点和直线的有关对称问题
点 ,线关于直线对称问题
13 13
13
A(33 , 9 ) ； 13 13
例 2 已知点 A(x0 , y0 ) ，（1）求 A 关于直线 x y c 0 的对称点坐标；（2）求 A 关
于直线 x y c 0 的对称点坐标；
解（1）设对称点 B(x1, y1) ，则由求对称点公式得：
x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c ，
2
2
2
2
所以对称点是 ( y0 c,x0 c) ；
（2） x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c
2
2
2
2
即对称点是： ( y0 c, x0 c) ；
二 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1） 和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点 A（x1,y1）、B(x2,y2)关于 l 对称，中点为 C（x,y），则
3x12＋4y12=12,
3x22＋4y22=12,
得
y1－y2 x1－x2
=－
3(x1＋x2) 4(y1＋y2)
=－
3x 4y
=－
1 4
,
∴ y=3x.
联立 y=4x＋m,解的 x=－m,y=－3m,
一 点关于直线的对称点的一种公式求法
结论：设直线 l : ax by c 0 ，（ a 、 b 至少有一个不为 0），点 A(x0 , y0 ) 关于直线 l 的
坐标轴点关于直线对称公式
坐标轴点关于直线对称公式1. 引言在几何学中，点关于直线的对称是一个重要的概念。
当我们将一个点关于直线进行对称时，对称后的点与原始点之间的距离恒定。
在坐标系中，我们可以使用坐标轴点关于直线对称公式来求解对称点的坐标。
本文将介绍坐标轴点关于直线对称公式的原理和推导过程。
2. 坐标轴点关于直线对称公式设直线L的方程为Ax + By + C = 0，P(x₁, y₁)是一个任意点，P’表示P关于直线L的对称点。
我们希望通过直线L的方程和点P(x₁, y₁)的坐标，求得点P’的坐标(x₂, y₂)。
以下是坐标轴点关于直线对称公式的推导过程：2.1 求直线L的单位法向量首先，我们需要计算直线L的单位法向量n，用来确定直线L的方向和对称性质。
根据直线的一般方程Ax + By + C = 0，我们可以得到直线L的法向量n = (A, B)。
为了使得法向量n为单位向量，我们需要对该向量进行归一化处理。
归一化后的法向量为：n= (A/√(A² + B²), B/√(A² + B²))2.2 求对称点P’的坐标已知点P(x₁, y₁)和直线L的单位法向量n，我们可以利用向量的点乘和法向量的性质，得到点P’的坐标(x₂, y₂)。
首先，我们用向量P’P表示从点P到点P’的向量，用向量n表示直线L的单位法向量。
根据向量的点乘性质，向量P’P与向量n垂直，且其长度等于向量P’P的长度与向量n的长度之积。
设向量P’P为向量u，则有：u·n = 0根据向量的点乘性质，我们可以得到：(x₂ - x₁, y₂ - y₁)·(A/√(A² + B²), B/√(A² + B²)) = 0展开上式，得到：(A/√(A² + B²))(x₂ - x₁) + (B/√(A² + B²))(y₂ - y₁) = 0移项整理，得到：A(x₂ - x₁) + B(y₂ - y₁) = 0展开上式，得到：Ax₂ - Ax₁ + By₂ - By₁ = 0移项整理，得到：Ax₂ + By₂ = Ax₁ + By₁考虑到点P(x₁, y₁)在直线L上，即满足直线L的方程Ax₁ + By₁ + C = 0，将其代入上式，得到：Ax₂ + By₂ = -C从而，我们可以得到点P’的坐标(x₂, y₂)的关系式：Ax₂ + By₂ = -C这就是坐标轴点关于直线对称公式。
点和直线对称问题
·P
x
法一： l2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l1∥l2 ,点斜式；
法三： l1∥l2点P到两直线等距。
练习:直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)的对 称直线方程
.
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y-1=0
对称的直线l 的方程。
解： 7x+y+6=0
C、3x-4y+5=0
D、-3y+4x-5=0
五、反射问题
例5.光 线 通A（ 过2， 4） ， 经 过l直 ：2x线 y70 反 射 ， 若 反 射 线B（ 通 5， 8） 过， 点求 入 射 线 和 反 所在的直线. 方程
y-4 2 ·2=-1
A′ (10，-2) y
x-2 y+4 2·2 - 2 -7=0
.
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方
程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的
对称点A’的坐标。
y-4
-3· x-(-4) =-1
解： 3·-42+x +
4+y
A·
2 -2=0
解题要点： k • kAA’ = -1 O
AA’中点在l 上
y
·A′ (x，y)
(2，6)
点P（x,y）关于a,点 b）（ 对称的点_(的 2_a _坐 x_,2b _标 _y_)
点 P（ x,y）关于 yx直 对线 称的点_(的 _ y, _ x)坐 __ 点 P（ x,y）关于 y直 x对线 称的点 (__ y的 ,_x_ )坐 _
点 P（ x,y）关于 yx直 m 对 线称的点 (y_m _的 ,x __ m 坐 )_ 点 P（ x,y）关于 y直 xm 对 线称的( 点 y_m _的 , _x _m 坐
数学对称问题
数学对称问题数学对称问题对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。
一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P（x，y）关于点（a，b）对称点为P（x，y），x=2a-x由中点坐标公式可得：y=2b-y2、点P（x，y）关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x=x-（Ax+By+C）P（x，y）则y=y-（AX+BY+C）事实上：∵PPL及PP的中点在直线L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
（-）=-1（B0）特别地，点P（x，y）关于1、x轴和y轴的对称点分别为（x，-y）和（-x，y）2、直线x=a和y=a的对标点分别为（2a-x，y）和（x，2a-y）3、直线y=x和y=-x的对称点分别为（y，x）和（-y，-x）例1光线从A（3，4）发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B（1，5），求射入y轴后的反射除此以外还有以下两个结论：对函数y=f（x）的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f（|x|）的图象；保留x轴上方图象，将x 轴下方图象翻折上去得到y=|f（x）|的图象。
例2（全国高考试题）设曲线C的方程是y=x3-x。
将C沿x 轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：1）写出曲线C1的方程2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称。
（1）解知C1的方程为y=（x-t）3-（x-t）+s（2）证明在曲线C上任取一点B（a，b），设B1（a1，b1）是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：s-b1=（t-a1）3-（t-a1）｀b1=（a1-t）3-（a1-t）+s｀B1（a1，b1）满足C1的方程｀B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上｀曲线C和C1关于a对称我们用前面的结论来证：点P（x，y）关于A的对称点为P1（t-x，s-y），为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=（t-x）3-（t-x）｀y=（x-t）3-（x-t）+s此即为C1的方程，｀C关于A的对称曲线即为C1。
常见的对称问题及求解方法
常见的对称问题及求解方法一、中心对称1、点关于点的对称，可以利用中点坐标公式求解例1、已知点(5,6)A 和点(1,2)B ，求点A 关于点B 的对称点A '。
解：设(,)A x y '，由题意可知点B 为点A 与点A '的中点，即有512622x x +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 解得32x y =-⎧⎨=-⎩所以点A '的坐标为(3,2)A '--。
2、直线关于点的对称，可以利用点到直线的距离来求解例2、已知直线:210l x y ++=和点(1,2)A ，求直线l 关于点A 对称的直线l '。
分析：l '与l 互相平行，且点A 到直线l '的距离等于点A 到直线l 的距离 解：设直线l '的方程为：20(1)x y m m ++=≠，则有|= 解得11m =-或1m =（舍）所以直线l '的方程为：2110x y +-=。
3、图形关于点的对称，可以转化为点关于点的对称来求解例3、求曲线1C 22231x y +=的图象关于点(1,1)A 对称的曲线2C 的解析式。
解：在曲线2C 上任取一点(,)P x y ，则它关于点(1,1)A 的对称点为(2,2)Q x y --， 由点Q 在22231x y +=上可得 222(2)3(2)1x y -+-=即曲线2C 的解析式为222(2)3(2)1x y -+-=。
二、轴对称1、点关于直线的对称，可以利用垂直平分线的性质求解例4、已知直线:230l x y ++=和点(1,1)A ，求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标。
解：设(,)A x y '，则由点A 与点A '关于直线l 对称可得，A A l '⊥，且点A 与点A '的中点 在直线l 上。
故有11()1121123022y x x y -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+⋅+=⎪⎩ 解得75195x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以点A '的坐标为719(,)55A '--。
点与线的四种对称关系
点与线的四种对称关系直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称 例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,12y 3,12x 200解得⎩⎨⎧-==1y ,4x 00所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0b y x 3=+-。
解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得.13|b 16|13|416|22+++=+-+解得10b -=，或4b -=（舍）。
则直线l 的方程为.010y x 3=--评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线04y x 3=--上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
利用点关于直线对称的性质求解。
解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。
直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程五最值问题的面积最小时直线l的1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
高中数学点线对称问题(精选.)
答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可
直线中的四类对称问题及讲解
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决；解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.直线l 的方程为7x+y+22=0.方法提示：本题可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.。
直线与直线对称解法
直线与直线对称解法直线与直线对称解法是解决几何问题中常用的一种方法，通过对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
本文将从直线的对称性质、对称解法的基本原理以及实际应用等方面进行介绍和探讨。
一、直线的对称性质直线具有对称性质，即对于任意一点P，存在直线l，使得P关于直线l对称。
这里的对称是指点P关于直线l对称的点P'，具有以下性质：1. 直线l是点P和点P'的垂直平分线，即直线l同时垂直于线段PP'且将线段PP'平分成两等分；2. 点P和点P'关于直线l的距离相等，即线段PP'的长度等于直线l到点P或点P'的距离。
二、直线与直线对称解法的基本原理直线与直线对称解法的基本原理是利用直线的对称性质，通过构造对称的点和线，将原来的几何问题转化为对称的几何问题，从而简化问题的分析和求解过程。
具体来说，直线与直线对称解法通常包括以下几个步骤：1. 根据问题的要求，找到需要求解的几何关系或性质；2. 根据直线的对称性质，构造对称的点和线，建立对称关系；3. 利用对称关系，分析和推导出原问题的几何关系或性质；4. 根据分析和推导结果，得到问题的解答。
三、直线与直线对称解法的实际应用直线与直线对称解法在实际应用中具有广泛的用途，特别是在几何问题的证明和构造中常常使用。
1. 几何证明：直线与直线对称解法可以用于证明几何定理和性质。
通过构造对称的点和线，可以将原来的几何问题转化为对称的几何问题，从而简化证明过程。
2. 几何构造：直线与直线对称解法可以用于几何图形的构造。
通过构造对称的点和线，可以确定几何图形的位置和形状，从而满足给定的条件。
3. 几何分析：直线与直线对称解法可以用于几何问题的分析。
通过对称性质的分析，可以得到几何图形的特征和性质，从而帮助我们理解和解决实际问题。
总结：直线与直线对称解法是解决几何问题中常用的一种方法，通过对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
直线方程中的对称问题
直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种：1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
点关于直线对称的点的万能公式
点关于直线对称的点的万能公式直线对称是指平面上的一个点关于条直线对称，即点与它的对称点在条直线上。
直线对称是基础几何中的一个重要概念，在许多几何问题的解决中具有重要作用。
本文将详细介绍直线对称的概念、性质、以及万能公式。
一、直线对称的概念：直线对称是指平面上的一个点关于条直线对称，其特点是两点之间的连线与直线垂直，并且与直线相交于对称点的中点。
直线对称可以是平面内的直线对称，也可以是平面外的直线对称。
二、直线对称的性质：1.若点A关于直线l对称的对称点为A'，则A、A'、l三点共线。
2.若点A、B分别关于直线l对称的对称点为A'、B'，则AB与A'B'平行。
3.若点A、B、C分别关于直线l对称的对称点为A'、B'、C'，则ABC 与A'B'C'共线。
4.若点A关于直线l对称的对称点为A'，点M为直线l上一点，则AM=MA'。
三、直线对称的万能公式：万能公式是指对于任意给定的情况下，可以使用这个公式来求解直线对称的问题。
直线对称的万能公式如下：设A(x1, y1)是平面上的一点，以直线l:y=kx+b为对称轴，则A关于l的对称点A'(x', y')满足以下关系：1.A'与l的斜率k'是斜率k的相反数，即k'=-k；2.A'与l的截距b'满足以下公式：b' = 2kx1 + (b - kx1) = b - kx1 ;四、直线对称的推广形式公式：推广形式公式是指对于不同情况下，可以使用这个公式来求解直线对称的问题。
直线对称的推广形式公式如下：设点A(x1, y1)关于直线l:y=kx+b对称的对称点为A'(x', y')，则A'满足以下公式：1.若直线l垂直于x轴，则A'(x',y')的坐标满足以下公式：x'=x1;y'=-y1+2b;2.若直线l垂直于y轴，则A'(x',y')的坐标满足以下公式：x'=-x1+2k;y'=y1;3.若直线l不垂直于坐标轴，则A'(x',y')的坐标满足以下公式：x'=(k^2*x1+2k*y1-k*b+x1)/(1+k^2);y'=(k*k*y1+2k*x1+b+y1)/(1+k^2);五、直线对称应用举例：1.已知点A(2,3)关于直线y=2x-1对称的点A'，求点A'的坐标。
高中数学：直线方程中的对称问题
高中数学：直线方程中的对称问题在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。
这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
一、对称问题的求解方法1、点关于点的对称【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
2、直线关于点的对称【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。
说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。
分析：利用点关于直线对称的性质求解。
4、直线关于直线的对称二、关于对称常见的几种题型1、角平分线问题已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。
根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。
例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为1：y+1=0，2：x+y+1=0 ，求BC边所在的直线方程。
2、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。
根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。
直线对称问题
直线对称问题
直线对称问题是指关于一条直线对称的两个图形或物体具有某些特殊的性质。
以下是一些常见的直线对称性质：
1. 轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2. 点对称：如果一个点关于一条直线对称，那么该点到这条直线的距离相等，并且与直线上的任意一点连成的线段被该直线垂直平分。
3. 轴对称的性质：如果一个图形关于一条直线轴对称，那么该图形上的任意一点关于这条直线对称的点也在该图形上，并且这两点所连线段被这条直线垂直平分。
4. 对称轴的性质：对称轴是一条直线，它将对称图形分为两个对称部分，并且对称轴上的任意一点到对称图形上的任意一点的距离相等。
5. 作对称轴的方法：如果要作出一个轴对称图形的对称轴，可以先找到该图形上的任意一对对称点，然后连接这两点并作这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴。
直线对称问题在几何学中有着广泛的应用，例如在建筑设计、绘画、数学等领域。
直线对称知识点总结
直线对称知识点总结一、直线对称的定义直线对称是指平面上的点相对于一条直线对称。
具体来说，如果一个点关于一条直线对称，那么该点到直线的距离与该点的对称点到直线的距离相等，并且直线上的任意一点关于直线对称都在直线的另一侧。
二、直线对称的性质1. 直线对称具有传递性。
如果点A关于直线l对称于点B，点B关于直线l对称于点C，那么点A关于直线l对称于点C。
这可以通过对称的定义和直线上的点的连线性质来证明。
2. 直线对称是保持距离的对称。
即一个点在直线对称后，与直线的距离保持不变，这可以通过直线上的点的连线性质来证明。
3. 直线对称是保持位置关系的对称。
如果两点关于直线对称，它们之间的位置关系保持不变，即它们之间的连线与直线垂直，并且连线的中点就是直线的中点。
4. 直线对称是线性对称。
即如果点A关于直线l对称于点B，那么点C关于直线l对称于点D，那么点AC和点BD分别对称于直线l，且它们平行。
5. 直线的对称轴是垂直于直线的。
如果两直线呈直角相交，且一条直线上的一个点与另一条直线的对称点在同一直线上，那么这两条直线对称于对称轴。
6. 直线对称是对称映射。
即一条直线对称是一种直线上的点关于直线的映射，它是一种等距映射。
三、直线对称的应用1. 图像的对称性。
直线对称可以用来描述图形的对称性，例如正方形、长方形等都具有直线对称的性质。
2. 建筑设计。
很多建筑设计中都运用了直线对称的概念，以增强建筑物的美观度和稳定性。
3. 数学问题求解。
直线对称的性质可以用来解决数学问题，例如在几何问题中，利用直线对称可以简化推导过程。
四、直线对称的常见问题1. 求直线对称的对称轴。
一般可以通过两点关于直线对称的定义来求解，也可以通过直线的垂直性质来求解。
2. 确定点关于直线对称的对称点。
可以利用对称点与原点的连线垂直的性质来求解，也可以利用点到直线的距离保持不变的性质来求解。
3. 求解直线对称的映射关系。
可以通过确定点在直线对称后的位置关系，从而求解直线对称的映射关系。
直线方程对称问题知识点总结
直线方程对称问题知识点总结直线方程对称问题是解析几何中的重要概念，其中包括关于直线的对称性质和对称方程的应用。
下面将从对称性质、对称方程的性质和常见应用三个方面对直线方程对称问题进行总结。
一、对称性质1. 直线的对称性质：直线是平面中具有对称性质的图形，即直线上的一点关于直线的对称点仍然在直线上。
对称性质是直线方程对称问题的基础，也是研究直线方程的重要性质之一。
2. 点关于直线的对称点：设点A(x1, y1)关于直线y=kx+b对称的点为A'(x2, y2)，则有两个关系式：(1)点A和A'位于直线上，即y1=kx1+b，y2=kx2+b；(2)点A关于直线的斜率k的条件反射，即k1=k2。
3. 点和直线关于坐标轴的对称性质：若点(x, y)关于x轴对称，则对称点为(x, -y)；若点(x, y)关于y轴对称，则对称点为(-x, y)；若点(x, y)关于原点对称，则对称点为(-x, -y)。
对于直线来说，若直线关于x轴对称，则对称直线的方程为y=-kx-b；若直线关于y轴对称，则对称直线的方程为y=kx-b。
二、对称方程的性质1. 直线关于x轴对称的对称方程：当一条直线关于x轴对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的y坐标取相反数得到，即对称方程为y=-kx-b。
2. 直线关于y轴对称的对称方程：当一条直线关于y轴对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的x坐标取相反数得到，即对称方程为y=kx-b。
3. 直线关于原点对称的对称方程：当一条直线关于原点对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的x和y坐标都取相反数得到，即对称方程为y=-kx+b。
三、常见应用1. 求直线关于x轴、y轴、原点的对称直线方程：根据对称方程的性质，可以通过将直线方程中的坐标轴或原点的坐标取相反数来求得求对称直线方程。
2. 求直线关于给定直线的对称直线方程：给定一条直线l:y=kx+b，要求直线l关于直线y=k1x+b1的对称直线方程，可根据点关于直线的对称点的特性进行求解。
关于点的对称公式,关于直线对称点坐标公式是什么
关于点的对称公式，关于直线对称点坐标公式是什么有关点的对称公式？直线有关点对称的公式：点（a，b）有关直线y=kx+m（k=1或-1）的对称点为：（b/k-m/k，ka+m），其实是将表达式中的x，y的值互换，因为直线方程y=kx+m中有x=y/k-m/k且y=kx+m，这样的方式只适用于k=1或-1。
还可以推广为曲线f （x，y）=0有关直线y=kx+m的对称曲线为f（y/k-m/k，kx+m）=0。
对称点坐标公式是什么？公式是y=kx+b，针对存在K的直线，任一侧存在一点M（X1，Y1)。
此点有关这条直线的对称点N（X2，Y2)坐标满足（±2B·|K|·|AX1+BY1+C|/（A²+B²）+X1，±2A·|1/K|·|AX1+BY1+C|/（A²+B²)+Y1)。
注：一定要化成A大于0的方程形式，A0；当已知点在直线上方坐标取负号，当已知点在直线下方坐标取正号。
对称点坐标公式((a+c)/2，(b+d)/2)，把一个图形绕着某一点旋转180度，假设它可以与另一个图形重合，既然如此那，就说这两个图形有关这个点中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形有关点对称也称中心对称，这两个图形中的对称点，叫做有关中心的对称点。
利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点到此两直线距离相等，而得出c，使问题处理，而解法二是转化为点有关点对称问题，利用中点坐标公式，得出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 这道题两种解法都反映了直线系方程的优越性对称点坐标公式：当直线与x轴垂直，由轴对称的性质可得，y=b，AA‘的中点在直线x=k上，（a+x）/2=k，x=2k-a，故此，易求A’的坐标（2k-a，b）等。
1、当直线与x轴垂直。
由轴对称的性质可得，y=b，AA‘的中点在直线x=k上，则，（a+x）/2=k，x=2k-a。
点关于任意直线的对称点公式
点关于任意直线的对称点公式在数学中，对称是一种重要的几何变换。
对称点公式是指在平面上给定一点P和一条直线l，求P关于直线l的对称点的方法。
这个公式可以帮助我们快速找到直线l上关于点P对称的点，从而进行几何问题的解答。
我们先来了解一下什么是对称。
在平面几何中，点P关于直线l的对称点是指在直线l上存在一个点P'，使得直线l把线段PP'分为两个相等的部分，并且线段PP'的中点在直线l上。
换句话说，点P 关于直线l的对称点在直线l上的投影点与点P的距离与点P'的距离相等。
那么，我们如何求点P关于直线l的对称点呢？这里就需要用到对称点公式。
根据对称点公式，我们可以通过直线l的方程和点P的坐标来求得对称点P'的坐标。
下面我们来详细介绍一下对称点公式的求解方法。
我们假设直线l的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0, y0)。
要求P关于l的对称点P'，我们需要找到P'的坐标(x', y')。
根据对称点的定义，我们可以得到以下两个条件：1. 点P'在直线l上，即满足直线l的方程。
2. 点P关于直线l的投影点与点P'的距离与点P'的距离相等。
根据这两个条件，我们可以列出以下方程组：Ax'+By'+C=0 （1）d(P, l) = d(P', l) （2）其中，d(P, l)表示点P到直线l的距离，d(P', l)表示点P'到直线l的距离。
我们先来解方程（1）。
由于点P'在直线l上，所以满足直线l的方程。
我们将方程（1）代入直线l的方程Ax+By+C=0中，可以得到：A(x0 + x') + B(y0 + y') + C = 0化简上述方程，可以得到：Ax0 + By0 + C = -Ax' - By'由于点P在直线l上，所以满足直线l的方程。
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点和直线的有关对称问题
摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。
中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。
解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。
关键词:点；直线；中心对称；轴对称
对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况:
(一)中心对称
⒈点关于点对称
⒉直线关于点对称
例1:求直线x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程.
分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程.
解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:
分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等.
解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则
点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0.
(二)轴对称
⒈点关于直线对称
例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标.
解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0.
设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2)
解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y).
∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2
这就是已知直线l的方程
故点M′的坐标为(-2,2)
⒉直线关于直线对称
例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线l :3x+4y-1=0对称的直线b的方程.
⑵求直线l1:2x-y+3=0关于直线l :2x-y+4=0对称的直线l2 的方程.
分析:由平面几何知识知,若a、b关于直线l对称,则应具有以下性质:①当a、b相交时,则对称轴是a、b交角的平分线(且通过交点); 当a、b平行时,则a、b与对称轴的距离相等. ②若点A在直线a上,则点A关于直线l的对称点B一定在直线b 上,并且AB⊥l ;AB的中点在l 上.
⑴解一:由
2x+y-4=03x+4y-1=0得a与l的交点Ｅ为（３,２）则E(3,-2)一定在b上,设b的斜率为k,于是
(三)特殊的对称关系
点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b)；
点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)；点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b)；点(a,b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)；点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m)；点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点为(m-b,m-a).。