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高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题一三角函数和平面向量平面向量、解三角形

第2讲平面向量、解三角形【课前热身】第2讲平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若B C=e1，D C=e2，则O C=.【答案】12(e1+e2)【解析】因为O是矩形ABCD对角线的交点，B C=e1，D C=e2，所以O C=12(B C+D C)=12(e1+e2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a=(6，-3)，b=(2，x+1)，若a⊥b，则实数x=.【答案】3【解析】因为a⊥b，所以a·b=0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC中，设角A，B所对的边分别为a，b.若2a sin B=3，则角A=.【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cos C=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=3，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin 2-2A B+sin A sin B=224.(1)求角C的大小；(2)若b=4，△ABC的面积为6，求c的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=224+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cos C=-1 2.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B)，所以sin(A+B)=2sin A cos B，即sin A cos B-cos A sin B=0，所以sin(A-B)=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B，所以a=b=2.所以△ABC的面积为S△ABC =12ab sin C=12×2×2×sin2π3=3.方法二：由c=2a cos B及余弦定理，得c=2a×222-2a c bac+，化简得a=b，所以△ABC的面积为S△ABC =12ab sin C=12×2×2×sin2π3=3.变式2(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C的大小；(2)若A=15°，AB=2，求△ABC的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1，即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC中，1-tan A tan B≠0，所以tan(A+B)=tan tan1-tan tanA BA B+=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CA B =sin ABC ，得sin15BC =°sin30CA=°2sin135=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-22， CA=2sin 30°=1.所以△ABC 的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3 (2016·无锡期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量a =(sin B-sin C ，sin C-sin A )，b =(sin B+sin C ，sin A )，且a ⊥b .(1)求角B 的大小；(2)若b=c ·cos A ，△ABC 的外接圆的半径为1，求△ABC 的面积. 【解答】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b =0，即sin 2B-sin 2C+sin A (sin C-sin A )=0，即sin A sin C=sin 2A+sin 2C-sin 2B ，由正弦定理得ac=a 2+c 2-b 2，所以cos B=222-2a c b ac +=12. 因为B ∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin B=3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=32.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3ABC的面积S=154，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=1 4.(2)因为C∈(0，π)，cos C=1 4，所以sin21-cos C11-16154.因为S=12ab sin C=154，所以ab=2.①因为33=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(2)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=.13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b22(-3)2132.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cosB=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cosB+cos A sin B=22×35+22×45=7210，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 2=7210c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10 10【解析】如图，作AD⊥BC交BC于点D，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A，解得cos A=-10 10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC中，B D=12BC，A E=13AC，AD与BE交于点P，则P B·P D的值为.(第5题)【答案】27 4【解析】如图，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，不妨设B(-3，0)，C(3，0)，则D(0，0)，A(0，3)，E(1，2)，P2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，所以P B·P D=|P D|2=22⎛⎫⎪⎪⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(2，y)，且a+2b=(5，-3)，则x+y=.2.(2016·盐城三模)已知向量a，b满足a=(4，-3)，|b|=1，|a-b，则向量a，b的夹角为.3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD .若AC ·BM =-3，则AB ·AD = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO =x AB +y AC (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A=35，tan(A-B)=-12.(1)求tan B的值；(2)若b=5，求c的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan∠ADC=-2.(1)求CD的长；(2)求△BCD的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量m=(a，cos A)，向量n=(cos C，c)，且m·n=3b cos B.(1)求cos B的值；(2)若a，b，c成等比数列，求1tan A+1tan C的值.【检测与评估答案】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3 【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin a A ，解得b=2113.4. 1 【解析】设AC=x ，由余弦定理得cos 120°=29-1323x x +⋅⋅=-12，即x 2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5. 32 【解析】方法一：设A B =4a ，AD =3b ，其中|a |=|b |=1，则D C =2a ，AM =2b .由A C ·BM =(AD +D C )·(B A +AM )=-3，得(3b +2a )·(2b -4a )=-3，化简得a ·b =18，所以A B ·AD =12a ·b =32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由A C·BM=-3，得(3cos α+2，3sinα)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以A B·AD=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=A B，β=A C，则β-α=B C，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|= 23sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7.4【解析】ba+ab=6cos C⇒6ab cos C=a2+b2⇒3(a2+b2-c2)=a2+b2⇒a2+b2=232c，所以tantanCA+tantanCB=sincosCC·cos sin sin cossin sinB A B AA B+=sincosCC·sin()sin sinA BA B+=1cos C·2sinsin sinCA B=2222-aba b c+·2cab=22223-2ccc=2222cc=4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin CO CAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以C O =3O E ，即A O -A C =3(A E -A O )，即4A O =3A E+A C ，所以4A O =32AB +A C ，从而A O =38AB +14AC.因为A O =x A B +y A C ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos 21-sinA 45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos 21-sinA 45，所以tan A=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin b B =sin c C ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=1010，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=5(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=55，sin ∠BCD=sin ∠ADC=55.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ，即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7525=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ，所以sin(A+C )=3sin B cos B ，所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=3，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅ =sin sin sin B A C ⋅=2sin sin B B =1sin B=4.。

高三数学二轮复习解三角形练习含试题答案

解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3，解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0，即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ，由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π，解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12，又因为△ABC 是锐角三角形，所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ，即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22，所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。

高三二轮复习教学案(三角函数)

高三数学二轮复习教学案（解三角形）班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=4bsinA ，则cosB=_________．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A=______________．3．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=c=26+，且∠A=75°，则b=__________4．据新华社报道，强台风“康森”在海南三亚登陆，台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少椰子树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是______m ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且acosB —bcosA=53c ，则tan(A －B)的最大值是__________________．6．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3min ．若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为_____________m ．7．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C b a a b cos 6=+，求BC A C tan tan tan tan +的值．8．已知在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--（1）求角A（2）若2cos sin >C B，求角C 的取值范围．9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，在水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1 km ，试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，并求出B 、D 的距离．高三数学二轮复习教学案（平面向量）班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1．在四边形ABCD 中，“DC AB 2=”是“四边形ABCD 为梯形’’的______________条件．2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC =16，||||AC AB AC AB -=+ ，则|AM |=_____________3．已知平面向量),0(,βααβα≠≠满足1||=β，且α与αβ-的夹角为120°，则||α的取值范围是_________________4．设向量)cos 3,2(),3,sin 4(αα==b a ，且b a //，则锐角α为____________5．在△ABC 中，已知2π=C ，AC=1，BC=2，则|)1(2|)(CB CA f λλλ-+=的最小值是___________6．如图，在△ABC 中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若BC AB AM μλ+=，则μλ+=____________7．已知A )0,22(，B )22,0(，M )sin ,(cos αα，点N 满足)1(=++=μλμλON OB OA ，则||MN 的最小值是_______________8．已知)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos θθθθ-==b a ，且]3,0[πθ∈ （1||b a b a +（2）是否存在实数k ，使||3||b k a b a k -=+？若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由。

高中数学二轮复习三角函数与解三角形教案含答案(全国通用)

专题三三角函数与解三角形必考点一三角恒等变换与求值[高考预测]——运筹帷幄1．三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等变换、求三角函数值．2．结合简单的三角函数图象，求三角函数值或角度．[速解必备]——决胜千里1．诱导公式都可写为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α的形式．根据k 的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”．2．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.(3)降幂公式sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α； 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3.(2)互余与互补关系例如，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2.(3)非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.[速解方略]——不拘一格类型一三角函数概念，同角关系及诱导公式[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43速解法：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α，∴θ＝α－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.如图，不妨设在Rt △ACB 中，∠A ＝α，由sin α＝35可得，BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4，∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43错误!(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0解析：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C 正确；α取π3时，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12＜0，D 错．故选C. 速解法：∵tan α＝sin αcos α＞0，即sin αcos α＞0，∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.答案：C方略点评：(1)基本法根据α的可能象限判断符号.,速解法是根据tan α及sin 2α的公式特征判断符号，更简单.(2)知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解.(3)知弦求切.常通过平方关系、对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α建立联系，注意tan α＝sin αcos α的灵活应用.(4)知切求弦.通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后利用平方关系求解.1．(2016·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A ．－43 B.43C ．－43或0 D.43或0解析：基本法：∵⎩⎨⎧ 2sin 2α＝1＋cos 2αsin 22α＋cos 22α＝1， ∴⎩⎨⎧ sin 2α＝0cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＝45，cos 2α＝35.∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.答案：D2．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.∴2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×(－2)－1(－2)2＋1＝－55＝－1. 答案：－1类型二三角函数的求值与化简[例2] (1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：基本法：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.速解法：从题目形式上看应是sin(α＋β)公式的展开式．又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin 30°＝12.答案：D方略点评：基本法是构造sin (α＋β)的形式，再逆用公式.速解法是根据三角函数的特征猜想，大胆猜想也是一种方法.(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：基本法：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcosα，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，因为α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C.速解法一：∵tan α2＝1－cos αsin α，由tan α＝1＋sin βcos β知，α、β应为2倍角关系，A 、B 项中有3α，不合题意，C 项中有2α－β＝π2.把β＝2α－π2代入1＋sin βcos β＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2 ＝1－cos 2αsin 2α＝tan α，题设成立．故选C.速解法二：1＋sin βcos β＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2 ∴tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴π4＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴α＝π4＋β2，。

高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题1三角函数第2讲解三角形问题教学案理

第2讲解三角形问题题型1 利用正、余弦定理解三角形(对应学生用书第5页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b2＋c2－a22bc. 3．三角形面积公式 S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查解三角形应用举例)如图21，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.图21[思路分析] 由已知条件及三角形内角和定理可得∠ACB 的值―→在△ABC 中，利用正弦定理求得BC ―→在Rt△BCD 中利用锐角三角函数的定义求得CD 的值．[解析] 依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin∠ACB ＝CB sin∠CAB，得600sin 45°＝CB sin 30°，有CB ＝3002，在Rt△BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.[答案]100 6【典题2】 (考查应用正余弦定理解三角形)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a23sin A. (1)求sin B sin C ； (2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.【导学号：07804011】[解] (1)由题设得12ac sin B ＝a23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A. 故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12. 所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题意得12bc sin A ＝a23sin A，a ＝3，所以bc ＝8. 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.[类题通法]1.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形。

精品K12学习高考学习复习资料数学二轮复习三角函数 1三角函数概念学案理

二轮复习专题二：三角函数§2.1三角函数概念【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制的概念。

．2.能进行弧度与角度的互化。

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

4.能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性。

【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：数列的定义、规律的发现及数列的函数特性。

【高考方向】1.三角函数概念及诱导公式。

2.三角函数的性质。

【课前预习】：一、知识网络构建1.如何利用三角函数概念解题？二、高考真题再现【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（）（A ）32παβ-=（B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=三、基本概念检测1、已知点)43cos ,43(sin ππP 落在角θ的终边上，且[)πθ2,0∈，则θ的值为_______。

变：角α（πα20<≤）的终边过点ππ53cos ,53(sin P ），则______=α 。

2、已知圆上的一段弧长等于等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆周角的弧度数为__________.3、已知x 轴的正半轴上一点A 绕着原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（πθ≤<0），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么θ是多少弧度？4、若22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是________。

【课中研讨】：例1、已知角θ的终边经过点)0)(,3(≠-m m P ，且m42sin =θ，试判断角θ所在的象限，并求θcos 和θtan 的值.变式：已知角α的终边经过点)0)(3,4(≠a a a P ，则2sin cos αα+的值为_______例2、求函数的定义域：lg sin y x =变式1、函数的定义域为lg(2sin 1)y x =- 变式2、函数的定义域为y =变式3、集合{}2,,403A x k x k k Z B x x ππππ⎧⎫=+≤<+∈=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =变式4、函数y =例3、若α为锐角，试比较,sin ,tan ααα之间的大小关系。

【配套K12】高三总复习解三角形教案

高三总复习解三角形教案高三总复习解三角形教学设计大方三中余学敏课标要求1、通过题型设计，培养学生对这类题的解题思路与技巧2、解题过程中规范学生答题3、培养学生用解三角形的思想解决生活中的问题三维目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的应用方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过对问题题设的分析，得出合理的解题方法。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点：培养学生正解的解题思维●教学难点：正确使用符号与逻辑语言表达解题过程●教学方法：引导式，参与式与对比教学相结合教学过程一、考情分析本知识点近五年考查情况如下20XX年选择题第4，解答题第18题共17分20XX年解答题第17 共10分 20XX年解答题第18 共12分 20XX年解答题第17 共12分 20XX 年选择题第4 共5分思考：根据近几年的考查情况，你有什么想法？二、20XX年考纲要求能用正余弦定理解决三角形的度量问题，能用与三角形有关的知识解决三角形的测量和几何计算问题。

三、学习目标要求1、识记三角形的有关知识2、正确判断考查题型3、总结相关题型的解题方法与技巧4、规范答题过四、归纳与三角形有关的知识点 1、三角形的角角关系：2、角形的边边关系：3、三角形的分类及判断方法：4、三角形的周长与面积计算法：5、与三角形有关的定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinAbsinBcsinC=2R余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC五、关注题型，提高应用一、选择题1、已知△ABC中。

【K12学习】XX届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案

XX届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第二讲三角变换与解三角形【最新考纲透析】．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换。

．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

【核心要点突破】要点考向1：三角变换及求值考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。

．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。

．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。

考向链接：1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形；角的变换；。

．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

例1：已知向量,且求tanA的值；求函数R)的值域解析：由题意得•n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.由知tanA=2得因为xR,所以.当时，f有最大值，当sinx=-1时，f有最小值-3所以所求函数f的值域是要点考向2：正、余弦定理的应用考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。

．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。

．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。

【配套K12】年高考数学第二轮复习三角函数教学案

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：三角函数第1课时三角函数与三角变换考纲指要：主要考察三角函数的图象与性质，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明等三角变换的基本问题。

考点扫描：1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；2．函数y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ )的图象；3．两角和与差的三角函数，二倍角公式。

考题先知：例1.不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值分析：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41解法二设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°41点评：题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高例2．某市环保部门对该市每天环境污染情况进行调查研究后，得出一天中环境污染指数)(x f 与时间x （小时）的函数关系为]24,0[,231)1824sin(21)(∈+++-=x a a x x f π，其中a 为与气象有关的参数，且]43,0[∈a 。

浅谈高考二轮复习课《解三角形》教学设计

浅谈高考二轮复习课《解三角形》教学设计作者：郑有礼来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2019年第06期摘;要：教学设计不仅重视教师的教，更要重视学生的学。

怎样使学生学得更好、怎样才能达到更好的教学效果是教学设计不可或缺的，高效课堂的创建离不开完美的教学设计。

笔者在数学高考二轮备考的一节复习课《解三角形》的教学中，通过从为何教、教什么、教与学三个方面进行了教学设计，创建高效课堂。

关键词：浅谈;解三角形;教学设计中图分类号：G633.64;;;;;;;;;;;文献标识码：A文章编号：1992-7711（2019）06-088-1教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划，教学设计对高效课堂的创建尤为重要。

《解三角形》是高中数学人教A版必修5的第一章内容，结合笔者在数学高考二轮备考的一节复习课《解三角形》的设计，从三个方面浅谈其教学设计。

一、为何教教的原因是由教材与课标决定的，《解三角形》是初中《解直角三角形》知识的延续和扩展，它与高中数学中的《平面向量》、《三角函数》、《三角恒等变换》、《立体几何》、《解析几何》、《不等式》等章节的知识能够形成完美的交汇。

《解三角形》也是数学高考全国二卷中的必考内容，难度系数不大，学生容易得分，并且它与现实生活有很密切的联系，应用非常广泛，渗透十分强烈，能够充分体现数学的使用价值。

同时通过《解三角形》的学习能够很好的提高学生的数学能力，提升学生的数学素养。

所以，不但要教，而且要教好。

二、教什么教的内容是由学情决定的，解三角形的最主要的依据是正弦定理、余弦定理。

这两个定理是三角形中的重要边角关系，学生存在的普遍问题是知道正余弦定理的内容，但不会灵活的应用两个定理解三角形，也就是解三角形的时候，学生不清楚什么情况下利用正弦定理，又在什么情况下利用余弦定理，乱用公式的现象非常严重;通过学习还要提高学生的运算能力，规范学生的解析水平;同时，通过学习还要让学生体会各种数学思想与方法，提高数学素养。

教育最新K122019高考数学二轮复习基础回扣(三)三角函数、解三角形、平面向量学案理

基础回扣(三) 三角函数、解三角形、平面向量[要点回扣]1．终边相同的角α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[对点专练1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． [答案] －152．诱导公式简记为“奇变偶不变，符号看象限”．[对点专练2] cos 9π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＋sin21π的值为________． [答案]22－333．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[对点专练3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )4．三角的恒等变形中常见的拆角、拼角技巧 α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. [对点专练4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.[答案] －56655．解三角形已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .[对点专练5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. [答案] 45° 6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b (a ≠0，b ≠0)⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[对点专练6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________．[答案] ④ 7．投影a 在b 上的投影＝|a |cos a ，b ＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 投影是一个实数，可以是正数、负数或零．注意：a ，b 为锐角⇔a ·b >0且a 、b 不同向；a ，b 为直角⇔a ·b ＝0且a 、b ≠0； a ，b 为钝角⇔a ·b <0且a 、b 不反向．[对点专练7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________．[答案]1258．数量积的运算当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ；当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a·b )c 与a (b·c )不一定相等，(a·b )c 与c 平行，而a (b·c )与a 平行．[对点专练8] 下列各命题：①若a·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a·b ＝a·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a·b )c≠a (b·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．[答案] ④[易错盘点]易错点1 忽视角的范围致误【例1】已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________. [错解] ∵α、β为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34π.[错因分析] 错解中没有注意到sin α＝55，sin β＝1010本身对角的范围的限制，造成错解．[正解] 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255， cos β＝1－sin 2β＝31010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中的角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解．[对点专练1](1)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13(2)设α为锐角，若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为________．[解析] (1)∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝169，∴sin2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin2θ＝－23，故选B. (2)依题意得cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝45，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，又α为锐角，因此π6<π6＋α<2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425.[答案] (1)B (2)2425易错点2 图象变化不清致误【例2】要得到y ＝sin(－3x )的图象，只需将y ＝22(cos3x －sin3x )的图象上所有的点( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度[错解] ∵y ＝22(cos3x －sin3x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. ∴把y ＝sin(－3x )的图象向右平移π12个单位长度即可得到y ＝22(cos3x －sin3x )的图象，选D.[错因分析] 题目要求由y ＝22(cos3x －sin3x )的图象得到y ＝sin(－3x )的图象，位置颠倒导致错误．[正解] y ＝22(cos3x －sin3x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，要由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos3x －sin3x )的图象向左平移π12个单位，故选C.函数图象的左右平移是自变量x 发生变化，如ωx →ωx ±φ(φ>0)这个变化的实质是x →x ±φω，所以平移的距离并不是φ.[对点专练2](1)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ①函数图象关于直线x ＝－π12对称；②函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称；③函数图象可看作是把y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位而得到；④函数图象可看作是把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到．以上叙述所有正确的是________(填写序号)．[解析] (1)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个单位所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos2x ，即y ＝－cos2x ，令2x ＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2，k ∈Z ，即对称轴方程为x ＝k π2，k ∈Z ，故选A.(2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴为2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k∈Z .而当x ＝－π12时，k 无解，故①错误；函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象的中心对称点的横坐标为2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝5π12，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，故②正确；将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位得到的函数图象为y＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故③错误；利用三角函数伸缩性易得④正确，所以正确的有②④.[答案] (1)A (2)②④易错点3 三角形解的个数不清致误【例3】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3. (1)若C ＝π3，求A ；(2)若A ＝π6，求b ，C .[错解] (1)在△ABC 中，a sin A ＝csin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝12，∴A ＝π6或5π6. (2)由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝32，∴C ＝π3，由C ＝π3知B ＝π2，∴b ＝a 2＋c 2＝2.[错因分析] 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2.这样就出现漏解的错误．[正解] (1)由正弦定理得a sin A ＝csin C ，即sin A ＝a sin C c ＝12. 又a <c ，∴A <C ，∴0<A <π3，∴A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝3·sinπ61＝32，∴C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝π2，∴b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，∴b ＝1.综上所述，b ＝2或b ＝1.已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．[对点专练3](1)若满足条件AB ＝3，C ＝60°的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(2，3) C ．(3，2)D ．(2，2)(2)在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为________． [解析] (1)若满足条件的三角形有两个，则32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝ABsin C＝2，故BC ＝2sin A ，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，所以3<BC <2，故选C.(2)由AC sin B ＝ABsin C，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝23×sin30°2＝32. ∵AB >AC ，∴C >B .∴C ＝60°或120°. ∴A ＝90°或30°.由△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ，得S ＝23或 3.[答案] (1)C (2)23或 3 易错点4 忽视向量共线致误【例4】已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________．[错解] ∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝2λ＋15·λ2＋1. 因为θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. [错因分析] 当向量a ，b 同向时，θ＝0，cos θ＝1满足cos θ>0，但不是锐角． [正解] ∵θ为锐角，∴0<cos θ<1.又∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝2λ＋15·λ2＋1， ∴0<2λ＋15·λ2＋1且2λ＋15·λ2＋1≠1， ∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧λ⎪⎪⎪⎭⎬⎫λ>－12且λ≠2.在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a ，b 为非零向量，a 与b 的夹角为θ，则①θ为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不同向；②θ为直角⇔a ·b ＝0；③θ为钝角⇔a ·b <0且a ，b不反向．[对点专练4](1)已知向量a ，b 不共线，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ，则“A ，B ，C 三点共线”是“λ1λ2＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3.若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则实数t 的范围为________．[解析] (1)依题意，由A ，B ，C 三点共线，可设AB →＝mAC →(m ≠0)，则有λ1a ＋b ＝m a ＋m λ2b ，又a ，b 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ1，m λ2＝1，得λ1λ2＝1.反过来，由λ1λ2＝1显然能得出A ，B ，C三点共线．综上所述，“A ，B ，C 三点共线”是“λ1λ2＝1”的充分必要条件，故选C.(2)(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2) ＝2t |e 1|2＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t |e 2|2＝2t ×4＋2t 2＋7＋7t ＝2t 2＋15t ＋7∵向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， ∴2t 2＋15t ＋7<0，得－7<t <－12.由2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2反向，得t ＝－142. 故t 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. [答案] (1)C (2)⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12 易错点5 向量夹角概念不清致误【例5】已知等边△ABC 的边长为1，则BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝________. [错解] ∵△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，向量AB →、BC →、CA →间的夹角均为60°.∴BC →·CA →＝CA →·AB →＝AB →·BC →＝12.∴BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝32.[错因分析] 数量积的定义a·b ＝|a |·|b |·cos θ，这里θ是a 与b 的夹角，本题中BC →与CA →夹角不是∠C .两向量的夹角就为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图BC →与CA →的夹角应是∠ACD .[正解] 如图BC →与CA →的夹角应是∠ACB 的补角∠ACD ，即180°－∠ACB ＝120°. 又|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，所以BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos120°＝－12.同理得CA →·AB →＝AB →·BC →＝－12.故BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝－32.在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误．平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质变成纯三角问题．[对点专练5](1)在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，点D 满足2BD →＝3DC →，∠BAC ＝60°，则AD →·BC →＝( )小学+初中+高中小学+初中+高中 A ．－85 B.95 C.85 D ．－95(2)已知△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为________．[解析] (1)因为2BD →＝3DC →，所以BD →＝35BC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋35BC →＝AB →＋35(AC →－AB →)＝35AC →＋25AB →，所以AD →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35AC →＋25AB →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35AC →＋25AB →·(AC →－AB →)＝35AC →2－15AB →·AC →－25AB →2＝35×22－15×2×3×cos60°－25×32＝－95，故选D.(2)因为S △ABC ＝12×4×1×sin A ＝3，所以sin A ＝32，得A ＝π3或A ＝2π3，AB →·AC →＝1×4×cos A ＝±2.[答案] (1)D (2)±2。

精品K12学习高考学习复习资料数学二轮复习解三角形学案1 理

二轮复习专题：解三角形§1正弦定理和余弦定理【学习目标】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.会利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的几何计算问题3.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：正弦定理和余弦定理的应用。

【高考方向】正弦定理、余弦定理和三角函数结合。

【课前预习】：一、知识网络构建1.正弦定理、余弦定理和常用的变形有哪些？2.三角形常用的面积公式有哪些？二、高考真题再现[2014·安徽卷] △ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=3，c=1，A=2B（1）求a 值（2）求sin(A )4π+的值三、基本概念检测1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若－c )·cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.2．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2b ＝c (b ＋2c )，若a ，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )2 D ．34. 在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝a 满足的条件是( )A ．0＜a ＜．a ＝6 C ．a ≥a ＝6 D ．0＜a ≤a ＝65.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝4，tan A ＝2，则sin A ＝_________；a ＝________.【课中研讨】：例1.在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______例2. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．例3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且A ，B ， C 成等差数列，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状．例4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值； (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．【课后巩固】 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 2．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2b －c )·c os A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；，试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)若a S△ABC＝4。

高三理科数学二轮复习解三角形学案 1

二轮复习专题：解三角形解三角形的综合应用§2【学习目标】1.会利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的几何计算问题导能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实2.际问题3.解三角形和向量等知识的综合学4.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐【学法指导】先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成1.系统的认识；案限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；2.3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：正弦定理和余弦定理的应用。

装【高考方向】正弦定理、余弦定理在实际中的应用及与三角函数、向量等知识的结合。

【课前预习】：一、知识网络构建订俯角、仰角的概念1.线方向角和方位角的概念2.二、高考真题再现上测得正前方的河流的两如图，从气球A][2014·四川卷oo，，，岸BC的俯角分别为，此时气球的高是3067m46用四舍五入法将结果（.则河流的宽度BC约等于m oo0.39?0.92cos67sin67?，，精确到个位.参考数据：oo1.73?30.80?cos3737sin?0.60，），三、基本概念检测C22sinsin??B sin A . 的最小值是1. 若的内角满足，则C cos?ABCMP海里的的南偏西75°距塔2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔68N) 处，则这只船航行的速度为( 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的217176 海里/时海里/时 C. 34A. 海里/时 B．6 22 时2 海里/D．34，所对应的边分别为、、角在中，、已知、，3. ca b2bb cos C?Cc cos?ABCB?BA a则?bABCABABABC的形状是( >sin中，角、，则△均为锐角，且cos) 在△4.A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形AB处测得小海里内有暗礁，船向正南航行，在如图所示，海中小岛周围385.ACA在船的南偏东在45°处测得小岛在船的南偏东30°方向，航行30海里后，岛方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【课中研讨】：ABCABACBCDBCADC＝45°，3，点边上，∠＝＝2，在＝2例1．如图，△中，AD 的长度．求例2. 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目?的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°，PAP标点，需计算由点观察点的仰角?的最大值 .则tancbAABCBCa，向量，，，例3．在锐角△中，已知内角的对边分别为，rurrur B????2，且向量，1?cos n?2B,2cos3C),?2sin(A m?nm P??2??B）求角的大小（1ABC，求△的面积的最大值（2）如果b=1【课后巩固】ABCBBCA＝120°，，现测得∠两地的已知距离为20 、0 两地的距离为1km，km、1．CA)( 则，两地的距离为导7 km．10．105 km D3 km CA．10 km B．10学12A相距的南偏西60°方向的B处，且与岛屿如图，渔船甲位于岛屿A．2出发沿正北方向航行，若渔船小时的速度从岛屿A海里，渔船乙以10海里/案 2小时追上．B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用甲同时从(1)求渔船甲的速度； (2)求sinα的值．装订线r rrrr1???????x?b,3cosg a??b2f(x)?a1x sin,a??，，函数已知向量3.??2??（1）求函数的最小正周期T)f(x（2）已知分别为三个内角的对边，其中A为锐角，，C,,a,bcBA,ABC?32a?ABC 的面积，且c=4求△1(fA?)【反思与疑惑】：请同学们将其集中在典型题集中。

(新高考)高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练第1讲解三角形教学案理-人教版高三全册

讲重点·解答题专练■真题调研——————————————【例1】 [2019·全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24. 【例2】 [2019·全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sinA ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C ＜90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. 【例3】 [2019·北京卷]在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得c ＝5. 所以b ＝7.(2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314. 在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角．所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.【例4】 [2019·江苏卷]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得23＝(3c )2＋c 2－(2)22×3c ×c ，即c 2＝13. 所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255.■模拟演练——————————————1．[2019·长沙、南昌联考]如图，在平面四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAD 为钝角，∠BCD ＝120°，BC ＝CD ＝2，AB ∶AD ＝2∶1.(1)求△ABD 的外接圆半径； (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵BC ＝CD ＝2， ∠BCD ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°. 在△BCD 中，由余弦定理，得BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD＝22＋22－2×2×2cos120°＝2 3. 在△ABD 中，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，∴sin ∠ADB ＝AB AD ·sin∠ABD ＝22， ∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝105°.又sin105°＝sin75°＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝6＋24， ∴△ABD 的外接圆直径2R ＝BD sin ∠BAD ＝236＋24＝62－26，∴△ABD 的外接圆半径R ＝32－ 6. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，∴AB ＝BD sin ∠ADBsin ∠BAD ＝23×226＋24＝6－2 3.又∠ABC ＝2∠ABD ＝60°，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×(6－23)×2×32＝3(3－1)．2．[2019·武汉2月调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝2，b ＝3，sin2C ＋sin A ＝0.(1)求c ；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由sin2C ＋sin A ＝0知， 2sin C ·cos C ＋sin A ＝0，∴2c ·a 2＋b 2－c 22ab＋a ＝0，∴c (a 2＋b 2－c 2)＋a 2·b ＝0，而a ＝2，b ＝3， ∴c (4＋9－c 2)＋12＝0，即c 3－13c －12＝0， ∴(c ＋1)(c ＋3)(c －4)＝0，而c >0，∴c ＝4. (2)在△ABC 中，由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋16－92×2×4＝1116，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11162＝31516，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B＝12×2×4×31516 ＝3154.3．[2019·南昌一模]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0<ω<π2，|φ|<π2)的部分图象如图所示，A (0，3)，C (2,0)，并且AB ∥x 轴．(1)求ω和φ的值； (2)求cos ∠ACB 的值．解：(1)由已知得f (0)＝2sin φ＝3，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.因为f (2)＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω＋π3＝0，所以2ω＋π3＝k π，k ∈Z ，解得ω＝k 2π－π6，k ∈Z ，而0＜ω＜π2，所以ω＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3，令f (x )＝3，得π3x ＋π3＝2k π＋π3或π3x ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，所以x ＝6k 或x ＝6k ＋1，由题图可知，B (1，3)，所以CA →＝(－2，3)，CB →＝(－1，3)，所以|CA →|＝7，|CB →|＝2，所以cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝527＝5714.4．[2019·广州综合测试一]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c cos B ＝(3a －b )cos C .(1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)解法一：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由正弦定理得sin C cos B ＝(3sin A －sin B )cos C ，即sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.解法二：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.(2)解法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24，即(a －b )2＋43ab ＝24.因为b －a ＝2，所以ab ＝15. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2. 解法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24.又b －a ＝2，所以a ＝3，b ＝5. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.。

【K12学习】XX届高考数学三角函数、三角变换、解三角形、平面向量备考复习教案

XX届高考数学三角函数、三角变换、解三角形、平面向量备考复习教案专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：．掌握三角函数的概念、图象与性质；熟练掌握同角公式、诱导公式、和角与差角、二倍角公式，且会推导掌握它们之间的内在联系。

掌握正弦、余弦定理，平面向量及有关的概念，向量的数量积以及坐标形式的运算。

．熟练掌握解决以下问题的思想方法本专题试题以选择题、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊方法，如数形结合法、函数法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等。

另外对有些具体问题还要掌握和运用一些基本结论。

．特别关注与三角函数的图象与性质有关的选择、填空题；向量、解三角形以及三角函数的图象与性质等知识交汇点命题；与测量、距离、角度有关的解三角形问题。

讲三角函数的图象与性质【最新考纲透析】．了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

．理解任意角三角函数的定义。

．能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，了解三角函数的周期性。

．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，]的性质，理解正切函数在区间的单调性。

．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.．了解函数y=Asin的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响。

．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

【核心要点突破】要点考向1：三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用考情聚焦：1．三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用，在近几年高考中时常出现。

．该类问题出题背景选择面广，易形成知识交汇题。

．多以选择题、填空题的形式出现，属于中、低档题。

考向链接：1．三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值。

【K12学习】与三角形有关的角(教案)

与三角形有关的角(教案)与三角形有关的角教学任务分析教学目标知识技能熟练掌握三角形内角和定理及外角性质数学思考1. 掌握三角形内角和定理及外角性质2. 培养学生分解基本图形及添加辅助线构造基本图形的能力3. 通过运用三角形内角和定理及外角性质证明几何问题，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度4. 通过对问题的分析与讨论，发展学生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转化的辩证思想。

解决问题尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效的解决问题情感态度通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的推理能力及学习热情。

重点添加辅助线构造基本图形的能力难点三角形内角和定理及外角性质教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 复习回忆三角形内角和定理及外角性质活动2 创设情境，探究尝试活动3 设问质疑，类比联想活动4拓展思维，变式训练活动5 小结，布置作业通过对旧知识的复习回忆巩固并加深学生的理解和记忆，为新课的学习做好铺垫把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲。

同时让学生体会从特殊到一般的思考问题方法。

综合运用新旧知识分析问题、解决问题。

体验数学活动的运动变化。

小结及课后探究习题梳理所学知识，达到巩固、发展、提高的目的。

教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1问题1：你还记得三角形内角和定理及外角性质吗？问题2：你还记得如何证明三角形内角和定理吗？学生思考并回答问题教师提出问题并对学生的问答做出总结：三角形内角和是1800；外角等于与它不相邻的两个内角的和。

在学生回答的基础上教师着重指出添加辅助线是几何证明中常用的方法，正确合理的添加辅助线往往能简单、迅速的解决问题通过对旧知识的复习回忆唤醒学生已有知识，有助于后继问题的解决把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲，为发现新知识创造一个最佳的心理和认知环境。

问题与情境师生行为设计意图活动2问题1：画一个形状类似下图的图形并测量、度数，看看它们存在怎样的关系？、及的问题2：刚才活动得到的结论你能猜想出什么吗？问题3：你能运用所学的知识证明这个结论吗？你能想出多少种不同的证明方法？学生动手用测量工具量出指定角的度数，通过测量计算得出四个角之间存在的关系。

配套K12江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣3 三角函数、解三角形、平面向量学案

3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2]cos 9π4＋tan⎝⎛⎭⎪⎫－7π6＋sin 21π的值为______________________________________．答案22－333．正弦、余弦和正切函数的常用性质[问题3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间是________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 答案－56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(ⅳ)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R .②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.答案 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)．[问题6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，又sin x ∈[－1,1]， ∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a ||b |cos θ，变形：|a |2＝a 2＝a·a ， cos θ＝a·b|a||b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向；〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．[问题7] 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．答案 22解析由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.8．向量中常用的结论(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．反之也成立． (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． [问题8] 在△ABC 中，D 是边AB 的中点，E 是边AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为______________．答案 13，13解析由题意知，点F 为△ABC 的重心，如图，设H 为BC 的中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13.易错点1 忽视角的范围例1 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a 为大于1的常数)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是________．易错分析本题易忽略隐含条件tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，从而导致错误．解析 ∵a >1，∴tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，∴tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根．又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，即α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，可得tan α＋β2＝－2.答案－2易错点2 图象变换方向或变换量把握不准例2 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象向__________平移________个单位长度．易错分析 (1)没有将f (x )，g (x )化为同名函数；(2)平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4，∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案左π8易错点3 三角函数单调性理解不透例3 求函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．易错分析对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数，如果ω<0，要求其单调区间，必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反．解 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .∴函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z .同理，函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .易错点4 解三角形时漏解或增解例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.易错分析在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12，又a <c ，所以A <C .所以A ＝π6. (2)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3，当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视题目中的制约条件例5 已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6，若在△ABC 中，满足f (A )＝32，b ＋c ＝2，求边长a 的取值范围．易错分析本题中有两点易错：确定角A 时忽视范围；求边长a 的取值范围时，忽视三角形中两边之和大于第三边的条件．解 f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝1＋cos 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 2x ＋12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.因为A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2知，bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a ，得a <2，所以a 的取值范围是[1,2)．易错点6 忽视向量共线例6 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________．易错分析误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0，即两向量同向的情况．解析由θ为锐角，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b >0，2≠λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋1>0，λ≠2，∴λ的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ>－12且λ≠2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ>－12且λ≠21．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．答案7π4解析 tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin θcos θ－3cos 2θ的值为________．答案－2解析由题意得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∴sin θcos θ－3cos 2θ＝sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ－3tan 2θ＋1＝12－3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－2. 3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________. 答案 3或－13解析因为sin α＋2cos α＝102，所以sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，所以3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝32，即3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13.4．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析由对称轴完全相同知，两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3. 5．在斜△ABC 中，若1tan A ＋1tan B＋tan C ＝0，则tan C 的最大值是________．答案－2 2解析在斜△ABC 中，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝tan(π－(A ＋B ))＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B，又∵1tan A ＋1tan B＋tan C ＝0， ∴tan C ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan A ＋1tan B ＝－tan A ＋tan B tan A tan B ， ∴－tan A ＋tan B tan A tan B ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B∴tan A tan B ＝1－tan A tan B ，∴tan A tan B ＝12， ∵tan A tan B ＝12>0，tan A 与tan B 同号，又∵在△ABC 中，tan A >0，tan B >0，∴tan C ＝－2(tan A ＋tan B )≤－2×2tan A tan B ＝－2×2×22＝－22，当且仅当tan A ＝tan B ＝22时“＝”成立， ∴tan C 的最大值为－2 2.6．(2018·苏州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52，则a ，c 的夹角大小为________．答案 120°解析设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ，∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52， ∴a ·c ＝－52， ∴cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525·5＝－12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.7．已知f 1(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调增区间是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) 解析由题意知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ， f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27 解析由正弦定理知，AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°<C <120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.9．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β的值为________．答案 1解析 tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)，分式同除以cos(α＋β)cos(α－β)，tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝1＋21＋1×2＝1. 10．在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝1，AD ＝3，P 为平行四边形内一点，且AP ＝32，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋3μ的最大值为________．答案 1解析 ∵AP →＝λAB →＋μAD →，∴|AP →|2＝(λAB →＋μAD →)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝λ2|AB →|2＋μ2|AD →|2＋2λμAB →·AD →. 又AB ＝1，AD ＝3，∠BAD ＝60°，∴AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos 60°＝32， ∴34＝λ2＋3μ2＋3λμ， ∴(λ＋3μ)2＝34＋3λμ≤34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋3μ22， ∴(λ＋3μ)2≤1，∴λ＋3μ的最大值为1，当且仅当λ＝12，μ＝36时取等号． 11．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求函数f (x )的值域； (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的解析式．解 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)所以最小正周期T ＝2π2＝π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22. (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝22sin 2x . 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的值；(2)若cos A sin C ＝3－14，求角A 的值．解 (1)因为a sin A ＝b sin B，所以b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝3a cos B ，所以3a cos B ＝a sin B ，即tan B ＝3，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)因为cos A sin C ＝3－14，所以cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3－14， cos A ⎝⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝32cos 2A ＋12sin A ·cos A ＝32·1＋cos 2A 2＋14sin 2A ＝34＋34cos 2A ＋14sin 2A ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝3－14，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－12，因为B ＝π3，所以0<A <2π3，所以2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3，所以2A ＋π3＝7π6，A ＝5π12.。

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二轮复习专题：解三角形
§1正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2.会利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的几何计算问题
3.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐
【学法指导】
1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；
2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
4.重点理解的内容：正弦定理和余弦定理的应用。

【高考方向】
正弦定理、余弦定理和三角函数结合。

【课前预习】：
一、知识网络构建
1.正弦定理、余弦定理和常用的变形有哪些？
2.三角形常用的面积公式有哪些？
二、高考真题再现
[2014·安徽卷] △ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=3，c=1，A=2B
（1）求a 值
（2）求sin(A )4π+
的值
三、基本概念检测
1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若－c )·cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.
2．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b
＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形
3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2b ＝c (b ＋2c )，若a ，cos A ＝78
，则△ABC 的面积等于( )
2 D ．3
4. 在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝a 满足的条件是( )
A ．0＜a ＜．a ＝6 C ．a ≥a ＝6 D ．0＜a ≤a ＝6
5.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝
4 ，tan A ＝2，则sin A ＝_________；a ＝________.
【课中研讨】：
例1.在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=
，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______
例2. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45
，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；
(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．
例3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且A ，B ， C 成等差数列，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状．
例4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值； (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．【课后巩固】 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 2．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________ 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2b －c )·c os A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；
(2)若a
S △ABC
＝4，试判断△ABC 的形状，并说明理由．。

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