第八章第三节完全平方公式与平方差公式专题练习(附答案及解析)

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平方差公式与完全平方公式试题(含答案)

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x yx2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化，xy zmxyzmxy 2zm 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zmzm m 2x 2y 2z 22zmm 2 ⑥ 增项变化，x yz xyzx y 2z 2 x y xy z 2 x 2xyxy y 2z 2x 22xyy 2z 2 ⑦ 连用公式变化，x yxy x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化，xy z 2x y z 2xyzxyzx y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)

8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。

3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一：；方法二：；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。

完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)

完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)二次根式的运算知识点知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(1)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.，即积的算术平方根知识点二、积的算术平方根的性质等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a 移到根号外面.（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式②利用积的算术平方根的性质③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外④被开方数中每个因数指数都要小雨2（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：把被开方数相除.要点诠释：，即两个二次根式相除，根指数不变，(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b的取值范围应特别注意，其中，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.（2）步骤①利用商的算术平方根的性质② a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化（3）被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1. 定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2. 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号； (6)约分.3. 把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法. 实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2. 合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并. 对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算要点诠释：二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式.规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式. 通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.。

8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。

平方差公式与完全平方公式试题含答案

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2= x 2y 2-(z 2+2zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

人教版初中数学平方差与完全平方公式练习及参考答案

平方差与完全平方公式练习1、用平方差公式进行计算：
(1) 103×97; (2)118×122 (3) 102×98 (4) 51×49
2、平方差公式在混合运算中的应用：
(3) (4)
利用平方差公式进行证明:
3、对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
4、如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
注意：逆用了平方差公式！5、
6、
7、
8、
9、对于任意一个正整数n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除吗？请说明理由.
10、王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
完全平方公式
1、利用完全平方公式计算：
2、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
3、利用完全平方公式计算
4、利用完全平方公式的变形求整式的值：
5、填空：
6、
7、
8、(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2) (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n) 9、
10、已知x+y=8, x-y=4,求xy.。

(完整word版)平方差公式与完全平方公式试题(含答案)1[1]2,推荐文档

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

平方差公式和完全平方公式(习题及答案)

平方差公式和完全平方公式（习题）例题示范例1：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+①②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第一部分：a -和a -符号相同，是公式里的“a ”，1和-1符号相反，是公式里的“b ”，可以用平方差公式；第二部分：可以用完全平方公式，利用口诀得出答案．（3）每步推进一点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ⎡⎤=---++⎣⎦223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =-- 巩固练习1.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2.下列各式一定成立的是（）A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭D ．222(2)4x y x y +=+3.若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．4.若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．5.计算：①112233m n n m ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-；⑤296；⑥2112113111-⨯．6.运用乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+；②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑥2210199-．思考小结1.在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a 和b ，我们把完全相同的“项”看作公式里的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式里的“_____”，比如()()+---，_______是公式里的“a”，_______是公式里的“b”；同样x y z x y z在利用完全平方公式的时候，如果底数首项前面有负号，要把底数转为它的______去处理，比如22a b--=()(_______)2.根据两大公式填空：【参考答案】巩固练习1.C2.B3.±3。

平方差公式与完全平方公式试题含答案

平方差公式与完全平方公式试题含答案Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，xyyxx 2y 2 ② 符号变化，xyxyx 2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a 2b 2⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy 2zm 2 x 2y 2z 22zm +m 2x 2y 2z 22zmm 2⑥ 增项变化，xyzxyzxy 2z 2 x 22xy y 2z 2⑦ 连用公式变化，xyxyx 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2xyzxyzxyzxyz2x 2y 2z 4xy 4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

平方差公式与完全平方公式试题含答案

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯- 例22解：∵(∴+)(b a ∵+b a 例3解：例4解：a 2+b （例5x-z 的积得来例61=（2-1）和解：（ =（ =24096 =161024因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算（1）1032 （2）1982 解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32 =10000+600+9 =10609（2）1982=(200-2)2 =2002-2⨯200⨯2+22 =40000-800+4 =39204 例8．计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2-(4b )2=a 2-6ac +9c 2-16b 2 （2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y 2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4 例9．解下列各式（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。

平方差公式与完全平方公式试题含答案

平方差公式与完全平方公式试题含答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，xyyxx 2y 2 ② 符号变化，xyxyx 2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a 2b 2⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy 2zm 2 x 2y 2z 22zm +m 2x 2y 2z 22zmm 2⑥ 增项变化，xyzxyzxy 2z 2 x 22xy y 2z 2⑦ 连用公式变化，xyxyx 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2xyzxyzxyzxyz2x 2y 2z 4xy 4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

第八章第三节完全平方公式与平方差公式专题练习(附答案及解析)

第八章第三节完全平方公式与平方差公式专题练习p1-7一、选择题(本大题共24小题，共72.0分)1. 如果x 2-（m-1）x+1是一个完全平方式，则m的值为（）A. -1B. 1C. -1或3D. 1或32. 计算（x+3）•（x-3）正确的是（）A. x 2+9B. 2xC. x 2-9D. x 2-63. 如果4x 2-kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A. 10B. ±10C. 20D. ±204. 下列各式中可以运用平方差公式的有（）①（-1+2x）（-1-2x）②（ab-2b）（-ab-2b）③（-1-2x）（1+2x）④（x 2-y）（y 2+x）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知a+b=3，则a 2-b 2+6b的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 156. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下的部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（）A. B.C. D.7. 已知x+ =7，则x 2+ 的值为（）A. 51B. 49C. 47D. 458. 若等式（x-4）2=x 2-8x+m 2成立，则m的值是（）A. 16B. 4C. -4D. 4或-49. 下列各式，能用平方差公式计算的是（）A. （a-1）（a+1）B. （a-3）（-a+3）C. （a+2b）（2a-b）D. （-a-3）210. 若x 2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是( )A. －1B. 7C. 7或－1D. 5或111. 下列各式中，能用平方差公式计算的有（）①（a﹣2b）（﹣a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；③（a﹣2b）（a+2b）；④（a﹣2b）（2a+b）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 下列各式中，能用平方差公式计算的有（）①（a﹣2b）（﹣a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；③（a﹣2b）（a+2b）；④（a﹣2b）（2a+b）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 下列计算正确的是（）A. （﹣x﹣y）2=﹣x 2﹣2xy﹣y2B. （4x+1）2=16x 2+8x+1C. （2x﹣3）2=4x 2+12x﹣9D. （a+2b）2=a 2+2ab+4b214. 下列计算正确的是（）A. （﹣x﹣y）2=﹣x 2﹣2xy﹣y 2B. （4x+1）2=16x 2+8x+1C. （2x﹣3）2=4x 2+12x﹣9D. （a+2b）2=a 2+2ab+4b 215. 下列各式是完全平方式的是（）A. B. C. D.16. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A. xB. 3xC. 6xD. 9x17. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （2x-y）（2x+y）B. （-x+y）（x-y）C. （b-a）（b+a）D. （x-y）（-y-x）18. 计算（x 4+1）（x 2+1）（x+1）（x-1）的结果是（）A. x 8+1B. x 8-1C. （x+1）8D. （x-1）819. 下列各题中，能用平方差公式的是（）A. （a-2b）（-a+2b）B. （-a-2b）（-a-2b）C. （a-2b）（a+2b）D. （-a-2b）（a+2b）20. 如果多项式x 2+mx+16是一个完全平方式，则m的值是（）A. ±4B. 4C. ±8D. 821. 若x+y=5，x-y=3，则x 2-y 2的值是（）A. 8B. 15C. 2D. 422. 计算（a+2b）2的结果是（）A. a 2+4b 2B. a 2+2ab+2b 2C. a 2+4ab+2b 2D. a 2+4ab+4b 223. 若4a 2-2ka+9是一个完全平方的展开形式，则k的值为（）A. 6B. ±6C. 12D. ±1224. 已知x+y=7，xy=-8，则x 2+y 2=（）A. 49B. 65C. 33D. 57二、填空题(本大题共32小题，共96.0分)25. 若a+b=3，ab=2，则（a-b）2= ______ ．26. 已知2a 2+2b 2=10，a+b=3，则ab= ______ ．27. 若a 2-（b-c）2有一个因式是a+b-c，则另一个因式是a-b+ ______ ．28. 是一个完全平方式，则正整数的值是.29. 若是一个完全平方式，则等于.30. 计算：( x＋2)( x－2)= .如图，E，H，G在正方形的边上，DE交GH于点O，∠GOD=45°，AB=6，GH= ，则DE的长为.31. 如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形．这一过程所揭示的乘法公式是______ ．32. 已知a+b=3，ab=2，则a 2+b 2的值为______ ．33. 用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图），则由图形能得出（a-b）2= ______ （化为a、b两数和与积的形式）34. （3a+3b+1）（3a+3b-1）=899，则a+b= ______ ．35. 若x-y=2，xy=4，则x 2+y 2的值为______ ．36. 若x 2-mxy+9y 2是完全平方式，则m=37. 计算：已知：a+b=3，ab=1，则a 2+b 2= ．38. 计算：已知：a+b=3，ab=1，则a 2+b 2= ．39. 若4a 2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k= ．40. 如果a 2+ma+9是一个完全平方式,那么m=_________.41. 若9 是完全平方式，那么m=_______.42. 计算：（－1）（+1）= 。

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43. 如果二次三项式x2－mx＋25是一个完全平方式，则实数m的值是44. 若m为正实数，且m- =3，则m 2+ = ______ ．45. 已知，求x 2+ 的值，其结果是______ ．46. 计算：（x+4）（x-4）= ______ ．47. 若x 2-y 2=12，x+y=6，则x-y= ______ ．48. 若a（a-1）-（a 2-b）=4，则的值是______ ．49. a 2-mab+64b 2是个完全平方式，则m= ______ ．50. 计算：2002 2-2001×2003= ______ ．51. 已知：a+b=2，a 2-b 2=12，那么a-b= ______ ．52. （2x-3）（______ ）=4x 2-9．53. 计算：（x+1）（x-1）= ______ ．54. 如图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证的乘法公式是______ ．55. （3x+5y）• ______ =9x 2-25y 2．56. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b）7的展开式共有______ 项，第二项的系数是______ ，（a+b）n的展开式共有______ 项，各项的系数和是______ ．三、计算题(本大题共6小题，共36.0分)57. 已知(x+y) 2=18，(x-y) 2=4，求下列各式的值：(1)x 2+y 2；(2)xy．58. 计算：100 2-99 2+98 2-97 2+…+2 2-1 2．59. 计算：2016 2-2015×2017-999 2（用简便算法）60. 已知（x+y）2=64，（x-y）2=16，求x 2+y 2的值．61. 已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值（1）x 2+y 2（2）（x-y）2．62. 已知有理数m，n满足（m+n）2=9，（m-n）2=1．求下列各式的值．（1）mn；（2）m 2+n 2．四、解答题(本大题共8小题，共64.0分)63. 阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示.如图1，它表示(1)观察图2，请你写出之间的关系________________________.(2)小明用8个一样大的长方形，(长为a,宽为b)，拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形.① =___________ ② =_________.64. （本题6分）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）.（2）若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是（写成多项式乘法的形式）.（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：.（4）应用所得的公式计算：65. 已知：a-b= ，a 2+b 2=2 ，求（ab）2016的值．66. 小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：把一根铁丝截成两段，探究1：小明截成了两根长度不同的铁丝，并用两根不同长度的铁丝分别围成两个正方形，已知两正方形的边长和为20cm，它们的面积的差为40cm 2，则这两个正方形的边长差为______ ．探究2：小红截成了两根长度相同的铁丝，并用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为x m，宽为y m，（1）用含x、y的代数式表示正方形的边长为______ ；（2）设长方形的长大于宽，比较正方形与长方形面积哪个大，并说明理由．67. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为______ ．（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的结论求m-2n的值．68. 图a是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图a中虚线用剪刀把它均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积：方法1：______ （只列式，不化简）方法2：______ （只列式，不化简）（2）观察图b，写出代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系：______ ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a-b）2= ______ ．69. 已知a+b=7，ab=10，求a 2+b 2，（a-b）2的值．70. 观察下列各式：（x-1）（x+1）=x 2-1（x-1）（x 2+x+1）=x 3-1（x-1）（x 3+x 2+x+1）=x 4-1（x-1）（x 4+x 3+x 2+x+1）=x 5-1（1）写出第5个式子：______ = ______ ．（2）根据前面各式的规律可得：（x-1）（x n+x n-1+…+x+1）= ______ ．（其中n为正整数）（3）根据（2）求1+2+2 2+2 3+…+2 62+2 63的值= ______ ，并求出它的个位数字= ______ ．第八章第三节完全平方公式与平方差公式专题练习p1-7【答案】1. C2. C3. D4. B5. B6. C7. C8. D9. A10. C11. B 12. B 13. B 14. B15. B16. C 17. B 18. B 19. C20. C21. B 22. D 23. B 24. B25. 126. 227.c28.1229.±430.x2-431. （a+b）（a-b）=a 2-b 232. 533. （a+b）2-4ab34. ±1035. 1236.±637.738.739.13或-1140.±641.13或-1142.243.±1044. 1145. 846. x 2-1647. 248. 849. ±1650. 151. 652. 2x+353. x 2-154. a 2-b 2=（a+b）（a-b）55. （3x-5y）n解：由题意知：（x+y）2=x 2+y 2+2xy=18①，（x-y）2=x 2+y 2-2xy=4②，(1)①+②得：（x+y）2+（x-y）2，=x 2+y 2+2xy+x 2+y 2-2xy，=2（x 2+y 2），=22，∴x 2+y 2=11；(2)①-②得：4xy=（x+y）2-（x-y）2=18-4=14，∴xy=．58. 解：100 2-99 2+98 2-97 2+…+2 2-1 2=（100 2-1 2）-（99 2-2 2）+（98 2-3 2）-…+（52 2-49 2）-（51 2-50 2）=（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50）=101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1=101×（99-97+95-…+3-1）=101×（2+2+ (2)=101×25×2=5050．59. 解：原式=2016 2-（2016-1）×（2016+1）-（1000-1）2=2016 2-20162+1-1000000+2000-1=998000．60. 解：由题意得：x 2+2xy+y 2=64①，x 2-2xy+y 2=16②，①+②得：2（x 2+y 2）=80，则x 2+y 2=40．61. 解：（1）∵x 2+y 2=（x+y）2-2xy，∴当x+y=6，xy=4，x 2+y 2=（x+y）2-2xy=6 2-2×4=28；（2）∵（x-y）2=（x+y）2-4xy，∴当x+y=6，xy=4，（x-y）2=（x+y）2-4xy=6 2-4×4=20．62. 解：（m+n）2=m 2+n 2+2mn=9①，（m-n）2=m 2+n 2-2mn=1②，（1）①-②得：4mn=8，则mn=2；（2）①+②得：2（m 2+n 2）=10，则m 2+n 2=5．63.解：（1）（a+b）2=（a-b）2+4ab；（2）①4 ②ab=6064.解：（1）a2-b2；（3）a2-b2＝（a+b）（a-b）；（4）原式＝（1-）（1+）（1-）（1+）...（1-）（1+）（1-）（1+）＝×××...××××＝.65. 解：∵a-b= ，∴（a-b）2= ，即a 2+b 2-2ab= ．∵a 2+b 2=2 ，∴2 -2ab= ，解得ab=1，∴（ab）2016=1．66. 2cm；67. （m+n）2-4mn=（m-n）268. （m-n）2；（m+n）2-4mn；（m-n）2=（m+n）2-4mn；2969. 解：（a+b）2=7 2a 2+2ab+b 2=49，a 2+b 2=49-2ab=49-20=29．（a-b）2=（a+b）2-4ab=7 2-4×10=49-40=9．70. （x-1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x+1）；x 6-1；x n+1-1；2 64-1；5【解析】1.解：∵x 2-（m-1）x+1是一个完全平方式，∴m-1=±2，解得：m=-1或3，故选C．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2.解：（x+3）•（x-3）=x 2-9．故选：C．直接利用平方差公式求出答案．此题主要考查了平分差公式，正确应用平方差公式是解题关键．本题考查完全平方公式的灵活应用，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．这里首末两项是3x和5的平方，那么中间项为加上或减去3x和5的乘积的2倍．【解答】解：-kx=±2×2x×5，则k=±20．故选D．4.【分析】此题主要考查了进行平方差公式运算的性质，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数是解决问题的关键．根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数，即可得出答案．【解答】解：①②可以运用平方差公式运算，③④不能．故选B．5.解：a 2-b 2+6b，=（a+b）（a-b）+6b，=3（a-b）+6b，=3a+3b，=3（a+b），=9．故选B．利用平方差公式（a+b）（a-b）=a 2-b 2，进行变形，再将数值代入求解．本题主要考查平方差公式，利用整体代入求解是求解的关键，也是解此题的难点．6.【分析】本题考查了平方差公式,关键理解平方差公式的推导,根据第一个图形得到阴影部分的面积=a²-b²；根据第二个图形得到阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，根据两个图形阴影部分面积相等，即可得到等式.【解析】解:正方形中，S阴影= - ；梯形中，S阴影=(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b)；故所得恒等式为：- =(a+b)(a-b),解：把x+ =7，两边平方得：（x+ ）2=x 2+ +2=49，则x 2+ =47，故选C．把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8.解：∵（x-4）2=x 2-8x+16，∴m 2=16，解得m=±4．故选D．直接利用公式把（x-4）2展开后可得m 2=4 2=16，求解即可得到m的值．完全平方公式：（a±b）2=a 2±2ab+b 2．本题考查了完全平方公式，根据公式的平方项得到方程是求解的关键．9.解：A、（a-1）（a+1），正确；B、（a-3）（-a+3）=-（a-3）2，故错误；C、（a+2b）（2a-b）属于多项式乘以多项式，故错误；D、（-a-3）2属于完全平方公式，故错误；故选：A．根据平方差公式，即两数之和与两数之差的积等于两数的平方差，作出判断即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10.【分析】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解；根据完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4积的2倍，故2（m-3）=±8，因此求出m=7或-1.【解答】解：∵（x±4）2=x 2±8x+16，∴在x 2+2（m-3）x+16中，2（m-3）=±8，解得：m=7或-1，故选C.11.【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征，逐项判断即可得到结果．解：①（a-2b）（-a+2b）不能用平方差公式化简；②（a-2b）（-a-2b）=(-2b)2-a2，能用平方差公式化简；③（a-2b）（a+2b）=a2-(2b)2，能用平方差公式化简；④（a-2b）（2a+b）不能用平方差公式化简；则能用平方差公式计算的有2个．故选B．12.【分析】此题考查了平方差公式，平方差公式中两个因式中有一项相同，另一项是互为相反数．利用这一特征判断即可得到结果．【解答】解：①∵-a+2b=-(a-2b)，∴（a-2b）（-a+2b）不能用平方差公式化简，②（a-2b）（-a-2b）能用平方差公式化简，③（a-2b）（a+2b）能用平方差公式化简，④（a-2b）（2a+b）不能用平方差公式化简，则能用平方差公式计算的有2个．故选B．13.【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．根据完全平方公式的结构特点：两项平方项的符号相同，另一项是这两数积的2倍进行判断即可．【解答】解：A.（-x-y）2=x2+2xy+y2，故本选项错误；B.（4x+1）2=16x2+8x+1，正确；C.（2x-3）2=4x2-12x+9，故本选项错误；D.（a+2b）2=a2+4ab+4b2，故本选项错误.故选B．14.【分析】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．根据完全平方公式的结构特点：两项平方项的符号相同，另一项是这两数积的2倍，分别进行计算判断即可．解：A.（-x-y）2=x2+2xy+y2，选项A计算错误；B.（4x+1）2=16x2+8x+1，选项B计算正确；C.（2x-3）2=4x2-12x+9，选项C计算错误；D.（a+2b）2=a2+4ab+4b2，选项D计算错误；故选B．15.【分析】本题考查完全平方式.在三项式中，完全平方式的特征是：形如a2±2ab+b2的式子，按此特征逐一判断即可(二项式不可能是完全平方式).【解答】解：A.=x²-x++不符合完全平方式的特征，所以不是完全平方式；B.=x²-2×x×1+1²符合完全平方式的特征，所以是完全平方式；C.中间不是xy的2倍，不符合完全平方式的特征，所以不是完全平方式；D.=x²+2x+1-2不符合完全平方式的特征，所以不是完全平方式.故选B.16.解：①x 2若为平方项，则加上的项是：±2x×3=±6x；②若x 2为乘积二倍项，则加上的项是：（）2= ，③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x 2或-9．故为：6x或-6x或或-x 2或-9．故选：C．若x 2为平方项，根据完全平方式的形式可设此单项式为mx，再有mx=±2x×3，可得出此单项式；若x 2为乘积二倍项，可通过乘积项和一个平方项求的另一个平方项；若加上单项式后是单项式的平方，则需要加上后消去其中的一项．本题考查了完全平方式，考虑x 2为乘积二倍项和平方项两种情况，加上后是单项式的平方的情况同学们容易漏掉而导致出错．17.利用平方差公式的结构特征判断即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．18.解：（x 4+1）（x 2+1）（x+1）（x-1），=（x 4+1）（x 2+1）（x 2-1），=（x 4+1）（x 4-1），=x 8-1．故选B．根据题目的特点多次使用平方差公式即可求出结果．本题考查了平方差公式，关键在于多次利用公式进行计算．19.解：能用平方差公式的是（a-2b）（a+2b）=a 2-4b 2，故选C利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．20.解：∵x 2+mx+16=x 2+mx+4 2，∴mx=±2×4x，解得m=±8．故选C．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．21.解：x 2-y 2=（x+y）（x-y）=5×3=15，故选B．由平方差公式：（a-b）（a+b）=a 2-b 2来解题．本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．22.解：（a+2b）2=a 2+4ab+4b 2．故选D．完全平方公式（a+b）2=a 2+2ab+b 2，根据完全平方公式求出即可．本题考查了学生对完全平方公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：完全平方公式有两个：（a+b）2=a 2+2ab+b 2和（a-b）2=a 2-2ab+b 2．23.解：∵4a 2-2ka+9是一个完全平方的展开形式，∴k=±6，故选B利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24.解：x 2+y 2=（x+y）2-2xy=7 2-2×（-8）=49+16=65，根据完全平方公式，即可解答．本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．25.解：将a+b=3平方得：（a+b）2=a 2+2ab+b 2=9，把ab=2代入得：a 2+b 2=5，则（a-b）2=a 2-2ab+b 2=5-4=1．故答案为：1将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入求出a 2+b 2的值，所求式子利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．26.解：∵2a 2+2b 2=10，∴a 2+b 2=5，∵a+b=3，∴（a+b）2=9，∴a 2+2ab+b 2=9，∴5+2ab=9，∴2ab=4，∴ab=2，故答案为：2．根据完全平方公式，即可解答．本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．27.【分析】本题考查了平方差公式，直接运用平方差公式展开即可得出答案.【解答】解：a²-（b-c）²=（a+b-c）（a-b+c）故答案是c.28.【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.本题考查了完全平方式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，即可得出k的值.【解答】解：因为多项式x2-kxy+36y2是完全平方式，所以k＝±12，所以k=12.故答案为12.29.【分析】此题考查完全平平方式.由完全平方公式：，把所求式化成该形式就能求出k的值.【解答】解：∵=a2-ka+22，∴ka=±2a×2，解得k=±4．故答案为±4.30.【分析】本题主要考查平方差公式.熟记平方差公式的一般形式：（a+b）（a-b）=a2-b2.根据平方差公式进行计算即可.【解答】解：（x+2）（x-2）＝x2-4.故答案为x2-4.31.解：∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∴阴影部分的面积=a 2-b 2．∵梯形的面积= =（a+b）（a-b），∴（a+b）（a-b）=a 2-b 2．故答案为：（a+b）（a-b）=a 2-b 2．先根据大正方形的面积减去小正方形的面积=梯形的面积，直接可写出乘法公式（a+b）（a-b）=a 2-b 2．本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．32.解：∵a+b=3，ab=2，∴a 2+b 2=（a+b）2-2ab=3 2-2×2=5，故答案为：5根据完全平方公式得出a 2+b 2=（a+b）2-2ab，代入求出即可．本题考查了完全平方公式的应用，注意：a 2+b 2=（a+b）2-2ab．解：∵小正方形的边长为：（a-b），∴面积为（a-b）2，又∵小正方形的面积=大正方形的面积-4×长方形的面积，∴小正方形面积为：（a-b）2=（a+b）2-4ab，答案为：（a+b）2-4ab．根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后再减去四个长方形的面积；根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法即可得到等式．本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大．34.解：已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，开方得：a+b=±10，故答案为：±10原式利用平方差公式化简，整理即可求出a+b的值．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．35.解：把x-y=2两边平方得：（x-y）2=x 2-2xy+y 2=4，把xy=4代入得：x 2+y 2=12，故答案为：12把x-y=2两边平方，利用完全平方公式化简，将xy=4代入即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．36.【分析】解题的关键是熟练掌握完全平方公式：.根据完全平方式的构成即可求得结果.【解答】解：∵x2-mxy+9y2=x2-mxy+（3y）2，∴-mxy=±2•x•3y，解得m=±6.故答案为±6．37.【分析】本题考查完全平方公式．因为(a+b)2=a2+b2+2ab,所以a2+b2+(a+b)2-2ab，将已知代入即可求得答案．【解答】解：∵a+b=3，ab=1，∴(a+b)2=a2+b2+2ab,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2=9-2=7．故答案为7．38.【分析】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．【解答】解：∵a+b=3，ab=1，∴a 2+b 2=（a+b）2-2ab=3 2-2=9-2=7．故答案为7 .39.【分析】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．这里首末两项是2a和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2a和3积的2倍．【解答】解：∵4a2-（k-1）a+9是一个关于a的完全平方式，∴-（k-1）a=±2×2a×3，∴k-1=±12．∴k=13或-11．故答案为13或-11．40.【分析】本题主要考查了完全平方式，正确理解一个二次三项式是完全平方式的条件是解题的关键．【解答】解：∵a2+ma+9是一个完全平方式，∴a2+ma+9= a2+ma+32，∴ma=±2×3•a，解得m=±6．故答案为±6．41.【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【解答】解：∵9x2+（m-1）x+4=（3x）2+（m-1）x+22，∴（m-1）x=±2×（3x）×2，解得m=13或m=-11．故答案为13或-11．42.【分析】本题考查了平方差公式,即（a+b)(a-b)=a²-b².【解答】解：=-1=3-1=2.43.【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是知道常数项是一次项系数一半的平方．符合a 2+2ab+b 2形式的式子叫完全平方式，要明确，常数项是一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2-mx+25是一个完全平方式，∴（）2=25，∴m=±10．故答案为±10．44.解：∵m- =3，∴（m- ）2=3 2，即m 2-2+ =9，∴m 2+ =11．故答案为：11．把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．本题考查了完全平方公式，熟记公式并利用乘积二倍项不含字母是解题的关键．45.解：把x+ = ，两边平方得：（x+ ）2=x 2+ +2=10，整理得：x 2+ =8，故答案为：8．把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．46.解：原式=x 2-16，故答案为：x 2-16．原式利用平方差公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．47.解：∵x 2-y 2=（x+y）（x-y）=12，x+y=6，∴x-y=2，故答案为：2已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求式子的值．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．48.解：∵a（a-1）-（a 2-b）=4，∴a 2-a-a 2+b=4，∴b-a=4，∴ = = = =8．故答案为：8．利用a（a-1）-（a 2-b）=4，得出b-a=4，进而利用完全平方公式求出．此题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意得出b-a=4进而利用完全平方公式求出是解决问题的关键．49.解：∵a 2-mab+64b 2是个完全平方式，∴m=±16，故答案为：±16利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．50.解：原式=2002 2-（2002-1）×（2002+1）=2002 2-2002 2+1=1，故答案为：1原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．51.解：a 2-b 2=12，（a-b）（a+b）=122（a-b）=12a-b=6．故答案为：6．利用平方差公式，即可解答．本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．52.解：（2x-3）（2x+3）=4x 2-9．故答案为：2x+3利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．53.解：（x+1）（x-1）=x 2-1．根据平方差公式计算即可．平方差公式：（a+b）（a-b）=a 2-b 2．本题主要考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．54.解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b）=a 2-b 2；因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b）=a 2-b 2．故答案为a 2-b 2=（a+b）（a-b）．第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a 2-b 2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b）的长方形，面积是（a+b）（a-b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．55.解：（3x+5y）•（3x-5y）=9x 2-25y 2．故应填（3x-5y）．根据平方差公式，已知这两个数的和，再写出这两个数的差即可．本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．56.解：根据规律，（a+b）7的展开式共有8项，各项系数依次为1，7，21，35，35，21，7，1，系数和为2 7，故第二项的系数是7，由此得：（a+b）n的展开式共有（n+1）项，各项系数依次为2 n．故答案为：8，7，n+1，2 n．根据“杨辉三角”，寻找解题的规律．本题考查了完全平方公式．关键是由“杨辉三角”图，由易到难，发现一般规律．57.本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键．根据完全平方公式把（x+y）2和（x-y）2展开，然后相加即可求出x 2+y 2的值，相减即可求出xy的值．58.把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．此题考查了平方差公式的运用，技巧性比较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键．59.原式变形后，利用平方差公式及完全平方公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．60.已知等式利用完全平方公式展开，相加即可求出原式的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．61.（1）根据完全平方公式可得x 2+y 2=（x+y）2-2xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可；（2）根据完全平方公式可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可．本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a 2±2ab+b 2．也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．62.（1）已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出mn的值；（2）已知等式利用完全平方公式化简，相加即可求出m 2+n 2的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．63.【分析】该题目考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析，根据图形的面积公式来进行分析即可得到（1）利用图形面积关系得出等式即可；（2）①利用图形面积之间关系得出，即可求出；②利用图形面积之间关系得出ab=60.【解答】解：（1）利用二种表示面积的方法可得(a+b)2，(a-b)2，ab之间的关系大正方形的面积可表示为边长的平方，即(a+b)2大正方形的面积也可表示为内部小正方形的面积加上4个矩形的面积，即(a-b)2+4ab 由此可得：(a+b)2=(a-b)2+4ab故答案为(a+b)2=(a-b)2+4ab（2）根据小明所拼的图案甲，有2b=a+2；所拼的图案乙，有3a=5b．∴，解得，∴ a2-4ab+4b2=(a-2b)2=(10-2x6)2=(-2) 2=4．∴ ab=10x6=60故答案为4；6064.本题主要考查平方差公式的几何背景，考查证明平方差公式和应用平方差公式的能力. （1）利用面积公式：大正方形的面积﹣小正方形的面积=阴影面积；（2）利用矩形面积公式即可求解；（3）利用面积相等列出等式即可；（4）利用平方差公式简便计算.65.先根据题意得出ab的值，代入代数式即可得出结论．本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解答此题的关键．66.解：探究1：设两个正方形的边长分别为a，b，则a+b=20，a 2-b 2=40（a+b）（a-b）=4020（a--b）=40，a-b=2（cm），故答案为：2cm．探究二：（1）= ；故答案为：；（2）-xy=∵x＞y，∴ ＞0，∴ ＞xy，∴正方形的面积大于长方形的面积．探究一：根据平方差公式进行解答；探究二：（1）根据正方形周长与边长的关系，即可解答；（2）作差进行比较，即可解答．本题考查了平方差公式和完全平分公式，解决本题的关键是熟记公式．67.解：（1）（m+n）2-4mn=（m-n）2；故答案为：（m+n）2-4mn=（m-n）2（2）（m-2n）2=（m+2n）2-8mn=25，则m-2n=±5．（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m-n）2、mn之间的等量关系；（2）根据（1）所得出的关系式，可求出（m-2n）2，继而可得出m-2n的值．本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．68.解：（1）方法1：（m-n）2方法2：（m+n）2-4mn；故答案为：（m-n）2，（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；故答案为：（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）当a+b=7，ab=5时，（a-b）2=（a+b）2-4ab=7 2-4×5=49-20=29．故答案为：29．（1）阴影部分的面积可以看作是边长（m-n）的正方形的面积，也可以看作边长（m+n）的正方形的面积减去4个小长方形的面积；（2）由（1）的结论直接写出即可；（3）利用（2）的结论，把（a-b）2=（a+b）2-4ab，把数值整体代入即可．此题考查根据图形理解完全平方公式，以及利用整体代入的方法求代数式的值，解决本题的关键是熟记完全平方公式．69.根据完全平方公式，即可解答．本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．70.解：（1）写出第5个式子：（x-1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x+1）=x 6-1；（2）根据前面各式的规律可得：（x-1）（x n+x n-1+…+x+1）=x n+1-1；（其中n为正整数）（3）根据（2）求1+2+2 2+2 3+…+262+2 63=（2-1）（1+2+2 2+2 3+…+2 62+2 63）=2 64-1，并求出它的个位数字=5，故答案为：（1）（x-1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x+1），x 6-1；（2）x n+1-1；（3）2 64-1，5（1）仿照已知等式得出第5个等式即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断．此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．。