直线与圆1
直线与圆1zst
【例2】
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0 和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 变式迁移 2 (2009·天津卷)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2 则a＝_________.
答案：B
3．若圆 x2＋y2－2x－4y＝0 的圆心到直线 x－y＋a 2 ＝0 的距离为 ，则 a 的值为 2 A．－2 或 2 C．2 或 0 1 3 B. 或 2 2 D．－2 或 0 ( )
|1－2＋a| 解析：由已知得圆心坐标是(1,2)，则有 ＝ 2 2 2 ，|a－1|＝1，a＝2 或 a＝0.∴选 C
x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
1．圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要 条件是 A．Байду номын сангаас∈(－ 2， 2) B．k∈(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) C．k∈(－ 3， 3) D．k∈(－∞，－ 3)∪( 3，＋∞) ( )
解析：圆 x2＋y2＝1 的圆心为 O(0,0)，则 O 到直线 y 2 －kx－2＝0 的距离为 2. 1＋k 2 由于直线和圆没有公共点，因此| 2|>1， 1＋k ∴1＋k2<4，∴－ 3<k< 3.
圆心距d
d (1 2) 4 2
3 5
（两点间距离公式）
r1 r2 d r1 r2
相交
比较d和r1，r2的 大小，下结论
二、探索规律，应用创新
直线和圆的关系
直线和圆的关系证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径。
直线和圆的关系 11.直线和圆的关系 1① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
④ 直线和圆的关系 12.圆的切线① 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
如图，直线l就是⊙O的切线。
此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。
② 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。
如上图，若直线l是⊙O的切线，A为切点，则l丄OA.3. 切线长① 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
② 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.4.切线的判定和性质的应用(1)辅助线的练习利用切线的性质进行计算或演示的常用辅助线是连接圆心和切点，利用垂直直角三角形解决相关问题。
(2) 证明直线与圆相切的三种途径证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）①.证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）②.证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r)③.当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法②，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③，方法①运用较少。
判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立直线方程和圆方程，解方程组，如果方程组无解，则直线与圆分离，如果方程组有一组解，则直线与圆相切，如果方程组有两组解，则直线与圆相交。
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
直线和圆的位置关系(1)
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
3、切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直 径
拓展 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为 （-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是 _相__离__, y轴与⊙A的位置关系是_相__切__。
出它们的对称轴吗?
相
离
B
2、右图,直线CD与⊙O相切于
点A,直径AB与直线CD有怎样的
●
O
位置关系?说说你的理由.
CA D
3、你看得懂小颖和小亮的做法吗？
点拨
B
小颖的理由是:
●O
∵右图是轴对称图形,
AB是对称轴,
C
A
D
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD 重合,
∴ ∠BAC=∠BAD=90°.
利用圆的轴对称性
B
∴当∠r=A2=c6m0时°,.d>r,AB与⊙C相离
;因C当此Dr,=当4Ac半Cm径时si长n,dA为<r2,43AsBicn与m6时⊙0,0CAB相与2交⊙3.Cc相m切. .
B
C
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，
A相C切＝，3则cm这，个以圆C的为半圆径心是的圆与152AcmB 。
A
2、直线L 和⊙O有公共点，则直线L与⊙O（ D ）. A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。
3．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l
与⊙O没有公共点，则d为（ A）：
A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3
4.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共
3.1 直线与圆的位置关系(1)
海中有一个小岛P,该岛四周12海里范围内是一暗 礁区.今有货轮自西向东航行,开始在A点观测P在 北偏东600方向, 行驶10海里后到达B点观测P在北 偏东450方向,若货轮不改变方向继续向东航行.
北
P
60° A
B
45° H
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置 图形 公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称 直线名称 相交
O d O
O d L
L
d
T
T
T
L
直线与圆的位置关系量化
r
●
O ┐d
r
●
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
d ┐ 相离
直线和圆相交
d < r; d = r; d > r;
直线和圆相切
直线和圆相离
1.设⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d, 根据下列条件判断直线L与⊙O的位置关系: (1) d=4,r=3 (2) d=1, r= 3
2 3 (3) d 2 5, r 2 5 (4) d , r 3 5
2.在RT△ABC 中, ∠ACB=90°, AC=3, BC=4.设⊙C 的半径为r. 请根据r的下列值, 判断AB与⊙ C 的位置关系,并说明理由. (1) r=2 (2) r=2.4
A D
(3) r=3
C ┐
r
相切
r d
相离
r d
d
2 d<r 交点 割线
1 d=r 切点 切线
0 d>r 无 无
天海 涯上 共升 此明 时月
直线与圆的位置关系
●
O
直线与圆位置关系1
课堂小结：
图形
r d
r r关系
d<r
d=r
d>r
方程组 解的情况
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解
课堂小结：
求直线与圆相交时的交点坐标需要联立方程组用 方程组的解来刻画.
求圆的切线或弦长时则应抓住直线与圆位置关系 的几何特征如垂径定理等避免求切点、交点的坐 标，从而简化运算.
所以，直线被圆截得弦长为12.
例2：
自点
解：
，求切线 的方程.
自点
方法二： 解：设直线方程为 消去 得一元二次方程：
整理得： 所以，所求直线方程 为
，求切线 的方程.
，与圆方程联立：
即
自点
变式1：改点坐标为
解：
，求切线 的方程.
例2：
自点
解：
，求切线 的方程.
变式2：自点 解：
，求切线长.
消去y
例1：
已知直线
和圆
，试判断直线与圆的位置关系.
解：将直线方程与圆的方程联立方程组
所以，直线与圆相交. 方法二：
所以，直线与圆相交.
变式1： 已知直线
和圆
，求直线与圆的交点坐标.
解：将直线方程与圆的方程联立方程组
变式2： 已知直线
和圆
，求直线被圆截得的弦长.
L
所以，直线被圆截得弦长为12. 方法二：
2020
2.2.2直线与圆的位置关系（1）
苏教版高一数学
授课教师：江苏省锡东高级中学 夏晓静 指导教师：锡山区教师发展中心 姚敬东
几何问题
坐标法
…………
还原
几何对象的性 质、位置关系
代数问题
代数方法
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。
- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。
- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。
2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。
设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。
将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。
4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
直线与圆的位置关系(1)
《直线与圆的位置关系(1)》教学设计1.学习目标描述（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）知识与技能：1.利用投影演示探索直线和圆的运动变化过程，经历直线与圆的三种位置关系得产生过程；2.在运动中体验直线与圆的位置关系，并观察理解直线与圆的“公共点的个数”的变化，培养猜想、分析、概括、归纳能力.3.正确判别直线与圆的位置关系，或根据直线与圆的位置关系正确的得出圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系或直线与圆的公共点的个数.情感态度与价值观：1.通过本节课的学习，深刻体会直线与圆的位置关系在生活中的广泛存在和运用价值，激发学生的学习兴趣，使学生主动参与数学学习活动。
2.在判别直线与圆的位置关系中进一步培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力。
2. 学习重难点分析图片电脑演示：海上日出1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?观察图形，归纳出直线和圆的位置关系的定义及相关概画出圆心到直线关系。
学生学生回答后，教师总结并板书：如果⊙O的半径w为r ,圆心O 到直线l的距离为d,,那么：（1）直线l和⊙O相学会用4560H pAB 例1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C 为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm,(2)r=2.4cm,(3)r=3cm.（此题为课本第36页课内练习第1题的第2小题）分析：因为题中给出了⊙C的半径，所以解题的关键是求圆心到直线的距离，然后与r 比较，确定⊙C与A B的关系.例2、已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. 以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?例2：点O为∠ABC平分线例3、（即课本的例2）如图,海中有一个小岛P,该岛四周12海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A点观测P在北偏东60°处, 行驶10海里后到达B点观测P在北偏东45°处,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?分析：要解决这个问题，首先要把它转化为学生和老师一起解AC DB。
初中数学 如何判断一条直线与圆的位置关系
初中数学如何判断一条直线与圆的位置关系
判断一条直线与圆的位置关系有几种情况：相离、相切、相交。
下面我将详细介绍这些情况以及判断的方法：
1. 直线与圆相离：
当直线与圆没有交点时，它们被认为是相离的。
判断直线与圆相离的方法有两种：-计算直线到圆心的距离，如果距离大于圆的半径，则直线与圆相离。
-判断直线与圆的方程是否满足不相交的条件。
2. 直线与圆相切：
当直线与圆有且仅有一个交点时，它们被认为是相切的。
判断直线与圆相切的方法有两种：
-计算直线到圆心的距离，如果距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
-判断直线与圆的方程是否满足切线的条件。
3. 直线与圆相交：
当直线与圆有两个交点时，它们被认为是相交的。
判断直线与圆相交的方法有两种：-计算直线与圆心的距离，如果距离小于圆的半径，则直线与圆相交。
-判断直线与圆的方程是否满足相交的条件。
在判断直线与圆的位置关系时，可以使用以下工具和方法：
-距离公式：计算直线到圆心的距离可以使用距离公式来求解。
-圆的方程：圆的方程可以用来判断直线与圆的位置关系。
需要注意的是，判断直线与圆的位置关系时，可以结合使用上述方法，以确保准确判断它们之间的关系。
以上是关于判断直线与圆的位置关系的方法和步骤的介绍。
希望以上内容能够满足你对直线与圆位置关系的了解。
高中数学必修2直线与圆的位置关系1
高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程：)0()()(222>=-+-r r b y a x ；圆心),(b a ，半径为r ；圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心)2,2(ED --，半径为F E D 42122-+； 【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外222)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内222)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上222)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔； ②两圆外切2121||r r O O +=⇔；③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔； ④两圆内切||||1221r r O O -=⇔； ⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。
直线和圆的位置关系1
在实际应用中,常采用第二种方法判定. 在实际应用中,常采用第二种方法判定.
思考题:
如图:菱形 的边长为5cm,∠B=60° 如图:菱形ABCD的边长为 的边长为 , ° 当以A为圆心的圆与 相切时 当以 为圆心的圆与BC相切时,半径是 为圆心的圆与 相切时, 此时⊙ 与 的位置关系是 此时⊙A与CD的位置关系是
新的问题: 新的问题: 是否还有其它的方法来判断直线与 圆的位置关系? 圆的位置关系?
知识回顾 点与圆的位置关系 P O r P d<r < d=r d>r > 点P在⊙O内 在 内 点P在⊙O上 在 上 点P在⊙O外 在 外 P
.O d r 1,直线l与⊙O相离 ,直线l 相离 d>r
l
.O d r 2,直线l与⊙O相切 , 相切 d=r
O
60° ° 45° °
A
B
�
A D C
,
.
B
思考题: 思考题:
东海某小岛上有一灯塔O,附近方圆 海里的范 东海某小岛上有一灯塔 ,附近方圆25海里的范 围内有暗礁,我海军110舰在 处测得 塔在其北 舰在A处测得 围内有暗礁,我海军 舰在 处测得O塔在其北 偏东60°方向,向正东航行20海里到达 海里到达B处 偏东 °方向,向正东航行 海里到达 处,测 塔在其东北方向, 得O塔在其东北方向,如果该舰继续向东航行, 塔在其东北方向 如果该舰继续向东航行, 是否有触礁危险?( 3 ≈1.732) 是否有触礁危险?(√ ) ?(
l
.O d r 3,直线l与⊙O相交 , 相交 d<r
l
小结 直线与圆的 位置关系 图 形
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 公共点名称 直线名称 d与r的关系 与 的关系
直线与圆的位置关系 (1)汇总
离d与圆的半径r.
O
(1) 如果d＜r, 直线与圆相交;
d<r
(2) 如果d＝r, 直线与圆相切;
d=r
(3) 如果d＞r, 直线与圆相离.
d>r
小结：
同步练习
1 自主完成教材P.128面练习第2、3、4题.
2 圆: (x+1)2+(y+2)2=8上到直线l: x+y+1=0的距离
d 2 的点有__3__个. d 1, d 3, d 3 呢 ?
3 求圆心在直线2x－y＝3上, 且与两坐标轴相切 的圆的方程.
4 若直线4x－3y＝a与圆x2＋y2＝100: (1)相交; (2)相切; (3)相离, 分别求实数a的取值范围.
x0 x y0 y r 2
l P( x0, y0 )
常用结论2
已知圆C:(x-a)2＋(y-b)2＝r2与圆外一点 P(x0,y0),则过P点与圆C相切的切线的方程 为: ( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
l
P( x0, y0 )
综合应用
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以
(1)m∈R时，证明l与C总相交． (2)m取何值时,l被C截得的弦长
最短，求此弦长．
课堂小结
判断直线 l 与圆C 的位置关系
1. 代数法: 判断直线与圆组成的方程组是否有解: (1) 有一组解, 则直线与圆相切; (2) 有两组解, 则直线与圆相交; (3) 无解, 则直线与圆相离.
2. 几何法:比较圆心到直线的距
代数法(方程组法) 几何法
交点坐标分别 为A(2,0),B(1,3)
命题方向:直线与圆的位置关系
直线与圆位置关系(1)
课题：§5.5 直线与圆的位置关系一、学习目标1．经历探索直线与圆位置关系的过程.2．理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离.3．能利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系判别直线与圆的位置关系. 二、学习重点与难点：重点：d 与r 之间的数量判别直线与圆的位置关系. 难点：d 与r 之间的数量关系和对应位置关系解决问题. 三、学习过程【自学探究，展示交流】：活动一：知识回顾 1.请你过点O 作直线l 的垂线段. 2.作△ABC 的高CD 、BE·Ol3．我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆： （1）点和圆位置关系有_______________________________. （2）怎样判定点和圆的位置关系？（数量关系——位置关系）（设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ）（1） ⇔（2） ⇔ （3） ⇔活动二：操作与思考1. 类比：如果将图形点换成直线，那么直线和圆的位置关系有几种？下面我们就来通过动手操作来直观感受一下。
操作与观察：在方框内，上、下移动直尺，把直尺看做一 请你在每一类选择一条直线在右图中画出来， 记作1234...l l l l 、、、思考：你在操作观察的过程中，将直线和圆的位置关系 划分成了 类，你的分类的依据是 .AB归纳：为了学习方便我们把直线和圆的位置关系分别称为 ______________________________________________________即：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆 ___ .直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆 ，这条直线叫做圆的 ，这个公共点叫做 。
直线与圆 公共点时，叫做直线与圆 . 活动三：类比与猜想 1. 类比：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，我们可以用d 与r 数量关系来判别点P 和⊙O 的位置，那么在直线与圆位置变化中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在变化？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系呢？（投影）2.猜想：如果设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d （过点O 作l OD ，垂足为D ，则d =OD ） ，那么①直线l 与⊙O ⇔ ；②直线l 与⊙O ⇔ ； ③直线l 与⊙O ⇔ ；lllDD活动四：知识运用 已知⊙O 的直径为10.（1）如果圆心O 到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙O 位置关系是 ，公共点___个 （2）如果圆心O 到直线l 的距离为5，那么直线l 与⊙O 位置关系是 ，公共点__个 （3）如果圆心O 到直线l 的距离为4，那么直线l 与⊙O 位置关系是 ，公共点_-个 【训练提升，检测反馈】活动一：归纳：本节课主要学习的知识点_________________________________________. 活动二：归纳：填表活动三：例题分析例： 在△ABC 中，︒=∠45A ，4=AC ，以C 为圆心，r 为半径的圆,当2=r 时，直线AB 与⊙C 有怎样的位置关系？为什么？变式一：当22=r 时，直线AB 与⊙C 位置关系是___________；当3=r 时，直线AB 与⊙C 位置关系是___________；A BC活动四：检测反馈1.已知⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为cm 5.(1) 若r 大于cm 5，则l 与⊙O 的位置关系是________，有_____个公共点； (2) 若r 等于cm 2，则l 与⊙O 的位置关系是________，有______个公共点； (3)若⊙O 与l 相切，则r ＝____________厘米2. ⊙O 的直径4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与圆O 的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）相切或相交【学后小结，预习指导】 1.今天你的收获和困难:2.课外作业①已知⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为cm 3.(1) 若r 大于cm 5，则l 与⊙O 的位置关系是________，有_____个公共点； (2) 若r 等于cm 2，则l 与⊙O 的位置关系是________，有______个公共点； (3)若⊙O 与l 相切，则r ＝____________厘米②在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，cm AC 6=，cm BC 8=，以C 为圆心，r 为半径作圆.（1）当⊙C 与直线AB 相交时，则r 的取值范围是 _______ ；（2）当⊙C 与直线AB 相切时，则r = ；（3）当⊙C 与直线AB 相离时，则r 的取值范围是 _______ . ③在△ABC 中，︒=∠45A ，8=AC ，以C 为圆心，r 为半径的圆,若直线AB 与⊙C 相切时，求r 的值.ABC2.5 直线与圆的位置关系（1）学习目标；1．经历探索直线与圆的位置关系的过程；2．理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离；3．能利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系．学习重点：用“圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系”来描述“直线与圆的位置关系”的方法．学习难点：直线和圆相切：“直线和圆有唯一公共点”的含义.学习过程：情境引入1．我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆：（1）点和圆有哪几种位置关系？（2）怎样判定点和圆的位置关系？（数量关系——位置关系）2．观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳经历了哪些位置关系？通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有哪几种?实践探索一：直线和圆的位置关系操作交流：在纸上画一个圆，上下移动直尺．把直尺看作直线，在移动的过程中观察直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？（对照图形，让学生口述概念．）实践探索二：探究直线与圆的位置关系的数量特征1．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样，也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢？2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，它们表示的含义相同吗？谈谈你的理解．例题讲解例1 在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r＝2；（2）r＝22；（3）r＝3．例2 已知：如图示，∠AOB＝300，M为OB上一点，以M为圆心，5cm长为半径作圆，若M在OB上运动，问：①当OM满足时，⊙M与OA相离？②当OM满足时，⊙M与OA相切？③当OM满足时，⊙M与OA相交？M BOA ·练一练1．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线l的距离为d：(1)若直线l与⊙O相切，则d＝____；(2)若d＝4cm，则直线l与⊙O有_____个公共点；(3)若d＝6cm，则直线l与⊙O的位置关系是________．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2cm；(2)r＝2.4cm；(3)r＝3cm．拓展提升在平面直角坐标系中有一点A(－3，－4)，以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况．总结1．这节课你有哪些收获和困惑？2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，两者有何区别与联系？课后作业课本P65第1、2．。
直线与圆的位置关系(1)
.港口
O
.
轮船
x
练习
1:对任意实数k,圆C: x2+y2-6x-8y+12=0与直 线L:kx-y-4k+3=0的位置关系是( A)
A 相交 B相切 C相离 D与k值有关
2:已知圆x2+y2=8，定点p(4,0)，问过p点的直线 的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与圆 (1)相切，(2)相交，(3)相离
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关 系判断： aA bB C
d
A B
2
2
d>r
d=r
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
d<r
(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
Ax By C 0 设方程组 2 2 2 ( x a) ( y b) r 的解的个数为 n
△<0
△=0 △>0
n=0
直线与圆相离
n=1
n=2
直线与圆相切
直线与圆相交
例1、如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系； 如果相交，求它们的交点坐标。
y
l B A
C. O
x
练习
1、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
3:已知直线L:kx-y+6=0被圆x2+y2=25 截得的弦长为8,求k值
； ；；
续向前走去,不过此时根汉已经在角麟背后,此地之诡异就是角麟这远古之兽也没有听说过丶根汉抬头望向头顶壹片漆黑,尽是黑雾笼罩看不出去,周围十分の死寂严重缺少生机丶偶有微风吹拂带来の是那阴森之意,带着微微の凉让人鸡皮疙瘩都要起来,宛如来到了冥间
直线与圆的位置关系1
r
r l A
d
相离
A 相切
r B
l
相交
当直线和圆相离、相切、相交时，d 与 r 有何关系？ 1．直线和圆相离 d＞r； 2．直线和圆相切 d=r； 3．直线和圆相交 d＜r． 直线和圆的位置关系的识别与特征： 小结：利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来 识别直线和圆的位置关系．
直线 l 和⊙O 没有公共点 直线 l 和⊙O 相离． 直线 l 和⊙O 只有一个公共点 直线 l 和⊙O 相切． 直线 l 和⊙O 有两个公共点 直线 l 和⊙O 相交．
用公共点的个数来判断直线和圆的位置关系．
是否还有其他的方法判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系（数量特征）
点和圆的位置关系有几种？ 点和圆的位置关系有几种？
A B C
点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r; d=r； d<r.
1．情境引入
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
2．直线和圆的位置关系
3．归纳小结
直线和圆的 位置关系 图 形 相 交 O 相 O d 切 相 离 O l
公共点个数 公共点名称
直线名称
r l A B 2个
d
r
A 1个
d
r l
没有 －
－
交点 割线
切点 切线
距离 d 与半 径 r 的关系
d＜r
d=r
d＞r
4．练习
练习1 圆的直径是 13 cm，如果直线和圆心的距离 分别是 ① 4.5 cm；② 6.5 cm；③ 8 cm，那么直线和圆分 别是什么位置关系？有几个公共点？
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直线与圆的方程测试题1
一、选择题（12×5=60分）
1.垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2+y 2=1相切于第一象限的直线方程是
A ．x ＋y －2＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋2＝0
2.若动点P 到点F （1，1）和直线3x+y ﹣4=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）
3.过点(0,1)的直线与圆2
24x y +=相交于A ，B
两点，则AB 的最小值（ ）
A ．2 B
． C ．3 D ．4.两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为( )
A ．4
B
C
D 5.方程
表示的曲线是（
）
6.对于a R ∈，直线(1)(1)0x y a x +--+=恒过定点P ，则以P 为半径的圆的方程是（ ）
A ．22240x y x y +++=
B ．22240x y x y ++-=
C ．22240x y x y +-+=
D ．22240x y x y +--=
7.直线3kx y +=与圆4)3()2(22=-+-y x 交于M,N 两点，若32≥MN 则k 的取值
范围 （ ）
A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,43 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 C. []
3,3- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,32 8.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆22
1x y += 相交”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取
值范围是（ ）
A ．34k ≥
B ．
324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 10.由y=︱x ︱和圆422=+y x 所
） A. 4π B. 43π C. π D. 2
3π 11.已知)23
,(ππα∈,直线1l ：0cos 1=+-+b y x α，直线2l ：
a y x -++ααcos 1sin 0=，1l 与2l 的位置关系是 ( )
A ．平行
B ．垂直
C ．重合
D ．相交但不垂直
12.若圆222
(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线4x －3y =2的距离等于1，则半径r 的范围是（ ）
A （4，6）
B ［4，6）
C （4，6］
D ［4，6］
二、填空题（4×4=16分）
13.直线l 1:3132a x y -+=与直线l 2：a x y +-=2
1的交点在第二象限内，则a 的取值范围是 。
14.已知点P 在圆x 2+y 2=1上运动，则P 到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为 ．
15.已知圆
50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆： 交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是__________________。
16.如图，已知⊙O 的弦AB ＝3，点C 在⊙O 上，且∠ACB ＝60°，则⊙O 的直径是 。
三、简答题（共74分）
17.(本小题满分10分)平行于直线2x+5y ﹣1=0的直线l 与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．
18.（本小题满分12分）已知△ABC 中，A （1，1），B （m ，m ），C （4，2），1＜m ＜
4。
求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大。
19. (本小题满分12分)已知动圆C 经过点A (2,3)-和(2,5)B --。
（1）当圆C 面积最小时，求圆C 的方程；
（2）若圆C 的圆心在直线350x y ++=上，求圆C 的方程。
20. (本小题满分13分)已知两圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y=0，x 2+y 2+6x ﹣2y ﹣40=0，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长．
21. (本小题满分13分)已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．
(1)求圆C 的方程；
(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围
22. (本小题满分14分)已知圆22
:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=． ⑴ 证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；
⑵ 当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．。