2018-2019学年人教A版高中数学必修五 第二章 检测试题
最新人教A版高中数学必修5第二章测评试卷及答案
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知数列{a n}是等差数列,a1=2,其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项,则S18=()A.398B.388C.189D.199a52=a3·a8,公差d≠0,a1=2,∴(a1+4d)2=(a1+2d)·(a1+7d),代入数据可得d=189.故选C.(2+4d)2=(2+2d)·(2+7d),解得d=1,∴S18=18a1+18×1722.已知数列{b n}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=()A.16B.8C.4D.2b9是1和3的等差中项,所以2b9=1+3,即b9=2.由等比数列{b n}的性质可得b2b16=b92=4.3.已知在递减的等差数列{a n}中,a3=-1,a1,a4,-a6成等比数列,若S n为数列{a n}的前n项和,则S7的值为() A.-14 B.-9C.-5D.-1{a n}的公差为d,由已知得a3=a1+2d=-1,a42=a1·(-a6),即(a1+3d)2=a1·(-a1-5d),且{a n}为递减d=7-21=-14.数列,则d=-1,a1=1.故S7=7a1+7×624.等差数列{a n}中,S16>0,S17<0,当其前n项和取得最大值时,n=()A.8B.9C.16D.17,S16>0,即a1+a16=a8+a9>0,S17<0,即a1+a17=2a9<0,所以a9<0,a8>0,所以等差数列{a n}为递减数列,且前8项为正数,从第9项以后为负数,所以当其前n项和取得最大值时,n=8.故选A.5.(2020·全国Ⅱ高考,文6)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则S n=()a nA.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1{a n}的公比为q.∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴a6-a4=q=2.a5-a3又a 5-a 3=a 1q 4-a 1q 2=12a 1=12,∴a 1=1.∴a n =a 1·q n-1=2n-1,S n =a 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1. ∴S na n=2n -12n -1=2-12n -1=2-21-n.故选B .6.已知数列{a n }满足a n +a n+1=12(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ) A.5 B.72C.92D.132a n +a n+1=12,a 2=2,∴a n ={-32,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11×(-32)+10×2=72.故选B .7.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A .815B .1615C .2031D .4031n 天织的布为a n 尺,且数列{a n }为公比q=2的等比数列,由题意可得a 1(1-25)1-2=5,解得a 1=531.所以该女子第4天所织布的尺数为a 4=a 1q 3=4031. 故选D .8.在各项都为正数且不相等的等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,若a m ·a 2m+2=a 72=642(m ∈N *),且a m =8,则S 2m =( ) A.127 B.255 C.511D.1 023{a n }的公比为q ,则a 1q m-1·a 1q 2m+1=(a 1q 6)2.因为等比数列{a n }的各项都为正数且不相等,所以m-1+2m+1=12,解得m=4,故a 4=8.又因为a 72=642,所以a 7=64,q 3=a7a 4=8,解得q=2,所以a 1=a 423=1.故S 2m =S 8=1-281-2=255.9.已知在各项均为正数的数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),b n =1a n +an+1,记数列{b n }的前n 项和为S n ,若S n =3,则n 的值是( ) A.99B.33C.48D.92a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),∴数列{a n 2}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,∴a n 2=1+3(n-1)=3n-2.又a n >0,∴a n =√3n -2,∴b n =1an +a n+1=√3n -2+√3n+1=13·(√3n +1−√3n -2), 故数列{b n }的前n 项和S n =13[(√4−√1)+(√7−√4)+…+(√3n +1−√3n -2)]=13·(√3n +1-1).由S n =13(√3n +1-1)=3,解得n=33.故选B 10.已知数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n3(n ∈N *),则a n =( ) A.13n B.13n -1C.13nD.13n+1a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n 3,①a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=n -13(n ≥2),② ①-②,得3n-1a n =n3−n -13=13(n ≥2),∴a n =13n (n ≥2).由①得a 1=13,经验证也满足上式,∴a n =13n (n ∈N *).故选C .11.对于正项数列{a n },定义:G n =a 1+2a 2+3a 3+…+na nn为数列{a n }的“匀称值”.已知数列{a n }的“匀称值”为G n =n+2,则该数列中的a 10等于( ) A .83B .125C .94D .2110G n=a1+2a2+3a3+…+na n,G n=n+2,∴n·G n=n·(n+2)=a1+2a2+3a3+…+na n,∴n.故10×(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10;9×(9+2)=a1+2a2+3a3+…+9a9,两式相减得10·a10=21,∴a10=2110选D.12.在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则S100=()A.0B.1 300C.2 600D.2 602a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),当n=1时,得a3-a1=0,即a3=a1;当n=2时,得a4-a2=2.由此可得,当n为+a2=n.奇数时,a n=a1;当n为偶数时,a n=2×n-22所以S100=a1+a2+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50a1+(2+4+ (100)=2 600.=50+50×(100+2)2二、填空题(每小题5分,共20分)13.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为.,当n=1时,a1=S1=-7,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-9.而a1=2×1-9=-7.综上,a n=2n-9.,又因为n∈N*.由2n-9>0,得n>92故满足a n>0的n的最小值为5.14.已知在公差不为零的正项等差数列{a n}中,S n为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列.若a5=10,则S5=.{a n}的公差为d,则d>0.由lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,得2lg a2=lg a1+lg a4,则a22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.因为d>0,所以d=a1,a5=5a1=10,解得d=a1=2.故S5=5a1+5×4×d=30.215.若等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=0,S5=10,数列{b n}满足b1=0,且b n+1=a n+1+b n,则数列{b n}的通项公式为.{a n }的公差为d ,则{a 1+d =0,5a 1+10d =10,解得{a 1=-2,d =2.于是a n =-2+2(n-1)=2n-4.因此a n+1=2n-2.于是b n+1-b n =2n-2,b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=0+0+2+…+(2n-4)=n 2-3n+2,故数列{b n }的通项公式为b n =n 2-3n+2.n =n 2-3n+216.(2020·全国Ⅰ高考,文16)数列{a n }满足a n+2+(-1)n a n =3n-1,前16项和为540,则a 1= .n 为偶数时,有a n+2+a n =3n-1,则(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+(a 10+a 12)+(a 14+a 16)=5+17+29+41=92, 因为前16项和为540,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448.当n 为奇数时,有a n+2-a n =3n-1,由累加法得a n+2-a 1=3(1+3+5+…+n )-1+n2=34n 2+n+14,所以a n+2=34n 2+n+14+a 1,所以a 1+34×12+1+14+a 1+34×32+3+14+a 1+34×52+5+14+a 1+34×72+7+14+a 1+34×92+9+14+a 1+34×112+11+14+a 1+34×132+13+14+a 1=448,解得a 1=7.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列{a n }是等差数列,前n 项和为S n ,且满足a 2+a 7=23,S 7=10a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列,求k 的值.设等差数列{a n }的公差是d.根据题意有{a 1+d +a 1+6d =23,7a 1+7×62d =10(a 1+2d ), 解得{a 1=1,d =3.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-2. (2)由(1)得a 2=4,a k =3k-2,a k+5=3(k+5)-2, 由于a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列, 所以(3k-2)2=4[3(k+5)-2],整理得3k 2-8k-16=0,解得k=4(舍去k =-43). 故k=4.18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 2=S 2+12,a 3=2. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log 2a n +3,数列1b n b n+1的前n 项和为T n ,求满足T n >13的正整数n 的最小值.由题意知,2a 2=S 2+12,∴2a 2=a 1+a 2+12,得a 2=a 1+12.设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 3=2,∴2q =2q 2+12,化简得q 2-4q+4=0,解得q=2, ∴a n =a 3·q n-3=2·2n-3=2n-2.(2)由(1)知,b n =log 2a n +3=log 22n-2+3=n-2+3=n+1,∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2, ∴T n =1b1b 2+1b 2b 3+…+1b n b n+1=12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2). 令T n >13,得n2(n+2)>13,解得n>4,∴满足T n >13的正整数n 的最小值是5.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *),且a 3=15,a 2=3a 5.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =3a n a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .由2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *)可知数列{1a n}为等差数列.由已知得1a 3=5,1a 2=13·1a 5, 设其公差为d ,则1a 1+2d=5,1a 1+d=13(1a 1+4d),解得1a 1=1,d=2,于是1a n=1+2(n-1)=2n-1,整理得a n =12n -1.(2)由(1)得b n =3a n a n+1=3(2n -1)(2n+1)=32(12n -1-12n+1), 所以S n =32(1-13+13−15+…+12n -1−12n+1)=3n2n+1. 20.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n . (1)求a 1,a 2.(2)设c n =a n+1-2a n ,证明数列{c n }是等比数列.(3)求数列{n+12c n}的前n 项和T n .a 1=S 1,2a 1=S 1+2,∴a 1=S 1=2.由2a n =S n +2n ,知2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,∴a n+1=S n +2n+1,①∴a 2=S 1+22=2+22=6.①式知a n+1-2a n =(S n +2n+1)-(S n +2n )=2n+1-2n =2n ,即c n =2n ,∴cn+1c n=2(常数). ∵c 1=21=2,∴{c n }是首项为2,公比为2的等比数列.c n =2n ,∴n+12c n=n+12n+1.∴数列{n+12c n}的前n 项和T n =222+323+424+…+n+12n+1,12T n =223+324+…+n 2n+1+n+12n+2,两式相减,得12T n =222+123+124+125+…+12n+1−n+12n+2=12+123×(1-12n -1)1-12−n+12n+2=34−12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2.∴T n =32−n+32n+1. 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +12n 2+32n-2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n ={1(a n -1)(a n +1),n 为奇数,4·(12)a n,n 为偶数,且数列{b n }的前n 项和为T n ,求T 2n .由于S n =a n +12n 2+32n-2,所以当n ≥2时,S n-1=a n-1+12(n-1)2+32(n-1)-2,两式相减得a n =a n -a n-1+n+1,于是a n-1=n+1,所以a n =n+2. (2)由(1)得b n ={1(n+1)(n+3),n 为奇数,(12)n ,n 为偶数,所以T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =(b 1+b 3+…+b 2n-1)+(b 2+b 4+…+b 2n ).因为b 1+b 3+…+b 2n-1=12×4+14×6+16×8+…+12n×(2n+2)=14[11×2+12×3+…+1n×(n+1)]=14(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=n 4(n+1),b 2+b 4+…+b 2n =(12)2+(14)4+…+(12)2n =14[1-(14)n ]1-14=13[1-(14)n],于是T 2n =n4(n+1)+13[1-(14)n].22.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足3(n+1)a n =na n+1(n ∈N *),且a 1=3. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和; (3)若a nb n=2n+3n+1,求证:56≤1b 1+1b 2+…+1b n<1.3(n+1)a n =na n+1,所以an+1a n=3(n+1)n(n ∈N *), 则a2a 1=3×21,a 3a 2=3×32,a 4a 3=3×43,……a n a n -1=3×n n -1,累乘可得an a 1=3n-1×n. 又因为a 1=3,所以a n =n×3n (n ∈N *).{a n }的前n 项和为S n ,则S n =1×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n ,①3S n =1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n +n×3n+1,② ①-②,可得-2S n =3+32+33+…+3n -n×3n+1=3(1-3n )1-3-n×3n+1=32(3n -1)-n×3n+1 =(12-n)×3n+1-32. 所以S n =(n 2-14)×3n+1+34.因为an b n=2n+3n+1, 所以1b n=2n+3n+1×1n×3n =2n+3n (n+1)×13n=3(n+1)-nn (n+1)×13n =(3n -1n+1)×13n =1n ×13n -1−1n+1×13n , 则1b 1+1b 2+…+1b n=(1×13-12×131)+(12×131-13×132)+…+(1n×13n -1-1n+1×13n )=1-1n+1×13n .因为n ∈N *,所以0<1n+1×13n≤16,即56≤1-1n+1×13n <1, 于是56≤1b 1+1b 2+…+1b n <1.。
高中数学第二章数列训练卷(一)新人教A版必修5(2021年整理)
2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修51 / 1312018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修5的全部内容。
数列（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在数列{}na中，12=a，1=221n na a＋＋,则101a的值为( ）A．49 B．50 C．51D．522．已知等差数列{}na中,7916a a+=，41a=，则12a的值是（ ) A．15 B．30 C．31D．643．等比数列{}na中，29a=，5243a=，则{}n a的前4项和为( ）A．81 B．120 C．168D．1924．等差数列{}na中，12324a a a++=-，18192078a a a++=，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200D．2205．数列{}na中,37 ()na n n+=∈N－，数列{}n b满足113b=,1(72)2n nb b n n+≥=∈N－且,若logn k na b+为常数，则满足条件的k值（）A．唯一存在,且为132 / 1323 / 133B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（ ） A ．8 B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列,其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2 B ．1或2- C．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于( ) A ．3:4 B ．2:3 C．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ,9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（ ）A ．1514B ．1213C．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( ） A ．21 B ．20 C．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X =--C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13,22，31，14,23，32，41，…，则56是数列中的（ ） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上）1311的等比中项是________．4 / 13414．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， 则公差为______．15．“嫦娥奔月,举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >，9910010a a ->,99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<;②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．（填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-,60a =．（1)求{}n a 的通项公式；(2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．5 / 13518．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列,且13a =，39a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；6 / 136(2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分)在数列{}n a 中，11a =,122n n n a a =+＋． （1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．7 / 13721．(12分）已知数列{}n a 的前n项和为n S ,且11a =,11,2,1(,)23n n a S n +==． (1）求数列{}n a 的通项公式； (2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．8 / 13822．（12分)已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ,它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++,并且2a ，4a ,9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；(2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）答 案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋,∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ． 2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==,44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B 【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭, ∵log n k n a b +是常数,∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ．6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=,∴2464a =, ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-,即24442a a q a q =-,而40a ≠，∴220q q --=,1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ．8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--， 故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅,所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =．所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时,n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =,2n S Y =，3n S Z =． 又∵{}n a 是等比数列,∴n S ,2n n S S －，32n n S S －为等比数列, 即X ,Y X -,Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--， 即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个,…，第n 组n 个，即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭,123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个,其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±． 14．【答案】4- 【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ,3a ,…，n a ， 则数列{}n a 是首项12a =,公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中,29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误．④中,()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2)()413n n S =－． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =， ∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-,2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-． （2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-,18b =-,∴824q -=-，3q =．∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-．【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩, 解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-,或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】(1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ． 由13a =,39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+,则1d =． 所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+． （2)证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----．20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+．【解析】（1）证明由已知122n n n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解由（1）知，n b n =,12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得:()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩;（2)见解析． 【解析】（1)解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=．∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列． 又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩． （2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；(2)22186n T n n -=-． 【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，① ∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++， 解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．② ①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=． 而数列{}n a 的各项均为正数,∴13n n a a --=．当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=， 此时2249=a a a 成立；当12=a 时,23=(3=11)n a n n +--,此时2249=a a a 不成立,舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ． （2)212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=-- 242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-．。
2018版高中数学(人教a版)必修5同步练习题：必修5 第2章 章末综合测评.docx
章末综合测评（二）（时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）A 1丄丄丄… •丄，2，3，4，B.—1,2, —3,4,…C._1, —Q,—二，—…D.1, \[2,羽，…，&【解析】A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列.【答案】C2.已知数列｛©”｝是首项＜?1=4,公比qHl的等比数列，且4Q”a5,—2如成等差数列，则公比q等于（）A.|B. -1C. -2D. 2【解析】由已知，2Q5=4QI—2a3,即—2aiq~,所以一2 = 0,解得q2=l,因为q知,所以q= — l.【答案】B3.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6 个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是（）A. 33个B. 65 个C. 66 个D. 129 个则二一即a n~l = l-2n~l , a…=2n_1 + L ay = 65.【答案】B4.等比数列⑺”｝的通项为a n=2-3n-\现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列｛b n｝,那么162是新数列｛%｝的()A.第5项B.第12项C.第13项D.第6项【解析】162是数列⑺”｝的第5项，贝1J它是新数列｛%｝的第5 + (5-l)X2 = 13项.【答案】C5.已知数列仏”｝的前"项和S”= Q"T(Q HO),则｛a”｝( )A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】TS”= Q"—l(aHO),Si, 71= 1,—]s”一s”—1，心2,[a—1, n = \,卩""一(Q—1)Q"T, "22,当Q=1时，a…=0,数列｛Q”｝是一个常数列，也是等差数列；当Q HI时，数列⑺”｝是一个等比数列.【答案】C6.等差数列｛Q”｝的公差不为零，首项Ql = l, 02是Q1和05的等比中项，则数列的前10项之和是()A. 90B. 100【解析】设公差为d,.•.(1 + 疔=1><(1+4〃)，TdHO,:.d=2,从而5io=lOO.【答案】B7.记等差数列⑺”｝的前"项和为S”，若S2=4, S4 = 20,则该数列的公差〃= ( )A. 2B. 3C. 6D. 7【解析】S4—$2=03+04=20—4= 16,•I Q3 + Q4 — S2 =(Q3 — °1) + (°4 — °2)=4〃=16—4=12,：・d=3.【答案】B8.已知数列⑺”｝满足01 = 5, a n a n+i=2n,则養=()A. 2B. 4C. 5D.|%+1【解析】依题意得小"即警=2,数列0,的，05, 07,…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此f=4.【答案】B9.在数列｛Q“｝中，QI =2,2Q〃+I—2砌=1,则Qioi 的值为( )A. 49B. 50C・ 51 D. 52【解析】2a n+i—2a n— 1,・_ =丄・・Q〃+1 U-n °,...数列｛＜?”｝是首项01 = 2,公差的等差数列，Qioi = 2+㊁(101 — 1)= 52.【答案】D10.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：则第七个三角形数是(D. 30【解析】法—:• Q] = l,。
2018-2019学年高中数学第二章数列训练卷(二)新人教A版必修5
百度文库 - 让每个人平等地提升自我1 数列（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定3．已知数列{}n a 的通项公式是31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则23a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．84．已知0a b c <<<，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．以上都不对5．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则611aa 等于（ ）A ．6B ．23C ．16 D ．326．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．(),01),(-∞∞+C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞ 7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（ ） A ．65 B ．65- C ．25 D ．25- 8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S C ．11S D ．10S 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-，则x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．12 D ．12- 10．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 11．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位) （ ） A ．14 m B ．15 m C ．16 m D ．17 m 12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（ ） A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，160S >，170S <则当n =________时，n S 最大． 16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=， 则101102200()lg x x x +++=________．百度文库 - 让每个人平等地提升自我2三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．百度文库 - 让每个人平等地提升自我319．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b Sn c =+，求非零常数c ．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．百度文库 - 让每个人平等地提升自我421．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于百度文库- 让每个人平等地提升自我4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?51 2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（二）答 案一、选择题1．【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ．2．【答案】B【解析】由题意得，41230a a +=-<，41210a a ⋅=>，∴40a <，120a <．∴80a <，又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ．3．【答案】C【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ，∴2320=a a ．故选C ．4．【答案】C【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =． 又∵()log log log 2log log log log 112n n c b n n a a c ac b n n n==+=+=， ∴log log g 1l 12o c b a n n n=+．故选C ．5．【答案】B【解析】∵492116a a a a ==⋅，又∵495a a +=，且1n n a a <＋，∴42a =，93a =，∴45932a a q ==， 又6151123a q a ==．故选B ．6．【答案】C【解析】设等比数列的公比为q ，则22313124S q q q ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==．∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选C ．7．【答案】D【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =， ∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠． 又∵()3311131a q S q -==-，231a a q =，解得13q =． ∴3333133n n n n a a q --⎛⎫= ⎪⎝⎭==－，∴3log 3n n b a n ==-． ∴12b =，107b =-．∴()()11010101052522S b b +⨯-===-．故选D ． 8．【答案】B 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=，所以20210a a +=，又10a >，0d <，故200a >，210a <， 所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C 【解析】1116a S x ==-， 221113266a S S x x x --+===-，3321136669a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =．故选C ． 10．【答案】A 【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知，116562259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ∴1427127a d =-⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ． 解法二：由等差数列性质知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列， 设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=，∴227D =，2 ∴15952661159927S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ．11．【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列， 则()126041260480 3.141507.2152l d d d cm m +=ππ+ππ⨯=+⨯6=≈+＝，故选B ．12．【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-，∵1n n n b a a =-＋．∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－ ()7654321176278332b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=+=．故选B ．二、填空题13．【答案】218【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =， ∴31682q ==--，∴2q =-．又451a a q =，∴121168a -==-，∴()()666111212181128S a q q ⎡⎤----⎣⎦===-+．14．【答案】15【解析】设等差数列公差为d ，则3113233233S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，① 又161656615242d d S a a ⨯=+=+=，即1258a d +=．②联立①②两式得11a =-，2d =，故91818215a a d =-+⨯==+．15．【答案】8 【解析】∵()()()116168911717916802171702a a S a a a a S a ⎧+==+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >， ∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102 【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列， 所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅， 故101102200l (g )102x x x ++=+． 三、解答题 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值． 【答案】（1）32n a n =-；（2）4． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=． （2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =，3 ∴正整数k 的值为4．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．【答案】（1）2n a n =+；（2）2101．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩． 所以1)2(1n a a n d n -=++=．（2）由（1）可得2n n b n =+．∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c =+，求非零常数c ．【答案】（1）43n a n =-；（2）12-．【解析】（1）{}n a 为等差数列，∵342522a a a a +=+=，又34117a a ⋅=，∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根．又公差0d >，∴34a a <，∴39a =，413a =．∴1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩， ∴43n a n =-． （2）由（1）知，()211422n n n S n n n -⋅+⨯=-=， ∴22n n S n c n c n n b ==-++， ∴111b c =+，262b c =+，3153b c =+， ∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴12c =-(0c =舍去)． 20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ， 求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值． 【答案】（1）21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －， ∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥． 11111333a S ==，211433a a =≠． ∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列， ∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩． （2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列，4 ∴24621161393161167919n n n a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；（2）233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，消去d ，得42280q q --=．又因为0q >，解得2q =，2d =．所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．（2）由（1）有1)1(22n n c n =－－，设{}n c 的前n 项和为n S ，则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++，123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++⨯+，两式相减，得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++---=． 所以233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 【答案】（1）2018年底；（2）2014年底． 【解析】（1）设中低价房面积构成数列{}n a ， 由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =， ∴()2125050252252n n n S n n n -+⨯+==， 令2252254750n n +≥， 即291900n n -≥+， 解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥． 故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2． （2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ． 由题意知{}n b 为等比数列，1400b =， 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=， 令0.85n n a b >， 即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =． 故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．。
2018_2019学年高中数学第二章数列测评A含解析新人教A版必修5
第二章数列测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等比数列{a n}中,如果a6=6,a9=9,那么a3为( )A.4B.C.D.2解析:由=a3·a9,得a3=4.答案:A2.数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a4等于( )A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3.在等差数列{a n}中,其前n项和为S n,S10=120,则a1+a10的值是( )A.12B.24C.36D.48解析:S10==120,解得,a1+a10=24.答案:B4.设a n=-n2+10n+11,则数列{a n}前n项的和最大时n的值为( )A.10B.11C.10或11D.12解析:由a n≥0,得-n2+10n+11≥0,即1≤n≤11.又a11=0,∴前10项或前11项和最大.答案:C5.已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2,且S5=30,则S8=( )A.31B.32C.33D.34解析:设等差数列{a n}的公差为d,则有解得d=-,a1=,所以S8=8a1+d=8×+28×=32.答案:B6.等比数列{a n}的各项均为正,a3,a5,-a4成等差数列,S n为{a n}的前n项和,则等于( )A.2B.C.D.解析:设等比数列{a n}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=,∴q=,∴=1+q3=1+.答案:C7.如果f(n+1)=(n=1,2,3,…),且f(1)=2,则f(101)等于( )A.49B.50C.51D.52解析:∵f(n+1)==f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=,即数列{f(n)}是首项为2,公差为的等差数列.∴通项公式为f(n)=2+(n-1)×n+.∴f(101)=×101+=52.答案:D8.若数列{a n}满足a n+1=1-,且a1=2,则a2015等于( )A.-1B.2C.D.解析:∵a n+1=1-,a1=2,∴a2=1-,a3=1-2=-1,a4=1-=2.由此可见,数列{a n}的项是以3为周期重复出现的,∴a2015=a671×3+2=a2=.答案:D9.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,又数列是等差数列,则a11等于( )A.0B.C.D.-1解析:设数列{b n}的通项b n=,因为{b n}为等差数列,b3=,b7=,公差d=,∴b11=b3+(11-3)d=+8×,即得1+a11=,a11=.答案:B10.若数列{a n}是等差数列,a1>0,a2009+a2010>0,a2009·a2010<0,则使前n项和S n>0成立的最大自然数n是( )A.4017B.4018C.4019D.4020解析:由a2009+a2010>0,a2009·a2010<0及a1>0得a2009>0,a2010<0且|a2009|>|a2010|,∴S4017==4017a2009>0,S4018=>0,S4019==4019a2010<0,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.数列{a n}满足a n=4a n-1+3,a1=0,则此数列的第5项是.答案:25512.已知数列{a n}中,a n=2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前n项和S n=.解析:易知数列{a n}是等比数列,∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为6,公比为9.∴新数列前n项和S n=.答案:13.有三个数成等比数列,其和为21,若第三个数减去9,则它们成等差数列,这三个数分别是.解析:设三个数为a,b,c,由题意可知解得b=4,a=1,c=16或b=4,a=16,c=1.答案:16,4,1或1,4,1614.已知a n=2n-1(n∈N*),把数列{a n}的各项排成如图所示的三角数阵,记S(m,n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数,则S(10,6)对应数阵中的数是.13 57 9 1113 15 17 19……解析:设S(10,6)是数列{a n}中的第M个数,则M=1+2+3+…+9+6=+6=51,∴S(10,6)=a51=2×51-1=101.答案:10115.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+…+f(2009)+f+f+…+f=.解析:f(n)+f==1(n=2,3,4,…).又f(1)=,∴f(1)+f(2)+…+f(2009)+f+f+…+f=f(1)++…+=f(1)+2008=2008.5.答案:2008.5三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解:(1)设{a n}的公差为d.由题意,=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d),于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故a n=-2n+27.(2)令S n=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而S n=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.17.(6分)数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式a n.(1)证明:由已知可得,即+1,即=1.∴数列是公差为1的等差数列.(2)解:由(1)知+(n-1)×1=n+1,∴a n=.18.(6分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=S n(n=1,2,3,…).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)当b n=lo(3a n+1)时,求证:数列的前n项和T n=.(1)解:由已知(n≥2),得a n+1=a n(n≥2).∴数列{a n}是以a2为首项,以为公比的等比数列.又a2=S1=a1=,∴a n=a2×(n≥2).∴a n=(2)证明:b n=lo(3a n+1)=lo=n.∴.∴T n=+…++…+=1-.19.(7分)设S n为数列{a n}的前n项和,已知a1≠0,2a n-a1=S1·S n,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{na n}的前n项和.解:(1)令n=1,得2a1-a1=,即a1=.因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n≥2时,由2a n-1=S n,2a n-1-1=S n-1两式相减得2a n-2a n-1=a n,即a n=2a n-1.于是数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.因此a n=2n-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1. (2)由(1)知,na n=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为B n,于是B n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2B n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②得-B n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.从而B n=1+(n-1)·2n.。
2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章 数列2.5 Word版含答案
2.5 等比数列的前n 项和课时过关·能力提升基础巩固1已知数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 表示{a n }的前n 项和.若a 1=3,a 2a 4=144,则S 10的值是( ).A.511B.1 023C.1 533D.3 069 解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 2a 4=a 12q4=144. ∵a 1=3,∴32q 4=144.∵q>0,∴q=2.∴S 10=a 1(1-q 10)1-q =3(1-210)1-2=3 069.答案:D2等比数列1,x ,x 2,x 3,…的前n 项和S n 等于( ).A .1-x n 1-x B.1-x n -11-xC .{1-x n1-x ,x ≠1n ,x =1 D.{1-x n-11-x ,x ≠1n ,x =1解析:当x=0时,S n =1;当x=1时,S n =n ;当x ≠0,且x ≠1时,S n =1-x n1-x .又当x=0时,该式也满足,所以S n ={n ,x =1,1-x n1-x ,x ≠1.答案:C3设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q 等于( ).A.3B.4C.5D.6 解析:由题意,得3S 3-3S 2=(a 4-2)-(a 3-2),则3a 3=a 4-a 3,即a 4=4a 3,故q =a 4a 3=4. 答案:B 4已知等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,若S 3,S 9,S 6成等差数列,则q 3等于( ). A.−12B.1C.−12或1D.−1或12解析:∵S 3,S 9,S 6成等差数列, ∴S 3+S 6=2S 9,∴q ≠1,∴a 1(1-q 3)1-q +a 1(1-q 6)1-q =2a 1(1-q 9)1-q, 整理得2q 9-q 6-q 3=0.又q ≠0,∴2q 6-q 3-1=0,解得q 3=1(舍去)或q 3=−12,∴q3=−12.答案:A 5已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于 .解析:设数列{a n }的公比为q ,由已知条件可得{a 1+a 1q 3=9,a 12q 3=8,解得{a 1=8,q =12或{a 1=1,q =2, 因为{a n }是递增的等比数列,所以{a 1=1,q =2.所以{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列, 故S n =2n -1.答案:2n -1。
2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章 数列2.2.1 Word版含答案
这与{an}为等差数列矛盾.
所以不存在λ,使数列{an}是等差数列.
∴b15=6×15=90.
答案:C
4在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为().
A.24B.22C.20D.-8
解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,
∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,
∴5a8=120.∴a8=24.
∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.
(2)数列{an}不可能为等差数列.证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ.
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
分析转化为证明lgan+1-lgan是一个与n无关的常数.
证明设bn=lgan=lg7n+2=(n+2)lg7,
则bn+1=[(n+1)+2]lg7=(n+3)lg7,
则bn+1-bn=(n+3)lg7-(n+2)lg7=lg7为常数.
所以数列{bn}是等差数列,
即数列{lgan}是等差数列.
能力提升
1若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为().
2018_2019学年高中数学第二章数列学业质量标准检测新人教A版必修5
309教育网 309教育资源库 第二章 数列学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，若a n ＝2 017，则序号n 等于( D ) A ．667 B ．668 C ．669D ．673[解析] 由题意可得，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴2 017＝3n －2，∴n ＝673.2．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( B )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2 [解析] 由已知得：a 1q 2＝1，a 1q ＋a 1q 3＝52，∴q ＋q 3q 2＝52，q 2－52q ＋1＝0，∴q ＝12或q ＝2(舍)，∴a 1＝4.3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24[解析] 由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.4．(2018－2019学年山东寿光现代中学高二月考)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( B )A ．－4B ．－6C ．－8D ．－10[解析] 由题意，得a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )， ∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝－8.∴a 2＝a 1＋d ＝－8＋2＝－6.5．(2018－2019学年度山东日照青山中学高二月考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0且。
2018-2019学年高中数学 第二章 数列 专题2.4 等比数列试题 新人教A版必修5
2.4 等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．定义也可叙述为：在数列{}n a 中，若1(n na q q a +=为常数且0)q ≠，则{}n a 是等比数列． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么___________叫做a 与b 的等比中项．3．等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则这个等比数列的通项公式是1______(,0)n a a q =≠．4．等比数列与指数函数 （1）等比数列的图象等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1xa y q q=⋅的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），12n n a -=的图象如下图所示．（2）等比数列的单调性已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则 ①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是___________数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是___________数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． K 知识参考答案： 1．同一常数2．G3．11n a q- 4．递增 递减等比数列的判定与证明判断数列{}n a 是否为等比数列的方法： （1）定义法：判断1n na a +是否为常数； （2）等比中项法：判断11(,2)n nn n a a n n a a +-=∈≥*N 是否成立； （3）通项公式法：若数列{}n a 的通项公式形如(0)nn a tq tq =≠，则数列{}n a 是等比数列．（1）若{}n a 的通项公式为212n n a -=，试判断数列{}n a 是否为等比数列．（2）若,,,a b c d 成等比数列，,,a b b c c d +++均不为零，求证：,,a b b c c d +++成等比数列．【答案】（1）{}n a 是等比数列，证明见解析；（2）,,a b b c c d +++成等比数列，证明见等比数列的通项公式及应用（1）在等比数列{}n a中，若474,32,a a==则na=____________；（2）在等比数列{}n a中，已知253636,72,a a a a+=+=若1024na=，则n=____________．与q ，即可写出数列{}n a 的通项公式；（2）当已知等比数列{}n a 中的某项，求出公比q 后，可绕过求1a 而直接写出其通项公式，即(,)n mn m a a qm n -=∈*N ．等比数列的性质的应用若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===L L ①②若m n t p q r++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列． （4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为m q ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(k q 或2)k q 的等比数列．已知等比数列{}n a 满足0,n a >（1）若1237894,9,a a a a a a ==则456a a a =_____________； （2）若25253(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，3133321log log log n a a a -+++=L _____________．【答案】（1）6；（2）2n ．【解析】（1）方法1：因为31231322789798()4,()a a a a a a a a a a a a a ====389,a ==由递推公式构造等比数列求数列的通项公式（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101qa p-≠-时，数列{}1n qa p--是等比数列； ②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．（1）在数列{}n a 中，111,36,n n a a a +==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________；（2）在数列{}n a 中，1111,63,n n n a a a ++==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________．忽略等比数列中所有项不为零导致错误已知等比数列{}n a 的前三项分别为,22,33a a a ++，则a =_____________．【错解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．【错因分析】若1a =-，则,22,33a a a ++这三项为1,0,0-，不符合等比数列的定义． 【正解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．由于1a =-时，220,330a a +=+=，所以1a =-应舍去，故4a =-．【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去．忽略等比数列中项的符号导致错误在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，则19a a =_____________．【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件． 【正解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同．因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题目中的隐含条件．1．已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则b 的值为A ．3BC．D ．522．在等比数列{}n a 中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 A ．3 B ．4 C ．5D ．63．已知等比数列{}n a 为递增数列，若10a >，且212()3n n n a a a ++-=，则数列{}n a 的公比q =A ．2或12B ．2C ．12D ．2-4．已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b = A ．16 B ．8 C ．2D ．45．已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为A ．2B ．4C ．8D ．166．在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是 A．BC．D ．3±7．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为 A ．13B ．－7C ．－7或13D ．无法求解8．已知0a b c <<<，且,,a b c 是成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则下列关于log a n ，log b n ，log c n 的说法正确的是A ．成等差数列B ．成等比数列C ．各项的倒数成等差数列D ．以上都不对9．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++=____________．10．在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是_____________．11．在等比数列{}n a 中，572a a =，2103a a +=，则124a a =_____________． 12．已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则公比q =_____________，通项公式为n a =_____________．13．已知等比数列{}n a 中，2766a a +=，36128a a =，求等比数列{}n a 的通项公式n a ．14．已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中415a =．（1）求321,,a a a ；（2）求证：数列{1}n a +为等比数列．15．已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3()n an b n =∈*N ．（1）试判断{}n a 是何种数列； （2）若813a a m +=，求1220b b b L ．16．已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +=A ．B ．24C ．D ．4817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a aA ．24B ．25C ．26D ．2718．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且310119122e a a a a +=（e 为自然对数的底数），则12ln ln a a ++⋅⋅⋅+20ln a =A ．50B ．40C ．30D ．2019．各项均为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为，则27211log log a a +的值为A ．4B ．3C ．2D ．120．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则234a a a b b b ++=A ．24B ．25C ．26D ．8421．在等比数列{}n a 中，27a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则21n a +=____________．22．已知数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，则n a =_____________． 23．已知1,,,4a b --成等差数列，1,,,,4m n t --成等比数列，则b an-=______________． 24．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =． （1）求n a 与n b ； （2）求和：12111nS S S +++．25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在数列{}n b 中，11b a =，1(2)n n n b a a n -=-≥，且n n a S n +=．（1）设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； （2）求数列{}n b 的通项公式．26．（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为 ABC．fD．27．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年28．（2017北京理）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =______________． 29．（2017新课标全国Ⅲ理）设等比数列{}n a 满足a 1+a 2=–1,a 1–a 3=–3，则a 4=______________．30．（2018新课标全国Ⅰ文）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．31．（2016新课标全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，21(21)n n n a a a +---120n a +=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．1．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ．由题意得，215b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以b =B ．2．【答案】C【解析】根据等比数列通项公式11n n a a q-=⋅有1111()3222n -=⋅，解得5n =，故选C ．5．【答案】B【解析】由题意得246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，所以91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B ． 6．【答案】B【解析】由48,a a 是方程2430x x -+=的两根有484840,3a a a a +=>=，故48,a a 都为正数，而26483a a a ==，所以6a =，由于2640a a q =>，所以6a =，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，可设这三个数分别为aq，a ，aq ，则22222222739999191aa aq a q q a a a q q q ⎧⋅⋅==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎪++=⎩⎪⎩239a q =⎧⇒⎨=⎩或2319a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以3q =±或13q =±，故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1．故这三个数的和为13或－7．故选C ．9．【答案】−5【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=，∴15793log ()5a a a ++=-．10．【答案】149【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而461.49a q == 11．【答案】2或21【解析】由等比数列性质知57210=2a a a a =，又2103a a +=，所以21a =，102a =或22a =，101a =，所以1012422a a a a ==或21． 12．【答案】12 61()2n - 【解析】由题意得，3243332(2)2(2)288a a a a a a +=+⇒++=⇒=，所以2481208202a a q q q +=⇒+=⇒=或2（舍去），所以通项公式为3631()2n n n a a q --==．13．【答案】12n n a -=或82nn a -=．【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q ， 由题意得272727362766,66,2,64128128a a a a a a a a a a +=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或2764,2.a a =⎧⎨=⎩所以55722a q a ==或512，即2q =或12， 所以2122n n n a a q--==或22812n n n a a q --==．故等比数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或82nn a -=．14．【答案】（1）11a =，23a =，37a =；（2）见解析．【解析】（1）由121n n a a -=+及415a =知432115,a a =+= 解得,73=a 同理可得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 可得2211+=+-n n a a ，)1(211+=+-n n a a ，{1}n a +是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列．（2）因为120813a a a a m +=+=，所以1220a a a +++=L ()120202a a +=10m ，所以2012201210122033333a a a a a am b b b +++===L L L ．16．【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =， 所以222812610610()21224a a a q a q q a a +=+=+=⨯=，故选B ． 17．【答案】B【解析】等比数列}{n b 首项是1，公比是2，所以2342,4,8b b b ===，等差数列{}n a 的首项是1，公差是2，所以2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选B ． 18．【答案】C【解析】在等比数列中，q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，所以3310119121011101122e e a a a a a a a a +==⇒=，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201202191011ln()ln[()()()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10ln e 30a a ===，故选C ．19．【答案】B【解析】由4a 与14a的等比中项为4148a a =，所以27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ． 20．【答案】D【解析】等差数列{}n a 首项是1，公差是2，所以2343,5,7a a a ===，等比数列{}n b 首项是1，公比是2，所以23424635722284a a a b b b b b b ++=++=++=，故选D ． 21．【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而2211117777nn n n a q +-=⨯=⨯=． 22．【答案】31n -【解析】1132(2),2n n a a n a -=+≥=，1113(1),13n n a a a -∴+=++=，即数列{1}n a +是以3为首项、3为公比的等比数列，则nn a 31=+，即13-=nn a ． 23．【答案】12【解析】因为1,,,4a b --成等差数列，设公差为d ，所以4(1)141b a d ----===--，因为1,,,,4m n t --成等比数列，所以2(1)(4)4n =-⨯-=， 即2n =±，由于n 与1,4--同号，所以0n <，所以2n =-，所以1122b a n --==-． 24．【答案】（1）21n a n =+，18n n b -=；（2）32342(1)(2)n n n +-++． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则0d>，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=，依题意有23322(93)960,(6)64,S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩解得2,8d q =⎧⎨=⎩或6,5403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)，故32(1)21n a n n =+-=+，18n n b -=．（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+，所以121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++ 323.42(1)(2)n n n +=-++ 25．【答案】（1）见解析；（2）1()2nn b =．【解析】（1）因为n n a S n += ①，所以111n n a S n +++=+ ②，②−①得111n n n a a a ++-+=，所以121n n a a +=+， 所以12(1)1n n a a +-=-，所以11112n n a a +-=-，所以{1}n a -是等比数列．因为首项111c a =-，111a a +=，所以112a =，所以112c =-， 所以{}n c 是以12-为首项，12为公比的等比数列． （2）由（1）可知1111()()()222n n n c -=-⋅=-，所以111()2n n n a c =+=-．故当2n ≥时，111111111()[1()]()()()22222n n n n nn n n b a a ---=-=---=-=．又1112b a ==代入上式也符合，所以1()2n nb =．26．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以*1(2,)n n a n n -=≥∈N ， 又1a f =，则7781a a q f ===，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列．等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1*(0,)n n a q q n a +=≠∈N 或1*(0,2,)n n aq q n a n -≠≥∈=N ， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且*2123,()n n n a a a n n --≥∈=⋅N ，则数列{}n a 是等比数列．28．【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 29．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．30．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3）1·2n n a n -=．【解析】（1）由条件可得12(1)n n n a a n++=， 将1n =代入得214a a =，而11a =，所以24a =． 将2n =代入得323a a =，所以312a =． 从而11b =，22b =，34b =．31．【答案】（1）41,2132==a a ；（2）121-=n n a ． 【解析】（1）由题意得41,2132==a a ． （2）由02)12(112=---++n n n n a a a a ，得)1()1(21+=++n n n n a a a a ． 因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ， 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a ．。
2018-2019学年人教A版数学必修5第二章 数列单元综合测试题
绝密★启用前2018-2019学年人教A 版数学必修5第二章 数列单元综合测试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－ 2，2，－2 2，4；③x，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ． ①② B ． ①②③ C ． ①②④ D ． ①②③④ 2．数列1，－3，5，－7，…的一个通项公式为( ) A ． a n ＝2n －1 B ． a n ＝(－1)n ＋1(2n －1) C ． a n ＝(－1)n(2n －1) D ． a n ＝(－1)n(2n ＋1)3．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝16，a 4＝6，则公差d 的值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． －1 D ． －24．在等比数列{a n }中，已知a 3＝2，a 15＝8，则a 9等于( ) A ． ±4 B ． 4 C ． －4 D ． 165．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ． 10 B ． 16 C ． 20 D ． 246．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 47．在等比数列中，已知a 1a 83a 15＝243，则a93a 11的值为( )A ． 3B ． 9C ． 27D ． 818．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )…○…※※…○…A ． a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ． a n ＝3·2n C ． a n ＝3n ＋1 D ． a n ＝2·3n9．数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和为（ ）A ．2n －n －1B ．2n+1－n －2C ．2nD ．2n+1－n10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=−2018,S 20182018−S 20162016=2，则a 2＝( )A ． －2 016B ． －2 018C ． 2 018D ． 2 01611．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ． 1B ． －1C ．D ． 212．设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，有S 2n ＜3S n ，则q 的取值范围是（ ）A ． (0,1]B ． (0,2)C ． [1,2)D ． (0， 2)……○______班……○第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13． 2＋1与 2－1的等比中项是________．14．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________．15．在等差数列{a n }中，a 3＝－12，a 3，a 7，a 10成等比数列，则公差d 等于________． 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一次可使杂质含量减少13，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 三、解答题17．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81． （1）求a n ；（2）设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，b n ＝a n －30， (1)求通项公式a n ；(2)求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．19．购买一件售价为5 000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清．如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元)20．（13分）已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝（a n ＋1）2． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n {b n }的前n 项和为T n21．（2014•长安区校级三模）设数列{a n }的前n 项和为Sn ，且S n =4a n ﹣p ，其中p 是不为零的常数．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n }满足b n+1=b n +a n （n ∈N *），b 1=2，求数列{b n }的通项公式．22．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n +12＝S n ＋1＋S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =a 2n −1⋅2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案1．C【解析】【分析】根据等比数列定义判断即可.【详解】由等比数列的定义，知①②④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，属于容易题.2．B【解析】【分析】根据所给前几项，找到规律写出通项公式即可【详解】1，3，5，7，…是奇数列，通项公式a n＝2n－1，又因为偶数项为负，奇数项为正，故所求通项公式a n＝(－1)n＋1(2n－1)．【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，属于容易题.3．B【解析】【分析】利用等差数列性质可求a5，利用相邻两项的差即可求出.【详解】因为{a n}为等差数列，所以a2＋a8＝2a5＝16，解得a5＝8.所以d＝a5－a4＝8－6＝2.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的定义，属于中档题.4．B【解析】【分析】根据等比中项的性质即可求出.因为a 9是a 3和a 15的等比中项，又在等比数列中奇数项的符号相同，所以a 9＝ a 3a 15＝4. 【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项的性质，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式，即可求出. 【详解】 因为S 3＝3a 1＋3×22d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝4a 1＋4×32d ＝20.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 6．B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7⇒d ＝27．B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求出a 8，再根据等比中项性质，化简a 93a 11=a 9a 7a 11a 11=a 9a 7=a 82即可.【详解】因为a 1a 15＝a 82，所以a 85＝243＝35，所以a 8＝3，所以a 93a 11=a 9a 7a 11a 11=a 9a 7=a 82＝9.【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项性质的灵活运用，属于中档题. 8．D 【解析】 【分析】根据题意可得s n −1=32a n −3，两式相减即可得a nan −1=3，可证明数列为等比数列，从而写出【详解】由a n ＝S n －S n －1＝(32a n －3)－(32a n －1－3)(n≥2)，得a n a n −1=3，又a 1＝6，所以{a n }是以a 1＝6，q ＝3的等比数列，所以a n ＝2·3n. 【点睛】本题主要考查了根据递推关系求数列的通项公式，，属于中档题. 9．B【解析】因为根据题意可知，1+2+22+…+2n －1和等比数列的和，利用等比数列和等差数列的前n 项和得到和式为2n+1－n －2，选B. 10．A 【解析】 【分析】根据题意可知{S nn }为等差数列，从而可写出通项，求出s22，求出a 2.【详解】因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以{Sn n }为等差数列，且首项为－2 018.又因为S 20182018−S 20162016=2，所以公差为1，所以s22＝－2 018＋1＝－2 017.所以S 2＝a 1＋a 2＝－2017×2.即a 2＝－2 016. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式及前n 项和的概念，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】由题意可知a n ＋1－1＝λa n －2＝λ(a n −2λ)，根据{a n －1}是等比数列从而求出结果. 【详解】由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ(a n −2λ).由于数列{a n －1}是等比数列， 所以2λ＝1，得λ＝2.本题主要考查了等比数列的定义，及递推关系，属于中档题.12．A【解析】若q=1,则S2n=2na1<3na1=3S n,所以q=1符合要求;当q≠1时,<,若q>1,则可得q2n-3q n+2<0,即(q n-1)(q n-2)<0,即1<q n<2,而q>1不可能对任意n值都有q n<2,所以q>1不符合要求;当0<q<1时,可得(q n-1)(q n-2)>0,即q n<1,由于0<q<1,所以对任意n值都有q n<1,所以q<1符合要求.综合可得q的取值范围是(0,1].13．±1【解析】【分析】根据等比数列的等比中项即可求解.【详解】2＋1与2－1的等比中项是±(2+1)(2−1)=±1.【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，属于容易题.14．2n−1【解析】【分析】设公差为d，由a2＝1＋d，a3＝1＋2d，代入方程即可求出d，写出通项公式.【详解】设公差为d，则a2＝1＋d，a3＝1＋2d，代入a3＝a22－4得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝2或d＝－2(舍去)，所以a n＝2n－1.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于容易题.15．0或34【解析】【分析】根据等差数列通项知，a7＝a3＋4d，a10＝a3＋7d，再根据a3，a7，a10成等比数列即可求出d.由{a n }为等差数列，得a 7＝a 3＋4d ，a 10＝a 3＋7d ，又a 3，a 7，a 10成等比数列，所以a 72＝a 3a 10， 即(a 3＋4d)2＝a 3(a 3＋7d)，整理后，得12d ＝16d 2，解得d ＝0或d ＝34. 【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，等差数列的通项公式，属于中档题. 16．8 【解析】 【分析】设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a×(1－13)n，建立不等式，求解即可.【详解】设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a×(1－13)n.要使n 次过滤后杂质含量不超过0.1%，则2%×（23）na×100%≤0.1%，即（23）n≤120，n≥1+lg 2lg 3−lg 2=1+0.30100.4771−0.3010≈7.387 8，所以至少应过滤8次． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，指数不等式的解法，属于中档题.17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）因为是等比数列，所以可由得出关于首项和公比的方程组，解出和的值，进而得到的通项；（2）由可得的通项，再由等差数列的前项和公式求出．试题解析： （1）设的公比为，依题意得，解得因此，．（2）因为，所以数列的前项和=考点：1、等差数列的通项；2、等差数列前项和．视频18．(1)a n =4n −2 ； （2）−225.【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式，解方程组即可（2）分析数列的项符号的变化，知其所有负数项的和最小.【详解】(1)由a3＝10，S6＝72，得a1+2d=10,6a1+15d=72,解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，属于中档题.19．439元【解析】【分析】设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元，依次写出其余各期付款所生利息之和，求各期付款连同利息之和等于所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812即可求出.【详解】设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元；第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)10元；…第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)元；第十二期付款已没有利息问题，即为x元．所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811)＝x.又所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812， 于是有x ＝5 000×1.00812，所以x≈439元．答：每期应付款约439元． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项和公式，以及数列在实际问题中的应用，属于难题.20．（1）12-=n a n ；（2 【解析】试题分析：（1）属于常规的已知数列的前n 项和，求通项的问题，借助于⎩⎨⎧-=-11n n n s s s a 21≥=n n ，具体步骤，当1=n 时，1`1s a =求首项，当2≥n 时，令1-=n n ，然后两式相减，得到递推公式，d a a n n =--1常数，所以数列是等差数列，写通项．（2）根据上一问，求数列{}n b 的通项，取得采用裂项相消法求和．所以利用的公式试题解析：（1）因为（a n ＋1）2＝4S n ，所以S nSn ＋1所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1即4a n ＋1＝n n a a212-+＋2a n ＋1－2a n ，∴2（a n ＋1＋a n ）＝（a n ＋1＋a n ）（a n ＋1－a n ）．（4分） 因为a n ＋1＋a n ≠0， 所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由（a 1＋1）2＝4a 1，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1．（6分）（2）由（1）知b n∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n考点：1．已知n s 求n a ；2．裂项相消法求和． 21．（1）见解析； （2）见解析． 【解析】试题分析：（1）通过S n =4a n ﹣p ，利用a n =S n ﹣S n ﹣1，求出，利用等比数列的定义证明数列{a n }是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n }满足b n +1=b n +a n （n ∈N *），b 1=2，推出，利用b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）++（b n ﹣b n ﹣1），求数列{b n }的通项公式． 证明：（1）证：因为S n =4a n ﹣p （n ∈N *），则S n ﹣1=4a n ﹣1﹣p （n ∈N *，n≥2）， 所以当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=4a n ﹣4a n ﹣1，整理得．由S n =4a n ﹣p ，令n=1，得a 1=4a 1﹣p ，解得．所以a n 是首项为，公比为的等比数列． （2）解：因为a 1=1，则，由b n+1=a n +b n （n=1，2，），得，当n≥2时，由累加得b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1）=，当n=1时，上式也成立．考点：数列递推式；等比关系的确定．22．(1)a n=n(n∈N+)；（2）T n=(2n−3)⋅2n+1+6.【解析】【分析】（1）a＝S n＋1＋S n①，当n≥2时，a＝S n＋S n－1②，①－②得a－a＝a n＋1＋a n可推出a n＋1－a n＝1，即可求解（2）利用错位相减法求和即可.【详解】(1)因为a＝S n＋1＋S n，①所以当n≥2时，a＝S n＋S n－1，②①－②得a－a＝a n＋1＋a n，即(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)＝a n＋1＋a n，因为a n>0，所以a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}从第二项起，是公差为1的等差数列．由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，所以当n≥2时，a n＝2＋(n－2)×1，即a n＝n.③又因为a1＝1也满足③式，所以a n＝n(n∈N*)．(2)由(1)得b n=a2n−1⋅2a n＝(2n－1)·2n，T n＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④2T n＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤④－⑤得－T n＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，所以－T n＝2＋23(1−2n−1)1−2－(2n－1)·2n＋1，故T n＝(2n－3)·2n＋1＋6.【点睛】本题主要考查了数列前n项和S n与a n的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.。
2018-2019学年人教A版必修五 第二章 数列 章末检测试卷(二)
章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( ) A.5512 B.133C.4D.5 考点 数列的递推公式题点 由递推公式求项答案 A解析 a 3＝a 2＋1a 1＝3＋1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝4＋13＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝133＋14＝5512. 2.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A.1B.2C.3D.4考点 等差数列基本量的计算问题题点 等差数列公差有关问题答案 B解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A.1B.2C.4D.8考点 等比数列的性质题点 利用项数的规律解题答案 A解析 ∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝422＝1. 4.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题答案 C解析 ∵a 2＋a 8＋a 11＝(a 1＋d )＋(a 1＋7d )＋(a 1＋10d )＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )为常数，∴a 1＋6d 为常数.∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )也为常数. 5.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项的和S 11等于( )A.58B.88C.143D.176考点 等差数列前n 项和性质运用题点 等差数列前n 项和与中间项的关系答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88.6.等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A.81B.120C.168D.192考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题答案 B解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.7.数列{(－1)n ·n }的前2 017项的和S 2 017为( )A.－2 015B.－1 009C.2 015D.1 009考点 数列前n 项和的求法题点 并项求和法答案 B解析 S 2 017＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 016－2 017＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 016－2 017)＝(－1)＋(－1)×1 008＝－1 009.8.若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于() A.1或2 B.1或－2C.－1或2D.－1或－2考点 等差等比数列综合应用题点 等差等比基本量问题综合答案 C解析 由题意得2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，即(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.9.一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－6考点 等差数列基本量的计算问题题点 等差数列公差有关问题答案 C解析 由题意，知a 6≥0，a 7<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝23＋5d ≥0，a 1＋6d ＝23＋6d <0，∴－235≤d <－236.∵d ∈ ，∴d ＝－4.10.设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是() A.d <0B.a 7＝0C.S 9>S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值考点 等差数列前n 项和性质运用题点 等差数列前n 项和有关的不等式问题答案 C解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0，即S 9<S 5.11.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n 等于( )A.2n －1B.2n －1－1C.2n －1D.2(n －1)考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 A 解析 等式两边加1，a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.12.某人为了观看2018年世界杯足球赛，从2014年起，每年的5月1日到银行存入a 元的定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2018年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( )A.a (1＋p )4B.a (1＋p )5C.a p[(1＋p )4－(1＋p )] D.a p[(1＋p )5－(1＋p )] 考点 等比数列前n 项和应用题题点 等比数列前n 项和的应用题答案 D解析 设自2015年起每年到5月1日存款本息合计为a 1，a 2，a 3，a 4.则a 1＝a ＋a ·p ＝a (1＋p )，a 2＝a (1＋p )(1＋p )＋a (1＋p )＝a (1＋p )2＋a (1＋p )，a 3＝a 2(1＋p )＋a (1＋p )＝a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p )，a 4＝a 3(1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )4＋(1＋p )3＋(1＋p )2＋(1＋p )]＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]1－(1＋p ) ＝a p[(1＋p )5－(1＋p )]. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋ ，则实数 ＝ . 考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合答案 －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋ ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋ )－(3n －1＋ )＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n}为等比数列，所以a1＝3＋＝2，所以＝－1.14.如果数列{a n}的前n项和S n＝2a n－1，n∈N，则此数列的通项公式a n＝. 考点递推数列通项公式求法题点其他递推数列问题答案2n－1解析当n＝1时，S1＝2a1－1，即a1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2a n－1)－(2a n－1－1)，∴a n＝2a n－1，∴{a n}是等比数列，∴a n＝2n－1，n≥2，n∈N，经检验n＝1也符合.15.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是 .考点 等比中项题点 利用等比中项解题答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝a aq 2＝5－12. 16.定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个量，那么这个列叫作等差列，这个量叫作等差列的公差.已知向量列{a n }是以a 1＝(1,3)为首项，公差为d ＝(1,0)的等差向量列，若向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N )垂直，则x 5x 1＝ . 考点 数列综合问题题点 数列其他综合问题答案 827解析 易知a n ＝(1,3)＋(n －1,0)＝(n,3)，因为向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N )垂直，所以x n ＋1x n ＝－n 3，所以x 5x 1＝x 2x 1·x 3x 2·x 4x 3·x 5x 4＝⎝⎛⎭⎫－13×⎝⎛⎭⎫－23×⎝⎛⎭⎫－33×⎝⎛⎭⎫－43＝827. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意 ∈N ，S ＋2，S ，S ＋1成等差数列.考点 等差等比数列综合应用题点 等差等比数列其他综合问题(1)解 设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0，得q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)证明 方法一 对任意 ∈N ，S ＋2＋S ＋1－2S＝(S ＋2－S )＋(S ＋1－S )＝a ＋1＋a ＋2＋a ＋1＝2a ＋1＋a ＋1·(－2)＝0，所以对任意 ∈N ，S ＋2，S ，S ＋1成等差数列.方法二 对任意 ∈N ,2S ＝2a 1(1－q k )1－q ， S ＋2＋S ＋1＝a 1(1－q k ＋2)1－q ＋a 1(1－q k ＋1)1－q＝a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q， 则2S －(S ＋2＋S ＋1)＝2a 1(1－q k )1－q －a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q＝a 11－q[2(1－q )－(2－q ＋2－q ＋1)] ＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意 ∈N ，S ＋2，S ，S ＋1成等差数列.18.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N ，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .考点 数列前n 项和的求法题点 分组求和法解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n )＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23. 19.(12分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N )为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1. 考点 数列综合问题题点 数列与不等式的综合(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 20.(12分)某市2016年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制汽车总量，从2016年开始，每年电动型汽车牌照按50 增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.(1)记2016年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n }，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{b n }，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式.(2)从2016年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？考点 等差数列前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和的应用题解 (1)当1≤n ≤20且n ∈N 时，a n ＝10＋(n －1)×(－0.5)＝－0.5n ＋10.5； 当n ≥21且n ∈N 时，a n ＝0.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5n ＋10.5，1≤n ≤20且n ∈N *，0，n ≥21且n ∈N *. 而a 4＋b 4＝15.25>15，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·⎝⎛⎭⎫32n －1，1≤n ≤4且n ∈N *，6.75，n ≥5且n ∈N *.(2)当n ＝4时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝53.25. 当5≤n ≤21时，S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋…＋b n ) ＝10n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－12＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫3241－32＋274(n －4) ＝－14n 2＋17n －434， 由S n ≥200得－14n 2＋17n －434≥200， 即n 2－68n ＋843≤0，得34－313≤n ≤21.所以结合实际情况，可知到2032年累积发放汽车牌照超过200万张.21.(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N .(1)设b n ＝a n 2n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .考点 递推数列通项公式求法题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1， 又b 1＝a 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知，b n ＝n ，即a n 2n －1＝b n ＝n ， ∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1， 两边同时乘以2得 2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.22.(12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.考点 数列综合问题题点 数列与不等式的综合解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1，n ∈N . (2)设S m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a m， 若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝⎛⎭⎫13n －1， 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列. 从而S m ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而S m ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *)，故S m <1.综上，对任何正整数m ，总有S m <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1成立.。
2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列检测A(含答案)
第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是().A.1B.-1,2,-3,4,…C.-1,D.1解析:A项中数列是递减的无穷数列,B项中数列是摆动数列,D项中数列是递增的有穷数列.答案:C2若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a4等于().A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的().A.第20项B.第24项C.第25项D.第30项解析:a1=1×2=1×(1+1),a2=2×3=2×(2+1),a3=3×4=3×(3+1),a4=4×5=4×(4+1),…,a n=n(n+1),令n(n+1)=600,解得a=24或a=-25(舍去),即600是数列{a n}的第24项.答案:B4在等比数列{a n}中,若a2a3a6a9a10=32,A.4B.2C.-2D.-4解析:设公比为q,由a2a3a6a9a10=32,a6=2,所答案:B5若{a n}为等差数列,S n是其前n项和,且S11A解析:S11则a6a6=答案:B6若数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2,且S5=30,则S8等于().A.31B.32C.33D.34解析:设等差数列{a n}的公差为d,则解所以S8=8a1=8答案:B7若等比数列{a n}各项均为正,a3,a5,-a4成等差数列,S n为{a n}的前n项和,A.2 B解析:设等比数列{a n}的公比为q,则有q>0.∵a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q答案:C8已知等差数列{a n}的前n项和为S n,A.1 006B.1 008C.2 006D.2 008解析:∵A,B,C三点共线,∴a1+a2 016=1.∴S2 016008.答案:B9已知在数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1≥2),则数列{a n}的前9项和等于().A.20B.27C.36D.45答案:B10设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数A答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案:1012若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=,前n项和S n=.解析:由题意知q∵a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20,∴a1=2.∴S n答案:22n+1-213若数列{a n}的前20项由如图所示的程序框图依次输出的a值构成,则数列{a n}的一个通项公式a n=.解析:由题中程序框图知a1=0+1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,…,a n=a n-1+n,即a n=1+2+3+…+(n-1)+n答案:14已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a3+a5+…+a25=.解析:当n=1时,a1=S1=12+2×1-1=2;当n≥2时,S n-1=(n-1)2+2(n-1)-1=n2-2,所以a n=S n-S n-1=(n2+2n-1)-(n2-2)=2n+1.此时若n=1,则a n=2n+1=3≠a1,所以a n故a1+a3+a5+...+a25=2+(7+11+15+ (51)=2答案:35015中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.解析:由题意知,1 010为数列首项a1与2 015的等差中项,010,解得a1=5.答案:5三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列{a n}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项、公差及前n项和.解设该数列公差为d,前n项和为S n.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{a n}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列{a n}的前n项和S n=4n或S n17(8分)已知数列{a n}是等差数列,a2=6,a5=18;数列{b n}的前n项和是T n,且T n(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和T n.解(1)设数列{a n}的公差为d,由题意,解得a1=2,d=4.故a n=2+4(n-1)=4n-2.(2)当n=1时,b1=T1,由T1b1当n≥2时,∵T n∴T n=1∴T n-T n-1∴b n∴数列{b n}是.∴T n18(9分)已知首项∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=S n∈N*),求数列{T n}的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列{a n}的公比为q.因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2又数列{a n}不是递减数列且a1q=故等比数列{a n}的通项公式为a n(2)由(1)得S n=1当n为奇数时,S n随n的增大而减小,所以1<S n≤S1故0<S n≤S1当n为偶数时,S n随n的增大而增大,所≤S n<1,故0>S n≥S2综上,对于n∈N*,总≤S n所以数列{T n}最大项的值19(10分)已知{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项公式a n及S n;(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解(1)因为{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,所以a n=19-2(n-1)=-2n+21,即a n=-2n+21,S n=19n即S n=-n2+20n.(2)因为{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,所以b n-a n=3n-1,即b n=3n-1+a n=3n-1-2n+21,所以T n=b1+b2+…+b n=(30+a1)+(3+a2)+…+(3n-1+a n)=(30+3+…+3n-1)+(a1+a2+…+a n)20(10分)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)解(1)设数列{a n}的公比为q.由已知,q=2,或q=-1.又由S6=a1·q≠-1,所以a1·a1=1.所以a n=2n-1.(2)由题意,得b n即{b n}是首项1的等差数列.设数列{(-1)n项和为T n,则T2n=(+( =b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n。
最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(a卷)(附答案)
第二章 数列测评(A 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为A ．11 2B ．12 2C ．13 2D ．142 答案：C ∵a 1＝－2，d ＝2，∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．等比数列{a n }的首项a 1＝1002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．11答案：C a n ＝1002×(12)n －1<1⇒n>10，即等比数列{a n }前10项大于1，从第11项起小于1，故p 10最大．3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于 A ．64 B ．81 C ．128 D ．243答案：A 公比q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2.由a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3，得a 1＝1，a 7＝26＝64.4．设{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 6＝9，则这个数列的前6项和等于 A ．12 B ．24 C ．36 D ．48答案：B {a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，a 3＝3，a 6＝9.∴d ＝2，a 1＝－1，则这个数列的前6项和等于6(a 1＋a 6)2＝24.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于 A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400答案：B 设数列可记为1，－5,9，－13，…，393，－397.其奇数项与偶数项分别是公差为8，－8的等差数列．于是，S 100＝(1＋9＋13＋…＋393)－(5＋13＋…＋397)＝50×(1＋393)2－50×(5＋397)2＝－200.6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且2a 2，a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为A ．1＋32B ．1－32 C.1－52 D.5＋12答案：A 由2a 2，a 3，a 1成等差数列得2a 3＝2a 2＋a 1，∴2a 1q 2＝2a 1q ＋a 1，整理得2q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋32或q ＝1－32＜0(因等比数列各项都是正数，故舍去)．∴a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3q 2＋a 4q 2a 3＋a 4＝q 2＝(1＋32)2＝1＋32.7．(2009广东高考，理4)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于A ．n(2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 答案：C 由{a n }为等比数列，则a 5·a 2n －5＝a 1·a 2n －1＝22n ， 则(a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1)2＝(22n )n ⇒a 1·a 3·…·a 2n －1＝2n 2， 故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)＝n 2.8．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A 由a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2),2a n ＝a n ＋1＋a n －1，得a n 2＝2a n ，即a n ＝2或a n ＝0(舍去)，所以S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2.9．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是A ．i<4?B ．i<5?C ．i ≥5?D ．i<6? 答案：D 该程序的功能是求和∑i ＝1n1i(i ＋1)，由输出结果56＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，得n ＝5. 10．(2009山东潍坊高三第二次质检，11)已知函数f(x)＝log 2x 的反函数为f －1(x)，等比数列{a n }的公比为2，若f －1(a 2)·f －1(a 4)＝210，则2f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)等于A ．21004×2008B ．21005×2009C ．21005×2008D ．21004×2009答案：D 由题意，得f －1(x)＝2x ，故f －1(a 2)·f －1(a 4)＝4222aa ⋅＝210， ∴a 2＋a 4＝10，即2a 1＋8a 1＝10. ∴a 1＝1.则f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)＝log 2(a 1·a 2·…·a 2009)＝log 220＋1＋2＋…＋2008＝1＋20082×2008＝1004×2009.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．若等差数列{a n }中，a 1＋4a 7＋a 13＝96，则2a 2＋a 17的值是__________． 答案：48 ∵a 1＋4a 7＋a 13＝96，a 1＋a 13＝2a 7， ∴a 7＝16.∴2a 2＋a 17＝a 1＋a 3＋a 17＝a 7＋a 11＋a 3＝a 7＋2a 7＝3a 7＝48.12．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k(k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0，其中正确判断的序号是__________．答案：①④ 从定义可知，数列{a n }若构成“等差比数列”，则相邻两项不可能相等，所以①正确；而等差数列与等比数列均可能为常数列，就有可能不能构成“等差比数列”，所以②③错误；如数列为{2,0,2,0,2，0，…}，则能构成“等差比数列”，所以④正确．综上所述，正确的判断是①④.13．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a(a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26等于__________．答案：b 2a 由a 15＋a 16a 5＋a 6＝(a 5＋a 6)q 10a 5＋a 6＝b a ，则q 10＝ba ，则a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)(q 10)2＝a ×(b a )2＝b 2a.14．对于一切实数x ，令[x]为不大于x 的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f(n3)，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝__________.答案：3n 2－n 2 ∵f(x)＝[x]，∴a n ＝f(n 3)＝[n3]，n ∈N *.于是，S 3n ＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ) ＝(0＋0＋1)＋(1＋1＋2)＋…＋[(n －1)＋(n －1)＋n]＝1＋4＋…＋(3n －2)＝n[1＋(3n －2)]2＝3n 2－n 2.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009福建高考，文17)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .答案：解：(1)设{a n }的公比为q. 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n(－16＋12n －28)2＝6n 2－22n.16．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n(2n －1)(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn(n ∈N *)，试判定：是否存在自然数n ，使得b n ＝900，若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(2n －1)－(n －1)(2n －3)＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，适合． ∴a n ＝4n －3.∵a n －a n －1＝4(n ≥2)，∴{a n }为等差数列．(2)解：由(1)知，S n ＝2n 2－n ，∴S nn＝2n －1.∴b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.由n 2＝900，得n ＝30，即存在满足条件的自然数，且n ＝30.17．(本小题满分10分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .答案：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *. 又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n)＝4n －13＋n(n ＋1)2.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1S n.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝(9＋3d)q 2＝960，S 2b 2＝(6＋d)q ＝64.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n(n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 19．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝8，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n . ∴{a n }为等差数列．设公差为d ，则由题意，得8＝2＋3d ，∴d ＝2. ∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n.(2)∵b n ＝2n －1·2n ＝n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n)×2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。
2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列检测B(含答案)
第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列1,3,6,10,15,…的递推公式是().A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2C.a n+1=a n+(n+1),n∈N*,n≥2D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥2解析:a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,a5=a4+5,所以a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2.答案:B2若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于().A.1B.2C.4D.8解析:∵a3a11a n>0,∴a7=4.∴a5答案:A3已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C解析:由题意可{a n a n+1}是以q2为公比的等比数列.由a2=2,a5q所以a1=4,a1a2=8.所以T n答案:C4设等比数列{a n}的前n项和为S n,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是(). AC解析:由8a2+a5=0设数列{a n}的公比为q,则q3=-8,所以q=-2.所.答案:D5已知{a n},{b n}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于().A.18B.20C.21D.32解析:因为{a n},{b n}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即a5+b6=2(a3+b8)-(a1+b10)=2×15-9=21.答案:C6已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),a1a2a3=27,则数列{a n}的通项公式是().A.a n=3n+1B.a n=2·3n-1C.a n=3n-1D.a n=3n解析:由a1a2a3=27a2=3.因为S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),所以当n=1时,有S2=a1+a2=4a1,得a1=1,从而公比q=3,所以a n=a1q n-1=3n-1.答案:C7若某工厂月生产总值的平均增长率为q,则该工厂的年平均增长率为().A.qB.12qC.(1+q)12D.(1+q)12-1解析:设年初的生产总值为a,则年末的生产总值为a(1+q)12,所以年增长率答案:D8等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于().A解析:设数列{a n}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵当q≠1时,S3·q+10a1,q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1答案:C9设S n为等差数列{a n}的前n项和,(n+1)S n<nS n+1(n∈N*).A.S n的最大值是S8B.S n的最小值是S8C.S n的最大值是S7D.S n的最小值是S7解析:由(n+1)S n<nS n+1,得(n+1)·a n<a n+1,所以等差数列{a n}是递增数列.a8>0,a7<0,所以数列{a n}的前7项为负值,即S n的最小值是S7.答案:D10已知函数y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴的交点为A n,B n(n∈N*),若以|A n B n|表示A n,B n间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2 015B2 015|等于().AC解析:设交点A n,B n的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2因此|A n B n|=|x2-x1|故|A1B1|+|A2B2|+…+|A n B n|+|A2 015B2 015|答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在数列{a n}中,若a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),解析:当n=2时,a2a1=a1+(-1)2,得a2=2;当n=3时,a3a2=a2+(-1)3,得a3当n=4时,a4a3=a3+(-1)4,得a4=3;当n=5时,a5a4=a4+(-1)5,得a5所答案:12在数列{a n}中,若a2=4,a3=15,且数列{a n+n}是等比数列,则a n=.解析:设数列{a n+n}的公比为q,则q所以a n+n=(a2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-n.答案:2·3n-1-n13已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q,则q的取值范围是.解析:由题意可设三角形的三边分别因为三角形两边之和大于第三边,所以又a>0,q>0,解答案:14数列{a n}满足a n a n+1=2,且a2=1,若S n是数列{a n}的前n项和,则S31=.解析:∵a2=1,a n a n+1=2,∴a1=2,a3=2,a4=1,…,∴a n答案:4715若在下表所示的3×3正方形的9个空格中填入正整数,使得每一行都成等差数列,每一列都成等比数列,则标有*号的空格应填的数是.13*12解析:设标有*号的空格应填a,由于每一行都成等差数列,则第一行第二个数.又每一列都成等比数列,则第一列第二个数,则应6.根据每一行成等差数列,则第二行第二个数,且空格中的数都是正整数,则第二列第二个数a=4.1236a12答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d所以{a n}的通项公式为a n(2)由(1)知,b n当n=1,2,3时,1≤当n=4,5时,2≤当n=6,7,8时,3≤当n=9,10时,4≤所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.17(8分)已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,且a1=-1,S12=186.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n∈N*恒成立.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=-1,∴S12=-1×12解得d=3.∴a n=-1+3(n-1)=3n-4,∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-4.(2)证明b n当n≥2∴数列{b n}是等比数列,首项b1q∴T n n∈N*恒成立.18(9分)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|19(10分)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·解(1)设数列{a n}的公差为d.令n=1,a1a2=3.令n=2,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以a n=2n-1.(2)由(1)知b n=(a n+1)··22n-1=n·4n,所以T n=1·41+2·42+…+n·4n,所以4T n=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3T n=41+42+…+4n-n·4n+1·4n+1所以T n20(10分)正项数列{a n}的前n项和S n满足(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n∈N*,都有T n (1)解得[S n-(n2+n)](S n+1)=0.由于数列{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项a n=2n.(2)证明由于a n=2n,b n则b nT n。
2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章 数列2.1.2 Word版含答案
(方法二)∵an+1-an=ln
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=ln +ln 2+2
=l
=2+lnn.
答案:A
★ 5数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6=.
a4
(2)猜想:an
能力提升
1数
A.an ∈N*)
B.an ∈N*)
C.an+1 ∈N*)
D.an+1=2an(n∈N*)
解析:数列从第二项起,后一项是前一项 an+1 ∈N*).
答案:C
2由1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时,bn
A.9B.17
C.33D.65
解析:∵a1=1是自然数,
∴a2=a1-2=1-2=-1.
∵a2=-1不是自然数,
∴a3=a2+3=-1+3=2.
∵a3=2是自然数,
∴a4=a3-2=2-2=0.
∵a4=0是自然数,
∴a5=a4-2=0-2=-2.
∵a5=-2不是自然数,
∴a6=a5+3=-2+3=1.
答案:1
6已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 016=,a2 025=.
答案:B
5在正项数列{an}中,a1=1,a2=2, ≥2),则a6等于().
A.16B.8
人教A版高中数学必修五第二章检测试题.docx
第二章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( B )(A)2n(B)2n+1 (C)2n-1 (D)2n+1解析:由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,所以通项公式是a n=2n+1,故选B.2.数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1a n-1+1(n≥2),则a5的值为( C )(A)13(B)14(C)15(D)16解析:依题意a n>0且n≥2时,1a n =1+1a n-1,即1a n -1a n-1=1,∴数列{1a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴1a5=1+(5-1)×1=5,∴a5=15.故选C.3.(2014淄博高二期末)数列{a n }的通项公式a n =n 2+n,则数列｛1a n ｝的前10项和为( B )(A)910 (B)1011 (C)1110 (D)1211 解析:1a n =1n(n+1)=1n -1n+1, ∴S 10=11-12+12-13+…+110-111=1011.故选B. 4.(2014景德镇高二期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n =2a n -2(n ∈N +),则a n 等于( A ) (A)2n (B)2n+1 (C)2n +1 (D)2n +2解析:当n ≥2时,S n-1=2a n-1-2. ∴a n =2a n -2a n-1,∴a n a n -1=2. 又a 1=2, ∴a n =2n ,故选A.5.在等比数列{a n }中,若a 3a 5a 7a 9a 11=243,则a 92a 11的值为( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)9 解析:因为{a n }是等比数列, 所以a 3a 11=a 5a 9=a 72,因此a 3a 5a 7a 9a 11=a 75=243,解得a 7=3,又因为a 92=a 7a 11,所以a 92a 11=a 7=3.故选C. 6.(2014宿州质检)已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N *,则S 10的值为( D )(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110解析:由题意得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20.S10=10a1+10×9×(-2)=110.故选D.7.(2014南阳高二期末)已知等差数列{a n},前n项和用S n表示,若2a5+3a7+2a9=14,则S13等于( A )(A)26 (B)28 (C)52 (D)13解析:∵a5+a9=2a7,∴2a5+3a7+2a9=7a7=14,∴a7=2,=a7×13=26.故选A.∴S13=(a1+a13)×1328.(2014九江高二检测)一个只有有限项的等差数列,它的前5项和为34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于( D ) (A)22 (B)21 (C)19 (D)18解析:据题意知a1+a2+a3+a4+a5=34,a n-4+a n-3+a n-2+a n-1+a n=146,又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3=a5+a n-4,∴a1+a n=36.n(a1+a n)=234,又S n=12∴n=13,∴a1+a13=2a7=36,∴a7=18.故选D.9.已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1,a 3,a 4成等比数列,S n 为{a n }的前n 项和,则S 3-S 2S 5-S 3的值为( A ) (A)2 (B)3 (C)15(D)4 解析:设{a n }的公差为d,则依题意有a 32=a 1·a 4,即(a 1+2d)2=a 1·(a 1+3d),整理得a 1d+4d 2=0,由于d ≠0,所以a 1=-4d.故S 3-S 2S 5-S 3=a 3a 4+a 5=-2d -d=2.故选A. 10.已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和为S n ,且点P(a n ,a n+1)(n ∈N *)在直线x-y+1=0上,则1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n 等于( A )(A)2n (B)2 (C)n(n+1)2 (D)n 2(n+1)解析:依题意有a n -a n+1+1=0,即a n+1-a n =1,所以{a n }是等差数列,且a n =1+(n-1)=n,于是S n =n(n+1)2, 所以1S n =2n(n+1)=2(1n -1n+1), 所以11+12+13+ (1)=2(1-12+12-13+…+1n -1n+1) =2n n+1.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11.(2014浙江嘉兴模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=3a 3,a 10=14,则S 12= . 解析:由a 1+a 5=3a 3,得2a 3=3a 3, ∴a 3=0. 又a 10=14,∴S 12=12(a 1+a 12)2=12(a 3+a 10)2=6×14=84. 答案:8412.设等比数列{a n }的公比q=2,前n 项和为S n ,则S 4a 2= .解析:设{a n }的首项为a 1,则S 4=15a 1,a 2=2a 1,S 4a 2=152. 答案:15213.(2014青州高二检测)已知{a n }是等差数列,a 4=-20,a 16=16,则|a 1|+|a 2|+…+|a 20|= . 解析:a 16-a 4=12d=36, ∴d=3,a n =3n-32.∴当n ≤10时,a n <0,当n ≥11时,a n >0. |a 1|+|a 2|+…+|a 20|=-(a 1+a 2+…+a 10)+(a 11+a 12+…+a 20)=(a 20-a 10)+(a 19-a 9)+…+(a 11-a 1)=100d=300. 答案:30014.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,na n+1=S n +n(n+1),则{a n }的通项公式为 . 解析:∵na n+1=S n +n(n+1), ∴(n-1)a n =S n-1+n(n-1)(n ≥2) , ∴na n+1-(n-1)a n=S n +n(n+1)-S n-1-n(n-1) (n ≥2). ∵S n -S n-1=a n ,∴a n+1-a n =2(n ≥2),又当n=1时,a 2=S 1+2,即a 2-a 1=2, ∴对于所有正整数n 都有a n+1-a n =2,∴数列{a n }是等差数列,其中a 1=2,公差d=2, ∴a n =2n. 答案:a n =2n三、解答题(本大题共4小题,共50分) 15.(本小题满分12分)(2014济南历城高二期末)已知数列{a n }为等差数列,且a 3=5,a 7=13. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n =log 4b n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)设a n =a 1+(n-1)d,则{a 1+2d =5,a 1+6d =13,解得a 1=1,d=2.所以{a n }的通项公式为a n =1+(n-1)×2=2n-1. (2)依题意得b n =4a n =42n-1, 因为b n+1b n =42n+142n -1=16,所以{b n }是首项为b 1=41=4,公比为16的等比数列, 所以{b n }的前n 项和T n=4×(1−16n )1−16=415(16n -1).16.(本小题满分12分)(2014珠海高二期末)等差数列{a n }中,前三项分别为x,2x,5x-4,前n 项和为S n ,且S k =2550. (1)求x 和k 的值;(2)求T=1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n 的值. 解:(1)由4x=x+5x-4得x=2, ∴a n =2n,S n =n(n+1), ∴k(k+1)=2550得k=50. (2)∵S n =n(n+1),∴1S n =1n(n+1)=1n -1n+1, ∴T=(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=1-1n+1=n n+1. 17.(本小题满分12分)(2014菏泽高二期末)设数列{a n }为等差数列,且a 3=5,a 5=9;数列{b n }的前n 项和为S n ,且S n =2[1-(12)n ]. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)若c n =a n b n(n ∈N *),T n 为数列{c n }的前n 项和,求T n . 解:(1)数列{a n }为等差数列,则公差d=12(a 5-a 3)=2, 因为a 3=5,所以a 1=1.故a n =2n-1, 当n=1时,S 1=b 1=1,当n ≥2时,b n =S n -S n-1=2[1-(12)n ]-2[1-(12)n-1]=(12)n-1, 又n=1时,b 1=1适合上式,∴b n =(12)n-1. (2)由(1)知c n =a n n=(2n-1)·2n-1, ∴T n =1·20+3·21+5·22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)2n-1, 2T n =1·2+3·22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n , ∴-T n =1+2·21+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n=1+2×2(1−2n -1)1−2-(2n-1)2n =1-4+(3-2n)·2n , ∴T n =3+(2n-3)·2n . 18.(本小题满分14分)(2014广州高二期末)已知数列{a n }满足a 1=35,a n+1=3a n 2a n +1,n ∈N *. (1)求证:数列{1a n -1}为等比数列;(2)是否存在互不相等的正整数m,s,t,使m,s,t 成等差数列,且a m -1,a s -1,a t -1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m,s,t;如果不存在,请说明理由.解:(1)因为a n+1=3a n 2a n +1, 所以1a n+1=13a n +23. 所以1a n+1-1=13(1a n -1), 因为a 1=35,则1a 1-1=23, 所以数列{1n -1}是首项为2,公比为1的等比数列. (2)由(1)知,1a n -1=23×(13)n-1=23n , 所以a n=3n3n +2.假设存在互不相等的正整数m,s,t 满足条件, 则有{m +t =2s,(a s-1)2=(am -1)(a t -1).由a n=3n 3n +2与(a s -1)2=(a m -1)(a t -1),得(3s3s +2-1)2=(3m3m +2-1)(3t3t+2-1). 即3m+t +2×3m +2×3t =32s +4×3s . 因为m+t=2s,所以3m+3t=2×3s.因为3m+3t≥2√3m+t=2×3s,当且仅当m=t时等号成立,这与m,s,t互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数m,s,t满足条件.。
人教A版高中数学必修五第二章过关测试卷(.docx
第二章过关测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题6分，共48分）1.等差数列a 1,a 2,a 3,…, a n 的公差为d ，则数列ca 1,ca 2,…,ca n (c 为常数，且c ≠0)是（ ）A.公差为d 的等差数列B.公差为cd 的等差数列C.非等差数列D.以上都不对2.已知等比数列{a n }的前三项依次为1-a ,1+a ,4+a ,则n a 等于( )A. n⎪⎭⎫ ⎝⎛•324 B. n ⎪⎭⎫ ⎝⎛•234 C. 1324-⎪⎭⎫ ⎝⎛•n D. 1234-⎪⎭⎫ ⎝⎛•n 3.等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为（ ）A.2B.4C.6D.8 4.〈山东〉已知等比数列{a n }满足a 1=3,且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比等于（ ）A.1B. 1-C. 2-D.2 5.〈江西模拟〉若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且32613π=S ,则tan a 7的值为（ ）A. 3B. 3-C. 3±D. 33-6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{a n }满足02211273=+-a a a ,数列{b n }为等比数列，且b 7=a 7,则b 6b 8等于( )A.2B.4C.8D.167.〈全国Ⅰ理〉设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若21-=-m S ,S m =0,S m +1=3,则m 等于( )A.3B.4C.5D.6 8.各项都是实数的等比数列{a n }，前n 项和记为S n ,若S 10=10,S 30=70,则S 40等于（ ）A.150B. 200-C.150或200-D.400或50- 二、填空题（每题5分，共15分）9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1=1,则S 4= .10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,S 5=10,则S 7= .11.〈新定义题〉若数列{a n }满足k a a a a nn n n =-+++112(k 为常数)，则称{a n }为等比差数列，k 叫做公比差.已知{a n }是以2为公比差的等比差数列，其中a 1=1,a 2=2,则a 5= .三、解答题（12题10分，13题12分，14题15分，共37分） 12.〈全国大纲理〉等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知223S a =,且S 1, S 2,S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.13.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1 (n ∈N *),等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9.（1）分别求数列{a n },{b n }的通项公式; （2）设22++=n n n a b c (n ∈N*),求证c n +1＜c n ≤31.14.〈河南期中考〉已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且()n n S n a +=321对一切正整数n 成立.（1）求出数列{a n }的通项公式;（2）设n n a n b 3=,求数列{b n }的前n 项和B n .参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵01≠=--c d a a n n ，,∴()cd a a c ca ca n n n n =-=---11 (常数),∴数列{ca n }是公差为cd 的等差数列.2.D 点拨：由等比数列性质可得()()()4112+-=+a a a ,解得a =5.∴231515=-+=q ,∴a n =123·4-⎪⎭⎫ ⎝⎛n . 3.C 点拨：由()60424=+-a a S 得6031=+a a ,∴33142=++=a a a a q ,又60·21131=+=+q a a a a ,∴a 1=6.4.D 点拨：设等比数列的公比为q (q ≠0)，因为4a 1,2a 2,a 3成等差数列，所以4a 1+a 1q 2=4a 1q ,即0442=+-q q ,解得q =2.5.B 点拨：由等差数列前n 项和的性质得32613713π==a S ,则327π=a ,从而332tantan 7-==πa . 6.D 点拨：因为{a n }是等差数列，所以a 3+a 11=2a 7,所以已知等式可化为04277=-a a ,解得a 7=4或a 7=0（舍去），又{b n }为等比数列，所以b 6b 8=27b =16.7.C 点拨：∵{a n }是等差数列,21-=-m S ,0=m S ,∴21=-=-m m m S S a . ∵S m +1=3,∴311=-=++m m m S S a ,∴11=-=+m m a a d . 又02)2(2)(11=+=+=a m a a m S m m ,∴21-=a ,∴21·)1(2=-+-=m a m ,∴m =5.8.A 点拨：用性质：S m +n =S m +q m S n .由S m +n =S m +q m S n ,得S 30=S 20+q 20S 10=S 10+q 10S 10+q 20S 10，从而有061020=-+q q,∴q 10=2(310-=q 舍去).∴S 40=S 30+q 30S 10=70+23×10=150.故选A. 二、9.15 点拨：设{a n }的公比为q (q ≠0).∵4a 1，2a 2，a 3成等差数列，∴4a 1+a 3=4a 2，即4a 1+a 1q 2=4a 1q ,∴0442=+-q q ,解得q =2,∴()152121144=--⨯=S . 10.21 点拨：设{a n }的公差为d ,由题意知()⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯+=+.1021555,111d a d a 解得⎩⎨⎧==.0,11a d 故()212177717=-⨯+=d a S . 11.384 点拨：由21223=-a a a a 得83=a , 由22334=-a a a a 得484=a ,由23445=-a a a a 得3845=a . 三、12.解：设{a n }的公差为d .由223a S =,得2223a a =,故02=a 或32=a .由S 1，S 2，S 4成等比数列得4122S S S =, 又da S -=21，da S -=222,da S 2424+=，故()()()d a d a d a 2422222+-=-.若a 2=0，则222d d -=,所以d =0,此时S n =0,不合题意； 若a 2=3,则()()()d d d 212362+-=-,解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或12-=n a n .13.（1）解：由a n +1=2S n +1 ①得121+=-n n S a ②, ①－②得()112-+-=-n n n n S S a a ,∴a n +1=3a n .∴13-=n n a .∵6235==-d b b ,∴d =3，∴63-=n b n . （2）证明：因为a n +2=3n +1,b n +2=3n ，所以nn n nn c 3331==+， 所以c n +103211<-=-+n n n c ，所以c n +1＜c n ＜…＜311=c ， 所以c n +1＜c n ≤31.14.解析：对于（1）可以利用a n ，S n 的关系来得出数列{a n +3}是一个等比数列求出.对于(2)可以利用错位相减法. 解：（1）由已知得n a S n n 32-=,()13211+-=++n a S n n ,两式相减并整理得：a n +1=2a n +3，所以3+a n +1=2(3+a n ),又32111-==a S a ,∴a 1=3,可知3+a 1=6≠0,进而可知a n +3≠0，所以2331=+++nn a a ,故数列{3+a n }是首项为6，公比为2的等比数列，所以3+a n =3×2n ,即()123-=n n a .（2）n n n b nn n -=-=2)12(,设T n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n （1）， 则2T n =1×22+2×23+…+（n －1）2n +n ×2n +1（2）， 由（2）－（1）得T n ()()1111322122212222222++++-+=+---=+++++-=n n n n nn n n Λ.∴()()2)1(2123211+--+=++++-=+n n n n T B n n n Λ.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.数列,-,,-,…的一个通项公式为( D )(A)a n=(-1)n (B)a n=(-1)n(C)a n=(-1)n+1 (D)a n=(-1)n+1解析:由已知中数列,-,,-,…可得数列各项的分母为2n,分子为2n+1,又因为数列所有的奇数项为正,偶数项为负,故可用(-1)n+1来控制各项的符号,故数列的一个通项公式为a n=(-1)n+1,故选D. 2.若数列{a n}的前n项和S n=a n-,则数列{a n}的通项公式a n等于( B )(A)-2n (B)(-2)n (C)-4n (D)(-4)n解析:n≥2时,a n=S n-S n-1=a n--(a n-1-),即a n=-2a n-1.又S1=a1-,所以a1=-2,故{a n}是以-2为首项,-2为公比的等比数列,所以a n=(-2)n.故选B.3.在等比数列{a n}中,若a3a6=9,a2a4a5=27,则a2的值为( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)9解析:因为{a n}为等比数列,由等比数列的性质得a3a6=a4a5,又a2a4a5=27,a3a6=9,故a2==3.故选B.4.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于( B )(A)58 (B)88 (C)143 (D)176解析:S11====88.故选B.5.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a3=4,a8=14,则S10等于( A )(A)90 (B)120 (C)150 (D)180解析:在等差数列{a n}中,由a3=4,a8=14,得d===2,所以a1=a3-2d=4-4=0,所以S10=10×0+×2=90.故选A.6.求和:S n=+++…+结果为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得S n=+++…+=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1-)=.故选A.7.已知各项不为0的等差数列{a n},满足2a3-+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于( D )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:因为2a3-+2a11=0,所以=2(a3+a11)=4a7,又因为a7≠0,所以a7=4,所以在等比数列{b n}中,b6b8===42=16,故选D.8.若数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-n,则( B )(A)S n=2n+1-1 (B)a n=2n-1(C)S n=2n+1-2 (D)a n=2n+1-3解析:由S n=2a n-n,得a1=2a1-1,即a1=1.当n≥2时,有S n-1=2a n-1-(n-1),则a n=2a n-2a n-1-1,即a n=2a n-1+1,则a n+1=2(a n-1+1),因为a1+1=2,所以数列{a n+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,所以a n+1=2n,所以a n=2n-1,故选B.9.已知a,b,c成等比数列,a,x,b成等差数列, b,y,c也成等差数列,则+的值为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可得,b2=ac,x=,y=,所以+=+===2.故选B.10.设等差数列{a n}满足sin a4cos a7-cos a4sin a7=1,公差d∈(-1,0),当且仅当n=9时,数列{a n}的前n项和S n取得最大值,则该数列首项a1的取值范围为( C )(A)(,) (B)[,](C)(,) (D)[,]解析:因为sin a4cos a7-cos a4sin a7=1,所以sin(a4-a7)=1,因为a4-a7=-3d∈(0,3),a4-a7=2kπ+,k∈Z,所以-3d=,d=-.因为S n=na1+d=n2+(a1-)n,当且仅当n=9时,数列{a n}的前n项和S n取得最大值,所以8.5<-<9.5,化为<a1<,故选C.11.等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,若S n+1,S n,S n+2成等差数列,则公比q为( A )(A)-2 (B)1(C)-2或1 (D)2或-1解析:由题意知q≠1.设首项为a1 ,则2=+,解得q=-2,故选A.12.函数f(x)=log2,等比数列{a n}中,a2·a5·a8=8,f(a1)+f(a2)+…+f(a9)等于( A )(A)-9 (B)-8(C)-7 (D)-10解析:由a2·a5·a8=8得=8,所以a5=2.又f(x)=log2,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=log2+log2+…+log2=log2=log2 (a1a2·…·a9)-9log24=log229-18=9-18=-9.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设等比数列{a n}的公比q=,前n项和为S n,则= .解析:对于S4=,a4=a1q3,所以==15.答案:1514.已知等比数列{a n}的公比q=,且a1+a3+…+a199=180,则a2+a4+…+a200= .解析:因为等比数列{a n}的公比q=,且a1+a3+…+a199=180,则a2+a4+…+a200=q(a1+a3+…+a199)=×180=60.答案:6015.为了参加5 000 m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划:第1天跑5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m.李强10天一共要跑m.解析:将李强每一天跑的路程记为数列{a n},则a1=5 000 m,公差d=400 m.所以S10=10a1+×d=10×5 000+45×400=68 000(m).故李强10天一共要跑的路程为68 000 m.答案:68 00016.《张邱建算经》是我国古代数学著作,大约创作于公元五世纪,书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月,日织九匹三丈,问日益几何?”该题大意是:一女子擅长织布,一天比一天织得快,而且每天增加的量都一样,已知第一天织了五尺,一个月后,共织布390尺,问该女子每天增加尺.(一月按30天计)解析:设题中等差数列的公差为d,由题意,a1=5,n=30,S n=390,所以390=30×5+d,所以d=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共40分)17.(本小题满分10分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.解:(1)设{a n}的公比为q.由题设可得解得q=-2,a1=-2.故{a n}的通项公式为a n=(-2)n.(2)由(1)可得S n==-+(-1)n.由于S n+2+S n+1=-+(-1)n=2[-+(-1)n]=2S n,故S n+1,S n,S n+2成等差数列.18.(本小题满分10分)(2018·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.解:(1)设{a n}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n-9.(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,S n取得最小值,最小值为-16.19.(本小题满分10分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n+S n=1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=3+log4a n,设T n=|b1|+|b2|+…+|b n|,求T n. 解:(1)由a n+S n=1,得a n+1+S n+1=1,两式相减,得a n+1-a n+S n+1-S n=0.所以2a n+1=a n,即a n+1=a n.又n=1时,a1+S1=1,所以a1=.又=,所以数列{a n}是首项为,公比为的等比数列. 所以a n=a1q n-1=·()n-1=()n.(2)由(1)得b n=3+log4()n=3-=.当n≤6时,b n≥0,T n=b1+b2+…+b n=;当n>6时,b n<0,T n=b1+b2+…+b6-(b7+b8+…+b n)=-[(n-6)()+·(-)]=.综上,T n=20.(本小题满分10分)已知数列{a n}的首项a1=1,且a n+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等比数列;(2)设b n=-,求数列{b n}的前n项和S n.(1)证明:因为a n+1=,所以==+,所以-=-=(-),又a1-≠0,所以数列为以-=为首项,为公比的等比数列.(2)解:由(1)可得=+,所以b n=,所以S n=+++…+,①所以S n=++…++,②①-②得,S n=++…+-=-,解得S n=2-.。