2015年高中数学同步检测:2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》(人教A版必修2)]

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高一数学人教A版必修2课后练习2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系及解析

高一数学人教A版必修2课后练习2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系及解析

课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是( )A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析:两异面直线的公垂线必须满足两个条件:(1)与两异面直线都垂直;(2)都相交.答案:B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交,则直线a、b的位置关系是( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线,也可能是相交直线解析:a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案:D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析:已知a与b异面,a∥l,则l与b相交或异面(如图).答案:D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析:如图正方体中:AB与BC相交;AB与CD异面;AE∥CD.答案:D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )A.2对B.3对C.6对D.12对解析:长方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1成异面直线的棱有:BB1;BC;A1B1;A1D1;DD1;DC.答案:C6四面体PABC中,PA⊥BC,E、F分别为PC、AB的中点,若EF与PA、BC成的角分别为α、β,则α+β等于( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析:如图取PB的中点D,连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点,∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案:C7“a、b是异面直线”是指( )①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α,b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析:由异面直线的定义知:这两条直线不同在任何一个平面内,即它们既不平行,也不相交,应选①④.答案:C8如图,已知不共面的直线a、b、c相交于O点,M、P是直线a上的两点,N、Q分别是直线b、c上的一点.求证:MN和PQ是异面直线.证明:假设MN和PQ共面于α,则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内,同理,可证C也在α内,与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误,故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”,正六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有________对.解析:如图,若成异面直线,则必是底边与侧棱各取一条,在底面上任取一条,如AB其异面直线为PF,PE,PD,PC共4对,∴4×6=24对.答案:2410一条直线和这条直线外不共线的三个点,能够确定平面的个数是( )A.1B.4C.3D.1或3或4解析:有三种情况:①直线与三点共一个面;②直线与三个点分别组成平面,则有三个;③在②的基础上,这三个点确定一个面,则有4个.选D.答案:D11已知:a 、b 是异面直线,a 上有两点A 、B,距离为8,b 上有两点C 、D,距离为6,BD 、AC 的中点分别为M 、N,且MN=5,求证:a ⊥b.证明:如图所示,连结BC,取BC 的中点P,连MP 、NP.在四边形ABCD 中,MP 是中位线,∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理,NP ∥AB 且NP=21AB=4,在△PMN 中,∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°.∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角,∴a,b 所成的角为90°,∴a ⊥b.拓展探究12如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点,AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证:(1)D 、B 、F 、E 四点共面;(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点,则P 、Q 、R 三点共线.证明:(1)∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线,∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中,B 1D 1∥BD,∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面,即D 、B 、E 、F 四点共面.(2)正方体AC 1中,设A 1ACC 1确定的平面为α,又设平面DBFE 为β.∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点.同理,P 点也是α与β的公共点,∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ.故P 、Q 、R 三点共线.。

2015-2016学年高一数学人教A版必修2课件:2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

2015-2016学年高一数学人教A版必修2课件:2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

2. 1.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目1.理解异面直线的概念和画法.2 •理解并掌握公理4及等角定理.3.结合图形,正确理解空间中直线与直线的位置关系(特别是两条直线的异面关系),理解并掌握异面直线所成角的求法.题型一空间直线位置关系的判定例1已知三条直线",b, c,"与b异面,b 与c异面,那么“与c有什么样的位置关系?并画图说明.解析:直线"与c的位置关系有三种情况,如图所示•逐一验①②,面,见图③. ?系时,常常»跟踪训练1.下列条件中,一定能推出"与b是异面直线的是(D)A.“,c异面且b, c异面B.“〃c, b与c相交C.a, b分别与c相交D・J U丫血(1, bQa=A_ELA年a题型二证明两条直线的异面直线例2已知直线AB, CD是异面直线,求证:直线AC, BD是异面直线. 证明:假设AC和BD不是异面直线,则AC和BD在同一平面内,设这个平面为a(如图).VACCa z BDCa ,••・A , B C D四点都在(X内,AABCa,CDCa,这与已知中AB和CD是异面直线矛盾z故假设不成立. ・•・直线AC和BD是异面直线.点评:判定两直线为异面直线的常用方法为反证法.»跟踪训练2.女口图,已知aAp = a, bUp, aPlb = A,且cUa, a/7c,求证:b, c是异面直线.证明(反证法):假设b , C不是异面直线,即b , C共面,・・・b与C平行或相交・⑴当bAc = P时,已知bu卩,cCa ,又aAp = a ,贝IJpebCp ,且PGcUa ,•••P在a与卩的交线上,即PF.a n c = P ,此与已知"〃C矛盾・⑵当b〃c时,由公理4 , b//a ,与aAb = A矛盾・Ab , c为异面直线・题型三求异面直线所成的角例3在空间四边形ABCD中,AD = BC = 2“,E, F分别是AB, CD的中点, EF=a,求AD, BC所成的角.分析:要求异面直线AD z BC所成的角,可通过空间中找一些特殊的点.此题已知E , F分别为两边中点,故可寻找某一边中点作角,如BD中点M,即ZEMF(或其补角)为所求角・解析:如图,取BD中点M ,由题意可知EM为ABAD的中位线,DCJEM統沁同理MF統祉;.EM=a, MF=a,且ZEMF(或其补角)为所求角.在等腰AMEF中,取EF的中点N,连接MN,则MN丄EF.又已知EF=V3a, AEN=^a.故有血ZEMN=^=¥・A/EMN=60° ,从而ZEMF=120° >90°•/.AD, BC所成的角为ZEMF的补角,即AD和BC所成的角为60°•点评:在求异面直线所成角的过程中要注意以下问题:⑴由走义作角的顶点一定要恰当,所选点的位置同计算角的难易有直接关系(当然此题选AC中点连接三角形效果也一样);(2)按定义所作角由图形反映出来,不一定就是所求的角,若不是则一定是其补角,这是由异面直线所成角的范围(0 , 90。

高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)课件 新人教A版必修2

高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)课件 新人教A版必修2

3、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
(A)异面
(B)平行
(C)相交
(D)以上都有可能
4、异面直线a,b满足a,b,∩=l,则l与a,b的 位置关系一定是( )
(A)l与a,b都相交 (B)l至少与a,b中的一条相交 (C)l至多与a,b中的一条相交 (D)l至少与a,b中的一条平行
(1)
B
个平面内的两条直线
叫做异面直线(skew N lines)
C1
A1
B1
主要特征:既不平行,也不相交
为了表示异面直线 a,b不共面的特点, 作图时,通常用一个或两个平面衬托,如下 图。
如图所示的是一个正方体的平面展开图,如果将它还原 为正方体,那么,AB,CD,EF,GH这四条线段所在 直线是异面直线的有几对?请你与同学们共同探究?看 谁说得最多?共3对:AB与CD,AB与GH,GH与EF
异面直线的判定方法:
定义法:此时需借助反证法,假设两条直线不 异面,根据空间两条直线的位置关系,这两条 直线一定共面,即这两条直线可能相交,也可 能平行,然后推出 矛盾即可。
定理法:即用判定定理,用该方法证明时,必 须阐述定理满足的条件: 然后可以推出
(2)
(3)
异面直线的判定定理: 过平外一点与平面内一点的直线,和平面内不 经过该点的直线是异面直线。
分析:
证明两条直线异面,如果从定义出发直接证明,即 需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”,若 一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此, 必须找到一个间接法来证明,反证法是一种比较有 效的好方法。
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种:
1、空间中两条直线的位置关系有( )
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种

【数学】2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》课件(新人教A版必修2).pptx

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新疆 王新敞
奎屯
例题示范
例3、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。
(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直?
解:(1)由异面直线的判 定方法可知,与直线 BA
成异面直线, 的有直线
BC, AD,CC, DD, DC, DC
平面有关知识(复习 )
判断下列命题对错: 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这条直线上
的所有点都在这个平面内。( )
2、将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课桌所在平
面只有一个公共点。
( )
3、四个点中如果有三一个平面内。
( )
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。( )
5、如果一条直线和另两条直线都相交,那么这三条直线可
以确定一个平面。
()
平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
公理2:过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
文字语言 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,
例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H
分别是AB,BC,CD,DA的中点。
求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析: 欲证EFGH是一个平行四边形
A
只需证EH∥FG且EH=FG
连结BD,只需证: 1
EH ∥BD且EH = BD
2
FG ∥BD且FG =1 BD 2

高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修

高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修

空间中直线与直线之间的位置关系知识导学:(1)理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法;(2)理解异面直线所成角的定义、X 围及应用,进一步培养空间想象能力.一、基础知识:1、平面的基本性质:2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.3、空间两条直线的位置关系:空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a(1) (2) (3)1A1C 4、异面直线所成的角:已知两条异面直线a与b,经过空间任一点O作直线a’//a,b’//b,直线a’与b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.异面直线所成的角的X围:(0︒,90]︒.如果两条异面直线所成的角是直角,叫做这两条直线互相垂直.注意:两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形.二、例题解析:例1、在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,则:(1)四边形EFGH是__________四边形;(2)若AC=BD,则四边形EFGH是_______;(3)若AC=BD,且AC⊥BD,则四边形EFGH是_______________。

例2、如图,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点,求EF和AB所成的角.例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,(1)与直线A1B异面的棱有(2)与直线CC1垂直的棱有____________________________;(3)直线A1B和CC1的夹角是______度;A1B和B1C的夹角是______度;(4)与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。

三、达标训练:1、关于异面直线下列说法正确的是()A.不相交的两条直线是异面直线B.分别在两个平面内的两条直线是异面直线C.没有公共点的两条直线是异面直线D.既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题:②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行。

【优质文档】高中数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

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所以 EF ∥ BC.
又在三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,BC∥ B1C1, 所以 EF ∥ B1C1. 答案 :平行
7.
如图 ,在长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中的平面 A1C1内有一点 P,经过点 P 作棱 BC 的平行线 ,应该怎样画 ? 并说明理由 . 解 :如图 ,在平面 A1C1 内过点 P 作直线 EF∥ B1C1,交 A1B1 于点 E,交 C1D 1 于点 F ,则直线 EF 即为所求 . 理由如下 :
60°角 .
3
A .一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.可能是平行直线 D.可能是异面直线 ,也可能是相交直线 解析 :
在如图所示的长方体中 ,直线 A1D 1与直线 AB 是异面直线 . 由图可知直线 A1A 和直线 A1B 都与直线 A1D1 和直线 AB 相交 ,此时直线 A1A 和直线 A1B 相交于
7.若∠ AOB= 120° ,直线 a∥ OA,a 与 OB 为异面直线 ,则 OA,根据等角定理 ,又因为异面直线所成的角为锐角或直角 ,所以 a 与 OB 所成的角为
60° . 答案 :60°
8.如图 ,在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中,异面直线 AC 与 B1C1 所成角的大小为
③直线 BN 与 MB 1是异面直线 ;
④直线 AM 与 DD 1 是异面直线 .
其中正确结论为
.(只填序号 )
答案 :③④
6.
4
如图 ,在三棱柱 ABC-A 1B1C1 中,E,F 分别是 AB,AC 上的点 ,且 AE∶EB=AF ∶FC,则 EF 与 B1C1的位置
关系是
.
解析 :在 △ABC 中 , 因为 AE ∶EB=AF ∶FC ,

高中数学人教A版必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

高中数学人教A版必修二   2.1.2  空间中直线与直线之间的位置关系

∴AM∶ME=AN∶NF=2∶1. ∴MN∥EF 且 MN=23EF. ∴MN∥BD(公理 4). ②MN=23EF=13BD=2.
探究 2 (1)公理 4 说明平行线具有传递性,证明空间中两直 线平行问题,经常转化为它们都与第三条直线平行来完成.这样 做实质上是把立体几何问题转化为一个平面或几个平面上的平 面几何问题.
(2)在正方体 AC1 中,E 是 CC1 的中点,画出平面 AED1 与正 方体各面的交线.
画法如下:①取 BC 中点 F;②连接 EF、连接 AF. 求证:A,D1,E,F 四点共面.
【证明】 EF 为△CC1B 的中位线,EF 綊12BC1,BC1 綊 AD1, ∴EF 綊12AD1.
∴A,D1,E,F 四点共面.
方法三:分别取 AA1,CC1 的中点 M,N,连接 MN,则 MN∥EF. 如图所示,连接 DM,B1N,则 B1N∥DM,且 B1N=DM,
∴四边形 DMB1N 为平行四边形. ∴MN 与 DB1 必相交. 设交点为 P.设 AA1=1, 则 MP= 22,DM= 25,DP= 23, ∴DM2=DP2+MP2.∴∠DPM=90°.∴DB1⊥EF. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
(2)构造异面直线所成角的方法有: ①过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线 的平行线,使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(空间 问题转化为平面问题); ②当异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困 难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交 于该点; ③通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.
方法二:如图,连接 A1D,取 A1D 的中点 H,连接 HE,则 HE∥DB1,且 HE=12DB1.于是∠HEF 为所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角.

高一数学必修2同步教师用书:第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

高一数学必修2同步教师用书:第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系[基础·初探]教材整理1空间直线的位置关系阅读教材P44~P45“探究”以上的内容,完成下列问题.1.异面直线(1)定义:把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法:(通常用平面衬托)图2-1-102.空间两条直线的位置关系共面直线相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点.平行直线:同一平面内,没有公共点.异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两条直线无公共点,则这两条直线平行.()(2)两直线若不是异面直线,则必相交或平行.()(3)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线.()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()【解析】(1)错误.空间两直线无公共点,则可能平行,也可能异面.(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种:平行、相交或异面.(3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线,和平面内过该点的直线是相交直线.(4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×教材整理2公理4及等角定理阅读教材P45“探究”以下至P46倒数第7行的内容,完成下列问题.1.公理4文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.符号表述:a∥bb∥c?a∥c.2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于()A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对【解析】因为AB∥PQ,BC∥QR,所以∠PQR与∠ABC相等或互补.因为∠ABC=30°,所以∠PQR=30°或150°.【答案】 B教材整理3异面直线所成的角阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容,完成下列问题.1.定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ_≤90°.3.当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b.如图2-1-11,正方体ABCD-A′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________.异面直线AD′与BC所成的角为________.图2-1-11【解析】∵A′B′∥AB,∴∠ABC为A′B′与BC所成的角,又∠ABC=90°,∴A′B′与BC所成的角为90°.∵BC∥AD,∴∠D′AD为AD′与BC所成的角,因为∠D′AD=45°,故AD′与BC所成的角为45°.【答案】90°45°[小组合作型]空间两直线位置关系的判定如图2-1-12,正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:图2-1-12①直线A1B与直线D1C的位置关系是________;②直线A1B与直线B1C的位置关系是________;③直线D1D与直线D1C的位置关系是________;④直线AB与直线B1C的位置关系是________.【精彩点拨】判断两直线的位置关系,主要依据定义判断.【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以①应该填“平行”;点A1、B、B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”;直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.【答案】①平行②异面③相交④异面1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面.[再练一题]1.(1)若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则()A.a∥c B.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b,a、c异面,则b与c()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】(1)若a、b是异面直线,b、c是异面直线,那么a、c可以平行,可以相交,可以异面.(2)若a∥b,a、c是异面直线,那么b与c不可能平行,否则由公理4知a ∥c.【答案】(1)D(2)C公理4、等角定理的应用如图2-1-13,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.图2-1-13(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形,可证其一组对边平行且相等;(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明.【自主解答】(1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体.∴AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点,∴AM=A1M1且AM∥A1M1,∴四边形AMM1A1为平行四边形,∴M1M=AA1且M1M∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,∴MM1=BB1且MM1∥BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1,∴∠BMC=∠B1M1C1.1.空间两条直线平行的证明一是定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线,梯形,平行四边形等关于平行的性质;三是利用公理4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.2.求证角相等一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.[再练一题]2.如图2-1-14,已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.图2-1-14求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;(2)∠DNM=∠D1A1C1.【证明】(1)如图,连接AC,在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点,∴MN是△ACD的中位线,∴MN∥AC,MN=12 AC.由正方体的性质得:AC∥A1C1,AC=A1C1.∴MN∥A1C1,且MN=12A1C1,即MN≠A1C1,∴四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,∴∠DNM=∠D1A1C1.[探究共研型]求异面直线所成的角探究1已知直线a,b是两条异面直线,如图2-1-15,如何作出这两条异面直线所成的角?图2-1-15【提示】如图,在空间中任取一点O,作直线a′∥a,b′∥b,则两条相交直线a′,b′所成的锐角(或直角)角θ即两条异面直线a,b所成的角.探究2异面直线a与b所成角的大小与什么有关,与点O的位置有关吗?通常点O取在什么位置?【提示】异面直线a与b所成角的大小只由a,b的相互位置有关,与点O的位置选择无关,一般情况下为了简便,点O常选取在两条异面直线中的一条上.如图2-1-16,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,若EF=3,求异面直线AD、BC所成角的大小.图2-1-16【精彩点拨】根据求异面直线所成角的方法,将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决.【自主解答】如图,取BD的中点M,连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点,所以EM綊12AD,FM綊12BC,则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角.因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,在Rt△MHE中,EM=1,EH=12EF=32,则sin∠EMH=32,于是∠EMH=60°,则∠EMF=2∠EMH=120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD、BC所成的角为60°.求两异面直线所成的角的三个步骤1.作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角.2.证:证明作出的角就是要求的角.3.计算:求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°< θ≤90°.[再练一题]3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与B1D1所成的角.【解】如图,连接BD、A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1綊BB1,∴四边形DBB1D1为平行四边形,∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线,∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60°.∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角,∴A1B与B1D1所成的角为60°.1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l() A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线【解析】不论l∥α,l?α还是l与α相交,α内都有直线m使得m⊥l.【答案】 C2.下列命题中,正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】由公理4及等角定理知,只有②④正确.【答案】 B3.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°,则β=________.【解析】由等角定理可知β=135°.【答案】135°4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1垂直且异面的棱有________.【解析】如图,与棱AA1垂直且异面的棱有DC,BC,D1C1,B1C1.【答案】DC,BC,D1C1,B1C15.如图2-1-17所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点,求EF和AB所成的角.图2-1-17【解】取AC的中点G,连接EG,FG,则FG∥CD,EG∥AB,所以∠FEG即为EF与AB所成的角,且FG=12CD,EG=12AB,所以FG=EG.又由AB⊥CD得FG⊥EG,所以∠FEG=45°.故EF和AB所成的角为45°.。

高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2

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第二课时空间中直线与直线之间的位置关系(一)教学目标1.知识与技能(1)了解空间中两条直线的位置关系;(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角公理;(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。

2.过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3.情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.(二)教学重点、难点重点:1、异面直线的概念; 2、公理4及等角定理.难点:异面直线所成角的计算.(三)教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合;教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题:在同一平面内,两条直线有几种位置关系?空间的两条直线还有没有其他位置关系?师投影问题,学生讨论回答生1:在同一平面内,两条直线的位置关系有:平行与相交.生2:空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系,如教室里的电灯线与墙角线……师(肯定):这种位置关系我们把它称为异面直线,这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知1.空间的两条直线位置关系:共面直线异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.师:根据刚才的分析,空间的两条直线的位置关系有以下三种:①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内,没有公共点.相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点③异面直线—不同在任何一个平面内,没有公共点.随堂练习:如图所示P50-16是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案:4对,分别是HG与EF,AB与CD,AB与EF,AB与HG. 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生:按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类:一类是平行直线和相交直线,它们是共面直线.一类是异面直线,它们不同在任何一个平面内.师(肯定)所以异面直线的特征可说成“既不平行,也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师:“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面,使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力,加深学生对空间的一条直线位置关系的理解(1)公理4,平行于同一条直线的两条直线互相平行(2)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补例 2 如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:连接BD,因为EH是△ABD的中位线,师:现在请大家看一看我们的教室,找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师:我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.师:现在请大家思考公理4是否可以推广,它有什么作用.生:推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师(肯定)下面我们来看培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导,培养学生解题能力.所以EH∥BD,且12EH BD=.同理FG∥BD,且12FG BD=.因为EH∥FG,且EH = FG,所以四边形EFGH为平行四边形. 一个例子观察图,在长方体ABCD–A′B′C′D′中,∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?生:从图中可以看出,∠ADC = ∠A′D′C′,∠ADC + ∠A′B′C′=180°师:一般地,有以下定理:……这个定理可以用公理4证明,是公理4的一个推广,我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图,在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师:在图中EH、FG有怎样的特点?它们有直接的联系吗?引导学生找出证明思路.探索新知3.异面直线所成的角(1)异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b,记作a⊥b.例 3 如图,已知正方体ABCD–A′B′C′D′.师讲述异面直线所成的角的定义,然后学生共同对定义进行分析,得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈;③因为点O可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O选在两条异面直线的某一加深对平面直线所成角的理解,培养空间想象能图力和转化化归以能力.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?(3)哪此棱所在的直线与直线AA′垂直?解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知,∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角,∠B′BA′= 45°.(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 条上;④找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;⑤当两条异面直线所成的角是直线时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a 和b互相垂直,也记作a⊥b;⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题随堂练习1.填空题:(1)如图,AA′是长方体的一条棱,长方体中与AA′平行的棱共有条.(2)如果OA∥O′A′,OB∥O′B′,那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案:(1)3条. 分别是BB′,CC′,DD′;(2)相等或互补.2.如图,已知长方体ABCD学生独立完成答案:.2.(1)因为BC∥B′C′,所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中,A′B′=23,B′C′=23,所以∠B′C′A′ = 45°.(2)因为AA′∥BB′,所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中,B′C′= AD =23,BB′= AA′=2,所以BC′= 4,∠B′BC′=60°.因此,异面直线AA′与BC′所成的角为60°.附加例题例1 “a、b为异面直线”是指:①a∩b =∅,且a∥b;②a⊂面α,b⊂面β,且a∩b =∅;③a⊂面α,b⊂面β,且α∩β=∅;④a⊂面α,b⊄面α;⑤不存在面α,使a⊂面α,b⊂面α成立.上述结论中,正确的是()A.①④⑤正确B.①③④正确C.仅②④正确D.仅①⑤正确【解析】①等价于a和b既不相交,又不平行,故a、b是异面直线;②等价于a、b 不同在同一平面内,故a、b是异面直线.故选D例2 如果异面直线a与b所成角为50°,P为空间一定点,则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.【解析】如图所示,过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′,因a 、b 成50°角,∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线,取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′>A ′PO ,∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ,已知AD =1,BD =3,且AD ⊥BC ,对角线BD =132,AC =32,求AC 和BD 所成的角。

高中数学必修二人教A版练习:2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系含解析.doc

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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交 (B)异面(C)相交或异面(D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.在三棱锥P ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )(A)20°(B)70°(C)110° (D)70°或110°解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°.3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解:如图,取BD的中点M,连接EM,FM.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以EM AD,FM BC,则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,则sin∠EMH=,于是∠EMH=60°,则∠EMF=2∠EMH=120°.所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.故选C.4.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C )(A)与a,b都相交(B)只能与a,b中的一条相交(C)至少与a,b中的一条相交(D)与a,b都平行解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.5.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与B1E是异面直线(B)C1C与AE共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE与B1C1所成的角为60°解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A 错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC 的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.答案:45°7.如图所示,已知正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为;(2)直线AB1和EF所成的角为.解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:(1)45°(2)60°8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:因为AD与BC成60°角,所以∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则==x.又BC=a,所以EF=ax.由==1-x,得EH=a(1-x).所以S四边形EFGH=EF·EH·sin60°=ax·a(1-x)×=a2(-x2+x)=a2[-(x-)2+].当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG 与IJ所成角的度数为( B )(A)90°(B)60°(C)45°(D)0°解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,所以HG与IJ所成的角为60°.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:还原成正方体如图所示,可知①正确.②AB∥CM,不正确.③正确.④MN⊥CD.不正确.答案:①③11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN 不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.12.如图,正方体ABCD EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.解:(1)如图,因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,因为HD EA,EA FB,所以HD FB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥A BCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.解:(1)因为==λ,所以EH∥BD,且EH=BD. ①又因为==μ.所以FG∥BD,且FG=BD. ②又λ=μ,所以EH FG(公理4).因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.(3)因为λ=μ,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为EG⊥HF,所以四边形EFGH为菱形.所以FG=HG.所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,又BD=FG=3FG,所以=.。

【测控设计】高一数学人教A版必修2同步测试:2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系.doc

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A组1•分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A.异面C.相交解析:B.平行D.以上都有可能如图,在长方体ABCDM\B\C\D\中,直线AD{在平面AA X D X D中,直线BB』G分别在平面BBCC中,但4D\//BCMD\与BB X异面,又直线在平面ABCD中,显然AD^AB=A.答案:D2.若直线ci,b,c满足a//丄c,则Q与c的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.相交但不垂直解析:Ta"b、.・.a与c所成的角就是b与c所成的角,:7?丄c,・:a_Lc.答案:C3.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析:如图有两种情况.答案:C4.若厶0B=Z4OB\,且CM 〃。

向Q/与0向的方向相同,则下列结论中正确的是()X.OB〃O\B\且方向相同B.OB//O\B\C.OB与05不平行D.OB与0B]不一定平行解析:如图①,ZAOB=ZAOB\,且OA//O\Ay.但OB与(隔不平行,故排除A,B;如图②, Z40B=Z4\0\B\,且OA//O}A},此时OB〃O\B\,故排除C.0——人a ~川图⑦0 A2 12 空间中直线与直线之间的位置关系Oi ------------- 4,答案:D5•空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边屮点,所组成的四边形是()A.梯形 B.矩形C.平行四边形D.正方形答案:D6.直线a,b不在平面a内,在平面«内的射影是两条平行直线,则a,b的位置关系是__________ .答案:平行或异面7._________ 若(95=120°,直线a//OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为.解析::N〃CM,根据等角定理,又:•异面直线所成的角为锐角或直角,•:a与OB所成的角为60°答案:60。

8•在正方体ABCD-A}B}C}Dy中,E,F,G,H分别为44\,4B,BB\,B、C\的中点,则异血直线EF 与所成的角为______________________ .解析:如图,连接/iB/CiMiG,则EF//A\B,GH//BC\,所以//与所成的角即为与GH所成的角.因为是等边三角形,所以//与BG所成的角为60。

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数学·必修2(人教A版)
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
基础达标
1.如果两条直线a和b没有公共点,则a和b( )
A.共面B.平行
C.异面 D.平行或异面
解析:a和b无公共点,两直线的位置关系为平行或异面.
答案:D
2.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为( )
A.90°B.45° C.60°D.30°
答案:D
3.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体的位置关系是( )
A.平行 B.相交且垂直
C.异面 D.相交成60°角
解析:把展开图还原到直观图,如图所示,连接AC,△ABC为等边三角形,AB与CD相交成60°角.
答案:D
4.已知m,n为异面直线,m⊂平面α,n⊂平面β,α∩β=l,则l( )
A.与m,n都相交
B.与m,n中至少有一条相交
C.与m,n都不相交
D.至多与m,n中的一条相交
解析:若m∥l,n∥l,则m∥n与m,n为异面直线矛盾,故l与m,n中至少有一条相交.
答案:B
5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为________.
答案:60°
6.对于平面α外的任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l( ) A.平行 B.相交
C.垂直 D.互为异面直线
答案:D
巩固提升
7.如图,空间四边形SABC 中各边及对角线长都相等,若E ,F 分别为SC ,AB 的中点,那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( )
A .90°
B .60°
C .45°
D .30°
解析:求EF 与SA 所成的角,可把SA 平移,使其角的顶点在EF 上,为此取SB 的中点G ,连接GE ,GF ,AE.
如图,由三角形中位线定理,得GE =12BC ,GF =1
2SA ,且GE∥BC,GF∥SA,则∠G FE 就是
EF 与SA 所成的角(或补角).若设此空间四边形边长为a ,那么GF =GE =12a ,EA =3
2
a ,
EF =
EA 2
-⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2=22
a ,
因此△EFG为等腰直角三角形,∠EFG=45°,
所以EF与SA所成的角为45°.
答案:C
8.如图,a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b的位置关系,并证明你的结论.
解析:假设EF和a共面,设这个平面为α,
则EF⊂α,a⊂α,
∴A,B,E,F∈α,∴BF⊂α,AE⊂α.
又∵C∈AE,D∈BF,
∴C,D∈α.于是b⊂α.
从而a,b共面于α,这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.
∴EF和a共面的假设不成立.
∴EF和a是异面直线.
同理可得EF和b也是异面直线.
9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;
解析:
(1)连接DC1,
∵DC1∥AB1,
∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°,∴AB1和CC1所成的角为45° .
(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.
(2)连接DA1,A1C1.
∵EF∥A1D,AB1∥DC1,
∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.
∵△A1DC1是等边三角形,
∴∠A1DC1=60°.
即直线AB1和EF所成的角为60°.。

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