第一章第4讲——运动的图像 追击与相遇

(4)运动的图像追击与相遇课堂剖析1．位移—时间(s-t)图像反映做______(选填“直线”、“曲线”或“直线或曲线”)运动物体位移随时间变化的关系，横坐标为时间轴，轴上各点表示计时开始的各个时间，纵坐标表示从运动开始的这段时间内物体对应坐标原点的位移，s-t图像的斜率表示运动物体的________，图线的交点表示________．2．速度—时间(v-t)图像反映直线运动物体的速度随时间变化的关系，它的斜率表示物体运动的________，它的图像与两坐标轴包围的面积表示________，图像与纵坐标的截距表示物体的________，图像与横坐标的截距表示物体运动速度为零的时刻，图线的交点表示__________．跟踪练习1．如图所示，三个物体甲、乙、丙相对同一原点的位移图像．在时间t1内，下面说法正确的是()A．甲的平均速度最大B．乙的平均速度最大C．乙的平均速度最小D．三者平均速度相同2．a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图像如图所示，下列说法正确的是()A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度B．20秒时，a、b两物体相距最远C．60秒时，物体a在物体b的前方D．40秒时，a、b两物体速度相等，相距200m3．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v-t图如图所示．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆()4．在平直公路上有甲、乙两辆车在同一地点向同一方向运动，甲车以10m/s的速度做匀速直线运动，乙车从静止开始以1.0m/s2的加速度作匀加速直线运动，问：(1)甲、乙两车出发后何时再次相遇？(2)何处再次相遇？(3)在再次相遇前两车何时相距最远？(4)在再次相遇前两车最远距离是多少？(5)若甲、乙同时在平直公路上出发时相距s，乙在甲前，则s满足何条件甲、乙能相遇两次？5．如图所示，两个光滑的斜面高度相同，右边由两部分组成且AB ＋BC ＝AD ，两小球a 、b 分别从A 点沿两则斜面由静止滑下，不计转折处的能量损失，哪一边的小球先滑到斜面底面？即时检测1．小李给小王讲了一个龟兔赛跑的故事．按照小李讲的故事情节，小王正确地画出了兔子和乌龟的位移-时间图像，如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．故事中的兔子和乌龟是在同一地点出发的B ．故事中的乌龟做的是匀变速直线运动C ．故事中的兔子和乌龟在比赛中相遇了两次D ．故事中的兔子先通过预定位移x m 到达终点2．两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v 0.若前车突然以恒定的加速度a 刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a 开始刹车．已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s ，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为( )A ．s B.32s C ．2s D.52s 3．如图所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s ，同时同向开始运动，甲以初速度v 1，加速度a 1做匀加速运动，乙以初速度为零，加速度为a 2做匀加速运动，下述情况可能发生的是(假定甲能从乙旁边通过互不影响) ( )A ．a 1＝a 2能相遇一次B ．a 1＞a 2能相遇两次C ．a 1＜a 2可能相遇一次D ．a 1＜a 2可能相遇二次4．一物体在A 、B 两点的正中间由静止开始运动(设不会超越A 、B )，其加速度随时间变化如图所示，设向A 的加速度方向为正方向，若从出发开始计时，则物体的运动情况是( )A ．先向A ，后向B ，再向A ，又向B ，4秒末静止在原处B ．先向A ，后向B ，再向A ，又向B ，4秒末静止在偏向A 的某点C ．先向A ，后向B ，再向A ，又向B ，4秒末静止在偏向B 的某点D ．一直向A 运动，4秒末静止在偏向A 的某点5．如图是甲、乙两物体运动的速度图像，若甲、乙两物体同时由同一起点向同一方向做直线运动，则下列说法正确的有()A．在40s前甲物体始终在乙物体的前面B．在前20s内甲物体在乙物体的前面，且两物体间的距离逐渐减小C．在t＝40s时两物体相遇D．在t＝20s时两物体相遇6．一个小孩在蹦床上做游戏，从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，他从高处开始下落到弹回的整个过程中，运动速度随时间变化的图像如图所示，图中Oa段和de段为直线，则根据此图像可知，小孩和蹦床接触的时间为__________，加速度最大的时刻是__________．7．太原直飞昆明的航班由波音737飞机执行．上、下两图分别给出了某次飞行全过程中飞机的竖直分速度和水平分速度的速度－时间图像．根据图像可求出：飞机在途中匀速飞行时的巡航高度(离地面的高度)是________m，在t＝5 min时，飞机的速度是________m/s.8．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．试求：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？知识回忆1.直线 速度 相遇2.加速度 位移 初速度v 0 速度相同 跟踪练习1.D2.C 【解析】 分析v －t 图像中，图像的斜率表示加速度，图线和时间轴所夹的面积表示位移．当两物体的速度相等时，距离最大．故选C.3.C4.(1)20s (2)200m (3)10s (4)50m (5)小于50m5.沿ABC 一边下滑的小球先到达底端第5题图【解析】 两小球从等高处沿光滑的斜面下滑(由静止)，由于两边斜面倾角不同，下滑的加速度不同．(a AB ＞a AD ＞a BC )，根据机械能守恒定律，两球到达底端的速度大小相等，因此画出其v －t 图像如图所示，其中折线为沿ABC 斜面下滑的a 球的速度图像，直线为沿AD 斜面下滑的b 球的速度图像．因图像上图线与t 轴所围面积即为位移的大小，所以要满足a 、b 两图线下方的面积相等，必须使图中画有阴影部分的两块面积相等．显然，一定有关系式t a ＜t b ，即沿ABC 一边下滑的小球先到达底端． 即时检测1.AC 【解析】 由图可知二者从同一地点出发，乌龟零时刻出发，兔子t 1时刻出发；乌龟做匀速直线运动，兔子在t 3～t 5时间休息，兔子和乌龟在t 2～t 4时刻位移分别为x 1和x 2，即相遇两次．乌龟在t 6时刻到达终点，兔子还没有到．2.B 【解析】 因后车以加速度2a 开始刹车，刹车后滑行的距离为12s ；在前车刹车滑行的时间内，后车匀速运动的距离为2s ，所以，两车在匀速行驶时保持的距离至少应为2s ＋12s －s ＝32s . 3.ACD 【解析】 本题属相遇问题，求解方法可以用公式法(代数法)，分别列出甲、乙的位移方程及相遇时的位移关系方程，再联立求解、讨论．也可以用图像法(几何法)，结合v －t 图像分析，这种方法很直观，尤其是本题只需进行定性判断，用图像法能迅速求解． 解法一：公式法 设经时间t ，甲、乙相遇，时间t 内甲、乙位移分别为：x 1＝v 1t ＋12a 1t 2① x 2＝12a 2t 2② 相遇时位移满足x 1＝x 2＋x ③由①②③解得(a 1－a 2)t 2＋2v 1t －2x ＝0④当a 1＝a 2时，④变为一元一次方程，t 有一解t ＝v 1x，即表示甲、乙只相遇一次．当a 1≠a 2时，④为关于时间t 的一元二次方程，由求根公式得t ＝－2v 1±4v 21＋8（a 1－a 2）x 2（a 1－a 2）.当a 1＞a 2时，t 的两个根中一正一负，合理解为t ＞0，故只有一个解，即只能相遇一次．当a 1＜a 2时，t ＝2v 1±4v 21＋8（a 1－a 2）x 2（a 2－a 1）. 这时解的情况比较复杂．若Δ＝4v 21＋8(a 1－a 2)x ＜0，方程无解，即表示不可能相遇；若Δ＝0，t 有唯一解且t ＞0，表示相遇一次；若Δ＞0，方程有两解，可能两根一正一负，取合理解t ＞0，故只能相遇一次，也可能两根均为正，表示相遇两次．根据以上分析，本题选A 、C 、D.解法二：图像法第3题图画出满足题给条件的v －t 图像．如图所示，图a 对应a 1＝a 2的情况，两条图线平行，两物体仅在t ＝t 1时相遇一次．图中阴影部分面积为x . 图b 对应a 1＞a 2的情况，两物体仅在t ＝t 2时相遇一次. 图c 对应a 1＜a 2的情况，若在两条图线的交点对应的时刻t 3两物体相遇，则仅相遇一次，图中阴影部分面积为x ，若图中阴影面积小于x ，则甲、乙不可能相遇．若图中阴影部分面积大于x ，则可能相遇两次. 如图d ，在t 4和t 4″两个时刻相遇．图中四边形的面积等于x ，在0－t 4时间内，甲在后，乙在前，v 甲＞v 乙，甲追赶乙，距离逐渐减小，在t 4时刻甲、乙相遇，在t 4－t 4′时间内，甲在前，乙在后，甲将乙拉得越来越远．t 4′－t 4″时间内，甲在前，乙在后，v 乙＞v 甲，乙追甲，距离逐渐减小．到t 4″时刻甲、乙再次相遇．当t ＞t 4″后，乙在前，甲在后，v 乙＞v 甲，两者距离一直变大，不可能再相遇．图中S △BCE 为从第一次相遇后，甲把乙拉开的距离，S △FCD 为从t 4′起乙追上甲的距离．显然，S △BCE ＝S △FCD .4.D 【解析】 由a －t 图像可画出物体v －t 图像如图第4题图所示，显然物体做单方向运动，4秒末速度为零，位移为某一不为零的值．5.AC 【解析】 甲匀速运动，乙做初速度为零的匀加速运动，由图像可知，t ＝20s 时它们的速度相等，在此之前是甲与乙的距离越来越大，20s 后，乙的速度超过甲，则乙不断追赶甲，距离又不断缩小，当t ＝40s 时刚好乙追上甲，两物体的位移相等，在此之前，甲始终在乙的前面，故选AC.6.t 1－t 5 t 3 【解析】 由v －t 图像可以看出，在0～t 1和t 5～t 6这两段时间内小孩的加速度恒定，表明小孩只受重力而没有和蹦床接触，所以小孩与蹦床接触的时间为t 1－t 5.加速度最大的时刻应为斜率最大的时刻，由图可知t 3时刻斜率最大．7.8400 111.8 【解析】 v －t 图线上时间轴下方的面积表示负方向的位移；图像中坐标轴对应的物理量及其单位是图像问题的重要关注点之一；v ＝v 2x ＋v 2y .8.(1)2s 6m (2)4s 12m/s【解析】 解法一：紧紧抓住“速度关系”及“位移关系” 汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度恒定．当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者的距离将越来越大．而一旦汽车的速度增加到超过自行车的速度时，两车的距离就将缩小．因此两者速度相等时两车相距最大，由v 汽＝at ＝v 自得：t ＝v 自a ＝2s ，Δx ＝v 自t －12at 2＝6m 解法二：用数学求极值方法求解 设汽车在追上自行车之前经t 秒两车相距最远，有：Δx ＝v 自t －12at 2＝6t －3t 22＝－32(t －2)2＋6.由二次函数求极值条件知，t ＝2s ，时，Δx 最大，于是得：Δx max ＝6m. 解法三：用图像求解第8题图(1)自行车和汽车的v －t 图像如图所示，由图可以看出：在相遇之前，在t 时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即横线部分面积)达最大，所以，t ＝v 自a＝2s. (2)由图可以看出：在t 时刻以后，由v 自线与v 汽线组成的三角形面积(竖线面积)与标有横线的三角形面积相等时，两车的位移相等，所以由图可得相遇时t ′＝2t ＝4s ，v ′＝2v 自＝12m/s.。