2019届人教A版(理科数学) 第13章第3讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 单元测试
离散型随机变量及其分布列【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件1
4×3×2×1
1
P(X=4)=
= ,
5×4×3×2
5
4×3×2×1×1
1
P(X=5)=5×4×3×2×1 = 5.
所以 X 的分布列为
X
1
1
P
5
2
3
1
5
4
1
5
5
1
5
1
5
探究一
探究二
探究三
素养形成
离散型随机变量的分布列的性质
例2设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.2
0.1
0.1
0.3
当堂检测
输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,求X的分布列;
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
解:(1)依题意,
当取到2个白球时,随机变量X=-2;
当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;
当取到2个黄球时,随机变量X=0;
当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;
4
m
求2X+1的分布列.
解:由分布列的性质知,
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.
当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1,3,5,7,9,
故2X+1的分布列为
2X+1
P
1
0.2
3
0.1
5
0.1
7
0.3
9
0.3
探究一
探究二
探究三
素养形成
7.2离散型随机变量及其分布列(教师版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选
离散型随机变量及其分布列一随机变量的概念及分类1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.注意点：离散型随机变量的特征：(1)可以用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；(3)试验结果能一一列出．二离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列可以用表格表示：X x1x2…x nP p1p2…p n离散型随机变量的分布列的性质：(1)p i≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.2．对于只有两个可能结果的随机试验，用A 表示“成功”，A 表示“失败”，定义X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 发生.如果P(A)＝p ，则P(A )＝1－p ，那么X 的分布列如表所示． X 0 1 P1－pp我们称X 服从两点分布或0－1分布． 注意点：随机变量X 只取0和1，才是两点分布，否则不是． 三 分布列的性质及应用 分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．考点一随机变量及离散型随机变量【例1】(2021·南昌县莲塘)先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是( )A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数【答案】A【解析】抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：A【练1】(2020·保定容大中学高二月考)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是( )A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数【答案】B【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2.故选：B.考点二分布列【例2】(2020·吉林油田第十一中学)若随机变量X的分布列如下所示X－1012P0.2a b0.3且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是( )A．0.4，0.1B．0.1，0.4C．0.3，0.2D．0.2，0.3【答案】B【解析】由随机变量X 的分布列得：0.20.31a b +++=，所以0.5a b +=，又因为()10.20120.30.8E X a b =-⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.4b =，所以0.1a =，故选：B 【练2】(2021·广东湛江)若随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4)10iP X i i ===，则(2)P X >=___________． 【答案】710【解析】由题可知347234101010P X P XP X.故答案为：710. 考点三 两点分布【例3】(2020·永安市第三中学高二期中)设随机变量X 服从两点分布，若()()100.2P X P X =-==，则成功概率()1P X ==( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】C【解析】随机变量X 服从两点分布，()()100.2P X P X =-==，根据两点分布概率性质可知：()()()()100.2101P X P X P X P X ⎧=-==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()10.6P X ==，故选：C.【练3】(2020·全国高二单元测试)下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ={1，取出白球；0，取出红球}D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 【答案】A【解析】两点分布又叫01-分布，所有的实验结果有两个，B ，C ，D 满足定义， 而A ，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X ，则X 的所有可能的结果有6种，不是两点分布．故选：A．课后练习1.（2021高二下·嘉兴期末）设实数a>0，随机变量ξ的分布列是：ξ-101P a 21 3 a 6则E(ξ)、D(ξ)的值分别为（）A.E(ξ)=−13，D(ξ)=59B.E(ξ)=−13，D(ξ)=1C.E(ξ)=13，D(ξ)=59D.E(ξ)=13，D(ξ)=1【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】由分布列的概率的性质，知：a2+13+a6=2a+13=1，得a=1，∴E(ξ)=−1×12+0×13+1×16=−13，而E(ξ2)=1×23+0×13=23，∴D(ξ)=E(ξ2)−E2(ξ)=23−19=59.故答案为：A【分析】利用分布列的性质求解a，然后求解期望与方程即可.2.（2021高二下·淄博期末）已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)=5.9，则a的值为（）X4a9P0.50.2bA.5B.6C.7D.8【答案】 B【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】因为b=1−0.2−0.5=0.3，由4×0.5+a×0.2+9×0.3=5.9，解得a=6，故答案为：B.【分析】根据已知的分布图表中的数据，结合期望公式以及期望值计算出a的值即可。
7.2离散型随机变量及其分布列【精品课件】(人教A版2019选择性必修第三册)
思考1：
掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3， 4，5，6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可 以用数字来表示呢？
正面向上
1 反面向上
0
又如：一位篮球运动员3次投罚球的得分结果可以 用数字表示吗？
问：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。
1、随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变
量。常用 字母 X、Y、、 表示。
附:随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之前可 以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不可能确定取何值。
问题：
1、对于掷骰子试验，可以定义不同的随机变量来表 示这个试验结果吗？
2、在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是 否为偶数，应如何定义随机变量？
联系：随机变量和函数都是一种映射； 区别：随机变量把随机试验的结果映射为实数，
函数把实数映射为实数。 试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当于函数的值域。
例如：掷一枚骰子一次，向上的点数X是一个随机变量， 其值域是{1，2，3，4，5，6}
又如：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件， 可能含有的次品件数X是一个随机变量，其值域是{0，1，
7.2离散型随机变量及其分布列
复习引入：
1、什么是随机事件？什么是基本事件？
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。
2、什么是随机试验？
凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。
如果试验具有下述特点： 试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有 可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试 验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验 之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它被 称为一个随机试验。简称试验。
人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列(课件 共32张PPT)
机变量的取值,例如x,y,z.
3.离散型随机变量的散布列
(1)定义
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值
xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率散布列,简称散布列.
(2)性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
4.两点分布
由题意知P(X<1)=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.2+0.2+0.1=0.5.
3.(多选)设随机变量X的散布列为 P = =ak(k=1,2,3,4,5) ,则(ABC)
5
A.15a=1
B.P(0.5<X<0.8)=0.2
C.P(0.1<X<0.5)=0.2
D.P(X=1)=0.3
①求此人到达当日空气重度污染的概率.
②设X是此人停留期间空气质量良好的天数,求X的散布列.
解 ①设 Ai 表示“此人于 3 月 i 日到达该市”,i=1,2,…,13,
1
根据题意,P(Ai)= ,且
13
Ai∩Aj=⌀,i≠j,
设 B 表示“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8,
故此人到达当日空气重度污染的概率
均失败,第三次实验无论成功与否,之后都停止实验.而错误解法误认为X=3
表示前两次实验均失败,第三次实验成功.
正确解法
依题意,X的可能取值为1,2,3,
2
1 2 2
则 P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,
1 1
2 1
1
P(X=3)= × × + = .
2019人教A版高中数学选修2-3 2.1.2离散型随机变量的分布列教学课件 (共21张PPT)教育精品.ppt
CNn
CNn
C C m nm M NM CNn
为 超 几 何 分 布 列.如果随机变量X的分布列为
超几何分布列 , 则称随机变量 X服 从 超 几 何 分
布
注:⑴超几何分布模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数 是M,N,n,变量是X
变式：从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 3 个 球，设其中有Ｘ个红球，求Ｘ的分布列.
2.1.2离散型随机变量 的分布列
莱西市实验学校 吕淑丽
离散型随机变量的分布列是 高中阶段的重点内容，它作为概 率与统计的桥梁与纽带，是本章 的关键知识之一，也是第三节离 散型随机变量的均值和方差的基 础。从近几年的高考观察，这部 分内容有加强命题的趋势。2016、 2017年全国高考都考了分布列解 答题。
解：Ｘ的取值有1、2、3、4、5、6 则Ｐ（Ｘ＝１）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝2）＝１/6,
Ｐ（Ｘ＝3）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝4）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝5）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝6）＝１/6 列成表格形式为 表2 1
X
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
P
6
6
6
6
6
6
4、求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值（明确随机变量的具体取
1、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量 X描述一次该项试验的成功次数，则Ｐ（Ｘ＝０）＝（ 1／３ ）
2、由经验得知：在人民商场付款处排队等候付款的人数X及 其概率分布表如下：
X0
1
P 0.10 a
2
3
4
5
0.30 0.30 0.10 0.04
7.2离散型随机变量及其分布列-人教A版高中数学选择性必修第三册(2019版)教案
7.2 离散型随机变量及其分布列-人教A版高中数学选
择性必修第三册（2019版）教案
一、教学目标
本节课的教学目标是：
1.掌握离散型随机变量的概念及其分布列的定义；
2.理解随机变量和实验的联系；
3.应用分布列计算离散型随机变量的各种概率。
二、教学重点
1.离散型随机变量的概念及其分布列的定义；
2.分布列的应用。
三、教学难点
1.离散型随机变量的概念及其分布列的定义；
2.分布列的应用。
四、教学过程
步骤一：引入
老师引入本节课的主题，讲解离散型随机变量与实验的联系，并介绍离散型随机变量的定义。
步骤二：概念讲解
讲解离散型随机变量的定义及分布列的定义，包括如下内容：
1.随机变量的概念；
2.离散型随机变量的定义；
3.分布列的定义；
4.事件的概念。
步骤三：案例分析
通过案例分析的形式，引导学生理解和掌握离散型随机变量及其分布列的应用方法，包括如下内容：
1.随机变量的列举；
2.计算随机变量对应的概率。
步骤四：练习与巩固
老师设计一组练习题，并引导学生自主完成，在完成后讲解习题的答案并巩固知识点。
步骤五：互动讨论
老师引导学生进行互动讨论，将學到的知识点进行交流，并解答学生的问题。
五、教学评价
通过本节课的教学，学生应能掌握离散型随机变量的概念及其分布列的定义，理解随机变量和实验的联系，应用分布列计算离散型随机变量的各种概率。
在课堂上的互动讨论环节，能够培养学生的思辨能力和表达能力，并提高学生的兴趣和参与度。
离散型随机变量及其分布列 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
自学新教材，提炼知识要点
1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一 的 实数 X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量．可能取值为有限个或可 以 一一列举 的随机变量，我们称之为离散型随机变量．通常用大写 英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z ；用小写英文字母表示随机 变量的取值，例如 x，y，z .
变式训练
设随机变量 X 的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
则 P(|X－3|＝1)＝( )
7 A.12
B．152
C．14
D．16
变式训练
B 解析：根据概率分布列的性质得出：13＋m＋14＋16＝1，所以m＝ 1 4. 所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝152.
变式训练
【例 4】从装有除颜色外完全相同的 6 个白球，4 个黑球，2 个黄球 的箱中随机地取出 2 个球，规定每取出 1 个黑球赢 2 元，而每取出 1 个白球输 1 元，取出黄球无输赢． (1)以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值？求 X 的分布列； (2)求出赢钱(即 X>0 时)的概率．
方法总结
判定离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出， 则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
例题剖析
【例 3】设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝kkC＋1，k＝1,2,3，C 为常数，则 P(0.5<X<2.5)＝________.
变式训练
所以随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
【课件】离散型随机变量及其分布列课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
(2)写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的 随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1、2、3、4、5.现从该袋 内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
②某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.
解析：①最大号码数ξ可取3、4、5， ξ＝3，表示取出的3个球的编号为：1、2、3， ξ＝4，表示取出的3个球的编号为：1、2、4或1、3、4或2、3、4， ξ＝5，表示取出的3个球的编号为： 1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5； ②某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η可取0、1、2、…、n，n∈N＋， η取i表示被呼叫i次，其中i＝0、1、2、…、n，n∈N＋.
设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列．
方法归纳
求离散型随机变量的分布列的一般步骤
巩固训练3 抛掷甲、乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3， 4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x，y.设ξ为随 机变量，若yx为整数，则ξ＝0；若yx为小于1的分数，则ξ＝－1；若yx为 大于1的分数，则ξ＝1，求ξ的分布列．
7.2 离散型随机变量及其分布列
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
课标解读
1.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量． 2．理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随 机变量的分布列． 3．掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决 一些简单的问题．
的所有可能取值的个数为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
答案：B
解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300 分，100分，－100分，－300分，因此甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取 值有4个．故选B.
【高中数学】离散型随机变量及其分布列课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
也可以用图形表示
探究点二 离散型随机变量的分布列 【例3】 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个 等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示.
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4)
取值个数可能是无限的,但是能一一列举 2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表 示随机变量的取值,例如x,y,z.
探究点一 离散型随机变量的概念 【例1】 1、下列变量是离散型随机变量的是 ①③ .(填序号) ①下期某闯关节目中过关的人数; ②某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差; ③在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50 m有一电线铁塔,从郑州至武汉 的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号; ④水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.
解(1)Y可能的取值为0,1,2,3, Y=0表示遇到红灯的次数为0; Y=1表示遇到红灯的次数为1; Y=2表示遇到红灯的次数为2; Y=3表示遇到红灯的次数为3.
(2)X可能的取值为0,1,2,3,4. X=0表示取出0件次品; X=1表示取出1件次品; X=2表示取出2件次品; X=3表示取出3件次品; X=4表示取出4件次品.
2022 数 学 选 择 性 必 修 第 三 册 人民教育出版社 7.2 离散型随机变量及其分布列
求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会 涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关 系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅 可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随 机试验.
7-2离散型随机变量及其分布列 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
0
1
1
35
2
12
35
1
3
18
35
12
13
P(ξ<2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=35 + 35 = 35.
4
35
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有
－
CkMCNn －kM
n
C
X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝_________，k＝
N
0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，
“ ＝5”．所以，“ ＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．
离散型随机变量的分布列(二)
对于一个随机试验，仅仅知道试验的可能结果
是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率.
抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取
每个值的概率是多少？
解： 的取值有1、2、3、4、5、6
1
1
1
P
(
2)
N∈N*，
称分布列
X
P
0
－
C0MCNn －0M
CnN
…
1
－
C1MCNn －1M
CnN
…
m
n－m
Cm
MCN－M
CNn
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，
则称离散型随机变量 X 服从 超几何分布 ．
超几何分布
[典例]
从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地
任取 3 件，求取得次品数 ξ 的分布列．
数ξ的分布列及P(ξ<2).
解:由题意可知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则
7-2离散型随机变量及其分布列 (教学课件) 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
探究
问题3.随机变量与函数有什么异同点？
追问.你能举出一些生活中的离散型随机变量的例子吗？
探究
问题4.掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，
则事件“掷出m点”可以表示为{X=m}(m=1,2,3,4,5,6);
事件“掷出的点数不大于2”该如何表示？{X 2}
探究
问题1.①求下列试验的样本空间；②各个样本点与变量的值是如何对于的. 试验1: 从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验， 变量X表示三个元件中的次品数；
用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，
则 {000,001,010,100, 011,101,110,111} 因此各样本点与变量X的值的对应关系如下：
例题
变量X ,Y 有如下共同点： (1)取值依赖于样本点； （2）所有可能取值是明确的.
新知讲解
对于随机试验样本空间中的每个样本点w，都有唯一的 实数X (w)与之对应，我们称X 为随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X ,Y,Z. 通常用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x, y,z.
X
x1
x2
‧‧‧
xn
x1
x2
‧‧‧
xn
问题5.离散型随机变量分布列 P
p1
p2
‧‧‧
pn
有怎样的性质呢？
(1) pi 0,i 1,2, ,n ；
(2) p1 p2 pn 1.
探究
问题4.事件“掷出的点数不大于2”的概率可以表示为
P(X 2) P(X 1) P(X 2) 1 1 1 . 66 3
【高中数学】离散型随机变量及其分布列课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
例7：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球
都是白球的概率为 1 。现有甲、乙两人从袋中轮 7
流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取 后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止， 每个球在每一次被取到的机会是等可能的，用
表示取球终止时所需要的取球次数。
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量 的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率。
例 6、从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一 件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相 同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止
时所需抽取次数 的分布列。
（1）每次取出的产品都不放回该产品中；
（2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后 再取另一产品。
P
1—p
p
1、两点分布列
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布， 而称p=P(X=1)为成功概率。
题型二、求离散型随机变量的分布列
练习、篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分， 已知某运动员罚球命中得概率为0.7，求他一次发球 的得分的分布列
例4、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：
则表
ξ
x1
x2
…
xi
…
p
p1
p2 … pi …
称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
随机抛掷一枚骰子，用 X表示正面向上点数, 列出X的分布列
解：X的取值有1、2、3、4、5、6
则 P( X 1) 1 P( X 2) 1 P( X 3) 1
6
6
6
P( X 4) 1 P( X 5) 1 P( X 6) 1
（1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.
离散型随机变量及其分布列说课稿 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
《7.2离散型随机变量及其分布列》说课稿尊敬的各位评委老师，上午好！今天我说课的题目是《离散型随机变量及其分布列》，接下来我将从教学分析、教学目标、教学过程等六个维度来展开我的说课。
一、教学分析1、1教材分析我认为要真正教好一节课，首先就是要对教材熟悉，那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。
本节课选自人民教育出版社出版的普通高中教科书《数学选择性必修第三册》第七章《随机变量及其分布列》第二节的内容，主要学习离散型随机变量及其分布列。
本部分内容主要包括随机变量的概念及其分布列，是学习离散性随机变量的均值和方差的基础，从近几年的高考出题来观察，这部分内容有加强命题的趋势。
一般以实际情景为主，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。
所以学生必须对此加以把握，认真理解。
1、2学情分析高二的的学生知识经验已较为丰富，他们具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时要注重引导、启发，从而促进学生思维能力的进一步发展。
学生在此之前也学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解，也会计算事件关系及其概率。
本节对他们来说难度不大，关键是在教学过程中要让学生亲身经历从特殊到一般，获得离散型随机变量概念的过程。
发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下教学目标:（1）理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列;掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题。
（2）初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。
（3）进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。
三、教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点，突破难点，而教学重点的确立与我本节课的内容定是密不可分的。
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第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差题组求离散型随机变量的分布列、均值与方差1.[2017浙江,8,4分]已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2.若0<p1<p2<,则() A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)2.[2013湖北,9,5分][理]如图13-3-1,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=()图13-3-1A. B. C. D.3.[2014浙江,12,4分][理]随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.4.[2016山东,19,12分][理]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率;(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.A组基础题1.[2018惠州市二调,19]某学校为了丰富学生的课余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率p=,记该班级完成n首背诵后的总得分为S n.(1)求S6=20且S i≥0(i=1,2,3)的概率;(2)记ξ=|S5|,求ξ的分布列及数学期望.2.[2018广东七校第一次联考,19]某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘,下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:若基地额外聘请工人,可在下周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时,收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;(2)该基地是否应该额外聘请工人,请说明理由.3.[2017长沙市五月模拟,18]某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)=-()-()考试成绩采用“5分制” 规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法,从成绩为1分,2分及3分的学生中随机抽出6人,再从这6人中随机抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).(1)求b的值,并估计该班的考试平均分数;(2)求P(ξ=7);(3)求ξ的分布列和数学期望. B 组提升题4.[2018南昌市调考,18]微信已成为人们常用的社交软件 “微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞.现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20人),记录他们某一天行走的步数,并将数据整理如下表:(1)若某人一天行走的步数超过8 000步被评定为“积极型” 否则被评定为“懈怠型” 根据题意完成下面的 2×2列联表,并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关?(2)在小明这40位好友中,从该天行走的步数超过 10 000步的人中随机抽取3人,设抽取的女性有X 人,求X 的分布列及数学期望E (X ). 附:K 2= ( - )( )( )( )( ),5.[2017合肥市三模,18]某供货商计划将某种大型节日商品分别配送到甲、乙两地销售.据以往数据统计,甲、乙两地该商品需求量的频率分布表如下:甲地需求量频率分布表乙地需求量频率分布表以两地需求量的频率作为两地需求量的概率.(1)若此供货商计划将10件该商品全部配送至甲、乙两地,保证两地不缺货(配送量≥需求量)的概率均大于0.7,问该商品的配送方案有哪几种?(2)已知甲、乙两地该商品的销售相互独立,该商品售出,供货商获利2万元/件;未售出的,供货商亏损1万元/件.在(1)的前提下,若仅考虑此供货商所获净利润,试确定最佳配送方案.6.[2017郑州市三模,18]为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性,并将它们各自量化为1,2,3三个等级,再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养:若w≥7 则数学核心素养为一级;若5≤w≤6 则数学核心素养为二级;若3≤w≤4 则数学核心素养为三级.为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下结果:(1)在这10名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同的概率;(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人,其综合指标为a,从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人,其综合指标为b,记随机变量X=a-b,求随机变量X的分布列及其数学期望.答案1.A根据题意,得E(ξi)=p i,D(ξi)=p i(1-p i),i=1,2,∵0<p1<p2<,∴E(ξ1)<E(ξ2).令f(x)=x(1-x),则f(x)在(0,)上单调递增,所以f(p1)<f(p2),即D(ξ1)<D(ξ2),故选A.2.B由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,所以P(X=3)=;②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3×12=36(个)小正方体涂有2面,所以P(X=2)=;③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9×6=54(个)小正方体涂有一面,所以P(X=1)=.④去掉①②③所述的小正方体,还剩下125-(8+36+54)=27(个)内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,所以P(X=0)=.故X的分布列为因此E(X)=0×+1×+2×+3×=.故选B.3.由题意设P(ξ=1)=p,则ξ的分布列如下:由E(ξ)=1,可得p=,所以D(ξ)=12×+02×+12×=.4.(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对” 记事件B:“乙第一轮猜对”记事件C:“甲第二轮猜对” 记事件D:“乙第二轮猜对”记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+BCD+A CD+AB D+ABC.由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+2×(×××+×××)=.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(Ⅱ)由题意知,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=×××=,P(X=1)=2×(×××+×××)==,P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,P(X=3)=×××+×××==,P(X=4)=2×(×××+×××)==,P(X=6)=×××==.可得随机变量X的分布列为所以数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.A组基础题1.(1)当S6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由S i≥0(i=1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首;若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首.则所求的概率P=()2×()2×()2+×××()2×=.(2)由题意知,ξ=|S5|的所有可能的取值为10,30,50,又p=,∴P(ξ=10)=()3×()2+()2×()3=,P(ξ=30)=()4×()1+()1×()4=,P(ξ=50)=()5×()0+()0×()5=,∴ξ的分布列为∴E(ξ)=10×+30×+50×=.2.(1)设下周一无雨的概率为p,由题意得p2=0.36,解得p=0.6,基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16.∴基地收益X的分布列为E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4(万元),∴基地的预期收益为14.4万元.(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(万元),E(Y)-E(X)=1.6-a(万元),综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不额外聘请工人;当成本低于1.6万元时,额外聘请工人;当成本恰为1.6万元时,额外聘请或不聘请工人均可以.3.(1)因为f(x)=-() -()所以(-0.4)+(-0.4)+(-0.4)+(-+b)+(-+b)=1,解得b=1.9.估计该班的考试平均分数为(-0.4)×55+(-0.4)×65+(-0.4)×75+(-+1.9)×85+(-+1.9)×95=76.(2)由题意可知,考试成绩记为1分,2分,3分,4分,5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人,所以P(ξ=7)==.(3)由(2)知,ξ的所有可能取值为5,6,7,8,9,则P(ξ=5)==,P(ξ=6)==,P(ξ=7)=,P(ξ=8)==,P(ξ=9)==.所以ξ的分布列为E(ξ)=5×+(6+7+8)×+9×=7.B组提升题4.(1)2×2列联表如下:∴K2=(-)≈2.506<2.706,∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.(2)由已知得,小明这40位好友中,该天行走的步数超过10 000步的人中男性有6人,女性有2人,现从中抽取3人,抽取的女性人数X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,∴X的分布列为∴E(X)=0×+1×+2×=.5.(1)由表格可知,当甲地不缺货的概率大于0.7时,至少需配货5件;乙地不缺货的概率大于0.7时,至少需配货4件,所以共有两种方案:甲地配5件,乙地配5件;甲地配6件,乙地配4件.(2)方案一:当甲地配5件,乙地配5件时,记供货商从甲地所获利润为X1万元,供货商从乙地所获利润为Y1万元,则X1,Y1的分布列分别为E(X1)=7×0.5+10×0.5=8.5(万元),E(Y1)=4×0.6+7×0.3+10×0.1=5.5(万元),所以选择方案一时,此供货商所获净利润的期望为E(X1)+E(Y1)=8.5+5.5=14(万元).方案二:当甲地配6件,乙地配4件时,记供货商从甲地所获利润为X2万元,供货商从乙地所获利润为Y2万元,则X2,Y2的分布列分别为E(X2)=6×0.5+9×0.3+12×0.2=8.1(万元),E(Y2)=5×0.6+8×0.4=6.2(万元),所以选择方案二时,此供货商所获净利润的期望为E(X2)+E(Y2)=8.1+6.2=14.3(万元).综上,仅考虑此供货商所获净利润,选择方案二更佳.6.(1)由题意可知,建模能力指标为1的学生是A9;建模能力指标为2的学生是A2,A4,A5,A7,A10;建模能力指标为3的学生是A1,A3,A6,A8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,则P(A)==.(2)由题意可知,数学核心素养等级是一级的有:A1,A2,A3,A5,A6,A8,数学核心素养等级不是一级的有:A4,A7,A9,A10.X的所有可能取值为1,2,3,4,5.P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==;P(X=4)==;P(X=5)==.∴随机变量X的分布列为∴E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=.。