函数的性质学案
学案3函数的基本性质-函数与导数
返回目录
＊对应演练＊
已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，当x>1时，f(x)>0， 且
f(x) ,则f(x) 既是
奇函数又是偶函数;
若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶
函数,即非奇非偶函数.
返回目录
5.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 , 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ( 填 “相同” “相反”）. (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积 是 偶函数 ; ②两个偶函数的和、积是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 .
返回目录
பைடு நூலகம்
【评析】对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在 某区间上的单调性问题,可以结合定义 ( 基本步骤为取 点、 作差或作商、变形、判断）求解 . 可导函数则可以利用导 数解之.
返回目录
＊对应演练＊
讨论函数f(x)=x+ a (a>0)的单调性. x
返回目录
解法一:显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)
上的单f(x调1)性-f(,x设2)x=1(>xx12>0xa,1则) - (x2 ∴当0<x2<x1≤ a 时，
则f(x1)-f(x2)<0， 即 f(x1)
a xa2
函数的图像和性质
学案3 函数的图像和性质一．基础自测1．（2010山东4）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3解析：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0,可求得b=-1,f(-1)=-f(1)=-2(2+2+b)=-3 答案：A 2．(2010天津南开区调研)已知ab ＝1，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：∵ab ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<b <1，a x为增函数，－log b x 为增函数0<a <1，b >1，a x为减函数，－log b x 为减函数. 答案：B3. 不等式1－x 2<x ＋a 在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－1，2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析：设y =1－x 2，y =x +a ，在同一直角坐标系内作出y =1－x 2的图象，再将函数y =x 的图象沿y 轴方向上、下平行移动，如右图所示，考查在x ∈[-1,1]上，使不等式1－x 2<x +a 恒成立． 答案：D4．(2010·山东烟台调研)已知函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时， f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点即为图象的交点如图，由图象可知有6个交点． 答案：C5.(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴ f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a＝2，故选C.答案：C6．2010天津10）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩则()f x的值域是 A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B ．[0,)+∞ C ．9[,)4-+∞ D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦解析:本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
高中数学第三章函数的概念与性质函数的概念学案新人教A版必修第一册
3.1.1 函数的概念课程标准(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一函数的概念要点二同一个函数如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数❷.要点三区间及有关概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：2.特殊区间的表示助学批注批注❶抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．批注❷只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．批注❸这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a <b.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．( )2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是( )A B C D3．区间(0，1)等于 ( )A．{0，1}B．{(0，1)}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0≤x≤1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 函数的概念例1 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是( )(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( ) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积方法归纳1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤2．判断一个对应关系是否为函数的方法巩固训练1 (多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( )A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝√xD．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0题型 2 求函数值(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x 例2 [2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝11+x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．方法归纳求函数值的2种策略巩固训练2 已知函数f(x)＝x+1.x+2(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．题型 3 求函数的定义域例3 求下列函数的定义域．； (2)y＝√x2−2x−3；(1)y＝2＋3x−2(3)y＝√3−x·√x−1； (4)y＝(x－1)0＋√2.x+1方法归纳求函数定义域的常用策略巩固训练3 (1)函数f (x )＝√1+x −1x的定义域是( )A ．[－1，0)∪(0，+∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，+∞)D ．R(2)函数f (x )＝√−x 2+6x −5的定义域为________．题型 4 同一函数的判断例4 下面各组函数中表示同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(√x )2B ．f (t )＝|t |，g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 2−1x−1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．巩固训练4 下列函数中与函数y ＝x 2是同一函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )43．1.1 函数的概念新知初探·课前预习[教材要点]要点一实数集 任意一个数x 唯一 要点二定义域 对应关系 要点三1．(a ，b ) (a ，b ]2．(－∞，＋∞) [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，a ] (－∞，a )[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：只有D 的函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点，故选D. 答案：D 3．答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)A 中至少存在一处如x ＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A 中至少有一个元素在集合B 中对应的元素不唯一，故A 不是函数图象，其余B ，C ，D 均符合函数定义．(2)对于选项B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．答案：(1)BCD (2)A巩固训练1 解析：选项A 中，对于A 中的任意一个实数x ，在B 中都有唯一确定的数y 与之对应，故是A 到B 的函数．选项B 中，对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．选项C 中，集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．选项D 中，对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．答案：ABD例2 解析：(1)∵f (x )＝11+x ，∴f (2)＝11+2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11，∴f (g (3))＝f (11)＝11+11＝112.巩固训练2 解析：(1)f (2)＝2+12+2＝34； (2)∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.例3 解析：(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x−2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)要使函数有意义，需x 2－2x －3≥0，即(x －3)(x ＋1)≥0，所以x ≥3或x ≤－1，即函数的定义域为{x |x ≥3或x ≤－1}．(3)函数有意义，当且仅当{3−x ≥0，x −1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)函数有意义，当且仅当{x −1≠0，2x+1≥0，x +1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．巩固训练3 解析：(1)由{1+x ≥0x ≠0，解得：x ≥－1且x ≠0.∴函数f (x )＝√1+x −1x 的定义域是[－1，0)∪(0，+∞)． (2)由－x 2＋6x －5≥0，得x 2－6x ＋5≤0，(x －1)(x －5)≤0， 解得1≤x ≤5，所以函数的定义域为[1，5]. 答案：(1)A (2)[1，5]例4 解析：对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，而g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B ，两个函数的定义域都为R ，定义域相同，g (x )＝√x 2＝|x |，这两个函数是同一个函数；对于C ，f (x )＝x 2−1x−1的定义域为{x |x ≠1}，而g (x )＝x ＋1的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D ，f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ≠0}，而g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．答案：B巩固训练4 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A。
正余弦函数性质学案2
1．4．3正弦函数、余弦函数的性质（2）【学习目标】1.会根据函数的解析式、诱导公式、图像探究正、余弦函数的奇偶性、对称性、单调性、最值等；能求正、余弦型函数的单调区间、最值、对称中心（或对称轴）等；2.通过探究性学习，激发同学们学习数学的兴趣和积极性，陶冶同学们的情操，培养同 学们坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.【学习重点】正、余弦函数的奇、偶性、单调性、最值、对称性． 【难点提示】正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3742P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了函数、三角函数等相关知识，请同学们回顾后完成下列填空：1.你怎样理解诱导公式口诀，它有几层含义： ；2.正、余弦型函数sin()cos(),y A x y A x x R ωϕωϕ=+=+∈、的周期T= ；3.在学习函数时，我们研究函数的性质包含的内容是： ；4.我们研究函数性质的主要方法是： 、 . ▲请感悟表内外的知识网络（建议自己在电脑自作），主动复习教材中相关知识，并将 不很熟悉的各知识内容填写在横线上或空白处.函数的奇偶性二次函数 图象、性质双勾函数 图象、性质指数函数 图象、性质对数函数 图象、性质幂函数 图象、性质三角函数 图象、性质函数最值单调性函数函数的表示法函数定义函数二、学习探究探究猜想 你能结合上面的知识（特别是观察正、余弦函数的图象），大胆的猜想或推导正、余弦函数具有哪些性质后，在阅读教材并完成下面内容：正弦函数的奇偶性： ；推证： ； 正弦函数的对称轴： 、对称轴中心： ； 正弦函数，当x = 时，最大值为： 、当x = 时，最小值为 ； 正弦函数，在R 上的单调性 、在区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的单调性 、在区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上的单调性 ()k Z ∈； 余弦函数的奇偶性： ；推证： ； 余弦函数的对称轴： 、对称轴中心： ； 余弦函数，当x = 时，最大值为： 、当x = 时，最小值为 ； 余弦函数，在R 上的单调性 、在区间[]2,2k k πππ+上的单调性 、 在区间[]2,2k k πππ-上的单调性 ()k Z ∈.挖掘拓展 你对这些性质还有哪些感悟呢？如：能说正弦函数在第四、一象限是增函数，在第二、三象限是减函数吗？为什么？能举例说明吗？对余弦函数呢？等. 三、典例赏析例1.（教材P38例3，请同学们先做在看教材的解答）解：解后反思 该题的题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？函数取得最值时，对应的x 的值有多少个？其表达式唯一吗？正、余弦函数图象、“五点法”周期函数概念、 正余弦函数周期 三角函数线三角函数的定义域、值域六组诱导公式 口诀及含义三角函数的基本关系式三角函数值所在象限的符号角α的三角函数定义任意角三角函数变式练习 求下列函数的最值及取得最值时x 的集合 (1)2cos 3xy =- (2)x y 2sin 2-= 解：例2. （教材P39例4，请同学们先做在看教材的解答） 解：解后反思 该题题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？在三角函数中，比较两个数的大小有哪些方法？求解该题的方法与步骤怎样？变式练习 （教材P40练习第5题） 解：例3.（教材P39例5，请同学们先做在看教材的解答） 解：解后反思 该题题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？在三角函数中，求函数的单调区间的入手点、关键点在哪里？该题若不给条件[]2,2x ππ∈-，能求该函数的单调区间吗？且单调区间的表示法唯一吗？变式练习 求1sin()32y x π=-，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间． 解：解后反思 该题与例3的题型、解法都一样吗？它的易错点在哪里？例4.求函数)24sin(2x y -=π的单调区间、对称轴、对称中心.解：解后反思 该题与例3的题型、解法都一样吗？解答该题的入手点、易错点在哪里？ 在函数式中，哪些量要影响函数的单调区间、对称轴、对称中心？变式练习 求函数31cos()1226y x π=---的单调区间、对称轴、对称中心. 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：对正、余弦函数所有的性质都掌握了吗？这些性质有哪些运用？本节课有哪些题型？运用了哪些数学思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价1.设函数R x x x f ∈-=),22sin()(π则)(x f 是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．函数)4sin(π+=x y 在闭区间（ ）上为增函数．A ]4,43[ππ-B ]0,[π-C ]43,4[ππ-D ]2,2[ππ-3．函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）A 2π-=xB 4π-=xC 8π=x D π45=x4.)(x f 为奇函数，=<+=>)(0,cos 2sin )(,0x f x x x x f x 时则时 ．5.求下列函数的值域： (1))32cos(23π-+=x y ；(2)x x y sin sin 212+-=.解：6.把下列三角函数值从小到大排列起来4sin5π， 5c o s 4π-， 32sin 5π ， 5cos 12π . 7.若1cos sin )(2+--=x a x x f 的最小值为-6，求a 的值． 解：8.（选做题）已知)(|cos ||sin |)(+∈+=N k kx kx x f(1) 求f （x ）的最小正周期； (2) 求f （x ）的最值；(3) 试求最小正整数k ，使自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f （x ）至少有一个最大值，一个最小值．解：承前启后 这两节我们学习了正、余弦函数的图象与性质，那么正切函数的图象与性质有怎样呢？。
对数函数及其性质(一)学案.doc
对数函数及其性质（一）的教后反思陈惠玲本节课是在学习了对数的运算性质以后的一堂新授课。
本节课的学习重点是要求学生掌握对数函数图象及其性质，并能利用性质进行简单的应用。
函数一直以来是学生数学上的一块硬伤，许多学生谈函数色变，如何让学生了解函数其实是我们生活中的一部分？如何有效地参与到课堂的学习中来，我决定采用学案的形式进行这节课的教学。
一课堂再现1、引例用清水漂洗含1个单位质量污垢的玩具，若每次能洗去污垢的二分之一，试写出漂洗次数y关于残留污垢x的关系式y=根据学生回答给出问题1： y=lo gl x是什么函数？2【设计意图】得出“漂洗次数y关于残留污垢x的关系式y=lo gl x ”时通过2问题“y=log| x是什么函数”来达到检查预习的目的，这样不仅突出了本节课的2主线一一对数函数，还和下面所学内容形成呼应。
2、新课探究探究任务一：对数函数概念的形成_般地，函数叫做对数函数，定义域是探究任务二：对数函数的图象和性质在同一个坐标系中先画出函数y -log2 %和y = logy 的图象，2 TX,・0. 51248・・y =iog2 %y = logj_x2教师活动：问题2：两函数图象有何关系？理由？学生回答并说明理由。
教师用几何画板分别演示以3、上、5、-> 10、土为底的对数函数图象。
3 5 10问题3：根据图象，可得出对数函数有哪些重要性质？学生回答完毕，教师用几何画板动态演示y = log fl x （a〉0且a尹1）的图象。
问题4：底数a的不同取值对函数y=log a x的图像与性质造成怎样的影响？（学生独立思考，师生共同总结）【设计意图】1.本阶段是课堂教学的重要环节，要充分考虑学生在探究过程可能会遇到的困难，让学生通过亲身实践，经过观察、分析、比较、综合和归纳，形成新知识。
这不仅有利于提高学生的学习兴趣和学习效率，同时也能使学生对学习知识持有一种科学的认知方法。
2.教师坚守“活动前有问题，活动中有指导，活动后有小结”的原则进行教学，维持学生探索新知的热情。
高中数学第三章函数的概念与性质3-1函数的概念及其表示第1课时函数的概念学案新人教A版必修第一册
1第一节 函数的概念及表示 第1课时 函数的概念课标要点核心素养1．理解函数的概念，会用集合语言刻画函数，体会对应关系在函数定义中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域和值域的求解，培养数学运算素养和逻辑推理素养．1．函数的概念（1）定义：一般的，设A 、B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y =f （x ），x ∈A ，其中x 称为自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：对应关系：f ，f 一定要保证一个x 只对应一个y ．定义域：在函数y =f （x ），x ∈A 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域． 值域：所有函数值构成的集合{y |y =f （x ），x ∈A }叫做这个函数的值域． 2．两个函数相同一般地，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系也完全一致（即相同的自变量对应的函数值也相同），那么这两个函数是同一个函数． 3．区间设a ，b 是两个实数，而且a <b ，我们规定：（1）满足不等式a ≤x ≤b 的x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]． （2）满足不等式a <x <b 的x 的集合叫做开区间，表示为（a ，b ）．（3）满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b ）（a ，b ]． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点，这几个区间的几何表示：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b } 开区间 （a ，b ） {x |a ≤x <b }半开半 闭区间 [a ，b ）{x |a <x ≤b } 半开半 闭区间（a ，b ]在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．实数R 可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”． 无穷区间的表示 定义 {x |x ≥a } {x |x >a }{x |x <a }{x |x ≤a } R 符号[a ，+∞）（a ，+∞） （-∞，a ）（-∞，a ]（-∞，+∞）（1）[a ，b ]，（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，四个区间形式中一定是“左端点小右端点大”a <b ． （2）∞端点一定是取不到的，出现∞的一端一定用小括号．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）函数y =f （x ）=x 2，x ∈A 与u =f （t ）=t 2，t ∈A 表示的是同一个函数． （ ） （2）函数y =f （x ）=x 2，x ∈[0，2]与g （x ）=2x ，x ∈[0，2]表示的是同一个函数． （ ） （3）函数f （x ）=x 2，x ∈[0，2]与h （x ）=x 2，x ∈（0，2）表示同一个函数． （ ）（4）两个函数的定义域相同值域也相同，则两个函数表示同一个函数． （ ）（5）f （x ）=√1-x +√x -2是一个函数．（ ）[解析] （1）√ 两个函数定义域相同，对应关系也相同．（2）× 两函数的对应关系不同． （3）× 两函数的定义域不同．（4）×值域可以由定义域和对应关系唯一确定，当且仅当定义域和对应关系相同才是同一个函数．反例f（x）=x与f（x）=-4x的定义域和值域相同，但不是同一个函数．（5）×此题x范围是空集，而函数要求定义域是非空数集，故不是函数．[答案] （1）√（2）×（3）×（4）×（5）×函数的定义与函数相等兴趣探究中（1）I是R的函数吗？（2）R是I的函数吗？[思考] 1．电路中的电压U=220v，电流I与电阻R之间的变化规律，用欧姆定律表示，即I=220x2．炮弹的运动轨迹中，炮弹的高度H与时间t的关系H=v0t-xx2（t>0）中（1）H是t的函数吗？（2）t是H的函数吗？2[解析] 1．每一个R对应一个I，而且每一个I对应一个R，满足函数定义．故1中两问都是函数．2．每一个t对应一个H，而且每一个H对应两个t，不满足函数定义．故2中两问（1）是函数，（2）不是函数．[答案] 1．（1）是（2）是2．（1）是（2）不是知识归纳1．判断对应关系是否为函数的2个条件（1）A，B必须是非空数集．（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．即对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法（1）先看定义域，若定义域不同，则不相等；（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．考向例题考向一判断函数关系【例1】判断下列对应关系f是不是定义在集合A上的函数．（1）A=N，B=N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；（2）A={-1，1，2，-2}，B={1，4}，对应法则f：x→y=x2，x∈A，y∈B；（3）A={-1，1，2，-2}，B={1，2，4}，对应法则f：x→y=x2，x∈A，y∈B；（4）A={三角形}，B={x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．[解析] （1）对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．（2）对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．（3）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．（4）集合A不是数集，故不是函数．[答案] （1）不是（2）是（3）是（4）不是即时巩固判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．；①A=R，B=R，对应法则f：y=1x2②A={1，2，3}，B=R，f（1）=f（2）=3，f（3）=4；③A={1，2，3}，B={4，5，6}，对应法则如图所示．的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．[解析] ①A=R，B=R，对于集合A中的元素x=0，在对应法则f：y=1x2②由f（1）=f（2）=3，f（3）=4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．[答案] ①不是②是③不是考向二判断同一个函数【例2】下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=√x2，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=x2x3，g（x）=xC．f（x）=√x3D．f（x）=x2，g（x）=（√x）423[解析] 选项A 中，由于f （x ）=√x 2=|x |，g （x ）=x 两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；选项B 中，由于f （x ）=x 的定义域为R ，g （x ）=x 2x 的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C 中，f （x ）=√x 33=x ，g （x ）=x 的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；选项D 中，f （x ）=x 2的定义域为R ，g （x ）=（√x）4=x 2的定义域为[0，+∞），两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．[答案] C函数的三要素兴趣探究[思考] （1）函数y =x -1和函数y =x 2-1x +1定义域是否相同？是不是同一个函数？为什么？ （2）函数y =√x 3和y =√x 64定义域是否相同？是不是同一个函数？为什么？ [答案] （1）y =x -1的定义域是R ，函数y =x 2-1x +1的定义域是{x |x ≠-1}，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数．（2）y =√x 3的定义域是{x ∈R|x ≥0}，函数y =√x 64的定义域是R ，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数． 知识归纳函数定义域求解要考虑函数解析式中的分母不为零，偶次根式中的被开方数要大于等于0，有时还要考虑到实际问题的实际意义． 考向例题考向一 求函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域：（1）f （x ）=2+3x -2；（2）f （x ）=（x -1）0+√2x +1； （3）f （x ）=√3-x ·√x -1； （4）f （x ）=(x +1)2x +1-√1-x．[解析] （1）当且仅当x -2≠0，即x ≠2时， 函数f （x ）=2+3x -2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．（2）函数有意义，当且仅当{x -1≠0,2x +1≥0,x +1≠0,解得x >-1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >-1且x ≠1}． （3）函数有意义，当且仅当{3-x ≥0,x -1≥0,解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}． （4）要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足{x +1≠0,1-x ≥0,解得x ≤1且x ≠-1， 即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠-1}．[答案] （1）{x |x ≠2} （2）{x |x >-1且x ≠1}． （3）{x |1≤x ≤3} （4）{x |x ≤1且x ≠-1}． 方法技巧：求函数定义域的常用方法（1）若f （x ）是分式，则应考虑使分母不为零． （2）若f （x ）是偶次根式，则被开方数大于或等于零．（3）若f （x ）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． （4）若f （x ）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． （5）若f （x ）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 即时巩固1．下列函数的定义域不是R 的是 （ ）A ．y =x +1B ．y =x 2C ．y =1xD ．y =2x[解析] A 中为一次函数，B 中为二次函数，D 中为正比例函数，定义域都是R ；C 中为反比例函数，定义域是{x |x ≠0}，不是R ． [答案] C2．已知函数f （x ）=√2-x的定义域为M ，g （x ）=√x +2的定义域为N ，则M ∩N = （ ）A ．{x |x ≥-2}B ．{x |x <2}C ．{x |-2<x <2}D ．{x |-2≤x <2}[解析] 由题意得M ={x |x <2}，N ={x |x ≥-2}，4所以M ∩N ={x |-2≤x <2}． [答案] D 考向二 求函数值 【例3】 已知f （x ）=11+x（x ∈R ，且x ≠-1），g （x ）=x 2+2（x ∈R ）．（1）求f （2），g （2）的值； （2）求f [g （3）]的值． [解析] （1）∵f （x ）=11+x，∴f （2）=11+2=13．又∵g （x ）=x 2+2，∴g （2）=22+2=6． （2）∵g （3）=32+2=11， ∴f [g （3）]=f （11）=11+11=112．[答案] （1）f （2）=13g （2）=6 （2）f [g （3）]=112方法技巧：求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，用a 替换表达式中的x 即得f （a ）的值．对于f [g （x ）]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g （x ）]与g [f （x ）]的区别和函数求值的方法． 即时巩固已知函数f （x ）=x 2+x -1．（1）求f （2），f （1x ），f （a +1）； （2）若f （x ）=5，求x ． [解析] （1）f （2）=22+2-1=5，f （1x ）=1x 2+1x -1=1+x -x 2x 2，f （a +1）=（a +1）2+（a +1）-1=a 2+3a +1．（2）∵f （x ）=x 2+x -1=5， ∴x 2+x -6=0，解得x =2或x =-3． 考向三 求函数值域【例4】求下列函数的值域．（1）y =2x -1，x ∈{1，2，3，4，5}； （2）y =√x -1； （3）y =xx +1． [解析] （1）（直接法）将x =1，2，3，4，5分别代入y =2x -1计算得函数的值域为{1，3，5，7，9}． （2）（观察法）∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴√x≥0，∴√x -1≥-1．∴函数y =√x -1的值域为[-1，+∞）． （3）（分离常数法）∵y =xx +1=1-1x +1， 且定义域为{x |x ≠-1}，∴1x +1≠0，即y ≠1． ∴函数y =xx +1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}． [答案] （1）{1，3，5，7，9} （2）[-1，+∞） （3）{y |y ∈R ，且y ≠1}． 即时巩固求函数y =3-xx +1的值域． [解析] ∵y =3-xx +1=-1+4x +1，且定义域为{x |x ≠-1}，∴1x +1≠0，即y ≠-1． ∴函数y =3-xx +1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠-1}． [答案] {y |y ∈R ，且y ≠-1}1．下列对应关系是从集合M 到集合N 的函数的是 （ ）A ．M =R ，N ={x ∈R |x >0}，f ：x →|x |B ．M =N ，N =N *，f ：x →|x -1| C ．M ={x ∈R |x >0}，N =R ，f ：x →x 2D ．M =R ，N ={x ∈R |x ≥0}，f ：x →√x5[解析] 对于A ，集合M 中x =0时，|x |=0，但集合N 中没有0；对于B ，集合M 中x =1时，|x -1|=0，但集合N 中没有0；对于D ，集合M 中x 为负数时，集合N 中没有元素与之对应；分析知C 中对应是集合M 到集合N 的函数． [答案] C2．已知函数f （x ）=x 21+|x -1|，则f （-2）= （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 [解析] 由题意知f （-2）=(-2)21+|-2-1|=44=1[答案] C3．下列函数中，值域为（0，+∞）的是 （ ）A ．y =√xB ．y =√xC ．y =1x D ．y =x 2+1[解析] y =√x的值域为[0，+∞），y =1x 的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），y =x 2+1的值域为[1，+∞）．[答案] B 4．函数y =1-√1-x的定义域为 ．[解析] 由{1-x ≥0,1-√1-x ≠0解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为（-∞，0）∪（0，1]． [答案] （-∞，0）∪（0，1] 5．求下列函数的值域：（1）y =x +1，x ∈{1，2，3，4，5}； （2）y =2x +1x -3．[解析] （1）（观察法）因为x ∈{1，2，3，4，5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2，3，4，5，6}． （2）（分离常数法）y =2x +1x -3=2(x -3)+7x -3=2+7x -3，显然7x3≠0，所以y ≠2．故函数的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）．。
函数的基本性质 学案 说课稿 课件
月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（二）经典例题二、知识要点1.增函数和减函数: 一般地，设函数()f x的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x f x<，那么就说函数()f x在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x f x>，那么就说函数()f x在区间D上是减函数.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：（1）取值.即设12,x x是该区间内的任意两个值且12x x<.（2）作差变形.求21()()f x f x-，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.（3）定号.根据给定的区间和21x x -的符号确定21()()f x f x -的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论. （4）判断.根据单调性定义作出结论.即取值——作差——变形——定号——判断.函数()f x 在给定区间上的单调性，反映了函数()f x 在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，即若证明()f x 在［a ，b ］上是递增的，就必须证明对于区间［a ，b ］上任意的两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <成立，而不可以用两个特殊值来替换，但是要否定一个函数在某一区间上的单调性，只要举一个反例即可.误区警示 函数单调性定义中的12,x x 有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即“任意”取12,x x ，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定12x x <三者缺一不可. ( 三)经典例题1．根据函数图象判定单调性例1 如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【思路分析】利用函数单调性的几何意义.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数. 【解析】☆变式练习2根据函数()y f x =的图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【解析】2. 函数单调性的证明例2 证明函数()21f x x =-在区间(,)-∞+∞上是增函数.【思路分析】根据函数单调性的定义进行证明，要注意证明的方法和步骤. 【证明】☆变式练习2 证明函数1()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数. 【证明】三、总结提升1、本节课你主要学习了2、依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤： 四、问题过关1、函数()y f x =的图象如图1所示，则函数()f x 的单调递增区间为 单调递减区间为2、函数()y f x =的图象如图2所示，则函数()f x 的单调递增区间为 单调递减区间为3、函数()y f x =的图象如图3所示，则函数()f x 的单调递增区间为 单调递减区间为图1 图2 图3 4、如图所示的是定义在闭区间［－4，7］上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f （x ）是增函数还是减函数？。
高中数学 13 函数的基本性质 2 函数的奇偶性学案 新人教A版必修1 学案
函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：Af（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：Af （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x α、β是锐角三角形的两个内角， ∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0.∴f （sin α）＞f （cos β）.答案：Bf （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________. 解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：31 0 5.给定函数:①y=x 1（x ≠0）；②y=x 2+1；③y=2x ；④y=log 2x ；⑤y=log 2（x+12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】 已知函数y=f （x ）是偶函数，y=f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减.∵y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A.答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x+1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ； （4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（|x+1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x+1|－|x －1|是奇函数.xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且 故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有xf （x ）=2212-+-x x =xx 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数. （4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值X 围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0. 令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值X 围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}. 评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b ）B.（－b ，－a 2） C.（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2） 提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f ∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）. 答案：C【例4】 （2004年某某模拟题）已知函数f （x ）=x+x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.（2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m=－x －xp －m. ∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数. ①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数，∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p }. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f（2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x+xp （p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.函数的基本性质要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.2函数的基本性质Word版含答案
【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性．一、预习导入阅读课本76-80页，填写。
1．增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝1x在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )(3)任何函数都有最大值或最小值．( )(4)函数的最小值一定比最大值小．( )2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )A．[－4,4] B．[－4，－3]，[1,4]C．[－3,1] D．[－3,4]3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 4．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋15．函数f (x )＝2x，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________． 题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x . 跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三1.求证：函数f(x)＝21x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 题型四 利用函数的单调性求最值例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)＝6x−1(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34⎛⎫⎪⎝⎭的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)−f(b)a−b>0，则必有( )A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )A．－1 B．0C．1 D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A．[160，＋∞) B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是。
18.3.3一次函数的性质 学案
18.3.3《一次函数的性质》学案学习目标知识与技能：会画一次函数图象并总结一次函数图象特征。
过程与方法：利用大量数据画一次函数图象。
情感态度与价值观：体会数形结合思想。
学习过程一、回顾旧知：1、一次函数的概念？2、画函数图象的步骤为：二、探究新知1、让学生在准备好的方格纸上在同一平面直角坐标中分别画出下列每组函数图象。
⑴ y=x+1 ⑵y=x-1 ⑶y=2x+2 ⑷ y=2x-2⑸y=-x-1 ⑹y=-x+1 ⑺y=-2x+4 ⑻y=-2x-42、观察以上图像并写出每个函数图象与坐标轴的交点坐标。
3、以组为单位互相观察以上函数图象，你从这些图像中发现了什么？请你总结一下。
（小组讨论）三、应用新知（A）1、完成课本练习1、2题。
2、一次函数图象是 。
3、如图1 y=kx+b 的图像，则k o,b o.4、点P(2, M )在直线y=-3x-5上，则M= .5、将直线y=x+2向上平移4个单位得到直线 。
向下平移2个单位得到直线 。
（B ）6、直线y=4x-6过（ ， ），（ ， ）。
直线y=-3x-5过（ ， ），（ ， ）。
一次函数y=kx+b(k ≠0)图象一定经过（0, ）,( ,0)点。
7、在下列函数 y 1=x-1,y 2=-2x ＋1,y 3=2x+1,y 4=x+3,y 5=-2x-4,y 6=2x+4 图象中互相平行有 相交于y 轴的有 ，相交于x 轴的有 。
（提示：k 相同互相平行，b 相同相交于y 轴，k b -相同相交于x 轴.）8、函数y=kx+b(k ≠0),当k ＞o,b ＜o 时，该函数图像经过 象限；当k ＜o,b ＜o 时，该函数图像经过 象限；当k ＞o,b ＞o 时，该函数图像经过 象限；当k ＜o,b ＞o 时，该函数图象经过 象限。
9、下列函数中不经过第一象限的函数是（ ）A y=2x-1B y=2x+1C y=-2x+1D y=-2x10、关于x 的函数y=(3a-7)x+5,y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围( ).（C ）10、函数y=kx+b(k ≠0)，当k 0，y 随x 的增大而增大; 当k 0，y 随x 的增大而减小.如y=3x-2图像上有倆点（x 1 ,y 1 ）,(x 2 ,y 2 ),当x 1 ＞x 2时，y 1 y 2.。
高中数学函数性质的教案
高中数学函数性质的教案
教学内容：函数的性质
教学目标：
1.了解函数的定义，了解函数的性质；
2.能够判断一个函数是奇函数还是偶函数；
3.能够判断一个函数的周期性。
教学重点：
1.函数的定义；
2.奇函数与偶函数的判断；
3.函数的周期性。
教学难点：
1.如何判断函数的奇偶性；
2.如何判断函数的周期性。
教学过程：
一、引入：通过实景图片或实例引入函数的概念，让学生了解函数的定义及其作用。
二、理解：讲解函数的定义及性质，让学生对函数有一个全面的认识。
三、实例分析：通过几个具体的函数实例，让学生判断这些函数是奇函数还是偶函数，同时判断这些函数的周期性。
四、练习：让学生自行解答几道函数性质相关的题目，巩固所学知识。
五、总结：总结本课内容，强调函数的性质对数学问题的解决的重要性。
六、作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固所学内容。
七、反馈：下节课进行作业批改及学生问题解答，及时纠正学生的错误认识。
教学工具：投影仪、实例图片、幻灯片、黑板白板等。
教学评估：
1.学生能够准确判断函数的奇偶性；
2.学生能够准确判断函数的周期性；
3.学生能够解决相关的函数性质问题。
新人教A版必修1高中数学§1.3函数的基本性质学案
高中数学 §1.3函数的基本性质学案 新人教A 版必修1学习目标：1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习难点：函数的基本性质的综合运用学习重点：函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；预习案：（复习教材P 27~ P 36，找出疑惑之处）复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？例题剖析：例1判断函数y ＝x 2－2|x |－3的奇偶性，并作出图象指出单调区间及单调性.例2 已知f (x )是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.小结：定义在R 上的奇函数的图象一定经过 . 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性 ，偶函数在关于原点对称区间上的单调性例3 已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.当堂检测：1、 已知f (x )是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f (x )在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 .2、函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围 （ ）.A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-3、下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（ ）.A ．1y x =-+B ．y ．245y x x =-+ D ．2y x =4、 已知函数y =2ax bx c ++为奇函数，则（ ）.A. 0a =B. 0b =C. 0c =D. 0a ≠课后作业：1、设()f x 在R 上是奇函数，当x ≥0时，()(1)f x x x =+，画出函数的图象并求出()f x 的表达式是什么？2、判别下列函数的奇偶性：（1）y ＝ （2）y ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩.3、课本第44页8、9、10。
正余弦函数的性质学案1
1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质（1）【学习目标】1.能举例说明周期函数的定义和图象的特点，明白周期函数的周期和最小正周期的定义；2.能结合诱导公式（一）理解与记忆正弦、余弦函数的周期；能求简单的正、余弦型函数的最小正周期3.让同学们自己根据函数图像、诱导公式探究出正、余弦函数的周期性，领会从特殊 到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发同学们学习数学的兴趣.【学习重点】正、余弦函数的周期性，会用定义法、公式法和图象法求一些函数的周期 【难点提示】正、余弦函数最小正周期性的理解，函数周期性的应用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3437P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一．学习准备前面我们学习了三角函数相关知识，请同学们回顾后完成下列填空： 1. 完成下面表中的内容： 2.上节课学习作正、余弦函数图象有哪些作图的方法 ； 3.正弦函数()sin ,y f x x x R ==∈具有怎样的特征 ； 二．学习探究联想与猜想 你能从下面的问题中悟出写什么？你会勇敢地作出一些猜想吗？ （1）今天是星期几？过了七天又是星期几？过了十四天呢？……，这是什么特征呢？ （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？（3）从上节课知正弦函数()sin ,y f x x x R ==∈具有特殊的特征，作出大胆的猜想！ 思考与分析 再次从下面正弦函数的部分图象观察深刻体会整个正弦函数图象的规律：思考分析下面问题：1.结合图象，仔细分析诱导公式sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈，从公式的左边到右边是否有函数值重复出现的情况？本质是什么？2.设()sin f x x =，当k Z ∈且0k ≠时，上述公式是否具备()()f x T f x +=（x R ∈）？其中T 等于什么？具有这样特征的函数，你能给它取个名字吗？能给出一般的定义吗？阅读归纳 请仔细阅读教材P34—35，归纳出周期函数的概念：周期函数的概念 ； 快乐体验 1.判定下列函数哪些是周期函数？ (1)(),;f x x x R =∈[]1(2)()2sin ,;(3)()3,;(4)(),,;sin (5)()2sin ,10,10;(6)()2cos(),.3f x x x R f x x R f x x k k Z xf x x x f x x x R ππππ=∈=∈=≠∈=∈-=+∈ 解： 2.等式2sin()sin 636πππ+=是否成立？若成立，能否说23π是正弦函数y=sinx,x ∈R 的一个周期吗？ 为什么？解：3. （教材P35的例2，请同学们先做，再看答案）求下列函数的周期：1(1)3cos,;(2)sin 2,;(3)2sin(),.26y x R y x x R y x x R π=∈=∈=-∈ 解：解后反思 1.你能从以上练习中感悟到什么？对周期函数定义有没有更深刻的认识？ 2.对练习中的第3题，你解对了吗？你的解答、书写与教材的解答、书写一样吗？谁更好？3.第3题的函数式有什么特征？能运用第3题的解法推到一般吗？即，能求出正、余弦型函数sin()cos(),y A x y A x x R ωϕωϕ=+=+∈、的周期吗？（仔细阅读教材P37—38）– –π2π 2π- π5ππ-2π-5π-O xy 11-挖掘拓展 1.你能举例说明你对周期函数概念的理解吗？该定义中有哪些关键词？ 2.在周期函数的定义()()f x T f x +=中，x 和T 的意义是什么？有什么限定？（链接1） 3.是不是只有正、余弦函数才是具有周期性的函数？你能举例说明吗？4.一个周期函数的周期是否唯一？若不唯一，这些周期有怎样的关系？是否存在一个最小的正的周期？能举例说明吗？3()k k Z π∈是正、余弦函数的周期吗？（链接2）5.函数sin ,cos y x y x ==的最小正周期都是 ；6. 正、余弦型函数sin()cos(),y A x y A x x R ωϕωϕ=+=+∈、的周期T= . 三、典例赏析例1. 求下列函数的周期.1(1)2sin (),;(2)sin ,;3y x x R y x x R π=-∈=∈解：解后反思 该题的题型、结构怎样？如何求解的？运用的什么思想方法？从这些题中你发现有什么规律吗？（链接3）变式练习 求下列函数的周期.（1）()cos3f x x =； （2）()2sin()23x g x π=- （3）xy cos 2= 解：例2.已知函数f(x)的定义域是R ，且对任意实数x 总存在)1()1()(-++=x f x f x f 求证：f(x)为周期函数.证：解后反思 该题的题型、结构怎样？求解的入手点、关键点？运用的什么思想方法？ 变式练习 已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3(1)2,()()0,2f f x f x =++=求(8)f . 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：本节课的重点是什么？周期函数的概念理解与掌握了吗？能求正、余弦型函数的周期了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价1.下列四个函数中为周期函数的是（ ）A.y=4；B.03y x =；C.R x x y ∈=||sin ； D.1sin (0)y x R x x=∈≠且2．设0≠a ，则函数sin(1)y ax =+的最小正周期为 （ ）A.a πB.||a πC.a π2D.||2a π3．函数x x y cos sin +=的最小正周期是（ ） A4π B 2πC πD 2π 4．求下列函数的最小正周期： （1）4sin(),32xy T ππ=+= ．（2）cos(2),12y x T ππ=-= ． 5．若函数)f x （是以2为周期的函数，且)2f π=（1，则(2011)f =6.教材P46习题1.4A 组第10题、B 组第3题（认真完成，仔细研究） （选做题）已知函数)0(,1)63sin(3≠+--=k x k y π（1）求最小正整数k ，使函数周期不大于2；（2）当k 取上述最小正整数时，求函数取得最大值时相应x 的值． 解：承前启后 本节课我们学习了周期函数的概念，知道了正、余弦函数均是周期函数，那么正、余弦函数还具有哪些性质呢？【学习链接】链接1. 在周期函数的定义中，特别要注意x 是函数定义中的任意值，周期函数的定义域必须具有周期性.链接2. 一个周期函数的周期不唯一，有无数个周期；一般的数均有最小正周期0T ，其它的周期是0T 的整数倍，在没有特别说明的情况下，一个函数的周期就是指其最小正周期．个别的特殊的周期函数没有最小正周期，如：函数2,y x R =∈是一个周期函数，有无数个周期，并没有最小正周期，3()k k Z π∈不是正、余弦函数的周期；链接3.正、余弦型函数外面的系数不影响周期，但自变量的系数要影响周期，在外面加绝对值周期减半，在里面加绝对值不是周期函数.。
高中数学第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1第1课时函数的概念一学案含解析第一册
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3。
1.1函数的概念【素养目标】1．通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．（数学抽象）2．了解构成函数的三要素．(数学抽象)3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象）4．理解同一个函数的概念．（数学抽象)5．能判断两个函数是否是同一个函数．（逻辑推理）【学法解读】1．函数概念的引入,学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x）的含义，学生要加深理解．第1课时函数的概念(一）必备知识·探新知基础知识知识点1函数的概念定义设A、B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数,记作y＝f（x）,x ∈A三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域__x__的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.思考1：(1）对应关系f一定是解析式吗？(2)f（x)与f（a）有何区别与联系?提示：（1）不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格,或文字描述等形式．(2)f(x)与f(a）的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f（x）的值,是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量,f（a）是f(x）的一个特殊值．知识点2区间及有关概念(1）一般区间的表示．设a，b∈R，且a〈b，规定如下：定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间__[a，b］__{x｜a＜x ＜b}开区间__(a,b）__｛x｜a≤x ＜b｝半开半闭区间__［a，b）__{x|a＜x≤b}半开半闭区间__（a，b］__(2）特殊区间的表示．定义R{x｜x≥a｝{x｜x〉a}｛x|x≤a}{x｜x<a}符号__（－∞,＋∞)____[a，＋∞)____(a，＋∞）____(－∞,a］____(－∞，a）__思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞"或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？提示：（1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．（2)“∞"读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号．基础自测1．区间［5，8）表示的集合是（C）A．｛x|x≤5或x>8}B．｛x｜5<x≤8}C．{x|5≤x〈8｝D．{x｜5≤x≤8}［解析］区间[5,8）表示的集合是{x|5≤x〈8｝，故选C．2．已知f(x）＝2x＋1,则f(5)＝(C)A．3 B．7C．11 D．25［解析]f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．3．（2019·江苏,4)函数y＝7＋6x－x2的定义域是__［－1,7]__.［解析]要使函数y＝错误!有意义，应满足7＋6x－x2≥0，∴x2－6x－7≤0，∴（x－7)（x＋1)≤0，∴－1≤x≤7，∴函数y＝错误!的定义域是［－1，7]．4．已知f(x)＝错误!，g(x)＝－x2＋2。
学案6：7.3.2 正弦型函数的性质与图像（一）
7.3.2正弦型函数的性质与图像(一)学习目标1.理解y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图像的影响．掌握y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)图像间的变换关系.2.理解用五点法作图作y＝A sin(ωx＋φ)的图像.3.了解y＝A sin(ωx＋φ)图像的物理意义，能指出振幅、周期、频率、初相．4.会求正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期、单调性、最值、值域．知识梳理知识点一正弦型函数一般地，形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都为常数，且A≠0，ω≠0.正弦型函数的性质1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y＝sin x图像上所有的点向(当φ＞0时)或向(当φ＜0时)平行移动个单位而得到的．2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)图像上所有点的横坐标(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标)而得到的．3．A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图像的影响函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标(当A ＞1时)或(当0＜A＜1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到的．知识点三正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)中，A，ω，φ的物理意义1．振幅：.2．初相：.3．周期：T＝2π|ω|.4．频率：f ＝1T ＝|ω|2π.题型探究探究一 三角函数的图像变换例1.说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图像是由y ＝sin x 的图像怎样变换的？反思感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x 前系数，当x 前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx →ωx ＋φ的平移量为⎪⎪⎪⎪φω个单位．先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对像是减少错误的好方法．跟踪训练1.把函数y ＝cos 2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )二、用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像 例2.作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图像．反思感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点．(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图像． 跟踪训练2.作出y ＝2.5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像．三、正弦型函数的周期例3．求下列函数的周期 (1)y ＝12sin π3x ；(2)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.反思感悟 对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的函数的最小正周期的求法，常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于形如y ＝|A sin ωx |的函数的周期情况常结合图像法来求解． 跟踪训练3．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期是( ) A ．－3－1，π B ．－3＋1，π C ．－3，π D ．－3－1，2π 四、正弦型函数的单调性例4．求函数y ＝3sin(π3－x2)的单调增区间．反思感悟 求正弦型函数的单调区间的策略 (1)结合正弦函数的图像，熟记它的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．当A >0时y ＝A sin z 与y ＝sin x 的单调性相同，当A <0时，y ＝A sin z 与y ＝sin x 的单调性相反． (3)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈D 的单调区间时，先求y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的单调区间，再把所求的单调区间和区间D 取交集即得y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈D 上的单调区间． 跟踪训练4.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈[0，π]的单调递增区间为______________________． 五、正弦型函数的最值、值域例5．求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 的取值集合． (1)y ＝3sin(2x －2π3)；(2)y ＝3－2sin(3x ＋π6)．反思感悟 形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用正弦函数的图像、有界性求出y ＝A sin t 的最值(值域)． 跟踪训练5．已知函数f (x )＝2cos(π3－x2)，若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值、最小值．课堂小结 1．知识清单： (1)平移变换． (2)伸缩变换． (3)五点法作图．(4)正弦型函数的周期公式． (5)正弦型函数的单调性． (6)正弦型函数的最值、值域．2．方法归纳：整体代换思想，换元思想，数形结合． 3．常见误区：(1)先平移和先伸缩时平移的量不一样．(2)单调区间漏写k ∈Z ，用集合表示，以及用并集符号连接． 当堂检测1．函数y ＝2sin(2x ＋π3)＋1的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．最大值是12，周期是6π，初相是π6的三角函数的表达式可能是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 3．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度4．把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原 的13倍，得________的图像．5．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________．6．已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．参考答案知识梳理知识点一 正弦型函数 正弦型函数的性质1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图像的影响 左 右 |φ|2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图像的影响 缩短 不变3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响 伸长 A知识点三 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，A ，ω，φ的物理意义 1．|A | 2．φ例1.解：法一 (先伸缩后平移)y ＝sin 的图像――→各点的纵坐标伸长到原 的2倍横坐标不变y ＝2sin 的图像y ＝2sin(2x )的图像y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像向上平移1个单位长度,y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图像． 法二 (先平移后伸缩)y ＝sin 的图像――→各点的纵坐标伸长到原 的2倍横坐标不变y ＝2sin y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像――→向上平移1个单位y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图像． 跟踪训练1.【答案】A【解析】变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确．例2.解：(1)列表：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π43－3描点、连线如图所示：跟踪训练2.解：令X ＝2x ＋π4，则x ＝12⎝⎛⎭⎫X －π4.列表： X 0 π2π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y2.5－2.5描点连线，如图所示．例3.解：法一 (1)y ＝12sin π3x＝12sin(π3x ＋2π) ＝12sin ⎣⎡⎦⎤π3（x ＋6）， ∴此函数的周期为6. (2)y ＝3sin(2x ＋π6)＝3sin(2x ＋π6＋2π)＝3sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋π）＋π6， ∴此函数的周期为π法二 (1)T ＝2ππ3＝6.(2)T ＝2π2＝π.跟踪训练3.【答案】A【解析】∵3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小值是－ 3. ∴f (x )的最小值是－3－1. f (x )的周期T ＝2π2＝π.例4.解：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－x 3＝3sin(x 2＋2π3)， 由－π2＋2k π≤x 2＋2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－7π3＋4k π≤x ≤－π3＋4k π，k ∈Z .∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－7π3，4k π－π3( k ∈Z )． 跟踪训练4.【答案】⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π 【解析】令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，又因为0≤x ≤π，∴0≤x ≤π3或5π6≤x ≤π，∴原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π. 例5.解：(1)当2x －2π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋7π12(k ∈Z )时，y max ＝3，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋7π12，k ∈Z . 当2x －2π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，y min ＝－3，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z . (2)当3x ＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝2k π3－5π18(k ∈Z )时，y max ＝5，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π3－5π18，k ∈Z . 当3x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π3＋π18，k ∈Z 时，y min ＝1，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π3＋π18，k ∈Z . 跟踪训练5. 解：f (x )＝2cos(π3－x 2)＝2cos(x 2－π3)．由－π≤x ≤π，得－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，[f (x )]max ＝2. 当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，[f (x )]min ＝－ 3. 当堂检测 1．【答案】B 【解析】 T ＝2π2＝π.2．【答案】A【解析】由T ＝2πω，∴ω＝2π6π＝13，∴y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6. 3．【答案】D【解析】∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴将函数y ＝sin 2x 的图像向右平行移动π6个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像． 4．【答案】y ＝13sin 3x【解析】 将y ＝sin x 的图像横坐标缩短到原 的13倍得y ＝sin 3x 的图像，纵坐标再缩短为原的13倍得y ＝13sin 3x 的图像． 5．【答案】5π6【解析】本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图像，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，结合－π≤φ<π知φ＝5π6.6．解：∵－π2≤x ≤π2，∴－π≤2x ≤π，－54π≤2x －π4≤34π.(1)列表如下x －π2 －3π8 －π8 π8 3π8 π2 2x －π4－54π －π －π2 0 π2 34π f (x )211－211＋22(2)描点连线成图，如图所示：。
正弦函数、余弦函数的图象和性质学案1第1课时
课 题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（1）教学目的：1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．3．理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法．教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．教学难点：用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx ==αcos 二、讲解新课：2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线和余弦线．第二步：描点．把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．第三步：连线得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．现在来作余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象:第一步:列表表就是单位圆中的余弦线．第二步:描点．余弦线1O A “竖立”起来成为AA ′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x 轴上相应的点x 重合，则终点就是余弦函数图象上的点．第三步：连线．得到余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象．以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：探究：（1）y=cosx, x∈R与函数y=sin(x+ 90 0) x∈R的图象相同（2）将y=sinx的图象向左平移90 0即得y=cosx的图象（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x∈[0,2π]的五个点关键是4．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式：通过例2介绍方法三、讲解范例：例1作下列函数的简图(1) y = -- sinx，x ∈[ 0 ，2π]，(2) y = -- cosx，x∈[ 0 ，2π]，(3) y = 1 + sinx，x∈[0，2π]，(4) y = cosx + 1 ，x∈[0，2π]，结论：函数 f ( x ) , -- f ( x ) , f (-- x ) , f ( x ) + a例2作下列函数的简图(1) y = sin 2 x，x ∈[ 0 ，2π]，(2)y = sin ( x + 90 0 )(3) y = 3 cosx ，x∈[0，2π]，（4）y = | cosx | ，x∈[0，2π]，结论：函数 f ( x + a ) , a f ( x ) , f (a x ) ,作业：班级姓名成绩1、函数y = -- sinx，x ∈[ ]，2、作出下列函数图象：1）y=3sinx 2）y=|cosx| ★3）y=sin|x| 4）y= cosx，x [ , ]。
学案1：7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)
7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)新知探究正弦函数的性质上，这为研究函数的性质提供了很大的方便．(2)单调区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)表示的是一个个区间，即…，⎣⎡⎦⎤－π2，π2，⎣⎡⎦⎤3π2，5π2，…，而不表示成…∪⎣⎡⎦⎤－π2，π2∪⎣⎡⎦⎤3π2，5π2∪….要特别与集合表示⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z 区别开来．小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝2－sin x 的最小正周期为2π( ) (2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2为奇函数( ) (3)当且仅当x ＝－π2时，y ＝3－sin x 取最大值( )2．函数y ＝sin x 的一条对称轴是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝π4C ．x ＝0D ．x ＝π3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 4．函数y ＝1－2sin x 的最大值为________． 课堂讲练题型一 正弦函数的定义域、值域问题 典例 (1)求函数y ＝2sin x ＋3的定义域． (2)求下列函数的值域．①y ＝－2sin x ＋1；②y ＝sin xsin x ＋2；③y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2. 类题通法(1)求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像.(2)与正弦函数有关的值域求法常见的有直接法、反解法、换元法． 活学活用1．函数f (x )＝ln(1－2sin x )的定义域为____________． 2．求下列函数的值域． (1)y ＝sin 2x －sin x ； (2)y ＝|sin x |＋sin x .题型二 正弦函数的周期性与奇偶性问题 典例 (1)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝x sin(π＋x )；②f (x )＝2sin x －1.(2)求下列函数的最小正周期． ①f (x )＝sin 2x ； ②f (x )＝|sin x |. 类题通法(1)判断与正弦函数有关的奇偶性问题时易忽视定义域关于原点对称这一前提条件. (2)有关正弦函数的最小正周期的求法：①定义法；②图像法. 活学活用1．函数y ＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇函数又偶函数D ．非奇非偶2．函数y ＝12－sin 3x 的最小正周期为________．题型三 正弦函数的单调性问题 题点一：求单调区间1．求函数y ＝sin(－x )的单调递增区间．题点二：利用正弦函数单调性比较大小 2．比较大小： (1)sin 4π7与sin 19π7；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－13π5与sin 19π5.题点三：已知正弦函数的单调性求参数范围3．若函数y ＝sin x 在[0，a ]上为增函数，则a 的取值范围为________． 类题通法(1)利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内.(2)已知正弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解.参考答案新知探究R [－1,1] 2π 奇函数小试身手1．【答案】(1)√ (2)√ (3)×2．【答案】A【解析】由图像知正弦函数的对称轴为x ＝π2＋k π(k ∈Z )．3．【答案】C【解析】通过观察y ＝|sin x |的图像可得． 4．【答案】3【解析】当且仅当sin x ＝－1时，y max ＝3. 课堂讲练题型一 正弦函数的定义域、值域问题典例 解：(1)要使函数有意义，只需2sin x ＋3≥0，即sin x ≥－32.如图所示，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . (2)①[直接法]∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤－2sin x ≤2. －1≤－2sin x ＋1≤3，即－1≤y ≤3， ∴值域为[－1,3]． ②[反解法]原式可化为y sin x ＋2y ＝sin x ， ∴sin x ·(y －1)＝－2y ，∴sin x ＝2y1－y， ∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y 1－y ≤1.解得－1≤y ≤13，故函数y ＝sin xsin x ＋2的值域为⎣⎡⎦⎤－1，13. ③[换元法]y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98. ∵－1≤sin x ≤1，∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9， y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]． 活学活用1．【答案】⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋3π4＜x ＜2k π＋9π4，k ∈Z 【解析】要使函数有意义只需1－2sin x ＞0， 即sin x ＜22. 在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上，适合条件的x 的取值范围是3π4＜x ＜9π4. 所以该函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋3π4＜x ＜2k π＋9π4，k ∈Z . 2．解：(1)y ＝sin 2x －sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x －122－14. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，y 取最小值为－14；当sin x ＝－1时，y 取最大值为2. ∴y ＝sin 2x －sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－14，2. (2)当sin x ≥0时，|sin x |＝sin x ； 当sin x ＜0时，|sin x |＝－sin x ，∴原式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x sin x ≥0，0sin x ＜0.由－1≤sin x ≤1，可知0≤y ≤2， ∴函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域是[0,2]. 题型二 正弦函数的周期性与奇偶性问题 典例 解：(1)①f (x )＝－x sin x ，定义域为R . ∵f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数． ②由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．∴函数f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )为非奇非偶函数．(2)①∵sin 2(x ＋π)＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ， ∴f (x )＝sin 2x 的最小正周期为π. ②作出f (x )＝|sin x |的图像，观察知T ＝π.活学活用 1．【答案】A【解析】f (－x )＝2sin(－2x )＝－2sin 2x ＝－f (x )． 2．【答案】2π3【解析】利用定义或作出图像知T ＝2π3.题型三 正弦函数的单调性问题 题点一：求单调区间1． 解：∵y ＝sin(－x )＝－sin x ，且函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增加的， 在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上是减少的， ∴函数y ＝sin(－x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )． 题点二：利用正弦函数单调性比较大小 2．解：(1)∵sin 19π7＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋5π7＝sin 5π7， y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的， 且π2＜4π7＜5π7＜π， ∴sin4π7＞sin 5π7. 即sin4π7＞sin 19π7. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋3π5＝－sin 3π5 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－2π5＝－sin 2π5，sin 19π5＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－π5＝－sin π5. 函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增加的， 且0＜π5＜2π5＜π2，所以sin π5＜sin 2π5，－sin π5＞－sin 2π5.即sin ⎝⎛⎭⎫－13π5＜sin 19π5. 题点三：已知正弦函数的单调性求参数范围 3．【答案】⎝⎛⎦⎤0，π2 【解析】由函数y ＝sin x 的图像(图略)可知，函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数， ∴[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0＜a ≤π2.。
函数性质教学案
以质量求生存，以态度求发展。
教学课题： 函数 课时规划：6
教学目标：掌握函数的性质运用
教学重点：函数的图像及性质运用
教学难点：函数的性质运用
教学过程
一、知识链接（包括学情诊断、知识引入和过渡）
1.复习函数的性质，函数的图像。
2.基本初等函数：1）二次函数的图像及性质
2）指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质
二、名题探究（包括精讲、例题、跟进练习题）
三、易错题点拨（找几个易错的例题讲解，包括疑难辨析，跟进练习）
四、拓展练习（题目题型训练）
五、本堂小节
六、作业布置
课后作业（根据本堂课所讲内容，进行巩固练习的套题）
以质量求生存，以态度求发展。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的性质复习
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2．函数的单调性
(1)单调性的定义的等价形式：
设x 1，x 2∈[a ，b ]，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；
(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． (2)若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )也是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性．
3．函数的奇偶性
(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0；f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．
(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
(4)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
(5)在f (x )，g (x )的公共定义域上，奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4．函数的周期性
(1)若y ＝f (x )在x ∈R 时，f (x ＋a )＝f (x －a )恒成立，则函数f (x )的周期为2|a |.
(2)若y ＝f (x )在x ∈R 时，恒有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝±1f （x ）
，则函数y ＝f (x )的周期为2|a |.
5．函数的图象
重点结论：(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．
(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数的图象关于点(a ，b )成中心对称．
一、选择题
1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f (x )( )
A ．在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增
B ．在(－∞，3)上单调递增
C ．在[1,3]上单调递增
D ．单调性不能确定
2．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)等于( )
A ．－1
B ．－3
C ．1
D ．3
3．(2014·辽宁)已知a ＝1
32 ，b ＝log 213，c ＝12
1log 3，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a
4．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )
5．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(0，15
]∪(5，＋∞) B ．(0，15)∪[5，＋∞) C ．(17，15]∪(5,7) D ．(17，15
)∪[5,7)
二、填空题
6．客车从甲地以60 km /h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地．客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 的函数解析式是________．
7．方程4x ＋|1－2x |＝5的实数解x ＝________.。