空间向量的数量积运算练习题

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空间向量的数量积与向量积练习题

空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。

下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。

练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。

解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。

练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。

解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。

练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。

解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。

然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。

空间向量数量积运算第一课时练习题含详细答案

3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ） A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行；反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM 8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］C.(0，π)D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组：组号：姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析：设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1 2、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅，所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-．附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．DCBA备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC •+AC BD •的值等于（ B ） A ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ，则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2 B 、22 C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34。

空间向量的数量积与向量积模拟试题

空间向量的数量积与向量积模拟试题思考题一：已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+4j-2k，求向量a与向量b的数量积和向量积。

解答：1. 数量积的计算数量积（也叫点积）是两个向量的乘积结果与两个向量之间夹角的余弦值的乘积。

计算公式如下：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模，θ表示a与b之间的夹角。

向量a与向量b的数量积计算如下：a·b = (2 × 3) + (-1 × 4) + (3 × -2) = 6 - 4 - 6 = -4所以，向量a与向量b的数量积为-4。

2. 向量积的计算向量积（也叫叉积）是两个向量的乘积结果与两个向量之间夹角的正弦值的乘积。

计算公式如下：a×b = |a| × |b| × sinθ × n其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模，θ表示a与b之间的夹角，n表示一个垂直于向量a和向量b的向量。

向量a与向量b的向量积计算如下：a×b = (2 × 4 - 3 × -1)i + (3 × 3 - 2 × 2)j + (2 × -1 - 3 × 4)k= (8 + 3)i + (9 - 4)j + (-2 - 12)k= 11i + 5j - 14k所以，向量a与向量b的向量积为11i + 5j - 14k。

思考题二：已知向量a，b，c分别为2i-3j+4k，5i+2j-k，-3i+6j-2k，求(a×b)·c 的值。

解答：1. 求向量积(a×b)向量积的计算公式为：a×b = (a2b3 - a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j + (a1b2 - a2b1)k根据给定向量计算，得到向量积a×b如下：a×b = (2 × -1 - 4 × 2)i + (4 × 5 - 2 × -3)j + (2 × 2 - 5 × -3)k= (-2 - 8)i + (20 + 6)j + (4 + 15)k= -10i + 26j + 19k2. 求向量积与向量c的数量积(a×b)·c = (-10i + 26j + 19k)·(-3i + 6j - 2k)数量积的计算方法如上文所述，计算得：(a×b)·c = (-10 × -3) + (26 × 6) + (19 × -2)= 30 + 156 - 38= 148所以，(a×b)·c的值为148。

高中数学人教A版选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算课时分层练习题含答案解析

1.1.2 空间向量的数量积运算基础练习一、单选题1．四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，SB ，SC ，SD ，下列各组运算中，不一定为零的是（）A ．SC BD ⋅B ．DA SB ⋅C ．SD AB ⋅ D ．SA CD ⋅【答案】A【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：若SC 与BD 垂直，又SA 与BD 垂直，则平面SAC 与BD 垂直，则AC 与BD 垂直，与AC 与BD 不一定垂直矛盾，所以SC 与BD 不一定垂直，即向量SC 、BD 不一定垂直，则向量SC 、BD 的数量积不一定为0；对于B ：根据题意，有SA ⊥平面ABCD ，则SA AD ⊥，又由AD AB ⊥，则有AD ⊥平面SAB ，进而有AD SB ⊥，即向量DA 、SB uu r 一定垂直，则向量DA 、SB uu r 的数量积一定为0；对于C ：根据题意，有SA ⊥平面ABCD ，则SA AB ⊥，又由AD AB ⊥，则有AB ⊥平面SAD ，进而有AB SD ⊥，即向量SD 、AB 一定垂直，则向量SD 、AB 的数量积一定为0；对于D ：根据题意，有SA ⊥平面ABCD ，则S A C D ⊥，即向量SA 、CD 一定垂直，则向量SA 、CD 的数量积一定为0.2．已知,a b 均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b +r r 等于（）A B C D ．4【答案】C 【分析】结合向量夹角，先求解23a b +，再求解3a b +r r . 【详解】222(3)93613a b a a b b a b =+=++⋅=+．3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体ABCD A B C D ''''-中，棱长为2，点M 为棱DD '上一点，则AM BM ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求得,AM BM ，结合向量的数量积的运算，即可求解.【详解】如图所示，以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,0)A B ，设(0,0,)M a ，所以(2,0,),(2,2,)AM a BM a =-=--，则2(2,0,)(2,2,)4AM BM a a a ⋅=-⋅--=+，当0a =时，,AM BM 的最小值为4.4．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体ABCD 中，2,90,2===∠=︒⋅=-AB AC AD BAD AB CD ，则BAC ∠=（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】C【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】解：因为CD AD AC =-，90BAD ∠=︒，所以0AB AD ⋅=uu u r uuu r所以()2A AC AC B CD AB AD AB AD AB ⋅=⋅=⋅-⋅--=，所以2AB AC ⋅=，又2AB AC ==，所以cos 2A C B AB AC BA A C ⋅∠==⋅，所以1cos 2BAC ∠=，因为()0,BAC π∠∈，所以60BAC ∠=︒； 5．（2022·全国·高二）两个不同平面α，β的法向量分别为非零向量1n u r ，2n u u r ，两条不同直线a ，b 的方向向量分别为非零向量1v ，2v ，则下列叙述不正确的是（）A ．αβ⊥的充要条件为120n n ⋅=B ．a b ⊥r r 的充要条件为120v v ⋅=C ．αβ∥的充要条件为存在实数λ使得21n n λ=D ．a α∥的充要条件为110v n ⋅=【答案】D【分析】依据面面垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项A ；依据线线垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项B ；依据面面平行的定义及数乘向量的几何意义判断选项C ；依据线面平行的定义及向量数量积的几何意义判断选项D.【详解】选项A ：αβ⊥⇔12n n ⊥⇔120n n ⋅=.判断正确；选项B ：a b ⊥⇔12v v ⊥⇔120v v ⋅=.判断正确；选项C ：αβ⇔∥21//n n ⇔存在实数λ使得21n n λ=.判断正确；选项D ：若a α∥，则有110v n ⋅=；若110v n ⋅=，则有a α∥或a α⊂，则a α∥是110v n ⋅=的充分不必要条件.判断错误.二、多选题6．（2022·全国·高二）已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( )A ．||||AB AC AD AB AC AD ++=+-B ．2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++C ．()0AB AC AD BC ++⋅=D ．AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅【答案】ABD【分析】根据题意在一个长方体内部作出四面体ABCD ，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判断即可．【详解】由题可知，可做如图所示的长方体，设,,AC a AD b AB c ===.2,AB AC AD AE AD AE EF AF AF a ++=+=+==2,AB AC AD AE AD DE DE a +-=-==A 正确；22222222||||||AB AC AD AF a b c AB AC AD ++==++=++，故B 正确；∵AD ⊥平面ACEB ，∴AD BC ⊥，0AD BC ⋅=，∴()()AB AC AD BC AE AD BC AE BC ++⋅=+⋅=⋅，但无法判断AE 和BC 是否垂直，故C 不一定正确；由图易知,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥，故AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅＝0，故D 正确. 7．（2022·全国·高二课时练习）设a ，b 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）A ．22a a =B ．a b b a a a ⋅=⋅C ．()222a b a b ⋅=⋅D ．()2222a b a a b b -=-⋅+ 【答案】AD【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；【详解】解：对于A ：22cos 0a a a a a a =⋅=⋅=，故A 正确；对于B ：因为向量不能做除法，即b a 无意义，故B 错误；对于C ：()()22222o ,cos ,c s a b a b a b a b a b ⋅⋅=⋅=，故C 错误；对于D ：()()()2222a ba b a b a a b b -=-⋅-=-⋅+，故D 正确；三、填空题 8．（2022·全国·高二课时练习）空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，即()a b c ⋅+=_______．【答案】a b a c ⋅+⋅ 【分析】根据空间向量的数量积运算法则，即可求解.【详解】根据空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，可得()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅. 9．已知空间向量a 与b 满足1a =，且2a b ⋅=，若a 与b 的夹角为3π，则b =________．【答案】4【分析】利用空间向量数量积的定义进行求解即可.【详解】因为1a =，a 与b 的夹角为3π，所以由12cos212432a b a b b b π⋅=⇒⋅⋅=⇒⋅⋅=⇒=，故答案为：410．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知点(1,1,0)(1,3,2)A B -、，与向量AB 不共线的向量(,,)a x y z =在AB 上的投影向量为(1,1,1)，请你给出a 的一个坐标为_______．【答案】(1,2,0)（答案不唯一）【分析】先求得向量AB 的坐标，再依据题给条件列方程去求向量a 的坐标即可解决.【详解】由点(1,1,0)(1,3,2)A B -、，可得()=2,2,2AB ，又向量(,,)a x y z =在AB 上的投影向量为(1,1,1)，则2222222(2,2,2)(2,2,2)(1,1,1)2226a AB x y z x y z AB AB ⋅++++⋅=⋅==++ 则13x y z ++=，又向量AB 与向量a 不共线，则222x y z ==不成立则可令1,2,0x y z ===，即(1,2,0)a =，11．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，2AB =，1AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160DAA BAA ∠=∠=︒，点M 为棱1CC 的中点，则线段AM 的长为______．【分析】利用向量数量积求得向量AM 的模，即可求得线段AM 的长【详解】112AM AB BC CM AB AD AA =++=++则222211=+2++AM AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA ⎛⎫=++++⋅⋅⋅ ⎪=即线段AM 12．（2022·全国·高二）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为_________.【答案】12- 【分析】如图，在正三棱锥中，以,,BC BD BA 为基底，12AE BC BA =-，1122CF BA BD BC =+-，利用向量数量积性质进行计算即可得解.【详解】根据题意ABCD 为正四面体，,,BC BD BA 两两成60角，所以12AE BE BA BC BA =-=-， 1122CF BF BC BA BD BC =-=+-，所以111()()222AE CF BC BA BA BD BC ⋅=-⋅+- 11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-. 四、解答题13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中．(1)写出直线11A C 的一个方向向量；(2)写出平面11BCC B 的一个法向量；(3)写出与AB ，AC 共面的两个向量．【答案】(1)AC ，(2)AB ，(3)AD ,BD【分析】（1）（2）（3）根据直线方向向量、平面法向量、共面向量的定义可得.(1)易知11AC A C ∥，所以向量AC 为直线11A C 的一个方向向量.(2)在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BCC B ，所以AB 是平面11BCC B 的一个法向量.(3)由共面向量的定义可知AD ,BD 都是与AB ，AC 共面的向量.14．（2022·全国·高二课时练习）已知三个平面两两垂直且交于点O ，若空间一点P 到三个平面的距离分别为2，3，6，则线段OP 的长度为多少？【答案】7【分析】利用向量表达出OP OA OB OC =++，求出OP 的平方，进而求出线段OP 的长度.【详解】构造以OP 为对角线的长方体，则OP OA OB OC =++，且,,OA OB OC 两两垂直，且2,3,6OA OB OC ===，故22222493649OP OA OB OC OA OB OC =++=++=++=，所以7OP =. 15．（2022·全国·高二课时练习）已知,a b 是空间向量，根据下列各条件分别求,a b 〈〉：(1)||||a b a b -⋅=；(2)||||||a b a b ==-；(3)||||||a b a b ==+；(4)||||a b a b +=-.【答案】(1),πa b 〈〉=，(2)π,3a b 〈〉=，(3)2π,3a b 〈〉=，(4)π,2a b 〈〉= 【分析】（1）利用空面向量的余弦夹角公式进行求解；（2）根据向量数量积的运算法则计算出1cos ,2a b 〈〉=，进而求出夹角；（3）根据向量数量积的运算法则计算出1cos ,2a b 〈〉=-，进而求出夹角；（4）根据向量数量积运算法则计算出0a b ⋅=，得到夹角.(1)cos ,1||||a b a b a b ⋅=-〈〉=，[],0,πa b 〈〉∈，故,πa b 〈〉= (2)因为||||||a b a b ==-，所以222||cos ,2a b a b a a b b -=-⋅〈+〉，故1cos ,2a b 〈〉=，因为[],0,πa b 〈〉∈，所以π,3a b 〈〉=。

空间向量数量积

A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面内旳垂线、斜线， AO是PA在平面内旳射影， l 且l⊥OA，求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线，如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2

课时作业27：3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算A 组基础巩固练一、选择题1．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，向量AB →′与BC →′的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°2．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能3．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．434．已知空间四边形ABCD 中，∠ACD ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝2，CD ＝1，则AB 与CD 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5．如图，已知平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝6，则PC ＝( )A ．3B ．7C ．4D ．6二、填空题6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．7．如图，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．8．如图所示，在一个直二面角αAB β的棱上有A ，B 两点，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．三、解答题9．已知正四面体OABC 的棱长为1．求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (3)|OA →＋OB →＋OC →|．10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面P AC ．B 组素养提升练1．已知边长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．22．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．45°3．如图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E ，F 分别是AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶2，则EF →·BC →＝________．4．已知在正四面体D ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________． 5．如图，正四面体V ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M ．(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直； (2)求〈DM →，AO →〉．参考答案A 组基础巩固练一、选择题1．【答案】C【解析】BC ′∥AD ′，△AD ′B ′为正三角形， ∴∠D ′AB ′＝60°， ∴〈AB ′→，BC ′→〉＝60°． 2．【答案】B【解析】由题意知，m ·a ＝0，m ·b ＝0，则m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μ m ·b ＝0．因此m ⊥n ． 3．【答案】B【解析】∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23． 4．【答案】C【解析】根据已知∠ACD ＝∠BDC ＝90°，得AC →·CD →＝DB →·CD →＝0，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD →＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°．5．【答案】B【解析】|PC →|2＝PC →·PC →＝(P A →＋AD →＋DC →)2＝|P A →|2＋|AD →|2＋|CD →|2＋2P A →·AD →＋2AD →·DC →＋2P A →·DC →＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝49．所以|PC →|＝7．二、填空题 6．【答案】22【解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝132－46＋192＝484，故|a －b |＝22． 7．【答案】90°【解析】不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝(BB 1→－BA →)·⎝⎛⎭⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°．8．【答案】229【解析】∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →，∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →＋BD →2＋2AB →·BD →－2AC →·BD → ＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →|＝229．三、解答题9．解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12．(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1． (3)|OA →＋OB →＋OC →| ＝(OA →＋OB →＋OC →)2＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos 60°)×3 ＝6．10．证明：取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1．则有AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， OB 1→＝OB →＋BB 1→＝12DB →＋BB 1→＝12(AB →－AD →)＋BB 1→ ＝12a －12b ＋c ， ∴AC →·OB 1→＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0． ∴AC →⊥OB 1→，即AC ⊥OB 1．∵AP →＝AD →＋12DD 1→＝b ＋12c ，∴OB 1→·AP →＝⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c ·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋12＝0， ∴OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AP ．又∵AC ∩AP ＝A ， ∴OB 1⊥平面APC ．B 组素养提升练1．【答案】C【解析】AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C ．2．【答案】B【解析】由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1． cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，AB →，CD →〉＝60°．3．【答案】16a 2【解析】因为点E ，F 分别是AB ，AD 上的点，所以EF →＝13BD →，所以EF →·BC →＝13BD →·BC →，结合图形可知〈BD →，BC →〉＝60°，所以EF →·BC →＝13BD →·BC →＝13×a ×a ×cos 60°＝16a 2．4．【答案】63【解析】如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎡⎦⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝ 13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝ 1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63．5．(1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )，BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO ．同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO ．所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)解：DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎡⎦⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12．又|AO →|＝⎣⎡⎦⎤16(b ＋c －5a )2＝22， DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22．又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4．。

高三空间向量练习题

高三空间向量练习题1. 已知向量a = 2i + 3j - k，向量b = i - j + 4k，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量a与向量b的数量积可以通过向量的内积公式计算得出。

内积的计算方式为将两个向量对应分量相乘后相加。

a ·b = (2i + 3j - k) · (i - j + 4k)= 2i · i + 3j · (-j) - k · j + 2i · (-j) + 3j · (4k) - k · (4k)= 2 + 3 + 0 - 2 - 12 + 4= -5所以，向量a与向量b的数量积为-5。

2. 已知向量c = 3i + 2j + 4k，向量d = 5i + 6j + 2k，求向量c与向量d的向量积。

解析：向量c与向量d的向量积可以通过向量的叉乘公式计算得出。

叉乘的计算方式为以行列式形式表示，按照i、j、k的顺序展开。

c ×d = |i j k ||3 2 4 ||5 6 2 |= (2 × 2 - 4 × 6)i - (3 × 2 - 4 × 5)j + (3 × 6 - 2 × 5)k= -20i + 7j + 8k所以，向量c与向量d的向量积为-20i + 7j + 8k。

3. 已知向量e = 3i + 4j - 6k，向量f = 2i - 5j + k，求向量e与向量f 的夹角的余弦值。

解析：向量e与向量f的夹角的余弦值可以通过向量的内积和模长的乘积计算得出。

计算公式为：cosθ = (e · f) / (|e| × |f|)。

|e| = √(3^2 + 4^2 + (-6)^2) = √(9 + 16 + 36) = √61|f| = √(2^2 + (-5)^2 + 1^2) = √(4 + 25 + 1) = √30e ·f = (3i + 4j - 6k) · (2i - 5j + k)= 3i · 2i + 4j · (-5j) - 6k · j + 3i · (-5j) + 4j · k - 6k · k= 6 - 20 - 0 - 15 + 4 - 6= -31cosθ = (-31) / (√61 × √30) ≈ -0.283所以，向量e与向量f的夹角的余弦值约为-0.283。

人教版高中数学选择性必修第一册-空间向量的数量积运算-课时作业【含解析】

课时作业2空间向量的数量积运算【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于()A ．0B ．1C.12D ．－12．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为()A ．－6B ．6C ．3D ．－33．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于()A.97B ．97C.61D ．614．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．05．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是()A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能6.如图所示，在三棱锥A BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于()A ．0B ．1C ．2D ．37．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．(多选题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是()A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．14．(多选题)下列命题中不正确的是()A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为16.如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD.(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?课时作业2空间向量的数量积运算【解析版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于(B )A ．0B ．1C.12D ．－1解析：AC →·AD 1→＝(AB →＋AD →)·(AD →＋AA 1→)＝AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →2＋AD →·AA 1→＝0＋0＋1＋0＝1.故选B.2．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为(B )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵m ⊥n ，∴e 1⊥e 2，即e 1·e 2＝0，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.故选B.3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于(C )A.97B ．97C.61D ．61解析：|2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a －3b |＝61.故选C.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为(B )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：①②正确；∵AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确．故选B.5．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是(A )A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能解析：由题意知|a |＝|b |，∵(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．故选A.6.如图所示，在三棱锥A BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于(A)A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－2DA →＋DC →)·(DC →－DB →)＝12DB →·DC →－12DB →2－DA →·DC →＋DA →·DB →＋12DC →2－12DC →·DB →，又易知DB →·DC →＝0，DA →·DC →＝0，DA →·DB →＝0，|DB →|＝|DC →|，∴AE →·BC →＝0.故选A.7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于(B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据a ·(2b －a )＝0，即2a ·b ＝|a |2＝4，解得a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22，〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝45°.故选B.8．(多选题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是(ACD )A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0解析：如图．由AB ⊥平面BB 1C 1C 得AB ⊥BC 1，所以四边形ABC 1D 1的面积为|AB →|·|BC 1→|，故A 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的夹角为60°，但是向量AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故B 错误；由向量加法的运算法则可以得AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→＝AC 1→，∵AC 1→2＝3A 1B 1→2，∴(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2，故C 正确；由向量运算可得A 1B 1→－A 1D 1→＝D 1B 1→，∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 中，D 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，∴D 1B 1⊥A 1C ，∴A 1C →·D 1B 1→＝0，故D 正确．故选ACD.二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝3π4.解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.10.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于16.解析：由题意可得BC →2＝9＝(AC →－AB →)2＝AC →2＋AB →2－2AC →·AB →＝9＋4－2AC →·AB →，∴AC →·AB →＝2.由AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，可得AB →·(AB →＋BE →)＋AC →·(AB →＋BF →)＝AB →2＋AB →·BE →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝4＋AB →·(－BF →)＋2＋AC →·BF →＝6＋BF →·(AC →－AB →)＝6＋12EF →·BC →＝7.∴EF →·BC →＝2，即4×3×cos 〈EF →，BC →〉＝2，∴cos 〈EF →，BC →〉＝16.11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为－310.解析：由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×515，由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310.三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c .(2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.14．(多选题)下列命题中不正确的是(ACD )A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面解析：由|a |－|b |<|a ＋b |，知向量a ，b 可能共线，比如共线向量a ，b 的模分别是2,3，故A 错误；在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝(AC →＋CB →)·CD →－CB →·AD →－AC →·BD →＝AC →·(CD →－BD →)＋CB →·(CD →－AD →)＝AC →·CB →＋CB →·CA →＝0，故B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝1×1×cos120°＝－12，故C 错误；由13＋23＋1＝2≠1可知P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 错误．故选ACD.15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为1－22.解析：如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB →＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos APA →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2，设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2，解得λ＝1＝1＋22舍16.如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?解：(1)证明：设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c .由题意得|a |＝|b |，BD →＝CD →－CB →＝a －b .CD →，CB →，CC 1→两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ＝0，∴CC 1⊥BD .(2)要使A 1C ⊥平面C 1BD ，只需A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1.由CA 1→·C 1D →＝(CA →＋AA 1→)·(CD →－CC 1→)＝(a ＋b ＋c )·(a －c )＝a 2－a ·c ＋a ·b －b ·c ＋c ·a －c 2＝|a |2－|c |2＋|a |·|b |cos θ－|b |·|c |cos θ＝(|a |－|c |)(|a |＋|c |＋|b |cos θ)＝0，得当|c |＝|a |时，A 1C ⊥DC 1.而由(1)知CC 1⊥BD ，又BD ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴A 1C ⊥BD .综上可得，当CDCC 1＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .。

人教A版选修2-1第三章第四课时同步练习3-1-3空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算一、选择题1．已知向量a 、b 是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c·a ＝0且c·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |( ) A.7 B.10 C.13 D ．43．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．已知P A ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．62B ．6C ．12D ．1445．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( )A ．14 B.14 C ．4 D ．26．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( )A ．97B ．97C ．61D ．617．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A ．12 B ．22 C ．－12 D ．08．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题9．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________.10．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则(1)AC ′→·DB ′→＝________；〈AC ′→，DB ′→〉＝________；(2)BD ′→·AD →＝________.11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________.12．已知在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则AB →·OC →＝________.三、解答题13．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，求〈a ，b 〉．14．对于任意空间四边形，试证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面．15．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 1所成的角．参考答案一、选择题1．[答案] B[解析] 当a 与b 不共线．．．时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c·a ＝0，c·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B. ２．[答案] C[解析] |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝|a |2＋6|a ||b |cos<a ，b >＋9|b |2，∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴|a ＋3b |2＝13，∴|a ＋3b |＝13.３．[答案] D[解析] B ′D ′→＝BD →，∵△A ′BD 为正三角形，∴〈A ′B →，BD →〉＝120°.４．[答案] C[解析] ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴|PC →|＝12.５．[答案] B[解析] |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴选B. ６．[答案] C[解析] |2a －3b |2＝4a 2＋9b 2－12a·b ＝4×4＋9×9－12×|a ||b |cos60°＝97－12×2×3×12＝61.７．[答案] D[解析] cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →||BC →|＝OA →·OC →－OA →·OB →|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB |OA →||BC →|. 因为|OB →|＝|OC →|，∠AOC ＝∠AOB ＝π3，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.８．[答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0， ∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．二、填空题９．[答案] 3π4[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－22， ∴〈a ，b 〉＝3π4. 10．[答案] (1)1，arccos 13(2)1 [解析] (1)AC ′→·DB ′→＝(a ＋b ＋c )·(a －b ＋c )＝a 2＋c 2＋2a ·c －b 2＝1，|AC ′→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝3，∴|AC ′→|＝3，|DB ′→|2＝(a －b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2－2a ·b ＋2a ·c －2b ·c ＝3，∴|DB ′→|＝3，∴cos 〈AC ′→，DB ′→〉＝AC ′→·DB ′→|AC ′→|·|DB ′→|＝13， ∴〈AC ′→，DB ′→〉＝arccos 13. (2)BD ′→·AD →＝(b ＋c －a )·b ＝|b |2＋b ·c －b ·a ＝1.11．[答案] a 2[解析] A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos60°＝a 2.12．[答案] 0[解析] AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OA →＋AC →)＝OB →·OA →＋OB →·AC →－|OA →|2－OA →·AC →＝OB →·OA →－|OA →|2－OA →·AC →＝OA →·AB →－OA →·AC →＝OA →·CB →＝0.三、解答题13．[解析] (a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2－15|b |2＋16a ·b ＝0，(a －4b )(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0，解之得，|b |2＝2a ·b ＝|a |2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°. 14．[证明] 如图所示，空间四边形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得，EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①后，两式相加得，2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12AD →＋12BC →. 即EF →与BC →、AD →共面，∴EF 与AD 、BC 可平行于同一平面．15．[解析] 不妨设正方体的棱长为1, 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC 1→＝a ＋b ＋c .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ＋c )＝(a －c )(a ＋c )＋b (a －c )＝0∴<A 1B →，AC 1→>＝90°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为90°.[说明] 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示．。

空间向量的数量积运算(经典练习及答案详解)

空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( ) A ．a ·a ＝|a |B ．m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R )C ．a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·aD ．a 2b ＝b 2a解析：选ABC ∵a ·a ＝|a |2，∴a ·a ＝|a |，故A 正确． m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故B 正确．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故C 正确．a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故D 不一定正确．2．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0，|e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF―→的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2D ．34a 2解析：选C AE ―→·AF ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14⎝⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.4．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱的长度都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3C ． 5D ．7解析：选C 由于EF ―→＝EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→，所以|EF ―→|＝(EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→)2＝1＋4＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0－12＝5，即EF 的长是 5.5.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选C 因为PC ―→＝P A ―→＋AB ―→＋BC ―→，所以PC ―→2＝P A ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2P A ―→·AB ―→＋2P A ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________. 解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB ―→·AE―→＝________. 解析：AE ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→，AB ―→·AE ―→＝AB ―→·AA 1―→＋AB ―→·AD ―→＋12AB ―→2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是________．解析：a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE ―→，AF ―→〉的余弦值；C 1E ―→ (2)求证：BD 1⊥EF .解：(1)AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋12AA 1―→， CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→＝AA 1―→＋12CD ―→＝AA 1―→－12AB ―→. 因为AB ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AA 1―→＝0，AD ―→·AA 1―→＝0，所以CE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1―→－12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12. 又|AF ―→|＝|CE ―→|＝52，所以cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25. (2)证明：因为BD 1―→＝BD ―→＋DD 1―→＝AD ―→－AB ―→＋AA 1―→， EF ―→＝ED 1―→＋D 1F ―→＝－12(AB ―→＋AA 1―→)，所以BD 1―→·EF ―→＝0，所以BD 1―→⊥EF ―→.即BD 1⊥EF . 10.如图，正四棱锥P -ABCD 的各棱长都为a . (1)用向量法证明：BD ⊥PC ； (2)求|AC ―→＋PC―→|的值．解：(1)证明：∵BD ―→＝BC ―→＋CD―→， ∴BD ―→·PC ―→＝(BC ―→＋CD ―→)·PC ―→＝BC ―→·PC ―→＋CD ―→·PC ―→ ＝|BC ―→||PC ―→|·cos 60°＋|CD ―→||PC ―→|cos 120° ＝12a 2－12a 2＝0. ∴BD ⊥PC .(2)∵AC ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BC ―→＋PC―→， ∴|AC ―→＋PC ―→|2＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|PC ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2AB ―→·PC ―→＋2BC ―→·PC ―→＝a 2＋a 2＋a 2＋0＋2a 2cos 60°＋2a 2cos 60°＝5a 2，∴|AC ―→＋PC―→|＝5a .1．[多选]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则下列命题正确的是( )A ．(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2B ．A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0 C ．AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→| 解析：选AB 如图所示，(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝A 1C ―→·AB 1―→＝0；AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|.综上可知，A 、B 正确． 2．设空间上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB ―→＋DC ―→－2DA ―→)·(AB ―→－AC―→)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 因为DB ―→＋DC ―→－2DA ―→＝(DB ―→－DA ―→)＋(DC ―→－DA ―→)＝AB ―→＋AC ―→，所以(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝0，所以|AB ―→|＝|AC―→|，即△ABC 是等腰三角形． 3.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为________，B 1C ―→·A 1P ―→＝________.解析：法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C ―→与A 1P ―→所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为60°.因此B 1C ―→·A 1P ―→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C ―→·A 1P ―→＝(A 1A―→＋)·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12AB ―→ ＝AD ―→2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝1，从而〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝60°.答案：60° 14.在四面体OABC 中，各棱长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：取OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. 又∵OE ―→＝12(a ＋b )，BF ―→＝12c －b ， ∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.又|OE ―→|＝32，|BF ―→|＝32，∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF―→|＝－23，∵异面直线夹角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ―→·CD ―→＝0，同理可得AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD―→， ∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.。

高三数学向量积练习题

高三数学向量积练习题1. 已知向量a = 3i + 4j + 2k，向量b = 2i - 5j + 3k，求向量a和向量b的数量积。

解析：数量积可以通过向量的坐标分量进行计算。

两个向量a和b 的数量积记作a·b，可通过下式计算：a·b = ai·bi + aj·bj + ak·bk将向量a和b的坐标分量代入上述公式，可得：a·b = (3)(2) + (4)(-5) + (2)(3) = 6 - 20 + 6 = -8因此，向量a和向量b的数量积为-8。

2. 已知向量a = 2i + 3j - 4k，向量b = i - j + 2k，求向量a和向量b的向量积。

解析：向量积可以通过向量的坐标分量进行计算。

两个向量a和b 的向量积记作a×b，可通过下式计算：a×b = (ajbk - akbj)i + (akbi - aibi)j + (aibi - ajbi)k将向量a和b的坐标分量代入上述公式，可得：a×b = [(3)(2) - (-4)(-1)]i + [(-4)(2) - (2)(2)]j + [(2)(-1) - (3)(-1)]k= [6 - 4]i + [-8 - 4]j + [-2 + 3]k= 2i - 12j + 1k因此，向量a和向量b的向量积为2i - 12j + 1k。

3. 已知向量a = 3i + j，向量b = 2i - 4j，求向量a和向量b的数量积和向量积。

解析：数量积的计算与题目1相同，向量积的计算与题目2相同。

数量积：a·b = ai·bi + aj·bj= (3)(2) + (1)(-4)= 6 - 4= 2向量积：a×b = [(1)(-4) - (j)(2)]i + [(3)(2) - (3)(-4)]j + [(3)(-4) - (1)(2)]k= (-4 - 2)i + (6 + 12)j + (-12 - 2)k= -6i + 18j - 14k因此，向量a和向量b的数量积为2，向量积为-6i + 18j - 14k。

空间向量的数量积运算

空间向量的数量积运算（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知空间向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= ( )3.(2013·天水高二检测)已知四边形ABCD满足:·>0,·>0,·>0,·>0,则该四边形为( )A.平行四边形B.梯形C.平面四边形D.空间四边形4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( )A. B. D.5.(2013·杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC= 90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是( )°°°°二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)= .7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为.8.如图∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的长.(2)求cos<,>的值.(3)求证:A1B⊥C1M.10.(2013·济南高二检测)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,(1)求证:MN⊥CD.(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.11.(能力挑战题)如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方),问BC边上是否存在点Q,使⊥?答案解析1.【解析】选A.a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|⇔cos<a,b>=1⇔<a,b>=0,即a,b 同向,故是充分条件;当a与b反向时,不能成立,不是必要条件.2.【解析】选B.|2a-b|====2,故选B.3.【解析】选D.由题意知,·<0,·<0,·<0,·<0,即四边形的四个内角均为钝角,所以该四边形为空间四边形.4.【解析】选D.=++∴=(++)2=+++2(·+·+·) 由题意知,||=||=||=1,·=||·||cos135°=1×1×(-)=-,·=·=0,∴2=3+2×(-)=3-,∴BD=.5.【解析】选B.设=a,=b,=c,|a|=|c|=1,则|b|=,=+=+=a+c,=+=-+=-a+b+c,∴·=(a+c)·(-a+b+c)=-a2+a·b+a·c-a·c+b·c+c2=-|a|2+a·b+b·c+|c|2=-+a·b+0+=a·b.由题意知,<a,b>=45°,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=1××cos45°=1, ∴·=×1=,==,∴cos<,>===,∴cos<,>=60°,∴EF与BC1所成的角为60°.6.【解析】b·(2a+b)=2a·b+b2=2|a|·|b|cos120°+|b|2=2×4×4×(-)+42=0. 答案:07.【解析】=(++)2,=||2+||2+||2+2(·+·+·),由题意知,||=||=1=||,且·=·=·=0.∴=3,∴AE的长为.答案:【举一反三】若将题条件中“BC⊥CD”改为“∠BCD=120°”,其他条件不变,结果如何?【解析】由本题解答知,=||2+||2+||2+2(·+·+·),∵||=||=1=||,·=·=0,·=||·||·cos<,>=1×1×cos60°=,∴=3+2×=4,故AE的长是2.答案:28.【解析】设正方形ABDE的边长为1,∵=+,=-,∴·=(+)·(-)=·-+·-·,=0-1+0-0=-1,||====,||====,∴cos<,>==-,∴<,>=120°,故AD与BC所成角为60°. 答案:60°9.【解析】(1)由题可知,BA=,BA⊥AN,∴=(+)2=+2·+=()2+2×0+12=3,∴BN=.即的长为.(2)∵=+,=+,∴·=(+)·(+) =·+·+·+·=||·||·cos135°+0+0+=×1×(-)+22=3,||===,||===,∴cos<,>===.(3)∵=+,=(+),∴·=(+)·(+)=(·+·+·+·) 由题意知,·=·=0,·=||·||·cos<,>=×1×cos135°=-1,·=||·||·cos<,>=×1×cos45°=1,∴·=×(-1+1)=0,∴⊥,即A1B⊥C1M.10.【证明】(1)设=a,=b,=c, 则=++=+-=+-(++)=++--=(+)=(b+c),∴·=(b+c)·(-a)=-(a·b+a·c),∵四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD, ∴a⊥b,a⊥c,∴a·b=a·c=0,∴·=0,∴⊥,故MN⊥CD.(2)由(1)知,MN⊥CD,=(b+c),∵=-=b-c,∴·=(b+c)·(b-c)=(|b|2-|c|2),∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,∴|b|=|c|,∴·=0,∴⊥,∴MN⊥PD,∵CD,PD⊂平面PCD,且CD∩PD=D,∴MN⊥平面PCD.【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题,这三类问题通常会转化为线线垂直问题,证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为0,具体方法是:(1)先确定两个向量为两直线的方向向量.(2)用已知向量(通常是三个已知向量,其模及其夹角已知)表示方向向量.(3)计算两个方向向量的数量积,通过线性运算、化简得出其数量积为0,得出两个方向向量垂直.(4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直.11.【解题指南】由⊥得PQ⊥QD,在平面ABCD内,点Q在以AD为直径的圆上,此时需讨论AD与AB的大小关系,若此圆与BC相切或相交,则BC边上存在点Q,否则不存在.【解析】假设存在点Q(Q点在边BC上),使⊥,即PQ⊥QD,连接AQ.∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥QD.又=+且⊥,∴·=0,即·+·=0.又由·=0,∴·=0,∴⊥,∴∠AQD=90°,即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.又∵AB=1,由图知,当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.综上所述,当a≥2时,存在点Q;当0<a<2时,不存在点Q.关闭Word文档返回原板块。

数学人教A版(2019版)选择性必修第一册同步练习1.1.2空间向量的数量积运算

…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习1.1.2空间向量的数量积运算题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题本大题共10道小题。

1. 【题文】在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅等于( ) A.－1B.0C.1D.不确定【答案】 B 【解析】解析：如图，令,,AB a AC b AD c ===，则AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅()()()a cb b ac c b a =⋅-+⋅-+⋅-0a c a b b a b c c b c a =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【题文】在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅等于( ) A.－1B.0C.1D.不确定【答案】 B 【解析】解析：如图，令,,AB a AC b AD c ===，则AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅()()()a cb b ac c b a =⋅-+⋅-+⋅-0a c a b b a b c c b c a =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 2. 【题文】如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线1AC 和1BD 相交于点O ，则( )A.2112AB AC a ⋅= B.212AB AC a ⋅=C.212AB AO a ⋅=D.21BC DA a ⋅=【答案】 C…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解析】解析：1111()22AB AO AB AC AB AB AD AA ⋅=⋅=⋅++2221111()222AB AB AD AB AA AB a =+⋅+⋅==.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：2. 【题文】如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线1AC 和1BD 相交于点O ，则( )A.2112AB AC a ⋅=B.212AB AC a ⋅=C.212AB AO a ⋅=D.21BC DA a ⋅=【答案】 C 【解析】解析：1111()22AB AO AB AC AB AB AD AA ⋅=⋅=⋅++2221111()222AB AB AD AB AA AB a =+⋅+⋅==.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 3. 【题文】已知空间向量,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b +=( ) 71013D.4【答案】 C【解析】解析：∵2222223(3)696cos ,9a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅⋅+，∵1,,60a b a b ===︒，∴2313a b +=，∴313a b +=.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：3. 【题文】已知空间向量,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b +=( )D.4【答案】 C 【解析】解析：∵2222223(3)696cos ,9a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅⋅+，∵1,,60a b a b ===︒，∴2313a b +=，∴313a b +=.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 4. 【题文】已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60°，其模均为1，则2-+=a b c ( ) A.5 B.6 【答案】 C 【解析】解析：由题意得2221,12⋅=⋅=⋅====a b b c a c a b c ，所以2-+=a b c =【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：4. 【题文】已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60°，其模均为1，则2-+=a b c ( ) A.5 B.6 【答案】 C 【解析】解析：由题意得2221,12⋅=⋅=⋅====a b b c a c a b c ，所以2-+==a b c =【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 5. 【题文】已知在矩形ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A.0DA PB ⋅= B.0PC BD ⋅= C.0PD AB ⋅=D.0PA CD ⋅=【答案】 B 【解析】解析：由题意得四边形ABCD 为矩形，且PA ⊥平面ABCD ，则,AD PB AB PD ⊥⊥，PA CD ⊥，故选项A 中，0DA PB ⋅=正确；选项C 中，0PD AB ⋅=正确；选项D 中，0PA CD ⋅=正确；而选项B 只有四边形ABCD 为正方形时才正确.故选B.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：5. 【题文】已知在矩形ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A.0DA PB ⋅= B.0PC BD ⋅= C.0PD AB ⋅=D.0PA CD ⋅=【答案】 B 【解析】解析：由题意得四边形ABCD 为矩形，且PA ⊥平面ABCD ，则,AD PB AB PD ⊥⊥，PA CD ⊥，故选项A 中，0DA PB ⋅=正确；选项C 中，0PD AB ⋅=正确；选项D 中，0PA CD ⋅=正确；而选项B 只有四边形ABCD 为正方形时才正确.故选B.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 6. 【题文】设,,a b c 是任意的非零空间向量，且它们相互不共线，有下列命题： ①()()0a b c c b a ⋅-⋅=；②a a a =⋅；③22a b b a =；④22(34)(34)916a b a b a b +⋅-=-.其中正确的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④【答案】 D 【解析】解析：由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，22a b b a ⋅=⋅一定不成立，故③不正确，④运算正确【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：6. 【题文】设,,a b c 是任意的非零空间向量，且它们相互不共线，有下列命题： ①()()0a b c c b a ⋅-⋅=；②a a a =⋅；③22a b b a =；④22(34)(34)916a b a b a b +⋅-=-.其中正确的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④【答案】 D 【解析】解析：由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，22a b b a ⋅=⋅一定不成立，故③不正确，④运算正确【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 7.【题文】对于空间向量,,a b c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A.若0a b ⋅=，则0a =或0b = B.若0a λ=，则0λ=或0a = C.若22a b =，则a b =或a b =- D.若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】 B 【解析】解析：对于选项A ，还包括a b ⊥的情形；对于选项C ，结论应是a b =；对于选项D ，也包括垂直的情形.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：7.【题文】对于空间向量,,a b c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A.若0a b ⋅=，则0a =或0b = B.若0a λ=，则0λ=或0a = C.若22a b =，则a b =或a b =- D.若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】 B 【解析】解析：对于选项A ，还包括a b ⊥的情形；对于选项C ，结论应是a b =；对于选项D ，也包括垂直的情形.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 8. 【题文】已知空间向量,,1,2a b a b ==，且a b -与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A.60° B.30° C.135° D.45°【答案】 D 【解析】解析：∵a b -与a 垂直，∴()0a b a -⋅=，∴2cos ,a a a b a a b a b ⋅-⋅=-⋅⋅11cos ,0a b =-=，∴2cos ,a b =. ∵0,180a b ︒≤≤︒，∴,45a b =︒.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：8. 【题文】已知空间向量,,1,2a b a b ==，且a b -与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A.60°B.30°C.135°D.45°【答案】 D 【解析】解析：∵a b -与a 垂直，∴()0a b a -⋅=，∴2cos ,a a a b a a b a b ⋅-⋅=-⋅⋅11cos ,0a b =-=，∴2cos ,a b =. ∵0,180a b ︒≤≤︒，∴,45a b =︒.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 9. 【题文】设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】 B 【解析】解析：2()()DB DC DA DB DA DC DA +-=-+-=,(2)()AB AC DB DC DA AB AC +∴+-⋅-=()()AB AC AB AC +⋅-=22||||0,||||AB AC AB AC -=∴=，故ABC ∆一定是等腰三角形，故选B.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：9. 【题文】设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】 B【解析】解析：2()()DB DC DA DB DA DC DA +-=-+-=,(2)()AB AC DB DC DA AB AC +∴+-⋅-=()()AB AC AB AC +⋅-=22||||0,||||AB AC AB AC -=∴=，故ABC ∆一定是等腰三角形，故选B.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】 10. 【题文】若空间向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且a a c a b a b ⎛⎫⋅=- ⎪⋅⎝⎭，则向量a 与c 的夹角为( ) A.0B.6π C.3πD.2π 【答案】 D 【解析】解析：∵0a a a a a c a a b a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=⋅-=⋅-⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴a c ⊥，故选D.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算【结束】答案及解析：10. 【题文】若空间向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且a a c a b a b ⎛⎫⋅=- ⎪⋅⎝⎭，则向量a 与c 的夹角为( ) A.0B.6π C.3πD.2π 【答案】 D 【解析】解析：∵0a a a a a c a a b a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=⋅-=⋅-⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴a c ⊥，故选D.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.1.2空间向量的数量积运算一、填空题本大题共4道小题。

空间向量的数量积运算-重难点题型检测(教师版)

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则 ⋅ + ⋅ = 0，
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所以 ⋅ + •（ + ）＝0，
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整理得（−） ⋅ + ⋅ = 0，
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所以 ⋅ + ⋅ = 0，
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转换为 ⋅ + ⋅ = 0，
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4
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高考复习材料
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→ 1 →
→ 1 →
1→ →
• = •（−） = • −• = 1− • = 1﹣1＝0，故 C 正确；
2
2
2
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1→ 1→
1→ →
1→ 1→
1
• = （ + + ）• = • + • + • = • + • + • = −
BC、CD、BD 的长度，在△BCD 中，由余弦定理得 B，C，D 三个角的余弦值都是正数，可得 B，C，D
都是锐角，得到△BCD 的形状．
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【解答过程】解：∵• = • = • = 0，∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，
设 AB＝a，AC＝b，AD＝c，则 BC = 2 + 2，CD = 2 + 2，BD = 2 + 2，
2

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课时作业(十五)
[学业水平层次]
一、选择题
1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④ 【解析】由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．以上都不对
【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2
，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14.
【答案】 D
3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.PC →与BD →
B.DA →与PB →
C.PD →与AB →
D.P A →与CD →
【解析】用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.
【答案】 A
4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )
图3-1-21
A ．2BA →·AC →
B ．2AD →·DB →
C ．2FG →·AC →
D ．2EF →·CB →
【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2
，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．
【答案】 C 二、填空题
5．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】
61
6．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
(a ＋λb )·
(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.
即⎩
⎪⎨⎪⎧
(a ＋λb )·
(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |⇒λ2＋2λ－2<0. ∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)
7. 如图3-1-22，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．
图3-1-22
【解析】不妨设棱长为2，则|AB →1|＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→
， cos 〈AB 1→，BM →
〉＝(BB 1→－BA →)·(BC →＋12BB 1→
)
22×5
＝0－2＋2－0
22×5
＝0，故
填90°.
【答案】 90° 三、解答题
8．如图3-1-23在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .
图3-1-23
【证明】设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →
＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.
而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋1
2(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →
＝b －a ，
OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c . ∴A 1O →·BD →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
c ＋12a ＋12b ·(b －a )
＝c ·(b －a )＋1
2(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝1
2(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD .
同理可证A 1O →⊥OG →
. ∴A 1O ⊥OG .
又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄面BDG ， ∴A 1O ⊥面GBD .
9．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→
；(3)EF →·FC 1→.
【解】如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.
(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)
＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→－AB →)＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.
(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→
)
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.
(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→)
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→－AB →)＋12AD →·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋12b ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b ＋a ＝1
2(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2
＝2.
[能力提升层次]
1．(2014·中山高二检测)已知边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1
的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →
＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．45°。