2012届高三二轮复习数学(理)专题一集合、不等式、函数与导数课时训练(4份)1

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2012届高三数学二轮精品专题卷：专题4-不等式

2012届高三数学二轮精品专题卷：专题4 不等式考试范围：不等式一、选择题〔本大题共15小题，每题5分，共75分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〕1．已知集合}{01|=-=ax x A ，∈≤=x x x B ,2log 12＜｛N ｝，且A B A = ，则a 所有可能组成的集合是〔〕 A ．φB ．｝｛31C ．｝｛41,31 D ．｝｛41,31,02．〔理〕设∈b a ,R ，则使b a ＞成立的一个充分不必要条件是〔〕 A ．33b a ＞B ．0)(log 4＞b a -C ．22b a ＞D ．ba11＜〔文〕已知点),2(),1,(a a A 在直线01=++y x 的异侧，则a 满足的关系是〔〕 A ．()2,3-- B ．[]2,3-- C ．),2()3(+∞---∞ ，D ．)3,2( 3．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=125|,2)3(log |21x x B x x A ＞，则AB =〔〕 A ．()3,1- B ．[)+∞,3 C ．[]3,1- D ．)1,2(-- 4．以下函数中，最小值为2的函数为〔〕 A ．xx y 1+= B ．4522++=x x yC ．422++=x x yD ．x xy 22sin sin 1+= 5．函数)),0((cos 12cos cos )(22π∈-⋅=x xx x x f 的最小值是〔〕 A ．2-B ．1-C ．322-D ．432-6．〔理〕已知1(0)()1(0)x x f x x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则不等式0)1()3(＞+-+x f x x 的集是〔〕 A ．{}1＞x x B ．{}31|＜＜x xC ．{}∞+＜＜x x 3|D ．{}21|＜＜x x〔文〕设lg 1(0)()24(0)xx x f x x ⎧+<=⎨->⎩，则)(＞x f 的解集是〔〕A ．),1()1,(+∞--∞B ．),2()2,(+∞--∞C ．),2()1,(+∞--∞D ．),2()0,(+∞-∞7．已知2)(x x f =，m x g x -=)21()(，对于[]2,1∈x 时，)()(x g x f ≥恒成立，则m 的取值范围〔〕 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,415 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21C ．),3(+∞D ．),4(+∞8．〔理〕已知方程02=++b ax x ，其中一根在区间)1,0(，另一根在区间)0,1(-，则22)4(++=b a z 的最小值是〔〕 A ．3B ．9C ．4D ．16．〔文〕如果实数y x ,满足关系400440x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则511--+x y x 的取值范围是〔〕 A ．[]4,3B ．[]3,2C ．］，［4757D ．］，［37579．〔理〕假设实数y x ,满足1240y x x y ⎧≥+⎨-+≥⎩，则y x z +=2的最大值是( 〕 A ．6B ．7C ．8D ．9〔文〕假设y x ,满足约束条件04004x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则y x z -=3的最小值是〔〕 A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-10．〔理〕已知实数y x ,约束条件28022x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则1++y x 的最小值是〔〕 A ．3B ．23C ．5D ．4〔文〕已知y x ,满足线性规划400240x y y x x y +-<⎧⎪->⎨⎪+->⎩，则144622+--+y x y x 的取值范围是〔〕 A ．[]14,2B ．)14,2(C ．[]113,2+D ．)113,2(+11．〔理〕定义在R 的函数||)1ln(2x x y ++=，满足)1()12(+-x f x f ＞，则x 满足的关系是〔〕A ．)0,(),2(-∞+∞B ．)1,(),2(-∞+∞C ．),3()1,(+∞-∞D ．)1,(),2(--∞+∞〔文〕已知0(log )(＞a x x f a =且)1≠a 满足)0)(()1(2＞＜b b f b f +，则1)11(＞xf -的解集是〔〕A ．｝＜＜｛ax x 10|B ．｝＜＜｛a x x -110| C ．｝＜＜｛ax x 11| D ．｝＜＜｛a x x -111| 12．为迎接建党90周年，某汽车制造厂，生产两种型号的豪华大客车，A 型号汽车每辆利润是0.8万元，B 型号汽车利润是0.4万元，A 型号汽车不得少于4辆，B 型号汽车不得少于6辆，但该厂年生产能力是一年生产两种型号的汽车的和不超过30辆，求该汽车制造厂的最大利润是〔〕 A ．21.2B ．20.4C ．21.6D ．21.813．〔理〕设y x ,满足约束条件2044000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，假设目标函数)0,0(＞＞b a by ax z +=的最大值为6，则)21(log3ba +的最小值为〔〕 A ．21B ．3C ．2D ．4〔文〕已知ba 111＜＜，则以下结论不正确的选项是〔〕A ．a b b a log log ＞B ．2)11(log )(log 22＞ba b a +++ C ．2log log ＞a b b a + D ．a b a b b a b a log log log log ++＞14．已知函数)1(121--+=＜x xx y 的最大值是〔〕 A ．223- B ．223+ C ．8D ．10 15．以下命题正确的个数为〔〕①已知31,11≤-≤≤+≤-y x y x ，则y x -3的范围是[]7,1；②假设不等式)1(122--x m x ＞对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的范围是）（213,217+-； ③如果正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是[)+∞,8 ④5.02131)31(,3log ,2log ===c b a 大小关系是c b a ＞＞A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题〔本大题共15小题，每题5分，共75分，把答案填写在题中横线上〕16．函数)1(log 221-=x y 的定义域是 .17．已知函数⎩⎨⎧=≤+-)10(3)1(442)(x x x x xx f ＜＞，则不等式4)(1＜＜x f 的解集为 .18．〔理〕不等式a ax x --＞32对一切43≤≤x 恒成立，求实数a 的取值范围是 .〔文〕已知集合｝＞｛0322--=x x x A ,｝｛02≤++=c bx ax x B ，假设B A =｝＜｛43≤x x ，=B A R ，则22c aa b +的最小值为 .19．已知0＞x ,0＞y ,且412=+yx ，假设6222--≥+m m y x 恒成立，则m 的取值范围是 .20．)(x f y =是R 上的减函数，其图像经过点)1,0(A 和)1,3(-B ，则不等式1)2011(＜-x f 的解集是 .21．假设二元一次不等式组11+30x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示平面区域为M ，假设抛物线px y 22=经过区域M ，则实数p 的取值范围是 . 22．假设不等式1122+-+++-x x mx x x m x ＞的解集为R ，则实数m 的取值范围是 .23．〔理〕关于x 的不等式022＞++bx ax 的解集为)31,21(-，则不等式6)1(＞bx x a +-的解集为 .〔文〕已知函数14)(2++=ax ax x f ，假设)(')(x f x f ＞对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是 .24．函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[]2,2-上是减函数，则c b +的最大值为 .25．已知函数12)(+=x x f ,a x x g +=)(，假设存在∈x R ，使得)()(x g x f ≤成立，则实数a 的取值范围是 .26．〔理〕如图，在矩形ABCD 中，4,2==AD AB ,M 是BC 的中点，N 是矩形内〔含边界〕内任意一点，则AN AM ⋅的最大值与最小值分别是 .〔文〕设函数11)(--+=x x x f ，则使)2()12(+=+x f x f 成立的x 的取值范围是 .DABMC N27．如图做一个面积为4平方米，形状为下面是矩形，上面是等腰直角三角形的框架，用料最省为 .28．关于x的不等式满足|)2(log ||sin ||)2(log sin |x x x x x x -+-+＜的解集是 . 29．设有四个命题：①关于x 的不等式023)2(2≥+--x x x 的解集为{}2|≥x x ； ②假设函数12--=kx kx y 的值恒小于0，则04＜＜k -； ③xx y 22sin 3sin +=的最小值32； ④假设∈c b a ,,R ，22bc ac ＞，则b a ＞；其中正确命题的题号是 .30．设函数满足0)()(=-+x f x f ，且)(x f 在[]2,2-是减函数，1)2(-=f ，假设函数12)(2++≤ta t x f 对所有[]2,2-∈x ，[]1,1-∈a 时，则t 的取值范围是 .。

2012届高考数学不等式第二轮备考复习

2012届高考数学不等式第二轮备考复习第4讲不等式(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011•广东改编)不等式2x2－x－1>0的解集是____________________．2．(2011•上海)不等式x＋1x≤3的解集为____________．3．“a＋>b＋d”是“a>b且>d”的________条．4．不等式x2－4>3|x|的解集是____________．．已知正数x，满足x2＋2＝1，则1x＋1的最小值为________．6．设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0<a<1则命题甲是命题乙成立的______________条．7．(2011•浙江)若实数x，满足x2＋2＋x＝1，则x＋的最大值是________．8．设实数x，满足x－－2≤0，x＋2－4≥0，2－3≤0，则当x>37时，实数x，满足的不等式组为____________．9．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是________．10．若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________．11．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12恒成立，则a的最小值是________．12．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条的a，b恒成立的是______(写出所有正确命题的序号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2二、解答题13．已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集为A(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|<a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．14如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？1．已知函数f(x)＝13ax3－14x2＋x＋d(a，，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．(1)求a，，d的值；(2)若h(x)＝34x2－bx＋b2－14，解不等式f′(x)＋h(x)<0答案1．(－∞，－12)∪(1，＋∞) 2x|x≥12或x<03．必要不充分4．(－∞，－4)∪(4，＋∞)．22 6．必要不充分7233 83x－7<0，x＋2－4≥0，2－3≤09．4 1029，4916 11．－2 12．①③⑤13．解(1)二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，所以，a>0，由f(x)<0，解得A＝－1a，0(2)解得B＝(－a－4，a－4)，因为集合B是集合A的子集，所以－1a≤－a－4，a－4≤0，－2－≤a≤－2＋，a≤4，解得0<a≤－2＋14．解设每间虎笼的长、宽分别为x 、．则s＝x(1)由题意知：4x＋6＝36，∴2x＋3＝18又2x＋3≥26x，∴x≤(2x＋3)224＝18224＝272，当且仅当2x＝3＝9，即x＝4，＝3时，s＝x最大，∴每间虎笼的长为4 ，宽为3 时，每间虎笼面积最大．(2)由题意知x＝24，4x＋6≥224•x＝48，当且仅当4x＝6时，取得等号成立．由4x＝6x＝24得x＝6，＝4，∴每间虎笼的长为6 ，宽为4 时，可使钢筋网总长最小．1．解(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，∵f′(x)＝ax2－12x＋又f′(1)＝0，∴a＋＝12∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－12x＋≥0恒成立，∴ax2－12x＋12－a≥0恒成立，显然当a＝0时，上式不恒成立．∴a≠0，∴a>0，(－12)2－4a(12－a)≤0，即a>0，a2－12a＋116≤0，即a>0，(a－14)2≤0，解得：a＝14，＝14(2)∵a＝＝14∴f′(x)＝14x2－12x＋14f′(x)＋h(x)<0，即14x2－12x＋14＋34x2－bx＋b2－14<0，即x2－(b＋12)x＋b2<0，即(x－b)(x－12)<0，当b>12时，解集为(12，b)，当b<12时，解集为(b，12)，当b＝12时，解集为。

高三数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式训练

高三数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式训练一、选择题1．(2011·辽宁)已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2} 2．(2010·山东)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x －1|≤2}，则∁U M ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |x <－1或x >3}D ．{x |x ≤－1或x ≥3}3．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 4．(2011·山东)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝35．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“綈p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．a >1 6．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( ) A ．E FB ．E FC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅二、填空题 7．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝{－1，0,1}，B ＝{－2，－1,0}，则A ∩(∁U B )＝______.8．(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．9．下列命题中，假命题的个数是________．①若A ∩B ＝∅，则A ＝∅或B ＝∅；②命题P 的否定就是P 的否命题；③A ∪B ＝U (U 为全集)，则A ＝U ，或B ＝U ；④A B 等价于A ∩B ＝A .10．若集合A ＝{x |(k ＋1)x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是________．三、解答题11．设集合A＝{2,8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}，且A B，求a的值．12.已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求实数m 的取值范围．13．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．答案1．D 2．C 3．A 4．A 5．D 6．A7．{1}8．39．310．－1或－1211．解因为AB ，所以a 2－3a ＋4＝8或a 2－3a ＋4＝a . 由a 2－3a ＋4＝8，得a ＝4或a ＝－1；由a 2－3a ＋4＝a ，得a ＝2.经检验：当a ＝2时集合A 、B 中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为－1、4.12．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}，当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知，m ∈(－∞，3]．13．解原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．即命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题．。

(新人教)2012届高三数学第二轮复习解不等式

19 解不等式不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.●难点磁场(★★★★)解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1). ●案例探究［例1］已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n≠0时nm n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式：f (x +21)＜f (11-x )；(3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围. 命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x +21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R }(3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.［例2］设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅［1，4］(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1}［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］. (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718). ●锦囊妙计解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)二、填空题2.(★★★★★)已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________. 3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 三、解答题4.(★★★★★)已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值；(2)若f (x )=11+-x x p p ，解关于x 的不等式f -－1(x )＞k x p +1log (k ∈R +)5.(★★★★★)设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论. 6.(★★★★★)已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.7.(★★★★)解不等式log a (x －x 1)＞18.(★★★★★)设函数f (x )=a x满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案难点磁场解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞). 当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.歼灭难点训练一、1.解析：由f (x )及f (a )＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111aa ③ 解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案：C 二、2.解析：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集是(－2,22a b -).由f (x )·g (x )＞0可得：⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，2b )∪(－2b，－a 2) 答案：(a 2，2b )∪(－2b，－a 2)3.解析：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.答案：［－2，2］三、4.解：(1)∵适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3， ∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x . 若|x 2－4x +p |=－x 2+4x －p ，则原不等式为x 2－3x +p +2≥0，其解集不可能为{x |x ≤3}的子集，∴|x 2－4x +p |=x 2－4x +p .∴原不等式为x 2－4x +p +3－x ≤0，即x 2－5x +p －2≤0，令x 2－5x +p －2=(x －3)(x －m )，可得m =2，p =8.(2)f (x )=1818+-x x ，∴f -－1(x )=log 8x x -+11 (－1＜x ＜1)，∴有log 8x x -+11＞log 8kx+1，∴log 8(1－x )＜log 8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k . ∵－1＜x ＜1，k ∈R +，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}.5.解：由f (1)=27得a +b +c =27，令x 2+21=2x 2+2x +23x ⇒=－1，由f (x )≤2x 2+2x +23推得 f (－1)≤23. 由f (x )≥x 2+21推得f (－1)≥23，∴f (－1)=23，∴a －b +c =23，故 2(a +c )=5，a +c =25且b =1，∴f (x )=ax 2+x +(25－a ).依题意：ax 2+x +(25－a )≥x 2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a )≤0，得(2a －3)2≤0，∴f (x )=23x 2+x +1易验证：23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立.∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立.6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx11011① ②由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.8.解：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx xmx mx 在x ∈(0，1]恒成立. 整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x x 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx 恒成立，∵2121212-=-x x x 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212-恒成立⇔m ＜0.又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数，∴112-+x x ＜－1.∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立⇔m ∈(－1，0)①当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0②∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)。

2012届高考数学理二轮专题限时规范训练：过关检测1集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式

过关检测(一) 集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．0B ． 1C ．2D ．3解析法一 A 为圆心在原点的单位圆，B 为过原点的直线，故有2个交点，故选C.法二由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x 可得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22.答案 C2．(2011·湖南)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析当a ＝1时，N ＝{1}，则“N ⊆M ”成立，所以“a ＝1”是充分条件；当N ⊆M ，a 2＝1或a 2＝2，得a ＝±1或a ＝±2，所以“a ＝1”不是必要条件，故选A. 答案 A3．(2011·陕西)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )． A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b解析命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题为“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”，故选D. 答案 D4．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )．A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2 解析 ∵y ′＝12e 12x ，∴y ′|x ＝4＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．令x ＝0，则y ＝－e 2，令y ＝0，则x ＝2. ∴S ＝12×2×e 2＝e 2.5．函数f (x )＝2m cos 2x2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值等于( )．A ．±1B ．1C ．－1D ．2解析 ∵f (x )＝2m cos 2x2＋1＝2m ×1＋cos x 2＋1＝m ＋1＋m cos x ，∴f ′(x )＝－m sin x .当m >0时，m ＝1；当m <0时，m ＝－1. 答案 A6．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则( )．A ．a 1知log 12a >1，∴0<a <12.由0<⎝⎛⎭⎫12b <1得0<log 12b <1， ∴120，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x＋k )的图象是( )．解析 ∵f (x )在R 上为奇函数， ∴f (0)＝k －1－1＝0， ∴k ＝2.又f (x )在R 上为减函数， ∴0<a <1，∴g (x )＝log a (x ＋2)的图象是由φ(x )＝log a x 向左平移2个单位．8．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )． A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A. 答案 A9．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )． A ．(0,1] B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析由k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2知：f ′(x )＝ax ＋x ≥2，x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥x (2－x )恒成立，∵x (2－x )的最大值为1. ∴a ≥1. 答案 D10．(2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )． A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9解析当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，x ＝0或x ＝1或x ＝－1(舍去)．又f (x )的最小正周期为2，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，∴y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7，故选B. 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝_______. 解析 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立， ∴|－x ＋a |＝|x －a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0. 答案 012．(2011·淄博模拟)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是______．解析 ∵f (2)＝f (－1)＝－f (1)，∴2a －3a ＋1≤－1，∴3a －2a ＋1≤0，∴－1<a ≤23.答案 ⎝⎛⎦⎤－1，23 13．若函数f (x )＝e x －a －2x 恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析令y ＝e x ，y ＝2x＋a 画出图象如图．由图象知a ≤0时，y ＝e x 的图象与y ＝2x ＋a 的图象有一个交点，a >0时，有两个交点．答案 (－∞，0]14．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题： ①c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0最多有两个实根．其中正确的命题是________(写出序号)．解析当c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，此时f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，①正确；当b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ，若x ≥0，f (x )＝0无解，若x <0，f (x )＝0有一解x ＝－c ，②正确；结合图象知③正确，④不正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知函数f (x )＝x e x (e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解 (1)∵f (x )＝x e x . ∴f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x . 令f ′(x )>0，即(x ＋1)e x >0. ∵e x >0，∴x >－1，∴f (x )的单调增区间为(－1，＋∞)． (2)由(1)知，f ′(x )＝(1＋x )e x .∴f ′(1)＝2e ，f (1)＝e.∴f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.16．(2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x ＝32或x ＝12.综合①，可知所以，x ＝32是极小值点，x ＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.17．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔，以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？解 (1)依题意知，赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝2 000t －st . ∵ω＝2 000t －s (t )2＝－s ⎝⎛⎭⎫t －1 000s 2＋1 0002s . ∴当t ＝⎝⎛⎭⎫1 000s 2时，ω取得最大值．所以乙方获得最大利润的年产量为t ＝⎝⎛⎭⎫1 000s 2吨．(2)设甲方的净收入为v 元，则v ＝ts －0.002t 2，将t ＝⎝⎛⎭⎫1 000s 2代入上式，得甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式为v ＝1 0002s －2×1 0003s 4，又v ′(s )＝－1 0002s 2＋8×1 0003s 5＝1 0002s5(8 000－s 3)．令v ′(s )＝0，得s ＝20，当s <20时，v ′(s )>0；当s >20时，v ′(s )<0，∴s ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格s ＝20元/吨时，获得净收入最大． 18．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2. 由f ′(x )<0，得－13<x <2，∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝b a －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ≤－2，即ba －1∈(－∞，－2]∪[1，＋∞)． 19．(2011·三明模拟)函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ∈R . (1)若函数f (x )在其定义域内是单调函数，求b 的取值范围；(2)若对f (x )定义域内的任意x ，都有f (x )≥f (1)，求b 的值；(3)设a >1，g (x )＝x 3－3a 2x ＋a 2－2a .当b ＝12时，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－g (x 2)|<12，求实数a 的取值范围．解 (1)函数f ′(x )＝2x ＋bx ＋1＝2x 2＋2x ＋b x ＋1(x >－1)．由题意，f ′(x )≥0在(－1，＋∞)内恒成立，或f ′(x )≤0(－1，＋∞)内恒成立．若f ′(x )≥0，则2x 2＋2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 2－2x ＝－2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12恒成立．显然，－2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12在(－1，＋∞)内的最大值为12，所以，b ≥12；若f ′(x )≤0，即2x 2＋2x ＋b ≤0，显然该不等式在(－1，＋∞)内不恒成立．综上，所求b 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(2)由题意，f (1)是函数f (x )的最小值，也是极小值．因此，f ′(1)＝2＋b2＝0，解得b ＝－4.经验证，b ＝－4符合题意．(3)首先研究f (x )，g (x )在[0,1]上的性质．由(1)，当b ＝12时，f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)在(－1，＋∞)内单调递增，从而f (x )在[0,1]上单调递增，因此，f (x )在[0,1]上的最小值f (x )min ＝f (0)＝0，最大值f (x )max ＝f (1)＝1＋12ln 2.g ′(x )＝3(x 2－a 2)，由a >1，知当x ∈[0,1]时，g ′(x )＝3(x 2－a 2)<0，因此，g (x )＝x 3－3a 2x ＋a 2－2a 在[0,1]上单调递减．g (x )在[0,1]上的最小值g (x )min ＝g (1)＝1－2a 2－2a ，最大值g (x )max ＝g (0)＝a 2－2a . 因为a >1，所以g (x )min ＝g (1)＝1－2a 2－2a <0.①若g (x )max ＝a 2－2a ≥0，即a ≥2时，两函数图象在[0,1]上有交点，此时a ≥2显然满足题设条件，②若g (x )max ＝a 2－2a <0，即1<a <2，f (x )的图象在上，g (x )的图象在下．只需f (x )min －g (x )max <12，即f (0)－g (0)<12，即－(a 2－2a )<12，所以，1＋22<a <2.综上，所求实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1＋22，＋∞.。

2012年高考数学二轮限时训练数列、不等式 4 理

第四部分：数列、不等式（4）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．(2011年某某模拟)设集合M ＝{x|x 2－2x<0，x∈R }，N ＝{x|x 2<4，x∈R }，则( )A ．M∪N＝MB ．(∁R N)∩N＝RC ．(∁R N)∪N＝∅D ．M∩N＝M【解析】依题意M ＝{x|0<x<2}，N ＝{x|－2<x<2}，∴M∩N＝M.【答案】 D2．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t ＋10(0<t≤30，t∈N )；销售量g(t)与时间t 的函数关系是g(t)＝－t ＋35(0<t≤30，t∈N )，则这种商品日销售金额的最大值是( )A ．505元B ．506元C ．510元D ．600元【解析】设这种商品日销售金额为y 元，由题意知y ＝f(t)g(t)＝(t ＋10)(－t ＋35)＝－t 2＋25t ＋350(0<t≤30)，当t ＝12或t ＝13时，y 取最大值506.【答案】 B3．(2012年某某一模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1 (x<0)x －1 (x≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x|－1≤x≤2－1}B ．{x|x≤1}C ．{x|x≤2－1}D ．{x|－2－1≤x≤2－1}【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x<－1－x 2≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ x≥－1x(x ＋2)≤1，∴x<－1或－1≤x≤2－1. ∴x≤2－1.【答案】 C4．设A ＝{x|x 2－2x －3>0}，B ＝{x|x 2＋ax ＋b≤0}，若A∪B＝R ，A∩B＝(3,4]，则a ＋b等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7【解析】由A 可知x<-1或x>3，如图．若A ∪B=R ，则x2+ax+b=0的两根x1，x2必有x1≤-1，x2≥3.又A ∩B=(3,4]，故x1=-1，x2=4.∴-1+4=-a ，∴a=-3，-1×4=b ，∴b=-4，故a+b=-7.【答案】 D5．在R 上定义运算：x*y ＝x(1－y)，若不等式(x －a)*(x ＋a)<1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1<a<1B ．0<a<2C ．－12<a<32D ．－32<a<12【解析】依题设x －a －x 2＋a 2<1恒成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34－a 2>0恒成立⇔a 2－a －34<0恒成立⇔－12<a<32，故选C. 【答案】 C二、填空题6．(2011年某某模拟)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值X 围为________．【解析】令f(x)＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，，则只需f(0)<0，即a 2－1<0，∴－1<a<1.【答案】－1<a<17．已知函数f(x)＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b∈R )，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b 的取值X 围是________．【解析】依题意，f(x)的对称轴为x ＝1，又开口向下，∴当x∈[－1,1]时，f(x)是单调递增函数．若f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b－2)(b ＋1)>0，∴b>2或b<－1.【答案】 b>2或b<－18．设x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ (2x －1)(x －3)>02(x ＋2)<5x ＋63，则点P(x ＋2，x －2)在第________象限．【解析】原不等式组⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x>3或x<12x<－6⇒x<－6.∴x＋2<0，x －2<0.∴P(x＋2，x －2)在第三象限．【答案】三三、解答题9．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x－ax(a∈R )．【解析】原不等式变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0.(1)当a ＝0时，原不等式变为－2x －2≥0，故其解集为{x|x≤－1}；(2)当a≠0时，不等式即为(ax －2)(x ＋1)≥0. ①当a>0时，不等式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥2a 或x≤－1； ②当a<0时，不等式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0，2a －(－1)＝a ＋2a ，当－2<a<0时，2a<－1，故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a ≤x≤－1；当a ＝－2时，不等式即为(x ＋1)2≤0，故其解集为{x|x ＝－1}；当a<－2时，－1<2a ，故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1≤x≤2a ，综上，当a ＝0时，解集为{x|x≤－1}；当a>0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥2a 或x≤－1；当－2<a<0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a ≤x≤－1；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－1}；当a<－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1≤x≤2a . 10．已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋b.(1)解关于a 的不等式f(1)>0；(2)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，某某数a ，b.【解析】 (1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3. ∵f(1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，a 2－6a －b ＋3<0. 又Δ＝24＋4b ，当b≤－6时，Δ≤0，∴f(1)>0的解集为∅；当b>－6时，3－b ＋6<a<3＋b ＋6，∴f(1)>0的解集为{a|3－b ＋6<a<3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a(6－a)x ＋b>0的解集为(－1,3)， ∴3x 2－a(6－a)x －b<0的解集为(－1,3)，∴x 1＝－1，x 2＝3是方程3x 2－a(6－a)x －b ＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝a(6－a)33＝b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3±3b ＝9.。

高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数的图象与性质教案理-

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析：当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略常见类型解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减．应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称．又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2，那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：函数、导数、不等式的综合问题(含答案解析).pdf

训练　函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )． A. B．－ C. D．－或 2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )． A．1 B. C. D. 3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，xR，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )． A. B. C. D. 4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )． A．1 B．2 C．0 D. 5．设aR，若函数y＝eax＋3x，xR有大于零的极值点，则( )． A．a＞－3 B． a＜－3 C．a＞－ D．a＜－二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． 7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________． 8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，bR)的导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值． 10．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t[m， M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 11．(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； (2)对一切的x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－.参考答案 1．D　[f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，a＝－1，f(－1)＝－.] 2．D　[|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.] 3．A　[因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.] 4．B　[函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，≥1，得a≥2.又g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x(1, 2)上恒成立，有a≤2，a＝2.] 5．B　[令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，a的取值范围为(－∞，－3)．] 6．解析　由题得f′ (x)＝12x2－2ax－2b＝0，f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6.a＋b≥2，6≥2，ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值．答案　9 7．解析　f(x)＝x3－x2＋ax－5，f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，a≥1或a≤－3.于是满足条件的a(－3,1)．答案　(－3,1) 8．解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0. 答案　(－4,0) 9．解　由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b. 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1， f′(3)＝3. 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，即3x－y－8＝0. (2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7. 所以a的最大值为－7. 10．解　(1)由f(e)＝2，得b＝2. (2)由 (1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0得， 0＜x＜1；当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1，由f′(x)＜0得，x＞1. 综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x1(1，e)ef′(x) －0 ＋f(x)2－单调递减极小值1单调递增2又2－＜2，所以函数f(x)的值域为[1,2]．据此可得，若则对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点；并且对每一个t(－∞，m)(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点．综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点． 11．(1)解　f′(x)＝ln x＋1. 当x时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．则当0＜t＜t＋2＜时，t无解；当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时， [f(x)]min＝f＝－；当≤t＜t＋2，即t≥时， f(x)在[t，t＋2]上单调递增．所以[f(x)]min＝f(t)＝tln t.所以[f(x)]min＝ (2)解　2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， h′(x)＝. 当x(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)] min＝4.故实数a的取值范围是(－∞，4]． (3)证明　问题等价于证明xln x＞－，x(0，＋∞)．由(1)可知f(x)＝xln x，x(0，＋∞)的最小值为－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]max＝m(1)＝－. 从而对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．。

高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲不等式教案理-人教版高三

第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c 1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c 2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ；又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。

2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题1_第5讲_函数、导数及不等式的综合应用

当 x∈－∞，－
－a3时，f′(x)>0.因此当
x∈－∞，－
－a3时，f′(x)g′(x)<0.故由题设得 a≥
－－a3且 b≥－－a3，从而－13≤a<0，于是－13≤b≤0，因此|a－b|≤13，且当 a＝－13，b＝0 时等号成立．
第5讲 │ 要点热点探究
又当 a＝－13，b＝0 时，f′(x)g′(x)＝6xx2－19，从而当 x∈－13，0 时 f′(x)g′(x)>0，故函数 f(x)和 g(x)在－13，0上单调性一致．因此|a－ b|的最大值为13.
第5讲│ 要点热点探究
► 热点链接 3 构造函数证明不等式问题利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，
转化为利用导数求函数最值问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目目标的要求，构造出相应函数关系式．
如何构造函数关系式，破解的基本思路是从函数的角度分析和理解要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式所需要的最佳函数．
2x＋1ax－1
x
.①若 a≤0，则 f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)单调增加．②
若 a＞0，则由 f′(x)＝0 得 x＝1a，且当 x∈0，1a时，f′(x)＞0，当 x＞1a时，f′(x)
＜0.所以 f(x)在0，1a单调增加，在1a，＋∞单调减少．
(2)设函数 g(x)＝f1a＋x－f1a－x，则 g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax， g′(x)＝1＋aax＋1－aax－2a＝12－a3ax22x2.当 0＜x＜1a时，g′(x)＞0，而 g(0)
【分析】 (1)讨论函数的单调性，要对字母进行分类讨论； (2)对不等式的证明，可考虑构造函数法；(3)证明 f ′(x0)＜0，即证明 f(x)在 x0＝x1＋2 x2所在的区间内单调递减．

2012年高考数学二轮限时训练数列、不等式 1 理.doc

第四部分：数列、不等式（1）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．(2011年银川模拟)已知a 、b 满足0＜a ＜b ＜1，下列不等式中成立的是( ) A ．a a＜b bB ．a a＜b aC ．b b＜a bD ．b b＞b a【解析】取特殊值法．令a ＝14，b ＝12，则a a＝(14)14＝(12)12，b b＝(12)12，∴A 错．a b ＝(14)12＜(12)12＝b b，∴C 错．b b ＝(12)12＜(12)14＝b a，∴D 错．∴b a ＝(12)14＞(12)12＝a a，∴B 正确【答案】 B2．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b【解析】 c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a)2≥0，∴c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2， ∵1＋a 2－a ＝(a －12)2＋34＞0，∴1＋a 2＞a ，∴b ＝1＋a 2＞a ，∴c ≥b ＞a. 【答案】 A3．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b＜2a＜2 D ．a 2＜ab ＜11【解析】 ∵y ＝2x是单调递增函数，且0＜b ＜a ＜1， ∴2b＜2a＜21，即2b＜2a ＜2，故选C. 【答案】 C.4．(2012年长沙联考)已知a 、b 、c ∈R ，则下列推理： ①a c2＞bc2⇒a ＞b ； ②a 3＞b 3，ab ＞0⇒1a ＜1b ；③a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b；④0＜a ＜b ＜1⇒log a (1＋a)＞log b 11－a .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由a c2＞b c2可知c 2＞0，∴a c2×c 2＞b c2×c 2，即a ＞b ，∴①正确．由a 3＞b 3，ab ＞0，可得a ＞b ，ab ＞0，即a ＞b ＞0或b ＜a ＜0， ∴1a ＜1b，∴②正确．由a 2＞b 2，ab ＞0可得a ＞b ＞0或a ＜b ＜0， a ＞b ＞0时1a ＜1b ，但a ＜b ＜0时，1a ＞1b，故③不正确． ∵0＜a ＜b ＜1，∴log a (1＋a)＞log b (1＋a) 又∵log b (1＋a)－log b 11－a ＝log b (1－a 2)＞0，∴log b (1＋a)＞log b 11－a ，∴log a (1＋a)＞log b 11－a，故④正确．【答案】 C5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定【解析】设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2，显然v 1＜v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v1＋s v2，乙用时间为4sv1＋v2，而s v1＋s v2－4s v1＋v2＝s(v1＋v2)2－4sv1v2v1v2(v1＋v2) ＝s(v1－v2)2v1v2(v1＋v2)＞0故s v1＋s v2＞4s v1＋v2，故乙先到教室．【答案】 B 二、填空题6．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．【解析】设2a ＋3b ＝m(a ＋b)＋n(a －b)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2m －n ＝3，∴m ＝52，n ＝－12.∴2a ＋3b ＝52(a ＋b)－12(a －b)．∵－1＜a ＋b ＜3,2＜a －b ＜4，∴－52＜52(a ＋b)＜152，－2＜－12(a －b)＜－1，∴－92＜52(a ＋b)－12(a －b)＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.【答案】 (－92，132)7．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A ，B 的大小关系是______．【解析】 ∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)， ∵(x －1)2≥0,2x 2＋2x ＋1＞0， ∴A －B ≥0，即A ≥B. 【答案】 A ≥B8．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件实事中提炼出一个不等式组是________．【解析】依题意47＋47k ＜1，且三次后全部进入，即47＋47k ＋47k2≥1，故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k＜147＋47k ＋47k2≥1k∈N*.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k＜147＋47k ＋47k2≥1k∈N*三、解答题9．有一批钢管，长度都是4 000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于13配套，请列出不等关系．【解析】设截500 mm 的x 根，600 mm 的y 根，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y≤4 000y ＜3xx ，y ＞0x ，y∈N* ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y≤40y ＜3x x ，y∈N*.10．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12 000元预订15张下表中球类比赛的门票：比赛项目票价(元/场) 男篮 1 000 足球 800 乒乓球500若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．【解析】设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n(n ∈N *)张，则男篮比赛门票预订(15－2n)张，得⎩⎪⎨⎪⎧800n ＋500n ＋1 000(15－2n)≤12 000800n≤1 000(15－2n)，解得427≤n ≤5514.由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订男篮比赛门票5张．。

2012年高考数学理科二轮复习课件专题一集合、简易逻辑与不等式

[答案] D
9．命题p：若a、b∈R，则“|a|＋|b|>1”是“|a＋b|>1”的
充分而不必要条件；命题q：函数y＝ | x 1 | 2 (－∞，－1]∪[3，＋∞)．则( (A)“p或q”为假． (C)p真q假． ) 的定义域是
(B)“p且q”为真． (D)p假q真．
【解析】∵|a|＋|b|≥|a＋b|，∴由|a＋b|>1，可以推得|a|＋ |b|>1，即“|a|＋|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要而不充分条件．故
1 1，则－－ 2a 9 9． (A) (A)2 ． 2 2 的上确界为( b
)
(B)4 (B)4．．
1 1． (C) (C)4 ． 4
9 9． (D) － (D)－2 ． 2
1 2 1 2 5 b 2 a 5 9 1 2 1 2 5 b 2 a 5 9，【解析】 ∵ ＋＝ ( ＋ )( a ＋ b ) ＝＋＋ ≥ ＋ 2 ＝【解析】∵2a ＋b ＝( a ＋b )(a＋b)＝2 ＋2a ＋ b ≥ ＋2＝2 ， 2a b 2 2a b 2 2a b 2 2 2 1 2 9 1 2 9， ∴ －－ ≤ － ∴－2a －b ≤－2 ， b 2a 2 1 2 9 1 2 9．即－－的上确界为－即－2a －b 的上确界为－2 ． 2a b 2
考题回放
1．[2009年· 全国Ⅱ]设集合A＝ {x|x>3} ,B＝{x| x 1 <0}, x4 则A∩B等于( ) (A)Ø． (B)(3,4)． (C)(－2,1)． (D)(4，＋∞)．【解析】A∩B＝{x|x>3}∩{x|1<x<4}＝{x|3<x<4} [答案] B 2 ． [2010 年 · 浙江 ] 已知 a 、 b 是实数，则“ a>0 且 b>0” 是 “a＋b>0且ab>0”的( ) (A)充分不必要条件． (B)必要不充分条件． (C)充分必要条件． (D)既不充分也不必要条件．

【优化探究】2012年高考数学第二轮复习资料第1部分专题1集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数高效课时

一、选择题1．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )A．3 B．1C．－1 D．－3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(－x)＋f(x)＝0.当x＝0时，可得f(0)＝0，可得b＝－1，此时f(x)＝2x＋2x－1，因此f(1)＝3.又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝－3.答案：D2．(2011年高考福建卷)对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A．4和6 B．3和1C．2和4 D．1和2解析：∵f(1)＝a sin 1＋b＋c，f(－1)＝－a sin 1－b＋c，且c是整数，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数．在选项中只有D中两数和为奇数，故不可能是D.答案：D3．(2011年高考上海卷)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )A．y＝ln 1|x|B．y＝x3 C．y＝2|x| D．y＝cos x解析：对于A，∵f(－x)＝ln1|－x|＝ln1|x|＝f(x)，定义域为{x|x≠0}，故是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；y＝x3是奇函数；y＝2|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增；y＝cos x在(0，＋∞)上不是单调函数，故B、C、D均错误．答案：A4．(2011年高考湖北卷)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2，① 得－f (x )＋g (x )＝a －x－a x＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x. 又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x－2－x， ∴f (2)＝22－2－2＝154.答案：B5．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：∵函数f (x )的周期为5，∴f (x ＋5)＝f (x )， ∴f (3)＝f (－2＋5)＝f (－2)．又∵f (x )为奇函数，∴f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，同理f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－2－(－1)＝－1. 答案：A 二、填空题6．函数f (x )＝lg(x －2)的定义域是________．解析：∵x －2>0，∴x >2，即函数的定义域为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)7．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 010)＝________.解析：∵f (1)＝14，令y ＝1得f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，①f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，②由①②得f (x ＋2)＝－f (x －1)，即f (x ＋3)＝－f (x )，则f (x ＋6)＝f (x )． ∴该函数周期为6.∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)．令x ＝1，y ＝0得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)， ∴f (0)＝12.∴f (2 010)＝12.答案：128．(2011年高考陕西卷)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________.解析：∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 答案：3或49．(2011年高考江苏卷)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：首先讨论1－a,1＋a 与1的关系，当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2，所以a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)．综上，满足条件的a ＝－34.答案：－34三、解答题 10.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解析：方法一设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000.①广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a >0，b >0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b＝18 500＋2 1 000 ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．方法二设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252.其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25，广告的面积S ＝xy ＝x (18 000x －20＋25)＝18 000 xx －20＋25x ，整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0，所以S ≥2360 000x －20×25x －20＋18 500＝24 500. 当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400(x >20)，解得x ＝140，代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．11．围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：(1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x，所以y ＝225x ＋3602x－360(x >0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x≥2 225×3602＝10 800，∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元． 12．(2011年高考安徽卷)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .又由于1＜a ≤b ≤c ，所以x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．。

2012届高三数学二轮精品专题卷：专题4

绝密★启用前数学考试范围：不等式一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，N，且，则a所有可能组成的集合是（）A． B． C． D．2．（理）设R，则使成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．（文）已知点在直线的异侧，则a满足的关系是（）A． B． C． D．3．已知集合，则AB= （）A． B． C． D．4．下列函数中，最小值为2的函数为（）A． B． C． D．5．函数的最小值是（）A． B． C． D．6．（理）已知，则不等式的集是（）A． B． C． D．（文）设，则的解集是（）A． B． C． D．7．已知，，对于时，恒成立，则m的取值范围（）A． B． C． D．8．（理）已知方程，其中一根在区间，另一根在区间，则的最小值是（）A．3 B．9 C．4 D．16．（文）如果实数满足关系，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．（理）若实数满足，则的最大值是( ）A．6 B．7 C．8 D．9（文）若满足约束条件，则的最小值是（）A． B． C． D．10．（理）已知实数约束条件则的最小值是（）A．3 B． C．5 D．4（文）已知满足线性规划，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．（理）定义在R的函数，满足，则x满足的关系是（）A． B． C． D．（文）已知且满足，则的解集是（）A． B． C． D．12．为迎接建党90周年，某汽车制造厂，生产两种型号的豪华大客车，A型号汽车每辆利润是0.8万元，B型号汽车利润是0.4万元，A型号汽车不得少于4辆，B型号汽车不得少于6辆，但该厂年生产能力是一年生产两种型号的汽车的和不超过30辆，求该汽车制造厂的最大利润是（）A．21.2 B．20.4 C．21.6 D．21.813．（理）设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为（）A． B．3 C．2 D．4（文）已知，则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．14．已知函数的最大值是（）A． B． C．8 D．1015．下列命题正确的个数为（）①已知，则的范围是；②若不等式对满足的所有m都成立，则x的范围是；③如果正数满足，则的取值范围是④大小关系是A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分，把答案填写在题中横线上）16．函数的定义域是.17．已知函数，则不等式的解集为.18．（理）不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围是.（文）已知集合,，若=，R，则的最小值为.19．已知,,且，若恒成立，则m的取值范围是.20．是R上的减函数，其图像经过点和，则不等式的解集是. 21．若二元一次不等式组表示平面区域为M，若抛物线经过区域M，则实数p的取值范围是.22．若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是23．（理）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为.（文）已知函数，若对一切实数x恒成立，则a的取值范围是.24．函数在区间上是减函数，则的最大值为.25．已知函数,，若存在R，使得成立，则实数a的取值范围是. 26．（理）如图，在矩形ABCD中，,M是BC的中点，N是矩形内（含边界）内任意一点，则的最大值与最小值分别是.CDNMBA（文）设函数，则使成立的x的取值范围是.27．如图做一个面积为4平方米，形状为下面是矩形，上面是等腰直角三角形的框架，用料最省为.28．关于x的不等式满足的解集是.29．设有四个命题：①关于的不等式的解集为；②若函数的值恒小于0，则；③的最小值；④若R，，则；其中正确命题的题号是.30．设函数满足，且在是减函数，，若函数对所有，时，则的取值范围是.。

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一、选择题1．f (x )＝x (2 011＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 012，则x 0等于 A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析 f ′(x )＝2 011＋ln x ＋x ×1x ＝2 012＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 012，得2 012＋ln x 0＝2 012，所以ln x 0＝0，解得x 0＝1，故选B. 答案 B2．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为A ．－12 B.12 C ．－22D.22解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 答案 B3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于A.56 B.12 C.23D.16解析 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝x 2－x ，∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2 |21＝56，故选A.答案 A4．(2011·海淀模拟)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π3，－1在函数f (x )＝a cos x 的图象上，则该函数图象在x ＝3π4处的切线方程是A ．2x ＋2y ＋4－3π2＝0 B ．2x －2y ＋4－3π2＝0 C ．2x －2y －4－3π2＝0D ．2x ＋2y －4－3π2＝0解析由点P 在函数f (x )的图象上，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π3＝－1，即a cos 2 012π3＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋2π3＝－a 2＝－1，解得a ＝2.故f (x )＝2cos x .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2cos 3π4＝－2，f ′(x )＝－2sin x .由导数的几何意义，可知该函数图象在x ＝3π4处的切线斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－2sin 3π4＝－ 2.所以切线方程为y －(－2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，即2x ＋y ＋2－32π4＝0，也就是2x ＋2y ＋4－3π2＝0，故选A.答案 A5．(2011·浙江模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是解析设h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x .由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，得当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa ＝1，D 中图象一定不满足该条件．答案 D6．(2011·湖南)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为A ．1 B.12 C.52D.22解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t ＞0)． y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t.当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在此区间内单调递减；当t ＞22时，y ′＞0，可知y 在此区间内单调递增．故当t ＝22时，|MN |有最小值．答案 D 二、填空题7．如图，直线y ＝1与曲线y ＝－x 2＋2所围图形的面积是________．解析令－x 2＋2＝1，得x ＝±1，答案 438．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．解析当x ＞0时，f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0恒成立，即m ≥－1x 2＋2x 恒成立，又∵－1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1≤1，∴m ≥1.答案 m ≥19．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________．解析 f ′(x )＝e x cos x ＋e x (－sin x )，设切线的倾斜角为α，则k ＝tan α＝f ′(0)＝1，又α∈(0，π)，∴α＝π4. 答案 π4 三、解答题10．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20. 当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12. 11．已知函数f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝x 3－3x 图象的下方．解析 (1)由f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x ，知f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝(x －1)(x －2)x .当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[1,2]上是减函数；当x ∈(2，e)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[2，e]上是增函数． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝2ln 2－4. 又f (1)＝－52，f (e)＝12e 2－3e ＋2， f (e)－f (1)＝12e 2－3e ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝12(e 2－6e ＋9)＝12(e －3)2＞0，∴f (e)＞f (1)，∴f (x )max ＝f (e)＝12e 2－3e ＋2.综上，函数f (x )在[1，e]上的最大值为12e 2－3e ＋2，最小值为2ln 2－4.(2)证明设F(x)＝12x2－3x＋2ln x－x3＋3x，则F′(x)＝－3x2＋x＋2x＝－3x3＋x2＋2x＝－(x－1)(3x2＋2x＋2)x.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，∴F(x)在[1，＋∞)上是减函数，且F(1)＝－12＜0，故当x∈[1，＋∞)时，F(x)＜0，∴12x2－3x＋2ln x＜x3－3x.∴在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3－3x图象的下方．12．设f(x)＝e x－1.(1)当x＞－1时，证明：f(x)＞2x2＋x－1x＋1；(2)当a＞ln 2－1且x＞0时，证明：f(x)＞x2－2ax.证明(1)当x＞－1时，f(x)＞2x2＋x－1x＋1，即e x－1＞2x2＋x－1x＋1＝2x－1，故结论成立当且仅当e x＞2x，即e x－2x＞0.令g(x)＝e x－2x，则g′(x)＝e x－2.令g′(x)＝0，即e x－2＝0，解得x＝ln 2.当x∈(－1，ln 2)时，g′(x)＝e x－2＜0，故函数g(x)在(－1，ln 2]上单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)＝e x－2＞0，故函数g(x)在[ln 2，＋∞)上单调递增．所以g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为g(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，所以在(－1，＋∞)上有g(x)≥g(ln 2)＞0，即e x＞2x.故当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)＞2x2＋x－1x＋1.(2)f(x)＞x2－2ax，即e x－1＞x2－2ax，也就是e x－x2＋2ax－1＞0. 令g(x)＝e x－x2＋2ax－1，则g′(x)＝e x－2x＋2a.令h(x)＝e x－2x＋2a，则h′(x)＝e x－2.由(1)，可知当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增．所以h(x)的最小值为h(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a. 因为a＞ln 2－1，所以h(ln 2)＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(x)≥h(ln 2)＞0.所以g′(x)＝h(x)＞0，即g(x)在R上为增函数．故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(0)．而g(0)＝0，所以g(x)＝e x－x2＋2ax－1＞0，即当a＞ln 2－1且x＞0时，f(x)＞x2－2ax.。

2012届高三二轮复习数学(理)专题一 集合、不等式、函数与导数课时训练(4份)1