第三类超Cartan域YⅢ(N,q,K)的Rieei曲率
卡尔曼滤波器分类及基本公式
式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，
例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该
值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信 温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
52 因为， 2 2 H 0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 H 5 4 刻的最优温度值为：23 0.78* (25 23) 24.56 度（*公式四）。
度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻
的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后，
Qk
为过程噪声的协方差，其为非负定阵； 为测量噪声的协方差，其为正定阵。
Rk
1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式 1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式
时变动力学的legendre级数解
时变动力学的Legendre 级数解!曹志远邹贵平唐寿高（同济大学工程力学与技术系，固体力学教育部重点实验室，上海，200092）摘要时变动力学问题可归纳为一含时变系数微分方程组.该文用状态空间方程，结合Legendre 级数展开及Legendre 积分算子矩阵，提出一种分析时变动力学系统的方法，给出解的一般表达式，从而为有效解决时变力学问题打下理论基础，有助于时变科学的深入研究.关键词时变动力学，Legendre 级数，状态空间方程，积分算子矩阵!引言几百年的力学学科发展历史形成一系列学科分支，但绝大部分学科分支研究对象的几何、物理、边界参数不随时间变化.凡力学研究对象随时间发生变化（其变化在研究时段内足以影响力学状态），则将涉及共同的时变力学基础［l ］.时变力学是一个崭新研究方向，是现代力学的一个重要分支，它的控制方程是变系数数理方程，用解析法求解将非常困难，只有极特殊情况下才能得到精确解，缺乏统一的数学理论［2，3］.因此无论在理论上还是实际应用上，探讨含时变系数的微分方程的求解方法，是一个亟待解决的重要课题，应当引起人们的足够重视.本文对表征时变动力系统及粘弹性时变系统的变系数常微分方程组，采用状态空间方程，结合Legendre 级数展开及其积分算子矩阵、级数乘积矩阵，给出解的统一格式，十分方便于计算机运算，较好解决了这一问题.这一解法适用于一般性时变动力学及粘弹性时变力学问题，对归结为同一形式方程组的其它时变力学与时变科学问题也有参考价值."时变动力学的状态方程具有集中参数的时变动力系统以及连续体时变动力学问题经数值方法离散后均可归结为统一形式控制方程［M （ ）］｛X （ ）｝+［C （ ）］｛X ·（ ）｝+［K （ ）］｛X （ ）｝=｛f （ ）｝（l ）其特征是质量阵!、阻尼陈"、刚度阵#元素均为时间函数.方程组具有初值条件｛X （0）｝=｛X 0｝，｛X ·（0）｝=｛X ·0｝（2）令｛X ·（ ）｝=｛V（ ）｝，则有［M （ ）］｛V ·（ ）｝+［C （ ）］｛V （ ）｝+［K （ ）］｛X （ ）｝=｛f （ ）｝（3a ）第2l 卷第2期2000年6月固体力学学报ACTA MECHANICA SOLIDA SINICAVOI.2l NO.2June 2000!国家自然科学基金及上海市重点学科研究基金项目.l997-08-26收到第l 稿，l999-ll-04收到修改稿.［I ］｛X ·（I ）｝-［I ］｛V （I ）｝=｛0｝（3b ）因此可建立时变动力学（n 阶）状态空间方程为I n!![]MX·V {}·+!-I n []KC{}X V =!{}f （4）进一步可简化为｛Y ·（I ）｝=［H （I ）］｛Y （I ）｝+｛F （I ）｝（5a ）｛Y （0）｝=｛Y 0｝=［X 0X ·0］T（5b ）其中变量｛Y （I ）｝=［XV ］T（6a ）而矩阵［H （I ）］=!I n-M-lK-M -l []C（6b ）｛F （I ）｝=［!M -l f ］T（6c ）"Legendre 级数及其积分算子矩阵Legendre 级数［4］L i （z ），z !（-l ，l ），i =0，l ，2，…定义为（i +l ）L i +l （z ）=（2i +l ）·z ·L i （z ）-iL i -l （z ），i =l ，2，3，…（7）其中L 0（z ）=l ，L l （z ）=z（8a ）按式（7）可推得L 2（z ）=l 2（3z 2-l ），L 3（z ）=l 2（5z 3-3z ），L 4（z ）=l8（35z 4-30z 2+3），…（8b ）也可归纳为一般表达式L i （z ）=l 2i i "d i d zi （z 2-l ）[]i ，i =l ，2，3，…（8c ）对于时变动力学问题，所研究的为某时间区段I !（0，T ），因此可进行变量置换z =2IT-l ，0#I #T（9）就可得到变型Legendre 级数S i （I ），定义为（i +l ）S i +l （I ）=（2i +l ）2I T -()l S i（I ）-iS i -l（I ），i =l ，2，3，…（l0a ）式中S 0（I ）=l ，S l （I ）=2IT-l （l0b ）其值区间为I S i （I ）I #l（lla ）·30l ·第2期曹志远等：时变动力学的Legendre 级数解端值有S i （0）=（-l ）i，S i （T ）=l（llb ）导数为d d I S i （I ）=l 2I l -I /()T iS i -l （I ）-i 2IT-()l S i （I []）（llc ）变型Legendre 级数在区间（0，T ）的正交性质为!TS i（I ）S（I ）d I =0，i "T2i +l，i ={（l2）因此定义于区间（0，T ）的任意函数可用变型Legendre 级数展开为f （I ）=#i =lf i S i （I ）（l3a ）其中系数f i =2i +lT!Tf （I ）S i（I ）d I（l3b ）若取有限m 项截断则f （I ）$#m-li =0f i Si （I ）=［f m ］｛S m （I ）｝=f m S m （l4a ）其中f m =［f 0f lf 2…f m -l ］（l4b ）S m =［S 0（I ）S l （I ）S 2（I ）…S m -l （I ）］T（l4c ）变型Legendre 级数有微分递推关系S i （I ）=T 2（2i +l ）d d I S i +l （I ）-dd I S i -l（I []）（l5）式（l5）用端值条件（llb ），积分之可得变型Legendre 级数的积分表达式!IS i （!）d !=T2［S 0（I ）+S l （I ）］，i =0T2（2i +l ）［S i +l（I ）-S i -l （I ）］，i =l ，2，3{，…（l6）写成矩阵形式为!IS m （!）d !=D m S m（I ）（l7a ）其中积分算子矩阵有D m=T 2l l 000…000-l /30l /300…0000-l /50l /50...000...........................0...0-l 2i +l 0l 2i +l 0 0………………………（l7b ）S i （I ）与S （I ）的乘积同样可展成·40l ·固体力学学报2000年第2l 卷S i （I ）S j （I ）!"m-lk =0!ijk S k （I ）（l8a ）其中!ijk =2k +lTg ijk （l8b ）g ijk =#T 0S i（I ）S j（I ）S k（I ）d I（l8c ）且有关系式g ijk =g ikj =g jik =g jki =g kij =g kji（l8d ）其表达式［5］见附录A.这样就可组成变型Legendre 级数乘积矩阵的展开式S m （I ）S T m（I ）="m-lk =02k +lTG k S k （I ）（l9a ）而G k =g 00kg 0l k g 02k …g 0，m -l ，k g l0kg ll k g l2k …g l ，m -l ，k g 20kg 2l k g 22k …g 2，m -l ，k ……………g m -l ，0kg m -l ，l kg m -l ，2k…g m -l ，m -l ，k （l9b ）!时变动力系统的解将时变动力学状态空间方程（5a ）积分，并注意到初值（5b ）得｛Y （I ）｝-｛Y （0）｝=#I［H （"）］｛Y （"）｝d "+#I｛F （"）｝d "（20）式中时间函数矩阵｛Y（I ）｝，｛F （I ）｝和［H （I ）］的变型Legendre 级数展开为｛Y （I ）｝!"m-lI =0［Y l i Y 2i …Y 2ni ］TS i （I ）=［S 0I 2nS l I 2n…S m -l I 2n ］［Y 0Y l…Y m -l ］T =［^Sm ］T ｛Y m ｝（2la ）类似｛F （I ）｝!［^S m ］T ｛F m ｝（2lb ）而［H （I ）］!"m-li =0［H i ］S i （I ）=［H 0H l…H m -l ］［S 0I 2n S l I 2n…S m -l I 2n ］T =［H m ］T ［^S m ］（2lc ）其中｛F m ｝，［H m ］为｛F （I ）｝，［H （I ）］的变型Legendre 级数展开系数矩阵，［^S m ］为变型Legen-dre 级数矩阵，均为已知，而｛Y m ｝待求.式（20）中［H （I ）］与｛Y （I ）｝的矩阵乘积可展开为［H （I ）］｛Y （I ）｝!［H m ］T ［^S m ］［^S m ］T ｛Y m ｝（22a ）其中［^S m ］与［^S m ］T 之乘积利用级数乘积矩阵表达式（l9a ）、（l9b ），可推得·50l ·第2期曹志远等：时变动力学的Legendre 级数解［H （t ）］｛Y （t ）｝!［^S m ］T ［^H m ］｛Y m ｝（22b ）式中［^H m ］=l T "m-lI =O g OO I !IlT "m-lI =O g Ol I !I…lT "m-lI =Og O ，m -l ，I !I 3T "m-lI =O g lO I !I3T "m-lI =O g ll I !I…3T "m-lI =Og l ，m -l ，I !I 5T "m-l I =Og 2O I !I 5T "m-l I =Og 2l I !I…5T "m-lI =Og 2，m -l ，I !I …………2m -l T "m-l I =O g m -l ，O ，I !I 2m -lT "m-l I =Og m -l ，l ，I !I …2m -lT "m-lI =Og m -l ，m -l ，I !I （22c ）式（2O ）中｛Y （O ）｝进行如下改写｛Y （O ）｝=｛Y O ｝=S O "O #［S O $2IS l $2I…S m -l $2I ］［"O O…O ］!#［^Sm ］T ｛W m ｝（23）其中｛W m ｝是人为构造2Im 阶列阵，其前2I 元素为给定的初值条件（2），其余元素为零.将式（2la ），（2lb ），（22b ），（23）代入基本算式（2O ），并计入式（l7a ）的积分值，得［^S m ］T ｛Y m ｝-［^S m ］T ｛W m ｝=［^S m ］T ［^D m ］T ［^H m ］｛Y m ｝+［^S m ］T ［^D m ］T ｛F m ｝（24a ）式中［^D m ］=［I 2I ］#［D m ］（24b ）其中#为Kronecker 乘积.式（24a ）消去［^S m ］T ，推得｛Y m｝=［I ］2Im -［^D m ］T ［^H m ()］-l ｛W m ｝+［^D m ］T ｛F m ()｝（25）按式（2la ）有解的统一表达式｛Y （t ）｝=［^S m ］T ［I ］2Im -［^D m ］T ［^H m ()］-l ｛W m ｝+［^D m ］T ｛F m ()｝（26）从而给出时变动力学方程（l ）的解｛X （t ）｝."粘弹性时变系统的解粘弹性时变系统具有统一形式控制方程［C （t ）］｛X ·（t ）｝+［K （t ）］｛X （t ）｝=｛f （t ）｝，｛X （O ）｝=｛X O ｝（27a ）也即为｛X ·（t ）｝=（-［C （t ）］-l ［K （t ）］）｛X （t ）｝+［C （t ）］-l ｛f （t ）｝（27b ）与式（5a ）相比，若取［H （t ）］=-［C （t ）］-l ［K （t ）］，｛F （t ）｝=［C （t ）］-l ｛f （t ）｝（28）则解（26）直接可以引用，而所求得｛Y （t ）｝即为I 阶列阵｛X （t ）｝.·6O l ·固体力学学报2OOO 年第2l 卷!数值算例考虑如下含时变系数微分方程组X·I（I）X·2（I{}）=00I[]0X I（I）X2（I{}），X I（0）X2（0{}）={}I I相当方程（278）中［C］=I n，｛f（I）｝=0.若取T=I，m=4，则按式（I3）有H（I）中时变系数I 的变型Legendre展开式I=I2S0（I）+I2S I（I）故按式（2Ic）给出［H m］T=［H0H I H2H3］=00000000 0I/20I/[]20000按式（I7b）有［D m］=I2I I00 -I/30I/300-I/50I/500-I/70按式（22c）有［^H m］=!3I=0g00IH k!3I=0g0I IH k!3I=0g02IH k!3I=0g03IH k3!3I=0gI0IH k3!3I=0gII IH k3!3I=0gI2IH k3!3I=0gI3IH k5!3I=0g20IH k5!3I=0g2I IH k5!3I=0g22IH k5!3I=0g23IH k7!3I=0g30IH k7!3I=0g3I IH k7!3I=0g32IH k7!3I=0g33IHk其中（i"）g i I=a p a-p a i-+pa i+()pI2i+2p+I，I=i-+2p，p=0，I，2，…，0，I#i-+2p，p=0，I，2，…，{（i"）及a0=I，a I=I，a2=3/2，a3=5/2按式（23）有｛W m｝=［I I000000］T 将以上诸式代入式（26），即得解｛X（I）｝=X I（I）X2（I{}）=S0（I）76S0（I）+I4S I（I）+II2S2（I{}）·70I·第2期曹志远等：时变动力学的Legendre级数解这就给出本方程组的精确解X1（t）=1X2（t）=t2/2{1参考文献1曹志远，邹贵平.施工力学分析的时变力学基础.现代力学与科技进步.北京：科学出版社，19972Majid K I.Forces and defiexions in changing structures.The Structurai Engineer，1972，51（3）3Arutyunyan N Kh，Naumov V E.The boundary vaiue probiem of the theory of viscoeiastic-piasticity of a growing body subject to aging.J Appi Math&Mech，1984，48（1）：14Abramowitz M，Stegun I A.Handbook of Mathematicai Functions，Washington DC：Nationai Bureau of Standards，19675Gradshetyn I S，Ryzhik I M.Tabies of Integrais，Series and Products.New York：Academic Press，1979 SOLUTION OF TIME-VARIATION DYNAMIC PROBLEMBY LEGENDRE POLYNOMIALSCao Zhiyuan Zou Guiping Tang Shougao（De artment of Engineering Mechanics，Tongji Uniuersity，Shanghai，200092）Abstract The probiem of time-variation dynamic systems may be induced to soive a group of dif-ferentiai eguations with time-variation coefficients.The state space approach combined with the Legen-dre poiynomiais and its operationai integration matrix is empioyed for the anaiysis of time-variation dy-namic systems in this paper，and the generaiized formuiation of the soiution is aiso given.So the basis of efficient method to soive the time-variation mechanicai probiems is estabiished，and is beneficiai to further research of time-variation science.Key words time-variation dynamics，Legendre poiynomiais，state space eguation，operationai integration matrix附录AS i（t）S j（t）=!j=0a a j a i ja i()2i2j412i2()1S i j2（t），i"j（A1）其中a为a0=1a1=21 ()1a{（A2）式（A1）两端乘以S k（t）并由0至T积分，得g ijk表达式为（i"j）g ijk=a a j a i ja i()T2i21，k=i j2，=0，1，2，…，j0，k#i j2，=0，1，2，…，{j（A3）固体力学学报2000年第21卷时变动力学的Legendre级数解作者：曹志远， 邹贵平， 唐寿高， Cao Zhiyuan， Zou Guiping， Tang Shougao 作者单位：同济大学工程力学与技术系,固体力学教育部重点实验室,上海,200092刊名：固体力学学报英文刊名：ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA年，卷(期)：2000,21(2)被引用次数：8次1.曹志远;邹贵平施工力学分析的时变力学基础 19972.Majid K I Forces and deflexions in cha nging structures 1972(03)3.Arutyunyan N Kh;Naumov V E The boundar y value problem of the theory of viscoelastic-plasticity of a growing body subje ct to aging[外文期刊] 1984(01)4.Abramowitz M;Stegun I A Handbook of Mat hematical Functions 19675.Gradshetyn I S;Ryzhik I M Tables of In tegrals,Series and Products 19791.李瑞礼.曹志远近代建筑实测损伤状态的定量化研究[期刊论文]-结构工程师2004,20(6)2.曹志远.CAO Zhi-yuan各种边界条件平行四边形功能梯度板的动力特性解析解[期刊论文]-力学季刊2006,27(2)3.王华宁.曹志远岩体施工过程损伤演化预测的时变力学分析[期刊论文]-应用力学学报2002,19(4)4.袁国青.曹志远根据震后结构破坏状态反演地面运动参数研究[期刊论文]-西北地震学报2004,26(1)5.曹志远.孔凡峰纤维增强塑料/钢筋混凝土复合结构数值分析的非经典理论单元[期刊论文]-玻璃钢/复合材料2002(6)6.王华宁.曹志远地下空间施工时内部损伤监测的计算机方法[期刊论文]-地下空间2004,24(3)7.曹志远.唐寿高复合材料/混凝土复合梁的动力特性解[期刊论文]-振动工程学报2002,15(3)8.王艺霖.刘西拉.方从启.WANG Yi-lin.LIU Xi-la.FANG Cong-qi熵流理论在结构损伤问题分析与处理中应用[期刊论文]-低温建筑技术2009,31(2)9.刘西拉新年的期望[期刊论文]-四川建筑2010,30(1)10.孔凡峰.曹志远纤维增强塑料/钢筋混凝土复合构件的侧向变形效应[期刊论文]-玻璃钢/复合材料2002(4)1.唐献述.龙源.王希之.晏俊伟钢排架结构物线性聚能爆破失稳倒塌过程动力学分析[期刊论文]-工程爆破 2004(4)2.王明禄.张能辉热载荷下粘弹性功能梯度材料薄板的准静态响应[期刊论文]-固体力学学报2004(4)3.梅甫良.曾德顺混凝土结构非稳态温度场的新解法[期刊论文]-水利学报 2002(9)4.王斌冲击地压发生机制的时变动力学分析[期刊论文]-矿业工程研究 2009(1)5.曹志远土木工程分析的施工力学与时变力学基础[期刊论文]-土木工程学报 2001(3)6.王明禄功能梯度材料结构的热弹性/粘弹性弯曲问题[学位论文]硕士 20057.李渊印结构动力响应分析的并行算法研究及其应用[学位论文]博士 20058.王国平远程多管火箭动力学及其应用研究[学位论文]博士 2004引用本文格式：曹志远.邹贵平.唐寿高.Cao Zhiyuan.Zou Guiping.Tang Shougao时变动力学的Legendre级数解[期刊论文]-固体力学学报 2000(2)。
微分几何试卷及答案
微分几何试卷及答案【篇一：微分几何测试题集锦(含答案)】t>一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。
⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在p点的切向量为?，主法向量为?，则过p由?,?确定的平面是曲线在p点的___密切平面__________。
⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。
⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___c___。
a、直线b、平面曲线c、球面曲线d、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在p(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___a___不正确。
a、k?13r??r??r?2 b、k?对于曲r??r??r?3 c、k?r d、??的第一基本?r?r??r 2?r??r???形式、面i?edu2?2fdudv?gdv2,eg?f2__d___。
a、?0b、?0c、?0d、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求0,1,⑴在点的切线和法平面。
?2?⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?:rcos?,?sin?,u?，试求⑴ ?的第一、第二基本形式；⑵ ?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶ ?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。
10-分析动力学9-Kane方法(课堂PPT)
ω(v)
op
uv
v(0) o
ω(0)
op
v 1
P点的偏速度为
v(v) p
v(v) o
ω(v)
op
的偏速度可以 表示为基点的 偏速度的函数
2
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刚体的广义主动力
N
F%v
Fi
v(v) i
i 1
v(r) pi
vo(r)
ω(r)
opi
N
N
广义主动力为: F%v Fi vo(v) Fi (ω(v) opi )
如何取得最少变量： 笛卡尔坐标广义坐标广义速度伪速度
如何建立方程
2
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偏速度：质点系
由N个质点组成的系统，有f=3N-r-s个自由度，广义速度：
ri ri (q1, q2 ,L , ql ,t)
f
r&i
l k 1
ri qk
q&k
ri t
伪速度： q&j hjvuv hj0 ( j 1, 2,L l)
i 1
N
定义广义主动力： F%v
Fi
v(v) i
i 1
N
定义广义惯性力：F%v*
(mi&r&i )
v(v) i
i 1
Kane方程： F%v* F%v 0 (v 1, 2,L f )
各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0 将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。
2
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质点系Kane方程的基本思路
设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是：
f
vHale Waihona Puke vo(r )uvv(0) o
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎曼几何是一门研究曲面和高维流形的几何学分支，它是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，并被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
黎曼几何的研究对象是具有度量的空间，它将几何中的度量概念引入了数学的领域，使得我们能够通过度量来描述空间的性质和变化。
黎曼几何的主要研究内容包括曲率、联络和度量等方面。
曲率是黎曼几何的核心概念之一，它描述了空间的弯曲性质。
在黎曼几何中，我们可以用曲率张量来度量空间的曲率，从而获得空间的几何信息。
联络则用来描述空间中点之间的连接方式，它在黎曼几何中起着举足轻重的作用。
而度量是黎曼几何中的基本概念，它定义了空间中点之间的距离和角度，使得我们能够进行几何量的计算和推导。
黎曼几何的空间模型是对空间的一种抽象和描述，它通过数学符号和公式来表示空间的性质和结构。
黎曼几何的空间模型包括欧氏空间、球面空间和超几何空间等。
欧氏空间是我们熟知的平面和三维空间，它的度量方式是直角坐标系。
球面空间则是由一个以一点为中心的球面构成，它的度量方式是球面坐标系。
超几何空间则是一类具有非欧几何性质的空间，它的度量方式是广义的。
黎曼几何空间模型不仅在纯数学领域有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等应用领域发挥着重要作用。
例如，在相对论理论中，黎曼几何被用来描述时空的弯曲性质。
在计算机图形学中，黎曼几何的概念被应用于曲面建模和形状分析等方面。
因此，深入理解和研究黎曼几何空间模型对于提高我们对空间性质的认识和应用具有重要意义。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和空间模型，并对其在数学、物理学和工程学等领域的应用进行讨论。
通过对黎曼几何空间模型的探索和研究，我们能够更好地理解空间的本质和性质，为我们的学科研究和实际应用提供更多的工具和方法。
文章结构部分的内容可以是对整篇文章的章节和内容安排进行介绍和总结，以便读者能够更好地理解文章的组织和主要内容。
以下是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容段落：文章结构本文将按照以下结构进行讨论黎曼几何空间模型的基本概念和应用。
JohnMorgan：黎曼几何、曲率、Ricci流以及在三维流形上的应用二讲
JohnMorgan：黎曼⼏何、曲率、Ricci流以及在三维流形上的应⽤⼆讲本⽂是笔者在线看Lektorium上John Morgan在圣彼得堡国⽴⼤学欧拉研究所的讲座做的笔记。
以如下内容组成1. 黎曼曲⾯上的联络黎曼流形(M^n,g)中，M为n维流形，⽽g为正定的黎曼度量，即g_{ij}(x^1,x^2,\cdots,x^n)dx^i\otimes dx^j，⽽(g_{ij})是对称正定的。
\nabla是联络(我们可以把它看成“⽅向导数”(\nabla_X为求X⽅向))，它的定义域与值域为\nabla:Vect(M)\otimes_{\mathbb{R}}Vect(M)\times Vect(M)，也即将两个M上的向量场映射到M上的向量场，即\nabla_X(Y)\in Vect(M).且满⾜如下三条性质：线性性，即关于X的f\in C^{\infty}(M)线性，有\nabla_{fX+Y}(Z)=f\nabla_{X}(Z)+\nabla_{Y}(Z)但是注意到关于第⼆个值并没有C^{\infty}M)线性，就是\nabla_X(fY)=f\nabla_X(Y)+X(f)\cdot YX(\langle Y_1,Y_2\rangle)=\langle \nabla_X(Y_1),Y_2\rangle+\langle Y_1,\nabla_X(Y_2)\rangle,这表⽰“与度量相容”，也就是\nabla_X(g)=0.为什么会这样呢？我们本来想象需要对Y_1,Y_2以及g分别求“⽅向导数”，⽽只有两项留下来了，也就是对度量求“导数”会恒为0.⽆挠，也就是\nabla_X(Y)-\nabla_Y(X)=[X,Y].这个定义Morgan认为他不是很明⽩，因为\nabla_X(Y)同样可以定义为\nabla:Vect(M)\otimes_{\mathbb{R}} \Gamma(E)\to \Gamma(E), 其中\Gamma(E)是向量丛的截⾯。
cartan规则
Cartan规则Cartan规则是微分几何中的一条基本规则，用于计算李代数中的结构常数。
本文将介绍Cartan规则的定义、应用以及相关定理。
1. 定义在微分几何中，李代数是指一个向量空间上配以一个二元运算“李括号”，满足结合律、反对称性和雅可比恒等式的代数结构。
设G是李群，其切空间为Lie(G)。
对于两个切向量X,Y∈Lie(G)，它们的李括号定义为[X,Y] = XY - YX。
2. Cartan规则Cartan规则描述了李代数中结构常数与导子之间的关系。
设G是一个n维实Lie 群，其切空间为n维实Lie代数Lie(G)。
对于G上任意函数f(x)，其中x∈G，我们有以下Cartan规则：其中L_X表示函数f(x)在点x处的导子，即切向量X作用在函数f上所得到的结果。
3. Cartan规则的应用Cartan规则在微分几何和李代数的研究中具有重要应用。
它可以用来计算李代数的结构常数，从而揭示李代数的内部结构。
通过Cartan规则，我们可以推导出一些重要的定理和性质。
3.1 Jacobi恒等式根据Cartan规则，我们可以得到Jacobi恒等式：该恒等式表明李括号满足雅可比恒等式，即对于任意三个切向量X,Y,Z∈Lie(G)，都有上述恒等式成立。
3.2 结构常数的计算通过Cartan规则，我们可以计算李代数中的结构常数。
给定一个基B={X_1,X_2,…,X_n}作为Lie代数Lie(G)的一组基，其中X_i是切向量，我们可以使用Cartan规则将所有可能的结构常数计算出来。
3.3 李代数的分类Cartan规则也可以用于李代数的分类。
通过计算李代数中的结构常数，我们可以判断李代数是否是半单、可解或半可解的。
这对于研究李群和李代数的性质非常重要。
4. 定理基于Cartan规则和相关推导，我们得到了一些重要的定理。
4.1 Cartan定理Cartan定理指出，对于任意一个实Lie代数Lie(G)，存在一个子代数H和其余元素E_α，使得Lie(G)可以分解为直和：其中H是Cartan子代数，E_α是零化子空间。
关于拟常曲率空间的一个注记
关于拟常曲率空间的一个注记
刘祖汉
【期刊名称】《数学研究与评论》
【年(卷),期】1991(011)001
【摘要】n维(n≥3)黎曼空间V_n称为是拟常曲率的,如果在V_n中存在正交单位标架向量场X_1,X_2,…,X_n,在此标架下黎曼曲率张量的分量具有性质
e_αe_βR_αββα=H,e_ne_aR_naan=N,其它分量为0.α,β=1,2,…,n-1,a≠β.H、N 为不变量,e_a=±1,e_β=±1,e_n=±1.熟知n>3的拟常曲率空间一定是共形平坦的.但是在3维的情况下,拟常曲率空间是否一定共形平坦?黄正中教授在[1]中提出了这一问题.我们现在证明,这个问题的答案是否定的,为此,举出下面的反例.
【总页数】1页(P110)
【作者】刘祖汉
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O186.12
【相关文献】
1.拟常曲率空间中2-调和子流形的一个注记 [J], 刘建成;独力
2.anti-de Sitter空间中具有常高阶平均曲率的类空超曲面的一个注记 [J], 高耀文
3.关于常曲率空间中子流形截面曲率的一个注记 [J], 孙弘安
4.关于常曲率空间形式中的具平行中曲率向量场的子流形的注记 [J], 高改良
5.拟常曲率空间的一个积分公式 [J], 崔玉衡
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常微分方程数值解法
常微分方程数值解法【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
基本模型1.发射卫星为什么用三级火箭2.人口模型3.战争模型4.放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
1. 改进Euler 法：2.龙格—库塔（Runge—Kutta）方法：【源程序】1. 改进Euler 法：function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun为函数，(x0，x1)为x区间，y0为初始值，n为子区间个数if nargin<5,n=50;endh=(x1-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:nx(i+1)=x(i)+h;y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1);y(i+1)=(y1+y2)/2;end调用command窗口f=inline('-2*y+2*x^2+2*x')[x,y]=eulerpro(f,0,,1,10)求解函数y'=−2y+2x2+2x ，(0 ≤x ≤，y(0) = 12.龙格—库塔（Runge—Kutta）方法：[t,y]=solver('F',tspan，y0)这里solver为ode45，ode23，ode113，输入参数 F 是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。
代数学的新生—19世纪的代数学
2 方程论及其他
18世纪代数学的主题仍然是代数方程。在这个世纪的最后一年，年青的高斯在 他的博士论文中公布了代数基本定理的第一个实质性证明。高斯的这一成果可以看 作是18世纪方程论的一个漂亮的总结。代数基本定理断言n次代数方程恰有n个根。 它最早是由荷兰数学家吉拉尔于1629年提出，后经笛卡尔、牛顿等众多学者反复陈 述、应用，但均未给出证明。高斯的思想具有深刻的意义，因为其证明是纯粹存在 性的。在此之前，几乎所有的数学家都习惯于通过实际构造来证明问题解的存在。
p
z x
,
q
z y
,
r
2z 2x
,
s
2z xy
,
t
2z y 2
的标准符号外，欧拉还正确地建立了曲面的曲率概念，引进了法曲率、主曲率等概念， 并得到了法曲率的欧拉公式
1 cos2 2 sin 2
（其中 1, 2是主曲率，是一法截面与主曲率所在法截面的交角）。1771年以后，欧
拉还率先对可展曲面理论进行了研究，导出了曲面可展性的充分必要条件。
1640年，费马给梅森的信中提出。
(5)佩尔方程的解：当A是正数而非完全平方数时，佩尔（J.Pell, 1611-1685）方程
x2 - Ay2 = 1 有无穷个整数解。
1657年2月,费马给德贝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。
18世纪的数论尤其受到了费马思想的主宰，该时期得到的许多结果，都与证明费马 提出的这些猜想有关。
从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索 是数学研究最丰富的源泉。但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。 一种数学理论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致新理论与新思想的 产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的重要动力之一。过于看重数学进展对现 实需要的依赖，而忽视数学发展的内在动力，难免产生对数学发展前景的悲观预见.
曲面的内蕴几何初步
第六章曲面的内蕴几何初步§3常曲率曲面与非欧几何模型在曲面的内蕴几何学中，具有常Gauss曲率的曲面通常简称为常曲率曲面．对于常曲率曲面性质的了解以及关于非欧几何的早期讨论，是Riemann认识空间的重要基础；Riemann继承了Gauss关于内蕴几何的观察结果和某些具有重要思想价值的思考，并加以深入发展，创立了Riemann 几何学．历史上看，Riemann几何学思想的诞生和发展为Einstein广义相对论的诞生提供了必要的基础；同时，理论物理的需求也成为Riemann几何学深入发展的原动力之一，也揭示出几何学发展的一种有意义的价值取向．现在，基于越来越多的科学学科的需求以及几何学本身的内在需求，Riemann几何学思想已经得到巨大的发展和应用，已经成为认识空间形式的一个重要基点．一．常曲率曲面的局部等距利用测地坐标系和Gauss方程，常曲率曲面的局部内蕴性质可以得到充分的揭示．下列定理证明中所用的基本想法是，在选取适当的局部坐标系之下，将问题转化为求解适当的偏微分（或常微分）方程以及讨论解的性质．定理1具有相同常Gauss曲率的曲面总可局部等距．证明对于具有常Gauss曲率K的曲面 S，已知S在测地极坐标系 (ρ, ψ) 下的第一基本形式写为Ⅰ=dρ 2+G(ρ, ψ) dψ2，其中系数G满足性质(2.8) 式．考虑到Gauss方程此时有简化形式，得到微分方程(3.1) (G )ρρ+K G= 0 ，limρ→0G= 0 ，limρ→0(G)ρ= 1 ．此方程的求解，按K的符号分为以下三种情形讨论．①K= 0，则 (G )ρρ= 0 ．对ρ积分得 (G )ρ=f(ψ) ，其中f(ψ) 为ψ的函数；代入条件 limρ→0(G )ρ= 1 ，得f(ψ) ≡ 1 ，即 (G )ρ= 1 ．再对ρ积分得G=ρ+h(ψ) ，其中h(ψ) 为ψ的函数；再代入条件limρ→0G= 0 ，得h(ψ) ≡ 0 ，即G=ρ．故S的第一基本形式此时确定为(3.2) d s2= dρ 2+ρ 2 dψ 2．②K=1a2> 0 ，其中常数a> 0 ，则 (G )ρρ+1a2G= 0 ．此方程全部解即为通解G=A(ψ) cos ρa+B(ψ) sinρa．代入条件 limρ→0G= 0 ，得A(ψ) ≡ 0 ，从而G=B(ψ) sin ρa，(G )ρ=B(ψ)1acosρa．再代入条件 limρ→0(G )ρ= 1 ，得B(ψ) ≡a．故S的第一基本形式此时确定为(3.3) d s2= dρ 2+a2 sin2ρadψ 2．③K=-1a2< 0 ，其中常数a> 0 ，则 (G )ρρ-1a2G= 0 ．此方程全部解即为通解G=A(ψ) ch ρa+B(ψ) shρa．同理，利用初始条件得知，S的第一基本形式此时确定为(3.4) d s2= dρ 2+a2 sh2ρadψ 2．由以上三种情形得知，对于具有常Gauss曲率K的曲面S，其第一基本形式总可以根据K的取值而由 (3.2)-(3.4) 确定．由此即得定理结论．□二．常曲率曲面在E3中的代表分别对应于以上所讨论的三种情况，本段考虑常曲率曲面在E3中的具体实现．⒈K≡ 0 ．局部在E3中为可展曲面．如果在整体上要求具有单连通性质以及完备性质（参见第八章§2），则该种曲面的典型模型是欧氏平面E2⊂E3．⒉K=1a2> 0 ，其中常数a> 0 ．在E3中熟知的代表是欧氏半径为a的球面 S2(a) ，它作为一个整体是单连通的和完备的．在E3中也存在其它曲面局部等距对应于球面而不是球面．简单的例子可以在旋转面中寻找，通过常曲率条件而归结为求解常微分方程．为此考察一般的旋转面S的经纬参数化（为测地平行坐标系）r=r(u, v) = (f(v) cos u , f(v) sin u , h(v)) ，u∈R．当参数u取值区间的长度小于2π时，对应于旋转面的一部分．不妨设母线(x, z) = (f(v), h(v)) 以为v弧长参数，即 ( f')2+ (h')2≡ 1 ；则直接算得S的第一基本形式为 d s2=f2(v) d u2+ d v2，|g|=f2(v) ，Gauss方程化为(3.5)f"(v) +K f(v) = 0 ，而h(v) =±⎰ 1 - [ f'(v)]2 d v．由此，常曲率旋转面局部可完全确定．对于现在关心的情形，以K≡ 1时为例，解得f(v) =A cos v+B sin v , A= const. , B= const. ；为使上、下两部分得以合理拼接，取母线时假设它垂直相交于xOy平面，并调整弧长参数的起点，上式总可化为f(v) =A0 cos v , A0=f(0) ≠ 0 ，此时h(v) =±⎰ 1 -A02 sin2v d v．当A0= 1时，解曲面（上、下合起来作为一体）就是单位球面去掉南、北两极后的经纬参数化；当 0 <A0< 1 时，解曲面称为“纺梭形”常正曲率旋转面；当A0>1 时，解曲面称为“干酪形”常正曲率旋转面．需要注意的是，纺梭形和干酪形常正曲率旋转面都不是单连通的，也都不是完备的．⒊K=-1a2< 0 ，其中常数a> 0 ．在E3中较为简单的代表是所谓的伪球面，它是曳物线旋转面．以K≡-1时为例，设母线在弧长起点v=0 相切于xOy平面，解 (3.5) 式所对应方程，可得特解f(v) = e v , h(v) =±⎰v0 1 - e2t d t．可知其母线是曳物线——切点沿着切线到旋转轴的切线段长度保持常值1 ．其母线参数变换将决定不同形式的参数方程．伪球面不是单连通的，也不是完备的．事实上，完备的单连通负常曲率曲面，不存在在E3图6-5>0图6-6中的具体实现．严格的叙述见第八章§9所录Hilbert 定理．三．抽象曲面与非欧几何模型曲面内蕴几何的基本要素，可以看成是参数区域及其之上所给定的第一基本形式．将此进行抽象，将启发关于欧氏几何以及非欧几何的深思．定义1 称二元有序组 (D , d s 2) 为一张抽象曲面（片），其中 D ⊂R 2是参数平面 R 2 上指定的区域，d s 2 是定义域上的正定的二次微分形式．对抽象曲面 (D , d s 2) ，称 D 为其参数区域，称 (u 1, u 2)∈D 为其上的点，称 d s 2 = g ij d u i d u j 为其第一基本形式或度量，称 g ij 为其第一基本形式系数或度量系数，称 (g ij )2⨯2 为其第一基本形式系数矩阵或度量系数矩阵．显然，内蕴几何在抽象曲面上完全可以展开；诸如长度、内蕴夹角、面积、测地曲率、测地线、Gauss 曲率等等重要的内蕴几何不变量或内蕴几何体以及联络系数等等内蕴量，都可以进行详细讨论．将抽象曲面视为欧氏平面的推广，则抽象曲面上曲线的测地曲率就是欧氏平面上曲线的相对曲率的推广，抽象曲面上的测地线就是欧氏平面上的直线的推广．在后面两节之中，将继续深入讨论欧氏平面几何中的两种典型性质在抽象曲面几何中的表现．下面先给出一个在几何学发展史中具有重要地位的模型．例1 Riemann 常曲率曲面模型抽象曲面 M = (D , d s 2) 的度量定义为(3.6) d s 2 = d u 2 + d v 2[1 + c 4 (u 2 + v 2)]2 , c = const.∈R ； 其中参数区域定义为(3.7) D = R 2 , c ≥ 0 ；{(u , v )∈R 2 | u 2 + v 2 < -4 c} , c < 0 ． 由等温参数下Gauss 曲率的计算公式直接计算可得K = -[1 + c 4 u 2 + v 2)]2 ( ∂2∂u 2 + ∂2∂v 2){ln [1 + c 4(u 2 + v 2)]-1 } ≡ c ． 当 c = 0 时，M 回到欧氏平面．当 c > 0 时，显然 M 可以局部实现在E 3中，成为半径为 c -1 的欧氏球面的某一部分．而当 c < 0 时，同样 M 可以局部实现在E 3中，成为相应欧氏伪球面的某一部分．如果要求整体实现在E 3中，并且单连通的属性和所谓的完备性得以保持，则当 c > 0 时实现于球面可以做到，而当 c < 0 时实现于伪球面则不能够做到． □下面利用Riemann 常曲率曲面模型来说明非欧几何及其直观，其中的测地线的地位就是欧氏几何中的直线的地位．⒈ 二维椭圆几何模型以 K = 1 为例而进行讨论．在E 3中Descartes 直角坐标系 O-xyz 下，取定球心位于原点 O 的单位球面 S 2(1) ，从北极 N 向南极 S 的切平面 T S 作球极投影，在切平面 T S 上作Descartes 直角坐标系 S-uv ，则去除北极点以外的单位球面按球极投影方式可正则参数化为r (u , v ) = (u 1 4 (u 2 + v 2) + 1 , v 1 4 (u 2 + v 2) + 1 , 1 4 (u 2 + v 2) - 1 1 4 (u 2 + v 2) + 1 ), (u , v )∈R 2 ． 直接计算可得其第一基本形式表示为Riemann 常曲率1曲面模型的度量．于是，将抽象参数平面视为重合于切平面 T S ，则S 2(1)-{N } 上的测地线在球极投影下的像，就成为Riemann常曲率1曲面模型的测地线．测地线在平面 T S 上的欧氏形态，或为过原点的直线，或为以原点为心的半径为2的欧氏圆周 C 0 ，或为经过 C 0 的任意一对对径点的欧氏圆周．Riemann 常曲率1曲面模型的“完备化”的直观，即为在参数平面上合理添加“无穷远点”； 在E 3中即实现为在 S 2(1)-{N } 上合理添加北极，从而（在整体等距对应意义下）成为在E 3中完整的球面．其整体属性包括：紧致，单连通，全面积为4π，任何两条测地线都相交于两点（包括“欧氏无穷远点”）．x , y ) ) 图6-7C 0 图6-8任何两条测地线都相交于一点的椭圆几何模型也可找到，比如实射影平面R P 2 ；理解它则需要了解曲面的整体概念以及相关的几何知识．⒉ 二维双曲几何模型以 K = -1 为例而进行讨论，并局限于两种著名的模型；其中确定测地线的欧氏形态的一般途径可以认为是求解具体的微分方程（参见习题）．① Klein 圆盘 即为Riemann 常曲率 -1 曲面模型．参数区域此时为 D = {(u , v )∈R 2 | u 2 + v 2 < 4 } ．测地线在直角坐标 (u , v ) 参数平面上的欧氏形态，或为 D 的直径，或为欧氏意义下垂直相交于 D 边界圆周的欧氏圆周落在 D 上的部分．其整体属性包括：非紧，单连通，全面积为 ∞ ，任何测地线的长度为 ∞ （证明留作习题）；特别是，过已知测地线之外任何一点，存在无穷多条测地线与已知测地线不相交．② Poincaré上半平面抽象曲面 (D , d s 2) 参数区域为 D ={(u , v )∈R 2 | v > 0 } ，度量定义为(3.8) d s 2 = d u 2 + d v 2v 2 ． 其测地线在直角坐标 (u , v ) 参数平面上的欧氏形态，或为欧氏意义下平行于 v 轴的欧氏半开直线，或为欧氏意义下垂直相交于 u 轴的欧氏半开圆周．Poincaré上半平面的整体属性可如同Klein 圆盘一样列出．事实上，Poincaré上半平面与Klein 圆盘之间存在整体等距对应（留作习题）；对应关系若用复变函数分式变换来表达则较为简便，当然也可以根据测地线行为的对应而确定．习 题⒈在常曲率曲面S上任意给定测地圆周C，试证：C的测地曲率取常数值．⒉在曲面S上，当任意取定P点时，测地圆周 S1(P, ρ) 都分别具有由ρ所确定的常值测地曲率f(ρ) =κg(P, ρ) ，试证：①在以P为原点的测地极坐标系下，曲面S上的Gauss曲率K=-f'-f2；②曲面S上的Gauss曲率沿着任何测地圆周是常值函数；③曲面S是常曲率曲面．⒊对于K≡-1 的情形证明：①伪球面的全面积有限；②Poincaré上半平面的全面积为∞；③Klein圆盘的全面积为∞．⒋对于K≡-1 的情形，关于下列对象，确定测地线在 (u, v) 参数平面上的参数方程表达式，并证明任何测地线的全长为∞．①Poincaré上半平面；②Klein圆盘．⒌设连续可微对应的两张抽象曲面的度量在对应关系下总成固定的比例a2，则可确定它们的Gauss曲率的对应关系．据此建立K≡-a2的抽象曲面的一个模型．⒍对K≡-1 的情形，确定Poincaré上半平面与Klein圆盘之间的一个整体等距对应．⒎在 (u, v) 参数平面D上赋予度量 d s2= e2v d u2+ d v2，所构成的抽象曲面 (D,d s2) 即为K≡-1 的双曲平面．求Poincaré上半平面与双曲平面之间的一个整体等距对应．⒏证明Poincaré上半平面、Klein圆盘和双曲平面都分别是整体测地凸的．⒐考虑Klein圆盘的测地极坐标系，确定其转化为测地极坐标系的参数变换．⒑对K≡-1 的情形，考虑Poincaré上半平面的测地平行坐标系和参数平面的欧氏极坐标系，试确定参数变换使度量转化为d s2= dρ 2+a2 ch2ρ dψ 2．。
阿基米德螺线曲率半径
阿基米德螺线曲率半径【原创实用版】目录1.阿基米德螺线的定义与性质2.阿基米德螺线的极坐标方程3.曲率的参数表达式4.求解阿基米德螺线的曲率半径5.阿基米德螺线在实际应用中的例子正文阿基米德螺线，又称等速螺线，是一种特殊的螺旋曲线。
它是由古希腊数学家阿基米德首次发现并描述的。
阿基米德螺线的定义是：当一点 P 沿动射线 OP 以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点 O 旋转，点 P 的轨迹称为阿基米德螺线。
阿基米德螺线的极坐标方程为：raxacosyasin。
在这个方程中，r 表示极径，θ表示极角，a 表示射线的旋转角速度，x 和 y 表示点 P 的坐标。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要概念，它等于曲线的切线转向速度与该点前进速度的比值。
对于阿基米德螺线，曲率的参数表达式为：Kx"y""-x""y"/(x"2y"2)3/2。
根据不同的值代入，可以求得阿基米德螺线的曲率。
阿基米德螺线的曲率半径 R 可以通过以下公式求解：R1/K[a(1)3/2]。
其中，K 为曲率，a 为射线的旋转角速度，R1 为曲率半径。
阿基米德螺线在实际应用中有很多例子，其中最著名的应用是阿基米德螺旋天线。
阿基米德螺旋天线是一种反射板天线，通过适当的选取天线和反射板的间距，可使天线具有较好的方向性。
此外，阿基米德螺线还被广泛应用于光学、流体力学等领域。
总之，阿基米德螺线是一种具有特殊性质的螺旋曲线，其极坐标方程为 raxacosyasin，曲率半径可以通过公式 R1/K[a(1)3/2] 求解。
4.6Riemann-Christoffel张量(曲率张量)
1 空间， 对于一个 m 维的 Riemann 空间，必定有一个 n = m(m + 1) 2 空间包容它， 空间是嵌入 维的 Euclidean 空间包容它，使 m 维的 Riemann 空间是嵌入 n 维 Euclidean 空间的一个子空间。 空间的一个子空间。 空间中， 在 Riemann 空间中，一般来说找不到一个适用于全空间的 笛卡儿坐标系（ 笛卡儿坐标系（即其度量张量的分量 gij 不一定能通过一种线性
yi 的非线性微分方程组。这组方程的可积性条件是 x p 对 yi 的非线性微分方程组。 混合偏导数与求导次序无关，此时这 个方程彼此是协调的 个方程彼此是协调的。 混合偏导数与求导次序无关，此时这18个方程彼此是协调的。
即
2x p x r x q p 2 x p x r x q p i′ j ′ + i′ j′ Γ rq = j ′ i′ k ′ + i′ k ′ Γ rq k′ y y y y y y y y y y
x r x q p i′ k ′ Γ rq j′ y y y
p x r x q x s Γ rs t p t p q Γ rq Γ ts Γ sq Γ rt = i′ j′ k′ y y y x
可积性条件可写成
p p Γ rq Γ rs x x x t p t p q + Γ rq Γ ts Γ rs Γ tq = 0 i′ j′ k′ s y y y x x (i′, j′, k ′, p = 1, 2, 3) r q s
s Γ ik r r r s r s r Sikj = ai,kj ar ,k Γ ij ai,r Γ kj ar , j Γ ik as j Γ rk Γ ij Γ ir Γ kj x
第一类CartanEgg域的全纯截曲率
第２４卷第１期２００６年３月徐州师范大学学报（自然科学版）Ｊ．ｏｆＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ．（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖ０１．２４，Ｎｏ．１Ｍａｒ．，２００６第一类Ｃａｒｔａｎ—Ｅｇｇ域的全纯截曲率李庆宾１，徐宁２（１．首都师范大学数学系，北京１０００３７ｉ２．徐州师范大学数学系，江苏徐州２２１１１６）摘要：给出了第一类Ｃａｒｔａｎ—Ｅｇｇ域上的Ｂｅｒｇｍａｎ度量方阵和Ｂｅｒｇｍａｎ度量下的全纯截曲率的显表达式关键词：Ｂｅｒｇｍａｎ度量；度量方阵；全纯截曲率中图分类号：（）１７４．５６文献标识码：Ａ文章编号：１００７—６５７３（２００６）０１—００１５－０４０引言曲率是对几何体不平坦程度的一种衡量，它从根本上区分了几何学与拓扑学．有些完备流形用拓扑的眼光来看没有什么不同，但从几何的角度来看却截然相异，这是因为它们的截面曲率有细微的差别，从而导致其测地线整体结构的不同．因此，研究完备流形的曲率很有意义．Ｂｅｒｇｍａｎ，Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ，Ｋｏｂａｙａｓｈｉ这三个经典的度量是重要的双全纯不变量，它们对域的边界几何、双全纯映射的连续延拓到边界等重要问题有重要应用．文献［１］已利用全纯截曲率的一个负上界得到了Ｂｅｒｇｍａｎ度量和Ｋｏｂａｙａｓｈｉ度量的比较定理．本文主要研究如下形式的域：ＣＥＪ（Ｍ，Ｎ，ｍ，咒；Ｋ）一｛Ｗ１ＥＣＭ，Ｗ２∈ＣＮ，ＺＥ统Ｉ（优，咒）：ｌＷ１２＋ｌＷ２２“＜ｄｅｔ（ｆ—Ｚ２Ｔ），Ｋ＞Ｏ），Ｍ其中Ｗ，一（训…，叫；¨，…，硼Ｉ；’），Ｗ。
一（硼ｉ∞，叫５∞，…，锄好’），ｌⅣ。
Ｉ２一∑ｌ叫１’Ｉ２，１ｗ。
’Ｉ２一Ｊ—ｌＮ‘∑Ｉ硼；ｚ，Ｉｚ，纵，（优，行）是华罗庚意义下的第一类Ｃａｒｔａｎ域，之Ｔ表示Ｚ的共轭转置．万本文给出了上述域的全纯截曲率显表达式，这对研究ＣＥ，上的比较定理有重要作用．１第一类Ｃａｒｔａｎ—Ｅｇｇ域的Ｂｅｒｇｍａｎ度量方阵若（Ｗｌ，ｗｚ，Ｚ）ＥＣＥＩ，其中Ｚ一（ｚ。
第一类超Cartan域上的不变度量
第一类超Cartan域上的不变度量苏简兵【期刊名称】《数学进展》【年(卷),期】2007(36)6【摘要】We first prove the convexity on YI(k;N;m,n),the super-Cartan domain of the first type when 2k(≥)m,and then we study the equivalence of the Bergman metric,Caratheodory metric, Kobayashi metric and Einstein-Kahler metric and the holomorphic curvatures of Caratheodory metric(and Kobayashi metric).We also calculate the Caratheodorymetric(and Kobayashi metric) of YI(1;N;2,n)and YI(2;N;2,n).%首先证明超Cartan域YI(k;N;m,n)为凸域的充分必要条件是2k(≧)m;接着讨论了在超Cartan 域上四类经典的不变度量,即Bergman度量、Caratheodory度量、Kobayashi度量和Einstein-Kahler度量的等价性;最后通过计算得到了超Cartan域YI(1;N;2,n)和YI(2;N;2,n)上的Caratheodory度量(和Kobayashi度量)的显表达式.【总页数】7页(P686-692)【作者】苏简兵【作者单位】徐州师范大学数学系,徐州,江苏,221116【正文语种】中文【中图分类】O174.56【相关文献】1.第一类Cartan-egg域的凸性与Kobayashi度量 [J], 苏简兵2.第一类超Cartan域上K(a)hler-Einstein度量与Bergman度量的等价性 [J], 邓义华;关开中;杨柳3.第一类超Cartan域上的几何性质 [J], 徐宁;李庆宾4.第一类超Cartan-Hartogs域上的消没定理 [J], 苏简兵;王安;林萍5.第一类超Cartan域的不变Kāhler度量 [J], 林萍因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
电磁学 有限元举例
• Partial Differential Equation Toolbox
– 另外推荐
• Symbolic Math Toolbox • Curve Fitting Toolbox
9
步骤（2）
• 命令窗口：pdetool回车 • 新窗口菜单：
– 选择问题类型：Electrostatics – Draw --> Draw Mode 画图 – PDE --> PDE Mode 填电荷密度、介电常数 – Boundary --> Boundary Mode 填边条件 – Mesh --> Mesh Mode, Refine mesh划分网格 – 如果电荷随电势变：Solve --> Parameters 选
《电磁学》
有限元举例
方程+边条件
-------------------
2U 0
2U 0
+++++++++++++
U 0?
U Ez?
2
三类边条件
• 第一类(Dirichlet型)：指定边界处的电势值。 • 第二类(Neumann型)：指定边界处法线方
向的电场。 • 第三类：指定边界处的电势与法线方向的
电场的线性组合的值。
3
例
• 同轴电缆（已知电势差） • 同轴电缆（已知电荷密度） • 外加电场中的一块介质
– 边条件不一定是一个常数
4
同轴电缆（已知电势差）
5
同轴电缆（已知电荷密度）
金属的介电常数其实并不远大于真空。
6
同轴电缆（已知电荷密度）
材料分析常铁军考试复习重点
第一章X射线基本特性1. X射线本质：极强穿透能力电磁波或电磁辐射；具有波粒二相性。
X射线波长范围：0.001-10nm；0.05-0.25nm 衍射分析(晶体结构分析)；0.005-0.1nm 材料探伤；1-10nm医学特性：不可见，沿直线传播；不带电荷，经过电、磁场时不发生偏转；具有干涉、漫反射等现象；使照相胶片感光，使气体电离；能产生生物效应，杀伤有生命的细胞；穿过物质时可以被吸收而使其强度衰减结构、产生：①阴极：发射电子的地方，由绕成螺线形的钨丝制成；②阳极（靶）：使电子突然减速和发射X射线的地方；③阳极靶、焦点、铍窗口、阴极灯丝电流；④焦点：阳极靶面被电子束轰击的区域；⑤铍窗口：X射线从阳极靶向外射出的地方；⑥管电压：施加在X射线管阴极和阳极之间的高压；⑦管电流：X射线管阴极和阳极之间高速定向运动的电子流；分类：①连续X射线谱：由从λ0开始，直到波长等于λ的一系列波所构成。
短波限λ0：光子具有的最高能量对应的最短波长。
eVhc=λ特点：①强度随波长而连续变化，每条曲线都对应有一个最短的波长（短波限λ0）和一个强度的最大值。
最大值一般在1.5λ0地方。
②λ0只与管压有关，与管流和靶材无关。
λ0=1.24/V (nm)，随着管压的增大，λ0向短波方向移动。
③连续X射线的强度不仅与管压有关，还与管流和靶材有关；当需要连续X射线时，一般采用重元素的靶能得到较强的连续X射线机理：按量子理论，当高速的电子撞击靶中的原子时，电子失去自己的能量，其中大部分转化为热能，一部分以光子（X射线）的形式幅射出。
光子的能量为hʋ，由于单位时间内到达靶表面的电子数量很多，各个电子的能量各不相同，产生的X射线的波长也就不同，故产生连续的X射线谱。
②特征X射线谱：具有一定波长的若干特强的X射线叠加在强度连续光滑变化的连续X射线谱上。
机理：K系激发：K层电子被激出的过程；K系辐射：外层电子跃迁到K层上所辐射出的特征X射线。
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第 三 类超 Ｃ ｆ ｎ域 ａｔ ａ
（ ｑ Ｋ ） Ｒ ｃｉ Ｎ， ， 的 ｉ 曲率 ｃ
王 贵 霞
（ 肥学院 数学与物理系 ， 合 合肥 ２ ０ ０ ） ３６ １
摘 要 ： 出了第三类超 Ｃ ｒ ｎ域 （ ｑ Ｋ 给 ａｔ ａ Ｎ， ， ）在 Ｂ ｒｍ ｎ度 量下的 Ｒ ｃｉ曲率 ， 而得 知 （ ｑＫ）是非齐性 ｅ ａ ｇ ｉｃ 从 Ｎ， ，
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企 犯 学院 学 报 （ 自然科学版）
２０ ０ ８年 ８月 第 １ ８卷 第 ３
Ｊｕｎｌ ｆ ｅ ｉ ｎ ｅｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅｃｓ ｏｒａ Ｎ ｉ ｒｉ （ ａ ａ Ｓｉ ｅ） ｏＨ Ｕ ｖ ｔ ｕ ｎ
Ａｕ ．２ ０ １ １ ． ｕ ０ ８ Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ３
量下的 ．ｃ 曲率得到的， Ｒｃ ｉｉ 从而得知它一般是非齐性域．
１ 准 备 知 识
引理 １ 设 ｚ， ∈ Ａ ｔ ） （ ， ） ＝ Ｚ， ） ｕ（ ，Ｚ ）且 把 （ 。 ）映 为 （ ） 为 Ｚ， ）的 ｚ， ０， ，
Ｊｏ矩 ， ａｂ 阵即 ｝。 ．则 ｗ ｄ（ ｚ ） Ｉ． ｃｉ ： Ｉ有ｆ ：ｅＩ ＿ Ｉ ｄ ， ｅ ｔ— ＋
证明 见文献 ［ ］ ４．
收 稿 日期 ：０ ８ ４—０ ２ ０ —０ ９ 修 回 日期 ： ０ ０ ２ ８— ５—０ ０ ７
基金项 目： 安徽 省教育厅青年教师科研 资助计； （ ０ ８ｑ １０ 、 ￣ ２０ ｊｌ３ ） 合肥学 院教研 基金项 目“ Ｊ 复变 函数与积 分变换课 程 自主探
究式教学模式研究 ” 资助． 作者简介 ：５ ３贵霞 （９ １ ） 女 ， １ ８一 ， 安徽桐城人 ， 合肥学 院数学 与物理 系助教 ， 硕士 ； 究方向 ： 研 多复变 函数论 ．
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６
合肥学院学报 （ 自然科 学版 ）
第ｌ ８卷
中图 分 类 号 ： １４ ５ ０ ７ ．６ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ３—１２ ２０ ）３～００ ０ １７ ６ Ｘ（０ ８ ０ ０ ５— ３
曲率 是对 几何 体不 平坦 程度 的一种衡 量 ， 它从 根本 上 区分 了几 何 学 和拓 扑 学． ｅｇ ｎ度 量是 复 分析 Ｂｒ ｍａ
中三 个 经典不 变度 量 之一 ， 它是 对域 的边 界几 何 ， 双全 纯 映射 的连续 延拓 到边 界 等重要 问题 有 重要 应用 的
双全 纯不 变量 ． 在 Ｂ ｒｍ ｎ度量 下 的 Ｒｃｉ 域 ｅｇ ａ ｉｃ 曲率不 为 一１则 此 域一 定 是 非齐 性 域 … ． ， 殷慰 萍 教 授 引 入 的
第三 类超 Ｃ ｆ ｎ域 为 ａａ ｔ
（ ｇＫ）＝ ｛ ∈ ｅ Ｚ ∈Ｒ ｇ ： ｌ ＜ｄｔＩ—Ｚ ， ＞０｝ Ⅳ，， ， ｍ（ ） １ ｅ（ Ｚ ）Ｋ ，
（） １
这里 Ｒ， ｇ ，（ ）表 示华 罗庚 意义 下 的第 三类 Ｃ ｆ ｎ域 ， ， ａｔ ａ 因而 ｚ是 ｇ阶斜 对 称 方 阵 ，ｅ表 示 行 列式 ， ｄｔ ｚ表 示 Ｚ 的共 轭 ， 标 Ｔ表示 矩 阵 的转 置 ， 上 ｑ＞２为 自然 数 ， ｊ是单位 矩 阵． 记 （ ） 简 Ｉ 为 ， 文通 过它 在 Ｂ ｒｍａ 本 ｅｇ ｎ度
，
Ｋ， ， ）＝ Ｋ一 １一 ， Ｚ； Ｚ （ Ｚ ， 山 ＴＬ Ｋ ， ， ， １— 肼（ ； 一）：Ｋ一 Ｔ［
（） ３
＋Ⅳ， 文 ６见
其 中 ： ＿ｌ
ｄｔＪ—ｚ－ ） ｙ ： ｅ（ ｚ １； Ｔ
；（ ）＝ Ｇｙ
ｒ（ ） ２＋
域 的条件 ； 同时知道 它具有齐性域 同样 优美 的解析 性质 ； 得到 了非齐 性域 四个经典 度量 之 间的关系 ： ｉｓ ｉ Ｅｎｔ ｎ— ｅ
Ｋａ ｅ 度 量和 Ｂ ｒｍ ｎ度 量是 等价的 ，ｉｓ ｉ— ａｌ 度量和 Ｋ ｂｙｓｉ 量有 比较定理． ￣ｌｒ ｈ ｅｇ ａ Ｅｎｔ ｎＫ ｈｅ ｅ ｒ ｏａａｈ 度 关键词 ： Ｃ ｆ ｎ域 ； ｅｇ ｎ度量 ； ｉ ｉ曲率； 超 ａａ ｔ Ｂｒ ｍａ Ｒｃ ｃ 非齐性域
弓 理 ４ 设 ＝ Ｉ ｗＩＷ ， ， ） 贝 ｅ（ ， ２ … Ⅳ ， ０ ｔ１＋Ａ Ｔ ＝ １＋Ａ 。 ｄ 。 ） Ｔ：１＋Ａ １ Ｉ ２
．
（ ５）
证 明 她 ｚ ｌ 的性质计 算 可得 ． ￣一 … － 式
引理 ５ 设 第 三类超 Ｃ ｆｎ域 ａｔ ａ
＼ Ⅵ， Ⅵ， ／
ｆ
］
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ ２ ）
证明
见文 献 ［ ］ ２．
引理 ２ 第 三类 超 Ｃ ｆ ｎ域 ａａ ｔ
的 Ｂｒｍ ｎ核 函数 为 ｅ ａ ｇ
＋ｌ Ｙ ｅ（ 一 Ｚ 。一９ ） ＳＧ（ ｔ１ 一 —＋ ｊ ） ｄ ） １一Ｚ ） （ １二 ， ） ‘１ －
的 Ｂｒｍａ 量方 阵 为 ， ｅｇ ｎ度 则
ｄ ：２ ＋ 一 ＋ ］ （ （， ｅ ［ ｇ １ ） 埘 ｔ （
由引理 ３知 ｄ ｔＭ ｅ（ ，＋
ｄ（一 ｅ ｚ ｔ
书 （ ． ６ ）
证 因ｅ２ ＋ 一 ＋ ［ ＋ — ＋ ］ ， 明 ａ［ ｑ ） ２ ｑ ｉ ） ｔ（ （
，
其 中 ＝
献［］ ３． 证明
见 文献 ［ ］ ３． 的 Ｂ ｒｍａ 量方 阵为 ｅｇ ｎ度
（） ４
引理 ３ 第 三 类超 Ｃ ｆ ｎ域 ａａ ｔ
：
ｆ ０ ＋ Ｍ，＋Ｍ＂＊Ｗ ／ ２ ， 。Ｔ （ … 一 ｗ
其 中 Ｍ ＝ ｌｇ （ ） ， 表 示对 Ｘ求导 ． ｏＧ Ｙ ，