概率论习题_(4)

合集下载

概率论习题试题集4

一、填空题1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-XeX E 。

2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且3.0)42(=<<X P ，则__________)0(=<X P 。

3. 已知离散随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即 ,2,1,!2)(2===-k e k k X P k ，则23-=X Z 的数学期望___________)(=Z E 。

4. 已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π，则________________,__________==DX EX 。

5. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则________________,__________==DX EX 。

6. 设离散随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知,9.0=EX 则________=DX 。

7. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为4.0，则2X 的数学期望_____________2=EX 。

8. 设随机变量X 与Y 相互独立，4,2==DY DX ，则______________)2(=-Y X D 。

（12）9.若随机变量321,,X X X 相互独立，且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从_________分布，___________________,__________==DX EX 。

10.设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：⎩⎨⎧≤≤=其他,010,2)(x x x ϕ，⎩⎨⎧>=--其他,05,)()5(y e y y ϕ，则_______________)(=XY E 。

二、选择题1. 已知随机变量X 服从二项分布，且44.1,4.2==DX EX ，则二项分布的参数p n ,的值为（）（A ）6.0,4==p n ；（B ）4.0,6==p n ；（C ）3.0,8==p n ；（D ）1.0,24==p n 。

概率论与数理统计课后习题答案第四章

(2) ρxy.
(1)
(2)(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
-1
0
1
习题 4.1 1. 设随机变量 X 的概率密度为
(1) 求 E(X)
其他
(2)
解: (1)
(2) 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
试确定常数 a,b,并求 E(X). 解:
(1)
其他
又因当
时
(2) 3. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为
的导数为的导数为
即即
求 E(X). 解:
4. 设 X1, X2,….. Xn 独立同分布,均值为 ,且设
D. (X,Y)~N(
)
解: 与不相关 ρ
5. 设二维随机变量(X,Y)~N(
A.
B. 3
C. 18
解: ρ
),则 Cov(X,Y)= B . D. 36
6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则 E(XY)= A .
A. 3
B. 6
C. 10
解: Cov(X,Y)=0
2. 设随机变量 X 的分布律为 3 .
X
-1
0
1
2

P
0.1 0.2 0.3 0.4
令 Y=2X+1,则 E(Y)=
3
.
解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=3
3. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 P{X=1}=

概率论第四章习题答案

1 ⎛2⎞ 1 DX = EX − ( EX ) = − ⎜ ⎟ = . 2 ⎝ 3 ⎠ 18 1 2 DZ = 4 DX = 4 × = . 18 9
【解毕】
9．在一次拍卖中，两人竞买一幅名画，拍卖以暗标的形式进行，并以最高价成交．设两人的出价相互独立且均服从（1，2）上的均匀分布，求这幅画的期望成交价．解：设两人的出价分别为随机变量 X , Y ，则这幅画的期望成交价为 Z = max { X , Y } 由题意知， X 与Y 独立，且 X ∼ U (1, 2); Y ∼ U (1, 2) 先求 Z 的分布函数当 1 < z < 2 时， F ( z ) = P ( Z £ z ) = P (max { X , Y } £ z ) = P ( X £ z ,Y £ z )
= P( X £ z ) P (Y £ z ) = ( z -1)2
当 z £ 1 时， F ( z ) = 0 ；当 z ³ 2 时， F ( z ) = 1 于是 Z 的密度函数为 f ( z ) = ï í
ì2( z -1),1 < z < 2 ï ï 0, 其它 ï î 5 3
EZ = ò
+¥
3 X .求：（ 1）常数 a, b, c; （2） Ee . 4
【解】（1）由概率密度的性质知，有
+∞ 2 4
1=
又因为
−∞
∫
f ( x )dx = ∫ axdx + ∫ ( cx + b )dx = 2a + 6c + 2b.
0 2
+∞
2
4
2 = EX =
−∞
∫ xf ( x )dx = ∫ xiaxdx + ∫ x ( cx + b )dx

概率论与数理统计许承德习题四答案

习题四r 一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,223,今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以x*y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求（x,y）的分布列.解（X,Y）的分布列为1212加中P(x=i, r = i)= p(x = i)p(y = iix = i)=oP(X=h r = 2) = P(X=1)P(Y = 2IX=1)1 2 1=—X—=—4 3 6余者类推。

2.将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以y表示三次中出现正面次数与出现反而次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的分布列及边缘分布列。

解-枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故X B（3,-）.p（x ）3, k=0丄2.3,于是（X,Y）的分布列和边缘分布为2Pj£ 8 2 8瓦中 P （X 1nI8 8 8 8=0. r = i)= p(x = o)P A = IIX =O )=O , 1 3P(x=h r = i)= p(x = i)p(r = iix = i)= cj(^/xi = ^,余者类推。

3.设（X.Y ）的概率密度为c 、一(6-x-y), 0<X<2, 2<y<4, f (兀y) = ( 80 ,其它.又(1) D = {(;v,y)lx<l,y <3} ； (2) D = {(x,y)lx + y <3}。

求P((X,y)e D}(1) P{(X, y) e D} = J J ；右(6 - X -y}dxdxy4. 1 9-4 2 __兀85 '方设（X,Y ）的概率密度为8(2) P{(X, r) e D) = J J i(6-X- y^dxdy/ *= i<!3-J^x(l-x)Jx-ij^[(3-x)'-4]J.r -0 2 0I 0 , 其他.系数C ：（2）（XV ）落在圆F + r<r （『<R ）内的概率.(1) l = C JJ (R-下匚孑)dxdY = C7rR" -c[ ：r 山d&(2)设£> = {(x,y)l 疋+ r <r}・所求概率为P{(X,r)eD}= Jf 务 R-Jx+'g'A' + >'<r-3r5・已知随机变量X 和y 的联合概率密度为4 卩 0<x<h0<y<l0 ■其它.求X 和y 的联合分布函数.解1设(X,y)的分布函数为F(x,y)»则0,J J 0 4itvchuh\I fJ oJ 0Fg y)= f f /(仏 v}diidv =<J --3C J 4-300<0<y<t 0<j<b y>l,X>t 0<y<l,0,j>t y>1. X < 0 或)< 0, 0<x<t 0<y<to<x<b y>tx>l, 0<y<l,x>l, y>L解2由联合密度可见，X#独立，边缘密度分别为边缘分布函数分别为竹(x). Fy(y}.则r o .x<(X 0<%<1,x> 1. 0, Fy (刃=J p/xU)旳 ny <0,0<y<l, y>i ・设(X#)的分布函数为Fgy),则F(x,y) = £¥(x)・Fy(y)n%<0 或 y<0, 0<%<1, 0<><10<x<t y>l, x>t 0<y<t x>U y>l ・6 •设二维随机变量(X")在区域D:O<%<1, \y\<x 内服从均匀分布, 求边缘概率密度。

概率论与数理统计：习题4解答

P118习题41. 设随机变量X 的分布律为求2(),(2),()E X E X D X + 分析：用公式(())()iiiE g X g x p =∑计算解答：31111()0121424i ii E X x p ===⋅+⋅+⋅=∑ 32222211117(2)(2)(02)(12)(22)4242i i i E X x p =+=+=+⋅++⋅++⋅=∑由于32222211113()0124242ii i E X xp ===⋅+⋅+⋅=∑因此22231()()()122D XE X E X =-=-= 注：也可以先计算2()E X ，再由22(2)()2E X E X +=+和22()()()D X E X E X =-计算后两者2. 把4个球随机地投入4个盒子中，设X 表示空盒子的个数，求(),()E X D X 解答：（先计算X 的分布律：确定X 可取得值及取每个值的概率） X 可取的值为0,1,2,3443216{0}464P X ⨯⨯⨯=== 31243442136{1}464C C C P X ⨯⨯⨯⨯=== （先从4个盒子中选3个放球，剩下一个盒子空着；再从选中的3个盒子中选一个盒子放两个球；再决定4个球中哪两个放入这个盒子；最后将剩下两个球放入剩下两个盒子里）213242444(1)21{2}464C C C C P X ⨯⨯⨯+===（先从4个盒子中选2个放球，剩下两个盒子空着；在这两个盒子中放球时，分两种情况：一个盒子放3个另一个放1个，两个盒子各放2个。

第一种情况时，先选一个盒子放三个球，再决定哪3个球放入这个盒子，剩下一个球放入另一个盒子；第二种情况时，选2个球放入第一个盒子，剩下两个只能放入第二个盒子）1441{3}464C P X ===因此X 的分布律为从而()01236464646464E X =⋅+⋅+⋅+⋅= 由于22222636211129()01236464646464E X =⋅+⋅+⋅+⋅= 因此222129811695()()()()0.413864644096D XE X E X =-=-=≈3. 设随机变量X 的密度函数为2(1)01()0x x f x else -<<⎧=⎨⎩ 求(),()E X D X 分析：用公式(())()()E g X g x f x dx +∞-∞=⎰计算解答：11001()()()2(1)3E X xf x dx xf x dx x x dx +∞-∞===-=⎰⎰⎰由于112222001()()()2(1)6E X x f x dx x f x dx x x dx +∞-∞===-=⎰⎰⎰因此222111()()()()6318D XE X E X =-=-=4. 设随机变量X 的密度函数为110()1010x x f x x x else +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩求(),()E X D X解答：011011()()(1)(1)066E X xf x dx x x dx x x dx +∞-∞-==++-=-+=⎰⎰⎰由于0122221111()()(1)(1)12126E X x f x dx x x dx x x dx +∞-∞-==++-=+=⎰⎰⎰ 因此()22211()()()066D XE X E X =-=-=5. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，求2()E X解答：由题意知，~(10,0.4)X B因此()100.44E X =⨯=，()100.40.6 2.4D X =⨯⨯= 从而()222()()() 2.4418.4E X D X E X =+=+=6. 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，求(32)E X - 解答：由于~(2)X P ，因此()2E X = 从而(32)3()23224E X E X -=-=⨯-=7. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，一周5个工作日。

概率四习题

第四章大数定律及中心极限定理导学——极限论在概率研究中的应用本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。

并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：⋯⋯,21,,,n X X X 独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。

全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理， §3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。

三个定理。

“大数”及“极限”均要求+∞→n ，在实际问题中，n 充分大即可。

§2节主要研究对象为：算术平均值()n X X nX +⋯+=11；§4节的主要研究对象为： n ni iX X X+⋯+=∑=11，比nX 1少了。

§2节的学习，不妨先从复习入手。

第二、三章已熟悉了()()⋅⋅D E 及,先推算出21)(,)(σμnX D X E =⋯==⋯=这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中NX D 2)(σ=中的n1很宝贵。

定理二是由定理一推得的，关键点为：n A X X X n +⋯++=21及X X n n n ni i A ==∑=11，于是可用定理一了。

推导本身是一件很愉快的事。

§2节的三个定理可在比对中学习。

定理一（契）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 一定为同分布，（贝）是由定理一（契）的特例。

定理二（马）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 独立或同分布。

定理三（辛）不要求)(X D 一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：μ−→−PX ,即算术平均值依概率收敛于数学期望。

“贝”的结论为：p nn PA −→−，即频率依概率收敛于概率。

这个结论很精致，十分简单了。

翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。

其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。

概率论习题与答案

概率论习题一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|).P B A B ⋃=6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B =9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。

那么(|)P C AB = 。

12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,求此人是男性的概率。

13、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。

14、把C B A ⋃⋃表示为互不相容事件的和是。

15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为。

二、选择题1、下面四个结论成立的是（）.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（）...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容是不可能事件或3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（）1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（）.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=∈==5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（）.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（）.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（）.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.758、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（）.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375.D 0.509、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（）.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（）.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃= .D ()1P A B ⋃=11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则（）．.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立.D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（）．.A )()(B P A P - .B )()()(AB P B P A P +- .C )()(AB P A P -.D )()()(B A P A P A P -+13、设A 、B 是两事件，且P （A ）=0.6,P(B)=0.7则P （AB ）取到最大值时是（）.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D 0.4214、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。

大学概率论习题四详解

大学概率论习题四详解(A)1、设随机向量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，对任意d c b a ,,,（d c b a <<,），证明：),(),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F d Y c b X a P +--=≤<≤<。

解 ),(),(),(d y c a X P d Y c b X P d Y c b X a P ≤<≤-≤<≤=≤<≤<),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--=2、一台仪表由二个部件组成，以X 和Y 分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧>>+--=+---其他00010*******y x e e e y x F y x y x ,,),()(...求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。

解 ),(∞<<∞<<Y X P 120120090701111120120120120424221212121.)()()(),(),(),(),(......==+--+----=+∞-∞-∞∞=------e e e e e e F F F F 3、设X 等可能的取1,2,3,4中的一个，Y 等可能的取1,… ,X 中的一个，求),(Y X 的联合分布及关于Y 的边缘分布列。

解易见，X 和Y 的取值都是1,2,3,4，且X 取i 的概率为41,此时Y 取i ,, 1中一数j 的概率为i1,因此ij Y i X P 41===),(,而当j i <时0===),(j Y i X P 。

于是得到),(Y X 的联合分布：关于Y 的边缘分布列：4、某射手，每次击中目标的概率为p )10(<<p ，射击进行到第二次击中目标为止，设i X 表示第i次击中目标时所射击的次数)2,1(=i ，求),(21X X 的联合分布列、边缘分布。

概率论第4-6章课后习题答案

习题四1.设随机变量X的分布律为1 0 12求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)11111 ()(1)012;82842 E X=-⨯+⨯+⨯+⨯=(2)2222211115 ()(1)012;82844 E X=-⨯+⨯+⨯+⨯=(3)1 (23)2()32342E X E X+=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为故()0.58300.34010.07020.00730405E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,=52()[()]i iiD X xE X P==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X的分布律为1 0 1P p1 p2 p3且已知E （X ）=,E(X2)=,求P1，P2，P3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式001{}{}1().NNk k k P X k kP X k NN n E X NN ========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x+∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰故221()()[()].6D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ4X.【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=-,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X 2Y ），D （2X3Y ）.【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2)22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）.【解】因1001(,)d d d d 1,2x f x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k=210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x fY （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值102()2d ,3E X x x x ==⎰5(5)5()ed 5e d e d 51 6.z y y zz E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他于是11(5)2(5)552()2e d d 2d e d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为fX （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e fY （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e求（1） E （X+Y ）;（2） E （2X 3Y2）.【解】22-200()()d 2e d [e ]e d x x xX X xf x x x x x x+∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰ 401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1）系数c;（2） E （X ）;（3） D （X ）.【解】(1) 由222()d e d 12k x c f x x cx x k +∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =.(2)2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x+∞+∞--∞==⎰⎰22220π2e d .2k x k x x k +∞-==⎰(3)222222201()()d()2e.k x E X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].4D X E X E X k k ⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是，得到X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元/41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元). 14.设X1，X2，…，Xn 是相互独立的随机变量，且有E （Xi ）=μ，D （Xi ）=σ2，i=1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S2=∑=--n i i X X n 12)(11.（1）验证)(X E =μ，)(X D =n 2σ；（2）验证S2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3）验证E （S2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑ 22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n n σσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii iii i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑.(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X n σ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X,Y)=1,计算：Cov （3X2Y+1，X+4Y3）.【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤. 2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E(Y)=0. 而Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰,由此得XY ρ=,故X 与Y 不相关.下面讨论独立性，当|x|≤1时，2212112()1.ππx X x f x y x ----当|y|≤1时，1()Yf y x.显然()()(,). X Yf x f y f x y≠故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为1 0 111验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表111由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=-从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY.【解】如图，SD=12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d D E X xf x y x y =⎰⎰1101d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xxx y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 同理11(),().318E Y D Y == 而 11001()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-.从而11362()()111818XY D X D Y ρ-===-⨯19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY.【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D X E X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+-又π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()2162XY D X D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z1=X 2Y 和Z2=2X Y 的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故121212Cov(,)5513.26()()134Z Z Z Z D Z D Z ρ===⨯21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V2），E （W2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E（V2）E （W2）. 这一不等式称为柯西许瓦兹（CouchySchwarz ）不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈ 显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈ 可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=-2224{[()]()()}.E VW E V E W =- 故222[()]()()}.E VW E V E W ≤ 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)=1λ=5.依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1eλx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1e y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为33336C C {}C k kP Z k -==, 0,1,2,3.k =Z=k 0 1 2 3Pk120 920 920 120因此，19913()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有3(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯=24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系T=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->{10}20{1012}5{12}(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--故2/2d ()125(12)(1)21(10)(1)0(()e ),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ-=-⨯---⨯-= 令这里得 22(12)/2(10)/225e 21eu u ----=两边取对数有2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米)由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望. （2002研考）【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯= 2211()41()()22D Y E Y EY =⨯⨯==-,从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+= 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E （T ）及方差D （T ）. 【解】由题意知：55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩. 因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0; 当t≥0时，利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x tT f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰故得525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩ 由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=15,D(Ti)=125(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=25.又因T1,T2独立，所以D （T ）=D （T1+T2）=225.27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|XY|的方差.【解】设Z=XY ，由于22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 且X 和Y 相互独立，故Z~N （0，1）. 因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =- 而22/21()()1,(||)||e d 2πz EZ D Z E Z z z +∞--∞===⎰2/2022e d π2πz z z +∞-==⎰，所以2(||)1πD X Y -=-.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】记q=1p,X 的概率分布为P{X=i}=qi1p,i=1,2,…，故12111()().1(1)i ii i q p E X iq p p q p q q p ∞∞-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又221211121()()i i i i i i E X i q p i i q p iq p∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)ii q pq q pq p q p pq q p q p p p ∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以22222211()()[()].p pD XE X E X p p p --=-=-=题29图29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y 的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY)E(X)·E(Y)].由条件知X 和Y 的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y G f x y t ∈⎧=⎨<⎩ {(,)|01,01,1}.G x y x y x y =≤≤≤≤+≥从而11()(,)d 2d 2.X xf x f x y y y x +∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d 2d ,()2d ,22X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D X E X E X =-=-=同理可得31(),().218E Y D Y == 11015()2d d 2d d ,12xGE XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=-于是 1121()().18183618D U D X Y =+=+-=30.设随机变量U 在区间[2,2]上服从均匀分布，随机变量X=1,1,1,1,U U -≤-⎧⎨>-⎩ Y=1,1,1, 1.U U -≤⎧⎨>⎩若试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X+Y ）.【解】（1）为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值(1,1),(1,1),(1,1)及(1,1)的概率. P{x=1,Y=1}=P{U≤1,U≤1}112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰ P{X=1,Y=1}=P{U≤1,U>1}=P{∅}=0, P{X=1,Y=1}=P{U>1,U≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰.故得X 与Y 的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X+Y 及（X+Y ）2的概率分布相应为202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 204()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯=211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f(x)=x-e 21，（∞<x<+∞）(1) 求E （X ）及D （X ）；（2）求Cov(X,|X|),并问X 与|X|是否不相关（3）问X 与|X|是否相互独立，为什么【解】(1)||1()e d 0.2x E X xx +∞--∞==⎰2||201()(0)e d 0e d 2.2x x D X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰所以X 与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域∞<x<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X|不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY=1/2，设Z=23YX +. （1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数ρXZ；（3）问X 与Z 是否相互独立，为什么【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯而1Cov(,)()()3462XY X Y D X D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯=(2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 所以0.()()XZ D X D Z ρ==(3) 由0XZρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X+Y=n ，则有D （X+Y ）=D （n ）=0.再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=12,从而有 ()()4nD X npq D Y ===所以0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++2,24XY n nρ=+ 故XY ρ= 1.34.设随机变量X 和Y 的联合概率分布为1 0 10 1试求X 和Y 的相关系数ρ.【解】由已知知E(X)=,E(Y)=，而XY 的概率分布为YX 10 1 P所以E （XY ）=+= Cov(X,Y)=E(XY)E(X)·E(Y)=×=0从而XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ，0<P(A)<1，0<P(B)<1,则称Y Xρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：（1）事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0；（2） |ρ|≤1.【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB)P(A)·P(B)=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生; 1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.由条件知，X 和Y 都服从01分布，即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)·P(A ),D(Y)=P(B)·P(B ), Cov(X,Y)=P(AB)P(A)·P(B)所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为fX(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y=X2，F （x,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求： (1) Y 的概率密度fY(y)； (2) Cov(X,Y);(3)1(,4)2F -.解： (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =；当0＜y ＜1时，(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=，()Y f y =；当1≤y<4时，1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =；当y≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =.故Y 的概率密度为1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他(2)210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,2222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,2233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 故 Cov(X,Y) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.(3) 2111(,4){,4}{,4}222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤11{,22}{2}22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-11{1}24P X =-≤≤-=. 37. 习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10<X<18}.【解】设iX 表每次掷的点数，则41ii X X ==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而22291735()()[()].6212i ii D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑所以235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈2. 假设一条生产线生产的产品合格率是.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件【解】令1,,0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形.而至少要生产n 件，则i=1,2,…,n,且 X1，X2，…，Xn 独立同分布，p=P{Xi=1}=. 现要求n,使得1{0.760.84}0.9.nii XP n=≤≤≥∑即0.80.9niXnP -≤≤≥∑由中心极限定理得0.9,Φ-Φ≥整理得0.95,10⎛Φ≥ ⎝⎭查表 1.64,≥n≥, 故取n=269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X~B （200，）,()140,()42,E X D X ==0.95{0}().P X m P X m =≤≤=≤=Φ 查表知1.64,= ,m=151.所以供电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk （k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=∑=201k kV，求P{V ＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=10012,k=1,2,…,20由中心极限定理知，随机变量201205~(0,1).10010020201212kk VZ N =-⨯==⨯⨯∑近似的于是105205{105}1010020201212P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎨⎬⎪⎪⨯⨯⎪⎪⎩⎭ 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭即有 P{V>105}≈5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少【解】设100根中有X 根短于3m ，则X~B （100，）从而{30}1{30}11000.20.8P X P X ≥=-<≈-Φ⨯⨯1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩第人治愈其他令1001.i i X X ==∑(1) X~B(100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ= (2) X~B(100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑11(1.09)0.1379.=-Φ=-Φ=7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X ，则 p=,n=1000,X~B(1000,， E(X)=50，D(X)=. 故130{20} 6.895 6.895P X ϕ⎛⎫===- ⎪⎝⎭6130 4.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率.【解】11()10,0.1i E T λ=== 21()100,i D T λ==()1030300,E T =⨯= ()3000.D T = 故{350}111(0.913)0.1814.P T >≈-Φ=-Φ=-Φ=9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）. 【解】设至少需n 件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100， E(T)=10n ，D(T)=100n.从而1{3068}0.95,ni i P T =≥⨯=∑即0.05.≈Φ 故0.95,1.64272.n =Φ=≈所以需272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为,,.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1）求参加会议的家长数X 超过450的概率（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1）以Xi(i=1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则Xi 的分布律为易知E （Xi=）,D(Xi)=,i=1,2, (400)而400iiX X =∑,由中心极限定理得400400 1.1~(0,1).iXN -⨯=∑近似地于是{450}1{450}1P X P X >=-≤≈-Φ1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,由拉普拉斯中心极限定理得3404000.8{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y -⨯⎛⎫≤≈Φ=Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭11. 设男孩出生率为，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B （10000，）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P{X≤5000}. 由中心极限定理有{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X ≤≈Φ=Φ-=-Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入（2）至多有多少人能够进入【解】用Xi 表第i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,...,1000）. 令 Sn=X 1+X2+ (X1000)(1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥，事件{}.10000.90.190nn m S ≤=≤ ⎪⨯⨯⎝⎭ 由中心极限定理知：{}1{}10.95.10000.90.1n n P m S P S m ≤=-<≈-Φ≥ ⎪⨯⨯⎝⎭ 从而 0.05,90Φ≤ ⎪⎝⎭故 1.65,90=-所以 m==≈884人(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥.{}0.95.90n P S M ≤≈Φ= ⎪⎝⎭查表知90=,M=900+=≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B （10000，）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为{120}100000.0060.994100000.0060.994P X ϕ=≈⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭21(60/59.64)230.1811e 59.6459.64259.640.0517eϕπ--== ⎪⎝⎭=⨯≈(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为{060}100000.0060.994100000.0060.994P X ≤≤≈Φ-Φ⨯⨯⨯⨯ (0)0.5.59.64⎛=Φ-Φ≈ ⎝14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. （2001研考）【解】令Z=X-Y ，有()0,()()()()2()() 3.E Z D Z D X Y D X D Y D X D Y ρ==-=+-=所以2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P Z E Z P X Y --≥=-≥≤==15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X 的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值. （1988研考）【解】（1） X 可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是，因此，X~B(100,，故X 的概率分布是100100{}C 0.20.8,1,2,,100.k k k P X k k -===(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得{1430}P X ≤≤≈Φ-Φ(2.5)( 1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于.【解】设Xi （i=1,2,…,n）是装运i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，…，Xn 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn 是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,i E X =5,=()50,n E T n ==依中心极限定理，当n~(0,1)N 近似地,故箱数n 取决于条件{5000}n P T P ≤=≤0.977(2).n ≈Φ>=Φ ⎪⎝⎭因此可从2n >解出n<,即最多可装98箱. 习题六1.设总体X~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n=100~(0,1)/X Z N n σ-=即60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N （，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（,）内的概率不小于，则样本容量n 至少取多大【解】~(0,1)5/X Z N n -=2.2 4.2 6.2 4.2(2.2 6.2)()55P X P n Z n --<<=<< 2(0.4)10.95,n =Φ-=则Φn =，故n >, 即n>，所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（X＞1062）.【解】μ=1000,n=9，S2=10021000~(8)100/3X Xt t-==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.【解】~(0,1)Z N=，由P(|X-μ|>4)=得P|Z|>4(σ/n)=,故210.02σ⎡⎤⎛-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭查表得2.33,σ=所以5.43.σ==5.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2＞a）=，求a之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S aP S a Pχχχ⎛⎫=>=>=⎪⎝⎭查表得914.684,16a=所以14.6841626.105.9a⨯==6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量Y=∑∑==-ni ii i X X n 62512)15(，n ＞5服从何种分布【解】2522222211~(5),~(5)inii i i X X X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立.所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于的概率.【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N(20,310),Y ~N(20,315)，且X 与Y 相互独立.则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),X YZ N =所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X~N （0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y=()21521221121022212X X X X X X ++++++ 服从分布,参数为 .【解】~(0,1),iX N σi=1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++所以Y~F 分布，参数为（10,5）.9.设总体X~N （μ1,σ2）,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,1n X 和Y1，Y2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = .【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑则122222112211()(1),()(1),n n i j i j X X n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X~N （μ,σ2），X1，X2，…，X2n （n≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y=∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求E(Y).【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则21111,222nn i i i i X X Z Z n n =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f(x)=x-e 21 (-∞<x<+∞),X1，X2，…，Xn 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S2，求E(S2). 解：由题意，得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是 22222220()()()()1()()d e d 021()()d e d e d 2,2xx x E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰所以2()2E S =.。

概率论与数理统计自测题4

=
1 n
n
∑
i=1
Xi
,则【
】
( A)
Cov(
X1
,
Y
)
=
σ2 n
.
(C)
D(
X1
+
Y
)
=
(n
+ n
2)
σ
2.
(B) Cov( X1,Y ) = σ 2.
(D)
D( X1
−Y
)
=
n +1σ n
2.
三、计算
1.
设随机变量X1服从 λ
=
1 2
的指数分布，X2的概率分布密度函数
f
(
x)
=
⎧⎪⎨cxe−
x 2
A 18
B9
C 30
D 36
3.设X是随机变量，EX=μ，DX=σ2，则对任意常数C，必有【】
A
E(X-C)2=EX2-C2
B E(X-C)2=E(X-μ)2
C
E(X-C)2≤E(X-μ)2
D E(X-C)2≥E(X-μ)2
23
4．设随机变量 X 的密度函数为
f (x) =
π
(1
1 +
x
2
)
(−∞
10.随机变量 X 服从参数为λ的指数分布，则 P{X > DX } = 。
1 0.15 0.20
。 .
二、选择题
1.设随机变量
X
的概率密度函数为
f
（
x
）=
⎧⎪0.1e−0.1x ⎨
x>0
，则 E（2X+1）=【
】
⎪⎩ 0

概率论习题及解答-第四章特征函数

的一个新分割, 且
∑n ∑ m
ξ +η =
(xi + yj )1AiBj .
i=1 j=1
所以由数学期望的定义和概率的有限可加性得
∑n ∑ m
∑n ∑ m
∑n ∑ m
E(ξ + η) =
(xi + yj)P(AiBj) =
xiP(AiBj) +
yj P(AiBj )
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1 j=1
概率论习题解答
李勇张余辉
May 30, 2018
1 第四章数字特征与特征函数
§4.1.4 练习题
练习4.1.1 设 ξ 和 η 均为简单随机变量, 试证明 E(ξ + η) = E(ξ) + E(η).
证明: 不妨假设
∑n ξ = xi1Ai ,
i=1
∑ m η = yj 1Bj ,
j=1
其中 {Ai} 和 {Bj} 均为样本空间的分割. 记 Cij = AiBj, 则 {Cij : 1 i n, 1 j m} 构成样本空间
解: 记 ξ = min{ξ1, ξ2, · · · , ξn}, η = max{ξ1, ξ2, · · · , ξn}, 则 (ξ, η) 的联合密度函数
p(ξ,η)(x, y) = n(n − 1)(y − x)n−2, 0 < x < y < 1,
所以 ξ 和 η 的边缘密度函数分别为 ∫∞
∑n
∑ m
= xiP(Ai) + yjP(Bj) = E(ξ) + E(η).
i=1
j=1
练习4.1.2 假设简单随机变量 ξ 和 η 相互独立, 试证明

(完整版)概率论第四章答案

60解 E(Y) E(2X) 2E(X) 2 xe xdx 2,E(Z) E(e 2X ) e 2x e x dx 1.33. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光 , 电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55分钟从底层起行 . 假设一游客在早八点的第 X 分钟到达底层侯梯处 , 且 X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布 . 求该游客等候电梯时间的数学期望 . 解已知X 在[0,60] 上服从均匀分布 , 其概率密度为1X -20 2 P0.40.30.3E(X)；E(2－3 X); E(X 2)；2 E(3X 25).解由定义和数学期望的性质知E(X) ( 2) 0.4 0 0.3 2 0.30.2;E(2 3X) 2 3E(X ) 2 3 (0 2) 2.6; E(X 2) ( 2)2 0.4 0 20.3220 3 2.8 ;E(3X 2 5) 3E(X 2)53 2.8 5 13.4. 2. 设随机变量 X 的概率密度为xe, x 0, 1. 设随机变量 X 的分布律为习题 4-1f (x)2X求Y 2X 和Z e 2X的数学期望 .0,x ≤0.0,其它.记Y 为游客等候电梯的时间,则5 X, 0 X ≤5,25 X,5 X ≤25,Y g(X)55 X, 25 X ≤55,65 X,55 X ≤60.160 因此, E(Y) E[g(X)] g(x) f (x)dxg(x)dxf (x) 60, 0≤x≤60,60(A) 若 X ~ B(n, p),则E(X) np.c a ， Yc,X 1, X 0.于是 E(Y) (c a) P{ X 1} c P{X 0} ap c .据题意有 ap c a 10% , 因此应要求顾客角保费 c (0.1 p)a .习题 4-21. 选择题(1) 已知 E(X ) 1,D(X)3 则 E[3(X2 2)2] ().(A) 9.(B) 6.(C) 30.(D)36解 E[3(X 2)2] 3E(X24X 4)3[E(X 2)4E(X)4]3{D(X) [E(X)]2 4E(X) 4}3 (3 14 4) 36 .可见，应选 (D).(2) 设 X ~ B(n, p),E(X )6,D(X) 3.6 , 则有 ( ).(A) n 10, p 0.6 . (B) n 20, p 0.3 (C) n 15, p 0.4 .(D) n 12, p 0.5解因为 X ~ B(n, p), 所以 E(X)=np,D(X)=np(1-p), 得到 np=6, np(1-p)=3n=15 , p=0.4 . 可见，应选 (C).(3) 设 X 与 Y 相互独立，且都服从2N( , 2) , 则有 ( ).(A) E(X Y) E(X) E(Y). (B) E(X Y) 2 .(C) D(X Y) D(X)D(Y).(D) D(XY) 2 2.解注意到 E(X Y) E(X) E(Y) 0.由于 X 与Y 相互独立 ,所以D(X Y) D(X) D(Y) 222. 选 (D).(4) 在下列结论中 , 错误的是 ().6 . 解之 ,1 5 25(5 x)dx (25 x)dx600 5=11.67(分钟 )..14. 某保险公司规定 , 如果在一年内顾客的投保事件 A 发生 , 该公司就赔偿顾客 a 元. 若一年内事件 A 发生的概率为 p, 为使该公司受益的期望值等于 a 的 10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？解设保险公司要求顾客交保费 55(55 x)dx60 (65 x)dx55c 元. 1， 0, 则 P{X 1} p, P{X 0} p . 引入随机变量事件A 发生, 事件A 不发生. 保险公司的受益值(B) 若 X ~ U 1,1 ，则 D(X) 0 . (C) 若 X 服从泊松分布 , 则 D(X) E(X).(D) 若 X ~ N( , 1 2), 则 X~ N (0,1) .14.3 又 X 1, X 2 , X 3相互独立 , 所以D(Y) D(X 1 2X 2 3X 3) D(X 1) 4D(X 2) 9D(X 3)1 3 4 4 9 20.914. 设两个随机变量 X 和 Y 相互独立 , 且都服从均值为 0, 方差为的正态分布 , 求2 |X Y |的的期望和方差 .11 解记U X Y . 由于X ~ N(0, ),Y ~ N(0, ),所以22E(U) E(X) E(Y) 0, D(U) D(X) D(Y) 1. 由此 U ~ N (0,1) . 进而3203~ U( 1,1) , 则 D(X) (b a)122. 已知 X, Y 独立, E(X)= E(Y)=2, E(X 2)= E(Y 2)=5,解由数学期望和方差的性质有E(3X- 2Y)= 3E(X)-2 E (Y)=3×2-2×2=2,D(3X 2Y) 9D(X) 4D(Y)9 {E(X 2) [E(X)]2} 9 (5 4) 4 (5 4) X 2, X 3 相互独立 , 其中 2X 2解X221. 选(B).312求 E(3X-2Y),D(3X-2Y).3. 设随机变量 2X 2 ~ N (0, 22), X 3解由题设知X 1,~ P (3), 记 Y X 14 {E(Y 2) [E(Y)]2}13.X 1 服从区间[0, 6]上的均匀分布, 3X 3 ,求 E(Y)和 D(Y) .E(X 1) 3, D(X 1) E(X 3)(6 0)2 3,12 113,D(X 3)E(X 2) 0,D(X 2 ) 4,由期望的性质可得E(Y) E(X 12X 2 3X 3) E(X 1) 2E(X 2 ) 3E(X 3)5. 设随机变量X ~U[ 1,2], 随机变量1, X 0,Y 0, X 0,1, X 0. 求期望E(Y) 和方差D(Y) .解因为X的概率密度为1, 1≤x≤2,f X (x) 3于是Y的分布率为P{Y 1} P{XP{YP{Y 1} P{ X因此0, 其它.0110}-f X(x)dx dx-133 0}P{ X 0} 0 ,+2120}0 f X (x)dx dx0033 21 x22 E(|X Y|) E(|U |) |x| e 2dx 0 xe E(|U |2) E(U2) D(U ) [E(U)]22x2 dx02故而D(|X Y|) D(|U|) E(|U|2) [E(|U |)]22e1.2212故有6. 设随机变量U1,X1,求E(X+Y), D(X+Y).E(Y)E(Y2 ) (1)20212D(Y) E(Y2 )[E(Y)]2321.389.在区间[-2, 2]上服从均匀分布若U ≤1, 若U1.9, 随机变量1, 若U≤1, Y 1,若U 1.解(1) 随机变量(X, Y) 的可能取值为(-1,- 1),(- 1,1),(1,- 1),(1,1).-11 1P{X 1,Y 1}P{U ≤ 1,U ≤ 1} P{U ≤ 1}dx-24 4P{ X 1,Y 1}P{U ≤ 1,U1} 0,111 P{ X 1,Y1}P{U1,U ≤1}14dx , 221 1 P{X 1,Y1}P{U1,U1}dx .144 于是得 X 和Y 的联合密度分布X+Y-2 0 21 1 1 P{ X+Y =k}424(X+Y)24P{ (X+Y)2=k}1 1 22由此可见2 2 2 E(X Y) 0;D(X Y) E[( X Y)2] 2. 44习题 4-31. 选择题(1) 在下列结论中 , ( )不是随机变量 X 与 Y 不相关的充分必要条件(A) E(XY)=E(X)E(Y). (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y).(C) Cov(X,Y)=0.(D) X 与 Y 相互独立 .解 X 与 Y 相互独立是随机变量 X 与 Y 不相关的充分条件 ,而非必要条件 . 选(D).(2) 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布 , 且它们不相关 , 则下列结论中不正确的是(C) X 与 Y 未必独立 . (D) 解对于正态分布不相关和独立是等价的 ).(A) X 与 Y 一定独立 . (B) (X, Y)服从二维正态分布 X+Y 服从一维正态分布 . 选 (A).(2) X(3) 设(X, Y)服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) ( X, Y) 的边缘分布仍然是正态分布 . (B) X 与 Y 相互独立等价于 X 与 Y 不相关 . (C) (X, Y)是二维连续型随机变量 .(D)由(X, Y)的边缘分布可完全确定 (X, Y)的联合分布 .解仅仅由 (X, Y)的边缘分布不能完全确定 (X, Y)的联合分布 . 选 (D) 2 设 D(X)=4, D(Y)=6, ρXY =0.6, 求 D(3X-2Y) .解 D(3X 2Y) 9D(X) 4D(Y) 12Cov( X,Y)9 4 4 6 12 XY D(X) D(Y)36 24 12 0.6 2 6 24.727 .3. 设随机变量 X, Y 的相关系数为 0.5, E(X) E(Y) 0, E(X2) E(Y 2) 2,2求 E[(X Y)2] .2 2 2 解 E[(X Y)2] E(X 2) 2E(XY) E(Y 2)4 2[Cov( X,Y) E(X)E(Y)] 4 2 XY D(X) D(Y) 4 2 0.5 2 6.4. 设随机变量 (X, Y)的分布律为1 0 0.42 0 a 1 1 0.2 2 1 b 0.2 2b0.1. 由此可得边缘分布律5. 已知随机变量 ( X ,Y ) ~ N (0.5, 4; 0.1, 9; 0) , Z=2X- Y, 试求方差D(Z), 协方差X 1 2 Y 01P{X i} 0.6 0.4 P{Y j} 0.5 0.5E(Y) 0 0.5 1 0.5 0.5. 0.5 0.1. E(X) 1 0.6 2 0.4 1.4 , Cov( X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0.8 1.4 0.8 E(XY) 得 b 0.3. 进而 a于是故若 E(XY)=0.8, 求常数解首先由p ij 1 得 a b 0.4. 其次由i 1 j1Cov( X ,Z) , 相关系数 ρXZ .解由于 X,Y 的相关系数为零 , 所以 X 和 Y 相互独立(因X 和Y 服从正态分布 ). 因此D(Z) D(2X Y) 4D(X) D(Y) 4 4 9 25 ,Cov( X,Z) Cov( X,2X Y)2Cov(X,X) Cov( X,Y) .1 X Y关系数XY , Z . 求: (1) E(Z), D(Z)； (2) X 与 Z 的相关系数 ρXZ ; (3)问 XY2 3 2 X 与 Z 是否相互独立 ?为什么? 22 解 (1) 由于 X ~ N (1,32 ) , Y ~ N(0,42) , 所以(3) 由 XZ 0知X 与Z 不相关, 又 X 与Z 均服从正态分布 , 故知 X 与 Z 相互独立 .7．证明: 对随机变量 (X, Y), E(XY)=E(X)E(Y)或者 D(X Y)=D(X)+D(Y)的充要条件是 X 与 Y 不相关 .证首先我们来证明 E(XY) E(X)E(Y) 和D(X Y) D(X) D(Y)是等价的. 事实上, 注意到 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov( X,Y) . 因此D(X Y) D(X) D(Y) Cov( X,Y) 0 E(XY) E(X)E(Y).因此2D(X) Cov( X,Z) D(X) D(Z) 6. 设随机变量 (X, Y)服从二维正态分布 : XXZ0880.8 . 2522~ N(1,32), Y ~N(0, 42);X 与 Y 的相因此E(Z)D(Z) (2) 由于Cov( X,Z)所以XZXYD(X) D(Y) 12 346.Y 2) 1 13E(X)1E(Y) 2 1 3 11 2 0 1 3 Y 1 111Y 2) D(X) 9 D(Y) 42Cov( 3 X , 12Y) 1 16 1 Cov( X,Y) 1 4 1( 6) 3.4 33Y1 11 1) D(X) Cov( X,Y)9( 6)2 323 2E(X) 1,D(X) 9,E(Y) 0,D(Y) 16,Cov( X,Y)9 X Cov( X, 3 E(X 3D(X 3 1 9Cov( X,Z)D(X) D(Z)0.0,其次证明必要性 . 假设 E(XY)=E(X)E(Y), 则Cov( X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0 .最后证明充分性 . 假设 X 与 Y 不相关, 即 XY 0, 则Cov( X,Y)E(XY) E(X)E(Y) .总习题四1. 设 X 和 Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量 , 已知 X 的分布律为 1 P{X i} ,i 1,2,3 . 又设U max{ X ,Y}, V min{ X,Y} .3(1) 写出二维随机变量 (U, V)的分布律 ;(2) 求 E(U ). 解 (1) 下面实际计算一下 P{U 1,V 3}.注意到U max{ X,Y}, V min{ X ,Y} , 因此P{U 1,V 3} P{X 1,Y 3}P{X 1}P{Y 1111(2) 由的分布律可得关于 U 的边缘分布律进而XYCov( X,Y)D(X) D(Y)0, 即 X 与 Y 不相关 .0 . 由此知P{X 3,Y 1} 3} P{X 3}P{Y 1} 21 3 5 22 所以 E(U) 112 33 5 22. 99 9 92. 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗 . 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是2相互独立的 , 并且概率是 . 设 X 为途中遇到红灯的次数 , 求随机变量 X 的分布律、分布函5数和数学期望 .3. 设随机变量 (X,Y) 的概率密度为212y 2, 0≤ y ≤x ≤1, f(x,y) 0, 求E(X), E(Y), E(XY), E(X 2 Y 2).X0 1 2 3P2754 36 8125 125 125 1252754 36 8k} 0 1 2 3125125 125 125解令 X 表示途中遇到红灯的次数 , 由题设知 X ~ B(3,2) . 即 X 的分布律为53从而 E(X) kP{Xk16 5其它. 解 E(X) xf ( x, y)dxdy 1dx12y 2dy4x 4dxE(X) yf ( x, y)dxdy 0dx 0y12y 2dy 03x 4dxE(XY)xyf(x,y)dxdy1 dx 0x0 xy 12 y 2dy3x 5dxE(X 2 Y 2)(x 2 y 2) f (x,y)dxdy4. 设随机变量(4x5 12 x 5)dx 05 (X,Y)的概率密度为1sin( x f(x,y) 20,2 325 30 1 dx16 15 .(x 2y 2)35 3 612y 2dyy),π0≤x ≤ π, 0≤y ≤22 其它.求E(X),D(X),E(Y),D(Y),E(XY)和Cov(X,Y).于是有1. 22 所以协方差Cov( X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 1.2 1615. 设随机变量 X 与 Y 独立, 同服从正态分布 N(0, ) , 求2(1) E(X Y); D( X Y)；(2) E (max{ X ,Y}); E(min{ X,Y}) .11解 (1) 记 X Y .由于 X ~ N(0, ),Y ~ N(0, ),所以E( ) E(X) E(Y) 0, D( ) D(X) D(Y) 1. 由此 ~ N(0,1).所以解 E(X)122xf(x,y)dxdy 2 2 x sin( x y)dxdy2E(X 2)2x f (x, y)dxdy2y)dxdy 2. 2 0 2 0x 2 sin(x x 2 E(| X Y |) E(| |)12|x| 2 e 2dx 2 0xe x 22 dx82D(X)2E(X 2)2[E(X)]22.16 22利用对称性 ,有E(Y) 4,D(Y) 16 2. 2 又E(XY)1 xyf ( x, y)dxdy22xy sin( x y)dxdy 1 2 1 2 02 xdx 02 xdx 02ysin(x y)dy 2 y[sin x cos y cos xsin y]dyE(XY) xyf (x, y)dxdy2e x 22E(| |2) 0E( 2) D( ) [E( )]21 故而D(| X Y|) D(| 22|) E(| |2) [E(| |)]2 1021.221 2所以 (2) 注意到max( X , Y) (X Y) |X Y | , min( X , Y)X Y |X Y|E[max( X , Y)] 112{E(X) E(Y) E[| X Y|]} 12 12 212,1 12{E(X) 6. 设随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为 x y, 0≤ x ≤2,0≤y ≤2,f (x, y) 8E[min( X,Y)] E(Y) E[| X Y|]} 0, 求: E(X), E(Y), Cov( X,Y), ρXY , D (X+Y ). 解其它.注意到 f (x, y)只在区域 G:0≤x ≤2,0≤y ≤ 2上不为零,x x y dxdyG 82x(xE(X) xf(x,y)dxdy 因而所以E(X 2)2 dx 02dxD(X)21 0 x(x y)dy 42 x f (x,y)dxdy22 10x (x y)dy 4 22E(X 2) [E(X)]27 1)dx 7623(x 35 72 3 622x )dx11 3612 2 1 22 44 dx xy(x y)dy (x x)dx .8 0 0 4 0337 2 2 5 11E(X) , E(Y 2) E(X 2) , D(Y) D(X) . 6 3 364 491 Cov( X,Y) E(XY) E(X)E(Y) ,3 3636Cov( X,Y) 1XYD(X) D(Y) 11 5D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov( X,Y) .917. 设A, B 为随机事件 , 且 P(A) ,P(B|A)41， A 发生 , XY 0， A 不发生 ,Y1P(AB)1111 解由P(B| A)得 P(AB)P(A) , 进而由3P(A)334 121P(AB)1P(A|B)得 P(B) 2P(AB). 在此基础上可以求得2P(B)6(1) P{ X1,Y 1} P(AB)112111P{X 0,Y 1}P(AB) P(B)P(AB)6 12 121 11P{ X 1,Y 0}P(AB)P(A) P(AB)412 6P{X 0,Y 0} P(AB)1 P(AUB) 1 [P(A)P(B) P(AB)]求: (1) 二维随机变量 (X, Y)的概率分布 ; (2) X 与Y 的相关系数XY111 21[111]2.4 6 12 3故(X, Y)的概率分布为由对称性知E(Y)这样，11,P(A|B) , 令 321， B 发生 , 0， B 不发生 .21312111612(2) 由(1)易得关于X 和Y的边缘分布律X0131P{X=k}44Y0151P{Y=k}66因此E(X)1,E(X2)1,4422113D(X) E(X 2)[E(X)]241616E(Y) 1,E(Y2) 1,D(Y) E(Y2)2[E(Y)]2 1 1 566 6 36 36又由(X, Y)的分布律可得21111 E(XY) 0 0 0 1 1 011.3121212 12故111E(XY) E(X)E(Y) 12 4615XY D(X) D(Y)3515.16 3601X。

概率论与数理统计习题4 英文版

概率论与数理统计习题4英文版
EECE 7204
APPL. PROB. & STOCH. PROC.
Homework-4 Problem Set with Text
Due on October 18, 2011
2011 FALL
Reading Assignment: Chapter 4 from Stark and Woods, edition 4.
in part (a) above.
0.5
fX(x )
0.5
0
1
2
x
P4.9
Random variable X
is distributed according to the pd e−x u(x).
(a) Determine the mean µx = E [X ] of X . (b) Determine the variance σ2X = E X − µx 2 of X . (c) Determine the skewness of X given by
2x, 0 < x < 1, fX (x) = 0, else.
P4.2 Text Problem 4.18 (Page 285). Verify your answer in part (c) by computing the mean of the conditional mean determined in part (b). Let X and Y be two RVs. The pdf fX (x) of X is given as
P4.5 Text Problem 4.38 (Page 288).
Let X
be
a
uniform

习题课4

第二步: 第二步对似然函数取对数 ln L(θ ); 第三步:对求导并令其等于0, 得似然方程(组第三步对ln L(θ )求导并令其等于得似然方程组) 第四步: 求解似然方程. 第四步求解似然方程注：当似然方程无解的时候, 应直接寻求当似然方程无解的时候使似然函数达到最大的解求得极大似然估计。使似然函数达到最大的解求得极大似然估计。
2
n
n
2 i
− nX .
2
点评：以上公式极其简单点评：以上公式极其简单, 却是统计学中常用公式, 务必熟记. 用公式务必熟记
9
是取自正态总体N(0, 22)的例2 设X1, X2, X3, X4是取自正态总体的一个样本, 一个样本令
Y = a ( X 1 − 2 X 2 )2 + b( 3 X 3 − 4 X 4 )2 ,
1 . F −α (n1, n2 ) = 1 F (n2 , n1 ) α
2
4. 两个抽样分布定理的重要结论两个抽样分布定理的重要结论: 单个正态总体): 单个正态总体 Th6.2.4 (单个正态总体 2 X −µ (n − 1)S2 σ ~ t(n − 1); ~ χ 2 (n − 1). X ~ N(µ , ); σ2 n S n 两个独立正态总体): 两个独立正态总体 Th6.2.5 (两个独立正态总体
1 1 Y1 = ( X 1 + X 2 + ⋯ + X 6 ), Y2 = ( X 7 + X 8 + X 9 ), 6 3 1 9 2 2 2(Y1 − Y2 ) S = ∑ ( X i − Y2 ) , Z= . 2 i =7 S
证明：证明：Z ~ t (2) . 点评：点评：历史上研究生入学试题. 历史上研究生入学试题

概率论与数理统计课后习题答案习题第四章

y 2 i4e −4 y dy =
00
3
1 2 E ( X ) = ∫ xi2 xdx = , 0 3
圣才统计学习网
tj
圣才学习网
求 E（XY）. 【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值
.c
⎧ 2 x, 0 ≤ x ≤ 1, 其他; ⎩0,
5.设随机变量 X 的概率密度为
N
∑ kP{ X = k}
k =0
N
求 E（X），D（X）. 【解】 E ( X ) =
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = ∫ x 2 dx + ∫ x(2 − x)dx
0 1
1
2
w.
1 2 0 1
3 ⎡1 3 ⎤ ⎡ 2 x ⎤ = ⎢ x ⎥ + ⎢ x − ⎥ = 1. 3 ⎦1 ⎣ 3 ⎦0 ⎣
12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
2
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
计
【解】（1） E[U ] = E (2 X + 3Y + 1) = 2 E ( X ) + 3E (Y ) + 1
= 2 × 5 + 3 × 11 + 1 = 44.
因Y , Z 独立E (Y )i E ( Z ) − 4 E ( X )
= 11× 8 − 4 × 5 = 68.

概率论与数理统计习题解答(第4章)

第4章习题答案三、解答题1. 设随机变量X求)(X E ，)(2X E ，)53(+X E ．解：E (X ) =∑∞=1i ixp= ()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯= -0.2E (X 2) =∑∞=12i i p x= 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 = 4.42. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为6,,2,1,6/1}{ ===i i X P记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=283. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．(2) 某天恰有n 个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B (n , p 1),所以E (X )= n p 1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B (n , p ),记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B ｝= p 1+ p 2 - p 1 p 2 所以E (Y )= n (p 1+ p 2 - p 1 p 2 )4. 将n 个考生的的录取通知书分别装入n 个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X 表示n 个考生中收到自己通知书的人数，求E (X )．解：依题意，X~B (n ，1/n )，所以E (X ) =1.5. 设)(~λP X ，且}6{}5{===X P X P ，求E (X )．解：由题意知X ～P （λ），则X 的分布律P{}k X ==λλ-e k k!，k = 1,2,...又P {}5=X =P {}6=X , 所以λλλλ--=e e!6!565解得 6=λ，所以E (X ) = 6.6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6}{22 --===k kk X P π问X 的数学期望是否存在？解：因为级数∑∑∑∞=+∞=+∞=+-=-=⨯-11212112211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k kk k k πππ，而 ∑∞=11k k 发散，所以X 的数学期望不存在.7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.0,0,91)(3/其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．解：E (X ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞∞-==03/203/9191)(dx e x dx xe xdx x f x x x =6.8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-=.0,5,251)(2其它x x x F求这种家电的平均寿命E (X )．解：由题意知，随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=当x >5时，=)(x f 3350252xx =⨯--，当x ≤5时，=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-53=-==∞++∞∞+∞⎰⎰xdx x x dx x xf 所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.0,10,)1(42)(5其它x x x x f 求X 的数学期望E (X )．解：E (X ) =dx x x dx x xf ⎰⎰+∞∞-=-152)1(42)(=1/410. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.010,)1(2301)1(23)(22其它，，，，x x x x x f解：0)1(1023)1(0123)()(22=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E .111. 设),4(~p B X ，求数学期望)2(sinX E π．解：X 的分布律为k n kk n p p C k X P --==)1(}{， k = 0，1，2，3，4，X 取值为0，1，2，3，4时，2sinX π相应的取值为0，1，0，-1，0，所以)21)(1(4)1(1)1(1)2(sin13343114p p p p p C p p C XE --=-⨯--⨯=π12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =，（k > 0，常数），求W 的数学期望．解：V 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,00 ,1)(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=⎰⎰aa v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(231ka13. 设随机变量(X ,求E (X )，E (Y )，E (X – Y )．解：E (X )=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度⎩⎨⎧≤+≤≤≤≤=其它,01,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求E (X )，E (Y )，E (XY )解：E (X )=⎰⎰⎰⎰-=⋅11022424xDydydx x xydxdy x dx x x ⎰-⋅=1022)1(2124dx x x x ⎰+-=10432)2412(52)51264(1543=+-=x x x.152)34524638()1(31242424)(5/22424)(1654311010322210102=-+-=-⋅==⋅===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x x x dx x x dydx y xxydxdy xy XY E xdxdy y xydxdy y Y E DxDy15.所得利润（以元计）为)12(1000X Y -=,求E (Y )，D (Y )．解： E (Y) = E ［1000(12-X )］=1000E ［(12-X )］=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400E (Y 2) = E ［10002(12-X )2］=10002E ［(12-X )2］=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106D (Y )=E (Y 2)-［E (Y )］2=1.6×106- 4002=1.44×10616. 设随机变量X 服从几何分布，其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中0 < p < 1是常数，求E (X )，D (X )．解：令q=1- p ,则∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞==⨯=⨯==⨯=111111)()}{()(k kk k k k k dqdq p qk p p qk k X P k X Ep q dq d p q dq d p k k /1)11(0∑∞==-==∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=⨯+⨯-=⨯==⨯=1111112122])1([)()}{()(k k k k k k k q k qk k p p qk k X P k X Ep qk k pq k k /1)1(12+⨯-=∑∞=-p qdq d pq p q dqd pq k k kk /1)(/1012222∑∑∞=∞=+=+=p p q p q pq p q dq d pq /1/2/1)1(2/1)11(2322+=+-=+-= D (X ) = E (X 2)- E (X ) =2q /p 2+1/p -1/p 2 = (1-p )/p 217. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01||,11)(2x x x f π，试求E (X )，D (X )．解：E (X )=011)(112=-=⎰⎰-∞∞-dx xxdx x f x πD (X )=E (X 2)=⎰⎰⎰--∈-∞∞-=-=2/2/2]2/,2/[11222cos sin sin 11)(ππππππdt tt tx dx xxdx x f x t2122cos 122/0=-=⎰ππdt t 18. 设随机变量(X ，Y )具有D (X ) = 9，D (Y ) = 4，6/1-=XY ρ，求)(Y X D +，)43(+-Y X D ．解：因为)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ，所以)()(),(Y D X D Y X Cov XY ρ==-1/6×3×2=-1,11249),(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y D X D Y X D51)1(6369)3,(2)(9)()43(=--+=-++=+-Y X Cov Y D X D Y X D19. 在题13中求Cov (X ，Y )，ρXY ．解：E (X ) =1/2, E (Y ) =3/4, E (XY )=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E (X 2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E (Y 2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D (X )= E (X 2) -［E (X )］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D (Y )= E (Y 2)- ［E (Y )］2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov (X ，Y )= E (XY )- E (X ) E (Y ) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ρXY = Cov (X ，Y ) /()(X D )(Y D )=-9/56 ÷ (28/9112/45)= -5/520. 在题14中求Cov (X ，Y )，ρXY ，D (X + Y )．解：52)()(==Y E X E ,,)(152=XY E 752)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov )(5124)(2101032Y E dydx y x X E x ===⎰⎰-[])(25125451)()()(22Y D X E X E X D ==-=-= 752),(2)()()(32)()(),(=++=+-==Y X Cov Y D X D Y X D Y D X D Y X Cov XYρ21. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.0,1,1),(22其它y x y x f π试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：0/12/)(112111122=-==⎰⎰⎰-----dx x x dydx x X E x xππOx2x20/)(111122==⎰⎰----x x dydx y Y E π 0/)(111122==⎰⎰----x x dydx xy XY E π，所以Cov (X ，Y )=0，ρXY =0，即X 和Y 是不相关.⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122y y y dx dx y x f y f y y Y ππ 当x 2 + y 2≤1时，f ( x,y )≠f X ( x ) f Y (y ),所以X 和Y 不是相互独立的22. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=.010,2||,2/1),(其它x x y y x f 验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：由于f ( x,y )的非零区域为D : 0 < x < 1, | y |< 2x32221102212====⎰⎰⎰⎰⎰-dx x xdydx dxdy y x xf X E xx D ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dydydx dxdy y x yf Y E ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dxydydx dxdy y x xyf XY E ),()(,所以Cov (X ，Y )=0，从而0)()(),(==y D x D y x Cov xy ρ，因此X 与Y 不相关 .⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-其他,010,221),()(22Xx x dy dy y x f x x x f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-=<<-+===⎰⎰⎰-∞+∞-其他,020,421202,42121),()(1212Y y y dx y y dx dx y x f y y y f所以，当0<x <1, -2<y<2时，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不是相互独立的 .⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=⎩⎨⎧≥<<--==-0,00,0,1)(,0),()(y y e y f Y x Y mx xY Y x n mY Y Q Q y Y θθθ的密度函数为[]()()()取最大值时，当又则令)(n ln 0n m )(d n ln,n 0)(1)()(d )()()()(1.1.)()(.)()( 20000000Q E n m x e dx Q E n m x n m e n e n m n e n m dx Q E nxn m e n m m xenx nxe e n m xe n m m xe nxe dy n m e ye n m m xde de nx yde n m dye m x dy e y x n m y dy Yf Y Q Q E x xxx x x x x y x xyx y x y x y x y x y y x x y x y Y +-=∴<+-=+-=∴+==-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+++-=+-++-+-=-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=-++-=+--==---------∞+----∞+---∞+--∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失，再者，他们预测销售量Y （件）服从参数θ的解：设生产x 件产品时，获利Q 为销售量Y 的函数2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X 服从参数为λ的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m 元，卖不掉而退回则每日赔偿n 元，若每日卖报人买进r 份报，求其期望所得及最佳卖报数。

概率论与数理统计自考(习题卷4)

概率论与数理统计自考(习题卷4)第1部分：单项选择题，共38题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。

1.[单选题]已知随机变量X只能取值-1,0,1,2,其相应的概率依次为,则P{X<1|X≠0}=( )。

A)4/25B)8/25C)12/25D)16/25答案:B解析:① 求c:,解得,得X的分布律2.[单选题]设随机变量X服从参数为2的指数分布, 随机变量Y =2X+2, 则E(Y)=A)0.5B)1C)2D)3答案:D解析:本题考察指数分布的数字特征及随机变量函数的数字特征。

已知~,则,所以,故选择D.3.[单选题]设随机变量X与Y的方差分别为4和9,斜方差为4.2,则相关系数为A)0.7B)0.4C)0.5D)0.9答案:A解析:4.[单选题]已知D(X)=9,D(Y)=16,ρXY=0.4,则D(X+Y)为A)9.4B)16.4C)34.5D)34.6答案:D解析:因为,因此Cov(X,Y)=3×4×0.4=4.8,而D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)=9+16+2×4.8=34.6,因此选D。

5.[单选题]在某大学抽查100个学生,调查他们自觉储蓄的比例,情况如下:A)0.9475B)0.9321C)0.8702D)0.6356答案:A解析:Eξ=7.99, Dξ=0.21,切比雪夫不等式:即学生储蓄率为ξ%与平均水平7.99%相差不足两个百分点(ξ=2)的概率不小于0.94756.[单选题]设X1,…Xn为来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,则数学期望等于()。

A)n3(n-1)μ·σ2B)(n-1)μ·σ2C)n2(n-1)μ·σ2D)n3(n-1)μ·σ答案:A解析:由于-X,S 是相互独立的,则7.[单选题]设总体X服从正态分布N(0, σ2), X,S2分别为容量是n的样本的均值和方差,则可以作出服从自由度为n-l的t分布的随机变量()。

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验 4次，每次随机地取 10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以 X 表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的)解：设表示一次抽检的 10件产品的次品数为1 —=.从而E ( X )=np =4X =的数学期望不存在. 解:3j—)不绝对收敛，由数学期望的定义知， X 的数学期望不存在.J求 E(X), E(X 2), E(3X 25).解 E (X )=(-2) +0 +2习题4-3 设随机变量 X 的分布律为P =P (调整设备)=P ( E >1)=1 — P ( E W 1)= 1 -[P ( E =0)+ P ( E =1)］查二项分布表因此X 表示一天调整设备的次数时4P ( X =1)= XX =, P ( X =2)=1 4P ( X =3)= XX =, P ( X =4)=X 〜巳4,. 4XX =2 4XX =P ( X =0)=XX习题4-2 设随机变量 X 的分布律为P X23j ，1,2,,说明X由于.13j (1)j 勺一P(X j(1)j1-)-，而级数2 j 1 j• 1 3j- 1)j1- P(X ( 1)j由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E(X2)=(-2) 2小2 小2+0 +2E(3X2+5)=[32 2 2(-2) +5] +[3 0 +5] +[3 2+5]如利用数学期望的性质, 则有E(3X2+5)=3E(X2)+5=3 +5=E(X)2 E(X ) E(3X22 0.4 020.3 0.30.2,习题求（1）Y22(2) 0.4 225) 3E(X ) 54-4 设随机变量2X; (2)Y e 2X0.3 2.8,13.4X的概率密度为f（X）的数学期望.(I)E( Y) E(2X) 2xf(x)dx2( 0dx2( xe 0 e x dx) 2e(II )E(Y) E(e 2X) 2x x .e e dx3x dx习题4-5 设（X,Y）的概率密度为f(x,y)求 E(X), E(Y), E(XY), E(X2 Y2).解各数学期望均可按照E[g（X, Y）]在有限区域G:｛（x,y）|0E(X)E(Y) 0,xe3xx 0,x 0dx)12y2, 0,y x 1, 其它g(x, y) f (x, y)dxdy 计算。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第六讲数理统计第一章基本概念考试要求：数学一、三理解：总体，简单随机样本，统计量，样本均值样本方差和样本矩数学一了解：2χ分布，t 分布，F 分布，分位数并会查表计算，正态总体的常用抽样分布数学三了解：产生2χ变量，t 变量，F 变量的典型模式理解：标准正态，2χ分布，t 分布，F 分布的分位数并会查表计算，经验分布掌握：正态分布的常用抽样分布§1 总体和样本一．总体：所研究对象的某项数量指标X 全体。

二．样本，如果12,,...,n X X X 相互独立且都与总体X 同分布，则称12,,...,n X X X 为来自总体的简单随机样本，简称样本。

样本容量，样本值，观测值()XF x ，则12,,...,n X X X 的联合分布121(,,...,)()nn ii F x x x F x ==∏()Xf x ，则12,,...,n X X X 的联合密度 121(,,...,)()nn i i f x x x f x ==∏例设总体()Xe λ，则来自总体X 的样本12,,...,n X X X 的联合概率密度12(,,...,)n f x x x =______________§2 统计量和样本数字特征一．统计量样本12(,,...,)n X X X 的不含未知参数的函数12(,,...,)n T T X X X =。

如果12,,...,n x x x 是样本12,,...,n X X X 的样本值，则数值12(,,...,)n T x x x 为统计量12(,,...,)n T X X X 的观测值。

二．样本数字特征1．样本均值 11ni i X X n ==∑；2．样本方差 2211()1ni i S X X n ==--∑，样本标准差S = 3．样本k 阶原点矩 11n kk i i A X n ==∑ 1,2k =；4．样本二阶中心矩2211()ni i B X X n ==-∑()()E X E X μ==， 2()()D X D X n n σ==，22()()E S D X σ==如果()kk E X μ=，11n P kn i k i A X n μ==−−→∑。

例设总体X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，来自总体X 的样本为1234,,,X X X X 则(4)1234max(,,,)X X X X X =的概率密度(4)()X f x =_____________.§3 常用统计抽样分布常用统计抽样分布：正态分布，2χ分布，t 分布和F 分布。

除正态分布外不必记忆这些分布的概率密度，但要了解其典型模式，分布曲线示意图和分位数，会查表。

一．2χ分布1．典型模式：12,,..n X X X 相互独立且均服从(0,1)N ，则称222212...n X X X χ=+++ 服从自由度为n 的2χ分布，记22()n χχ12221,0()2()20,0n x nx e x n f x x --⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪<⎩2()E n χ=，2()2D n χ=；2．可加性：设2211()n χχ，2222()n χχ，且2212χχ和相互独立则2221212()n n χχχ++；3．上α分位点2()n αχ：设22()n χχ，对于给定的(01)αα<<，称满足条件22())n αχχα>=P(的点2()n αχ为2()n χ分布的上α分位点。

例已知22()n χχ，则2()E χ=______________。

二．t 分布1．典型模式：,X Y 独立，(0,1)XN ，2()Yn χ，则()T t n =1221()2()(1)()2n n x f x n n +-+Γ=+，x -∞<<+∞()f x 是偶函数，n 充分大时，()t n 近似(0,1)N 。

2．上α分位点()t n α~()T t n ，01α<<，(())P T t n αα>=，1()()t n t n αα-=-，2(())P T t n αα>=三．F 分布1．典型模式：,X Y 独立，2212(),~()Xn Y n χχ，则1122(,)X n F F n n Y n =112121212221212212()2,0()()()()220,0n n n n n n n x n n x n n f x n x n x -++⎧Γ⎪ >⎪=⎨ΓΓ+⎪⎪ ≤⎩如果 12(,)FF n n ，则211(,)F n n F2．上α分位点12(,)F n n α12(,)FF n n ，01α<<，12((,))P F F n n αα>=112211(,)(,)F n n F n n αα-=§4 正态总体的抽样分布一．一个正态总体设2(,)XN μσ，12,,..n X X X 来自总体X 的样本样本均值X ，样本方差2S ，则（1）2(,)XN nσμ，(0,1)X U N =（2）X 与2S 相互独立，且2222(1)(1)n s X n χσ-=-（3）(1)X T t n =-（4）222211()()nii Xn χμχσ==-∑二．两个正态总体设211(,)XN μσ，222(,)YN μσ，112,,..n X X X 和212,,..n Y Y Y ，分别来自X Y 和的样本，相互独立，2212,,,X Y S S ，（1）22121212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)U N =（2）如果2212σσ=，则12(2)T t n n =+-其中222112212(1)(1)2n S n S S n n ω-+-=+- （3）2211122222(1,1)S F F n n S σσ=--§5 典型例题分析例1．设总体X 服从参数为p 的0—1分布，则来自总体X 的简单随机样本12,,..n X X X 的概率分布为______________。

例2．设总体()XP λ，则来自总体X 的样本12,,..n X X X 的样本均值X 的分布律为___________。

例3．（98）设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，已知2221234(2)(34)a X X b X X χ=-+-服从2()n χ分布，其中,a b 为常数，则n =________________。

例4．设随机变量()T t n ，则2T 服从的分布及参数为_____________。

例5．（05）设12,,..n X X X (2)n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则()A (0,1)nX N()B 22()nS n χ()C(1)(1)n X t n S--()D2122(1)(1,1)nii n X F n X=--∑例6．设2(0,)XN σ，从总体X 中抽样取样本129,,...,X X X ，试确定σ的值，使得(13)P X <<为最大，其中9119i i X X ==∑。

例7．已知123,,X X X 相互独立，且服从2(0,)N σ，服从(1)t 分布。

例8．设总体X 服从正态2(,)N μσ，(0)σ>从该总体中抽取简单随机样本122,,...,(2)nX X X n ≥，其样本均值为2112ni i X X n ==∑，求统计量21(2)ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望()E Y 。

例9．（04）设总体X 服从正态分布21(,)N μσ，总体服从正态分布22(,)N μσ，112,,...,n X X X 和212,,...,n Y Y Y 分别是来自总体X Y 和的简单随机样本，则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑________________。

例10．（06）设总体X 的概率密度为1()()2xf x e x -=-∞<<+∞，112,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2()E S = 。