2018秋九年级数学上册 第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第3课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行学习的，对于学生来说，这部分内容相对较难，需要学生有一定的抽象思维能力。
教材通过具体的例题和练习题，帮助学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数和直角三角形的性质有一定的了解。
但是，解直角三角形这部分内容相对较抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
在教学过程中，需要关注学生的学习情况，对于理解有困难的学生，要给予耐心的指导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。
2.过程与方法目标：通过自主学习和合作交流，培养学生的抽象思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和应用。
2.难点：对解直角三角形的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，引导学生主动探究和解决问题。
2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题。
3.引导发现法：教师引导学生自主学习，发现和总结解直角三角形的方法和规律。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解和掌握解直角三角形的方法。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际的直角三角形问题，引导学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题——解直角三角形。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，向学生介绍解直角三角形的方法和步骤，并通过具体的例题进行讲解，让学生理解和掌握解直角三角形的方法。
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角 三角形．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，那 么解直角三角形的基本类型及其解法总结如下表：(方法不唯一)
5 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A的度数为(
A．90°B．60°C．45°D．30°
)15
D
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A，最适宜的做法是(
)
A．计算tanA的值求出
C
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先计算sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝6，解此直角三角形
11 22
∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE. ∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A＝36°， ∴△CBE∽△CAB，
∴
解得AE＝2 －2(负值舍去)．
在Rt△CCBAAD＝E中CCE，B，cos即A＝A4E＝4－AEAE，
5
【答案】C
AADE＝2
25－2＝
5＋1 4.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB＝.
求：
(1) ∴BD＝DC＝2，BC＝4.
在 Rt△ACB 中，tan B＝ACCB＝34，∴A4C＝34，∴AC＝3. 由勾股定理得 AD＝ AC2＋CD2＝ 32＋22＝ 13， AB＝ AC2＋BC2＝ 32＋42＝5.
(2)sin∠BAD的值．
解：过点D作DE⊥AB于E， ∴∠C＝∠DEB＝90°， 又∵∠B＝∠B，∴△DEB∽△ACB，
∴DACE＝DABB，∴D3E＝25，∴DE＝65， 6
沪科版数学九年级上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其运用第4课时坡度、坡角在解直角三角形中的运
解：在 Rt△BAE 中，∠BAE＝68°，BE＝162 米，∴AE＝tan∠BCBAE ≈21.6428＝65.32(米)．在 Rt△DCE 中，∠DCE＝60°，DE＝176.6 米，∴ CE＝tan∠DECDE＝117.763.6≈102.08(米)，∴AC＝CE－AE≈102.08－65.32 ＝36.76≈36.8(米)．即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC 约 为 36.8 米
解：作 AF⊥BC 于点 F.在 Rt△ABF 中，∠ABF＝∠α＝60°，AF ＝AB·sin60°＝20· 23＝10 3(m)．在 Rt△AEF 中，∠β＝45°，∴ AF＝EF，∴AE＝ AF2＋EF2＝10 6(m)．即坡长 AE 为 10 6 m
7．(10 分)如图，水库的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜
坡度、坡角在解直角三角形中的运用
1．(4 分)小明沿坡度为 1∶3 的斜坡向上行走了 10 m，则他上升的
竖直高度是( B )
10 A. 3 m
B. 10 m
C．10 m
D．30 m
2．(4 分)如图，已知一坡面的坡度 i＝1∶ 3，则坡角α为( C )
A．15° B．20° C．30° D．45°
9．如图，河堤横断面为梯形，上底为4m，堤高为6m，斜坡AD的坡 比为1∶3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为() B
A．48m2B．96m2C．84m2D．192m2
二、填空题(每小题5分，共10分) 10．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡 的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是_2_1_0____cm.
23.2.2 解直角三角形及其应用 第2课时 教案
沪科版数学九年级上册23.2.2 解直角三角形及其应用教学设计例3 如图 23-16，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度。
他站在距离水杉树8米的E处,测得树顶端A的仰角∠ACD为52°,已知测角器CE=1.6米，问树高AB为多少米？(精确到0.1m).例4 解决本章引言所提问题。
如图23-17，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50m，已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？(结果精确到1m).例5 如图23-18，一船以20n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，老师提示:解决这个问题的方法，我们称为实际问题数学化，这是解决实际问题常用的方法。
通过学生自己的观察、比较、总结出在这些结论。
实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能有平面图形想像出实际情景，再根据解直角三角形的来解决实际问题。
并且了解了仰角，俯角的概念。
引导学生再次思考。
加强学生的合作意识，使学生养成大胆猜测和想象的能力，积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。
强调易错点，加继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上，已知灯塔C四周10 n mile 内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB航线的距离是否大于10 n mile解直角三角形应用的基本图形①不同地点看同一点(如图①)；②同一地点看不同点(如图②)建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。
在探索中发现，这样才能理解其中的规律并能加以总结．通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，培养学生解决问题的逻辑思维能力。
九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第三课时
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探究
1.如图，铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD,路基上底宽
BC=9.8米，路基高BE=5.8米,斜坡的坡度(pōdù)为1：1.6.
求路基的下底宽(精确到0.1米)与斜坡的坡角.(精确到
1°)
B
C
A
E
F
D
分析(fēnxī)：构造直角三角形来解题
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第二十三章
23.2解直角三角形及其应用
第3课时
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知识回顾
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度(chángdù)（i ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,
即i= h
l
h
l
坡面与水平面的夹角(jiā jiǎo)叫做坡角，记作α，
h 有i＝ l =tanα
坡度(pōdù)越大，坡角α 怎样变化？
C
1.2
AB cot A BC
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1.2
9°
A
B
AB BC cot A
1.2 6.31
7.6
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? 思考
某居民生活区有一块等腰梯形空地，经过测量 得知，梯形上底与腰相等(xiāngděng)，下底是上底的2倍 ，现计划把这块空地分成形状和面积完全相同的四 个部分，种上不同颜色的花草来美化环境，请你帮 助设计出草图.
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学习 目 (xuéxí) 标 1.了解测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡 角的关系，能利用解直角三角形的知识解决(jiějué)实 际问题.
2.将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三 角形中元素之间的关系，从而解决问题.
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，以及学会用三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长和角度的关系，引导学生探究并发现勾股定理，进一步运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认识有一定的基础。
同时，学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质，为本节学习解直角三角形提供了前提。
但在解决实际问题时，部分学生可能对将实际问题转化为数学模型有一定的困难。
三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理及运用。
2.学会用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理，会用勾股定理计算直角三角形的边长。
2.教学难点：将实际问题转化为数学模型，运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形的性质。
2.运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学模型。
3.采用合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的能力。
六. 教学准备1.准备相关直角三角形的图片和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用多媒体展示一些与直角三角形相关的图片，如建筑物的侧面、三角板等。
–提问：你们对这些图片有什么观察和发现？–引导学生关注直角三角形的特征，引发学生对直角三角形性质的兴趣。
2.呈现（10分钟）–介绍直角三角形的定义和性质。
–引导学生发现并总结直角三角形的边长关系，即勾股定理。
–通过实例演示，让学生理解并掌握勾股定理的运用。
3.操练（10分钟）–让学生分组讨论，尝试用勾股定理计算给定直角三角形的边长。
沪科版九年级数学上册课件：第23章 解直角三角形 23.2专题五 解直角三角形的运用
解：作 PE⊥OC 于点 E，PF⊥OB 于点 F，tan∠PAB＝12，即APFF＝12， 设 PF 为 x，则 AF＝2x，OE＝x，∴CE＝100 3－x，PE＝OF＝100＋
2x，在 Rt△PEC 中，由∠CPE＝45°，∴CE＝EP，∴102x，解得 x＝
23．2 解直角三角形及其运用
专题五 解直角三角形的运用
类型之一：构造直角三角形解决实际问题 1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处， 仰望旗杆顶端 A，测得仰角为 60°，眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米，试 帮助小华求出旗杆 AB 的高度．(结果精确到 0.1 米， 3≈1.732)
4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗 立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡 上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB 的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)
解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线 于点 F，在 Rt△DBF 中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝12DB＝3，DDBF ＝cos30°＝ 23，∴DF＝6× 23＝3 3，∵CE＝DF，∴CE＝DF＝3 3， 在 Rt△ACE 中，由题意可知∠ACE＝45°，ACEE＝tan45°＝1，∴AE＝ CE＝3 3，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝3 3＋4－3＝(3 3＋1)米， 所以铁塔 AB 的高为(3 3＋1)米
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午11时26分22.4.1111:26April 11, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月11日星期一11时26分10秒11:26:1011 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节课主要让学生掌握直角三角形的性质，学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长关系和三角函数的概念，使学生能够理解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、勾股定理等知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，学生对直角三角形的应用可能还不够深入，需要通过实例分析和练习来提高。
此外，学生可能对锐角三角函数的概念和应用还不够熟悉，需要通过引导和讲解来帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的概念。
2.学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的概念及应用。
2.教学难点：勾股定理的证明和锐角三角函数的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的性质和应用，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生思考和探索直角三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论和解决问题，提高学生的团队合作能力。
4.巩固练习：通过适量练习，使学生掌握勾股定理和锐角三角函数的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示直角三角形的性质和应用。
2.教学素材：准备相关的实际问题，用于引导学生解决实际问题。
3.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个直角三角形，引导学生回顾直角三角形的性质。
然后，提出问题：“你能用勾股定理解决直角三角形的问题吗？”让学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）展示教材中的实例，引导学生分析直角三角形的性质和应用。
23.2 解直角三角形及其应用
23．2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【情感、态度与价值观】在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用．重点难点 【重点】直角三角形的解法． 【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 教学过程 一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？ 生：记得．学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 师：很好！二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac ，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A . 生乙：c ＝a sin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．这些公式有一个共同的特点，就是式子的右端至少有一条边，为什么会是这样的呢？学生思考．生：因为左边的也是边，根据右边边与角的关系计算出来的应是长度．师：对！解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角，我们现在看看解直角三角形的概念．教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形；师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？ 生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BC AB得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：你们回答得都对！还有没有其他的方法了？生3：可以求出AB 后用AB 的值和∠B 的余弦求BC 的长． 生4：可以在求出AB 后不用三角函数，用勾股定理求出BC .师：同学们说出这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形． 学生思考，计算．师：这两个题目中已经给出了图形，现在我们再看几道题．教师多媒体课件出示课本第124页例1. 师：你怎样解答这道题呢？先做什么？ 生：先画出图形．师：很好！现在请同学们画出大致图形． 学生画图．教师找一生说说解这个直角三角形的思路，然后让同学们自己做，最后集体订正． 解： ∠A ＝90°－42°6′＝47°54′. 由cos B ＝ac，得a ＝c cos B ＝287.4×0.7420≈213.3. 由sin B ＝bc得b ＝c sin B ＝287.4×0.670 4≈192.7.教师多媒体课件出示课本第125页例2.师：这道题是已知了三角形的两条边和一个角，求三角形的面积．要先怎样？ 学生思考．生：先画出图形．师：对，题中没有已知图形时，一般都要自己画出图形．然后呢？你能给出解这道题的思路吗？生1：先计算AB边上的高，以AB为底，AB边上的高为三角形的高，根据三角形的面积公式，就能计算出这个三角形的面积了．生2：还可以先计算AC边上的高，然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积．师：很好！我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法，怎样求AB边上的高呢？教师找一生回答，然后集体订正．解：如图，作AB上的高CD.在Rt△ACD中，CD＝AC·sin A＝b sin A，∴S△ABC＝12AB·CD＝12bc sin A.当∠A＝55°，b＝20 cm，c＝30 cm时，有S△ABC＝12bc sin A＝12×20×30×sin 55°＝12×20×30×0.819 2≈245.8(cm2)．三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．第2课时解直角三角形的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念，并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题．【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．教学过程一、创设情境，导入新知教师多媒体课件出示：操场上有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．师：请同学们思考这个问题，想想他是如何计算的．学生思考，讨论．师：如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素，你能不能算出？生：能．师：很好！现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量，需要求的是什么量？生：已知了一个直角梯形的一条底边，一条腰长，并且容易算出它的一个内角，求它的另一底．师：对，那你知道小明是怎么算的吗？学生思考，交流．生：先把各个顶点用字母标出，然后作辅助线，构造直角三角形．教师找一生板演，并让他解释自己的思路．二、共同探究，获取新知1．讲解．师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线以下的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．师：我们自己测量角时用什么工具啊？生：量角器．量：测量仰角、俯角也有专门的工具，是测角仪．2．练习新知．教师多媒体课件出示：(1)如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是________；从B看D的俯角是________；从A看B的________角是________；从D看B的________是________；从B 看A的______角是________．师：你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗？ 生：能．教师找一生回答，然后集体订正得到：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.教师多媒体课件出示：(2)如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°.已知甲楼的高AB ＝24米，求乙楼的高CD .学生看题思考．师：这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决，但现在还没有直角三角形呢，你怎样求？生：因为AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，所以过A 作AE ∥BD ，即有AE ⊥BD ，得到 Rt △ACE 和Rt △ADE ，确定仰角和俯角．已知AB ＝24米，可知DE ＝24米，可求出AE ，进而求出CE .教师作图．师：然后怎样做呢？老师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正． 解：在Rt △AEC 中，∠AEC ＝90°，∠EAC ＝α＝30°. ∵tan α＝CE AE ＝CE 83，∴CE ＝83tan α＝83×tan 30°＝83×33＝8(米)． ∴CD ＝CE ＋DE ＝24＋8＝32(米)． 三、例题讲解教师多媒体课件出示课本第126页例3. 解：在Rt △ACD 中，∠ACD ＝52°，CD ＝EB ＝8 m. 由tan ∠ACD ＝ADCD，得AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝8×tan 52°＝8×1.279 9≈10.2(m)． 由DB ＝CE ＝16 m 得AB ＝AD ＋DB ＝10.2＋1.6＝11.8(m)． 答：树高AB 为11.8 m.教师多媒体课件出示课本第127页例4. 解：设AB 1＝x m.在Rt △AC 1B 1中，由∠AC 1B 1＝45°， 得C 1B 1＝AB 1.在Rt △AD 1B 1中，由∠AD 1B 1＝30°，得tan∠AD1B1＝AB1D1B1＝AB1D1C1＋C1B1，即33＝x50＋x.解方程，得x＝25(3＋1)≈68.∴AB＝AB1＋B1B≈68＋1＝69(m)．答：电视塔的高度为69 m.四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．第3课时解直角三角形的应用(2)教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题．【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法．【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题．【难点】理解坡度的概念和有关术语．教学过程一、创设情境，导入新知师：在现实生活中，经常会有建筑大坝、修地基等，它们的截面上底和下底不是同样宽的，侧面是有斜坡的，且倾斜程度是不一样的，这些在设计图纸上都要注明，以便施工时遵循．教师多媒体课件出示：已知一个大坝的横截面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)．学生思考．二、新课讲授1．回忆旧知识．师：我们先来回忆一下坡度与坡角的概念．学生看课本．老师作图：师：坡面的铅直高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度或坡比，通常用小写字母i 表示，坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角，一般用α表示．坡度与坡角的关系是：坡度越大，坡角越大．2．例题讲解．教师多媒体课件出示课本第127页例5.分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB 航线的距离是否大于10 n mile. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝x n mile. 在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan ∠CAD ＝xtan 30°.在Rt △BCD 中，BD ＝CD tan ∠CBD ＝xtan 60°.由AB ＝AD －BD ，得AB ＝x tan 30°－x tan 60°＝20，即x 33－x3＝20，解方程，得x ＝103>10.答：这船继续向东航行是安全的． 教师多媒体课件出示课本第129页例6. 解：过点C 作CD ⊥AD 于点F ，得 CF ＝BE ，EF ＝BC ，∠A ＝α，∠D ＝β. ∵BE ＝5.8 m ，BE AE ＝11.6，CF DF ＝12.5， ∴AE ＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF ＝2.5×5.8＝14.5(m)． ∴AD ＝AE ＋FE ＋DF ＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)． 由tan α＝i ＝11.6，tan β＝i ′＝12.5，得α≈32°，β≈21°.答：铁路路基下底宽为33.6 m ，斜坡的坡角分别为32°和21°. 三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答．师：你们还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，教师解答．。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。
但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。
2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。
3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。
2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重点和难点内容。
本节课的主要内容包括解直角三角形的定义、解直角三角形的步骤和方法、解直角三角形的应用等。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角函数有一定的了解。
但是，解直角三角形这一概念对于学生来说比较抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实际操作来理解解直角三角形的概念，并通过大量的练习来巩固解直角三角形的方法和应用。
三. 教学目标1.理解解直角三角形的定义和意义。
2.掌握解直角三角形的步骤和方法。
3.能够应用解直角三角形解决实际问题。
四. 教学重难点1.解直角三角形的概念和步骤。
2.解直角三角形的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来理解解直角三角形的概念和方法。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图片来形象地展示解直角三角形的步骤和应用。
3.学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学PPT。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的定义、步骤和方法，并配以动画和图片，帮助学生形象地理解解直角三角形的概念。
3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生通过实际操作来巩固解直角三角形的方法。
可以让学生分组测量教室内的物品长度、高度等，并计算其斜边长度。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些解直角三角形的练习题，检验学生对解直角三角形方法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将解直角三角形的方法应用到实际问题中，如测量山峰的高度、计算桥梁的跨度等。
【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其
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23.2 第1课时 解直角三角形知识点 1 已知一边一锐角解直角三角形1．如图23－2－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( )A. 4 33 B ．4 C ．8 3 D ．4 3图23－2－12．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 等于( ) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的对边a ＝4，cos B ＝23，则斜边c 的长为________．4．如图23－2－2，AD ⊥CD ，∠ABD ＝60°，AB ＝4 m ，∠C ＝45°，则AC ＝________．图23－2－25．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知∠B ＝60°，c ＝20，解这个直角三角形．知识点 2 已知两边解直角三角形6．如图23－2－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，那么∠B 的度数为( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°图23－2－37．在△ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，c ＝6，则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是( )A ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝2 33B ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝ 3C ．∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝ 3D ．∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝628．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝7，解这个直角三角形．(角度精确到1″)知识点 3 将斜三角形转化为直角三角形 9．已知等腰三角形的腰长为2 3，底边长为6，则底角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 10．［教材例2变式］如图23－2－4，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若∠A ＝60°，b ＝20 cm ，c ＝30 cm ，求BC 的长．图23－2－411．如图23－2－5，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝6 2，∠C ＝45°，tan B ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3图23－2－512．如图23－2－6，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝32，AC ＝2 3，则AB 的长度为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7图23－2－613．［2017·义乌］以Rt △ABC (∠B ＝90°)的锐角顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，与边AB ，AC 分别交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A 作直线，与边BC 交于点D ，若∠ADB ＝60°，点D 到AC 的距离为2，则AB 的长为________．14．［2017·临沂］如图23－2－7, 在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O .若AB ＝4，BD ＝10，sin ∠BDC ＝35，则▱ABCD 的面积是________．图23－2－715．在△ABC 中，AB ＝8，∠B ＝30°，AC ＝5，则BC ＝________．16．如图23－2－8，已知 tan C ＝43，点P 在边CA 上，CP ＝5，点M ，N 在边CB 上，PM ＝PN .若MN ＝2，求PM 的长．图23－2－817．如图23－2－9，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，cos C ＝22，sin B ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．图23－2－918．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，有一个锐角为60°，BC ＝6.若点P 在直线AC 上(不与点A ，C 重合)，且∠ABP ＝30°，则CP 的长为__________．19．一副三角尺按图23－2－10放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，求CD 的长．图23－2－10教师详解详析1．D [解析] ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8， ∴cos B ＝BC AB ，即cos 30°＝BC 8，∴BC ＝8×32＝4 3.故选D .2．D3．6 [解析] 由余弦定义，得cos B ＝4c ＝23，解得c ＝6.4．2 6m [解析] 在Rt △ABD 中，∠D ＝90°，∠ABD ＝60°，AB ＝4.∵sin ∠ABD ＝ADAB ，即sin 60°＝AD4，∴AD ＝2 3.∵在Rt △ACD 中，∠D ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝2 3， ∴sin ∠ACD ＝AD AC ，即sin 45°＝2 3AC ，∴AC ＝2 6 m .5．解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－∠C－∠B＝180°－90°－60°＝30°，∴a ＝12c ＝12×20＝10，∴b ＝c 2－a 2＝202－102＝10 3. 6．C 7.C8．[解析] 由勾股定理，可先求得c 的值．然后选用tan A ＝ab ，利用计算器求得锐角A ，最后根据两锐角互余，可得另一锐角B 的度数．解：∵a＝5，b ＝7，∴c ＝a 2＋b 2＝52＋72＝74.∵tan A ＝a b ＝57，∴∠A ≈35°32′16″，则∠B≈54°27′44″.9．A [解析] 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2 3，BC ＝6，过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝3.在Rt △ABD 中，cos B ＝BD AB ＝32 3＝32，∴∠B ＝30°，即等腰三角形的底角为30°.10．解：如图，过点C 作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt △ACD 中，∵sin A ＝CD AC ，cos A ＝ADAC ，∴CD ＝b sin 60°＝20×32＝10 3，AD ＝b cos 60°＝20×12＝10，BD ＝30－10＝20， ∴BC ＝（10 3）2＋202＝10 7(cm )．11． A[解析] ∵AC＝6 2，∠C ＝45°， ∴AD ＝AC·sin 45°＝6 2×22＝6. ∵tan B ＝3，∴AD BD ＝3，∴BD ＝AD3＝2.故选A .12． B[解析] 过点C 作CD⊥AB 于点D. ∵sin A ＝CDAC，∴CD ＝AC·sin A ＝AC·sin 30°＝2 3×12＝ 3.∵cos A ＝ADAC，∴AD ＝AC·cos 30°＝2 3×32＝3. ∵tan B ＝CD BD ＝32，∴BD ＝2.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋2＝5. 故选B .13．2 3 [解析] 如图，由题意可知AD 平分∠BAC.作DE⊥AC，垂足为E ，则DE ＝2，所以BD ＝DE ＝2.在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝ABBD ，所以AB ＝2×3＝2 3.14．24 [解析] 根据sin ∠BDC ＝35可以求出△BCD 中BD 边上的高，从而求出▱ABCD 的面积．过点C 作CE⊥BD 于点E ，在Rt △ECD 中，∵sin ∠BDC ＝35＝CE CD ＝CE AB ，AB ＝4，∴CE ＝125，S ▱ABCD ＝2×12×BD×CE＝24.15． 4 3±3[解析] 由于∠C 可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．如图，过点A 作BC 边的垂线，设垂足为D.首先在Rt △ABD 中，求出AD 的长，进而可在两个直角三角形中求出CD ，BD 的长．16．解：如图，过点P 作PD⊥MN 于点D.∵tan C ＝PD CD ＝43，∴设PD ＝4x ，则CD ＝3x. ∵CP ＝5，∴由勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝52， 解得x ＝1，∴PD ＝4.∵MN ＝2，PM ＝PN ，PD ⊥MN ，∴MD ＝1， ∴PM ＝42＋12＝17.17．解：(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°. 在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，AD ＝1，∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝1. 在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝AD AB ＝13，AD ＝1，∴AB ＝ADsin B ＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝2 2，∴BC ＝BD ＋CD ＝2 2＋1. (2)∵AE 是BC 边上的中线， ∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12.18． 2 3或4 3或6[解析] (1)如图①，∠ABP ＝30°. ∵∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝30°. ∵BC ＝6，∴AB ＝3， ∴AC ＝3 3.在Rt △BAP 中，tan 30°＝APAB ，∴AP ＝AB·tan 30°＝3×33＝3，∴CP＝3 3－3＝2 3.(2)如图②，由图①知AB＝3，AC＝3 3.又∠ABP＝30°，∴AP＝3，∴CP＝3 3＋3＝4 3.(3)如图③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.∵∠C＝60°，∴△CBP是等边三角形，∴CP＝BC＝6.故答案为2 3或4 3或6.19．解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 2，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝45°，∴BM＝BC·sin45°＝12 2×22＝12，∴CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝4 3，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.。
九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第二课时
在△ACD和△BCD中利用解直角三角
形知识得CD=500(
)m.
3+1
C
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方位角
介绍(jièshào):
• 指南或指北的方向线与目标(mùbiāo)方向线构成
小于90°的角,叫做方位角.
• 如图：点A在O的北偏东30°
• 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
∠AD1B1=30 °得
∠ =
=
+
A
°
即 =
+
解方程，得
D1
D
30°
C1
50 m
C
45
°
B1
x=25( +1)≈68(m)
AB=AB1+BB1≈68+1=69(m)
B 答：电视塔的高度(gāodù)约为69m.
利用解直角三角形的知识解决实际问题(wèntí)的一般过
程是：
（1）将实际(shíjì)问题抽象为数学问题（画出平
面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据(gēnjù)条件的特点，适当选用锐角三
角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
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北
A
30°
东
西
O
45°
B
南
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例3
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°
方向，距离灯塔80海里(hǎilǐ)的A处，它沿正南方
向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东
2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.230°,
23.1.230° 45° 60°角的三角函数值知识点1 特殊角的三角函数值1.______________________________________________________________________ 如图23- 1- 32 在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°,/ A = 30°，贝U sin30 ° = ________________________ .若AB= a ，贝H BC= _____ , AC= _______ ，二 cos30 ° = _________ .2. :2017 •天津]cos60°的值等于（）A. x [3 B . 1 C. 迈 D. -V223•如图23- 1- 33,以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点A,再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B,画射线 OB 则tan / AOB 勺值等于 ___________ .知识点2 含特殊角的三角函数的实数运算 4.计算 2tan45 °的结果等于（）A.# B . 1 C. 2 D.5 .计算cos 245° + sin 245 °的结果等于（）A. 1B . 1 C. 4 D .C. -3 — 1D.,3— 17.下列结论中正确的是（ ）A. sin30 ° + sin40 °= sin70B. cos30 ° + cos30 ° = cos60C. 2tan30 ° = tan60 °D. tan30 ° • tan60 ° = 1& 计算：（1）@sin60 ° —边cos45 ° + 萌;6. A .化简,,（tan301 -H B-1）等于（-.3- 1图 23 - 1-33cos30 tan30 ° + cos60sin60 °1(4)2sin45 ° - | - 2| - ( -2018)0+ (3厂1+ 3tan30知识点3 已知三角函数值求特殊角9 .已知tan A= 1，则锐角A的度数是()A. 30° B . 45 ° C . 60° D . 75°110. 在Rt△ ABC中，/ C= 90°,如果cos B=乞那么/ A等于()A. 15° B . 30 ° C . 45° D . 60°11. 在厶ABC中，若si n A—2 + (粤-ta n B)2= 0，且/ A,Z B为锐角，则/ C的度数为( )A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°112. 若a 为锐角，当无意义时，sin( a + 15 ° ) + COS(a - 15 ° )的值为1 —tan a13. 若tan A的值是方程x2- (1 + ,3)x+ ,3= 0的一个根，求锐角A的度数.14.点M( - sin60 °，- cos60 ° )关于x轴对称的点的坐标是(A.(孑,2) B . (--23,- 2)［ -------------------------215.___________ :2016 •宿州二模］已知a , 3均为锐角，且满足sin a — Q +{ (tan B — 1) =0, 贝 U a + 3 = _____ ° .16. :2016 •临沂］一般地，当 a , 3为任意角时，sin( a + 3 )与sin( a — 3 )的值可 以用下面的公式求得：1X2 = 1.18.如图23 — 1— 34,等边三角形 ABC 中, D, E 分别为AB BC 边上的点，且 AD= BEAE 与CD 交于点F , AGL CD 于点G 求A 的值.sin( a + 3 ) = sin a cos 3 + cos a sin 3 ；sin( a — 3 ) = sin a cos 3 —cos a sin 3 .例如：sin90 ° = sin(60 + 30° ) = sin60 cos30 ° + cos60 ° sin30类似地，可以求得 sin 15 17•等腰三角形的底边长为的值是 _________ 20 cm ，面积为10032cm , 求它的各内角的度数.图 23 — 1 — 3419. 如图23—1 —35,在厶ABC中, a, b, c 分别为/ A, / B, / C的对边.若/ B= 60°,A. B. B. 1 C. .220. 如图 23- 1 — 36,在 Rt △ ABC 中, Z C = 90°, AC= 8,AD 为/ BAC 的平分线，AD=求Z B 的度数及边 BC AB 的长.ca + ba b + c 的值为（ 图 23 — 1 —361教师详解详析3.. 3 ［解析］连接AB.由题意知，△ ABC 是等边三角形， =故/ ACB= 60°, ••• tan / ACB=1 +1= 1.故选 B.6. A ［解析］•/ tan 30°• tan 30°— 1v 0, • (tan 30°— 1) 2= 1 — tan 30°7. D 8.解:(1)3sin 60°— (2COS 45°+ 誘=3X 今—2X-^ + 2 = |.■J ?原式= -—^\! (1 —叮3) = 1 —：：：..:：3+ 1 =2 —叮3.~2_ 1)亠犬=3 Jisin 60 °'22 3+3 '原式=2X -2 — 2— 1+ 3 + 3X#= 2 — 2 — 1 + 3 + 3 = 2+ 3.B ［解析］••• tanA = 1，/ A 为锐角，tan 45° = 1,tan 30+ COs60 =( 9.•••/ A = 45°110. B ［解析］•••在 Rt A ABC 中，/ C = 90°, Cos B =夕二/ B = 60°,「./ A = 180° — / C-Z B = 30° .故选 B.11. D 12.3［解析］由已知得a = 45。