一个新四维超混沌系统的计算机仿真及同步控制
一个新的四维超混沌系统的滞后同步及其Simulink仿真
自 适 应控 制方 法 ， 利 用误 差 系统 的状 态反 馈 量设 计控制 器 ， 在 通道有 无噪 声 的两种 情况 下 ， 实现 了该 系统 的滞后 同步 ， 同时辨识 出所 有 未知参数 ， 控制 器 的控 制 强度 也 可 以 自适 应 确 定。 最后 采 用 Ｓ ｉ ｍ ｕ ｌ ｉ ｎ ｋ 数 值 仿 真验 证 了理
ｆ ｅ ａ ｓ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓ ｔ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｙ． ｒ Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ａ ｄ ａ ｐ ｔ ｉ ｖ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ；ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ；ｎ ｕ ｍｅ ｉ ｒ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｌ ａ ｇ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｈ ｙ ｐ ｅ ｒ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ
第３ ０卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 ４月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｆ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｓ
Ｖ０ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ４ Ａｐ ｒ ． ２ ０１ ３
一
个 新 的 四 维 超 混 沌 系统 的 滞 后 同步及 其 Ｓ ｉ ｍ ｕ ｌ ｉ ｎ ｋ仿 真
柴秀丽 ， 孔庆梅 ， 董春晨
（ 河 南大 学
ａ ． 计 算机 与信 息工程 学 院 ； ｂ ． 图像 处理 与模 式识 别研 究所 ；Ｃ ． 土木建 筑 学院 ，河 南 开封 ４ ７ ５ ０ ０ ４ ）
摘
要 ：针 对一 个新 的 四维超 混沌 系统 ， 研 究 了它的 滞后 同步 和 参数 辨 识 问题 。基 于 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 稳 定性 定 理 和
一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步
一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步黄苏海;田立新【期刊名称】《电路与系统学报》【年(卷),期】2011(16)6【摘要】A new Chen-Qi-like four dimensional chaotic system is presented. The nonlinear characteristic of the new system versus the control parameters is illustrated by Lyapunov exponent, Lyapunov dimension, bifurcation diagrams and Poincare section etc. The results indicate that this new system has some similar characteristics to the Chen-Qi family, and presents some distinct nonlinear properties. A new nonlinear controller is designed based on the invariance principle of differential equations Riccati equations and LMI. With this method, the anti-synchronization of hyperchaotic systems can be achieved. Numerical simulation shows the feasibility and effectivenes of the proposed scheme.%提出了一个新的四维Chen-Qi-like混沌系统.通过计算该系统的时间序列的Lyapunov指数谱、Lyapunov 维数、分岔图、Poincaré截面图等分析了控制参数变化时,系统的非线性动力学特征.结果表明该新系统不但和Chen-Qi 系统族有类似的性质,而且又呈现不同的非线性特征.在微分方程不变性原理基础上,运用LMI技术和Riccati方程,设计了一类新的非线性反馈控制器,实现了超混沌系统的反同步.仿真结果验证了该方法的可行性和有效性.【总页数】9页(P66-74)【作者】黄苏海;田立新【作者单位】淮海工学院理学院,江苏连云港222005;江苏大学非线性科学研究中心,江苏镇江212013【正文语种】中文【中图分类】TP273;O231【相关文献】1.一个新超混沌系统的自适应反同步 [J], 周晟;唐驾时2.一个新四维超混沌系统及其混沌同步 [J], 祝泽华;祝峻;江浩;刘开明3.一个新超混沌系统的动力学分析及其电路实现 [J], 徐家宝;吴凤娇;黄心笛;赵嘉;王坤;宋芮4.新高次四维超混沌系统的广义反同步 [J], 郑莉;孙常春5.一个周期性强迫的四维超混沌系统的复杂动力学性质 [J], 陈熙统;鲍江宏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一个新超混沌系统全状态混合投影同步的实现与仿真
耦合部分线性系统 的研究指 出， 耦合 的主从系统状
态 下 的输 出不仅 相 位 是锁 定 的 ， 且各 对 应 状 态 的 而 振 幅还按某 一 比例 因 子关 系 演化 ， 混沌 同步 现 象 此 称为 投 影 同步 Ｊ最 近 ， ｕＭａｆｎ ． Ｈ ｎ ｇ等 研 究 并 ｅ 提 出了全状 态混合 投影 同步 Ｆ Ｈ Ｓ ｆｌｓ ｔ ｈｂ ｄ Ｓ Ｐ （ｕｌ ｔｅ ｙｒ ａ ｉ
第２ ６卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ ＲＩＹＯ Ｇ Ｔ Ｎ Ｕ Ｔ Ｙ Ｎ ｔａＳｉ ｃ） Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ ＦＨ Ｈ Ｄ ＳＲ （ ａ ｒ ｅ ｅ ＯＺ Ｔ Ｉ ｕｌｃｎ
Ｖ０ ＿ ６ Ｎ ． ｌ２ Ｏ ２
Ａｐ ． ２０１ ｔ １
２ １ 年 ４月 ０１
文章编号：０４— ４ ８ ２ １ ）２－ ０ ４一 ３ １０ １７ （ ０ １ ０ ０ ６ ｏ
个新超混沌 系统全状态 混合投影 同步的实现与仿真
一
方娜 ， 李辉
（ 州轻工 业学 院 软件 学 院，河 南 郑 州 ４ ０ ０ ） 郑 ５ ０ ２ 摘 要 ： 状 态反 馈 变量 引入 一个三 维混 沌 系统 ， 将 得到 了一 个超 混沌 系统 ， 于线性 系统 的稳 定判 定准 基 则， 对该 系统进 行 适 当的线性 分 离， 实现 了该超 混沌 系统 的全状 态混合投 影 同步． 值仿 真证 明 了该 数 方法 的有效性 ． 关键 词 ： 混 沌 系统 ； 超 线性 分 离 ； 混合投 影 同步 ； 数值 仿 真
一个新超混沌系统的电路仿真与设计_张坦通
・ 73・一个新超混沌系统的电路仿真与设计河南牧业经济学院信息与电子工程系 张坦通【摘要】本文在Lorenz混沌系统的基础上构造了一个新超混沌系统，对其进行了动力学性能分析，最后设计了一个与其对应的超混沌系统电路，利用Mulsitim软件进行了仿真与实验分析，验证了系统超混沌行为的存在。
【关键词】Lorenz混沌系统；动力学性能分析；Mulsitim软件1 引言混沌系统具有类随机性、对初始条件敏感性以及长期不可预测性等优越的性能，使其在保密通信、工程科学、社会经济学等领域有着广泛的应用前景，然而超混沌系统是一种尤为特殊的混沌系统，其动力学行为更加复杂，随机性更强，提高了低维混沌系统的通信保密性，为混沌理论应用提供了一个新的研究方向。
目前，还没有一套完整的理论来构造出超混沌系统，只是通过对系统动力学性能的分析，来判断系统的超混沌行为，本文是基于Lorenz混沌系统的动力学方程，通过引入反馈控制项，构造出一个新的超混沌系统，分析了系统的基本动力学特性，利用Mulsitim软件对其进行了电路仿真与设计。
2 一个新的超混沌系统Lorenz混沌系统：（1）其中当为系统为混沌状态。
在Lorenz混沌系统的基础上，引入了一个新的反馈控制量，并对其中的状态变量进行函数变换，构造了一个新的四维自治系统：（2）其中x，y，z，w是状态变量；a，c，r的取值与系统（1）相同，即，系统的动力学特性由参数b决定。
判定系统是否存在超混沌现象，需满足三个条件：（1）至少是四维的；（2）具有耗散性；（3）至少存在两个正的Lyapunov 指数，且所有Lyapunov指数之和小于零；首先系统满足条件（1）；其次检验系统的耗散性可通过观察相空间中的一个小体积元变分，而小体积元 V的变分又可以通过流的散度来决定，即：（3）由此可知系统满足条件（2）；最后为了研究参数变化对系统动力学性能的影响，可以通过观察随参数b变化的x变量的分岔图如图1所示，固定a，r，c的值（即），使参数b在（0 35]之间变化。
一个新超混沌系统的脉冲修正投影同步
一个新超混沌系统的脉冲修正投影同步程杰;张兰【摘要】考虑一个新超混沌系统的脉冲控制与修正投影同步，基于脉冲控制系统的稳定性理论，给出了脉冲修正投影同步的充分判据，由定理易知当同步比例因子α1，α2，α3，α4满足α21＝1，α2＝α1a3时所给同步方法无需添加控制器U，所以此方法可以看做是脉冲完全同步的推广。
%The impulsive control and modified projective synchronization of a new hyperchaotic system is investigated in this paper .Applying the impulsive theory ,some sufficient conditions for its asymptotic sta-bility via impulsive control are derived .It is easy to see by Theorem that if the scaling factors α1 ,α2 ,α3 ,α4 satisfied α21=1,α2=α1α3 ,then sys tems will achieve modified projective synchronization without con-trollers,which implies that the proposed synchronized method can be regarded as the generalization of the complete synchronization via impulsive control .【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】4页(P133-135,138)【关键词】超混沌系统;脉冲控制;修正投影同步【作者】程杰;张兰【作者单位】重庆师范大学数学学院，重庆401331;重庆师范大学数学学院，重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O415.5混沌同步在物理、保密通信、生物系统、神经网络等领域中有着广泛的应用前景．近年来，脉冲控制被广泛应用于混沌系统的稳定与同步［1－5］，该种控制方法有以下优点:控制器的设计较简单，控制装置所需成本低，控制时所需能量少等．然而，在有关脉冲同步的文献中大多数是考虑脉冲完全同步和投影同步．2007 年，Li［6］把完全同步和投影同步推广到修正投影同步．当修正投影同步中的同步比例因子α1，α2，a3，α4 分别取α1=α2=α3=α4=1 和α1=α2=α3=α4 时即为完全同步和投影同步．自1979 年以来一系列的超混沌系统被提出来，如超混沌Chen 系统、超混沌Lü 系统、超混沌Lorenz 系统等．2009 年，刘明华、冯久超［7］提出了一个新的超混沌系统:其中x1，x2，x3，x4 是状态变量，当参数a=35，b=3，c=35，而d∈(4．6，29．2］和d∈(33．5，53．7］时，系统(1)有两个正的Lyapunov 指数，是超混沌系统．本文对超混沌系统(1)进行脉冲控制后得到脉冲微分系统，然后运用脉冲比较系统方法，得到了脉冲修正投影同步的充分判据．1 基本定义与预备知识一个脉冲微分系统如下描述［8］:这里X∈Rn 是状态变量，f:R+×Rn→Rn 连续，Ui:Rn→Rn 是状态变量在时间瞬时τi 的改变换言之和分别定义为τi 前后的瞬时．{τi:i=1，2，…}满足当i→∞时．2 主要结果把方程(1)所刻画的混沌系统的线性部分与非线性部分分开，重写如下:这里x=(x1，x2，x3，x4)T，且:在脉冲同步构造模型中，驱动系统由(3)式确定，由于在离散时刻τi(i=1，2，…)，驱动系统的状态变量被传送到响应系统，因此响应系统的状态变量会经历一个瞬时的跳跃．所以受控的响应系统为:{τi:i=1，2，…}满足:这里ε 是一个给定的正常数．是同步误差，这里α1，α2，α3，α4 是同步因子，且其中U=(u1，u2，u3，u4)T 为控制器．设α=diag(α1，α2，α3，α4)．令φ(x，y)=φ(x)－αφ(y)，则:则脉冲投影同步的误差系统为:由于混沌系统的状态变量是有界的，因此存在正数Mi(i=1，2，3，4)使得|xi(t)|≤Mi，|yi(t)|≤Mi 对所有的t 成立，从而有如下定理．定理1 设是(AT+A)的最大特征值，d是矩阵(I+αB)T(I+αB)的最大特征值，如果存在常数ξ＞1 和在t≠τi 处可微的不增函数K(t)≥m＞0 满足:或者:则误差系统(8)的平凡解是渐近稳定的，也蕴含着系统(3)与(5)的脉冲修正投影同步是渐近稳定的．证明取Liapunov 函数V(t，e)=eTe，当t≠τi 时，有:当t=τi 时，有:由文献［9］可知系统(8)的渐近稳定性可由如下比较系统来判定:又因为其中，上述两不等式成立的原因是因为定理中的不定式(9)和(10)，因此由文献［9］中的相应定理可知系统(8)的平凡解是渐近稳定的．注1 :若令:则可得:这表明当同步因子α=diag(α1，α2，α3，α4)满足方程(12)时，不需要控制器U 也能够实现脉冲修正投影同步，从而本文所给方法可以看做是脉冲完全同步的推广(α4≠0)．注2:通过定理1，可估计出脉冲间隔Δ2 的上界:3 结论本文研究了一个新超混沌系统的脉冲控制与修正投影同步问题，在脉冲间隔变化的情况下得到了保证脉冲控制系统修正投影同步的充分判据，也可得到脉冲区间Δ的上界估计．参考文献:［1］ Yang T，Yang L B，Yang C M．Impulsive synchronization of Lorenz systems［J］．Phys Lett A，1997，226(6):349－354．［2］罗润梓．一个新混沌系统的脉冲控制与同步［J］．物理学报，2007(56):5655－5660．［3］ Zhao Y H，Yang Y Q．The impulsive control synchronization of the drive－response comples system［J］．Physics Letters A，2008，372:7165－7171．［4］ Liu G M，Ding W．Impulsive synchronization for a chaotic system with channel time delay［J］．Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16:958－965．［5］ Sun Jitao，Wu Qidi．Impulsive control for the stabiliztion and synchronization of Lure system［J］．Applied Mathematics and Mechanics，2004，25(3):291－296．［6］ Li G H．Modified projective synchronization of chaotic system ［J］．Chaos Solitons Fractals，2007，32:1786－1790．［7］ Liu Minhua，Feng Jiuchao．A new hyperchaotic system［J］．Acta Physica Sinica，2009，58(7):4457－4462．［8］ Lakshmikantham V，Bainov D D，Simeonov P S．Theory of Impulsive Differential Equations［M］．Singapore:World Scientific，1989．［9］ Sun J T，Zhang Y P，Wu Q D．Less conservative conditions for asymptotic stability of impulsive control systems［J］．IEEE TransAutomatic Contr，2003，48(5):829－831．。
一类新超混沌系统及其自同步
一类新超混沌系统及其自同步高智中【摘要】基于一个三维混沌系统构造了一个新的四维超混沌系统，利用系统的分岔图、Lyapunov指数谱图和相图分析方法研究了该系统的运动规律．根据线性系统稳定性定理，设计了一种非线性反馈控制器，实现了该超混沌系统的自同步，数值模拟结果验证了理论分析的正确性．%A new four-dimensional hyperchaotic system based on a three-dimensional chaotic system is built m the paper. The hyperehaotie system is analyzed by bifurcation diagram Lyapunov exponents spectrum diagram and phase diagram. According to the linear system stability theorem, we design a nonlinear feedback controller to achieve anti-synchronization of the hyperehaotie systems. Numerical simulation results verify that the theoretical analysis is correct.【期刊名称】《常熟理工学院学报》【年(卷),期】2011(025)008【总页数】4页(P31-34)【关键词】新超混沌系统;分岔图;Lyapunov指数谱;相图;稳定性定理;自同步【作者】高智中【作者单位】安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100【正文语种】中文【中图分类】O545由于超混沌系统有两个或两个以上正的Lyapunov指数，系统的动力学行为比一般混沌系统具有更强的随机性和更高的不可预测性，在混沌保密通信及信息安全等领域中具有更高的实用价值.因此，构建高维超混沌系统并实现高维系统的同步是当前非线性科学领域研究的热点课题，近年来取得了丰硕的成果[1-5].本文在文献[6]提出的新三维自治混沌系统的基础上构造了一个新的超混沌系统，利用系统的分岔图、Lyapunov指数谱图和相图分析方法研究了该系统的运动规律.然后利用非线性反馈控制法实现了该超混沌系统的自同步.由于其控制结构简单，易于操作，不仅可以应用于混沌控制，而且还可以应用于混沌同步.数值模拟结果验证了理论分析的正确性.文献[6]提出的新三维自治混沌系统，其状态方程可表示为：当a=5,b=90时，系统处于混沌状态.根据超混沌产生的必要条件[7]，在这个三维系统上增加一个非线性状态反馈控制器x4，并增加一个一阶微分方程，可得到如下的四维超混沌系统：式中，m为新引入的参数.Lyapunov指数是在混沌系统中定量地描述状态空间吸引子的相邻轨线收缩和扩张的量，是吸引子类型的有效判据.当选取参数a=5,b=90,m=3.4时，利用Wolf方法[8]数值计算系统的四个Lyapunov为λ1=0.7204,λ2=0.0579,λ3=-0.017,λ4=-5.7608，其中有两个正的Lyapunov指数，并且所有Lyapunov指数之和小于零，说明系统在这组参数下处于超混沌状态，此时系统的Lyapunov维数为3.1347，由于该系统的Lyapunov维数是分数维数，从而从另一方面验证了系统在这组参数下处于超混沌状态.因此所设计的四维系统的确是一个超混沌系统.非线性混沌动力系统的主要动力学特性可通过分岔分析和计算Lyapunov指数谱来分析.当固定参数a=5，b=90，系统变量x随m在[0,10]变化时的分岔图和Lyapunov指数谱图（为了将系统的第二根Lyapunov指数大于零的部分更加明显，这里略去了第四根Lyapunov指数曲线）如图1（a）和（b）所示.从图1可以观察到，系统一开始处于混沌态，随着m的增大，系统进入超混沌态，然后进入较窄的周期态，接着又进入拟周期态，最后进入稳定的周期一状态.图2（a-f）给出了x1-x3平面的六种典型的吸引子.将所构造的四维超混沌系统（1）作为驱动系统，再取如下的系统（2）为响应系统.为了获得能够实现驱动系统与响应系统同步的非线性反馈控制器，令两系统的误差变量，则可得到误差系统为设计了如下一个简单的非线性控制器将式（4）代入式（3），则误差系统可简化为线性系统稳定性定理[9]：对于线性系统，其唯一平衡点渐近稳定的充要条件是A的所有特征值均具有负实部.显然误差系统的4个特征值为-5,-1,-1,-1，根据线性系统稳定性定理知误差系统可在式（4）的控制下，其零解是渐近稳定的，从而可使驱动系统（1）和响应系统（2）同步.下面利用四阶龙格-库塔法对误差系统进行数值模拟，选取相同的参数a=5，选取驱动系统初值为(1,1,1,1)，响应系统初值为(10,10,10,10)，时间t的步长为0.001.在非线性控制器（4）式作用下系统（1）和（2）的同步误差曲线模拟结果如图3所示，由图3可以看出，数秒后误差变量e1,e2,e3,e4全部趋向于零，这表明驱动系统与响应系统已达到了同步.数值模拟结果证明了所设计的非线性控制器的正确性和有效性.本文构造了一个新的四维超混沌系统，利用系统的分岔图、Lyapunov指数谱图和相图分析方法研究了新引入参数m取不同值时超混沌系统的运动情况.根据线性系统稳定性定理，设计了一种简单的非线性反馈控制器实现了该超混沌系统的自同步，且其同步是全局渐近稳定的.所得结果为该超混沌系统在混沌保密通信中的应用提供了理论参考.【相关文献】[1]高智中.超混沌Liu系统的自同步研究[J].湖南文理学院学报，2011，23（2）：28-30．[2]刘扬正，林长圣，姜长生.新的四维超混沌Liu系统及其混沌同步[J].电子科技大学学报，2008，37（2）：235-237，296．[3]李瑞红，陈为胜，李爽.超混沌Lorenz系统的投影同步及其在保密通信中的应用[J].电路与系统学报，2011，16（2）：41-45．[4]方洁，姜长生.错位修正混沌函数投影同步及在保密通信中的应用[J].四川大学学报，2011，43（2）：136-141．[5]孙宁，张化光，王智良.基于分数阶滑模面控制的分数阶超混沌系统的投影同步[J].物理学报，2011，60（5）：1-7．[6]Buncha M，Banlue S.A new five-term simple chaotic attrators[J].Physics Letters A，2009，373（1）：4038-4043．[7]Rossler O E.An equation for hyperchaos[J].Physics Letters A，1979，71（2-3）:155-157．[8]Wolf A，Swift J B，Swinney H L，et al.Determining Lyapunov exponents from a time series[J].Physica D：Nonlinear Phenomena，1985，16（3）：285-317．[9]郑大中.线性系统理论[M].北京：清华大学出版社，1992．。
一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步
摘要 ；提 出了一个 新 的四维 Ｃ ｅ — － ｋ ｈ ｎＱｉｉｅ混沌系 统 。通过计 算该 系统 的时 间序 列 的 Ｌ ａｕ ｏ ｌ ｙ ｐ ｎ ｖ指 数谱 、Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ
维数 、 分岔 图、 ｏｎ ａ６截 面 图等 分析 了控制 参数变 化 时， Ｐ ｉｃｒ 系统 的非线性 动力 学特 征 。 结果 表 明该新系 统不但 和 Ｃ ｅ． ｉ ｈ ｎＱ
在本文中 ， 定 义 为 维 Ｅ ｃｉｅ ｎ空 间 ， Ｒ 定义 为 × ｕｌ ａ ｄ ｍ矩 阵 。 Ｘ ＜ 表 示 ｘ 是 实对 称 负 正 定 ０ 矩 阵 。 Ｊ 义 为恰 当 维数 的 的实 矩 阵 。 指 的是 Ｅ ｃｉｅｎ范数 。 定 ｕｌ ａ ｄ
２ 新类Ｃｈ ｎＱｉ 的模型及 基本 动 力学特性 ｅ — 系统
了 超 混 沌 系 统 的 有 限 时 间 反 同
步 。最 后 ，采 用 数 值 方 法 验 证 了 控 制 规 律 和 参 数 变 化 规 律 的 正
确性 。
３ １ 广 义 方 法 反 同 步 ．
ｘ
假 定 一 般 混 沌 系 统 的 动 态
方程表示为 ：
＝
（） 在 ｙ平 面 上 的投 影 ａ
根 据 Ｑ 吸 引子 和 Ｃ ｅ ｉ ｈ ｎ吸 引子 非 线 性 部 分 的特 征 ，构 造 了一 个 四维 非 线 性动 力 学 系 统 。系 统 的模
型 如下 ： ＝ （ ＋ｚ ａｙ— 、 ｙ
＝
（一 ） 一 ＋ ｘ
（） １
＝Ｘ 一ｂ ｚ— ｖ Ｚ— Ｗ
＝ ｘ ｚ一 一 ｗ ｙ
Ｄｅ ｅ ｅ ， ２ １ ｃ ｍｂ ｒ ０ １
一
个新 的 四维 超 混沌 系统 的动 力学分析及 混沌反 同步
一个新超混沌系统及其控制
【 ３ 】周平， 危丽佳， 程雪峰 ． 只有一个非线性项的超混沌系统【 ． Ｊ 物理学报， ０ ９５ ８ ：５０ — ２ ８ 】 ２ ０ ， ８（ ） ２ １５ ０ ． ［ ４ 】闵富红， 徐振源， 须文波 ． 利用 控制混沌系统【．物理学报， ０ ３５ ６） ３ ０ １６ ． Ｊ 】 ２ ０ ， ２（ ：１６ — ３４
Ａ ｅ ｈ ｐ ｒ ｈ ｏ ｙ ｔ ｍ ｎ ｓ ｃ ｎ ｒ ｌ ｎ ｗ ｙ ｅ ｃ ａ ｓｓ ｓ ｅ ａ ｄ ｉ ｏ ｔ ｌ ｔ ｏ
ＧＡＯ ｉ ｈ ｎ Ｚｈ －ｚ ｏ ｇ， ＧＵＯ ｈ －ｍｅ Ｚｕ ｉ
（ｏ ｅｅ ｆ ｃｅｃ， ｎ ｕ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏｏｙＵ ｉ ｒｉ ，Ａ ｂ ｉ ｅ ｇａｇ ３ １０ Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ Ｓｉ ｅＡ ｈ ｉ ｉ ｃ ｄ ｃ ｎｌ ｎｖ ｓｙ ｎ ｕ Ｆ ｎ ｎ ３ ０ ， ｈｎ） ｌ ｏ ｎ Ｓｅ ａ Ｔ ｇ ｅ ｔ ｙ ２
作者简介：高智中 （ ９９ ，男 ，山西神池人 ，助教，硕士 ，研究方向是非线性动力学及混沌控制 ，ｇｏｈｚｏｇ０ ５ ２ ． ｒ。 １７ 一） ａｚｉ ｎ２０ ＠１６ ｏ ｈ ｃｎ
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
２ １ 年 ００
２ 超混沌控制分析
考虑 维非线性混沌系统 ＝ （ ｆｆ Ｕ Ｃ ， 中 Ｆ为非线性光滑 向量 函数 ， 为系统的状态 Ｆ （ ，， ＝ Ｘ 其 ））
第 ２ 卷第 ３ ６ 期
２ １ 年 ５月 ００
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｑｉａ ｉｅｒｉ ｏ ｒ ａ ｏ Ｑｉ ｈ ｒＵｎｖ ｓｔ ｙ
Ｖｏ ．６ Ｎ ． １ ， ｏ３ ２ Ｍａ ，０ ０ ｙ２ １
一
个 新超 混沌 系统及 其控制
四维L.C振子的超混沌系统的参数辩识与同步
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
and H ( x) = 0, x < 0 .when a=0.6,b=0.05,c=0.015,d=10， ε = 0.33, µ = 0.3 .Assume the value of parameters a, b, c is unknown and invariable, the identification result of each parameter is
) ) &− p & −x & 1 ( x1 ) = a & 1 dp 1 ( x 1 ) / dx 1 = − x 1 l 1 ( x 1 )δ 1 + l 1 ( x 1 ) ( x 2 + x 3 − x 1 p 1 ( x 1 ) ) δ&1 = a = − kx 12 δ 1 + kx 1 (x 2 + x 3 − 0 . 5 kx 13 )
(2) (3)
& & 1 (t ) = a & − a ˆ = − x 1 l 1 ( x 1 )e 1 (t ) e
) & = − x l ( x )e (t ) & 3 (t ) = c &−c e 3 3 3 3
(4)
i = 1, 2 ,3
Imitating literature [5-6], it can make gain function as: l i ( x i ) = kx i Put equation (5) into (4), it will get: e & i (t ) + kx i2 e i (t ) = 0
一种新的超混沌系统的计算机仿真分析
ｍｅｈ ｄ ｌ ｈ ｓ ａ ａ ｔｏ ．Ｔ １ ｐ ａ ｅ ｄ ｇ ｍ，ｔｍｅ ｒｓ ｏ ｓ ａ ａ ｅ ｉ ｒ ｉ ｅｐ ｎ ｅ ｄ ｇ ｍ，ｐ ｗｅ ｐ ｃ ｕ ｉｇ ａ ｉ ｒ ｏ ｒ ｓ ｅ ｔｍ ｄａ ｍ ｔ ｅ ｂ ｆｒ ａｉｎ ｄａ ａ ａ ｄ ｒ ｒ ， ｈ ｉ ｃ ｔ ｇ ｍ ｎ ｕ ｏ ｉ ｒ
ｓ ｏ ｈ ｈ ｐ ｒ ｈ ｏ ｉ ｙ ｔ ｍ ｓ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｄ ｂ ｄ ｉ ｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｓａ ｅ ｆ ｅ ｂ ｃ ｏ ｔ ｌ ｒ ｔ ０ ｓ ｓｅ ．Ｔｈ ｍｏ ｔ ｙ ｅ ｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ｉ ｏ ｓｒ ｃ ｅ ｙ ａ ｄ ｎ ｏ ｌ ａ ｔ ｔ ｅ ｄ ａ ｋ ｃ ｎ ｏ ｌ ｏ Ｌ ｙ ｔｍ ｃ ｎ ｒ ｅ ｅ ｎ ｍｅ ｉ ａ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｈ ｙ ｔ ｍ ｓ ａ ｑ ｋ ｄ ｂ ｈ ｌ ｓ ｉ ｏ ｒ － ｒ ｅ ｎ ｅＫｕ ｔ ｕ ｒｃ ｌ ｉ ｔ ｇ ａ ｉ ｎ ｕ ｒｃ ｌ ｓ ｌ ｔ ｆ ｔ ｅ ｓ ｓｅ ｉ ｃ ｕ ｅ ｙ ｔ ｅ ｃ ａ ｓ ｆ ｕ ｔ ｏ ｄ ｒ Ｒｕ ｇ — ｔ ｎ ｍｅ ｉａ ｎ ｅ ｒ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｏ
第３ ２卷 第 ５期
Ｖ １ ２ Ｎｏ５ ｏ． ． ３
井 冈山大学 学报 （ 自然科 学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ａ ｇｈ ｎＵｎｖ ｒ ｔ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ） ｏ ｒａ ｎ ｇ ｎ ｓａ ｉｅｓ ｙ（ ｔ ｌ ｃｅ ｅ ｏＪ ｉ ｒ ｎ ２ ９
２１年 ０１
９ 月
Ｌｙ ｐ ｎ ｖ ｅ ｐ ｎ ｎ ’ ｐ ｃｒ ｍ ｉｇ ａ ａ ｅｇ ｖ ｎ ｂ ａ ｓｏ ｕ ｒｃ ｌ ｉ ｌ ｔ ｎ ． ｌ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ａ ｉ ａ ｕ ｏ ｘ ｏ ｅ ｔＳｓ ｅ ｔｕ ｄ ａ ｍ ｒ ｉ ｅ ｙ ｍｅ ｎ ｆｎ ｍｅ ｉ ａ ｍｕ ａ ｉ ｓ Ｔｌ ｒ ｓ ｌｓｓ ｏ ｔ ｔ ｈ ｓ ｒ ｓ ｏ ｅ ｈ ｔ
一个新四维混沌系统的分析、控制与电路实现
1. 引言
高维混沌系统维数高、动力学特性更为复杂，一直是混沌研究领域的研究热点内容之一[1] [2] [3] [4]。 本文作者于文献[5]中提出一个新四维混沌系统，并于文献[6]中采用改进型模块化混沌电路设计方法设计 了该新四维混沌系统的电路模型。同时，本文作者于文献[5]中基于 Lyapunov 稳定性理论设计出单变量 线性反馈控制器，使新四维混沌系统不再产生混沌或周期运动，而是渐近稳定于平衡点原点。进一步， 本文作者于文献[5] [6]中借助 Matlab 数值仿真软件和 Multisim 电路仿真软件，绘制了新四维混沌系统的 相轨迹曲线，验证了所设计的电路模型的正确性以及线性反馈控制器的可行性与有效性。然而，针对该 新四维混沌系统及其稳定性控制的硬件电路实现尚未给出。
关键词
混沌，新四维混沌系统，混沌控பைடு நூலகம்，电路实现
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Dynamical Systems and Control 动力系统与控制, 2019, 8(2), 129-139 Published Online April 2019 in Hans. /journal/dsc https:///10.12677/dsc.2019.82015
摘要
本文首先对新四维混沌系统的动力学特性进行分析。而后，采用改进型模块化混沌电路设计方法设计新 四维混沌系统的电路模型并于A + D Lab实验平台上搭建其模拟电路实现，从硬件上验证该新四维混沌系 统可产生混沌运动现象。针对新四维混沌系统的稳定性控制，本文通过建立被控新四维混沌系统的数学 模型，基于Lyapunov稳定性理论，设计单变量线性反馈控制器并搭建其硬件电路实现，从硬件上验证被 控新四维混沌系统不再产生混沌或周期运动而是渐近稳定于平衡点原点，以及所设计的线性反馈控制器 的可行性与有效性。
一个新颖的四维混沌系统及其微控制器实现
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２ ０ １ ５ Ｓ ｃ ｉ ． Ｔ ｅ ｃ ｈ ． Ｅ ｎ ｇ ｒ ｇ ．
一
个新颖 的四维混沌 系统及其微控制 器实现
朱 雷 ＇ 刘 艳 云
（ 江苏理工学院电气信 息工程学 院 ， 常州 ２ １ ３ ０ ０ １ ； 南京航空航天大学 电子信息工程学院
南京 ２ １ １ １ ０ ６ ；常 州 纺 织 服装 职业 技 术 学 院机 电工 程 系 ， 常州 ２ １ ３ １ ６ ４ ）
一
统 ｊ 、 增广 Ｌ ｎ系 统 ｊ 、 Ｂ ａ ｏ系 统 等 超 混 沌 系 统 的 产生 ， 均 依赖 于不稳 定平 衡点 的 出现 。 那么 ， 具 有不 稳 定平 衡 点 是 否是 构 成 四维 ｝ 昆沌 或 超混 沌 系统 的必要条 件 呢？答 案是 否定 的 。近年 来 已陆续 出 现关 于 隐 藏 混 沌 或 超 混 沌 吸 引 子 的 报
焦平 衡 点 。 在 现 有 三维 连 续混 沌 系 统 的基 础 上 ， 如何 构 建
为当前热点之一。例如， 文献 ［ １ Ｏ ］ 提 出一种受唯一 参 数控制 的具 有线 平衡 点或无 平衡 点 的 四维 混沌 系 统， 分析 了 系统 的复 杂 动力 学 行 为 并 给 出 了 隐藏 混 沌 吸引 子 。文献 ［ １ １ ］ 通 过 添 加 一 维 状 态 变 量 并 反 馈 至广 义无 量纲 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系统， 从 而提 出一种 无 平 衡 点、 具有隐藏超混沌吸引子的四维系统。文献 ［ １ ２ ］ 分 析 了一 种 无 平 衡 点 四维 简 化 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系 统 中 的 共 存 隐藏吸引子 。而文献 ［ １ ３ ］ 则在 Ｓ ｐ ｒ ｏ ｔ ｔ Ｅ混沌 系 统¨ 基础 上 提 出一 种 仅 具 有 一 个 稳定 平衡 点 的 推
一个新四维混沌系统的电路设计与仿真
Ｏ 前 言
在 混沌 理论 的研 究 中 ， 重 要 的一 研 究 方 向 很 是对 现有 的混沌 系统 进 行 重新 构造 ， 出一 些 具 得
第２ ９卷
第 ６期
江
西
科
学
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ． Ｉ２ ６
Ｄｅ ． Ｏｌ ｃ２ ｌ
２１ 年 ｌ ０ １ ２月
ｌＡＮＧＸＩ Ｓ ＥＮＣＥ Ｊ Ｉ ＣＩ
文章 编号 ：０ １— ６ ９ ２ １ ）６— ６ １ ０ １０ ３７ （ ０ １ ０ ０ ９ — ４
一
个 新 四维 混 ： 系统 的 电路设 计 与仿 真 沌
ｂ ｅ ｅ ｉ ｎ ｄ ａ ｄ ｓｍｕ ａｅ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ Ｍｕ ｉｉ Ｔ ｅ ｓｍｕ ａｉ ｎ ｒｓ ｌ ｃ ｏ ｄ ｗ ｔ ｈ ｈ ｏ ｅｉ ｅ ｎ ｄ ｓ ｅ ｎ ｉ ｌｔ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｈ ｓ ｇ ｍ． ｈ ｉ ｌ ｔ ｅ ｕ ｔ ａ ｃ ｒ ｉ ｔ ｅ ｔ ｅ ｒｔ ｏ ｓ ｈ Ｌ
Ａｂｓｒ ｃ ： ｎ ｗ ｔ ａ ｔ Ａ ｅ ４Ｄ ｕ ｏ ｏ ｕ ｈ ｏｉ ｙ ｔｍ ｓ ｒ ｓ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｈ ｈ ｏ ｉ ｉｃ ｔｈａ ａ ｔｎ ｍｏ ｓ ｃ ａ ｔｃ ｓ ｓｅ ｉ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｔ ｅ ｃ ａ ｔ ｃｒ ｕｉ ｃ ｓ
其 ， 积 电 模 的 分 子控 混 中索是 分 路 块 积 因 ，制 沌 电 频 。 ７南，４ 通 的 线 电 路 率 令． 则 个 道 非 性 路
方 程组 为
ｄ ｚ 一 ＋ ９＋ ． ，
一个新的四维超混沌系统的滞后同步及其Simulink仿真_柴秀丽1_孔庆梅2_董
0 引言
1979 年， O.E.Rossler 首次提出了超混沌 Rossler 系统[1]。 超混沌系统具有 2 个或 2 个以上的正 Lyapunov 指数，其动 力学行为更加复杂， 难以预测。 复杂的超混沌系统可以提高 混沌保密通信和信息加密的安全性， 因此， 对超混沌系统的 研究是混沌应用的一个重要课题。 2012 年，高智中等人在文献[2]提出的三维自治混沌系 统的基础上，引入了一个简单的非线性控制器， 设计了一种 新的四维超混沌系统，通过理论分析、Lyapunov 指数谱、 相图、时间响应图等方法详细分析了该系统的动力学特性， 最后采用电路对该系统进行了实现。 由于该系统可以通过电 路实现，具有巨大的应用前景[3]。 基于混沌同步的保密通信是通过设计控制器实现驱动 系统与响应系统之间同步来传输信息的。 混沌同步控制方法 包括自适应控制[4]、脉冲控制[5]、滑模变控制[6]、模糊控制 等等 。实际应用中，时滞现象普遍存在，并且系统容易受 到各种因素的干扰， 系统参数存在一定的不确定性， 这些都 使混沌系统的模型变得不确定。 因此， 研究参数不确定的超 ———————————————
DOI：CNKI:51-1196/TP.20121128.1504.002 网络出版时间：2012-11-28 15:04 网络出版地址：/kcms/detail/51.1196.TP.20121128.1504.及其 Simulink 仿真
Lag synchronization and simulation by Simulink of a new four dimensional hyperchaotic system
CHAI Xiu-li 1, KONG Qing-mei2, DONG Chun-chen1 (1. College of Computer and Information Engineering, Institute of Image Processing and Pattern Recognition, Henan University, Kaifeng 475004, China; 2. School of Civil Engineering and Architecture, Henan University, Kaifeng 475004, China ) Abstract: Lag synchronization and parameter identification of a new four dimensional hyperchaotic system were investigated. Based on Lyapunov stability theory and adaptive control method, the controller was designed using the state error feedback, lag synchronization of the hyperchaotic system was realized and all the unknown parameters were identified, and the control gains of the controller were also confirmed with or without noise. Numerical simulation based on Simulink is made to verify the effectiveness and feasibility and robustness of the theory. Key words: adaptive control; parameter identification; numerical simulation; lag synchronization; hyperchaotic system
一个4-D超混沌系统的特性分析及混沌控制设计
一个4-D超混沌系统的特性分析及混沌控制设计梁媛;王仁明;王凌云【摘要】本文研究了一个新型的四维超混沌系统的动力学特性和控制设计问题.首先,分析了系统的非线性动力学特性,如耗散性、时间序列、奇异吸引子、李亚普诺夫指数谱、庞加莱映射等.其次,基于Lyapunov稳定性理论设计了该系统具有完全未知参数的一个参数估计的自适应律.最后,Matlab的仿真结果验证了分析和设计的正确性和有效性.【期刊名称】《三峡大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(040)006【总页数】5页(P104-108)【关键词】超混沌系统;自适应控制;Lyapunov稳定理论【作者】梁媛;王仁明;王凌云【作者单位】三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学网络与智能控制研究所,湖北宜昌443002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学网络与智能控制研究所,湖北宜昌443002【正文语种】中文【中图分类】TP273超混沌系统一般可以定义为至少存在两个正Lyapunov指数的混沌系统[1]，因而超混沌系统有更复杂的动态行为，如多涡卷混沌吸引子、多个正Lyapunov指数、截面上的Poincare映射非孤立等，这使得对超混沌系统的研究成为极具挑战性的课题．第一个典型的超混沌系统是Rossler超混沌系统[2]，接着其它一些超混沌系统相继出现了，如Chen超混沌系统[3-4]、Lu超混沌系统[5]、Nikolov超混沌系统[6]、Lorenz超混沌系统[7-8]等．由于混沌系统在许多领域有着明显或潜在的应用，如：保密通讯[9-10]，密码系统[11-12]，加密术[13-14]，电子电路[15-16]等，在过去的20年中，对混沌系统的控制研究受到了极大的关注，出现了许多控制方法：最优控制方法[17-18]，自适应控制方法[19]，滑模控制方法[20]，时滞反馈控制方法[21]等．基于超混沌系统丰富的动力学特性和实用性，为了更好地对动力学特性进行分析与控制设计．本文讨论了一个新型四维超混沌系统的动力学特性及控制问题．首先，分析了系统的一些动力学特征，如耗散性、时间序列、相轨迹图、李雅普诺夫指数谱和庞加莱映射．接下来，应用Lyapunov稳定理论分析了超混沌系统的自适应控制问题，并对具有完全未知参数的四维超混沌系统设计了一个参数估计的自适应律．最后，利用Matlab仿真软件对所有设计结果进行了仿真验证，阐述了分析和设计的正确性和有效性．1 系统描述及混沌特性分析1.1 系统描述四维Jerk系统的一般数学模型为其中一阶导数称为速度，二阶导数称为加速度，三阶导数称为Jerk．一个四维Jerk系统的一般方程组形式为：(1)当式(1)中的为关于各变量的多项式时，通过代换可得到诸多更具体的超混沌系统．故本文考虑如下新型四维超混沌系统：(2)其中，x，y，z，w为状态变量，a，b，c，d为系统的正常数参量．1.2 相轨迹和时间序列当系统参数分别为以下数值时，该四维系统是超混沌的a=24，b=125，c=5，d=10 (3)使用Wolf算法计算可知，系统(2)的Lyapunov指数为：L1=2.946，L2=2.083，L3=-2.432，L4=-32.59．由于系统的Lyapunov指数中有两个是正数，说明该新型四维系统是超混沌的．此时，系统(2)的Kaplan-Yorke维数为：可知系统(2)有一个分数Kaplan-Yorke维数的奇异吸引子．若取系统(2)的初始状态为：x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=0.2 (4)则系统的相图、时间序列图及Lyapunov指数谱分别显示在图1、图2和图3中．图1 四维超混沌系统的相图图2 四维超混沌系统的时间序列图图3 四维超混沌系统的Lyapunov指数谱1.3 耗散性超混沌系统(2)可以用向量表示为：(5)其中，(6)通过Liouville定理，可知·f)dxdydzdw (7)其中向量Ω(t)=Φt(Ω)，Φt是f的通量，V(t)为Ω(t)的体积．系统(2)的散度为：(8)其中μ=a+1+c．根据式(3)中选择的参数值，知μ=30>0，将式(8)里·f的值代入到式(7)中，可得(9)即V(t)=exp(-μt)V(0) (10)由于μ>0，从式(10)可知，当t→∞时，V(t)以指数方式趋于0．这显示系统(2)是耗散的．因此，其轨线最终被限定于一个零体积的子集内，并且其渐近运动将止于一个奇异吸引子上．1.4 平衡点当系统(2)的参数值如(3)中所示时，平衡点可由解下列等式获得：(11)即系统(2)在F∈R4的任一点的雅可比矩阵为：(13)在平衡点E0的雅可比矩阵为：(14)雅可比矩阵J0的特征值数值为：λ1=-5，λ2=-68.629 0，λ3=0.421 5，λ4=43.207 4 (15)因此，平衡点E0是不稳定的鞍点．在平衡点E1的雅可比矩阵为：(16)雅可比矩阵J1的特征值数值为：λ1=-0.362 4，λ2=-23.429 4，λ3，4=-3.466 5±26.906 7i (17)因此，平衡点E1也是不稳定的鞍点．1.5 庞加莱映射庞加莱映射是一种有助于形象化混沌折叠特性的分析技术．当参数a=24，b=125，c=5，d=10时，在不同的交叉平面，如x=0，z=32，在图4中显示了x-y、y-z和y-w平面对应的庞加莱映射图．图4 四维超混沌系统的庞加莱映射图2 4-D超混沌系统的自适应控制目标是寻找四维超混沌系统(2)的一种具有参数估计值更新规律的自适应控制，使得当t→∞时，所有状态变量x、y、z、w都收敛于系统的平衡点．假设受控的系统为：(27)其中，x，y，z，w为系统的状态变量，且a，b，c，d为未知的参量．V1、V2、V3、V4为待设计的自适应控制器．若系统(2)的参数是未知的，设计其自适应控制律为：(28)参数估计值更新律为：(29)这里，a1、b1、c1、d1为不确定参数a、b、c、d的估计值．li(i=1，2，3，…，8)为正常数．则在任意初始状态(x(0)，y(0)，z(0)，w(0))∈R4下，具有未知参数的四维超混沌系统是全局渐近稳定的．证明：将式(28)代入到式(27)中，可得到如下闭环系统模型：(30)定义李雅普诺夫函数为：(31)其中取李雅普诺夫函数对时间的导数，可得：(32)将式(29)、式(30)代入(32)中可得：l7(c-c1)2-l8(d-d1)2(33)很明显因此，由Lyapunov稳定性定理知，受控系统(27)收敛于系统的平衡点．设系统状态变量的初始值和参数值分别取为：x(0)=2，y(0)=2，z(0)=2，w(0)=2，a=24，b=125，c=5，d=10 (34)取li=0(i=1，2，3，…，8)，并设参数的初值为0．状态变量和参数估计值的运行轨迹仿真结果显示在图5和图6中．图5 自适应控制状态变量图图6 参数估计值更新图由图5和图6可看出，在自适应控制器的作用下，系统状态变量迅速趋于平衡点E0(0，0，0，0)，且系统未知参数的估计值收敛于被给的参数值．说明该控制方法对多未知数的四维超混沌系统可以达到期望的控制效果．3 结论本文讨论了一个新型的四维超混沌系统的混沌特性，如耗散性、时间序列、奇异吸引子、李亚普诺夫指数谱、庞加莱映射等．同时，设计了自适应控制律来稳定具有未知参数的新型四维超混沌系统．其设计的有效性和正确性由数值仿真得到了验证．参考文献：【相关文献】[1] SPROTT J C． Elegant Chaos. Singapore[M]． World Scientific， 2010．[2] Rossler O． An equation for hyperchaos[J]． Phys LettA, 1979, 71:155-157．[3] Chen G R, Dong X． From Chaos to Order: Methodologies, Perspectives andApplications[M]． World Scientific, Singapore, 1998．[4] Li Y, Tang W K S, Chen G． Generating Hyperchaos Via State Feedback Control[J]． Int J Bifurc Chaos Appl Sci Eng, 2005,15(10):3367-3375．[5] Chen A, Lu J, Lu J,Yu S．Generating Hyperchaotic LüAttractor Via State Feedback Control[J]． Phys A， 2006, 364:103-110．[6] Nikolov S, Clodong S． Occurrence of Regular, Chaotic and Hyperchaotic Behavior in a Family of Modified Rossler Hyperchaotic Systems[J]． Chaos, Solitons, Fractals 2004,22(2):407-431．[7] Wang X, Wang M． A Hyperchaos Generated from Lorenz System[J]． Phys A， 2008, 387(14):3751-3758．[8] Barboza R． Dynamics of a Hyperchaotic Lorenz System[J]． Int J Bifurc, Chaos,2007, 17(12):4285-4294．[9] Li C, Liao X， Wong K W． Lag Synchronization of Hyperchaos with Application to Secure Communications[J]． Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 23：183-193．[10] Smaoui N, Karouma A， Zribi M． Secure Communications Based on the Synchronization of the Hyperchaotic Chen and the Unified ChaoticSystems[J]． Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16：3279-3293．[11] Chien T I， Liao T L． Design of Secure Digital Communication Systems Using Chaotic Modulation, Cryptography and Chaotic Synchronization[J]． Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 24：241-245．[12] Zhang B, Chen M， Zhou D． Chaotic Secure Communication Based on Particle Filtering[J]． Chaos, Solitons & Fractals, 2006, 30：1273-1280．[13] Zhang Q, Guo L， Wei X． A Novel Image Fusion Encryption Algorithm Based on DNA Sequence Operation and Hyper-Chaotic System[J]． Optik, 2013, 124：3596-3600．[14] Liu H, Wang X， Kadir A． Color Image Encryption Using Choquet Fuzzy Integral and Hyper Chaotic System[J]． Optik, 2013, 124：3257-3533．[15] Buscarino A, Fortuna L， Frasca M． Experimental Robust Synchronization of Hyperchaotic Circuits[J]． Physica D: Nonlinear Phenomena, 2009, 238：1917-1922．[16] Yujun N, Xingyuan W, Mingjun W， et al． Huaguang: A New Hyperchaotic System and Its Circuit Implementation[J]． Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2010, 15：3518-3524．[17] El-Gohary A, Alwasel I A． The Chaos and Optimal Control of Cancer Model with Complete Unknown Parameters[J]． Chaos Solitons Fractals, 2009, 42：2865-2874．[18] 王仁明，刘豪，赵长风，等，非线性连续混沌系统的模糊自适应控制[J]．三峡大学学报(自然科学版)，2017, 39(4): 84-89．[19] Roopaei M, Sahraei B R, Lin T C． Adaptive Sliding Mode Control In a Novel Class ofChaotic Systems[J]． Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 2010, 15：4158-4170．[20] Liao X, Chen G． Chaos synchronization of General Lur'e Systems Via Time- Delay Feedback Control[J]． Int J Bifurcation Chaos, 2003, 13：207-213．[21] Kirk D E． Optimal Control Theory: an Introduction[M]． Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1970．。
一个四维四翼混沌系统的仿真
一个四维四翼混沌系统的仿真2021届毕业设计说明书（论文）院、部：电气与信息工程学院学生姓名：指导教师1：贾雅琦职称助教指导教师2：俞斌职称副教授专业：通信工程班级：完成时间： 2021年5月摘要在生活中混沌现象和机理是无处不在的，它存在于所有的物理世界和人类社会中。
随着人们对于混沌的深入和混沌日益广泛的应用到各个领域当中，对于混沌的一些基础的特性研究不足已经凸显出来了。
所以在各个领域内人们对于混沌的研究越来越热。
其中，作为混沌保密通信技术基础的混沌理论，更加受到许多人的欢迎。
在对于混沌研究加强的同时，混沌的应用技术也是取得了相当大的进步，在人们的生活与工作都会对混沌现象进行研究，并且对其采取相应的解决方法。
文中将一个简单的控制加入到一个四维混沌系统之中，通过控制混沌系统的差异参数来产生四翼混沌吸引子，同时还可以在一个三维的混沌系统中，用耦合的方式，也同样能够可获得到四翼吸引子，除此之外在三维混沌系统的函数方程上加上一个控制器的办法，也能够获得一个四翼混沌的吸引子。
最后，对于原理和算法的掌握，通过对算法的源程序代码的设计，通过用MATLAB软件对程序代码进行了仿真，并且对仿真结果进行分析，验证了设计的可行性和正确性。
将四维四翼的混沌吸引子中加入了两个反馈信号，这样子就能就构成了新的混沌系统，它的结果是是系统更加稳定可靠，同时易于电路的实现。
并为实现新系统设计了一个模拟电路，这个系统对于保密通信等基于混沌的实际应用有这重要意义。
关键词：四维四翼混沌系统；Lyapunov指数；相图IABSTRACTIn life chaotic phenomena and mechanisms are ubiquitous, it exists in all of the physical world and human society. With the deepening chaos among the people for the chaos and the increasingly widely applied to various fields, some of the basic characteristics of chaos has highlighted the deficiencies. Therefore, in all areas of research for chaotic getting hot. Among them, as chaotic secure communications technology based on chaos theory, more welcomed by many people. In the chaos to strengthen research, while chaos is applied technology has made considerable progress in the people's life and work will be to study the phenomenon of chaos, and take its appropriate solutions.A simple control will be added to the text into a four-dimensional chaotic system, chaotic systems through the control parameter differences to produce a four-winged chaotic attractor, but also in a three-dimensional chaotic system, the coupling mode used, can also be attractor to obtain a four-wing, in addition to adding a controller on the three-dimensional chaotic system function equation approach, it is possible to obtain a four-winged chaotic attractor. Finally, the principles and algorithms for control, through the algorithm source code design, by the software simulation program code, so the simulation results are analyzed to verify the correctness and feasibility of the design. The four-wing four-dimensional chaotic attractors added two linear feedback control amount, to form a new four-wing four-dimensional chaotic system, this attractor make more stable and reliable, and easy to implement circuit. And to achieve a new system designed analog circuitry, the system for secure communication based on chaos there it is important practical applications.Key words:Four-wing four-dimensional chaotic system；Lyapunov exponent；phase diagramII目录1 绪论 (1)1.1 课题的研究背景及意义 ....................................... 1 1.2 文献综述 ................................................... 1 1.3 论文的主要结构 ............................................. 2 2 混沌系统的理论基础.. (4)2.1 混沌的定义 ................................................. 4 2.2 混沌的主要性质 ............................................. 5 2.3 混沌的类型 ................................................. 5 2.4 混沌的应用 ................................................. 6 2.5 常用混沌系统 ............................................... 6 2.6 混沌的理论分析法 ........................................... 8 2.7 混沌的相空间表征方法 ....................................... 9 2.8 本章小结 .................................................. 12 3 四维四翼混沌系统模型分析. (13)3.1 四维四翼混沌系统数学模型 (13)3.1.1 平衡点 ............................................. 13 3.1.2 相似性 ............................................. 14 3.1.3 耗散性 ............................................. 15 3.2 仿真结果 .................................................. 15 3.3 本章小结 .................................................. 17 4 四维四翼混沌系统电路仿真设计 (18)4.1 电路设计原理 .............................................. 18 4.2 电路仿真实验结果 .......................................... 18 4.3 结果分析 .................................................. 20 结束语............................................................. 21 参考文献........................................................... 22 致谢............................................................. 24 附录A 四维四翼混沌系统的仿真主程序 ............................... 25 附录B 四维四翼混沌系统的仿真调用程序 .. (26)III1 绪论1.1 课题的研究背景及意义在生活中混沌现象和机理是无处不在的，它存在于所有的物理世界和人类社会中。
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贵州师范 大学 学报 （自然科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇ ｕ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
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Ｖｏ ｌ ＿ ３ ３ ． Ｎｏ ． ５
０ｃ ｔ ．２ ０１ ５
文章 编号 ： １ ０ ０ ４ －５ ５ ７ ０ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ５— ０ ０ ４ ９— ０ ６
一
个 新 四维超 混 沌 系 统 的计 算 机 仿 真及 同步控 制
罗 江
（ 四川文理学 院 物理 与机 电工程学院 ， 四川 达州 ６ ３ ５ ０ ０ ０ ）
摘要： 在 Ｃ ｈ ｅ ｎ氏三维混沌 系统 的基 础上构造 了一个 四维 系统 ， 对系统进行 了动力 学理论 分析和计算机 数值仿真 研 究。发现构造 出的系统可 以随系统参数的变化而产 生周期 、 准周期 、 混 沌和超 混沌系统的 自同步控制器 和异结构 同步 控制器 ， 并通过 计算机 数值仿 真证实 了此 同步控制
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方法的有效性 。
关
键
词： 混沌 系统 ； 超 混沌 系统 ； 计算机仿真 ； 自同步； 异结构 同步
文献标识码 ： Ａ
中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ９
Ｔｈｅ ｃ ｏ ｍｐ ｕｔ ｅ ｒ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｓ ｙ ｎｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｆ ｏ ｕ ｒ － ｄｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ｈａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ