高考数学理版总复习提升 2.10导数与导数的运算课时提升作业

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高考理科数学一轮复习课时提升作业：第2章 2.11.3《导数的综合应用》(含答案)

导数的综合应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( )A.12cm3B.72cm3C.144cm3D.160cm3【解析】选C.设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm,则x∈(0,5).则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以y′=12x2-104x+160.令y′=0,得x=2或(舍去),所以y max=6×12×2=144(cm3).2.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】选A.当x∈(-∞,-1)和x∈(1,+∞)时,f(x)是增函数,所以f′(x)>0,由x·f′(x)<0,得x<0,所以x<-1.当x∈(-1,1)时,f(x)是减函数,所以f′(x)<0.由x·f′(x)<0,得x>0,所以0<x<1.故x·f′(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).3.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,4]C.(0,+∞)D.上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0【解析】选A.因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,所以-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间上f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间上f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.3.(5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)【解析】选B.(1)当a=0时,函数f(x)=-3x2+1,显然有两个零点,不合题意.(2)当a>0时,由于f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),利用导数的正负与函数单调性的关系可得在(-∞,0)和上函数单调递增,在上函数单调递减,显然存在负零点,不合题意.(3)当a<0时,利用导数的正负与函数单调性的关系可得,在和(0,+∞)上函数单调递减,在上函数单调递增,要使得函数有唯一的零点且为正,则满足即有a×-3×+1>0,则有a2>4,解得a<-2或a>2(不合条件a<0,舍去).综合可得a<-2.4.(12分)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(1)求a,b.(2)证明:f(x)>1.【解题提示】(1)先对函数f(x)=ae x lnx+求导,将x=1代入到导函数中确定曲线的切线的斜率,求出a,b的值.(2)证明f(x)>1时,将其转化为xlnx>xe-x-,分别构造函数进行证明.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ae x lnx+e x-e x-1+e x-1.由题意得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=e x lnx+e x-1,从而f(x)>1等价于xlnx>xe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx.所以当x∈时,g′(x)<0;当x∈时,g′(x)>0.故g(x)在x∈上单调递减,在x∈上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.设函数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.故h(x)在x∈(0,1)上单调递增,在x∈(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.5.(13分)(2016·潍坊模拟)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间.(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=e x-a.若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,所以,f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0等价于k<+x(x>0).①令g(x)=+x,则g′(x)=+1=.由(1)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为m,则m∈(1,2).当x∈(0,m)时,g′(x)<0;当x∈(m,+∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(m).又由g′(m)=0,可得e m=m+2,所以g(m)=m+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(m),故整数k的最大值为2.。

导数的运算练习题

导数的运算练习题在微积分学中，导数是非常重要的概念之一，它用于描述函数在某一点附近的变化率。

掌握导数的运算是学习微积分的基础，本文将为大家提供一些导数的运算练习题，帮助读者巩固掌握导数的计算方法。

1. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1（2）g(x) = sin(x) - cos(x)（3）h(x) = e^x + ln(x)（4）i(x) = √(x^2 + 1)2. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1（2）g(x) = cos(x) + sin(x) + tan(x)（3）h(x) = ln(x^2) - e^(2x)（4）i(x) = √x + 1/x3. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1（2）g(x) = sin(2x) - cos(2x)（3）h(x) = e^(x^2) + ln(x^3)（4）i(x) = ln(x) + e^x4. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 1（2）g(x) = sin(x)cos(x)（3）h(x) = ln(x) + e^x - x（4）i(x) = e^(2x) + ln(x^2)通过以上的练习题，读者可以熟悉导数的计算方法，掌握常用函数的导数运算规则。

在计算导数时，读者需要注意以下几点：1. 基本函数的导数规则：对于多项式函数，求导后，指数降低1，系数不变；对于三角函数，求导后，正弦变余弦，余弦变负正弦；对于指数函数，求导后，底数不变，指数变形式的导数。

2. 乘法法则：若函数为两个函数的乘积，则导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。

3. 除法法则：若函数为两个函数的商，则导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。

高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课时提升作业二十3.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数

(2)由所以(x-1)(x2+x-2)=0, 所以 x1=1,x2=-2, 所以公共点为(1,1)及(-2,-8),即其他公共点为(-2,-8).
【补偿训练】求过曲线 y=sinx 上的点 P 【解析】因为 y=sinx, 所以 y′=(sinx)′=cosx.
且与在这点处的切线垂直的直线方程.
所以 y′
3.质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s= ,则质点在 t=4 时的速度为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选 B.s′=
.
当 t=4 时,s′= · =
Байду номын сангаас
.
4.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n= ( )
A.1
B.3
C.2
D.4
【解析】选 B.y′=nxn-1,因为 y′|x=2=12, 所以 n·2n-1=12.检验知 n=3 时成立,所以选 B.
高中数学第三章导数及其应用 3.2 导数的计算课时提升作业二十 3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
公式检测含解析新人教 A 版选修 11
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
(25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知函数 f(x)=ex(e 是自然对数的底数),则函数 f(x)的导函数 f′(x)的大致图象为 ( )
【解析】选 D.由题意,f1 =cosx,f2 =-sinx,
f3 =-cosx,f4 =sinx,…,f2015(x)=-cosx. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2015·南京高二检测)曲线 y=cosx 在点 A , 处的切线方程为

高考数学大一轮复习第2章第10节导数的概念及其运算课时提升练文新人教版

1 由 f ″（x) ＝－ x2 ＜0，得②是凸函数；
由 f ″（x) ＝－ 6x＜ 0，得③是凸函数；由 f ″（x) ＝ 2ex＋ xex＞ 0，得④不是凸函数．
【答案】 ①②③
三、解答题 10．已知函数 f ( x) ＝ x2＋ xsin x＋ cos x.
(1) 若曲线 y＝ f ( x) 在点 ( a， f ( a)) 处与直线 y＝ b 相切，求 a 与 b 的值；
项正确．【答案】 B 4．已知曲线 f ( x) ＝ax2－ bln x 在点 P(1,1) 处的切线与直线 x－ y＋ 1＝ 0 垂直，则 f ′(3)
＝(
)
A．－ 5
B． 4
C． 5 【解析】
D．－ 4 由已知可得 f (1) ＝ 1，∴ a×１2－ bln 1 ＝ 1，
∴ a＝ 1.
∴ f ( x) ＝ x2－ bln
y－ ( －
2) ＝－ 5( x－ 0) ，即 5x＋ y＋ 2＝ 0. 【答案】 5x＋y＋ 2＝ 0 8．已知 a 为实数，函数 f ( x) ＝ x3＋ ax2＋ ( a－ 2) x 的导函数 f ′（x) 是偶函数，则曲线 y
＝f ( x) 在原点处的切线方程是 ________．【解析】 ∵ f ′（x) ＝ 3x2＋ 2ax＋ a－2 是偶函数，∴ a＝0， ∴ f ( x) ＝ x3－ 2x，f ′（x) ＝3x2－ 2，
2
2
22
1 13
31
－a－ 2＝－ 2a－ 2( x－ a) ，可以求得切线与 x 轴， y 轴截距分别为 3a，2a－2，所以围成三角
1
3 1 91
形面积为： S＝ ×３a× a－＝ a ＝ 18，∴ a＝ 64.

2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业2.10变化率与导数、导数的计算

课时分层作业十三变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共35分)1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为( )A.0B.3C.4D.-【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1,所以f′(x)=x2+2.所以f′(-1)=3.2.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′= ( )A.-B.-C.-D.-【解析】选C.因为f′(x)=-cos x+(-sin x),所以f(π)+f′=-+·(-1)=-.3.(2018·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为 ( )A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,lnx0),则y′=,切线方程为y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1. 4.(2018·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ( )A.1B.-1C.2D.-1【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2.【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b 的值为 ( )A.2B.ln 2+1C.ln 2-1D.ln 2【解析】选C.y=ln x的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1.5.已知f(x)=2e x sin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A.y=0B.y=2xC.y=xD.y=-2x【解析】选 B.因为f(x)=2e x sin x,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于 ( )A.-1B.C.-2D.2【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-2【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.【解析】设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2,所以切线方程为:y-2=4(x-1)⇒4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.(2018·长沙模拟)若函数f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=________.【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:810.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xe2-x,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是________.【解析】因为f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称.当x<1时,取点(x,y),该点关于(1,1)的对称点是(2-x,2-y),代入f(x)=xe2-x可得:2-y=(2-x)e2-(2-x),所以y=2-(2-x)e x=xe x,y′=(x+1)e x,y′|x=0=1,所以切线方程为y=x,即x-y=0.答案:x-y=01.(5分)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 ( )A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3【解析】选 C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f′(x)=4x-1,所以f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.【巧思妙解】选C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.2.(5分)(2018·上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为 ( )A.1B.C.D.【解析】选B.对于曲线y=x2-ln x上任意一点P,当过该点的切线斜率与直线y=x-2的斜率相同时,点P到直线的距离最小.因为定义域为(0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==.【变式备选】曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是________.【解析】如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x 的距离.由y=ln(2x),则y ′==2,得x=,y=ln =0,即与直线y=2x 平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是,y=ln(2x)上任意一点P 到直线y=2x 的距离的最小值,即=. 答案:3.(5分)(2018·沧州模拟)若存在过点O(0,0)的直线l 与曲线f(x)=x 3-3x 2+2x 和y=x 2+a 都相切,则a 的值为________. 【解析】易知点O(0,0)在曲线f(x)=x 3-3x 2+2x 上,(1)当O(0,0)是切点时,切线方程为y=2x,则联立y=2x 和y=x 2+a 得x 2-2x+a=0,由Δ=4-4a=0,解得a=1.(2)当O(0,0)不是切点时,设切点为P(x 0,y 0),则y 0=-3+2x 0,且k=f ′(x 0)=3-6x 0+2.①又k==-3x 0+2,②由①,②联立,得x0=(x0=0舍),所以k=-,所以所求切线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=0.依题意,Δ′=-4a=0,所以a=.综上,a=1或a=.答案: 1或【易错警示】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x 相切”.这里有两种可能:一是点O是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中易忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误:一是当点O(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l的方程,导致解题复杂化,求解受阻.4.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率k为f′(x0)=3+1,y0=+x0-16,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.又因为直线l过原点(0,0),所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).5.(13分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)相切,求l的直线方程.【解析】(1)f′(x)=1-,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,所以f′(1)=1-=0,解得a=e.(2)当a=1时,f(x)=x-1+,f′(x)=1-. 设切点为(x0,y0),因为f(x0)=x0-1+=kx0-1,①f′(x0)=1-=k,②①+②得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0.若k=1,则②式无解,所以x0=-1,k=1-e.所以l的直线方程为y=(1-e)x-1.。

高考数学总复习第二章函数、导数及其应用课时作业9 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数

课时作业9 对数与对数函数1．(2019·某某某某统考)函数f (x )＝1ln3x ＋1的定义域是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＞0，ln 3x ＋1≠0，解得x ＞－13且x ≠0，故选B.2．(2019·某某某某模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( B )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：∵a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，∴a ＞b ＞c .故选B. 3．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由已知，得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2. 又lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b2＝2(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫22－4×12＝2×2＝4，故选B.4．若函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 37＋log a 1123＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若a ＞1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递减，则⎩⎨⎧a －a ＝0，a －1＝1，解得a ＝2，此时，log a 37＋log a 1123＝log 216＝4；若0＜a ＜1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，则⎩⎨⎧a －a ＝1，a －1＝0，无解，故选D.5．(2019·某某省际名校联考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1ex ＋k (k 为常数)，则f (ln5)的值为( B )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝1e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1，所以f (ln5)＝－f (－ln5)＝－(e ln5－1)＝－4.6．(2019·某某某某南雄模拟)函数f (x )＝x a满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C )解析：∵f (2)＝4，∴2a＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，－log 2x ＋1，－1＜x ＜0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递减，故选C.7．已知函数f (x )＝e x＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值X 围是( A )A ．(－∞，e)B ．(0，e)C ．(e ，＋∞)D ．(－∞，1)解析：由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x－ln(x ＋a )＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，则ln a ＜1，即0＜a ＜e ，则a 的取值X 围是(0，e)，当a ≤0时，y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象总有交点，故a 的取值X 围是(－∞，e)，故选A.8．(2019·某某省级名校模拟)已知函数f (x )＝(e x－e－x)x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值X 围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x)＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)， ∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为－14.解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.10．(2019·某某质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝9__.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9. 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．已知函数f (x )＝log a (a 2x＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值X 围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值X 围．解：(1)∵log 2(22x＋t )＜x ＝log 22x，∴22x＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x恒成立，即t ≥－22x＋2x＝g (x )恒成立，即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，∴当2x＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m ，f n ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，问题等价于关于k 的方程a 2k－a k＋t ＝0有两个不相等的实根，令a k＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.13．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＞0，记a ＝f 30.230.2，b ＝f 0.320.32，c ＝f log 25log 25，则( B ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＞0，故x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)同号，则x 1－x 2与x 2f x 1－x 1f x 2x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫即f x 1x 1－f x 2x 2同号， ∴函数y ＝f xx是(0，＋∞)上的增函数， ∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log 25＞2， ∴0.32＜30.2＜log 25，∴b ＜a ＜c ，故选B.14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1B ．(1,4)C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－(2－x ))＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知．要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＋2＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值X 围是(8，＋∞)．15．(2019·某某某某模拟)已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，g (x )＝f (x )＋2 017，下列命题：①f (x )的定义域为(－∞，＋∞)； ②f (x )是奇函数；③f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b ＝1；⑤设函数g (x )在[－2 017,2 017]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝2 017. 其中真命题的序号是①②③④__.(写出所有真命题的序号) 解析：对于①，∵x 2＋1＞x 2＝|x |≥－x ， ∴x 2＋1＋x ＞0，∴f (x )的定义域为R ，∴①正确．对于②，f (x )＋f (－x )＝ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋－x2＋1)＝ln[(x 2＋1)－x 2]＝ln1＝0.∴f (x )是奇函数，∴②正确．对于③，令u (x )＝x ＋x 2＋1，则u (x )在[0，＋∞)上单调递增．当x ∈(－∞，0]时，u (x )＝x ＋x 2＋1＝1x 2＋1－x，而y ＝x 2＋1－x 在(－∞，0]上单调递减，且x 2＋1－x ＞0.∴u (x )＝1x 2＋1－x在(－∞，0]上单调递增，又u (0)＝1，∴u (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)在R 上单调递增，∴③正确．对于④，∵f (x )是奇函数，而f (a )＋f (b －1)＝0，∴a ＋(b －1)＝0， ∴a ＋b ＝1，∴④正确．对于⑤，f (x )＝g (x )－2 017是奇函数，当x ∈[－2 017,2 017]时，f (x )max ＝M －2 017，f (x )min ＝m －2 017， ∴(M －2 017)＋(m －2 017)＝0， ∴M ＋m ＝4 034，∴⑤不正确． 16．已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1＞ln mx －17－x恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由x ＋1x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1＞ln mx －17－x恒成立， ∴x ＋1x －1＞mx －17－x＞0， ∵x ∈[2,6]，∴0＜m ＜(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0＜m ＜7.故实数m 的取值X 围为(0,7)．。

全国通用近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业十三2.10变化率与导数、导数的计算理

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课时分层作业十三变化率与导数、导数的计算一、选择题（每小题5分,共35分)1。

f′(x)是函数f（x)=x3+2x+1的导函数,则f′(—1）的值为( )A.0B.3C.4D.-【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1，所以f′（x)=x2+2。

所以f′(-1）=3.2。

已知函数f(x)=cos x，则f（π）+f′= （）A.-B。

-C。

-D。

-【解析】选C.因为f′(x）=—cos x+(—sin x),所以f(π）+f′=—+·（-1）=-。

3.（2018·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ）A.e B。

—e C. D.-【解析】选C.y=ln x的定义域为(0，+∞）,且y′=,设切点为（x0，ln x0),则y′=,切线方程为y—ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0）,所以—ln x0=—1,解得x0=e，故此切线的斜率为.【变式备选】曲线y=e x在点A（0,1)处的切线斜率为（）A.1 B。

2 C.e D。

高考数学复习规范答题提升课——函数与导数综合问题(导学案)

规范答题提升课——函数与导数综合问题[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )=x e ax -e x . (1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)当x >0时,f (x )<-1,求a 的取值范围; (3)设n ∈N *,证明:√12+1+√22+2+…+√n 2+n>ln(n +1).问题1:如何讨论函数的单调性? 首先设函数y =f (x )在某区间D 内可导,如果f'(x )>0,则f (x )在区间D 内为增函数;如果f'(x )<0,则f (x )在区间D 内为减函数. 问题2:如何解决不等式的恒成立问题?一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性;如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号;有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.(1)当a =1时,f (x )=(x -1)e x ,则f'(x )=x e x ,…… 2分当x <0时,f'(x )<0,当x >0时,f'(x )>0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; …… 4分(基础得分点,判断函数的单调性) (2)设h (x )=x e ax -e x +1,则h (0)=0,基础分发展分终极分 ≤4分 [5,8]分≥8分约30% 约30% 约40%(1)得步骤分:对于解题过程中是得分点的,有则给分,无则没分,对又h'(x )=(1+ax )e ax -e x ,设g (x )=(1+ax )e ax -e x ,则g'(x )=(2a +a 2x )e ax -e x , ………………5分若a >12,则g'(0)=2a -1>0,故存在x 0∈(0,+∞),使得∀x ∈(0,x 0),总有g'(x )>0,故g (x )在(0,x 0)为增函数,故x ∈(0,x 0)时g (x )>g (0)=0,故h (x )在(0,x 0)为增函数,故x ∈(0,x 0)时h (x )>h (0)=0,与题设矛盾. 若0<a ≤12,则h'(x )=(1+ax )e ax -e x =e ax +ln(1+ax )-e x ,设S (x )=ln(1+x )-x (x >0),故S'(x )=11+x-1=-x1+x<0,故S (x )在(0,+∞)上为减函数,故S (x )<S (0)=0,即x >0时ln(1+x )<x 成立. ………………6分于得分点步骤一定要写全. 第(1)问中首先将a =1代入到函数解析式中,然后对函数f (x )求导,进而分析函数的单调性,有则给分,无则不得分.第(2)问中构造新的函数h (x ),对函数h (x )求导,求导后,再构造函数g (x ),对函数g (x )求导,进而分析论证得出函数h (x )的单调性,有则给分,无则不得分.(2)得关键分:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,解题时一定要写清得分的关键点.所以e ax +ln(1+ax )-e x <e ax +ax -e x =e 2ax -e x ≤0,故h'(x )≤0总成立,即h (x )在(0,+∞)上为减函数, 所以h (x )<h (0)=0.当a ≤0时,e ax ≤1,e x >1,ax e ax ≤0, 所以h'(x )=e ax -e x +ax e ax <0,………………7分所以h (x )在(0,+∞)上为减函数,所以h (x )<h (0)=0. 综上a ≤12,即a 的取值范围是(-∞,12]. 8分(发展得分点,函数的恒成立问题,求参数取值范围)第(2)问中的关键是通过反复构造函数,然后求导,进而确定函数h (x )的单调性,利用恒成立问题的解题思路求解,过程比较繁琐,但是每个关键的求解过程必须要全,否则扣掉相应分数. 第(3)问的关键是取a =12,得到x e 12x -e x +1<0这一不等式,构造2ln t <t -1t 对任意的t >1恒成立,进而进(3)取a =12,则∀x >0,总有x e 12x -e x +1<0成立,令t =e 12x ,则t >1,t 2=e x ,x =2ln t ,故2t ln t <t 2-1,即2ln t <t -1t 对任意的t >1恒成立.………………………………9分所以对任意的n ∈N *,有2ln √n+1n<√n+1n-√nn+1,整理得ln(n +1)-ln n <√n 2+n, (10)分故√12+1+√22+2+…+√n 2+n>ln 2-ln 1+ln 3-ln2+…+ln(n +1)-ln n =ln(n +1),故不等式成立.………………………………12分(终极得分点,导数与不等式综合应用)行证明.(3)得运算分:第(1)问中对函数f (x )求导,计算正确得分,错误不给分.第(2)问对构造的新函数求导,计算正确得分,错误不给分,分a >12,0<a ≤12,a ≤0进行讨论,运算论证,最终得出a 的取值范围,每一个运算环节都需准确的运算结果.解题思维技巧策略函数与导数问题一般以函数为载体,以导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,这些都是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.。

(完整版)导数的运算经典习题

（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。

2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。

2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。

3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。

4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。

2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。

2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。

3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。

4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。

2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。

2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。

2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。

2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。

3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。

通过完成这些习题，读者可以巩固对导数运算的理解，并提高应用能力。

希望这些习题对您有所帮助！。

高三导数及应用练习题

高三导数及应用练习题导数是微积分中非常重要的概念，对于高中生来说，学习导数是必不可少的一部分内容。

导数的概念以及其应用能力的培养对于高三学生来说具有重要的意义，因此在这篇文章中，我将为大家提供一些导数及应用的练习题，希望能够帮助大家提升自己的学习水平。

【练习题一】1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数。

解: 首先，我们可以利用导数的定义来求解该题目。

导数的定义是函数 f(x) 在某一点 x 附近的变化率。

对于给定的函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以通过求函数在 x = 2 处的变化率来求解该导数值。

根据定义，我们可以得到如下结果:f'(2) = lim(h→0) [f(2+h) - f(2)] / h代入 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，得到:f'(2) = lim(h→0) [(3(2+h)^2 - 2(2+h) + 1 - (3(2)^2 - 2(2) + 1)] / h化简上述表达式，我们可以得到:f'(2) = lim(h→0) [(12h + 9)] / h进一步简化，我们得到:f'(2) = lim(h→0) [12h + 9] / h利用极限的性质，我们可以得到:f'(2) = 12因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数为 12。

2. 求函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数。

解: 对于函数g(x) = sin(2x)，我们需要利用链式法则来求解其导数。

根据链式法则的定义，我们可以得到如下结果:g'(x) = cos(2x) * 2代入x = π/4，我们可以得到:g'(π/4) = cos(2 * π/4) * 2化简表达式，我们可以得到:g'(π/4) = cos(π/2) * 2利用三角函数的性质，我们可以得到:g'(π/4) = 0 * 2因此，函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数为 0。

高中数学第三章导数的计算课时提升作业3.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式检测

课时提升作业(二十)几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=e x(e是自然对数的底数),则函数f(x)的导函数f′(x)的大致图象为( )【解析】选A.因为f(x)=e x,所以f′(x)=e x,底数e大于1的指数函数是R上的增函数,故选A.2.(2015·泉州高二检测)函数f(x)=(2πx)2的导数是( )A.f′(x)=4πxB.f′(x)=4π2xC.f′(x)=8π2xD.f′(x)=16πx【解析】选C.因为f(x)=4π2x2,所以f′(x)=8π2x.3.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为( )A. B.C. D.【解析】选B.s′=.当t=4时,s′=·=.4.曲线y=x n在x=2处的导数为12,则n= ( )A.1B.3C.2D.4【解析】选B.y′=nx n-1,因为y′|x=2=12,所以n·2n-1=12.检验知n=3时成立,所以选B.5.(2015·惠州高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,f n+1(x)=f n′(x),n∈N,则f2015(x)= ( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解题指南】利用基本初等函数的导数公式求出前4个函数,寻找规律求f2015(x).【解析】选D.由题意,f1=cosx,f2=-sinx,f3=-cosx,f4=sinx,…,f2015(x)=-cosx.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·南京高二检测)曲线y=cosx在点A,处的切线方程为.【解析】因为y′=(cosx)′=-sinx,所以y′=-sin=-,所以在点A处的切线方程为y-=-,即x+2y--=0.答案:x+2y--=07.曲线y=在其上一点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为.【解析】y′=′=-=-4,x=±,点P的坐标为,.答案:或8.(2015·汉中高二检测)设函数f(x)=log a x,f′(1)=-1,则a= .【解析】因为f′(x)=,所以f′(1)==-1.所以lna=-1.所以a=.答案:【补偿训练】函数f(x)=(a∈R),若其导数过点(2,4),则a的值为.【解析】因为f(x)=,所以f′(x)=-,又导数过点(2,4),所以-=4,所以a=-16.答案:-16三、解答题(每小题10分,共20分)9.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.【解题指南】表示出过点(a,)的直线,用a表示出三角形的面积,解方程求a.【解析】因为y′=-·,所以y′|x=a=-·,所以在点(a,)处的切线方程为y-=-··(x-a).令x=0,得y=,令y=0,得x=3a,所以×3a×=18,解得a=64.10.(2015·榆林高二检测)已知曲线C:y=x3,(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程.(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?【解析】(1)因为y′=3x2,所以切线斜率k=3,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由所以(x-1)(x2+x-2)=0,所以x1=1,x2=-2,所以公共点为(1,1)及(-2,-8),即其他公共点为(-2,-8).【补偿训练】求过曲线y=sinx上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程. 【解析】因为y=sinx,所以y′=(sinx)′=cosx.所以y′=cos=,所以经过这点的切线的斜率为,从而可知适合题意的直线的斜率为-.所以由点斜式得适合题意的直线方程为y-=-(x-),即x+y--π=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·青岛高二检测)若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于( )A.2B.4C.D.【解析】选A.y′=2x,则切线的斜率为2a,所以曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线方程为y-a2=2a·(x-a),即y=2ax-a2.令x=0得y=-a2,令y=0得x=,所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为×a2×=2,解得a=2,故选A.2.给出下列函数:①f(x)=; ②f(x)=2x;③f(x)=log2x; ④f(x)=sinx.则满足关系式f′>f-f>f′的函数的序号是( )A.①③B.②④C.①③④D.②③④【解题指南】分别求出相应的导数值,利用函数的单调性比较大小.【解析】选C.①f′(x)=,所以f′=,f-f=,f′=,所以f′>f-f>f′;②f′(x)=2x ln2>0,导函数为单调增函数,所以f′<f′,故结论不成立;③f′(x)=,所以f′=,f-f=log23,f′=,所以f′>f-f>f′;④f′(x)=cosx,所以f′=cos,f-f=sin-sin,f′=cos,因为cos<cos,所以f′>f-f>f′.【补偿训练】已知f(x)=lnx(x>0),f(x)的导数是f′(x),若a=f(7),b=f′,c=f′,则a,b,c的大小关系是( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c【解析】选B.f′(x)=,a=f(7)=ln7,b=f′=2,c=f′=3,因为ln7<ln e2=2,所以a<b<c.故选B.二、填空题(每小题5分,共10分)3.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角αl的取值范围是.【解析】因为(sinx)′=cosx,因为k l=cosx,所以-1≤k l≤1,所以αl∈∪.答案:∪【补偿训练】(2015·安阳高二检测)曲线y=lnx与x轴交点处的切线方程是. 【解析】因为曲线y=lnx与x轴的交点为(1,0)所以y′|x=1=1,切线的斜率为1,所求切线方程为y=x-1.答案:y=x-14.(2015·陕西高考)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P 的坐标为.【解题指南】利用y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率,进而求得切点坐标.【解析】由f′(x)=e x,得f′(0)=e0=1.又y=e x在(0,1)处的切线与y=(x>0)上点P处的切线垂直,所以点P处的切线斜率为-1.又y′=-,设点P(x0,y0),所以-=-1,x0=±1,由x>0,得x0=1,y0=1,所以点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·西安高二检测)设曲线y=上有点P(x1,y1),与曲线切于点P的切线为m,若直线n 过点P且与m垂直,则称n为曲线在点P处的法线.设n交x轴于点Q,又作PR⊥x轴于R,求RQ 的长.【解析】依题意,y′=,因为n与m垂直,所以n的斜率为-2,所以直线n的方程为y-y1=-2(x-x1).令y=0,则-y1=-2(x Q-x1),所以x Q=+x1,容易知道x R=x1,于是,|RQ|=|x Q-x R|=.6.已知两条曲线y=sinx,y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.【解析】由于y=sinx,y=cosx,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),所以两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为k1=y′=cosx0,k2=y′=-sinx0,若使两条切线互相垂直,必须cosx0·(-sinx0)=-1,即sinx0·cosx0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.。

2024届新高考数学复习：专项(导数的概念及运算)历年好题练习(附答案)

2024届新高考数学复习：专项（导数的概念及运算）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－42．已知函数f (x )＝g (x )＋2x 且曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)ꞏ(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2155．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x6．已知曲线y ＝x 24 －3ln x 的一条切线的斜率为－12 ，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．127．f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫π4 ＝2 ，则实数a 的值为( ) A ．23 B ．12C ．34D ．18．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与二次曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．89．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对于任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)二、填空题10．已知物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s＝12t3－t，则当t＝2时，该物体的瞬时速度为________．11．已知函数f(x)＝e x ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．12．若曲线y＝e－x在点P处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则点P的坐标是________．[强化练习]13．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋114．(多选)已知函数f(x)＝－x3＋2x2－x，若过点P(1，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则t的取值可以是()A．0 B．1 27C．128D．12915．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)e x＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．16．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．参考答案1．D ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，∴f (x )＝－4x ＋x 2，∴f ′(x )＝－4＋2x ，∴f ′(0)＝－4.2．B ∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2.∵函数f (x )＝g (x )＋2x ，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2＝g ′(1)＋2，∴f ′(1)＝2＋2＝4，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为4.故选B.3．D 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以当x ＝1时，y ′＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1b ＝－1. 4．C ∵函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)，∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.5．D ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴a －1＝0，得a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x ，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ，故选D.6．B 令y ′＝2x 4 －3x ＝－12 ，解得x ＝－3(舍去)或x ＝2.故切点的横坐标为2，故选B.7．B ∵f ′(x )＝cos x －a sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4 ＝22 －22 a ＝24 ，得a ＝12 . 8．D 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，∴当x ＝1时，y ′＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，得ax 2＋ax ＋2＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8. 9．B 设g (x )＝f (x )－2x －4，g ′(x )＝f ′(x )－2，由题意得g ′(x )>0恒成立，∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，又f (x )>2x ＋4等价于g (x )>0，∴原不等式的解为x >－1.10．5答案解析：由题知s ′＝32 t 2－1，故当t ＝2时，该物体的瞬时速度为32 ×22－1＝5.11．e答案解析：f ′(x )＝e x ꞏln x ＋e x x ，∴f ′(1)＝e.12．(－ln 2，2)答案解析：∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，设P (x 0，y 0)，由题意得－e －x 0＝－2，∴e －x 0＝2，∴－x 0＝ln 2，x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2，2).13．B f ′(x )＝4x 3－6x 2，则f ′(1)＝－2，易知f (1)＝－1，由点斜式可得函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B.14．CD ∵f (x )＝－x 3＋2x 2－x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋4x －1.由已知得，过点P (1，t )作曲线y ＝f (x )的三条切线，情况如下：①点P (1，t )在曲线上，此时切点为P (1，t )，把P 点坐标代入函数答案解析式可得P (1，0)，利用切线公式得y ＝f ′(1)(x －1)，所以切线为x 轴，但此时切线只有一条，不符合题意．②点P (1，t )不在曲线上，设切点为(x 0，y 0)，又切线经过点P (1，t )，所以切线方程为y －t ＝f ′(x 0)(x －1). 因为切线经过切点，所以y 0－t ＝(－3x 20 ＋4x 0－1)(x 0－1).又因为切点在曲线上，所以y 0＝－x 30 ＋2x 20 －x 0.联立方程得化简得t ＝2x 30 －5x 20 ＋4x 0－1. 令g (x )＝2x 3－5x 2＋4x －1，即t ＝g (x )有三个解，即直线y ＝t 与y ＝g (x )的图象有三个交点．令g ′(x )＝6x 2－10x ＋4＝2(x －1)(3x －2)＝0，可得两极值点为x 1＝1，x 2＝23 .所以x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，23 和(1，＋∞)时，g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫23，1 时，g (x )单调递减，所以当g (1)＝0＜t ＜127 ＝g ⎝⎛⎭⎫23 时，满足直线y ＝t 与y ＝g (x )的图象有三个交点，而0＜129 ＜128 ＜127 ，故选CD.15．－2答案解析：因为f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x ＝x e x ，所以切线l 的斜率为f ′(1)＝e ，由f (1)＝3e 知切点坐标为(1，3e)，所以切线l 的方程为y －3e ＝e(x －1).令y ＝0，解得x ＝－2，故直线l 的横截距为－2.16．(－∞，－4)∪(0，＋∞)答案解析：设切线的切点坐标为(x 0，y 0).令f (x )＝(x ＋a )e x ，则f ′(x )＝(x ＋1＋a )e x ，f ′(x 0)＝(x 0＋1＋a )e x 0.因为y 0＝(x 0＋a )e x 0，切线过原点，所以f ′(x 0)＝y 0x 0，即(x 0＋1＋a )ꞏe x 0＝（x 0＋a ）e x 0x 0.整理，得x 20 ＋ax 0－a ＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＜－4或a ＞0.。

高中数学复习方略课时提升作业：2.11导数与函数的单调性、极值、最值(北师大版)(北师大版·数学理·

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课时提升作业(十四)一、选择题1.设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则( )(A)a<-1 (B)a>-1(C)a>- (D)a<-2.(2013·榆林模拟)函数y=(3-x2)e x的递增区间是( )(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)(C)(-∞,-3)和(1,+∞)(D)(-3,1)3.(2013·铜川模拟)对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )(A)0≤a≤21 (B)a=0或a=7(C)a<0或a>21 (D)a=0或a=214.(2013·九江模拟)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:①f(x)=a x·g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x).若+=,则a等于( )(A) (B)2 (C) (D)2或5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )6.(2013·抚州模拟)函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像如图所示,且a<x0<b,那么( )是F(x)的极大值点(A)F′(x0)=0,x=x0(B)F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点(C)F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)的极值点(D)F′(x0)≠0,x=x0是F(x)的极值点二、填空题7.函数f(x)=的递增区间是.8.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为.9.对于函数f(x)=-2cosx(x∈[0,π])与函数g(x)=x2+lnx有下列命题:①函数f(x)的图像关于x=对称;②函数g(x)有且只有一个零点;③函数f(x)和函数g(x)图像上存在平行的切线;④若函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为.其中正确的命题是.(将所有正确命题的序号都填上)三、解答题10.(2013·合肥模拟)已知函数f(x)=x3-x2+x+b,其中a,b∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式.(2)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.11.(2013·南昌模拟)已知函数f(x)=ax2-3x+lnx(a>0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间[,2]上的最值.(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的极值点.(2)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.(3)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在[1,e]上的最小值(其中e为自然对数的底数).答案解析1.【解析】选A.由y′=(e x+ax)′=e x+a=0,得e x=-a,即x=ln(-a)>0⇒-a>1⇒a<-1.2.【解析】选 D.y′=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0⇒x2+2x-3<0⇒-3<x<1,∴函数y=(3-x2)e x的递增区间是(-3,1).3.【解析】选A.f′(x)=3x2+2ax+7a,令f′(x)=0,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.4.【解析】选A.由①②得=a x,又[]′=,由③知[]′<0,故y=a x是减函数,因此0<a<1.由+=,得a+=,解得a=或a=2(舍).5.【解析】选D.对于A来说,抛物线为函数f(x),直线为f′(x);对于B来说,从左到右上升的曲线为函数f(x),从左到右下降的曲线为f′(x);对于C来说,下面的曲线为函数f(x),上面的曲线为f′(x).只有D不符合题设条件.【方法技巧】函数的导数与增减速度及图像的关系(1)导数与增长速度①一个函数的增长速度快,就是说,在自变量的变化相同时,函数值的增长大,即平均变化率大,导数也就大;②一个函数减小的速度快,那么在自变量的变化相同时,函数值的减小大,即平均变化率大,导数的绝对值也就大.(2)导数与图像一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”.6.【思路点拨】y=g(x)是函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线,故g′(x)= f′(x0),据此判断F′(x0)是否为0,再进一步判断在x=x0两侧F′(x)的符号.【解析】选B.F′(x)=f′(x)-g′(x)=f′(x)-f′(x0),∴F′(x0)=f′(x0)-f′(x0)=0,又当x<x0时,从图像上看,f′(x)<f′(x0),即F′(x)<0,此时函数F(x)=f(x)-g(x)是减少的,同理,当x>x0时,函数F(x)是增加的.7.【解析】f′(x)==>0,即cosx>-,结合三角函数图像知,2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),即函数f(x)的递增区间是(2kπ-,2kπ+)(k∈Z). 答案:(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)8.【解析】∵x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,∴f′(x)=3x2-4cx+c2,∴f′(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时,在x=2处不能取极大值,∴c=6.答案:6【误区警示】本题易出现由f′(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根.9.【解析】画出函数f(x)=-2cosx,x∈[0,π]的图像可知①错;函数g(x)=x2+lnx 的导函数g′(x)=x+≥2,所以函数g(x)在定义域内为增函数,画图知②正确;因为f′(x)=2sinx≤2,又因为g′(x)=x+≥2,所以函数f(x)和函数g(x)图像上存在平行的切线,③正确;同时要使函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线只有f′(x)=g′(x)=2,这时P(,0),Q(1,),所以k PQ=,④也正确.答案:②③④10.【解析】(1)f′(x)=ax2-(a+1)x+1.由导数的几何意义得f′(2)=5,于是a=3.由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.(2)f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).当0<a<1时,>1,函数f(x)在区间(-∞,1)及(,+∞)上是增加的,在区间(1,)上是减少的;当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增加的;当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-∞,)及(1,+∞)上是增加的,在区间(,1)上是减少的.11.【解析】(1)∵f(x)=ax2-3x+lnx,∴f′(x)=2ax-3+,又f′(1)=0,∴2a-2=0,∴a=1,∴f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+.令f′(x)=0,即2x-3+=0,解得x=或x=1.列表如下:∴当x=1时,f(x)min=-2;∵f(2)-f()=-2+ln2++ln2=ln4->1->0,∴当x=2时,f(x)max=-2+ln2.(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2ax-3+=,令Δ=9-8a.当a≥时,Δ≤0,f′(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)上是增加的,当0<a<时,Δ>0,方程2ax2-3x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,不妨设x1<x2,则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,这时,函数f(x)在定义域内不是单调函数.综上,a的取值范围是[,+∞).12.【思路点拨】(1)先判断f(x)的增减性,再求极值点.(2)设出切点,表示出切线方程,利用直线过点(0,-1),求出切点即可得出切线方程.(3)先求出极值点,再根据该点是否在[1,e]上分类讨论.【解析】(1)f′(x)=lnx+1,x>0.而f′(x)>0,即lnx+1>0,得x>.f′(x)<0,即lnx+1<0,得0<x<,所以f(x)在(0,)上是减少的,在(,+∞)上是增加的.所以x=是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.(2)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).又切线l过点(0,-1),所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0).解得x0=1,y0=0.所以直线l的方程为y=x-1.(3)g(x)=xlnx-a(x-1),则g′(x)=lnx+1-a.g′(x)<0,即lnx+1-a<0,得0<x<e a-1,g′(x)>0,得x>e a-1,所以g(x)在(0,e a-1)上是减少的,在(e a-1,+∞)上是增加的.①当e a-1≤1即a≤1时,g(x)在[1,e]上是增加的,所以g(x)在[1,e]上的最小值为g(1)=0.②当1<e a-1<e,即1<a<2时,g(x)在[1,e a-1)上是减少的,在(e a-1,e]上是增加的.g(x)在[1,e]上的最小值为g(e a-1)=a-e a-1.③当e≤e a-1,即a≥2时,g(x)在[1,e]上是减少的,所以g(x)在[1,e]上的最小值为g(e)=e+a-ae.综上,x∈[1,e]时,当a≤1时,g(x)的最小值为0;当1<a<2时,g(x)的最小值为a-e a-1;当a≥2时,g(x)的最小值为a+e-ae.【变式备选】设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+∞)上存在递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值. 【解析】(1)f(x)=-x3+x2+2ax,∴f′(x)=-x2+x+2a,当x∈[,+∞)时,f′(x)的最大值为f′()=+2a.函数f(x)在(,+∞)上存在递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立,∴+2a>0⇒a>-.(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f′(x)=-x2+x+2a的图像开口向下,且对称轴为x=,∴f′(1)=-1+1+2a=2a>0,f′(4)=-16+4+2a=2a-12<0,则必有一点x0∈[1,4]使得f′(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上是增加的,在[x0,4]上是减少的,f(1)=-++2a=+2a>0,∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,∴-+8a=-,得a=1,此时,由f′(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),所以函数f(x)max=f(2)=.关闭Word文档返回原板块。

高考数学 2.10导数与导数的运算课时提升作业理北师大版

【全程复习方略】2014版高考数学 2.10导数与导数的运算课时提升作业理北师大版一、选择题1.函数y=sin(2x+1)的导数是( )(A)y′=cos(2x+1) (B)y′=2xsin(2x+1)(C)y′=2cos(2x+1) (D)y′=2xcos(2x+1)2.(2013·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=( )(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2013·宝鸡模拟)下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )(A)f(x)=e x (B)f(x)=x3(C)f(x)=lnx (D)f(x)=sinx4.(2013·赣州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且=-2,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是( )(A)y=-2x+2 (B)y=-4x+2(C)y=4x+2 (D)y=-x+25.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图像,则f(-1)为( )(A)2 (B)- (C)3 (D)-6.(2013·阜阳模拟)如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=kx+b,若f(1)-f′(1)=2,则b=( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)-27.(2013·新余模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( )(A)4 (B)- (C)2 (D)-8.已知直线y=2x-m是曲线y=ln2x的切线,则m等于( )(A)0 (B)1 (C)(D)-9.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)=( )(A)26 (B)29 (C)212 (D)21510.(2013·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )(A)-1或- (B)-1或(C)-或- (D)-或7二、填空题11.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(2),则f′(5)=.12.(2013·宜春模拟)若过原点作曲线y=e x的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.13.(2013·镇江模拟)设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为.14.(能力挑战题)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.三、解答题15.(2013·宿州模拟)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.答案解析1.【解析】选C. y′=cos(2x+1)·(2x+1)′=2cos(2x+1).2.【解析】选B.y′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】选D.设切点的横坐标为x1,x2,则存在无数对互相垂直的切线,即f′(x1)·f′(x2)=-1有无数对x1,x2使之成立,对于A由于f′(x)=e x>0,所以不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立;对于B由于f′(x)=3x2≥0,所以也不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立;对于C由于f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=>0;对于D,由于f′(x)=cosx,所以f′(x1)·f′(x2)=cosx1·cosx2,若x1=2mπ,m∈Z,x2=(2k+1)π,k∈Z,则f′(x1)·f′(x2)=-1恒成立.4.【解析】选B.因为f(x)的周期为2,所以f(0)=f(2)=2.由=-2得=-2,即f′(0)=-2,得f′(0)=-4,故曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=-4x+2.5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图像开口向上.又∵a≠0,∴其图像必为(3).由图像特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-.6.【解析】选C.由函数y=f(x)的图像知,点P(1,f(1)),故f′(1)=k,又f(1)=k+b,由f(1)-f′(1)=2得b=2.7.【解析】选A.因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.8.【解析】选B.设切点为(x0,ln2x0),则由y=ln2x得y′=·2=,故即解得9.【解析】选C.因为f′(x)=x′·[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]+x·[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]′,所以f′(0)=(-a1)(-a2)·…·(-a8)=a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212.10.【思路点拨】先设出切点坐标,再根据导数的几何意义写出切线方程,最后由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,解得a=-,同理,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以选A.【方法技巧】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.11.【解析】对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.答案:612.【解析】y′=e x,设切点坐标为(x0,y0),则=,即=,∴x0=1,因此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.答案:(1,e) e13.【解析】∵y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],∴0≤f′(x0)≤1,即0≤2ax0+b≤1.又∵a>0,∴-≤x0≤,∴0≤x0+≤,即点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为[0,].答案:[0,]14.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.【解析】由题意该函数的定义域为(0,+∞),且f′(x)=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f′(x)=2ax+存在零点的问题.方法一(图像法):再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点.当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).方法二(分离变量法):上述也可等价于方程2ax+=0在(0,+∞)内有解,显然可得a=-∈(-∞,0).答案:(-∞,0)15.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f′(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-).令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为S=|-||2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13,∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3+1=4,∴x0=±1,∴或∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.。

高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案

高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案一、选择题 1. D 解析：∵B={1,3,4}，∴A∩(B)={1,3}.2. C解析：乙成立时，平面α、β有交点，即丙成立；当丙成立时，若直线l 、m 均不相交，则l 、m 与平面α、β的交线平行，此时l ∥m ，与甲矛盾，故乙也成立，即乙是丙的充要条件. 3. C解析：∵“p 且q”与“非q”同时为假命题⇒p 为假，q 为真，又|x-1|＞2⇔x<-1或x>3， ∴满足条件的x 为-1≤x≤3,x ∈Z ，即x=-1,0,1,2,3. 4. B解析：令A={1},B={2}，则card(A)=card(B)，故④为假，排除A 、C ；又令A={1},B={1,2}，则card(A)≤card(B),A ⊆B ，排除③，故选B.5.（理）B解析：{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R 等价于方程x 2+2tx-4t-3=0无解，故Δ1=(2t)2+4(4t+3)<0,-3<t<-1,∴A={t|-3<t<-1}. {x|x 2+2tx-2t=0}≠φ等价于方程x 2+2tx-2t=0有解，故Δ2=4t 2+8t≥0,t≤-2或t≥0，∴B={t|t≤-2或t≥0}，A∩B=(-3,-2]. （文）A 解析：直线y-1=k(x-1)过圆x 2+y 2-2y=0上的点（1,1）且斜率存在，故直线与圆相交（不相切），即选A. 6. B解析：∵-4-x 2∈［-2,0］,∴M ⊆［-2,0］,故选B. 7. C 解析：⎩⎨⎧-=-=-2)2()0()4(f f f ⇒f(x)=x 2+4x+2(x≤0)，f(x)=x ⇒x=2,-1,-2.8.（理）B解析：设t=2x ,t ∈(0,2］，则1+2x +(a-a 2)4x >0⇔a 2-a<21t t +=(t 1+21)2-41. ∵t ∈(0,2)，t 1∈［21,+∞］,∴(t 1+21)2-41∈［43,+∞］，∴ a 2-a<43⇔-21<a<23.（文）A解析：令a=-1，则f(x)=-x 2+4x+1，易知不满足题意，排除B 、C 、D ，选A. 9. D解析：y=(x+x 1)2-(x+x 1)-2=(x+x 1-21)2-49，令t=x+x1，因x<0，故t≤-2. 又y=(t-21)2-49在（-∞,-2）递减，∴ y min =(-2-21)2-49=4. 10. B解析：令2x 2+1=5，则x=±2；令2x 2+1=19，则 x=±3.则集合A={-2,2},B={-3,3}中各至少有一个元素为定义域中的元素，故定义域有)()(22122212C C C C +⨯+×=9种，即“孪生函数”有9个.11. A 解析：f(41)=log 241=-2,F(f(41),1)=F(-2,1)=-2+1=-1. 12.(理) B 解析：f(x)=(31)x ,f -1(x)=31log x ，由原方程得 f -1(x)=-1或3，故x=3或271. （文）D解析：根据 f -1(x)=log 3x+1的定义域及值域观察可得. 13. D 解析：f(535π)=f(32π)=f(-32π)=f(3π)=sin 3π=23.14. D解析：设点(x 0,y 0)是y=(21)x图象上的点，关于点（2，0）对称点为（x,y ），则x 0=4-x,y 0=-y, 又y 0=(21)x0，故-y=(21)4-x,即y=-2x-4=-162x ,故选D. 15. B 解析：⎩⎨⎧<<<-1005.0a a ⇒0<a<0.5.16. B解析：f′(x)=2x 2-2，当 x ∈［0,1］时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减. 17. D解析：∵y′|x=1=（x 2-2x ）|x=1=1-2=-1,由导数的几何意义知,曲线在该点的切线斜率为-1,∴倾斜角为43π. 18. A解析：y′=6x 2-6x-12=6(x-2)(x+1),令y ′=0,得x=2或x=-1（舍）.∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴y max =5,y min =-15.19. B解析：∵f′(x)=x 2+2ax+a 2-1=(x+a)2-1，又a≠0, ∴f′(x)的图象为第三个，知f′(0)=0，故a=-1，f(-1)=-31+a+1=-31. 20. B解析：设点P(x 0,y 0)，在点P 处的切线的斜率为k=tanα=(x 3-x+32)′|x=x0=3x 02-1≥-1, 又∵0≤α≤π，∴α∈［0,2π］∪［43π,π］. 21. C解析：f′(x)=-3x 2-1<0,故f(x)在［m,n ］单调递减，又f(m)·f(n)<0,故f(m)>0,f(n)<0, ∴f(x)=0在区间［m,n ］上有且只有一个实数根. 22. D解析：y=2-x 与y=21log x 的图象关于直线y=x 对称；y=2log 4x=log 2x 与y=21log x 的图象关于x 轴对称；y=log 2(x+1)的图象向右平移一个单位即为y=21log x 的图象，故排除A 、B 、C ，选D.23. C解析：f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，故a<1，而g(x)=x+x a -2a ，g′(x)=1-2xa . ∵x>1，a<1,∴g′(x)<0,即g(x)在（1，+∞）递减.24. B解析：∵f(x)=ax 3+bx 2,f′(x)=3ax 2+2bx,∴⎩⎨⎧-=+=⨯+⨯,323,022232b a b a即⎩⎨⎧-==.3,1b a令f′(x)=3x 2-6x<0,则0<x<2,即选B. 25. D解析：∵y′=3x 2-3≥-3，∴tanα≥-3，又α∈［0,π］，∴α∈［0,2π］∪［32π,π］.二、填空题 26.（1）（3）（4）解析：（2）错在当m=0时不成立，其他根据概念即可判断. 27.（理）m≤9 解析：同时满足①②的x 的范围为2<x<3，要令f(x)=2x 2-9x+m<0在(2,3)上恒成立，则f(x)=0的两根x 1、x 2(x 1≤x 2)应满足x 1≤2且x 2≥3.则f(2)≤0且f(3)≤0，解得m≤9. （文）(-3，23) 解析：只需f(1)=-2p 2-3p+9>0或f(-1)=-2p 2+p+1>0 即-3＜p ＜23或21-＜p ＜1,∴p ∈(-3, 23). 28.②③解析：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)由图象知k PQ ∈(0,+∞),k OP >k OQ ，故①错，②对，又直线x=221x x +与函数f(x)的图象的交点在线段PQ 的中点上方，故③正确. 29. -4解析：∵f′(x)=3ax 2-2bx+c, ∴f′(2)=12a -4b+c=0. 又f(1)=a-b+c=4,∴b=5411+a ,c=51616a-. 所以f(-1)=-(a+b+c)=-(a+5411+a +51616a-)=-4.30.（21）|x|等解析：f(x)=(21)|x|或y=(31)|x|或y=a |x|(0<a<1).三、解答题31.解：由题意，M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x+a)(x-8)≤0}.则 M∩P={x|5<x≤8}⇔-3≤-a≤5⇔-5≤a≤3.（1）只要是满足-5≤a≤3的一个数即可作为答案.（2）只要使集合{x|-5≤a≤3}成为所得范围集合的真子集即可作为答案. 32.解：（1）逆命题：在等比数列 {a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列；（2）设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则2a m+2=a m +a m+1，于是2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . 由a 1≠0,q≠0，化简上式得2q 2-q-1=0，解得q=1或q=-21, 当q=1时，∵S m =ma 1,S m+2=(m+2)a 1,S (m+1)=（m+1）a 1, ∴S m +S m+1≠2S m+2,即S m ,S m+2,S m+1不成等差数列；当q=-21时,∵S m +S m+1=])21(1[34211])21(1[211])21(1[21111++--=+--++--m m m a a a而2S m+2=])21[(34211])21(1[2221212+++-=+--=m m m a a S ，∴S m +S m+1=2S m+2，即S m ,S m+2,S m+1成等差数列；综上得，当公比q=1时，逆命题为假，当q=-21时，逆命题为真. 33.解：函数图象的对称轴为x=2a ， ①当2a<0即a<0时，f(0)=3,即a 2-2a+2=3,∴a=1-2或a=1+2（舍）， ②当0≤2a≤2即0≤a≤4时，f(2a )=3,∴a=-21（舍）， ③当2a>2即a>4时，f(x)min =f(2)=3即a 2-10a+18=3，∴a=5+10或5-10（舍），综上可知a=1-2或a=5+10.34.解析:由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-23≤a≤2, (1)当-23≤a ＜1时，原方程化为x=-a 2+a+6, ∵-a 2+a+6=-(a-21)2+425,∴当a=-23时，x min =49,当a=21时,x max =425.∴49≤x≤425.(2)当1≤a≤2时，x=a 2+3a+2=(a+23)2-41,∴当a=1时，x min =6,当a=2时，x max =12,∴6≤x≤12. 综上所述，49≤x≤12. 35.解：（1）设 x 1<x 2<0，则31x <32x ,321x x +<1，∵f(x 1)-f(x 2)=19311+x x - 19311+x x =)1)(1(3993332122112122++-+-++x x x x x x x x=)1)(1()1)((99333112121++--+x x x x xx <0,∴f(x 1)<f(x 2)，即y=f(x)在(-∞,0)上是增函数.（2）∵0<193+x x=xx 3131+≤21， ∴当x≤0时，f(x)=193+x x -21∈(-21,0]；当x>0时，f(x)=21-193+x x +1∈(0,21).综上得y=f(x)的值域为(-21,21). （3）∵f(x)=(-21,21)，又∵f(x)>31， ∴f(x)∈(31,21)，此时f(x)=21-193+x x(x>0)，令21-193+x x >31，即193+x x <61⇒32x-6·3x +1>0⇒3x >3+22⇒x>log 3(3+22)，∴不等式 f(x)>31的解集是(log 3(3+22),+∞). 36.解：（1）令x=y=0⇒f(0)=0，令y=-x ，则f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)⇒f(x)在（-1,1）上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)，而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒-1<21211x x x x --<0⇒f(21211x x x x --)>0.即当x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)．∴f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）（理）由于f(21)-f(51)=f(21)+f(-51)=f(52115121⨯--)=f(31)， f(31)-f(111)=f(41),f(41)-f(191)=f(51)， ∴f(21)-f(111)-f(191)=2f(51)=2×21=1．37.解：f′(x)=3x 2+6ax,g′(x)=-4x+2. （1）f′(2)=12+12a,g′(2)=-6. ∵12+12a=-6,∴a=-23. （2）令f′(x)=0得x 1=0或x 2=-2a,分别代入g(x)=-2x 2+2x+3得g(0)=3或g(-2a)=-8a 2-4a+3,∴⎩⎨⎧-+-=+---=.3128348,33332b a a a a b ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1a b此时f′(x)=3x 2-6x=0,得x=0或x=2, ∴f(x)的单调递减区间是［0，2］，递增区间是（-∞,0）,［2,+∞］. 38.解：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x 2=32(y+23)，当y=-0.5时，x=±36，∴水面宽EF=362m. （2）如上图，设抛物线一点M(t,23t 2-23)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土.由y=23x 2-23,求导得y′=3x ， ∴过点M 的切线斜率为3t ，切线方程为y-(23t 2-23)=3t(x-t). 令y=0，则x 1=t t 212+,令y=-23,则x 2=2t,故截面梯形面积为S=21(2x 1+2x 2)·23=23(t21+t)≥223,当且仅当t=22时所挖土最少，此时下底宽22m. 答：故截面梯形的下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少. 39.(1)证明：∵a·b=23⨯21-21⨯23=0，∴a ⊥b.(2)解：c·d=-y+2x(t-2x 2)=0⇒f(x)=2tx-4x 3.(3)解：若存在t 满足条件，则f′(x)=2t -12x 2(t≥0),由f′(x)=0⇒x=6t, 当0≤x<6t ,f′(x)>0,f(x)在［0，6t ］上递增; 当x>6t 时，f′(x)<0,f(x)在（6t ,+∞）上递减. ∴t≥6时，f(x)在［0，1］递增，f(x)max =f(1)=2t-4=12,∴t=8∈［6,+∞).综上，存在常数t=8，使f(x)有最大值为12. 40.(理)解：（1）已知函数f(x)=bx ax+2，∴f′(x)=222)()2()(b x x ax b x a +-+, 又函数f(x)在x=1处取得极值2，∴⎩⎨⎧==',2)1(,0)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ⇒⎩⎨⎧==.1,4b a ∴f(x)=142+x x. （2）∵f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x =222)1(44+-x x . 由f′(x)>0，得4-4x 2>0，即-1<x<1, 所以f(x)=142+x x的单调增区间为（-1，1）. 因函数f(x)在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥,12,112,1m m m m 解得-1<m≤0，即m ∈(-1,0)时，函数f(x)在（m ，2m ＋1）上为增函数. （3）f(x)=142+x x, ∴f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x , 直线l 的斜率为k=f′(x 0)=220220)1(8)1(4+-+x x x =4［11)1(220220+-+x x ］.令1120+x =t ，t ∈(0,1),则直线l 的斜率k=4(2t 2-t),t ∈(0,1)∴k ∈［-21,4］，即直线l 的斜率k 的取值范围是［-21,4］［或者由k=f′(x 0)转化为关于x 02的方程，根据该方程有非负根求解］.（文）解：（1）设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f′(x)=3ax 2+2bx+c.∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,12627,3412,023c b a c b a c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-==.3,3,1c b a ∴f(x)-f(0)=x 3-3x 2+3x.（2）f′(x)=3x 2-6x+3.对任意的x ∈［-1,4］,f(x)>f′(x)⇔f(x)-f ′(x)=x 3-6x 2+9x+f(0)-3>0⇔f(0)>F(x)=-x 3+6x 2-9x+3. ∵F′(x)=-3x 2+12x-9,当x ∈［-1,1)时，F′(x)<0;当x=1或3时，F′(x)=0,当x ∈(1,3)时，F′(x)>0;当x ∈(3,4］时，F′(x)<0,又F （-1）>F(3),F(-1)>F(1),F(-1)>F(4).∴F(x)在［-1，4］上的最大值为F （-1）=19，f(0)的取值范围是（19，+∞）.。

2022年高考总复习数学(理科)课时作业：第2章专题一函数与导数第1课时 Word版含解析

专题一函数与导数第1课时1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e2．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)3．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1200＋275x 3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时总利润最大．( )A ．10B ．25C ．30D ．404．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )A.23B.32 C ．2 D ．3 5．(2022年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )(导学号 58940254)A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)6．(2022年新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(导学号 58940255) (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．7．(2021年广东肇庆一模)已知函数f (x )＝x 3－3x .(导学号 58940256) (1)争辩f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点，求实数m 的取值范围； (3)设函数h (x )＝e x －e x ＋4n 2－2n (e 为自然对数的底数)，假如对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)≤h (x 2)恒成立，求实数n 的取值范围．8．(2022年北京)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)专题一函数与导数第1课时1．B 解析：由于f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，所以f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1.解得f ′(1)＝－1.故选B.2．C 解析：由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax ＝0在x >0上有解，即x ＝－a ，所以a <0.故选C.3．B 解析：设单价为q ＞0，由题意q 2＝kx，当x ＝100时，q ＝50，∴k ＝q 2x ＝502×100＝250 000.∴q 2x＝250 000，q ＝500x .∴总利润y ＝xq －C (x )＝x ·500x －⎝⎛⎭⎫1200＋275x 3.令y ′＝500·12 x －275·3x 2＝0，解得x ＝25.当0＜x ＜25时，y ′＞0，当x ＞25时，y ′＜0，∴当x ＝25时，总利润最大．4．C解析：f ′(x )＝x 2＋2ax －b在[－1,3]上有f ′(x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(3)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，6a －b ≤－9.设⎩⎪⎨⎪⎧u ＝2a ＋b ≥1，v ＝b －6a ≥9.设a ＋b ＝mu ＋n v ＝m (2a ＋b )＋n (－6a ＋b )＝(2m －6n )a ＋(m ＋n )b ，对比参数：2m －6n ＝1，m ＋n ＝1，解得m ＝78，n ＝18，∴a ＋b ＝78u ＋18v ≥2.则a ＋b 的最小值为2.5．C 解析：a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a .若a ＞0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．则a ＜0，由图象结合f (0)＝1＞0知，此时必有f ⎝⎛⎭⎫2a ＞0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1＞0，化简，得a 2＞4.又a ＜0，所以a ＜－2.故选C.6．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.令g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0，(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0，得 x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1.故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在x ∈(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0. 综上，a 的取值范围是(－∞，2]．7．解：(1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1). 由于当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)． (2)方法一，由(1)知，g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以g (x )在x ＝－1处取得极大值g (－1)＝2－m ，在x ＝1处取得微小值g (1)＝－2－m .由于g (x )在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫－32≤0，g (－1)＞0，g (1)＜0，g (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧98－m ≤0，2－m ＞0，－2－m ＜0，18－m ≥0.解得98≤m ＜2.故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫98，2.方法二，要函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点，就是要方程g (x )＝f (x )－m ＝0在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个实根，也就是只要函数y ＝f (x )和函数y ＝m 的图象在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个不同的交点．由(1)知，f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减；所以f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝2，在x ＝1处取得微小值f (1)＝－2.又f ⎝⎛⎭⎫－32＝98，f (3)＝18. 故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫98，2.(3)对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)≤h (x 2)恒成立，等价于当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )max ≤h (x )min 成立.由(1)知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝－118，f (2)＝2，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值f (x )max ＝2.h ′(x )＝e x －e ，令h ′(x )＝0，得x ＝1. 由于当x ＜1时，h ′(x )＜0；当x ＞1时，h ′(x )＞0；所以h (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,2]上单调递增．故h (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值h (x )min ＝h (1)＝4n 2－2n . 所以4n 2－2n ≥2.解得n ≤－12，或n ≥1.故实数n 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 8．解：(1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22，或x ＝22. 由于f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为 f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)．因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)．整理，得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的状况如下：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)g ′(x ) ＋－＋ g (x )t ＋3 t ＋1所以g (0)当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0，且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，由于g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0，所以g (x )分别在区间(－1,0)，(0,1)和(1,2)上恰有1个零点．由于g (x )在区间(－∞，0)和(1，＋∞)和(0,1)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)和(0,1)上恰有1个零点．综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。

高考理科数学一轮复习课时提升作业：第2章 2.10《变化率与导数、导数的计算》(含答案)

变化率与导数、导数的计算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是( )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.2.(2016·济宁模拟)已知f(x)=x(2014+lnx),f′(x0)=2015,则x0= ( )A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选B.由题意可知f′(x)=2014+lnx+x·=2015+lnx.由f′(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=e x,则当x1<x2时,下列结论正确的是( )A.>B.<C.>D.<【解析】选C.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则表示曲线f(x)=e x在B点处的切线的斜率,而表示直线AB的斜率,由数形结合可知:>.4.(2016·聊城模拟)直线f(x)=x+b是曲线g(x)=lnx(x>0)的一条切线,则b=( ) A.2 B.ln2+1C.ln2-1D.ln2【解析】选C.因为g′(x)=,所以=,解得x=2,所以切点为(2,ln2),将其代入直线f(x)=x+b,得b=ln2-1.5.(2016·潍坊模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )A.-1或-B.-1或C.-或-D.-或7【解题提示】点(1,0)不在曲线y=x3上,只是曲线y=x3的特定切线经过点(1,0),故设出切点坐标,写出切线方程,把点(1,0)代入切线方程求得切点坐标,得出切线方程后,再根据切线与y=ax2+x-9相切求出a值.【解析】选A.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)= .【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知f(x)=x2+2xf′(2014)+2014lnx,则f′(2014)= .【解析】由题意得f′(x)=x+2f′(2014)+,所以f′(2014)=2014+2f′(2014)+,即f′(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-20157.函数f(x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于.【解析】f′(x)==,则f′(-1)=-4,故该切线方程为y=-4x-2,切线在x,y轴上的截距分别为-,-2,故所求三角形的面积为.答案:8.(2016·日照模拟)已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是.【解析】由题意可得f′(x)=e x-m,由于曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则e x-m=-有解,即m=e x+,而e x>0,故m>.答案:【加固训练】设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于.【解析】因为y′=,所以y′=-1,由条件知=-1,所以a=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程.(2)切线l的倾斜角α的取值范围.【解析】(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,所以当x=2时,y′=-1,y=,所以斜率最小的切线过点,斜率k=-1,所以切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,所以tanα≥-1,所以α∈∪.10.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为∪.(20分钟40分)1.(5分)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f′(x)的图象,则f(-1)= ( )A. B.-C. D.-或【解析】选D.因为f′(x)=x2+2ax+a2-1,所以f′(x)的图象开口向上,则②④排除.若f′(x)的图象为①,此时a=0,f(-1)=;若f′(x)的图象为③,此时a2-1=0,又对称轴x=-a>0.所以a=-1,所以f(-1)=-.2.(5分)(2016·济南模拟)函数y=-x2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α,则α的最小值是( )A. B. C. D.【解析】选D.由于y′=x2-2x,当0<x<2时,-1≤y′<0,据导数的几何意义得-1≤tanα<0,当tanα=-1时,α取得最小值,即αmin=.【加固训练】(2016·广州模拟)已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C 的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为( )A. B.-2 C.2 D.-【解析】选A.设切点坐标为(t,t3-at+a).由题意知,f′(x)=3x2-a,切线的斜率为k=f′(t)=3t2-a,①所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)·(x-t).②将点(1,0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得t=0或t=.分别将t=0和t=代入①式,得k=-a和k=-a,由题意知它们互为相反数,得a=.3.(5分)(2016·德州模拟)函数y=x2(x>0)的图象在点(a k,)处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是.【解析】因为y′=2x,所以函数y=x2(x>0)在点(a k,)处的切线方程为y-=2a k(x-a k),令y=0,得a k+1=a k,又因为a1=16,所以a3=a2=a1=4,a5=a3=1,所以a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:214.(12分)已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值.并判断两条切线是否为同一条直线.【解析】根据题意有:曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g′(1)=-a.所以f′(1)=g′(1),即a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线.5.(13分)(2016·青岛模拟)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f′(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。

2019大一轮高考总复习理数课时作业提升：第03章导数

课时作业提升(十五) 导数与函数的极值、最值A 组夯实基础1．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：选D f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .令f ′(x )＝0，则x ＝－1.当x <－1时，f ′(x )<0，当x >－1时，f ′(x ) >0，所以x ＝－1为f (x )的极小值点．2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x ＞0，令f ′(x )＞0，得x ＞1；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1，所以f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.3．(2018·长治模拟)若函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 有极值，则导函数f ′(x )的图象不可能是( )解析：选D 若函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数f ′(x )在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x 轴，观察四个选项中的图象只有D 项是不符合要求的，即f ′(x )的图象不可能是D.4．(2108·成都检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18解析：选C ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.5．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2解析：选D 由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴函数f (x )在x ＝2处取得极小值，则a ＝2.故选D.6．(2018·怀化模拟)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)解析：选C 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)，故选C.7．(2018·银川模拟)函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________. 解析：f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时x ＝1处取得极大值，不合题意，所以m ＝1.答案：18．(2018·长沙模拟)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则g (x )的最小值为________. 解析：对f (x )＝ln x 求导，得f ′(x )＝1x ，则g (x )＝ln x ＋1x ，且x ＞0.对g (x )求导，得g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，函数g (x )＝ln x ＋1x 在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )＝ln x ＋1x在(1，＋∞)上单调递增．所以g (x )min ＝g (1)＝1.答案：19．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知f ′(2)＝0，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′ (n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13. 答案：－1310．(2018·武威模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ，x ＞1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．解：(1)f ′(x )＝ln x －1(ln x )2＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1(ln x )2－1ln x ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14. 因为x ∈(1，＋∞)，所以ln x ∈(0，＋∞)，所以当1ln x －12＝0时函数t ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14的最小值为－14，所以a ≤－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝xln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2(ln x )2(ln x )2，令f ′(x )＝0得2(ln x )2＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1＜x ＜e 12时，f ′(x )＜0，当x ＞e 12时，f ′(x )＞0，所以f (x )的极小值为f (e 12)＝e 1212＋2e 12＝4e 12.11．(2018·贵阳模拟)设f (x )＝x e x ，g (x )＝12x 2＋x .(1)令F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的最小值；(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)且x 1＞x 2有m [f (x 1)－f (x 2)]＞g (x 1)－g (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x ＋12x 2＋x ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x ＋1)，令F ′(x )＞0，解得：x ＞－1，令F ′(x )＜0，解得：x ＜－1，故F (x )在(－∞，－ 1)单调递减，在(－1，＋∞)单调递增，故F (x )min ＝F (－1)＝－12－1e；(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)且x 1＞x 2有m [f (x 1)－f (x 2)]＞g (x 1)－g (x 2)恒成立，则任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)且x 1＞x 2有mf (x 1)－g (x 1)＞mf (x 2)－g (x 2)＞0恒成立，令h (x )＝mf (x )－g (x )＝mx e x －12x 2－x ，x ∈[－1，＋∞)，即只需h (x )在[－1，＋∞)递增即可；故h ′(x )＝(x ＋1)(m e x －1)≥0在[－1，＋∞)恒成立，故m ≥1e x ，而1ex ≤e ，故m ≥e.B 组能力提升1． (2018·海口检测)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R . (1)若a ＝0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； (2)根据a 的不同取值，讨论函数f (x )的极值点情况．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x 2，其定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x＋2x ＞0，所以f (x )在[1，e]上是增函数，当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1；故函数f (x )在[1，e]上的最小值是1.(2)f ′(x )＝2x 2－2ax ＋1x，令g (x )＝2x 2－2ax ＋1，(ⅰ)当a ≤0时，在(0，＋∞)上g (x )＞0恒成立，此时f ′(x )＞0，函数f (x )无极值点；(ⅱ)当a ＞0时，若Δ＝4a 2－8≤0，即0＜a ≤2时，在(0，＋∞)上g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≥0，函数f (x )无极值点；若Δ＝4a 2－8＞0，即a ＞2时，易知当a －a 2－22＜x ＜a ＋a 2－22时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0；当0＜x ＜a －a 2－22或x ＞a ＋a 2－22时，g (x )＞0，此时f ′(x )＞0，所以当a ＞2时，x ＝a －a 2－22是函数f (x )的极大值点，x ＝a ＋a 2－22是函数f (x )的极小值点，综上，当a ≤2时，函数f (x )无极值点；a ＞2时，x ＝a －a 2－22是函数f (x )的极大值点，x ＝a ＋a 2－22是函数f (x )的极小值点．2．(2018·日照模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．解：(1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x ，令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce－3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者．而f(－5)＝5e5＝5e5＞5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.。

高考数学总复习课时提升练习2.10 导数与导数的运算

高考数学总复习课时提升练习2.10 导数与导数的运算一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·九江模拟)已知f(x)=xsin x+ax 且f ′(2π)=1，则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.4【解析】选A.因为f ′(x)=sin x+x ·cos x+a ，且f ′(2π)=1，故sin 2π+2π·cos 2π+a=1，即a=0. 2.(2015·合肥模拟)若f(x)=2xf ′(1)+x 2,则f ′(0)等于( ) A.2 B.0 C.-2 D.-4 【解析】选D.f ′(x)=2f ′(1)+2x, 令x=1,则f ′(1)=2f ′(1)+2,得f ′(1)=-2, 所以f ′(0)=2f ′(1)+0=-4.【误区警示】本题在对f(x)求导时易出错，原因是不能将2f ′(1)看成x 的系数. 3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】选B.设切点坐标为(x 0,y 0),由y ′=1x a+知在x=x 0处的导数为01x a +,由题意知01x a+=1. 解方程组()0000011,x a y ln x a ,y x 1,⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩得00x 1,y 0,a 2.=-⎧⎪=⎨⎪=⎩故选B.【加固训练】已知函数y=xln x,则其在点x=1处的切线方程是( )A.y=2x-2B.y=2x+2C.y=x-1D.y=x+1 【解析】选C.因为y=x ln x. 所以y ′=1×ln x+x ·1x=1+ln x ，在x=1处的导数为1，即切线的斜率为1. 又当x=1时y=0. 所以切线方程为y=x-1.4.已知曲线y=14x 2-3ln x 的一条切线的斜率为-12,则切点横坐标为( ) A.-2 B.3 C.2或-3 D.2 【解析】选D.设切点坐标为(x 0,y 0), 因为y ′=12x-3x,所以在x=x 0处的导数为12x 0-03x , 由题意知12x 0-03x =-12, 即x 02+x 0-6=0,解得x 0=2或x 0=-3(舍)，故选D. 【误区警示】本题易误选C,原因是忽视了函数的定义域.5.若曲线y=12x -在点(m,12m -)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则m 的值为( )A.8B.-8C.64D.-64【解析】选C.y ′=321x 2--,切线的斜率k=-12·32m -，切线方程为y-12m -=-1232m -(x-m).从而直线的横、纵截距分别为3m ，3212m -.所以三角形的面积S=12×112239|3m m |m 24-⨯=，由129m 4=18得m=64.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(e x )=x+e x ,则f ′(1)= _________.【解题提示】利用换元法求出f(x)，再求导. 【解析】令e x =t,则x=ln t. f(t)=t+ln t.所以f(x)=x+ln x. 所以f ′(x)=1+1x,从而f ′(1)=2. 答案:27.(2015·宝鸡模拟)已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+3，则f(1)+f ′(1)=__________. 【解析】由题意知f ′(1)= 12,f(1)=12×1+3=72，所以f(1)+f ′(1)=72+12=4. 答案:48.曲线y=31x 3+x 在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______. 【解析】若y=31x 3+x,则y ′=x 2+1,在x=1处的导数为2，即曲线y=31x 3+x 在点4(1,)3处的切线方程是y-43=2(x-1)，它与坐标轴的交点是12(,0),0,),33-(围成的三角形的面积为19.答案:19三、解答题(每小题10分，共20分) 9.已知曲线y=31x 3+43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程.(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.【解析】(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y ′=x 2, 所以在点P(2,4)处的切线的斜率为4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=31x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点30014A(x ,x ),33+则切线的斜率为x 02.所以切线方程为()3200014y (x )x x x 33-+=-, 即y=230024x x x 33⋅-+. 因为点P(2,4)在切线上，所以4=2300242x x 33-+, 即x 03-3x 02+4=0,所以x 03+x 02-4x 02+4=0, 所以x 02(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0, 所以(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 10.已知函数f(x)= 2ax 6x b-+的图像在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,求y=f(x)的解析式.【解析】由已知得，-1+2f(-1)+5=0, 所以f(-1)=-2,即切点为(-1,-2). 又f ′(x)=()()()()()2222ax 6x b ax 6x b xb -'+--+'+()222ax 12x ab,xb -++=+所以()2a 62,1b a 12ab 1,21b --⎧=-⎪+⎪⎨--+⎪=-+⎪⎩解得a 2,b 3.=⎧⎨=⎩所以f(x)=22x 6x 3-+. (20分钟 40分)1.(5分)(2015·淮南模拟)点P 是曲线x 2-y-ln x=0上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.2C.2【解析】选D.将x 2-y-ln x=0变形为y=x 2-ln x(x>0),则y ′=2x-1x,令y ′=1,则x=1或x=-12(舍)，可知函数y=x 2-ln x 的斜率为1的切线的切点横坐标为x=1,纵坐标为y=1.故切线方程为x-y=0.则点P 到直线y=x-2的最小距离即x-y=0与y=x-2的两平行线间的距离，=2.(5分)已知f 1(x)=sin x+cos x,记f 2(x)=f ′1(x),f 3(x)=f ′2(x),…,f n (x)= f ′n-1(x)(n ∈N *,且n ≥2),则12 2 012 2 013f ()f ()f ()f ()2222ππππ++⋅⋅⋅++=_______. 【解题提示】分别求出f 1(x)，f 2(x),f 3(x),f 4(x),发现其规律再求解. 【解析】f 1(x)=sin x+cos x,f 2(x)=cos x-sin x,f 3(x)=-sin x-cos x,f 4(x)= -cos x+sin x,f 5(x)=sin x+cos x,…,因此，函数f n (x)(n ∈N *)周期性出现且周期为4. 又f 1(x)+f 2(x)+f 3(x)+f 4(x)=0,所以12 2 012 2 0131f ()f (f ()f ()f ()22222πππππ++⋅⋅⋅++=）sin cos 1.22ππ=+=- 答案:13.(5分)(2015·武汉模拟)已知曲线f(x)=x n+1(n ∈N *)与直线x=1交于点P ，设曲线y=f(x)在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 015x 1+log 2 015x 2+…+ log 2 015x 2 014的值为_________.【解析】由题意知P(1，1)，f ′(x)=(n+1)x n ,k=f ′(1)=n+1,曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-1n n 1n 1=++,即x n =nn 1+, 所以x 1·x 2·…·x 2 014=1232 013 2 01412342 014 2 015 2 015⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=, 则log 2 015x 1+log 2 015x 2+…+log 2 015x 2 014 =log 2 015(x 1·x 2·…·x 2 014)=log 2 01512 015=-1. 答案:-14.(12分)已知函数f(x)=x 3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2，-6)处的切线的方程.(2)直线l 为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. (3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直，求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2，-6)在曲线y=f(x)上. 因为f ′(x)=(x 3+x-16)′=3x 2+1.所以曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f ′(2)=13. 所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2), 即13x-y-32=0. (2)设切点为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f ′(x 0)=3x 02+1,所以直线l 的方程为y=(3x 02+1)(x-x 0)+x 03+x 0-16. 又因为直线l 过点(0，0)，所以0=(3x 02+1)(-x 0)+x 03+x 0-16,整理得x 03=-8,所以x 0=-2, 所以y 0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,所以直线l 的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). (3)因为切线与直线y=-x4+3垂直，所以切线的斜率为4. 设切点的坐标为(x 0′,y 0′), 则f ′(x 0′)=3x ′02+1=4, 所以x 0′=±1,所以00x 1,y 14'=⎧⎨'=-⎩或00x 1,y 18.'=-⎧⎨'=-⎩即切点坐标为(1，-14)或(-1，-18)，所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1). 即4x-y-18=0或4x-y-14=0.【加固训练】(2015·沧州模拟)已知函数f(x)=x 3+(1-a)x 2-a(a+2)x+b(a,b ∈R). (1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a,b 的值. (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围. 【解析】f ′(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得()()()f 0b 0,f 0a a 23,==⎧⎪⎨'=-+=-⎪⎩解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线.所以关于x 的方程f ′(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根，所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)＞0,即4a 2+4a+1＞0, 所以a ≠-12.所以a 的取值范围为11(,)(,)22-∞-⋃-+∞.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=x-2x,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线.【解题提示】分别对f(x),g(x)求导.求出切线斜率,然后求出a 可得切线方程，再判断. 【解析】根据题意有f ′(x)=1+22x ,g ′(x)=-a x .曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f ′(1)=3, 曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g ′(1)=-a. 所以f ′(1)=g ′(1),即a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得:y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0. 曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1).得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0, 所以，两条切线不是同一条直线.。

2022年高考总复习数学(理科)课时作业：第2章第15讲导数的意义及运算 Word版含解析

第15讲导数的意义及运算1．已知函数f (x )＝a 3＋sin x ，则f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋cos x B ．a 3＋cos x C ．3a 2＋sin x D ．cos x2．已知函数f (x )＝2ln x ＋8x ，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx 的值为( ) A ．－10 B ．－20 C ．10 D ．20 3．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．(2012年新课标)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________．(导学号 58940245) 5．(2022年江西)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．6．函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________. 7．如图X2-15-1，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.图X2-15-18．(2022年新课标Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是____________．(导学号 58940246)9．(2022年四川)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(导学号 58940247)(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．第15讲导数的意义及运算1．D 解析：函数f (x )＝a 3＋sin x 的自变量为x ，a 为常量，所以f ′(x )＝cos x ．故选D. 2．C3．A 解析：由已知，得g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4.故选A. 4．4x －y －3＝0 解析：∵y ′＝3ln x ＋4，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，则切线方程为4x －y －3＝0.5．(e ，e) 解析：∵y ′＝ln x ＋1，设切点(a ，b )，则k ＝ln a ＋1＝2，a ＝e.又b ＝a ln a ＝e ，P 的坐标是(e ，e)．6．－2 解析：由于f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1.所以f (x )＝－sin x ＋cos x ．f ′(x )＝－cos x －sin x ．故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 7．2 解析：由条件知f ′(5)＝－1，又∵在点P 处的切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8.∴5＋f (5)＝8.∴f (5)＝3.∴f (5)＋f ′(5)＝2.8．y ＝－2x －1 解析：当x >0时，－x <0，则f (－x )＝ln x －3x .又由于f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝ln x －3x .所以f ′(x )＝1x－3.则切线斜率为f ′(1)＝－2，所以切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.9．A 解析：设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(不妨设x 1>1,0<x 2<1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝－1x 2.由已知，得k 1k 2＝－1，∴x 1x 2＝1.∴x 2＝1x 1.切线l 1的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，切线l 2的方程为y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，即y －ln x 1＝－x 1⎝⎛⎭⎫x －1x 1.分别令x ＝0，得A (0，－1＋ln x 1)，B (0,1＋ln x 1)．又l 1与l 2的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 11＋x 21，ln x 1＋1－x 211＋x 21.∵x 1>1，∴S △P AB ＝12|y A －y B |·|x P |＝2x 11＋x 21<1＋x 211＋x 21＝1. ∴0<S △P AB <1.故选A.10．解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′0|x x ＝＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0. 解得x 0＝－1，或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2.切点为(2,4)，⎝⎛⎭⎫－2，－43. ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0.。

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2014版高考数学 2.10导数与导数的运算课时提升作业理北师大版一、选择题1.函数y=sin(2x+1)的导数是( )(A)y′=cos(2x+1) (B)y′=2xsin(2x+1)(C)y′=2cos(2x+1) (D)y′=2xcos(2x+1)2.(2013·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=( )(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2013·宝鸡模拟)下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )(A)f(x)=e x (B)f(x)=x3(C)f(x)=lnx (D)f(x)=sinx4.(2013·赣州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且=-2,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是( )(A)y=-2x+2 (B)y=-4x+2(C)y=4x+2 (D)y=-x+25.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图像,则f(-1)为( )(A)2 (B)- (C)3 (D)-6.(2013·阜阳模拟)如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=kx+b,若f(1)-f′(1)=2,则b=( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)-27.(2013·新余模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( )(A)4 (B)- (C)2 (D)-8.已知直线y=2x-m是曲线y=ln2x的切线,则m等于( )(A)0 (B)1 (C)(D)-9.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)=( )(A)26 (B)29 (C)212 (D)21510.(2013·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )(A)-1或- (B)-1或(C)-或- (D)-或7二、填空题11.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(2),则f′(5)=.12.(2013·宜春模拟)若过原点作曲线y=e x的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.13.(2013·镇江模拟)设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为.14.(能力挑战题)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.三、解答题15.(2013·宿州模拟)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.答案解析1.【解析】选C. y′=cos(2x+1)·(2x+1)′=2cos(2x+1).2.【解析】选B.y′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】选D.设切点的横坐标为x1,x2,则存在无数对互相垂直的切线,即f′(x1)·f′(x2)=-1有无数对x1,x2使之成立,对于A由于f′(x)=e x>0,所以不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立;对于B由于f′(x)=3x2≥0,所以也不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立;对于C由于f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=>0;对于D,由于f′(x)=cosx,所以f′(x1)·f′(x2)=cosx1·cosx2,若x1=2mπ,m∈Z,x2=(2k+1)π,k∈Z,则f′(x1)·f′(x2)=-1恒成立.4.【解析】选B.因为f(x)的周期为2,所以f(0)=f(2)=2.由=-2得=-2,即f′(0)=-2,得f′(0)=-4,故曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=-4x+2.5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图像开口向上.又∵a≠0,∴其图像必为(3).由图像特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-.6.【解析】选C.由函数y=f(x)的图像知,点P(1,f(1)),故f′(1)=k,又f(1)=k+b,由f(1)-f′(1)=2得b=2.7.【解析】选A.因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.8.【解析】选B.设切点为(x0,ln2x0),则由y=ln2x得y′=·2=,故即解得9.【解析】选C.因为f′(x)=x′·[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]+x·[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]′,所以f′(0)=(-a1)(-a2)·…·(-a8)=a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212.10.【思路点拨】先设出切点坐标,再根据导数的几何意义写出切线方程,最后由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,解得a=-,同理,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以选A.【方法技巧】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.11.【解析】对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.答案:612.【解析】y′=e x,设切点坐标为(x0,y0),则=,即=,∴x0=1,因此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.答案:(1,e) e13.【解析】∵y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],∴0≤f′(x0)≤1,即0≤2ax0+b≤1.又∵a>0,∴-≤x0≤,∴0≤x0+≤,即点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为[0,].答案:[0,]14.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.【解析】由题意该函数的定义域为(0,+∞),且f′(x)=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f′(x)=2ax+存在零点的问题.方法一(图像法):再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点.当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).方法二(分离变量法):上述也可等价于方程2ax+=0在(0,+∞)内有解,显然可得a=-∈(-∞,0).答案:(-∞,0)15.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f′(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-).令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为S=|-||2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13,∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3+1=4,∴x0=±1,∴或∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.。