【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义练习 新人教A版选修1-2
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
ｙ
Z1 (a, b)
Ｏ
新课讲授
uuuur uuuur
Z 设OZuu1，uOurZ 2分别与复数uuuaur bi，c di对应，
则有uOuuZur1
（a，b），OZ uuuur
2
（c，d），
作业
有OZ 1 OZ 2 （a c，b d）.
Z1 (a, b)
ｘ
这说明，两个向量OZ1与OZ
的和就是与
2
复数（a c）（b d）i对规定是加法的逆 运算，即把满足
（c+di）+（x +yi）=a+bi的复 数x + yi，叫做复数a+bi减去c+di 的差，记作（a+bi）-（c+di） .
新课讲授
根据复数相等的定义，有
c+ x=a， d+ y=b，
由此
x=a-c， y=b- d，
所以
x+ yi=（a-c）+(b- d )i，
即
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b- d）i .
这就是复数的减法法则.由此可见，两个 复数的差仍然是一个唯一确定的复数.
新课讲授
从上面可以看出， 两个复数相加（减）就是把实部与
实部、虚部与虚部分别相加（减），即
（a+bi） ±（c+di）=（a± c）+（b± d）i .
例题
例：计算 （5-6i）+（-2-i）-（3+4i）.
高中数学3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(共13张PPT)
(1) (6 5i) (3 2i)
9 3i
(2) ( 2 3i) ( 2 3 i) 1 2
1 3 i 2
三、复数代数形式的减法运算法则
1.规定：复数的减法是加法的逆运算
如果c di x yi a bi ,那么复数
x yi 叫做复数 a bi 减去 复数c di 的差,
2、复数加法的运算律：
复数的加法满足交换律和结合律
例1.计算
(1) (2 4i) (3 4i)
(2) 5 (3 2i)
解：(2 4i) (3 4i) (2 3) (4 4)i 5
练习一、
解：5 (3 2i) (5 0i) (3 2i) (5 3) (0 2)i 8 2i
a bi c di a c b d i
思考：对任意z1 a bi, z2 c di, z3 m ni
z1 z2 ？ z2 z1 z1 z2 z3 ？ z1 z2 z3 .
满足加法交换律
满足加法结合律
3.2.1 复数代数形式的加减运算 及其几何意义（第1课时）
一、复习回顾
1.复数的代数形式：z a bi
a c
2.复数相等的充要条件：a bi c di b d
3.复数的几何意义:
y
b
•Oax来自二、复数代数形式的加法运算法则
1、规定:复数的加法法则如下：
设z1 a bi, z2 c di是任意两个复数,那么
即：x yi （a bi）c di
(a c) (b d)i
2.复数的减法法则：
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
1 |复数加、减法的应用 对复数加、减法运算的五点解读: 1.一种规定:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算. 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加、减法法则一致. 2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数 集中仍然成立. 3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 4.适当推广:可以推广到多个复数的加、减运算. 5.虚数单位i:在进行复数加、减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号, 合并同类项即可.
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
(★★☆)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R,i为虚数单位)分别对应向
量OZ1 、OZ2 (O为原点),若向量 Z1Z2 对应的复数为纯虚数,求a的值. 思路点拨
根据向量减法的几何意义表示出 Z1Z2 对应的复数,根据纯虚数的定义,列满足条件 的关系式,求出a的值.
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
2 |复数加、减法的几何意义及应用
复数可以用向量来表示,因此复数的加、减法可以利用向量的加、减法来表 示.如果复数对应的向量不共线,那么这些复数的加、减法就可按平行四边形法则 求解. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧: 1.形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. 2.数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几 何之中.
解析 ∵ Z1Z2 =OZ2 -OZ1 ,
∴ Z1Z2 对应的复数为z2-z1=[a-1+(a2+2a-1)i]-[a2-3+(a+5)i]=-(a2-a-2)+(a2+a-6)i,
高中数学3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
-1-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
学习目标
思维脉络
1.掌握复数代数形式的加法、减法运算 法则. 2.理解复数代数形式的加法、减法运算
的几何意义.
3.能够利用复数代数形式的加法、减法 运算法则及几何意义解决问题.
-14-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复
数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量������������ 对应的复数;(2)向量������������ 对应的复数;(3)向量������������ 对应 的复数.
解:(1)因为������������=-������������,所以向量������������对应的复数为-3-2i. (2)因为������������ = ������������ − ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为������������ = ������������ + ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. -8-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
高中数学3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
i
=1+i. (2)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i, z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
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迁移与应用 1.若复数 z 满足 z+2-3i=-1+5i,则复数 z= . 解析:由 z+2-3i=-1+5i,得 z=(-1+5i)-(2-3i)=-3+8i. 答案:-3+8i 2.计算:(1)2i-[(3+2i)-(-1+3i)]; (2)a+bi+(2a-3bi)-4i(a,b∈R); (3)(10-9i)+(-8+7i)-(3+3i). 解:(1)原式=2i-[(3+1)+(2-3)i]=2i-(4-i)=-4+3i; (2)原式=(a+2a)+(b-3b)i-4i=3a+(-2b-4)i=3a-(2b+4)i; (3)原式=(10-8-3)+(-9+7-3)i=-1-5i.
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预习导引
1.复数的加减法 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i, z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 交换律:对任意的 z1,z2∈C,z1+z2=z2+z1; 结合律:对任意的 z1,z2,z3∈C,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
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预习交流 2
(1)思考:①根据复数减法的几何意义,|z1-z2|表示什么? ②若 z1,z2 为复数,当 z1-z2>0 时,一定有 z1>z2 吗?为什么? 提示:①根据复数减法以及模的几何意义,|z1-z2|的含义是指在 复平面上,复数 z1,z2 所对应的点 Z1 与 Z2 之间的距离. ②不一定.当 z1-z2>0 时,z1 和 z2 不一定都是实数,例 如:z1=3+i,z2=1+i,虽有(3+i)-(1+i)=2>0,但不能推出 3+i>1+i. (2)做一做:在▱ ABCD 中,������������和������������对应的复数分别为 1-2i,-3+4i, 则对角线 AC 对应向量������������对应的复数为 . 提示:由复数加法几何意义知������������对应的复数为 (1-2i)+(-3+4i)=-2+2i.
高考数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义
高考数学 §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(导学案)预习目标：1、 掌握复数代数式的加减运算法则，并能熟练地进行复数代数式形式的加减运算；2、 理解并掌握复数加法、减法的几何意义及其应用。
预习内容：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=（1）)(__________21加法运算法则=+z z（2）为坐标原点，则对应的点分别为若复数O Z Z z z ,,,2121 ________,________________,_______,212121对应的复数为则若OZ OZ OZ OZ OZ OZ OZ OZ +==+==(3)__________________________________21的几何意义是z z + (4))__(____________________21复数减法运算法则=-z z（5）同（2），______________;2121对应的复数为Z Z OZ OZ =- _______________________||_____,||2121的几何意义是z z Z Z -=_________________________________21的几何意义是z z -提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1：掌握复数的加法运算及意义2：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义学习重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．学习难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
学习过程:例1．计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(72)(14)i i -++（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[探究:1.观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证?2.例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现？例3．计算（1）(14)(72)i i +--（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[当堂检测：1、的值为多少？则212121,,2,43z z z z i z i z +---=+=2、计算（1）)43()42(i i -++ （2）)23(5i +-（3）)51()2()43(i i i --++-- （4）i i i 4)32()2(++--3、ABCD 是复平面内的平行四边行，A,B,C 三点对应的复数分别是 对应的复数求点D i i i ,2,,31+-+课后练习与提高：1．计算（1）()845i -+（2）()543i i --（3）()()232923i i i ++---- 2．若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值。
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
高中数学 专题3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义测试题(含解析)新人教A版选修1-2
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学专题3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义测试题（含解析）新人教A版选修1-2的全部内容。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义班级: 姓名：_____________1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于（）A．0 B．2iC．6 D．6－2i答案D解析z＝3－i－(i－3）＝6－2i.2．复数i＋i2在复平面内表示的点在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i,则z1－z2等于（）A．2 B．2＋2iC．4＋2i D．4－2i答案C4．设z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋b i为( ）A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i答案D解析由错误!得错误!，∴a＋b i＝－2－i。
5．已知|z｜＝3，且z＋3i是纯虚数,则z等于（）A．－3i B．3iC．±3i D．4i答案B解析设z＝a＋b i（a、b∈R)，则z＋3i＝a＋b i＋3i＝a＋(b＋3）i为纯虚数,∴a＝0，b＋3≠0,又｜b｜＝3，∴b＝3，z＝3i。
6．计算：(1－2i）＋（－2＋3i)＋(3－4i）＋（－4＋5i）＋…＋(－2 008＋2 009i）＋（2 009－2 010i)＋（－2 010＋2 011i)．解原式＝（1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010）＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i＝－1 005＋1 005i。
3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义
§3.2复数代数形式的四则运算§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲解新课：一．复数代数形式的加减运算１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ).∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i .z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i=［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ，(3－4i )+(－4+5i )=－1+i ，……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减). １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ， ∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：-==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;-==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为 A.32 B.22 C.2 D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R ).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a =－1. 10．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.解：设D （x ,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵= ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i 。
高中数学3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数的代数形式的加减运算教案新人教A版选修1
3.2.1复数的代数形式的加减运算精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(课件)- 高二下学期数学 人教A版 选修2-2
A.1- 2i
B.-1+ 2i
C.3 + 4i
（D ） D.- 3 - 4i
随堂练习
4.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是
-4
(B )
5.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i, x,y为实数, 若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=_____2___.
探究复数加法的运算律
设z1 a bi，z2 c di，z3 e fi；则
(z1 z2 ) z3 (a c) (b d)i (e fi)
(a c e) (b d f )i 相
z1 (z2 z3 ) (a bi) (c e) (d f )i 等
(a c e) (b d f )i
随堂练习
1.满足条件|z -i|=|3 + 4i|的复数z在复平面上
对应的轨迹是
（C）
A.一条直线 B.两条直线 C.圆
D.其他
2.复数z满足|z + 3 - 3i|= 3，则|z|的最大值是_3__3_; 最小值是___3___.
3.在复平面内，向量AB对应的复数是2 +i，向量CB对应的复数
是 -1- 3i，则向量CA对应的负数是
变式训练
已知平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别 表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： (1)A→O所表示的复数，B→C所表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度．
【解】 如图所示， (1)∵A→O＝－O→A，∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i.
高中数学同步学案 复数代数形式的加减运算及其几何意义
3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.掌握复数代数形式的加减运算法则．(重点) 2．了解复数代数形式的加减运算的几何意义．(易错点)1.通过复数代数形式的加减运算的几何意义,培养数学直观的素养．2．借助复数代数形式的加减运算提升数学运算的素养.1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di 是任意两个复数,则 ①z 1＋z 2＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； ②z 1－z 2＝(a －c)＋(b －d)i. (2)对任意z 1,z 2,z 3∈C ,有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图所示,设复数z 1,z 2对应向量分别为OZ →1,OZ →2,四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形,向量OZ →与复数z 1＋z 2对应,向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义,|z －z 0|(z,z 0∈C)的几何意义是什么？ [提示] |z －z 0|(z,z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．1．已知复数z 1＝3＋4i,z 2＝3－4i,则z 1＋z 2＝( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8iD ．6－8iB [z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6.] 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋i B ．1－iC ．iD ．－iA [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.]3．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i,向量OZ →2对应的复数为3－4i,则向量Z 1Z 2→对应的复数为________． 1－i [Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]复数代数形式的加、减运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ； (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i,求z.[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i.(2)法一：设z ＝x ＋yi(x,y∈R),因为z ＋1－3i ＝5－2i, 所以x ＋yi ＋(1－3i)＝5－2i,即x ＋1＝5且y －3＝－2, 解得x ＝4,y ＝1,所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i,所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.复数代数形式的加、减法运算技巧复数与复数相加减,相当于多项式加减法的合并同类项,将两个复数的实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减).1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y)＋(y －2x)i,z 2＝(－2x ＋y)＋(x －3y)i,x,y 为实数,若z 1－z 2＝5－3i,则|z 1＋z 2|＝________.(1)－2－i (2) 2 [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y)＋(y －2x)i]－[(－2x ＋y)＋(x －3y)i]＝[(3x －4y)－(－2x ＋y)]＋[(y －2x)－(x －3y)]i ＝(5x －5y)＋(－3x ＋4y)i ＝5－3i,所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1,y ＝0,所以z 1＝3－2i,z 2＝－2＋i,则z 1＋z 2＝1－i, 所以|z 1＋z 2|＝ 2.]复数代数形式加减运算的几何意义【例2】 (1)复数z 1,z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1＋z 2|＝ 2.则|z 1－z 2|＝________. (2)如图所示,平行四边形OABC 的顶点O,A,C 对应复数分别为0、3＋2i 、－2＋4i,试求 ①AO →所表示的复数,BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．(1)2 [由|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1＋z 2|＝2,知z 1,z 2,z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点,所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z 1－z 2|＝ 2.](2)解：①AO →＝－OA →,∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →,∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →,∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →,它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB →|＝12＋62＝37.1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论在复平面内,z 1,z 2对应的点分别为A,B,z 1＋z 2对应的点为C,O 为坐标原点,则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|,则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|,则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|,则四边形OACB 为正方形．2．复数z 1＝1＋2i,z 2＝－2＋i,z 3＝－1－2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数．[解] 设复数z 1,z 2,z 3在复平面内所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋yi(x,y∈R),如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x,y)－(1,2) ＝(x －1,y －2)．BC →＝OC →－OB →＝(－1,－2)－(－2,1)＝(1,－3)．∵AD →＝BC →,∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.复数模的最值问题[探究问题]1．满足|z|＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？提示：满足|z|＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心,半径为1的圆上． 2．若|z －1|＝|z ＋1|,则复数z 对应的点组成什么图形？提示：∵|z－1|＝|z ＋1|,∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等,即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．【例3】 (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2,那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1,求|z|的最大值和最小值． (1)A [设复数－i,i,－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,因为|z ＋i|＋|z －i|＝2, |Z 1Z 2|＝2,所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动,求|ZZ 3|的最小值,因为|Z 1Z 3|＝1.所以|z ＋i ＋1|min ＝1.](2)解：如图所示, |OM →|＝(－3)2＋(－1)2＝2. 所以|z|max ＝2＋1＝3,|z|min ＝2－1＝1.1．若本例题(2)条件改为“设复数z 满足|z －3－4i|＝1”,求|z|的最大值． [解] 因为|z －3－4i|＝1,所以复数z 所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上, 由几何性质得|z|的最大值是 32＋42＋1＝6.2．若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C ,求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值． [解] 因为|z|＝1且z∈C ,作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z －2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1.|z 1－z 2|表示复平面内z 1,z 2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.1．复数代数形式的加减法满足交换率、结合律,复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则,复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．3．|z －z 0|表示复数z 和z 0所对应的点的距离,当|z －z 0|＝r(r ＞0)时,复数z 对应的点的轨迹是以z 0对应的点为圆心,半径为r 的圆．1．判断正误(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．( ) (2)复数与复数相加减后结果为复数．( )(3) 复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.5 [|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.] 3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i,z 2＝a －(a 2－2)i(a∈R),且z 1－z 2为纯虚数,则a ＝________.－1 [z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a∈R)为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.]4．在复平面内,复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →,其中O 是原点,求向量OA →＋OB →,BA →对应的复数及A,B 两点间的距离．[解] 向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →, ∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i. ∴A ,B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.。
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3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限．3．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4 [答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ， 所以z 的虚部是4.4．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( ) A ．10 B ．5 5 C ． 2 D ．5 2 [答案] D[解析] ∵z 1－z 2＝5＋5i ，∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i [答案] D[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．[点评] ∵|z |∈R ，z ＝2－|z |＋i ，∴z 的虚部为1，因此可设z ＝a ＋i(a ∈R )，由此得a ＋i ＋a 2＋1＝2＋i 解出a . 6．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1. 二、填空题7．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝__________ ______. [答案] ±23－2i[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16， ∴a 2＝12，∴a ＝±23， ∴z ＝±23－2i.8．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝__________ ________.[答案] －1[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.9．在复平面内，O 是原点，O A →、OC →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C →对应的复数为__________ ______.[答案] 4－4i [解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数； (2)求D B →对应的复数； (3)求△APB 的面积．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，P B →＝12D B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，于是P A →·P B →＝－54，而|PA →|＝172，|PB →|＝52，所以172·52·cos∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717，故S △APB ＝12|PA →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.[点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题1．实数x 、y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1[答案] A[解析] ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴xy ＝1.2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4[答案] A[解析] 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i[答案] D[解析] 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →， 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →对应的复数为4－2i. 故选D ．4．(2015·九江高二检测)如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( )A ．115B ．3iC ．115＋3iD ．115＋23i[答案] C[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝ 3.∴z ＝115＋3i ，故选C ．二、填空题5．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__________ ________.[答案] －1＋10i[解析] ∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， 又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 6．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝__________ ______.[答案] 3 [解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.三、解答题7．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.8.已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.∴sin B ＝7210.∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.。