O＝|x－1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.第2题图(2)求方程|x－1|＝2的解[解答]因为数轴上3和－1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，－1.(3)求不等式|x－1|因为|x－1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．请在图②的数轴上表示|x－1|[解答] 解：在数轴上表示如解图所示．第2题解图所以，不等式的|x－1|例3、古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以a2 和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝a2，则AD的长就是所求方程的解．(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长．(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．第3题图[解答]解：(1)∵∠C＝90°，BC＝a2，AC＝b，∴AB＝b2＋a24，∴AD＝b2＋a24－a2＝4b2＋a2－a2；(2)用求根公式求得：x1＝－4b2＋a2－a2；x2＝4b2＋a2－a2故A D的长就是方程的正根，遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．例4、请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．引例：设a，b，c为非负实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2 ＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)，分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究．解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，则AB＝a2＋b2，BC＝b2＋c2，CD＝a2＋c2，显然AB＋BC＋CD≥AD，∴a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．探究一：已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求x2＋4＋y2＋9的最小值(图②仅供参考)；探究二：若a，b为正数，求以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积．第4题图[解答]解：探究一：如解图①，构造矩形AECF，并设矩形的两边长分别为12，5，第4题解图①则x＋y＝12，AB＝x2＋4，BC＝y2＋9，显然AB＋BC≥AC，当A，B，C三点共线时，AB＋BC最小，即x2＋4＋y2＋9的最小值为AC，∵AC＝122＋52＝13，∴x2＋4＋y2＋9 的最小值为13；第4题解图②探究二：如解图②，设矩形ABCD的两边长分别为2a，2b，E，F分别为AB，AD的中点，则CF＝4a2＋b2，CE＝a2＋4b2，EF＝a2＋b2，设以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积为S△CEF，∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△C DF－S△AEF－S△BCE＝4ab－12×2a×b－12ab－12a×2b＝32ab，∴以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积为32ab.。
中考数学第二轮中档题突破专项突破2二次函数的利润最值作业课件
常常可见到这样的同学，他ห้องสมุดไป่ตู้在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
2019/5/27
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2019/5/27
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一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
二次函数的应用--利润最值问题
二次函数的应用——利润最值问题教学目标：知识目标：1.将实际问题抽象成数学问题，经历函数建模的过程；2.会用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值.能力目标：1.通过对商品涨价与降价的分析，感受函数知识在生活中的应用2.在探究活动中，学会与他人合作并能与他人交流思维过程和探究结果情感态度和价值观：通过对生活中实际问题的探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.重点：用二次函数知识解决商品利润问题。
难点：能够正确分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并求出最大(小）值。
教学过程：二次函数由于地位的重要性,一直成为中考的必考内容之一,其中运用二次函数解决贴近实际生活的应用题在近几年各地的中考试卷中频频出现.分析这些试题可以发现,命题者除了通过文字叙述、图象、表格等方式呈现复杂信息,给学生建立函数关系式设置障碍外,更是在建立关系式以后,巧妙地设置了一些关卡,以区分不同学生灵活运用相关知识处理问题的能力，下面是我总结有关利润方面的相关问题。
例1、某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖出300件，为了促销，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件，已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件降价x元，每星期的销售量为y件。
（1）求y与x之间的函数关系式。
（2）当每件降价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？分析：（1）根据降销售量之间的关系，建立如下表格由表可知xy30300+=（2）再根据利润=（每件售价-每件进价）×销售量，得到()()xx30w-=，展开整理得到()6750-60w+30040=x--302+5因为该件童装的成本为40元，所以降价最多只能降价20元，即x的取值范围是0≤x≤20,而由二次函数的性质可知，当x=5时，w取得最大值，并且最大为6750元。
变式一：若将此题“每降价1元，每星期可多卖30件”改为“每降价2元，每星期可多卖30件”，销售量依旧为y，那么此时y元x之间的函数关系式又将会是什么呢？若再改为“每降价3元”呢？“降价n元”呢？变式二：若将此题“设该款童装每件降价为x 元”改为“设该款童装每件售价为x 元”，销售量依旧为y ，那么此时y 元x 之间的函数关系式又将会是什么呢？将问题抛出，引导学生思考，然后提示学生按照原题列表如下由表可知销售量与售价之间的关系：()x y -⨯+=6030300,整理得210030+-=x y ，因为每件进价为40元，所以x 得取值的范围是40≤x ≤60再根据利润=（每件售价-每件进价）×销售量，得到利润()()21003040+--=x x w ，整理得()675055302+--=x w ，根据二次函数的性质可知,当x =55时，w 取得最大值，最大值为6750。
专题五 商品最大利润问题-2021年中考数学二轮复习之重难热点提分专题(原卷版)
专题五商品最大利润问题1．（2020滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？2．（2020甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．3．（2020成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800（1）求y与x的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．4．（2020遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？5．（2020黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）1119日销售量y（件）182请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？6．湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？7．（2019鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？8．（2019荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足m ＝⎩⎨⎧≤<+-≤≤+)3015(75)151(153x x x x （x 为正整数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．（1）求销售量n 与第x 天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y 的最大值及相应的x ．9．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件)是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元)的三组对应值如表：注：周销售利润=周销售量⨯（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；①该商品进价是元/件；当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(0)m>，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．10．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？①在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？。
中考数学二轮复习重难题型突破利润最值问题(解析版)
类型三利润最值问题【典例1】将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价__元，最大利润为__________元．【答案】：5元,625元【解析】：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．【典例2】黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x （单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x ≤19时，甲商品的日销售量y （单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x 、y 之间的部分数值对应关系如表：请写出当11≤x ≤19时，y 与x 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w 元，当甲商品的销售单价x （元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；（2）y ＝﹣2x +40（11≤x ≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x +b 1，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得：32602365a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1015a b =⎧⎨=⎩．∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．（2）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x +b 1，将（11，18），（19，2）代入得：111111k b 1819k b 2+=⎧⎨+=⎩，解得：11240k b =-⎧⎨=⎩． ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x +40（11≤x ≤19）． （3）由题意得：w ＝（﹣2x +40）（x ﹣10）＝﹣2x 2+60x ﹣400＝﹣2（x ﹣15）2+50（11≤x ≤19）． ∴当x ＝15时，w 取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．【典例3】为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）w＝﹣5a+800，第三月的最大利润为550元．【解析】【分析】（1）设甲种型号的水杯的售价为每个x元，乙种型号的水杯每个y元，根据题意列出方程组求解即可，（2）根据题意写出利润W关于a的一次函数关系式，列不等式组求解a的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值．【详解】解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个x 元，乙种型号的水杯每个y 元，则228110038242460x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①3⨯-②得：28840,x =30,x ∴=把30x =代入①得：55,y =30,55x y =⎧∴⎨=⎩ 答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； （2）由题意得：甲种水杯进了a 个，则乙种水杯进了()80a -个， 所以：()()()30255545805800,W a a a =-+--=-+又()254580260055a a a ⎧+-≤⎨≤⎩①②由①得：50a ≥，所以不等式组的解集为：5055,a ≤≤其中a 为正整数，所以50,51,52,53,54,55.a =50,k =-＜W ∴随a 的增大而减小，当50a =时，第三月利润达到最大，最大利润为：550800550W =-⨯+=元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键．【典例4】“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A 型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知，A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A 型车20辆，B 型车40辆． 【解析】 【分析】（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【详解】解：（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得8000080000(110%)200x x -=-， 解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根． 答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由题意，得 y=a+（60﹣a ）， y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍， ∴60﹣a ≤2a ， ∴a ≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0， ∴y 随a 的增大而减小． ∴a=20时，y 最大=30000元． ∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大． 【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【典例5】端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？【答案】（1）肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元；（2）第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元．【解析】 【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x 、y 元，根据题意列方程组解答； （2）设第二批购进肉粽t 个，第二批粽子得利润为W ，列出函数关系式再根据函数的性质解答即可.【详解】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x 、y 元，则根据题意可得：50306206x y x y +=⎧⎨-=⎩.解此方程组得：104x y =⎧⎨=⎩.答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元； （2）设第二批购进肉粽t 个，第二批粽子得利润为W ，则 (1410)(64)(300)2600W t t t =-+--=+， ∵k =2>0，∴W 随t 的增大而增大，由题意2(300)t t ≤-，解得200t ≤，∴当t =200时，第二批粽子由最大利润，最大利润22006001000W =⨯+=, 答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数解决实际问题，一次函数的性质，正确理解题意列出方程组或函数、不等式解决问题是关键.【典例6】某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元． 【解析】 【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产x 吨，则销售乙特产()100x -吨，根据题意列方程解答；（2）设一个月销售甲特产m 吨，则销售乙特产()100m -吨，且020≤≤m ，根据题意列函数关系式(10.510)(1.21)(100)0.320=-+--=+w m m m ，再根据函数的性质解答.【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产x 吨，则销售乙特产()100x -吨， 依题意，得()10100235+-=x x ， 解得15x =，则10085-=x ， 经检验15x =符合题意，所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；（2）设一个月销售甲特产m 吨，则销售乙特产()100m -吨，且020≤≤m ， 公司获得的总利润(10.510)(1.21)(100)0.320=-+--=+w m m m ， 因为0.30>，所以w 随着m 的增大而增大， 又因为020≤≤m ，所以当20m =时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.【典例7】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【答案】：65元【解析】：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．【典例8】某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？【答案】：5元【解析】：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．【典例9】某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？【答案】：55人【解析】：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额． 【典例10】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【答案】：（1）40+-=x y ．（2）25元，225元 【解析】：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ． ⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x……400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【典例11】超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元)(30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式．⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．【答案】：（1）100020+-=x y )5030(≤≤x ．（2）4500（3）31≤x•≤34或36≤x ≤39．【解析】：⑴设y=kx+b 由图象可知， 3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ．⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元） （或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x16)35(12≤-≤x∴31≤x•≤34或36≤x ≤39．【典例12】某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克）... 25 24 23 22 ...销售量y （千克） (2000)2500 3000 3500 … （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？【答案】：（1）y=-500x+14500．（2）21元，32000元【解析】：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，•∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k b k k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．【典例13】有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？【答案】：（1）p=30+x,（2）Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000.（3）25天【解析】：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000.(3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．【典例14】政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?【答案】：（1）160012022-+-=x x y （2）30,200（3）25元【解析】：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．(3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．【典例15】研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？【答案】：（1）．（2）15【解析】：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．【典例16】某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．【答案】（1）m的值为10，n的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）a的最大值为1.8．【解析】【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）依题意，得：105170610200m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：1014m n =⎧⎨=⎩. 答：m 的值为10，n 的值为14.（2）设购买甲种蔬菜x 千克，则购买乙种蔬菜(100)x -千克，依题意，得：1014(100)11601014(100)1168x x x x +-≥⎧⎨+-≤⎩， 解得：5860x ≤≤.∵x 为正整数，∴58,59,60x =，∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.（3）设超市获得的利润为y 元，则(1610)(1814)(100)2400y x x x =-+--=+.∵20k =>，∴y 随x 的增大而增大，∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为260400520⨯+=.依题意，得：(16102)60(1814)40(10601440)20%a a --⨯+--⨯≥⨯+⨯⨯， 解得： 1.8a ≤.答：a 的最大值为1.8．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．。
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例 14、政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一 种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元/千克．市场调查发现，该产品每天的销 售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的 销售利润为ｙ(元) ． (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少元?
例 5、将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个．若这种 商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加了 1 个，为了获得最大利润， 则应降价__元，最大利润为__________元．
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例 6、如图，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一 部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8，9)，则这个二次 函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m) ．
例 9、某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价 800 元．旅行社对超过 30 人的 团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元．你能帮助分析一下，当旅 行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
例 10、某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x (元)与产品的日销售量 y (件)
400 千克．由销售经验知，每天销售量 y (千克)与销售单价 x (元)
( x ≥ 30 ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出 y 与 x 的函数关系式；
⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价 为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，现该超市经理要求每
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例 15、研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售
类型三 利润最值问题
例 1、不论自变量 x 取什么实数，二次函数 y=2x2－6x+m 的函数值总是正值，你认为 m 的 取值范围是 m > 9 ，此时关于一元二次方程 2x2－6x+m=0 的解的情况是_____(填“有 2 解”或“无解”)
例 2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y = − 1 x2 + 3.5 的一 5
例 4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴
天在某段公路上行驶上，速度为 V（km/h）的汽车的刹车距离 S（m）可由公式 S= 1 V2 100
确定；雨天行驶时，这一公式为 S= 1 V2．如果车行驶的速度是 60km/h，那么在雨天行驶 50
和晴天行驶相比，刹车距离相差_______米．
之间的关系如下表：
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数． ⑴求出日销售量 y (件)与销售价 x (元)的函数关系式；
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是 多少元？
x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 …
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例 11、超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以 30元/千克销售，那么每天可售出
观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为 13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/千克）之间
的函数关系式，并求出当 x 取何值时，P 的值最大？
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例 13、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延 长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变， 现有一经销商，按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天需支出各种费 用为 400 元，且平均每天还有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是 每千克 20 元． (1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式； (2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q
y B
A
O
x
例 7、某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元， 每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元， 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以 售出 400 件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销 售量相应减少 20 件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？
天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 x 的范围(直接写出
答案)．
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例 12、某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计， 得到如下数据： 销售价 x（元/千克） … 25 24 23 22 … 销售量 y（千克） … 2000 2500 3000 3500 … （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并
部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 L 是______．
例 3、在距离地面 2m 高的某处把一物体以初速度 V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻
力的情况下，其上升高度 s（m）与抛出时间 t（s）满足：S=V0t- 1 gt2（其中 g 是常数， 2
通常取 10m/s2），若 V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面___m．