多层快速多极子法的内存占用与控制分析
快速多极子算法
快速多极子算法快速多极子算法（Fast Multipole Method，简称FMM）是一种高效的计算N体问题的方法，它可以在O(N)的时间复杂度内求解N个粒子之间的相互作用力。
本文将从FMM的基本思想、算法流程、优缺点以及应用领域等方面进行详细介绍。
一、基本思想FMM的基本思想是将远距离作用力的计算转化为局部近距离作用力的计算，从而大大降低了计算复杂度。
具体来说，FMM将空间分割成一系列边长逐级递减的立方体网格，在每个网格中以多项式函数来逼近粒子分布，并利用多极展开和局部展开等技术来实现快速计算。
二、算法流程1. 空间划分：将整个空间划分成若干个立方体网格，并确定每个网格中包含的粒子数目。
2. 多项式逼近：对于每个网格中包含的粒子，采用多项式函数来逼近其分布情况。
3. 多极展开：利用多项式函数对每个网格进行多极展开，并计算其多极矩和电荷矩。
4. 局部展开：对于近距离作用力，采用局部展开技术来计算每个网格中的相互作用力。
5. 远距离作用力计算：对于远距离作用力，采用多极展开技术来计算每个网格之间的相互作用力。
6. 精度控制：根据需要，可以通过增加多项式阶数或网格密度等方式来提高计算精度。
三、优缺点1. 优点：(1) 计算速度快：FMM的时间复杂度为O(N)，比传统的直接求解方法要快得多。
(2) 空间复杂度低：FMM只需要存储每个网格中的多项式系数和电荷矩等信息，空间占用较小。
(3) 适用范围广：FMM不仅适用于N体问题，还可以应用于其他需要求解远距离相互作用力的问题。
2. 缺点：(1) 实现难度较大：FMM需要掌握多项式函数、多极展开等专业知识，并且实现过程较为复杂。
(2) 对粒子分布要求较高：FMM需要将空间划分成若干个网格，并要求每个网格中的粒子分布较为均匀，否则会影响计算精度。
四、应用领域FMM在计算物理、计算化学、电磁学等领域都有广泛应用。
例如，在分子动力学模拟中，FMM可以用于求解分子之间的相互作用力，从而得到分子的结构和性质等信息；在电磁场模拟中，FMM可以用于求解电荷分布所产生的电场和磁场等问题。
FEKO7.0各类求解器的介绍分析
FEKO 各类求解器的介绍FEKO 中的求救器有矩量法（MOM ）、多层快速多极子方法（MLFMM ）、物理光学法（PO ）、一致性绕射理论（UTD ）、有限元（FEM ）等计算方法，FEKO Suite 7.0在其原有算法基础上，新增时域有限差分(FDTD )求解器，同时增加了多层快速多极子(MLFMM)与物理光学(PO)的混合算法。
1.矩量法矩量法是一种基于积分方程的严格的数值方法，其精度主要取决于目标几何建模精度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。
其思想主要是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。
下面以电场积分方程求解理想导体的电磁散射问题为例，简要介绍矩量法的一般方法。
由麦克斯维方程组和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFIE ）如下：tan tan (), on .inc j A E r S w +裏=v v v(1)其中，A为矢量磁位， 为标量电位，表达形式分别如下：''||'0||4)()('ds r r e r J r A r r jk S (2)''||'||4)(1)('ds r r er r r r jk S(3)定义基函数系列n J ，将电流展开为N n n n J I J 1(4)其中n I 为与第n 个基函数相关的的电流展开系数。
为了将积分方程离散成为矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数相同的函数系列作为权函数，表示为g，对式(3-1)求内积得m inc m m J E J J A j ,,,(5)将式(3-4)代入式(3-5)，得到包含N 个未知量的N 个线性方程，可以写成][]][[em n mn V I Z(6)其中，][mn Z 为N N 的矩阵，][n I 和][emV 均为1 N 的向量，][n I 为电流系数，][emV 为激励向量，N 为未知量数目。
多层快速多极子算法中修正多极子模式数技术
ｒ ｄｕ ｅ ＣＰＵ ｉ ｅ ｉ ｈ ｔ ｒ ｔｏ ｎ ｈ ｍ ｏ ｙ ｒ ｑ ｉｅ ｅ ｔ Ｎｕ ｅ ｉ ａ ｅ Ｈ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｍ ｏ ｉｉｄ ｎ ｅ ｈ ｅ ｃ ｔｍ ｎ ｔ ｅ ｊｅ ａ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｍｅ Ｊ ｒ ｅ ｕｒ ｍ ｎ ． ｍ ｒ ｅ ｌｒ ｓ 】ｓ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｄ ｆ ］ ｌ ｅ ｏ ｓ ｉ ｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｅ ｆ ｉ ｎ ｙ ｏ ｏ ｕ ｉｎ ｗｈ ｌ ｅ ａｎ ｎ ｈ ｉ ｈ ａ ｃ ｒ ｃ ｎ ｈ ｏ ｄ ｍ ｒ ｖ ｈ ｆ ｉ ｅ ｃ ｆｓ ｌ ｔｏ ｉ ｒ ｔ ｉ ｉ ｇ ｔ ｅ ｈ ｇ ｃ ｕ ａ ｙ ａ ｄ ｔ ｅｃ ｍｐ ｅ ｉｙ ｏ Ｎ ｌ ｇ Ｎ ）ｆ ｒｔ ｅ ｃ ｅ ｌ ｘ ｔ ｆＯ（ ｏ ｏ ｈ
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第 ３ ２卷
第 １ ２期
系 统 Ｔ 程 与 电 子 技 术
Ｓｙｓ ｅ ｓ Ｅｎｇｉ ｅ ｉ ｔｍ ｎｅ ｒｎｇ ａｎｄ Ｅｌ ｃ ｒ ｃｓ ｅ ｔｏｎｉ
Ｖｏ１ ３２ Ｎ Ｏ．１ ． ２
２ｔ ０ ０年 １ ２月
文 章 编 号 ：０ １５ ６ ２ １ ） ２ ５ ４ １ ０ ０ Ｘ（ ０ ０ １ ５ ７０ ２
ｃ ｍ ｐ ｔ ｔｏ ｆ ａ ｒｘ ｖ ｃ ｏ ｕ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｂ ＩＦＭ Ａ． Ｔｈｉ ｉ ｗ ｈ ｓｓ ｉａ ｌ ｏ ｌ ｃ ｒ ｍａ ｎ ｔｃ ｓ ａ ｔ ｒｎ ｏ ｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｔ ｉ ～ ｅ ｔ ｒｍ ｈｉ ｌ ｔｏ ｙ Ｍ ｍ ｃ ｓｓ ｙ ｉ ｉ ｕ ｔ ｂ ｅ ｆ ｒｅ ｅ ｔ ｏ ｇ ｅ ｉ ｃ ｔｅ ｉ ｇ ｔ ｐｒ ｂ ｅ ｆ３ ）ｅ ｅ ｔ ｉａ ｌ ａ ｇ ｔ ｕ ｔ ｒ ｓ ｏ ｌ ｍｓ ｏ Ｉ ｌ ｃ ｒｃ ｌ ｌ ｒ ｅ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ． ｙ
电脑内存占用过高的原因及解决方法
电脑内存占用过高的原因及解决方法在我们日常使用电脑的过程中，可能经常会遇到电脑运行缓慢、卡顿的情况，其中一个常见的原因就是内存占用过高。
这不仅会影响我们的工作效率，还会让使用体验大打折扣。
那么，究竟是什么导致了电脑内存占用过高，又有哪些有效的解决方法呢？一、电脑内存占用过高的原因1、同时运行过多程序我们在使用电脑时，常常会同时打开多个程序，比如浏览器、办公软件、音乐播放器、视频软件等等。
如果这些程序同时运行，它们都会占用一定的内存资源。
当打开的程序过多，超过了电脑内存的承受能力，就会导致内存占用过高，电脑运行变得缓慢。
2、大型软件或游戏一些专业的设计软件、大型游戏等，对电脑内存的要求较高。
这些软件在运行时会占用大量的内存来处理数据和图形，如果电脑内存本身容量较小，就很容易出现内存占用过高的情况。
3、病毒或恶意软件电脑感染病毒或恶意软件也是导致内存占用过高的一个重要原因。
这些恶意程序可能会在后台自动运行，大量占用系统资源，甚至还可能会窃取用户的个人信息。
4、系统更新和后台服务操作系统的更新以及一些后台服务的运行，也会占用一定的内存。
虽然这些通常是必要的系统进程，但在某些情况下，如果系统存在问题或者服务异常，可能会导致内存占用过高。
5、浏览器插件和扩展现在的浏览器通常支持各种插件和扩展，以提供更多的功能。
然而，一些不必要或者存在问题的插件和扩展可能会在后台持续运行，消耗大量内存。
6、内存泄漏某些程序在运行过程中可能存在内存泄漏的问题，即程序没有正确释放不再使用的内存，导致内存被持续占用，最终造成内存占用过高。
二、解决电脑内存占用过高的方法1、关闭不必要的程序当发现电脑内存占用过高时，首先可以检查一下正在运行的程序，关闭那些暂时不需要的程序。
可以通过任务管理器（按下 Ctrl ＋ Shift＋ Esc 组合键）来查看当前运行的程序和它们占用的资源，然后选择不需要的程序，点击“结束任务”按钮将其关闭。
2、增加物理内存如果电脑的内存容量本身较小，无法满足日常使用需求，可以考虑增加物理内存。
有耗半空间上方导体目标电磁散射的多层快速多极子算法
本 文在前 人工作 的基础上 ， 用文 ［ ： 采 ８ 的高阶表 达式对 远 场区格 林 函数 进 行采样 逼 近 ， 用 Ｄ Ｉ 构造 利 ＣＭ 系数求 解矩阵 ， 获得 了一种新 的远 场区格 林函数高 阶拟合方 法． 由于远 场 区格林 函数高 阶近似表 达式 中的各
项均可 以用加法 定理展 开 ， 进而 实现 了快速 多极子算 法在这类 问题 中的应用． 文方法 能够 获得较 小的快速 本
第２ ７卷 第 １期
２ １ 年 １月 ００
计
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物
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Ｖｏ ． ７， ． １ ２ Ｎｏ １
ＣＨＩ ＮＥＳＥ Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＯＭＰＵＴＡＴＩ ＯＮＡＬ Ｐ ＨＹＳ ＣＳ Ｉ
Ｊｎ ２ ０ ａ ．， ０１
文章 编 号 ：０ １２ ６ ２ ０） －０ ５０ １ ０ —４ Ｘ（０１ 叭 ０ ９ —６
多极子 分组 ， 而减少 总的 内存需求 ． 从 数值算 例验证 了本文方 法 的准确 性与有效 性．
收 稿 日期 ： ０ ８— ８—１ ；修 回 日期 ： ０ ９— ５—２ ２０ ０ ８ ２０ ０ １
作 者 简介 ：樊振 宏 （ ９８一 ） ， １７ 男 江苏 ， 师 ， 士 ， 要从 事 天 线 及散 射 分 析 快 速 方 法 研 究 ， 京 理 工 大 学 电 光 学 院通 信 工 程 系 ４ ０教 研 讲 博 主 南 １
形式 的空域格林 函数解 ．
矩 量法作为 一种严格 的数值方 法 ， 计算结 果精度 高 ， 但计算 量大 、 需存储量 也高 ， 以适用 于电大 目标 所 难
的 电磁 特 性 分 析 ． 速 多 极 子 方 法 （ Ｍ 和 多 层 快 速 多 极 子 算 法 （ Ｆ 快 Ｆ Ｍ） ＭＬ ＭＡ） 是 积 分 方 程 稀 疏 化 的 一 种
电特大舰船电磁环境的并行多层快速多极子研究
ＰＡＮ ａｏ ｒｉ Ｘｉ — ｎ，Ｓ ａ ＨＥＮＧ ｎ ｑ ｎ ，ＫＯＮＧ ｅ Ｘｉ — ｉｇ Ｌｉ
（ ｅ ｉｇＩ ｔｕｅｏ Ｔ ｃｎｌｇ ， ｅ ｉ ００ １ Ｃ ｉａ Ｂ ｉｎ ｎ ｉ ｔ ｆ ｅｈｏ ｙ Ｂ ｉｎ １０ ８ ， ｈｎ ） ｊ ｓｔ ｏ ｊｇ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｌｃ ｒｍａ ｎ ｔ ｎ ｉ ｎ ｎ ｆ ｈ ｐ，ａ ｘｒ ｍｅｙ ｌｒ ｅ ｃ ｍｐｅ ａ ｇ ｔ ｉ ａ ｏ ｓ ｅｅ ｔ ｍａ ｎ ｔ ｑ ｉ ｍｅ ｔ ，ｗ ｓ ｓ ｒ ｃ ：Ｅ ｅ ｔ ｏ ｇ ｅ ｉ ｅ ｖｒ ｍｅ ｔｏ ｉ ｃ ｏ ｓ ｎｅｔ ｅ ｌ ｇ ｏ ｌｘ ｔｒ ｅ ｔ ｖ ｒ ｕ ｌｃｒ ａ ｗ ｈ ｉ ｏ ｇ ｅｉ ｅ ｕｐ ｎｓ ａ ｃ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｅｅ ｔ ｍａ ｎ ｔ ｎ ｉ ｎ ｎ ｆｓ ｉ ；ｐ ａｌｌ ｙ ｗｏ ｄ ｌｃ ｒ ｇ ｅｉ ｅ ｖ ｒ ｍｅ ｔ ｈ ｐ ａ ｌ ｅ ；ｍｕ ｔ ｌｖ ｌ ａ ｔｍｕ ｉｏ ｅ ａｇ ｒ ｈ ｏ ｃ ｏ ｏ ｒ ｌ — ｅ ｓ ｉｅ ｆ ｈ ｐ ｌ ｌ ｏ ｔ ｍ ｉ
潘小敏ห้องสมุดไป่ตู้， 盛新庆 ， 孔雷
（ 北京理工大学 信息科学技术学院电子工程系， 北京 １０８ ） ００ １
摘 要 ：： 对舰船 目标 尺寸 巨大 、 针 形状 复杂 、 电磁设备 繁 多的特 点 ， 选取 并行 多层快速 多极 子技 术 来模拟 仿真 其 电磁环境 。讨论 了多层 快速 多极子技 术并行 化 的难点及 其解 决方案 。在 北京理 工大学 电磁仿 真 中心
ｔｅ ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉ ｇ ｓ ｌ ｔ ｎ ｒ ｒ ｓ ｎｅ 、 Ｂ ｈ ｒ ｐ ｓ ｄ ｐ ｒ ｌｌＭＬＦ ｈ ｏ ｒｓ ｏ ｄ ｎ ｏ ｕｉ ｓｗｅｅ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ｏ ｙ ｔｅ ｐ ｏ ｏ ｅ ａ ａ ｅ ｌ ＭＡ，ａ ｓ ｉ ｆ ４ ａ ｅｅ ｇｈ ｎ ｓ ｍｏ ｅｅ ｎ ｈ — ｈ ｐ ｏ ０ ｗ ｖ ｌｎ ｔ ｓｌ ｇ ｗａ ｄ ｌｄ ａ ｄ ｔ ｅｅ ５ ｏ
如何减少内存占用提高程序性能(六)
如何减少内存占用提高程序性能随着计算机技术的飞速发展，内存已经成为现代程序设计中一个非常重要的因素。
内存占用过高不仅会降低计算机的性能，还可能导致程序崩溃甚至系统崩溃。
因此，减少内存占用成为了提高程序性能的一项重要任务。
本文将探讨如何有效地减少内存占用，提高程序性能。
1. 使用数据结构和算法，减少冗余数据。
时刻关注数据的有效性和实用性，避免存储冗余数据。
比如，使用字典树（Trie）来存储字符串，不仅减少了内存占用，还可以提高字符串的操作效率。
此外，使用高效的排序算法也可以减少内存占用，例如快速排序算法、归并排序算法等。
2. 及时释放不再使用的内存空间。
在程序运行过程中，可能会产生一些临时变量或者不再使用的对象。
如果不及时释放这些内存空间，会导致内存占用过高。
因此，在使用完这些变量或对象后，记得及时将其置为null，并调用垃圾回收机制来回收这些不再使用的内存。
3. 使用合适的数据结构。
选择合适的数据结构是减少内存占用的关键。
比如，如果需要存储大量的整数数据，可以使用位图来代替传统的数组或列表。
位图可以将数据压缩成位的形式存储，大大减少了内存占用。
此外，如果需要存储大规模的稀疏矩阵，可以使用压缩稀疏矩阵的方法来减少内存占用。
4. 优化文件读写操作。
在进行文件读写操作时，可以采用分段读写的方式，减少内存的占用。
通过设置适当的缓冲区大小，可以使数据在缓冲区中进行读写，减少了频繁的磁盘IO操作，从而提高了程序的性能。
5. 避免内存泄漏。
内存泄漏是指程序分配了一块内存后，在不再使用时没有及时释放，导致内存空间得不到回收，最终造成内存占用过高的问题。
解决内存泄漏问题的关键是在程序中找出引用计数错误、资源释放不当等问题。
使用内存管理工具进行内存泄漏检测，可以帮助发现和解决这些问题。
6. 使用合理的缓存策略。
在某些情况下，可以采用缓存机制来减少内存占用。
通过将一些频繁发生变化但不频繁使用的数据存储在缓存中，可以减少对内存的访问，提高程序性能。
内存管理的书籍
内存管理的书籍
内存管理是计算机科学中的一个重要概念，涉及到如何有效地分配、使用和管理计算机内存。
以下是一些关于内存管理的书籍：
1. 《深入理解计算机系统》- 这本书深入浅出地介绍了计算机系统的各个方面，包括内存管理。
它从底层到高层，全面介绍了计算机系统的工作原理，包括内存管理的细节和实现方式。
2. 《计算机程序的构造和解释》- 这本书也涉及到内存管理，特别是如何使用抽象数据类型和数据结构来管理内存。
它通过解释器实现的方式，帮助读者深入理解内存管理的原理。
3. 《算法导论》- 这本书虽然不是专门讲内存管理的，但是它涉及到许多算法和数据结构，这些算法和数据结构在内存管理中有着广泛的应用。
例如，书中介绍的哈希表、二叉堆等数据结构，以及动态内存分配、垃圾回收等算法，都是内存管理的重要方面。
4. 《现代操作系统》- 这本书是操作系统领域的经典教材，全面介绍了操作系统的原理和实现方式，包括内存管理、文件系统、进程管理等方面的内容。
它不仅介绍了各种内存管理技术的原理，还通过实验和案例分析帮助读者加深理解。
这些书籍都是经典之作，对于深入理解内存管理有很好的帮助。
不过，需要注意的是，由于计算机科学技术的快速发展，一些新技术的出现可能会对现有的内存管理技术产生影响，因此读者需要关注最新的研究进展和技术动态。
基于谱域球谐展开的多层快速多极子算法
ＭＩ ＭＡ） ３ 聚 合 因子 和 配 置 转 移 因子 用 球 谐 Ｆ Ｅ将 ｓ 函数 展开 ， 使得 迭 代 前仅 需 对 它 们 的球 谐 展 开 系 数及 少量 的球谐 函数 谱 分 量 进 行 存储 ， 大 降低 大
［ 稿 日期 ］２０ —３１ 收 ０ ７０ —２
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了计 算 所需 的存 储 量 ， 时也 改 善 了 矩 阵 迭代 求 同 解 的速 度 。然 而 ， 法 能够 高 效 地 成 功 实施 依 赖 该 的是聚 合 因子和 配置 因子 球谐 函数 展开 的合 理 的 无 穷截 断 ， 断得 太早 无法 保 障计算 的精度 ， 晚 截 太
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［ 金 项 目］数 学 地 质 四 川 省 高 校 重 点 实验 室 资助 基 ［ 者 简 介 ］徐 文 皙 （ ９０ ） 女 ， 士 ， 师 ， 究 方 向 ： 算 电磁 学 ，Ｅ ｍａ ：ｕ ｎ ｉ ｃｕ．ｎ 作 １８一 ， 硕 讲 研 计 — ｉ ｘ ｗｅ ｘ＠ ｄ ｔｃ 。 ｌ
Ｖ １ ４ ｏ６ ｏ ３ Ｎ ． ．
Ｄｅ ． ０ ７ ｃ２ ０
［ 章 编 号 ］１７ —７ ７２ ０ ）６０ ６—４ 文 ６ １９ ２ （ ０ ７ ０—６ ５０
基于谱域球谐展开 的多层快速 多极子算法
徐 文 皙 聂在 平
（ ． 都 理 工 大 学 信 息 管理 学 院 ， 都 ６ ０ ５ ；２ 电 子科 技 大 学 电 子 工 程 学 院 ， 都 ６０ ５ ） １成 成 １０ ９ ． 成 １ ０ ４
多层快速多极子算法
多层快速多极子算法介绍多层快速多极子算法（Multilevel Fast Multipole Algorithm，简称MFMA）是一种高效的数值计算方法，用于求解在空间中分布的电磁场问题。
该算法综合了快速多极子算法（Fast Multipole Method，简称FMM）和多层次方法（Multilevel Method，简称MM），以加速计算过程并降低算法的复杂度。
在计算大规模电磁场问题时，MFMA能够显著提高计算效率，是现代科学计算领域的重要工具。
FMM的原理FMM是一种用于求解具有长程相互作用的问题的数值方法。
它采用了分治的思想，将问题分解成多个较小的子问题，然后利用局部信息来逼近全局解。
FMM的核心是将空间中的电磁场分解成多个级别的多极子展开，从而减少计算复杂度。
FMM的步骤如下： 1. 构建一棵树结构，将问题空间划分成多个较小的区域。
2.在每个区域内，计算多极子展开系数，即将局部电磁场通过多项式展开表示。
3. 利用多极子展开系数，计算每个区域与其他区域之间的相互作用。
4. 通过迭代的方式，逐渐提高多极子展开的级别，从而提高计算精度。
5. 对于远离目标区域的区域，可以使用近似方法来加速计算。
FMM的优势在于其计算复杂度只与问题的大小相关，而与空间维度无关。
因此，对于高维问题，FMM比其他方法更具优势。
MM的原理MM是一种将问题分解成多个层次的方法。
它通过递归的方式，由粗到细逐渐求解问题，以降低计算复杂度。
MM的核心是将原始问题分解成多个规模不同的子问题，通过先求解较粗的层次，再利用求解结果来逼近较细的层次。
MM的步骤如下： 1. 将原始问题分解成多个规模较大的子问题。
2. 递归求解各个子问题，直到达到最细层次。
3. 根据求解结果，从细到粗逐层修正求解。
4. 将各个子问题的求解结果合并，得到原始问题的近似解。
MM的优势在于能够利用各个层次的求解结果来修正计算，从而提高求解准确度。
半空间电大散射问题的并行多层快速多极子方法及其区域分解关键技术研究
半空间电大散射问题的并行多层快速多极子方法及其区域分解关键技术研究半空间电大散射问题的并行多层快速多极子方法及其区域分解关键技术研究引言：在电磁散射问题中，半空间电大散射问题是一个重要而具有挑战性的问题。
由于问题的复杂性，传统的求解方法往往需要消耗大量的计算资源和时间。
因此，开发高效的求解算法成为研究的重点之一。
本文介绍了一种新的并行多层快速多极子方法，并研究了该方法中的区域分解关键技术。
一、问题描述在半空间电大散射问题中，我们需要求解电磁波在半空间中的散射现象。
假设我们有一个发射源，它向半空间发射电磁波，而该波通过与半空间中的目标物体相互作用，产生散射现象。
我们的目标是计算出目标物体的散射电场分布。
二、传统方法的挑战传统的求解方法往往需要将整个计算域离散化为大量的小单元，然后通过求解边界积分方程来计算出目标物体的电场分布。
由于计算量巨大，这种方法往往非常耗时，因此限制了其在实际工程中的应用。
三、多层快速多极子方法为了克服传统方法的局限性，我们引入了多层快速多极子方法。
该方法利用了快速多极子算法的核心思想，即将计算域分解成多个层次，从而减少计算量。
首先，我们将计算域分割成小块，然后将这些小块进一步划分成更小的子块，形成多层结构。
接下来，我们使用多极子展开来逼近每个小块的电场和电荷分布，进而将边界积分方程转化为更简洁的求解问题。
四、并行实现为了进一步加快计算速度，我们采用了并行计算的方式。
我们将计算域划分为多个子域，并将每个子域分配给不同的处理器进行计算。
这样，每个处理器只需负责计算相应子域的电场和电荷分布，大大缩短了计算时间。
五、区域分解关键技术在并行计算中，区域分解是一个关键的技术。
为了保证不同处理器之间的通信更加高效，我们采用了经验优化的方法来确定子域的划分方式。
具体而言，我们将处理器与子域之间的通信量进行估计，然后选择最佳的划分方式以最小化通信开销。
六、实验结果与分析我们使用了一台高性能计算机进行了大量的实验验证。
解决多层级优化问题的方法
解决多层级优化问题的方法
多层级优化问题是指在一个复杂系统中存在多个层次的决策变量和约束条件，
需要在这些层次之间找到最优解的问题。
在实际应用中，多层级优化问题常常出现在供应链管理、生产规划、交通流控制等领域。
为了解决多层级优化问题，可以采用以下方法：
1. 分层优化方法：将多层级问题分解为多个子问题，每个子问题对应一个层次，然后逐层优化，将不同层次的优化结果进行整合。
这种方法可以减小问题的复杂度，使得问题更容易求解。
2. 协调优化方法：在多层级问题中，不同层次之间存在相互依赖的关系，需要
进行协调优化。
可以采用协调优化方法，通过引入协调变量或者联合优化算法，实现多层级问题的协调求解。
3. 层次分析方法：层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种常用
的多层级优化方法，通过构建层次结构，确定层次之间的关系，然后进行层次分析，求解最优解。
AHP方法在多层级问题中具有较好的应用效果。
4. 演化算法方法：演化算法是一类基于生物演化过程的优化方法，如遗传算法、粒子群算法等。
这些算法能够在多层级问题中寻找全局最优解，适用于复杂的多层级优化问题。
5. 智能优化方法：智能优化方法包括人工智能算法、深度学习算法等，这些方
法具有强大的学习和优化能力，可以有效地解决多层级优化问题。
通过引入智能优化方法，可以提高问题的求解效率和优化结果的质量。
综上所述，解决多层级优化问题的方法包括分层优化、协调优化、层次分析、
演化算法和智能优化方法等。
针对具体问题的特点和要求，可以选择适合的方法进行求解，以实现多层级问题的优化和最优化。
06_1 FEKO多层快速多极子技术MLFMM
快速多极子（FMM） 多层快速多极子技术（MLFMM）
FMA overview
•
我们知道解线性方程组的方法可分为两类：一类是直接法，如高斯消元法等； 一类是迭代法，如：共轭梯度法等 用矩量法（MoM）求解线性方程组，它的系数矩阵是满秩的。如用直接法求解， 则计算机内存需要O（N2），运算量达O（N3）；如用迭代法求解，内存一样 需要O（N2），而每次迭代的运算量达O(N2)).如此之多的内存需要量，如此之 大的运算量，大大限制了矩量法的应用范围，在90年代以前，矩量法仅仅适用 于电小尺寸物体（物理尺寸/工作波长< 10）。 20世纪90年代以后，情况发生了改变，目前矩量法已可以计算相当大的电大尺 寸物体，这主要归归功于Rokhlin提出的快速多极子算法，这是一种减少内存需 求，加快矩阵和矢量相乘的技术。
（2.75）
快速多极子技术的数学原理（续）
ˆ 这里的积分符号“d k ”表示是积分在整个单位球面上进行。此积分可用高斯面积分方法进行。 具体来说,就是在区间[0，pi]上取L点，使得cos( )在区间[-1，1]上满足Gauss-Legendre L点 积分公式。这L点的theta值及积分权因子可以直接调用可以直接调用文献[7]中的子程序“”得 到。对于水平方向phi值得选取，可以在区间[0，2pi]上等间隔选取2L个值。于是式（2.75）右 边的积分便可写成： （2.76）
近远相互作用介绍
• 下边来分析两小长方体A和B的远相互作用。设A和B内分别都有100个未知数， 如图1所示。如果用通常方式来执行他们之间的相互作用，则需要100*100次计 算机操作。而快速多极子技术是用一种新的方式来执行A和B之间的远相互作用。 其基本思路是将整个相互作用过程分解成三步：聚集、转移、发散。聚集就是 将分布在A内的100个未知数所对应的等效电流聚集在A的中心。其目的是获得 一组具有下列转移特性的新函数：A内所有等效电流对远处的作用可以由执行 这组函数的转移完成；转移就是将聚集过程中得到的一组函数由A的中心转移 到B的中心；发散就是将转移到B中心的那组函数发散到B内所有100个未知数 所对应的等效电流上，从而完成A和B的远相互作用。此种作用方式由图2表示。 下边会阐述平面波函数具有上述转移特性，而且在能够保证高精度情况下，所 需平面波个数少于原未知数个数。这就是说，完成新函数从A中心到B中心的转 移，只需要少于100次的计算机操作。这就是快速多极子技术能够加快完成A和 B远相互作用的原因。作用过程的分解来源于积分方程中格林函数的多极子展 开，故此项技术称为快速多极子技术。由于格林函数的多极子展开在近相互作 用时很难达到满意精度，则这种新作用方式只适用于远相互作用。这也就是我 们将相互作用分成近相互作用和远相互作用的原因。
FEKO7.0各类求解器的介绍
FEKO 各类求解器的介绍FEKO 中的求救器有矩量法（MOM ）、多层快速多极子方法（MLFMM ）、物理光学法（PO ）、一致性绕射理论（UTD ）、有限元（FEM ）等计算方法，FEKO Suite 7.0在其原有算法基础上，新增时域有限差分(FDTD )求解器，同时增加了多层快速多极子(MLFMM)与物理光学(PO)的混合算法。
1.矩量法矩量法是一种基于积分方程的严格的数值方法，其精度主要取决于目标几何建模精度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。
其思想主要是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。
下面以电场积分方程求解理想导体的电磁散射问题为例，简要介绍矩量法的一般方法。
由麦克斯维方程组和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFIE ）如下：tantan (), on .incj AE r S(1)其中，A为矢量磁位，ψ为标量电位，表达形式分别如下：''||'0||4)()('ds r r e r J r A r r jk S -=--⎰πμ (2)''||'||4)(1)('ds r r er r r r jk S-=ψ--⎰πσε (3)定义基函数系列n J ，将电流展开为∑=≈N n n n J I J 1(4)其中n I 为与第n 个基函数相关的的电流展开系数。
为了将积分方程离散成为矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数相同的函数系列作为权函数，表示为g，对式(3-1)求内积得>>=<ψ∇<+><m inc m m J E J J A j,,,ω(5)将式(3-4)代入式(3-5)，得到包含N 个未知量的N 个线性方程，可以写成][]][[em n mn V I Z =(6)其中，][mn Z 为N N ⨯的矩阵，][n I 和][emV 均为1⨯N 的向量，][n I 为电流系数，][emV 为激励向量，N 为未知量数目。
快速多极子方法
快速多极子方法快速多极子方法是一种计算电荷分布中电势和电场的有效方法。
它是一种数值解法，通过将复杂的问题分解成多个简单的子问题，并对每个子问题进行求解，最终得到整个问题的解。
快速多极子方法广泛应用于电磁学、分子动力学、计算流体力学等领域。
快速多极子方法的核心思想是将电荷分布分解成多个小块，每个小块的电荷分布可以近似看作一个点电荷。
这样，整个电荷分布可以表示为多个点电荷的组合。
对于点电荷之间的相互作用，使用多极子展开来近似描述。
多极子展开是将电势或电场表示为一系列多项式的求和，这些多项式描述了电荷分布的不同特征。
快速多极子方法的优势在于它能够有效地处理大规模的电荷分布，同时保证计算精度。
传统的直接求解方法在处理大规模电荷分布时，计算复杂度呈指数增长，难以应用于实际问题。
而快速多极子方法通过将问题分解成多个小块，将计算复杂度降低到了线性或对数级别，大大提高了计算效率。
此外，快速多极子方法还具有可扩展性和并行计算能力，能够应对不断增长的计算需求。
快速多极子方法的应用范围广泛。
在电磁学中，快速多极子方法可以用于计算电荷分布的电势和电场，进而研究电磁波的传播和辐射。
在分子动力学中，快速多极子方法可以用于计算分子之间的相互作用，进而研究分子结构和性质。
在计算流体力学中，快速多极子方法可以用于计算电荷分布对流体的作用，进而研究流体的运动和变形。
快速多极子方法在实际应用中也面临着一些挑战。
首先，快速多极子方法的计算精度和效率受到多种因素的影响，如多极子展开的阶数、分块策略、近似误差等。
因此，需要根据具体问题进行参数调整和优化。
其次，快速多极子方法的实现和优化对计算机架构和算法设计有较高的要求，需要熟悉高性能计算和并行计算技术。
快速多极子方法是一种有效的计算电势和电场的方法，具有计算精度高、计算效率高、可扩展性强等优点。
在电磁学、分子动力学、计算流体力学等领域中得到广泛应用，可以为科学研究和工程设计提供支持和帮助。
控制限和子组容量关系
控制限和子组容量关系一、引言在计算机科学领域中，控制限和子组容量是一个重要的概念。
控制限是指在计算机系统中，用来限制或控制某个资源使用的最大数量。
而子组容量则是指在一个系统中，一个子组所能容纳的最大数量。
本文将探讨控制限和子组容量之间的关系，并分析其在计算机系统中的应用。
二、控制限和子组容量的关系在计算机系统中，控制限和子组容量之间存在着密切的关系。
一般来说，控制限的大小会直接影响到子组容量的大小。
具体而言，控制限越大，子组容量也就越大；而控制限越小，子组容量也就越小。
控制限的大小决定了系统中某个资源的可用数量。
例如，在操作系统中，可以通过设置控制限来限制某个进程所能使用的内存大小。
如果控制限设置为100MB，那么该进程所能使用的内存就不能超过100MB。
而子组容量则决定了系统中某个子组的最大数量。
例如，在分布式存储系统中，可以通过设置子组容量来限制某个数据块所能存放的最大数量。
如果子组容量设置为10个，那么该数据块就最多只能存放10个子组。
三、控制限和子组容量的应用控制限和子组容量在计算机系统中有着广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景：1. 内存管理：在操作系统中，可以通过设置控制限来限制每个进程所能使用的内存大小，防止某个进程占用过多的内存资源。
同时，可以通过设置子组容量来限制每个内存分区所能容纳的进程数量。
2. 网络流量控制：在网络通信中，可以通过设置控制限来限制每个用户的网络流量，防止某个用户占用过多的带宽资源。
同时，可以通过设置子组容量来限制每个网络节点所能连接的最大用户数量。
3. 数据存储管理：在分布式存储系统中，可以通过设置控制限来限制每个数据块所能存放的最大数量，防止某个数据块过大导致系统性能下降。
同时，可以通过设置子组容量来限制每个存储节点所能容纳的最大数据块数量。
4. 资源调度：在云计算环境中，可以通过设置控制限来限制每个虚拟机所能使用的计算资源，防止某个虚拟机占用过多的计算资源。
计算机中的多级时序体制
计算机中的多级时序体制多级时序体制是计算机中一种重要的设计模式，它在处理复杂任务时提供了一种有效的组织和调度方式。
本文将从多级时序体制的概念、特点、应用以及优缺点等方面进行阐述。
一、概念多级时序体制是指在计算机中，根据任务的复杂性和优先级的不同，将任务分为多个级别，并按照一定的顺序进行调度和执行的一种体制。
每个级别都有自己的调度策略和处理方式，以确保任务能够按照预期的顺序和时间完成。
二、特点1. 层次清晰：多级时序体制将任务按照复杂性和优先级进行划分，使得整个系统的结构更加清晰可见，方便管理和维护。
2. 调度灵活：每个级别都有自己的调度策略，可以根据任务的特点和需求进行灵活调整，以提高系统的性能和效率。
3. 优先级明确：不同级别的任务有不同的优先级，高优先级的任务会优先得到处理，从而保证了系统的实时性和稳定性。
4. 资源分配合理：多级时序体制可以根据任务的需求，合理分配系统资源，避免资源浪费和冲突。
三、应用多级时序体制在计算机系统的多个领域中得到了广泛应用，包括操作系统、编译器、网络通信等。
下面以操作系统为例，介绍其在多级时序体制中的应用。
1. 进程调度：操作系统中的进程调度是一个典型的多级时序体制的应用。
根据进程的优先级和状态，操作系统会将进程分为多个队列，并按照一定的调度算法依次执行。
高优先级的进程会先被调度执行，以提高系统的响应速度和效率。
2. 内存管理：在操作系统中，内存管理也是一个典型的多级时序体制的应用。
根据内存的使用情况和需求，操作系统会将内存划分为多个层次，分别用于存放不同优先级的进程或数据。
通过合理的内存分配和调度，可以提高系统的内存利用率和性能。
3. 文件系统：多级时序体制在文件系统中也有重要的应用。
文件系统中通常会将文件按照不同的层次进行组织和管理，以方便用户的访问和使用。
通过多级时序体制，可以提高文件的组织效率和访问速度。
四、优缺点多级时序体制作为一种设计模式，具有一定的优点和缺点。
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第 ３ ２卷 第 ４期 ２１ ０ ０年 ４月
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成 偶 数 倍 关 系 ， 合 配 置 量 占用 内存 不 变 ， 内存 振 荡增 加 。改 进 模 式 数 的 精 度 控 制 后 ， 高 了精 度 ， 聚 合 配 置 聚 总 提 但
量 内存 相 应 增 加 ， 内存 随之 增 加 。 总
关 键 词 ：电磁 散 射 ；多 层 快 速 多极 子 算 法 ；雷 达 散 射 截 面 ；内存
未 知 数 成 正 比 ， 疏 矩 阵 内存 与 相 关 未知 数 数 目成 平 方 关 系， 内存 迅 速 增 加 。 网 格 不 变 而频 率 降低 时 ， 分 层 稀 总 若
数相 同 ， 疏矩 阵内存不变 ， 稀 聚合 配 置 量 内存 随 频 率 降 低 而 减 小 ； 分 层 数 降 低 ， 疏 矩 阵 内存 平 方 递 增 ； 频 率 若 稀 若
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ４ １３ ．
Ａｐ ｉ ２ １ ｒｌ ０ ０
多层 快 速 多极 子 法 的 内存 占用 与 控 制 分 析
刘 战 合 ，武 哲 ，高 旭
（ ．北京航 空航天 大学航 空科 学 － 程学 院 ，北京 １０ ９ ； １ ９工 ０ １ １
２ ．中航 第 一飞机 设计研 究院 ，陕西 西安 ７ ０ ８ ） １ ０ ９
ＬＩ Ｕ Ｚｈａ ｈ ． Ｗ Ｕ ｎ－ ｅ Ｚｈｅ 。Ｇ Ａ ０ ｕ Ｘ 。 （ ．Ｓｃ ｏ ｌｏ ｒ ｎ ｕｉｓＳ ｉｎ ｅａ ｄ Ｅｎ ｎ ｅ ｉｇ，Ｂｅｈ ｎ ｉ ．，Ｂｅｊｎ ０ １ １，Ｃ ｉａ； １ ｈ ｏ ｆ Ａｅｏ ａ ｔｃ ｃｅ ｃ ｎ ｇｉｅｒｎ ｉａ ｇ Ｕｎｖ ｉｉｇ１ ０ ９ ｈｎ ２ Ｔ ｅＦｉｓ Ａｉｃａ ｎｔ ｆＡＶＩ ． ｈ ｒｔ ｒ ｒｆｔＩ ｓ．ｏ Ｃ，Ｘｉａ １ ０ ９，Ｃｈｎ ） ’ ｎ７ ０ ８ ｉａ
摘 要 ： 多层 快 速 多极 子 算 法 的 内存 组 成 出发 ， 立 了 内存 与 未知 数 之 间 的 关 系， 次 提 出 了 网格 划 分 尺 从 建 首 寸 与 入 射 波 长 之 比和 多极 子模 式 数 对 内存 的影 响 。 入 射 频 率 不 变 而 网 格 划 分 尺 寸 减 小 时 ， 合 配 置 量 内存 与 总 聚